Cálculo de la longitud máxima de unas lámparas para pasar por un pasillo en forma de L a coste mínimo

Cálculo de la longitud máxima de unas lámparas

para pasar por un pasillo en forma de L a coste

mínimo

Matemáticas NM – Programa de Diploma

Bai Chuan – David King

2

Introducción

Al llevar a cabo una mudanza, en muchas ocasiones, surgen problemas con medidas, ajustes, muebles que no caben, elementos que no pasan por algún espacio, elementos que no quedan nivelados… La idea de esta Exploración Matemática surgió de un problema real en mi propia casa durante una mudanza que realicé el pasado año.

Aquel día, mi familia y yo lo solucionamos por prueba/error, pero un día en clase de matemáticas pude darme cuenta de que aquel problema lo podía solucionar y optimizar utilizando la trigonometría y la optimización. Y me propuse hacerlo, para convencerme de que las matemáticas son útiles en la resolución de problemas que sin ellas solo se pueden solucionar por Try/Error.

Describo la problemática: mi piso tiene un pasillo que conecta la puerta de entrada con una habitación. Este pasillo tiene una esquina en ángulo recto, es decir, en “forma de L”. Teníamos que colocar en el techo de la habitación 9 lámparas especiales de cuarzo, con forma de fluorescente, el material es fino y frágil, y según el manual de usuario se debían manipular horizontalmente en todo momento.

Las lámparas se fabrican en unas longitudes determinadas, así que lo que hicimos es ir cortando un listón de madera fino y largo, hasta que más o menos de forma aproximada pudimos medir la longitud máxima que pasaba por la esquina del pasillo. Posteriormente fuimos a la tienda y compramos las 9 lámparas del tamaño mayor que tenían y que fueran iguales o más cortas que la medida máxima que habíamos medido con el listón de madera.

La situación esquemática es la siguiente:

Mi objetivo principal queda determinado entonces en conseguir el valor de la longitud máxima que deben tener las lámparas de cuarzo para poder superar la esquina ortogonal del pasillo y llegar a la habitación sin problemas. De tal forma que pueda comprar las lámparas lo más largas posibles

3

ya que su precio en la tienda disminuía cuanto más largas fueran. El objetivo era, en definitiva, conseguir coste mínimo para las 9 lámparas.

En definitiva, hay dos razones por las cuales me siento motivado por esta Exploración. La primera, es que puedo comparar el resultado obtenido por mis cálculos con el valor que determiné en su día con el listón de madera. Y la segunda razón es que en un futuro me gustaría estudiar en la universidad alguna carrera relacionada con las finanzas y la logística de materiales. Sectores donde imagino, por el tipo de problemas que a veces hacemos en clase, que la aplicación de la Optimización es clave.

Datos de inicio

Con una cinta métrica, medí los pasillos de casa, obteniendo  pasillo horizontal 90cm. y pasillo vertical que da acceso a la habitación 70cm.

En la tabla siguiente se puede ver la lista de precios de las lámparas, según catálogo de la tienda.

Son lámparas especiales de cuarzo, y por sus características constructivas, a igual potencia y número de lux, es más barato fabricarlas largas y finitas que cortas y más gruesas.

Medida largo lámpara (cm.) 150 175 200 225 250 275

Precio (€) 30 25 22 18 16 15

Planteamiento Trigonométrico y optimización

Ajustando al máximo la lámpara a la esquina, se ve que se forman dos triángulos rectángulos. Por lo cual desde este momento tomaré L= l¹+l^{2 .} Siendo:

L: Longitud de la lámpara

l^1, l^{2 :} las dos porciones en que divido L (para poder estudiar los triángulos rectángulos)

4

Triángulo rectángulo superior:

cos ∝=70 l1 → 𝐥𝟏

= 𝟕𝟎

𝐜𝐨𝐬 ∝

Sumando ambas porciones se obtiene:

𝐋(∝)

= 𝟕𝟎

𝐜𝐨𝐬 ∝+ 𝟗𝟎 𝐬𝐞𝐧 ∝ Triángulo rectángulo

inferior:

𝑠𝑒𝑛 ∝=90 𝑙2 → 𝒍𝟐

= 𝟗𝟎

𝒔𝒆𝒏 ∝

A partir de este momento me centraré en la optimización. Primero voy a derivar la ecuación de la longitud de la lámpara en función del ángulo. Para buscar los puntos donde se anula esta derivada y poder así hacer el estudio de los extremos.

Lo que busco es longitud máxima, por ello y teniendo en cuenta que en el triángulo inferior tengo una longitud del pasillo mayor, que en el triángulo rectángulo superior, tendré que buscar un ángulo mínimo. La clave está en que un cateto es 90 y otro 70, y que ambos están divididos por el seno y el coseno del ángulo respectivamente. Para clarificar aún más, si el ángulo es bajo, su seno es bajo, y al estar dividiendo al 90, tendré un número alto; pasa lo mismo pero al contrario con el 70. La clave está en que 90 es mayor que 70.

Utilizando derivación de funciones trigonométricas y derivada del cociente de funciones:

𝐿′(∝) =−70(−𝑠𝑒𝑛 ∝)

𝑐𝑜𝑠²∝ −90(𝑐𝑜𝑠 ∝) 𝑠𝑒𝑛²∝ Simplifico y calculo la abcisa ∝1 en la cual se me anula esta derivada:

𝐿^′(∝1) = 0 → −70(−𝑠𝑒𝑛 ∝1)

𝑐𝑜𝑠² ∝1 −90(𝑐𝑜𝑠 ∝1)

𝑠𝑒𝑛² ∝1 =70𝑠𝑒𝑛³∝1 − 90𝑐𝑜𝑠³∝1

(𝑐𝑜𝑠²∝1)(𝑠𝑒𝑛²∝1) = 0 70𝑠𝑒𝑛³∝1 − 90𝑐𝑜𝑠³∝1 = 0 → 𝑡𝑎𝑛³∝1=⁹⁰₇₀ → 𝑡𝑎𝑛 ∝1= √^{3 90}₇₀ → ∝1= 47,40°

Existe otra solución en el 3er.cuadrante que también resuelve esta ecuación trigonométrica, pero la descarto porque estoy trabajando en el 1er. cuadrante, ya que la forma geométrica de la esquina no me permite ángulos mayores de 90º.

5

Compruebo si para el valor del ángulo ∝1 la función presenta un máximo o mínimo, y lo hago localmente entorno del punto obtenido:

∝1 47º 48º

Signo 𝐿′(∝1)

- +

Crecimiento / Decrecimiento

D C

Mínimo

Una sé que es un mínimo local, sustituyo en la expresión de L y obtengo directamente la longitud máxima de la lámpara:

𝐿(47,40°) = 70

𝑐𝑜𝑠 47,40°+ 90

𝑠𝑒𝑛 47,40°= 225,67𝑐𝑚

La longitud máxima de la lámpara para superar la esquina es de

225,67cm.

Planteamiento Trigonométrico y Optimización (Alternativo)

Tras estudiar tanto el caso, me han venido a la cabeza otros planteamientos alternativos a este.

Por ejemplo, utilizando lo explicado en las clases sobre la ecuación de la recta en el plano:

Tomamos el segmento L, como una recta de ecuación explícita: y=mx+n; los puntos A y B son los puntos de corte con los ejes de coordenadas:

 A es donde corta la recta el eje de abcisas, por lo tanto con y=0:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 → 0 = 𝑚𝑋_𝐴+ 𝑛 → 𝑋_𝐴 = −^𝑛

𝑚→ 𝐴(−^𝑛

𝑚, 0)

 B es la ordenada en el origen de la recta, por lo tanto, 𝑌_𝐵 = 𝑛 → B(0,n)

∝1 = 47,40

º

6 Finalmente queda el siguiente triángulo rectángulo:

Sabiendo que 𝑃 ∈ 𝐿 → 90 = 70𝑚 + 𝑛 → 𝑚 =^90−𝑛₇₀

Y por otro lado, aplicando el teorema de Pitágoras: 𝐿²= 𝑛²+ (^−𝑛_𝑚)² Despejado L y poniéndolo en forma de función:

𝐿(𝑚, 𝑛) = √𝑛²+ (^−𝑛_𝑚)² → Tiene que ser maximizada (pero es una función de dos variables).

Como tenemos la relación entre m y n por la pertenencia de P a la recta L, pasamos a tener una función de una única variable, que sí que podré derivar:

𝐿(𝑚) = √𝑛²+ 𝑛² (90 − 𝑛

70 )

2= √𝑛²+ 4900𝑛² (90 − 𝑚)²

Esta es la expresión que voy a derivar. Pero al ser ya una expresión tan grande utilizo la versión de estudiante de MATLAB (TheMathWorks, Inc.), obteniendo como resultado:

𝐿´(𝑚) = 1

√𝑛²+ 4900𝑛² (90 − 𝑚)²

∙−2𝑛⁴+540𝑛³−48600𝑛²+ 2340000𝑛 (90 − 𝑛)³

Anulando la derivada puedo obtener los valores de n que hacen nula la expresión. Obteniendo:

−2𝑛⁴+540𝑛³−48600𝑛²+ 2340000𝑛 = 0 → 𝑛₁= 0 ; 𝑛₂= 166,11

No acepto la solución para n=0 ya que no tiene lógica con el planteamiento de mi problema, ya que la barra estaría horizontal en todo momento y su L máxima sería solo 70cm.

Teniendo el valor de n, calculo el de m con la expresión: 𝑚 =^90−𝑛₇₀ → 𝑚 = −1,087

7

Este valor de m es la pendiente de la recta L. Con lo que puedo aplicar que 𝑚 = 𝑡𝑎𝑛 ∝ , siendo

∝ el ángulo que forma la recta L con el eje x. Por lo tanto:

∝= 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑚 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (−1,087)=132,6º

Resultado totalmente lógico, ya que la pendiente de la recta es negativa, con lo que para poder comparar el resultado de ∝₁ que obtuve con el planteamiento del problema anterior (por subdivisión en dos triángulos rectángulos), debo obtener su ángulo suplementario:

∝₁=∝ +180 º = -132,6 º + 180 º = 47,4 º

Siendo el ángulo el mismo, también lo es la longitud máxima, voy a comprobarlo:

𝐿(𝑚, 𝑛) = √𝑛²+ (^−𝑛_𝑚)² = √(−166,11)²+ (^−166,11_−1,087)² =225,67

La longitud máxima de la lámpara para superar la esquina es de

225,67cm.

Aplicación del Resultado de la optimización

Como he dicho en la introducción, la tienda donde compré las lámparas tiene los precios siguientes en función de unas longitudes estándar de las lámparas:

Medida largo lámpara (cm.) 150 175 200

225

Precio (€) 30 25 22

18

El número de lámparas tenía que ser obligatoriamente de 9. Con lo cual lo que salió más económico fue comprar 9 lámparas de medida 225cm. Que me costaron 18€ x 9 =

162€

8

Conclusiones

Ha sido muy interesar darme cuenta de que la analítica de la recta en el plano y la trigonometría básica se ligan de tal forma que he acabado por entender muy profundamente su relación. Por otro lado, la parte de optimización ha sido también interesante y me ha dado la oportunidad de dominar y tomar soltura con las derivadas y el cálculo de extremos.

También he aprendido a pararme al final de un cálculo e intentar interpretar el resultado. Y pensar si puedo continuar con el procedimiento o hay algún matiz que me hacer tener una solución no lógica, o incoherente, o no aplicable, o que tengo que comprobar, etc.

Al finalizar todas las operaciones trigonométricas y de optimización he podido calcular la longitud máxima de las lámparas. Y he podido comprobar matemáticamente que las lámparas que compramos en su día utilizando un método “try-error” eran las de medida correcta para garantizar el coste mínimo.

Una de las cosas más importantes que he aprendido es que cuando se profundiza mucho en el planteamiento de un problema matemático, se acaba conociéndolo tanto que te salen nuevas formas de planteamiento. Es por ello que lo he resuelto de dos formas distintas. Y fue una satisfacción para mí encontrar resultados exactamente iguales.

He podido comprobar la utilidad real de las matemáticas y ese era uno de los objetivos principales de esta Exploración Matemática. Además mezclando dos partes muy interesantes como son la trigonometría y el cálculos de extremos por derivadas.

He podido tomar contacto, breve pero muy interesante con el programa MATLAB, al menos la parte de cálculo infinitesimal, ya que es un software muy potente y extenso y por lo que he podido leer, aplicable en muchos ámbitos de la ciencia y la técnica.

Creo que esta Exploración me será útil en un futuro, tanto en estudios superiores como en general para aplicar las matemáticas a muchos casos de la vida diaria.

9

Bibliografía

A Guide to MATLAB, 3e: For Beginners and Experienced Users. Hunt / Lipsman / Rosenberg.

Cambridge University Press (2014)

Matemáticas 2º Bachillerato. Rodríguez/Soler/Luna. McGraw-Hill Interamericana de España S.L 3ª ed. (2003)