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Distribuciones sim´ etricas

Una variable aleatoria X o, equivalentemente, su distribuci´on, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si

P(X ≤ α + x) = P(X ≥ α − x), ∀x ∈ R.

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Distribuciones sim´ etricas

Una variable aleatoria X o, equivalentemente, su distribuci´on, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si

P(X ≤ α + x) = P(X ≥ α − x), ∀x ∈ R.

Teorema 1: condiciones equivalentes de simetr´ıa

Una variable aleatoria X es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

i) Las variables aleatorias X − α y α − X tienen la misma distribuci´on.

ii) F_X(α + x) = 1 − F_X(α − x) + P (X = α − x), ∀x ∈ R.

Una variable aleatoria X o, equivalentemente, su distribuci´on, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si

P(X ≤ α + x) = P(X ≥ α − x), ∀x ∈ R.

Teorema 1: condiciones equivalentes de simetr´ıa

Una variable aleatoria X es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

i) Las variables aleatorias X − α y α − X tienen la misma distribuci´on.

ii) F_X(α + x) = 1 − F_X(α − x) + P (X = α − x), ∀x ∈ R.

Demostraci´on:

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Distribuciones sim´ etricas

Una variable aleatoria X o, equivalentemente, su distribuci´on, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si

P(X ≤ α + x) = P(X ≥ α − x), ∀x ∈ R.

Teorema 1: condiciones equivalentes de simetr´ıa

Una variable aleatoria X es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

i) Las variables aleatorias X − α y α − X tienen la misma distribuci´on.

ii) F_X(α + x) = 1 − F_X(α − x) + P (X = α − x), ∀x ∈ R.

Demostraci´on:

i) La condici´on de simetr´ıa de la definici´on puede expresarse como

P (X − α ≤ x) = P (α − X ≤ x), ∀x ∈ R,

Una variable aleatoria X o, equivalentemente, su distribuci´on, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si

P(X ≤ α + x) = P(X ≥ α − x), ∀x ∈ R.

Teorema 1: condiciones equivalentes de simetr´ıa

Una variable aleatoria X es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

i) Las variables aleatorias X − α y α − X tienen la misma distribuci´on.

ii) F_X(α + x) = 1 − F_X(α − x) + P (X = α − x), ∀x ∈ R.

Demostraci´on:

i) La condici´on de simetr´ıa de la definici´on puede expresarse como

P (X − α ≤ x) = P (α − X ≤ x), ∀x ∈ R,

lo que significa que las funciones de distribuci´on (y, por tanto, las distribuciones) de las variables X − α y α − X coinciden.

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Distribuciones sim´ etricas

Una variable aleatoria X o, equivalentemente, su distribuci´on, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si

P(X ≤ α + x) = P(X ≥ α − x), ∀x ∈ R.

Teorema 1: condiciones equivalentes de simetr´ıa

Una variable aleatoria X es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

i) Las variables aleatorias X − α y α − X tienen la misma distribuci´on.

ii) F_X(α + x) = 1 − F_X(α − x) + P (X = α − x), ∀x ∈ R.

Demostraci´on:

i) La condici´on de simetr´ıa de la definici´on puede expresarse como

P (X − α ≤ x) = P (α − X ≤ x), ∀x ∈ R,

lo que significa que las funciones de distribuci´on (y, por tanto, las distribuciones) de las variables X − α y α − X coinciden.

ii) Es inmediato sin m´as que tener en cuenta que, de la definici´on de simetr´ıa, F_X(α + x) = P (X ≥ α − x) y P (X ≥ α − x) = 1 − P (X < α − x) = 1 − [P (X ≤ α − x) − P (X = α − x)] . 

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La condici´on de simetr´ıa puede expresarse en t´erminos de la funci´on masa de probabilidad para variables discretas, o de la funci´on de densidad, para variables continuas.

Teorema 2: condici´on de simetr´ıa para variables discretas

Una variable aleatoria discreta, X, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si P (X = α + x) = P (X = α − x), ∀x ∈ R.

Teorema 2: condici´on de simetr´ıa para variables discretas

Una variable aleatoria discreta, X, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si P (X = α + x) = P (X = α − x), ∀x ∈ R.

Demostraci´on:

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La condici´on de simetr´ıa puede expresarse en t´erminos de la funci´on masa de probabilidad para variables discretas, o de la funci´on de densidad, para variables continuas.

Teorema 2: condici´on de simetr´ıa para variables discretas

Una variable aleatoria discreta, X, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si P (X = α + x) = P (X = α − x), ∀x ∈ R.

Demostraci´on:

La demostraci´on es inmediata sin m´as que expresar la condici´on i) del teorema 1 para variables discretas en t´erminos de las funciones masa de probabilidad,

Teorema 2: condici´on de simetr´ıa para variables discretas

Una variable aleatoria discreta, X, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si P (X = α + x) = P (X = α − x), ∀x ∈ R.

Demostraci´on:

La demostraci´on es inmediata sin m´as que expresar la condici´on i) del teorema 1 para variables discretas en t´erminos de las funciones masa de probabilidad,

P (X − α = x) = P (α − X = x), ∀x ∈ R. 

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La condici´on de simetr´ıa puede expresarse en t´erminos de la funci´on masa de probabilidad para variables discretas, o de la funci´on de densidad, para variables continuas.

Teorema 2: condici´on de simetr´ıa para variables discretas

Una variable aleatoria discreta, X, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si P (X = α + x) = P (X = α − x), ∀x ∈ R.

Demostraci´on:

La demostraci´on es inmediata sin m´as que expresar la condici´on i) del teorema 1 para variables discretas en t´erminos de las funciones masa de probabilidad,

P (X − α = x) = P (α − X = x), ∀x ∈ R. 

Teorema 3: condici´on de simetr´ıa para variables continuas

Una variable continua, X, con funci´on de densidad f_X, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si f_X(α + x) = f_X(α − x), ∀x ∈ R.

Teorema 2: condici´on de simetr´ıa para variables discretas

Una variable aleatoria discreta, X, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si P (X = α + x) = P (X = α − x), ∀x ∈ R.

Demostraci´on:

La demostraci´on es inmediata sin m´as que expresar la condici´on i) del teorema 1 para variables discretas en t´erminos de las funciones masa de probabilidad,

P (X − α = x) = P (α − X = x), ∀x ∈ R. 

Teorema 3: condici´on de simetr´ıa para variables continuas

Una variable continua, X, con funci´on de densidad f_X, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si f_X(α + x) = f_X(α − x), ∀x ∈ R.

Demostraci´on:

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La condici´on de simetr´ıa puede expresarse en t´erminos de la funci´on masa de probabilidad para variables discretas, o de la funci´on de densidad, para variables continuas.

Teorema 2: condici´on de simetr´ıa para variables discretas

Una variable aleatoria discreta, X, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si P (X = α + x) = P (X = α − x), ∀x ∈ R.

Demostraci´on:

La demostraci´on es inmediata sin m´as que expresar la condici´on i) del teorema 1 para variables discretas en t´erminos de las funciones masa de probabilidad,

P (X − α = x) = P (α − X = x), ∀x ∈ R. 

Teorema 3: condici´on de simetr´ıa para variables continuas

Una variable continua, X, con funci´on de densidad f_X, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si f_X(α + x) = f_X(α − x), ∀x ∈ R.

Demostraci´on:

Notemos en primer lugar que la condici´on ii) del teorema 1 para variables continuas se expresa como F_X(α + x) = 1 − F_X(α − x), ∀x ∈ R,

Teorema 2: condici´on de simetr´ıa para variables discretas

Una variable aleatoria discreta, X, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si P (X = α + x) = P (X = α − x), ∀x ∈ R.

Demostraci´on:

La demostraci´on es inmediata sin m´as que expresar la condici´on i) del teorema 1 para variables discretas en t´erminos de las funciones masa de probabilidad,

P (X − α = x) = P (α − X = x), ∀x ∈ R. 

Teorema 3: condici´on de simetr´ıa para variables continuas

Una variable continua, X, con funci´on de densidad f_X, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si f_X(α + x) = f_X(α − x), ∀x ∈ R.

Demostraci´on:

Notemos en primer lugar que la condici´on ii) del teorema 1 para variables continuas se expresa como F_X(α + x) = 1 − F_X(α − x), ∀x ∈ R,

de donde, derivando respecto de x, se obtiene la condici´on para la funci´on de densidad.

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La condici´on de simetr´ıa puede expresarse en t´erminos de la funci´on masa de probabilidad para variables discretas, o de la funci´on de densidad, para variables continuas.

Teorema 2: condici´on de simetr´ıa para variables discretas

Una variable aleatoria discreta, X, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si P (X = α + x) = P (X = α − x), ∀x ∈ R.

Demostraci´on:

La demostraci´on es inmediata sin m´as que expresar la condici´on i) del teorema 1 para variables discretas en t´erminos de las funciones masa de probabilidad,

P (X − α = x) = P (α − X = x), ∀x ∈ R. 

Teorema 3: condici´on de simetr´ıa para variables continuas

Una variable continua, X, con funci´on de densidad f_X, es sim´etrica alrededor de un punto α ∈ R si y s´olo si f_X(α + x) = f_X(α − x), ∀x ∈ R.

Demostraci´on:

Notemos en primer lugar que la condici´on ii) del teorema 1 para variables continuas se expresa como F_X(α + x) = 1 − F_X(α − x), ∀x ∈ R,

de donde, derivando respecto de x, se obtiene la condici´on para la funci´on de densidad.

Para demostrar el rec´ıproco notemos que Z t

−∞

f_X(α + x)dx = Z t

−∞

f_X(α − x)dx, ∀t ∈ R,

F_X(α + t) = 1 − F_X(α − t), ∀t ∈ R;

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y aplicando el cambio y = α + x en la primera integral e y = α − x en la segunda, se obtiene F_X(α + t) = 1 − F_X(α − t), ∀t ∈ R;

esto es, la condici´on de simetr´ıa ii) del teorema 1 para variables continuas. 

F_X(α + t) = 1 − F_X(α − t), ∀t ∈ R;

esto es, la condici´on de simetr´ıa ii) del teorema 1 para variables continuas. 

Propiedades de las distribuciones sim´etricas

Si X es una variable aleatoria sim´etrica alrededor del punto α, se tiene:

i) Los momentos centrados en α de orden impar, si existen, son nulos.

ii) Si ∃E[X], entonces E[X] = α.

iii) α es mediana de X.

iv) Si X es unimodal, α es la moda.

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y aplicando el cambio y = α + x en la primera integral e y = α − x en la segunda, se obtiene F_X(α + t) = 1 − F_X(α − t), ∀t ∈ R;

esto es, la condici´on de simetr´ıa ii) del teorema 1 para variables continuas. 

Propiedades de las distribuciones sim´etricas

Si X es una variable aleatoria sim´etrica alrededor del punto α, se tiene:

i) Los momentos centrados en α de orden impar, si existen, son nulos.

ii) Si ∃E[X], entonces E[X] = α.

iii) α es mediana de X.

iv) Si X es unimodal, α es la moda.

Demostraci´on:

F_X(α + t) = 1 − F_X(α − t), ∀t ∈ R;

esto es, la condici´on de simetr´ıa ii) del teorema 1 para variables continuas. 

Propiedades de las distribuciones sim´etricas

Si X es una variable aleatoria sim´etrica alrededor del punto α, se tiene:

i) Los momentos centrados en α de orden impar, si existen, son nulos.

ii) Si ∃E[X], entonces E[X] = α.

iii) α es mediana de X.

iv) Si X es unimodal, α es la moda.

Demostraci´on:

i) Por la condici´on de simetr´ıa i) del teorema 1, las variables aleatorias X − α y α − X tienen la misma distribuci´on y, por tanto, sus momentos, si existen, coinciden.

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y aplicando el cambio y = α + x en la primera integral e y = α − x en la segunda, se obtiene F_X(α + t) = 1 − F_X(α − t), ∀t ∈ R;

esto es, la condici´on de simetr´ıa ii) del teorema 1 para variables continuas. 

Propiedades de las distribuciones sim´etricas

Si X es una variable aleatoria sim´etrica alrededor del punto α, se tiene:

i) Los momentos centrados en α de orden impar, si existen, son nulos.

ii) Si ∃E[X], entonces E[X] = α.

iii) α es mediana de X.

iv) Si X es unimodal, α es la moda.

Demostraci´on:

i) Por la condici´on de simetr´ıa i) del teorema 1, las variables aleatorias X − α y α − X tienen la misma distribuci´on y, por tanto, sus momentos, si existen, coinciden. As´ı,

E[(X − α)^2k+1] = E[(α − X)^2k+1], ∀k ∈ N ∪ {0},

F_X(α + t) = 1 − F_X(α − t), ∀t ∈ R;

esto es, la condici´on de simetr´ıa ii) del teorema 1 para variables continuas. 

Propiedades de las distribuciones sim´etricas

Si X es una variable aleatoria sim´etrica alrededor del punto α, se tiene:

i) Los momentos centrados en α de orden impar, si existen, son nulos.

ii) Si ∃E[X], entonces E[X] = α.

iii) α es mediana de X.

iv) Si X es unimodal, α es la moda.

Demostraci´on:

i) Por la condici´on de simetr´ıa i) del teorema 1, las variables aleatorias X − α y α − X tienen la misma distribuci´on y, por tanto, sus momentos, si existen, coinciden. As´ı,

E[(X − α)^2k+1] = E[(α − X)^2k+1], ∀k ∈ N ∪ {0},

y teniendo en cuenta que E[(α − X)^2k+1] = −E[(X − α)^2k+1], se obtiene que E[(X − α)^2k+1] = 0.

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y aplicando el cambio y = α + x en la primera integral e y = α − x en la segunda, se obtiene F_X(α + t) = 1 − F_X(α − t), ∀t ∈ R;

esto es, la condici´on de simetr´ıa ii) del teorema 1 para variables continuas. 

Propiedades de las distribuciones sim´etricas

Si X es una variable aleatoria sim´etrica alrededor del punto α, se tiene:

i) Los momentos centrados en α de orden impar, si existen, son nulos.

ii) Si ∃E[X], entonces E[X] = α.

iii) α es mediana de X.

iv) Si X es unimodal, α es la moda.

Demostraci´on:

i) Por la condici´on de simetr´ıa i) del teorema 1, las variables aleatorias X − α y α − X tienen la misma distribuci´on y, por tanto, sus momentos, si existen, coinciden. As´ı,

E[(X − α)^2k+1] = E[(α − X)^2k+1], ∀k ∈ N ∪ {0},

y teniendo en cuenta que E[(α − X)^2k+1] = −E[(X − α)^2k+1], se obtiene que E[(X − α)^2k+1] = 0.

ii) Como consecuencia inmediata de i) se tiene que E[X − α] = 0 o, equivalentemente, E[X] = α.

F_X(α + t) = 1 − F_X(α − t), ∀t ∈ R;

esto es, la condici´on de simetr´ıa ii) del teorema 1 para variables continuas. 

Propiedades de las distribuciones sim´etricas

Si X es una variable aleatoria sim´etrica alrededor del punto α, se tiene:

i) Los momentos centrados en α de orden impar, si existen, son nulos.

ii) Si ∃E[X], entonces E[X] = α.

iii) α es mediana de X.

iv) Si X es unimodal, α es la moda.

Demostraci´on:

i) Por la condici´on de simetr´ıa i) del teorema 1, las variables aleatorias X − α y α − X tienen la misma distribuci´on y, por tanto, sus momentos, si existen, coinciden. As´ı,

E[(X − α)^2k+1] = E[(α − X)^2k+1], ∀k ∈ N ∪ {0},

y teniendo en cuenta que E[(α − X)^2k+1] = −E[(X − α)^2k+1], se obtiene que E[(X − α)^2k+1] = 0.

ii) Como consecuencia inmediata de i) se tiene que E[X − α] = 0 o, equivalentemente, E[X] = α.

iii) Haciendo x = 0 en la definici´on de simetr´ıa, P (X ≤ α) = P (X ≥ α).

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y aplicando el cambio y = α + x en la primera integral e y = α − x en la segunda, se obtiene F_X(α + t) = 1 − F_X(α − t), ∀t ∈ R;

esto es, la condici´on de simetr´ıa ii) del teorema 1 para variables continuas. 

Propiedades de las distribuciones sim´etricas

Si X es una variable aleatoria sim´etrica alrededor del punto α, se tiene:

i) Los momentos centrados en α de orden impar, si existen, son nulos.

ii) Si ∃E[X], entonces E[X] = α.

iii) α es mediana de X.

iv) Si X es unimodal, α es la moda.

Demostraci´on:

i) Por la condici´on de simetr´ıa i) del teorema 1, las variables aleatorias X − α y α − X tienen la misma distribuci´on y, por tanto, sus momentos, si existen, coinciden. As´ı,

E[(X − α)^2k+1] = E[(α − X)^2k+1], ∀k ∈ N ∪ {0},

y teniendo en cuenta que E[(α − X)^2k+1] = −E[(X − α)^2k+1], se obtiene que E[(X − α)^2k+1] = 0.

ii) Como consecuencia inmediata de i) se tiene que E[X − α] = 0 o, equivalentemente, E[X] = α.

iii) Haciendo x = 0 en la definici´on de simetr´ıa, P (X ≤ α) = P (X ≥ α). De esta propiedad se deduce que tal pro- babilidad debe ser mayor o igual que 1/2 ya que, de lo contrario, P (X ≤ α) + P (X ≥ α) < 1.

F_X(α + t) = 1 − F_X(α − t), ∀t ∈ R;

esto es, la condici´on de simetr´ıa ii) del teorema 1 para variables continuas. 

Propiedades de las distribuciones sim´etricas

Si X es una variable aleatoria sim´etrica alrededor del punto α, se tiene:

i) Los momentos centrados en α de orden impar, si existen, son nulos.

ii) Si ∃E[X], entonces E[X] = α.

iii) α es mediana de X.

iv) Si X es unimodal, α es la moda.

Demostraci´on:

i) Por la condici´on de simetr´ıa i) del teorema 1, las variables aleatorias X − α y α − X tienen la misma distribuci´on y, por tanto, sus momentos, si existen, coinciden. As´ı,

E[(X − α)^2k+1] = E[(α − X)^2k+1], ∀k ∈ N ∪ {0},

y teniendo en cuenta que E[(α − X)^2k+1] = −E[(X − α)^2k+1], se obtiene que E[(X − α)^2k+1] = 0.

ii) Como consecuencia inmediata de i) se tiene que E[X − α] = 0 o, equivalentemente, E[X] = α.

iii) Haciendo x = 0 en la definici´on de simetr´ıa, P (X ≤ α) = P (X ≥ α). De esta propiedad se deduce que tal pro- babilidad debe ser mayor o igual que 1/2 ya que, de lo contrario, P (X ≤ α) + P (X ≥ α) < 1. Entonces,

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P (X ≤ α) ≥ 1

2 y P (X ≥ α) ≥ 1 2,

y se deduce que el punto α es una mediana de la distribuci´on de X.

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P (X ≤ α) ≥ 1

2 y P (X ≥ α) ≥ 1 2, y se deduce que el punto α es una mediana de la distribuci´on de X.

iv) Supongamos que X es una variable de tipo continuo con funci´on de densidad f_X (de igual forma se razonar´a para variables discretas). Supongamos que la moda es α⁰ 6= α.

y se deduce que el punto α es una mediana de la distribuci´on de X.

iv) Supongamos que X es una variable de tipo continuo con funci´on de densidad f_X (de igual forma se razonar´a para variables discretas). Supongamos que la moda es α⁰ 6= α.

Si α⁰ > α y x = α⁰− α, teniendo en cuenta la condici´on de simetr´ıa para variables continuas, se tiene f_X(α⁰) = f_X(α + x) = f_X(α − x),

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P (X ≤ α) ≥ 1

2 y P (X ≥ α) ≥ 1 2, y se deduce que el punto α es una mediana de la distribuci´on de X.

iv) Supongamos que X es una variable de tipo continuo con funci´on de densidad f_X (de igual forma se razonar´a para variables discretas). Supongamos que la moda es α⁰ 6= α.

Si α⁰ > α y x = α⁰− α, teniendo en cuenta la condici´on de simetr´ıa para variables continuas, se tiene f_X(α⁰) = f_X(α + x) = f_X(α − x),

de donde se deduce que α − x = 2α − α⁰ es tambi´en moda de la distribuci´on, contradiciendo el hecho de que ´esta es unimodal.

y se deduce que el punto α es una mediana de la distribuci´on de X.

iv) Supongamos que X es una variable de tipo continuo con funci´on de densidad f_X (de igual forma se razonar´a para variables discretas). Supongamos que la moda es α⁰ 6= α.

Si α⁰ > α y x = α⁰− α, teniendo en cuenta la condici´on de simetr´ıa para variables continuas, se tiene f_X(α⁰) = f_X(α + x) = f_X(α − x),

de donde se deduce que α − x = 2α − α⁰ es tambi´en moda de la distribuci´on, contradiciendo el hecho de que ´esta es unimodal. De forma similar, si α⁰ < α, se deduce que 2α − α⁰ es tambi´en moda.

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P (X ≤ α) ≥ 1

2 y P (X ≥ α) ≥ 1 2, y se deduce que el punto α es una mediana de la distribuci´on de X.

iv) Supongamos que X es una variable de tipo continuo con funci´on de densidad f_X (de igual forma se razonar´a para variables discretas). Supongamos que la moda es α⁰ 6= α.

Si α⁰ > α y x = α⁰− α, teniendo en cuenta la condici´on de simetr´ıa para variables continuas, se tiene f_X(α⁰) = f_X(α + x) = f_X(α − x),

de donde se deduce que α − x = 2α − α⁰ es tambi´en moda de la distribuci´on, contradiciendo el hecho de que ´esta es unimodal. De forma similar, si α⁰ < α, se deduce que 2α − α⁰ es tambi´en moda.

Consecuentemente, la moda ha de ser α⁰ = α.