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1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL

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ACTIVIDAD ACADEMICA: CÁLCULO DIFERENCIAL DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA

UNIDAD Nº 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES

Competencias

Utilizar técnicas de aproximación en procesos numéricos infinitos

Usar las propiedades de los números reales en el cálculo de límites y en la determinación de la continuidad de funciones

Expresar con claridad los conceptos de límites y continuidad

Aplicar las propiedades y conocimientos algebraicos para calcular límites de funciones

1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL

1.1 IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

En el lenguaje informal cuando se menciona la palabra límite, esta se refiere a un valor al cual nunca se debe llegar. En matemáticas, la palabra límite se usa en el contexto de las funciones.

Así, el límite de una función y = f(x) en un punto x=a es el valor real al que tiende la función en puntos muy cercanos a un valor a

1. Considérese la función lineal f(x) = 2x + 1. ¿A qué valor se aproxima la función, cuando x se aproxima al valor 1?

Solución:

Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando x tiende a 1, hay que ver los valores que toma la función f(x) en puntos muy próximos a 1.

Para ello se puede hacer la siguiente tabla de valores:

x 0,5 0,8 0,9 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1 1,5 f(x) 2 2,6 2,8 2,98 2,998 2,9998 3 3,0002 3,002 3,02 3,2 4

Se observa que al tomar valores de x muy próximos a 1, ya sean mayores o menores que él, sus imágenes se aproximan al valor 3. Cuanto mayor es la proximidad de x a 1, mayor es la proximidad de f(x) a 3.

Esto se expresa diciendo que, cuando x tiende a 3, el límite de la función y = 2x + 1 es 7, y se escribe 3

1 2

3

x

xlim

2. Considérese la función

2 x

4

f(x) x2 , analice el valor de la función para valores cercanos a 2

Solución Se elabora una tabla de valores:

x 1,5 1,8 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1 2,5 f(x) 3,5 3,8 3,9 3,99 3,999 3,9999 4,0001 4,001 4,01 4,1 4,5 Se observa que para valores cercanos a 2 por izquierda y por derecha f(x) se aproxima a 4; pero no está definida para x = 4. A pesar de esto el límite es 4.

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

PROGRAMA: INGENIERIAS DE SISTEMAS Y CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

(2)

Luego 4

2 x 2

4 lim x2

x

3. Considérese la función

3 1 ) x x (

f , en valores cercanos a 3 Solución Se construye la tabla de valores:

x 2,5 2,8 2,9 2,99 2,999 2,9999 3 3,0001 3,001 3,01 3,1 3,5 f(x) -2 -5 -10 -100 -1000 -10000 10000 1000 100 10 2 Se observa que en la medida en que x toma valores cercanos a 3 por izquierda y por derecha, f(x), no se aproxima a ningún valor específico, es decir este límite es indeterminado

Luego

3 1 3 x

limx

1.2 DEFINICION DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

2. EVALUACION DIRECTA DE LÍMITES

Evaluar directamente un límite es encontrar el valor que toma f(x) cuando se reemplaza el valor de x por un valor a.

Ejemplo 1: Calcular directamente 2 3 1

2

x x

xlim

Solución

Se reemplaza el valor de x por 2 y se resuelve la operación planteada 1

1 6 4 1 2 3 2 1

3 2

2 2

) ( ) ( x

x

xlim

1 1

2 3

2

x x

xlim

Ejemplo 2: Calcular directamente

2 4

5 3 2

1 x

x lim x

x

Solución Se reemplaza directamente el valor de x por -1:

6 8 2 4

5 1 3 2 1 4

1 5 1 3 2 4

5

3 2 2

1

) ( )

(

) ( ) ( x

x lim x

x , simplificando

3 4 2

4 5 3 2

1 x

x lim x

x

Ejemplo 3: calcular

2

2 4

2 x

lim x

x

Solución Al evaluar directamente:

Se dice que una función f(x) converge, en el punto x = a, hacia el valor L, o que su límite en a es L, cuando para valores cercanos al valor a, los valores de f(x) se aproximan a L.

Se denota por: lim f(x) L

a x

Se lee “el limite de f(x) cuando x tiende a a es igual a L”.

(3)

0 0 0

4 4 2 2

4 2 2

4 2

2 2

) ( x

lim x

x , se obtiene una indeterminación

Cuando se presentan estos casos es necesario observar si el numerador o denominador o ambos son factorizables, con el fin de eliminar los términos que produzcan la indeterminación.

Factorizo el numerador: x2 4 (x 2)(x 2) (diferencia de cuadrados) El denominador no es factorizable. Ahora el límite se transforma

2 2 2

2 4

2 2

2 x

) x )(

x lim ( x

lim x

x

x , se elimina el factor (x+2) y quedaría

) x ( x lim

lim x

x

x 2

2 4

2 2

2

, al evaluar directamente

4 2 2 2

2 4

2 x

lim x

x

TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE Nº 1 Evalúa directamente los siguientes límites

1. 3 2 2 5

1

x x

xlim 2.

6 5

12 2

2 2

0 x x

x lim x

x 3.

2 1 4 2

4

3 x

x lim x

x

4.

1 3

1 2 5 2

2 2 3

1 x x

x x lim x

x 5.

2 12

2 4

2 x

x lim x

x 6.

2 2 5 2 2

2 x

x lim x

x

7.

4 4

2 3

2 2

2 x x

x lim x

x 8.

2

3 8

2 x

lim x

x 9.

1 1 3 3 2

3

1 x

x x lim x

x

10.

1 1

1 x2

lim x

x 11.

3

3 27

3 x

lim x

x 12.

5

4 625

5 x

lim x

x

3. LÍMITES LATERALES

El límite por la izquierda de una función y = f(x), cuando x tiende al valor a, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a a y menores que a. Se escribe lim f(x)

a

x

El límite por la derecha de una función y = f(x), cuando x tiende al valor a, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a a y mayores que a. Se escribe lim f(x)

a

x

RELACIÓN ENTRE EL LÍMITE Y LOS LÍMITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN

El límite de una función y = f(x) en un punto a, existe si y solo si existen los Límites laterales y coinciden:

L ) x ( f lim ) x ( f lim L

) x ( f

lima x a x a

x

Si se verifica esto, y L es un número finito, se dice que la función es convergente.

4. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

1. LIMITE DE UNA CONSTANTE: Si f(x) = c, donde c es una constante, entonces para todo valor de x se cumple que lim f(x) c

a x Ejemplo: 8 8

xlim3 , es evidente que como no hay variable no se puede remplazar nada

(4)

2. LIMITE DE UNA FUNCION LINEAL: Si f(x) = mx+b, donde m y b son constantes, entonces b

a . m b mx lima x

Ejemplo: Calcular 2 3 2 4 3 8 3 11

4

) ( ) x (

xlim

3. LIMITE DE UNA SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES: El límite de una suma o diferencia de funciones es igual a la suma o diferencia de los límites de las funciones.

Simbólicamente: si f(x) y g(x) son funciones tales que Lim f(x) y Lim g(x), existen, entonces:

lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)

a x a

x a

x

Ejemplo: Calcular lim x x

x 5 3 4

2

Solución

Se observa que se trata de limite de una suma, aplicando dicha propiedad se tiene 48 8 40 8 8 5 2 4 2 5 4 5

4

5 3

2 3

2 3

2

) ( ) ( ) ( x lim x

lim x

x

lim x x

x

4. LIMITE DE UN PRODUCTO: El límite de un producto de funciones es igual al producto de los límites de cada una de ellas. Simbólicamente si f(x) y g(x) son funciones tales que

) x ( g lim y ) x ( f

lima x a

x existen, entonces:

lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)

a x a

x a

x

Ejemplo: calcular lim x ) ( x

x 5 3 4

1

Solución

20 4 5 41 1 5 5

4

5 3

1 3

1 3

1

) ) ( x lim x

lim x

( ) x

lim x x

x

5. LIMITE DE UN COCIENTE: El límite de un cociente de funciones es igual al cociente de los límites de cada una de ellas. Simbólicamente si f(x) y g(x) son funciones tales que

) x ( g lim y ) x ( f

lima x a

x existen, entonces:

Ejemplo: Calcular 1 2

7 x lim x

x

Solución

1 7 7 1

1 7 7

7

2 2

1 1

1 2 ( )

) ( x lim

x lim x

lim x

x x x

,

) x ( g lim

) x ( f lim )

x ( g

) x ( lim f

a x

a x a

x Con lim g(x) 0

a x

6. LIMITE DE UN RADICAL: El límite del radical de una función es igual a la raíz del límite de ella.

Simbólicamente: si f(x) es una función y lim f(x)

a

x existe, entonces:

n

a x n

a

xlim f(x) lim f(x)

Ejemplo: Calcular 5 1

2

x

xlim

Solución 3 9 1 10 1 2 5 1 5 1

5

2

2 x lim( x ) ( )

lim x

x

(5)

7. LIMITE DE LA POTENCIA DE UNA FUNCION: El límite de la potencia de una función es igual a la

potencia de su límite k

a x k a

xlim f(x) lim f(x) Ejemplo: calcula 2

1

2 lim 3x

x

Solución

25 5 2 3 2 1 3 2

3 2

3 2 2 2

2 1

2 1

) ( )

x ( lim x

lim x

x

8. LIMITE DE UNA FUNCION CUYO EXPONENTE ES OTRA FUNCIÓN: El límite de una función de este tipo se calcula aplicando el límite a cada función limg(x)

a x ) x ( g a

x

a

) x

x ( f lim )

x ( f lim

Ejemplo: calcular 2 2

3 5 2

0

x x

xlim

Solución

9 3 3

0 3

0 5 3

2 5 32

5 2 0 2 2 0 2 0 2 2

0 2

0

2

2 ( )

xim x

x l ( )

x ( x lim

x

lim ( x )

9. LIMITE DE UN LOGARITMO: El límite del logaritmo de una función es igual al logaritmo de su límite. Simbólicamente: lim log f(x) log lim f(x)

a a x a a

x , si a > 0 y f(x)> 0

TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE N° 2 Calcular los siguientes límites utilizando las propiedades

1. 3 2 2 5

1

x x

xlim 2.

6 5

12 2

2 2

0 x x

x lim x

x 3. lim x x x

x 2 1 2 3

1

4. 5 3 2 1

2 x x

xlim 5. 2 3

3x 3x 2

xlim 6. 3 2 1

1 3 2 x

xlim x x

7. 3 2

2 2x 4x 5

xlim 8. x x

xlim e 2

0

2 9. 2

1

x 3

xlim

10. x

x lim x

x 3

3 2

1

11. 3

2

x

xlim 12.

1 5 4

4 x

lim x

x

5. LIMITES AL INFINITO

En la teoría de límites es importante conocer como se comportan algunas funciones, cuando la variable toma valores cada vez mayores. Por ejemplo analicemos la función

) x x (

f 1

, construyamos la tabla:

x 1 2 5 10 100 1000 10000 100000 1000000 1000000000 f(x) 1 0,5 0,2 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 0,00000001

En la medida en que x toma valores cada vez mayores, f(x) se aproxima a cero, con lo anterior se puede deducir que: 1 0

lim x

x de igual forma 1 0

xlim xa , si a> 0 EVALUACION DE LÍMITES AL INFINITO

(6)

En este caso se tienen en cuenta funciones racionales Ejemplo 1: calcular

x x x

x lim x

x 3 2

3

4 1 2 5

Solución Al evaluar directamente

2 3

3 2

3 3

4

1 2

5 4

1 2 5

) ( ) (

) ( ) ( x x x

x lim x

x se obtiene una indeterminación.

Para evitar esto se divide tanto al numerador como al denominador por la variable de mayor exponente, en este caso por x3.

2 3 2

2 3 2

3 3

2 3 3

3 3 3

3

2 3

3

1 1 4

1 5 2

1 1 4

1 5 2

4

1 2 5

4 1 2 5

x x lim

x lim x

x x x lim x

x x x

x x x

x x

x x

x x lim

x x

x lim x

x x x

x x

1 5 5 0 0 1

0 0 5 1 1 4

1 5 2

4 1 2 5

2 3 2

2 3

3

lim x lim x

lim

lim x lim x

lim x

x x

x lim x

x x

x

x x

x x

Ejemplo 2: Calcular

x x lim x

x

7 3 5 2

Solución

Si se evalúa directamente se obtiene una indeterminación, para evitar esto se factoriza dentro del radical con el fin de eliminar la x del denominador.

x ) ( x

x x

x 2

2

2 3 7

5 7

3

5 (Se saca factor común x2 y luego se divide entre este),luego:

5 0 0 7 5

5 3 7

5 3 7

3 5

7 5 3

7 5 3

7 3 5

2 2

2

2 2

2 2

lim x lim x

lim x )

( x x lim

x lim x

x x ) ( x

x x lim

x ) ( x

x x lim

x lim x

x x

x x

x

x x

x eliminando la x

6. LIMITES TRIGONOMETRICOS a. Limites de la forma

x lim senx

x 0

Recuérdese que por ser funciones trigonométricas, x representa un ángulo por lo general medido en radianes, al evaluar esta función

x ) senx x ( f

x -0,4 -0,2 -0,1 -0,01 -0,001 0 0,0001 0,001 0,01 0,1 0,3 f(x) 0,97 0,99 0,998 0,999 0,9999 1 0,9999 0,999 0,99 0,9 0,985

Se observa que en la medida en que x se aproxima a 0, f(x) se aproxima a 1, Luego 1

0 x

lim senx

x b. Limites de la forma

x x lim cos

x

1

0

Al darle valores a x cercanos a cero, se observa que f(x) se aproxima a cero, luego lim 1 cosx 0

(7)

7. LIMITES EXPONENCIALES

Algunos de los límites exponenciales más utilizados son:

1. e

lim x

x

x

1 1

2. lim x x e

x

1 01

3. x

xlim e

4. x 0

xlim a

5. 1 1

0 x

lim ex

x

Ejemplo: Calcula los siguientes límites

1. x

xlim x 3

0

1

Solución

3 3 1 3

0 3

01 x lim 1 x e e

lim x

x x x

TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE N° 3 Calcula los siguientes límites

1. x x

x lim x

x 2

2 3

7 2.

1 3

2

2

3 x

x lim x

x 3.

1 8 4

1 2

2 4 4

x x

x lim x

x

4. x

x lim x

x

2 3

5. x

x lim x

x

35 3 2 2 6

6.

1 3 x lim x

x

7. 1

2 1 x lim x

x 8.

1 3 2

x lim x

x 9.

x x lim sen

x

2 0

10. x

x lim sen

x 2

5 0

11. x

x lim sen

x 5

3 0

12. x

x lim sen

x

2 0

13. x

x lim cos

x

5 1

0

14.

x x lim cos

x

4 5 5 0

15. 0 2 2

1 x

x lim cos

x

16. x

x

lim x

1

0 1 2 17. x

x

lim x

3

0 1 2 18. x

xlim 1 e

0

19. 0 2

x x x

e

lim e 20. 3 1

0

x / x xlim e

(8)

PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON LIMITES

Son diversas las aplicaciones de los límites en problemas de diferentes áreas. Veamos un ejemplo

Ejemplo: Henry Schultz (1915 – 1929), un reconocido agricultor y economista estadounidense, calculó la función demanda para el maíz:

75 0

130000 p ,

q Donde:

- p es el precio en dólares por bulto

- q es la cantidad de bultos de maíz que se pueden vender al precio p en un año.

a. Estime lim q

p , explique la respuesta b. Estime limq

p 0 , explique la respuesta

Solución a. Por tratarse de un límite infinito, se evalúa como tal lim q

p , es decir

1 0 0 1

000 130 000

130 000

130 075

75 0

75 0

75 0 75

0

, p

, , , , p

p p

p . lim

p p p . p lim

lim . q lim

Esto significa que a medida que se eleva cada vez más el precio por bulto, la demanda baja hacia cero, que es lo que se espera razonablemente de una ecuación de demanda.

b. Al tratar de evaluar este límite limq

p 0

0 000 130 0

000 130 000

130

75 0 75

0 0 0

. .

p lim . q

lim p , ,

p

Se observa que en la medida en que el precio baja a cero, la demanda se dispara sin límite.

RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS CON LIMITES.

1. Si C es el costo total en dólares para producir q unidades de un producto, entonces el costo promedio por unidad C para una producción de q unidades está dado por

q

C C , así la ecuación de costo total es

q

C 5000 6 , entonces 5000 6

C q . Por ejemplo el costo total para una producción de 5 unidades es

$5030 y el costo promedio por unidad en este nivel de producción es de $1006. Encontrando lim C

q ,

demuestre que el costo promedio se aproxima a un nivel de estabilidad. Si el productor aumentara continuamente la producción ¿Cuál es el valor del costo promedio?.

2. Repita el problema anterior cuando el costo fijo es $12.000 y el costo variable está dado por Cv 7q 3. La población P de una ciudad pequeña en t años a partir de ahora se predice será de

2 2

000 000 10

20 (t )

. . P

Encuentre la población a largo plazo, esto es encuentre lim P

t

7. DEFINICION FORMAL DE LÍMITE

(9)

El significado de la expresión lim f(x) L

a

x , se puede

interpretar así: a medida que nos acercamos al valor a por la izquierda, la gráfica se acerca al valor L y cuando nos acercamos por la derecha, la gráfica también se acerca a L, es decir, para un intervalo de ancho 2δ, suficientemente estrecho, existe un intervalo de anchura 2

ε

, suficientemente estrecho, de tal manera que parte del gráfico que está en el intervalo vertical, está también en el intervalo horizontal, excepto quizás para x=0.

8. FUNCIONES CONTINUAS

La idea intuitiva que hay tras la continuidad es que una función es continua, si su gráfica es una línea de un solo trazo, sin saltos. Para garantizar que las cosas ocurren de dicho modo, se empieza exigiendo que en cada punto, la función tenga límite y que éste sea el valor que toma la función en ese punto

Una función f(x) se dice que es continua en x=a, si se verifica que:

1. lim f(x)

a

x exista

2. f(a) exista 3. lim f(x) f(a)

a x

Una función y=f(x) es continua en un intervalo, si es continua en todos los puntos de dicho intervalo DISCONTINUIDADES

Una función y=f(x), se dice que es discontinua en a, si f(x) no es continua en x=a. Cuando una función es discontinua, interesa distinguir dos posibilidades:

Ejemplos

1. Probar que la función definida por

3 1

3 2

x si ,

x si ) ,

x (

f es discontinua en el punto x0= 3

Solución

Para probar la discontinuidad en x0= 3, hay que ver cuál de las tres condiciones de continuidad no se cumple.

En este caso es la primera, ya que no existe el límite de la función cuando x tiende a 3; los límites laterales no coinciden:

2. Probar que la función definida por

3 2

3 1

x si , x

x si ) ,

x (

f es discontinua en el punto x0= 3

Dada la función y = F(x) y los números a y L, se dice que lim f(x) L

a

x ,

si para todo número positivo

ε

, existe un número positivo δ, tal que L

) x (

f <

ε

, siempre que x a< δ

(10)

En este caso existe el límite de la función cuando x tiende a 3, y es 1; los dos límites laterales coinciden:

Sin embargo, la función no está definida en x0 = 3; no existe f (3). Por tanto, la función es discontinua en x0 = 3.

3. ¿Es la función definida por

2 5

2

2 1

x si ,

x si ) x

x (

f discontinua en el punto x0 = 2?

Solución:

Existe el límite de la función cuando x tiende a 2, ya que los dos límites laterales coinciden:

La función está definida para x = 2 y vale 5: f(2) = 5.

Sin embargo, el valor del límite de la función cuando x =2 no coincide con f (2):

CLASIFICACIÓN DE PUNTOS DE DISCONTINUIDAD

Para que una función f(x) sea discontinua o no continua en un punto x0 deberá darse una, al menos, de estas condiciones:

Dependiendo de qué condición se verifique, los puntos en los que una función no es continua se clasifican en puntos de discontinuidad evitable y en puntos de discontinuidad no evitable (o inevitable).

Discontinuidad evitable

Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto x0 cuando, existiendo el límite de la función en éste, no coincide con el valor que toma la función en el punto (caso c):

La discontinuidad se puede evitar asignando a la función, en el punto x0, el valor de su límite.

el que hace la función sea continua en ese punto.

Discontinuidad inevitable

Una función presenta una discontinuidad inevitable en un punto x0 cuando o bien no existe algún límite lateral (caso a) o bien los límites laterales existen pero son distintos (caso b), en cuyo caso no existe el límite.

(11)

Ejemplos:

Solución

f(x) es continua en todos los puntos salvo en x = 3.

La discontinuidad es inevitable.

Solución

La función es continua en todos los puntos salvo en los que se anule el denominador: x = 2

to la discontinuidad en x0 = 2 es evitable. El verdadero valor de la función en x0 = 2 es 4.

Asignando a f(2) el valor 4, la función

es continua en todos los puntos.

Referencias

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