Estabilidad de ecuaciones diferenciales estocásticas lineales anticipativas

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(1)Vol. XV, No 2, Diciembre (2007) Matemáticas: 5164. Matemáticas: Enseñanza Universitaria. c Escuela Regional de Matemáticas Universidad del Valle - Colombia. Estabilidad de ecuaciones diferenciales estocásticas lineales anticipativas Jorge A. León. Norma B. Lozada-Castillo. Alexander S. Poznyak. Cinvestav-IPN. Cinvestav-IPN. Cinvestav-IPN. Recibido Ene. 24, 2007. Aceptado Sept. 5, 2007. Abstract. In this paper we study sucient contitions for the mean square stability and instability of linear stochastic dierential equations in the Skorohod sense (i.e., the involved stochastic integral is dened using the chaos decomposition approach). Here the drift is in the chaos of orden 1 and the diusion is a square integrable deterministic function. In order to obtain our results, it is estimated the L2 -norms of the kernels in the chaos decomposition of the solution.. Keywords: Itô-Wiener chaos decomposition, mean square stability, Skorohod integral MSC(2000): 93E15 , 60H10 Resumen. En el presente trabajo se dan condiciones sucientes para la estabilidad e inestabilidad en media cuadrática de soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas lineales en el sentido de Skorohod (i.e., la integral estocástica involucrada es denida a través de la descomposición en caos de Itô-Wiener). Aquí el coeciente de deriva considerado tiene una descomposición en caos de orden 1, y el de difusión es determinista y cuadrado integrable. El análisis realizado se basa, principalmente, en estimar las normas en L2 de los núcleos en la descomposición en caos de la solución fuerte de dichas ecuaciones.. Palabras y frases claves: Descomposición en caos de Itô-Wiener, estabilidad en media cuadrática, integral de Skorohod 1. Introducción. La palabra estabilidad se origina en el campo de la mecánica, donde al emplear este concepto se caracterizaba el equilibrio de un cuerpo rígido (Magnus [12]). El equilibrio era llamado estable si el cuerpo regresaba a su posición original, habiendo sido perturbado por un ligero movimiento respecto a su posición en reposo. Si el cuerpo después de este desplazamiento tendía hacia una nueva posición, entonces, su equilibrio era llamado inestable. La denición básica de estabilidad de una solución de una ecuación diferencial ordinaria se debe al matemático ruso A. M. Lyapunov (1857-1918), quien en el año 1892 la planteó como parte de su tesis doctoral  Problème Générale de la Stabilité du Mouvement  [11]. La teoría de estabilidad de Lyapunov fue completada por diversos autores. El lector interesado puede consultar Afanasi'ev [1], Hahn [5], Sinha [16], entre otros. En estos trabajos se puede encontrar un extenso estudio para sistemas deterministas (ecuaciones diferenciales ordinarias). Con la evolución de los modelos matemáticos surgieron los modelos estocásticos, para los cuales la estabilidad es una propiedad básica que también fue.

(2) 52. J. León, N. Lozada-Castillo y A. Poznyak. . estudiada con grandes aportaciones ver Kozin [8] . Es importante mencionar que para los sistemas estocásticas no se tiene una denición global del concepto de estabilidad, sino que existen numerosos trabajos en donde se pueden encontrar  diferentes enfoques ver Arnold [3], Has'minskii [6], Kushner [9] . Una excelente recapitulación sobre este tema lo da Kozin en [8]. En la actualidad, el estudio del concepto de estabilidad para sistemas de ecuaciones estocásticas abarca ecuaciones diferenciales estocásticas con saltos markovianos (ver, por ejemplo, Chigansky [4] o Mao [17]), ecuaciones estocásticas con retardos (Rodkina [14], Nosov [15]; entre otros), etc. Los trabajos anteriores hacen alusión a sistemas de ecuaciones estocásticas en el sentido de Itô. Es decir, consideran procesos adaptados a la ltración dada. Sin embargo, el cálculo clásico de Itô no se puede utilizar en el estudio de sistemas anticipativos, en donde el cálculo de variaciones o cálculo de Malliavin es la herramienta fundamental a utilizar. Incluso en el artículo de Alòs y Bonaccorsi [2], en el que se se estudia la estabilidad para un tipo de ecuación estocástica parcial adaptada, se utiliza el cálculo de Malliavin; pero en la literatura no existen textos donde se examine la estabilidad de sistemas de ecuaciones estocásticas no adaptadas hasta donde sabemos. El objetivo principal de este trabajo es dar condiciones sucientes para los conceptos de estabilidad e inestabilidad en media cuadrática de las ecuaciones estocásticas no adaptadas. Dada la complejidad que puede presentar dicho análisis con las herramientas del cálculo de Malliavin se consideró solamente ecuaciones lineales estocásticas en el sentido de Skorohod, con coeciente de difusión determinista y de deriva con descomposición en caos de orden 1. La solución en L2 (Ω × [0, T ]) de dichas ecuaciones fue obtenida por León y Pérez-Abreau [10] analizando su descomposición en caos de Itô-Wiener. Sin embargo para nuestros nes es necesario hacer una estimación más na de la norma L2 de los núcleos en la descomposición en caos de la solución, de la que se puede encontrar en [10] (ver Secciones 3 y 4). El caso presentado se puede generalizar considerando una condición inicial aleatoria, una descomposición en caos mayor a uno del coeciente de deriva o un coeciente de difusión aleatorio; siendo una perspectiva de un trabajo en desarrollo y a futuro. El trabajo es dividido de la siguiente forma. En la Sección 2 se presentarán conceptos básicos referentes a la descomposición en caos de Itô-Wiener, así como las propiedades de la ecuación a considerar. Los resultados principales se presentan en la Sección 3. 2. Preliminares. En esta sección se presentan las deniciones y los resultados básicos que usaremos en este artículo. A lo largo del trabajo se considera un espacio de probabilidad completo.

(3) 53. Estabilidad no adaptada. (Ω, F, P ), donde está denido un movimiento browniano W = {Wt | t ∈ [0, T ]}, y T que puede ser un real positivo o igual a ∞. Si no se supone lo contrario, los resultados enunciados serán válidos para ambos casos de T . Además, en lo que sigue se supone que F es la σ álgebra generadada por W y los conjuntos nulos, es decir, F = σ{Wt | t ∈ [0, T ]} ∨ N (resp. F = σ{Wt | t > 0} ∨ N) para T < ∞ (resp. T = ∞), donde N es la familia de todos los conjuntos de medida cero de Ω. Para n ∈ N, L2 ([0, T ]n ) representa a la familia de funciones cuadrado integrable en [0, T ]n (resp. en Rn+ ), si T ∈ (0, ∞) (resp. T = ∞), con respecto a la medida de Lebesgue. 2.1. Elementos básicos del Cálculo de Malliavin. La siguiente denición dará el concepto central para la descomposición en caos. A saber, la integral múltiple.  Denición 2.1. Sean n ∈ N y f ∈ L2 ([0, T ]n ), entonces, In f es la integral múltiple de f con respecto al movimiento browniano W de orden n, la cual es denida como:. . In f = n! donde. f˜ es. Z. 0. T. Z. sn. ···. 0. la simetrización de. f,. Z. s2. 0. f˜(s1 , ..., sn )dWs1 · · · dWsn. (1). esto es. 1 X f˜(s1 , ..., sn ) = f (sσ(1) , ..., sσ(n) ). n! σ∈Sn. Aquí. Sn. es el grupo de permutaciones del conjunto. {1, ..., n}.. Una propiedad de las integrales múltiples es la siguiente fórmula producto (ver Itô [7]) Z T  In (f )I1 (g) = In+1 (f ⊗ g) + nIn−1 f (s, ·)g(s)ds (2) 0. con (f ⊗ g)(t1 , . . . , tn+1 ) = f (t1 , . . . , tn )g(tn+1 ). La herramienta principal que utilizaremos será la descomposición en caos de Itô-Wiener. Esta descomposición en caos es debida a Wiener [18] y a Itô [7].  Teorema 2.2. Sea F ∈ L2 Ω, F, P . Entonces F tiene una representación en L2 (Ω) de la forma ∞ X F = (EF ) + In (fn ) n=1. con. fn. fn ∈. L2 ([0, T ]n ). Además dicha descomposición es única si todas las funciones. son simétricas..

(4) 54. J. León, N. Lozada-Castillo y A. Poznyak. Al elemento fn ∈ L2 ([0, T ]n ) se le llama núcleo o kernel de orden n. Aquí, EF es la esperanza de la variable aleatoria F.  si u ∈ L2 Ω×[0, T ] entonces se puede encontrar una familia  Particularmente, fn ∈ L2 ([0, T ]n+1 ) | n ≥ 0 , fn simétrica en las primeras n variables, tal que:. ut =. ∞ X. In (fn (·, t)). (3). n=0. para casi toda t ∈ [0, T ], donde I0 (f0 (t)) = f0 (t) = E(ut ). La igualdad (3) en L2 (Ω) permite caracterizar al dominio del operador δ (denotado por Domδ ), utilizando la descomposición en caos de Itô-Wiener, es decir: Denición 2.3. Se dice que el proceso (denotado por. u ∈ Domδ ). u. dado por. (3). es Skorohod integrable. si y sólo si. ∞ X. m=0.  Im+1 fn ∈ L2 (Ω).. En este caso se dene la integral. δ(u). Skorohod como. δ(u) =. de. ∞ X. m=0. u. (4). con respecto a. W,. en el sentido de.  Im+1 fn .. Se puede demostrar (ver Nualart [13]) que (4) implica que ∞  X E δ(u)2 = (m + 1)!kf˜m kL2 ([0,T ]m+1 ) , m=0. por lo que u ∈ Domδ si y sólo si ∞ X. (m + 1)!kf˜m k2L2 ([0,T ]m+1 ) < ∞.. m=0. Aquí || · ||L2 ([0,T ]m ) denota la norma en L2 ([0, T ]m ). La integral de Skorohod es una extensión de la integral de Itô, en el sentido de que si u es un proceso adaptado de L2 (Ω × [0, T ]), entonces u ∈ Domδ y RT δ(u) coincide con la integral de Itô 0 us dWs . Por esto denotaremos a δ(u) como RT 0 us dWs . 2.2. Ecuación estocástica. La siguiente ecuación diferencial estocástica lineal no adaptada es la considerada en nuestro análisis:. dXt = A(t)Xt dt + B(t)Xt dWt , X0 = x con. t ∈ (0, T ]. (5).

(5) Estabilidad no adaptada. 55. • x∈Ry0<T <∞ • A(t) = I1 (at (·)), donde a ∈ L2 ([0, T ]2 ) • B un proceso determinista en L2 ([0, T ]) León y Pérez-Abreu [10] examinan la existencia de una solución de una ecuación más general que (5) debido a que su condición inicial es una variable aleatoria F −medible con descomposición en caos nita. La técnica usada en [10] es suponer que (5) tiene una solucion en L2 (Ω × [0, T ]) e igualar los núcleos del mismo orden en ambos miembros de la ecuación. De esta forma se obtiene un sistema innito de ecuaciones para los núcleos que se resuelve inductivamente. Finalmente se da una estimación de la norma L2 de los núcleos encontrados para vericar que la solucion construida es, en efecto, un proceso en L2 (Ω × [0, T ]). En este artículo necesitamos una estimación mas na (ver Proposición 2.5). Cabe mencionar que un proceso X T ∈ L2 (Ω × [0, T ]) es una solución de la ecuación (5) si AX T ∈ L1 ([0, T ]) para casi toda ω ∈ Ω, 1[0,t] BX T ∈ Domδ y. XtT. =x+. Z. 0. t. A(s)XsT ds. +. Z. 0. T. 1[0,t] (s)B(s)XsT dWs. para t ∈ [0, T ]. Para dar la forma de la solución de (5), denamos lo siguiente Z tZ s  s Ct = exp a (r)B(r) dr ds 0 0 Z t ht (r) = as (r) ds 0  Z T  1 t Y0,T = exp h2t (r) dr . 2 0 También utilizaremos la siguiente notación:. • h⊗m es la m-ésimo producto tensorial de h consigo mismo. • dados un vector (t1 , ..., tm ) ∈ [0, T ]m , y un subconjunto {i1 , ..., ij } de {1, ..., m}, con j < m, i1 < ... < ij , denotaremos al vector (t1 , .., ti1 −1 , ti1 +1 , ..., tij −1 , tij +1 , ..., tm ) por (t̂i1 , ..., t̂ij ). Por [10], donde se usa la fórmula producto (2), la solución X T en L2 (Ω × [0, T ]) de la ecuación (5) tiene la forma. XtT. =. ∞ X. m=0. Im (φtm ). (6).

(6) 56. J. León, N. Lozada-Castillo y A. Poznyak. donde los núcleos φtk son dados de manera inductiva: t φt0 = Ct Y0,T x. n! φtn (t1 , ..., tn ). =. n X. X. (−1)j−1 B ⊗j (ti1 , ..., tij )·. j=1 1≤i1 <i2 <...<ij ≤n. n o · χ{tii ,...,tij ≤t} (n − j)!φtn−j (t̂i1 , ..., t̂ij ) t + Ct Y0,T h⊗n t (t1 , ..., tn )x. (7). con n ∈ N. Los cálculos de la siguiente proposición se presentará en el Apéndice 4, debido a que su demostración es bastante técnica y tediosa. (7). Proposición 2.4. Los núcleos. n! φtn (t1 , ..., tn ) " n Xh t = φ0 j=1. ·h⊗n−j t. X. se pueden reescribir como:. 1≤i1 <i2 <...<ij ≤n. B ⊗j (ti1 , ..., tij ) χ{ti1 ,...,tij ≤t} ·. # i ⊗n (t̂i1 , ..., t̂ij ) + ht (t1 , ..., tn ) ,. n ≥ 1.. (8). Con la proposición anterior se concluye: Proposición 2.5. Sea. XT. la solución de la ecuación. (5),. denida por. (6). y. (7).. Entonces. E [XtT ]2 con. Bt = Bχ[0,t] .. Demostración.. . ≤ |φt0 |2 exp (kBt kL2 ([0,T ]) + kht kL2 ([0,T ]) )2. (9). Por (8) tenemos. n!kφtn kL2 ([0,T ]n ) ( n X t ≤ |φ0 |. X. j=1 1≤i1 <...<ij ≤n. h. kBt kjL2 ([0,T ]) kht kn−j L2 ([0,T ]). n   X n = kBt kjL2 ([0,T ]) kht kn−j L2 ([0,T ]) j j=0  n = |φt0 | kBt kL2 ([0,T ]) + kht kL2 ([0,T ]) .. |φt0 |. . i. +. kht knL2 ([0,T ]). ).

(7) 57. Estabilidad no adaptada. Por la desigualdad anterior se tiene. E [XtT ]2. . =. n=0. n!kφtn k2L2 ([0,T ]). ∞ X kBt kL2 ([0,T ]) + kht kL2 ([0,T ]) t 2 ≤ |φ0 | n!. =. 3. ∞ X. n=0 t 2 |φ0 | exp. 2n.  (kBt kL2 ([0,T ]) + kht kL2 ([0,T ]) )2 .. Estabilidad de las soluciones. Aquí, analizaremos la estabilidad en media cuadrática y en probabilidad débil, así como también la inestabilidad en media cuadrática (i.e., cuando no hay estabilidad) de la solución del sistema (5). Cabe mencionar que la estabilidad que deniremos es con respecto a X T ≡ 0 (i.e., la condicion inicial es cero). Como ya se mencionó, son diversos los enfoques de estabilidad para las ecuaciones estocásticas. Los que usaremos aquí son: Denición 3.1. Considere el sistema 1. Estable en probabilidad débil,. (5).. Se dice que la solución. si para toda. ε>0. y. δ > 0,. XT ≡ 0. existe un. tal que. P {|XtT | > ε} < δ para toda. |x| < r. y para todo. t, T ∈ R+. tales que. 2. Estable en media cuadrática, si para toda. para toda. |x| < r. y para todo. ε>0.  E |XtT |2 < ε. t, T ∈ R+. r≥0. 0 ≤ t ≤ T.. existe un. tales que. es:. r>0. tal que. 0 ≤ t ≤ T.. Observe que en el caso en que el proceso A es adaptado a la ltración generada por W , se tiene que as (r) = 0 para r > s. Por lo tanto, en este caso, la solución X T de (5) es independiente de T y las Deniciones 3.1.1 y 3.1.2 coinciden con las dadas para sistemas adaptados. Por ejemplo, en este caso, tenemos que X ≡ 0 es estable en media cuadrática si para toda ε > 0 existe r > 0 tal que  E |Xt |2 < ε. para toda |x| < r y t > 0. Ahora podemos establecer los resultados principales de este artículo. Teorema 3.2. Supongamos que.

(8) 58. J. León, N. Lozada-Castillo y A. Poznyak. a. b. R∞ 0. R∞ 0. B 2 (s)ds < ∞ . R∞ 0. 2. |as (r)ds|. dr < ∞. (6) de la estable en probabilidad débil.. Entonces la solución. Demostración.. Z. t. B(r). 0. Z. r. t. ecuación. (5). es. estable en media cuadrática. y. Primero notemos que por la desigualdad de Hölder se tiene.  Z a (r)ds dr ≤ s. ∞. 2. B(r) dr. 0. Z ≤. 1/2  Z. ∞. 0. ∞. 2. B(r) dr. 0. <∞. 1/2  Z. Z. ∞. r. ∞. 0. Z. 0. ∞. 2 1/2 |a (r)|ds dr s. 2 1/2 |a (r)|ds dr s. por lo que se concluye que:.  sup exp (kBt kL2 ([0,T ]) + kht kL2 ([0,T ]) )2 < ∞ t<T. y. sup exp t<T. Z t Z 0. 0. s.   Z T  1 as (r)B(r)drds · exp h2t (r)dr < ∞. 2 0. Recordemos que = x ∈ R es la condición inicial de (5), luego dado un ε > 0 se tiene por (9)   E [XtT ]2 ≤ |φt0 |2 exp (kBt kL2 ([0,T ]) + kht kL2 ([0,T ]) )2 " #2 Z t Z s   Z T  1 s 2 = exp a (r)B(r)drds · exp h (r)dr · |X0 | · 2 0 t 0 0 " #  2 · exp (kBt kL2 ([0,T ]) + kht kL2 ([0,T ]) ) <ε. X0T. si |x| es sucientemente pequeña. Por tanto se tiene la estabilidad en media cuadrática. Por otra parte de las desigualdades de Chebychev y Hölder se sigue que la estabilidad en media cuadrática implica la estabilidad en probabilidad débil. Teorema 3.3. La solución. (5). (6) del sistema de ecuaciones estocásticas no adaptada. es inestable en media cuadrática si. Z tZ 0. 0. s. as (r)B(r)drds → ∞. cuando. t → ∞..

(9) 59. Estabilidad no adaptada. Por (6) se tiene. Demostración.. E([XtT ]2 ) =. ∞ X. n=0. de donde.  E [XtT ]2 ≥ |φt0 |2. Es decir. E. n!kφtn k2L2 ([0,T ])n. [XtT ]2. .  Z tZ ≥ exp 2 0. Además observemos que exp. s. 0. RT 0.  Z a (r)B(r)drds exp s. T. 0. . h2t (r)dr. . · x2 .. h2t (r)dr > 1, por lo que se tiene que:.  Z tZ  E [XtT ]2 ≥ exp 2 0. 0. s.  as (r)B(r)drds · x2 .. Así, por nuestra hipótesis, se concluye que la solución (6) del sistema de ecuaciones estocásticas no adaptada (5) no es estable en media cua-drática, es decir, es inestable en media cuadrática. 4. Apéndice. Demostración de la Proposición 2.4.. 1! φt1 (t1 ). =. Observemos que por (7) se tiene. t Ct Y0,T x ht (t1 ) + B(t1 ) χ{t1 <t} 1! φt0. = φt0 ht (t1 ) + B(t1 ) χ{t1 <t} 1! φt0   = φt0 B(t1 ) χ{t1 <t} + ht (t1 ). Es decir, (8) se satisface para k = 1. Procediendo por inducción podemos suponer que la igualdad (8) se cumple para cada natural menor que k con k > 1. Para probar que es también válida para k utilizamos (7) de nuevo para obtener que. k! φtk (t1 , ..., tk ) =. k−1 X. X. (−1)j−1 B ⊗j (ti1 , ..., tij ). j=1 1≤i1 <i2 <...<ij ≤k. n o · χ{ti1 ,...,tij ≤t} (k − j)!φtk−j (t̂i1 , ..., t̂ij ) h i  + (−1)k−1 B ⊗k (t1 , ..., tk ) χ{t1 ,...,tk ≤t} φt0 + φt0 h⊗k t (t1 , ..., tk ).. Para los próximos cálculos, consideremos la siguiente notación en [0, T ]. {s1 , ..., sk−j } = {t1 , ..., tk } \ {ti1 , ..., tij }.

(10) 60. J. León, N. Lozada-Castillo y A. Poznyak. y recordemos que. . Bt⊗j (ti1 , ..., tij ) = B ⊗j (ti1 , ..., tij ) χ{ti1 ,...,tij ≤t} . Retomando los cálculos, por hipótesis inductiva se tiene. k! φtk (t1 , ..., tk ) " k−1 X =. X. j=1 1≤i1 <i2 <...<ij ≤k. +. k−j X. n (t̂i1 , ..., t̂ij ) (−1)j−1 Bt⊗j (ti1 , ..., tij )· φt0 h⊗k−j t. X. ⊗k−(j+l). Bt⊗l (sm1 , ..., sml )ht. (ŝm1 , ..., ŝml ). =1 1≤m1 <...<ml ≤k−j. l. h i + (−1)k−1 Bt⊗k (t1 , ..., tk ) φt0 + φt0 h⊗k t (t1 , ..., tk ),. es decir,. # o. h i k−1 ⊗k (t , ..., t ) + (−1) B (t , ..., t ) k! φtk (t1 , ..., tk ) = φt0 h⊗k 1 1 k k t t " k−1 # X X ⊗(k−j) + (−1)j−1 Bt⊗j (ti1 , ..., tij )φt0 ht (t̂i1 , ..., t̂ij ) j=1 1≤i1 <...<ij ≤k. +. " k−1 X. X. (−1)j−1 Bt⊗j (ti1 , ..., tij ). j=1 1≤i1 <...<ij ≤k. ·. k−j hX l. X. =1 1≤m1 <...<ml ≤k−j. Bt⊗l (sm1 , ..., sml ) ·. i. ⊗k−(j+l) ht (ŝm1 , ..., ŝml ). #. φt0 .. (10). Observemos que, considerando la denición de los elementos {si }, el término l = k − j del último sumando de la igualdad anterior cumple lo siguiente: k−1 X. X. (−1)j−1 Bt⊗j (ti1 , ..., tij ). j=1 1≤i1 <...<ij ≤k. h ·. X. 1≤m1 <...<mk−j ≤k−j. =. Bt⊗k (t1 , ..., tk ). ·. i Bt⊗k−j (sm1 , ..., smk−j ). k−1   hX k j=1. j. (−1)j−1. i. k   hX i k · (−1)j − 1 − (−1)k j. =. (−1)Bt⊗k (t1 , ..., tk ). =. (−1)Bt⊗k (t1 , ..., tk )[0k − 1 − (−1)k ] Bt⊗k (t1 , ..., tk )[1 − (−1)k−1 ].. j=0. =. (11).

(11) 61. Estabilidad no adaptada. Por otra parte, notemos que, para l = k − j − 1, se tiene k−2 X. X. (−1)j−1 Bt⊗j (ti1 , ..., tij ). j=1 1≤i1 <...<ij ≤k. h ·. X. ⊗k−(j+l). 1≤m1 <...<ml ≤k−j. =. k X. Bt⊗l (sm1 , ..., sml ) · ht. ht (tp )Bt⊗k−1 (t̂p ). p=1. =. k X. ht (tp )Bt⊗k−1 (t̂p ) k X. (−1). ht (tp )Bt⊗k−1 (t̂p ). p=1. p=1. k−2 X j=1. = (−1) =. X. i. (−1)j−1. j=1 1≤i1 <...<ij ≤k−1. p=1. k X. k−2 X. (ŝm1 , ..., ŝml ). j−1.   k−1 j. " k−1 Xh j=0. #  i k − 1 (−1)j − 1 − (−1)k−1 j.   ht (tp )Bt⊗k−1 (t̂p ) 1 − (−1)k−2 .. (12). Ahora, tomando (11) y (12) en (10) se tiene h i ⊗k k! φtk (t1 , ..., tk ) = φt0 h⊗k (t , ..., t ) + B (t , ..., t ) 1 1 k k t t " k−1 # X X ⊗(k−j) ⊗j + (−1)j−1 Bt (ti1 , ..., tij )φt0 ht (t̂i1 , ..., t̂ij ) j=1 1≤i1 <...<ij ≤k.  k−2 X  +. X. (−1)j−1 Bt⊗j (ti1 , ..., tij ). j=1 1≤i1 <...<ij ≤k. ·. h k−j−1 X l=1. X. 1≤m1 <...<ml ≤k−j−1. ".  i ⊗(k−(j+l)) Bt⊗l (sm1 , ..., sml ) · ht (ŝm1 , ..., ŝml ) φt0 . ⊗k = φt0 h⊗k t (t1 , ..., tk ) + Bt (ti1 , ..., tij ) +. +. " k−1 X. k X p=1. X. (−1)j−1 Bt⊗j (ti1 , ..., tij )·. X. (−1)j−1 Bt⊗j (ti1 , ..., tij ). j=1 1≤i1 <...<ij ≤k. +. " k−3 X. j=1 1≤i1 <...<ij ≤k. #   ht (tp )B ⊗k (tˆp ) 1 − (−1)k−2 #. ⊗(k−j) φt0 ht (t̂i1 , ..., t̂ij ).

(12) 62. J. León, N. Lozada-Castillo y A. Poznyak. ·. h k−j−2 X l. =1. X. Bt⊗l (sm1 , ..., sml ). 1≤m1 <...<ml ≤k−j. ·. ⊗k−(j+l) ht (ŝm1 , ..., ŝml ). # i t φ0 .. Procediendo como en (11) y (12), consideramos el sumando j = k − q (q ≥ 1) en el segundo término y el l = k − q − j en el último término, para obtener la siguiente recurrencia sobre el índice j : X (−1)k−q−1 Bt⊗k−q (ti1 , ..., tik−q ) · h⊗q t (t̂i1 , ..., t̂ik-q ) 1≤i1 ≤...≤ik−q ≤k. +. h k−q−1 X j=1. ·. X. (−1)j−1 Bt⊗j (ti1 , ..., tij ). 1≤i1 ≤...≤ij ≤k. X. ⊗k−q−j h⊗q (sm1 , ..., smk−q−j ) t (ŝm1 , ..., ŝmk−q−j )Bt. 1≤m1 ≤...≤mk−q−j. =. X. i. Bt⊗k−q (t̂i1 , ..., t̂iq ) h⊗q t (ti1 ,...,tiq ).. 1≤i1 ,...,≤iq ≤k. Así se tiene que (8) también vale para k , lo cual implica el resultado. Este trabajo de investigación de los autores fue parcialmente nanciado por los proyectos CONACyT No. 45684-F, No. 194471 y No. 47048-F. Agradecimientos. Referencias. [1] Afanasi'ev, V. and Kolmanovskii, V. N. B. and Nosov, V. R. : Mathematical Theory of Control Systems Design. Kluwer Academic Publishers, Netherlands, 1996. [2] Alòs, E. and Bonaccorsi, S. : Stability for stochastic partial dierential equations with Dirichlet white-noise boundary conditions. Innite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, Vol. 5, n. 4, 2002, pp. 465-481. [3] Arnold, L. : Stochastic Dierential Equations. John Wiley, Inc., USA, 1974. [4] Chigansky, P. : Stability of the nonlinear lter for slowly switching Markov chains. Stochastic Processes and their Applications, Vol. 116, 2006, pp. 11851194. [5] Hahn, W.: Stability of Motion. Springer-Verlag, New York, 1967. [6] Has'minskii, R. Z. : Stochastic Stability of Diferrential Equations. Sijtho & Noordho International Publishers B.V., Alphen aan den Rijn, The Netherlands Rockville, Maryland, USA, 1980..

(13) Estabilidad no adaptada. 63. [7] Itô, K. : Multiple Wiener integrals. J. Math. Soc. Japan, Vol. 3, 1951, pp. 157-1169. [8] Kozin, F. : A survey of stability of stochastic systems. Automatica, Vol. 5, 1969, pp. 95-112. [9] Kushner H. J. : Stochastic Stability and Control. Academic Press Inc., USA, 1967. [10] León, J. A. and Pérez-Abreu, V. : Strong solutions of stochastic bilinear equations with anticipating drift in the rst Wiener chaos. Stochastic Processes, A Festschirift in Honour of Gopinath Kallianpur, Springer-Verlag, 1993, pp. 235-243. [11] Ljapunov, A. M. : Problème Générale de la Stabilité du Mouvement. Kharkov, Moscow, 1892.Reimpresión, GITTL, 1950. [12] Magnus, Von K. : Zur Entwcklung des Stabilitätsbegries in der Mechanik. Naturwissenschaften, Vol. 46, 1956, pp. 590-595. [13] Nualart, D. : The Malliavin Calculus and Related Topics, Probability and its Applications. Springer-Verlag, 1995. [14] Rodkina, A. : On asymptotic stability of nonlinear sotchastic systems with delay. Cubo, Vol. 7, n. 1, 2005, pp. 23-42. [15] Rodkina, A. and Nosov, V. : On stability of stochastic delay cubic equations. Dynamic Systems and Applications, Vol. 15, n. 2, 2006, pp. 193-203. [16] Sinha and Pradip, K. : Multivariable Control: An Introduction. Marcel Dekker, Inc., 1984. [17] Yuan, Chenggui and Mao, Xuerong. : Asymptotic stability in distribution of stochastic dierential equations with Markovian switching. Stochastic Processes and their Applications, Vol. 103, 2003, pp. 277-291. [18] Wiener, N. : The homogeneous chaos. Amer. Journ. Math., Vol. LV, n. 4, 1938. Dirección de los autores. Jorge A. León.  Departamento de Control Automático, Cinvestav-IPN, Av. IPN 2508,. México D.F., 07360, México. e-mail:. jleon@ctrl.cinvestav.mx. Norma B. Lozada-Castillo.  Departamento de Control Automático, Cinvestav-IPN,. Av. IPN 2508, México D.F., 07360, México. e-mail:. nlozada@ctrl.cinvestav.mx.

(14) 64. J. León, N. Lozada-Castillo y A. Poznyak. Alexander S. Poznyak.  Departamento de Control Automático, Cinvestav-IPN, Av.. IPN 2508, México D.F., 07360, México e-mail:. apoznyak@ctrl.cinvestav.mx.

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