Trabajo Fin de Master
MINO
S IMULACIÓN DEL F LUIDO -E STRUCTURA DE LAS V ELAS EN E MBARCACIONES
Autor: Humberto Martínez Barberá Tutores: Leandro Ruiz Peñalver
David Hererro Pérez
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA NAVAL Y OCEÁNICA
ELECCIONES A LA JUNTA DE ESCUELA
COMPOSICIÓN MESA ELECTORAL
Según el Reglamento Marco de Escuelas y Facultades:
Artículo 35. Elección de Representantes.
Punto 4. La Mesa Electoral estará constituida por:
‐ 1 representante de los funcionarios de los cuerpos docentes universitarios.
‐ 1 representante del resto del personal docente e investigador.
‐ 1 representante de los Estudiantes.
‐ 1 representante del PAS.
En Sesión Extraordinaria de la Junta Escuela el día 12‐12‐2012 queda designada la Mesa Electoral para el proceso de renovación de los estudiantes.
1 representante de los funcionarios de los cuerpos docentes universitarios.
Mariano Hernández Albaladejo
1 representante del resto del personal docente e investigador.
José Enrique Gutiérrez Romero 1 representante de los Estudiantes.
Francisco de Borja Martínez Botella 1 representante del PAS.
Vive como si fueras a morir mañana, aprende como si fueras a vivir para siempre.
M. Gandhi Lo realmente importante es no dejar de cuestionarse las cosas.
A. Einstein
Agradecimientos
Un trabajo de esta naturaleza no es posible sin la ayuda o soporte de muchas personas. Me gustaría empezar agradeciendo a mis tutores Dr. Leandro Ruiz Peñalver y Dr. David Herrero Pérez, ya que no soy un alumno fácil. Y a Dr. Jesús Martínez Frutos por echarme una mano en encontrar información para este galimatías de los Elementos Finitos. Y a mis compañeros de la Universidad de Murcia por ser comprensivos en esta andadura, con los que he tenido que intercambiar horarios de clase y de exámenes. Y, cómo no, a mis compañeros Pablo Bernal Polo y Antonio Ruiz Navarro del Grupo de Investigación en Ingeniería Aplicada por su ayuda.
Por último, y no por ello menos importante, reiterar mi agradecimiento a mis padres y hermanos, ya que esto no es un trabajo de un día y todo ha ido sumando. Y agradecer la paciencia a los sufridores directos de este trabajo, Humberto, Héctor y Marina, ya que ellos, a veces, no entienden que sus padres tengan otras ocupaciones, pero siempre están ahí, con las pilas cargadas. Y, como no, a Esther por su paciencia y extrema comprensión. Ahora si que vendrá esa mariscada.
Índice
RESUMEN 10
ABREVIATURAS 12
1. INTRODUCCIÓN 14
2. MODELADO DE LA ESTRUCTURA 16
2.1 ELEMENTOS BARRA 16
2.1.1 ELEMENTOS TIPO TRUSS 16
2.1.2 ELEMENTOS TIPO BEAM 18
2.2 ELEMENTOS PLACA 21
2.2.1 TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS 22
2.2.2 ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS E INTEGRACIÓN NUMÉRICA 24
2.2.3 ELEMENTOS TIPO CST 26
2.2.4 ELEMENTOS TIPO ISO-T3 27
2.2.4.1 Láminas subtipo MR 28
2.2.4.2 Láminas subtipo TLLL 29
3. ANÁLISIS DE LA ESTRUCTURA 31
3.1 ANÁLISIS ESTÁTICO 32
3.1.1 RESOLUCIÓN DIRECTA 32
3.1.2 REPRESENTACIÓN MATRICIAL COMPACTA 33
3.1.3 RESOLUCIÓN ITERATIVA 34
3.1.4 CÁLCULO DE TENSIONES 35
3.2 ANÁLISIS DE VIBRACIONES 36
3.3 ANÁLISIS DINÁMICO 37
3.4 RELAJACIÓN DINÁMICA 39
4. MODELADO DEL FLUIDO 42
4.1. FUERZAS DEBIDAS AL VIENTO 42
4.2. FUERZAS DEBIDAS A LA CORRIENTE 43
4.3. FUERZAS DEBIDAS AL OLEAJE 43
4.4. FUERZAS RESULTANTES 45
5. LA APLICACIÓN MEFBENCH 46
5.1 CARACTERÍSTICAS DE LA APLICACIÓN 46
5.2 ANÁLISIS DE RENDIMIENTO 50
6. EJEMPLOS DE APLICACIÓN 54
6.1. SIMULACIÓN DINÁMICA DE ESTRUCTURA JACKET 54
6.2.2 ANÁLISIS ESTÁTICO DE MAYOR CON SABLES 67
6.2.3 ANÁLISIS DINÁMICO DE MAYOR CON SABLES 70
6.3. SIMULACIÓN DINÁMICA DE SPINNAKER SIMÉTRICO 74
6.3.1 ANÁLISIS ESTÁTICO DE SPINNAKER SIMÉTRICO 76
6.3.2 ANÁLISIS DINÁMICO DE SPINNAKER SIMÉTRICO 79
7. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS 83
8. REFERENCIAS 84
Índice de ilustraciones
Ilustración 1. Diferentes tipos de velas ... 14
Ilustración 2. Numeración local de nodos en un elemento triangular ... 22
Ilustración 3. Elemento triangular con nodos intermedios ... 30
Ilustración 4. Celdas no nulas en matriz de rigidez ... 33
Ilustración 5. Vista del interfaz gráfico de la aplicación MefBench ... 47
Ilustración 6. Exportación de modelos jMEF con jSDN ... 48
Ilustración 7. Ventana de depuración de elementos ... 49
Ilustración 8. Ventanas de matrices propias de un elemento ... 49
Ilustración 9. Ventana de grado de compactación ... 50
Ilustración 10. Ventana de opciones de visualización de campos ... 50
Ilustración 11. Modelado de estructura jacket ... 55
Ilustración 12. Fuerzas totales en jacket ... 56
Ilustración 13. Desplazamientos en nodo superior en jacket ... 57
Ilustración 14. Tensiones de von Misses en un pilote ... 57
Ilustración 15. Simulación de estructura jacket ... 58
Ilustración 16. First 33.7 con mayor y génova ... 59
Ilustración 17. Modelado de vela mayor ... 60
Ilustración 18. Modelo aerodinámico de vela mayor ... 61
Ilustración 19. Curva polar de VPP para First 33.7 ... 61
Ilustración 20. Desplazamientos análisis estático en mayor sin sables (600 dofs) ... 62
Ilustración 21. Desplazamientos análisis DRM en mayor sin sables (600 dofs) ... 63
Ilustración 22. Convergencia del DRM para mayor sin sables (600 dofs) ... 63
Ilustración 23. Desplazamientos análisis DRM y estático en mayor sin sables (600 dofs) ... 64
Ilustración 24. Desplazamientos análisis estático en mayor sin sables (5532 dofs) ... 65
Ilustración 25. Desplazamientos análisis DRM en mayor sin sables (5532 dofs) ... 66
Ilustración 26. Convergencia del DRM para mayor sin sables (5532 dofs) ... 66
Ilustración 27. Desplazamientos análisis DRM y estático en mayor sin sables (5532 dofs) ... 67
Ilustración 28. Desplazamientos análisis estático en mayor con sables (5532 dofs) ... 68
Ilustración 29. Desplazamientos análisis DRM en mayor con sables (5532 dofs) ... 69
Ilustración 30. Convergencia del DRM para mayor con sables (5532 dofs) ... 69
Ilustración 31. Desplazamientos análisis DRM y estático en mayor con sables (5532 dofs) ... 70
Ilustración 32. Modo de vibración propio de mayor con sables ... 71
Ilustración 33. Simulación dinámica de mayor con sables ... 72
Ilustración 34. Evolución temporal dinámica en mayor con sables ... 73
Ilustración 35. First 33.7 con mayor y spinnaker simétrico ... 74
Ilustración 36. Modelado de spinnaker simétrico ... 75
Ilustración 37. Modelo aerodinámico de spinnaker simétrico ... 76
Ilustración 38. Desplazamientos análisis estático en spinnaker simétrico ... 77
Ilustración 39. Desplazamientos análisis DRM en spinnaker simétrico ... 78
Ilustración 40. Convergencia del DRM para spinnaker simétrico ... 78
Ilustración 41. Desplazamientos análisis DRM y estático en spinnaker simétrico ... 79
Ilustración 42. Modo de vibración propio de spinnaker simétrico ... 80
Ilustración 43. Simulación dinámica de spinnaker simétrico ... 81
Ilustración 44. Evolución temporal dinámica en spinnaker simétrico ... 82
Resumen
Este trabajo presenta un estudio de los elementos necesarios para modelar las formas que adoptan las velas de una embarcación cuando están sujetas a la acción del viento. Esto se consigue mediante el uso de diversos modelos de elementos finitos, tanto barra como placa, así como técnicas de resolución estática y dinámica, acompañadas del uso de análisis de vibraciones y relajación dinámica. Además, se han estudiado e implementado diversas técnicas heurísticas para modelar el fluido en el que trabajan las velas.
Todas estas técnicas y elementos se han implementado en un software general de elementos finitos, MefBench, y con él se han realizado diversos análisis dinámicos para simular como trabajan diversas estructuras. Entre otras se han simulado una estructura offshore tipo jacket, una vela mayor y un spinnaker simétrico.
Abstract
This work presents a study of the different elements that are needed for modelling the flying shape of sails in a sailing vessel when they are acting under wind action. This is achieved using different finite element models, both beams and plates, as well as static and dynamic solvers, with the help of vibration analysis and dynamic relaxation techniques. Moreover, some heuristic techniques, which calculate the action of fluid on sails, have been studied.
All these techniques and elements have been implemented in a general finite element software, named MefBecnh, which has been used for the dynamic analysis and simulation of different structures. Among them, these simulations include a jacket-type offshore structure, a mainsail, and a symmetrical spinnaker.
Abreviaturas
DRM Dynamic Relaxation Method PCG
CCW CFD GPU CST LST CSR AWA AWS IMS
Preconditioned Conjugate Gradient Counter Clock-Wise
Computational Fluid Dynamics Graphics Processing Unit Constant Strain Triangle Linear Strain Triangle Compressed Sparse Row Apparent Wind Angle Apparent Wind Speed
International Measuring System
1. Introducción
En la actualidad el diseño de estructuras de muy baja relación espesor-superficie está relativamente bien estudiado, pero sigue siendo un problema muy complejo. A este tipo de estructuras pertenecen las velas de una embarcación, por ejemplo mayores y génovas. Además, si el módulo elástico es bajo y el material no es isotrópico, esto supone un problema aún mayor, que es la situación que se da en el modelado de velas portantes de proa, por ejemplo spinnakers simétricos y asimétricos. En la Ilustración 1 se muestran diversos tipos de velas del fabricante North Sails.
Génova
Mayor
Asimétrico código A2
Simétrico código S2 Ilustración 1. Diferentes tipos de velas
Cuando además de analizar la estructura de forma estática, queremos saber cómo se comporta cuando le afectan cargas variables, esto es, un análisis dinámico, el nivel de complejidad es todavía mayor. En el caso de las velas, ocurre una circunstancia que complica todavía más el problema, y es que las velas trabajan inmersas en un fluido, y la propia deformación de la vela modifica las condiciones de contorno del fluido. En este tipo de problemas se da lo que se denomina interacción fluido-estructura.
Desde el punto de vista científico este es un problema muy complejo y aún muy abierto. Sin embargo, ya se han realizado trabajos importantes en estos casos, como son lo de (Renzsch, Muller, & Graf, 2008) y (Graf & Müller, 2009) (Lombardi, Parolini, Quarteroni, & Rozza, 2012).
Estos casos con procesos iterativos donde en cada paso se realiza: a) un análisis estático mediante elementos finitos de la estructura, teniendo en cuenta las fuerzas estimadas previamente; b) una modificación de las condiciones de contorno del fluido, teniendo en cuenta la geometría deformada de la estructura; y c) un cálculo mediante CFD (Tu, Yeoh, & Liu, 2012) de las fuerzas que afectan a la estructura deformada. Cada una de las etapas de este proceso requieren una alta
capacidad de procesamiento, por lo que las soluciones a este tipo de problemas requieren un tiempo bastante elevado.
El enfoque inicial era estudiar y reproducir los resultados anteriores, utilizando software comercial. Sin embargo, esto sólo es posible para algunos de los pasos de las etapas anteriores, debido a la naturaleza de la estructura. En particular debido a la dificultad de calcular lo que se conoce como flying shape de un spinnaker, la forma que adopta la vela cuando le afecta la acción del viento, ya que estas están restringidas de movimiento en sólo tres puntos (correspondientes a los puños de escota, driza y amura).
Como el objetivo último de un Trabajo Fin de Master es aplicar los conocimientos adquiridos para resolver un problema, o adquirir otros nuevos relacionados, este se ha planteado de esta segunda forma. Debido a la gran complejidad del tema, se plantean una serie de simplificaciones que permiten que los resultados sigan siendo realistas, aunque sin pretender que capturen al 100% los fenómenos físicos subyacentes. En este sentido se han tomado las siguientes decisiones:
• Modelar las velas con materiales isotrópicos
• Modelar los fluidos mediante ecuaciones empíricas
• Modelar las estructuras mediante elementos finitos
La primera decisión no es crítica, ya que muchos autores hacen algo parecido (Lombardi, Parolini, Quarteroni, & Rozza, 2012). El modelado de fluidos mediante ecuaciones empíricas se utiliza a menudo en el análisis de sistemas dinámicos para poder disminuir la complejidad total de los cálculos, como por ejemplo en el análisis de estructuras offshore tipo jacket (Ali, Al-Kadhimi, &
Shaker, 2012).
Las dos anteriores simplificaciones han permitido centrar el grueso del estudio en la implementación completa del código estructural, tanto la parte estática como la dinámica. Esto ha requerido una enorme carga de trabajo, lo que ha motivado la simplificación de la parte relacionada al fluido. A cambio se ha desarrollado un software que por un lado abre en el futuro numerosas posibilidades de extensión e integración, y por otro puede ser utilizado de forma didáctica, ya que expone buen número de las interioridades del cálculo mediante elementos finitos, y, además, es relativamente sencillo de utilizar.
Con estas premisas se ha definido el objeto principal del trabajo la simulación dinámica de velas, de forma lo más realista posible. Para ello se establecen los siguientes objetivos:
• Estudio en profundidad del método de los elementos finitos, en particular los elementos barra y placa, así como los métodos de análisis.
• Implementación de un software de elementos finitos, versátil, y que contenga diferentes métodos de análisis
• Realización de diversas simulaciones para comprobar la calidad de los resultados
2. Modelado de la Estructura
En este apartado se van a describir los elementos más importantes que se han implementado.
Como las estructuras con las que se van a trabajar son de naturaleza tridimensional, se describen elementos, tanto barra como plancha, que se pueden orientar en tres dimensiones. También se han implementado versiones de algunos elementos en dos dimensiones, que no se van a describir, y para los que la formulación es básicamente una versión reducida y con menos grados de libertad que los tridimensionales.
2.1 Elementos barra
Los elementos tipo barra son aquellos en los que dos dimensiones son mucho menores que una tercera. Se caracterizan por tener una sección (forma de las dos dimensiones menores) y una longitud, la de la dimensión mayor. Desde el punto de vista de la geometría, estos elementos son unidimensionales. Con este tipo de elementos se pueden modelar una gran diversidad de objetos, tales como: cables, cabos en tensión, pilotes, refuerzos, etc.
2.1.1 Elementos tipo TRUSS
El primer elemento que se ha considerado, y posteriormente se ha desarrollado, son los de tipo TRUSS lineales, también conocidos como pin-jointed frames, y que se pueden utilizar para modelar estructuras tipo jacket. La simplificación principal que se realiza con estas estructuras es que sólo trabajan a compresión o tracción a lo largo de su eje principal (Rao, 2005). Con esta simplificación se tienen 3 grados de libertad por nodo, y por lo tanto 6 grados de libertad por elemento. Como se verá más adelante, esta simplificación es muy conveniente desde el punto de vista del cálculo, aunque, sin embargo, no puede modelar las deformaciones debidas a la flexión, que no son muy grandes en el caso estático en este tipo de estructuras, pero si lo son en el caso dinámico.
Las matrices utilizadas en los cálculos se muestran a continuación. La matriz de transformación de coordenadas (2x6) es la siguiente:
𝜆 = 𝑙!" 𝑚!" 𝑛!"
0 0 0
0 0 0
𝑙!" 𝑚!" 𝑛!"
donde lij, mij y nij son los cosenos directores del elemento. En el caso de este tipo de elementos se calculan de forma muy sencilla (Rao 2005):
𝑙!" =𝑥!− 𝑥!
𝑙 𝑚!" = 𝑦! − 𝑦!
𝑙 𝑛!" = 𝑧!− 𝑧! 𝑙
donde l es la longitud del elemento, y las xk, yk y zk las coordenadas de los nodos del elemento.
La matriz de rigidez local (2x2) tiene la siguiente expresión:
𝑘(!) = 𝐴𝐸 𝑙
1 −1
−1 1
donde A es el área de la sección del elemento y E es el módulo de Young del material. La matriz de rigidez global (6x6) se calculará de la forma:
𝐾(!) = 𝜆 !∙ 𝑘(!) ∙ 𝜆
La matriz consistente de masas (6x6), tanto local como global, tiene la siguiente expresión:
𝑀(!) = 𝑚(!) =𝜌𝐴𝑙 6
2 0 0 0 2 0 0 0 2
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 1
2 0 0 0 2 0 0 0 2
donde ρ es la densidad del material. Se utilizan las matrices consistentes, en lugar de las concentradas, debido a que caracterizan mejor la estructura. Tienen el inconveniente de que su representación mediante matrices sparse en grandes estructuras ocupa más memoria (Smith &
Griffiths, 2006; Rao, 2005).
La matriz consistente de fuerzas (6x1) debidas al peso propio de la estructura tiene la siguiente expresión:
𝐹(!) =𝜌𝐴𝑙
2 0 0 1 0 0 1 !
Finalmente, el vector de desplazamientos (6x1), que es lo que se quiere calcular, tendrá la siguiente forma:
𝑈(!) = 𝑢!! 𝑢!" 𝑢!" 𝑢!" 𝑢!! 𝑢!" !
Una vez obtenida la matriz de desplazamientos, se desensamblan las matrices de desplazamientos globales de los distintos elementos. Para el caso de este tipo de elementos, debido a que sólo hay esfuerzos de tracción y compresión, el cálculo de la tensión es directo:
𝜎! = 𝐸
𝑙! (𝑥! − 𝑥!) 𝑢!!− 𝑢!! + (𝑦!− 𝑦!) 𝑢!! − 𝑢!! + (𝑧!− 𝑧!) 𝑢!! − 𝑢!!
donde l es la longitud del elemento, los xk, yk y zk las coordenadas de los nodos del elemento, y los umn son las componentes de la matriz de desplazamientos. El tensor de tensiones del elemento (3x1) tendrá la siguiente forma:
𝜎(!) = 𝜎! 0 0 !
2.1.2 Elementos tipo BEAM
Una vez modelada satisfactoriamente la estructura con elementos TRUSS, se ha procedido a realizar el modelado mediante elementos tipo BEAM lineales, también conocidos como space frames. En estos casos se utiliza una simplificación similar a las barras de Timoshenko, y se tiene compresión y tracción a lo largo del eje principal, torsión respecto al eje principal, y flexión en los dos ejes secundarios (Rao, 2005). Con estas premisas se tienen 6 grados de libertad por nodo, y por lo tanto 12 grados de libertad por elemento. Esto, obviamente incrementa el coste computacional del elemento (tanto en forma de tiempo de proceso y memoria), pero produce unos resultados mucho más cercanos a la realidad en el caso dinámico, ya que según la combinación de fuerzas, la torsión y flexión pueden ser importantes.
Las matrices utilizadas en los cálculos se muestran a continuación. La matriz de transformación reducida de coordenadas (3x3) es la siguiente:
𝜆 =
𝑙!" 𝑚!" 𝑛!"
𝑙!" 𝑚!" 𝑛!"
𝑙!" 𝑚!" 𝑛!"
donde lo, mo y no son los cosenos directores del elemento. En el caso de este tipo de elementos el cálculo de los mismos es más complejo (Rao, 2005):
𝑙!" =𝑥!− 𝑥!
𝑙 𝑚!" =𝑦!− 𝑦!
𝑙 𝑛!" =𝑧!− 𝑧! 𝑙 𝑑 = 𝑙!"! + 𝑛!"!
𝑙!" = −𝑛!"
𝑑 𝑚!" = 0 𝑛!" = 𝑙!"
𝑑 𝑙!" = −𝑙!"∙ 𝑚!"#
𝑑 𝑚!! = −𝑛!"! + 𝑙!"!
𝑑 𝑛!" = −𝑚!"∙ 𝑛!"
𝑑
donde l es la longitud del elemento. En el caso de que las secciones de los elementos no sean circulares, esta matriz anterior hay multiplicarla por la rotación de los ejes secundarios del elemento respecto a los ejes locales. En este caso, al no aplicarse, dicha rotación no se calcula.
La matriz de transformación de coordenadas (12x12) es la siguiente:
𝜆 =
𝜆 0 0 𝜆
0 0 0 0 0 0
0 0 𝜆 0
0 𝜆
El cálculo de la matriz de rigidez es bastante más complejo que en el caso anterior, por lo que se calculan primero las submatrices correspondientes a los distintos tipos de deformaciones. La matriz de rigidez local debida a desplazamiento axial (2x2) tiene la siguiente expresión:
𝑘!(!) =𝐴𝐸 𝑙
1 −1
−1 1
La matriz de rigidez local debida a torsión (2x2) tiene la siguiente expresión:
𝑘!(!) =𝐺𝐽 𝑙
1 −1
−1 1
donde G es el módulo de elasticidad transversal del material, y J es el momento de inercia polar de la sección del elemento. El módulo de elasticidad transversal para un material isotrópico se calcula:
𝐺 = 𝐸
2(1 + 𝜈)
donde ν es el coeficiente de Poisson del material. La matriz de rigidez local debida a flexión en el plano XY (4x4) tiene la siguiente expresión:
𝑘!"(!) =𝐸𝐼!!
𝑙!
12 6𝑙
6𝑙 4𝑙! −12 6𝑙
−6𝑙 2𝑙!
−12 −6𝑙
6𝑙 2𝑙! 12 −6𝑙
−6𝑙 4𝑙!
donde Izz es el momento de inercia de la sección respecto al eje Z. La matriz de rigidez local debida a flexión en el plano XZ (4x4) tiene la siguiente expresión:
𝑘!"(!) = 𝐸𝐼!!
𝑙!
12 6𝑙
6𝑙 4𝑙! −12 6𝑙
−6𝑙 2𝑙!
−12 −6𝑙
6𝑙 2𝑙! 12 −6𝑙
−6𝑙 4𝑙!
donde Iyy es el momento de inercia de la sección respecto al eje Y. Para el caso de un elemento de sección anular, como se da en los miembros de las estructuras que se están considerando, los módulos de inercia se calculan de la forma:
𝐼!! = 𝜋(𝑟!!− 𝑟!!)
4 𝐼!! = 𝜋(𝑟!!− 𝑟!!)
4 𝐽 =𝜋(𝑟!!− 𝑟!!)
2
donde r1 y r2 son los radios exterior e interior de la sección respectivamente.
La matriz de rigidez local (12x12) se ensambla utilizando las filas/columnas de las distintas submatrices con la siguiente numeración:
𝑘!(!) ≡ 1 7 𝑘!(!) ≡ 4 10 𝑘!"(!) ≡ 2 6 8 12 𝑘!"(!) ≡ 3 5 9 11 La matriz de rigidez global (12x12) se calculará de la forma:
𝐾(!) = 𝜆 !∙ 𝑘(!) ∙ 𝜆
La matriz consistente de masas local (12x12) tiene la siguiente expresión. Para su mejor representación, solo se presenta la matriz simétrica inferior:
𝑚! = 𝜌𝐴𝑙 1 3 0 13
35 0 0 13
35
0 0 0
0 0 −11
210𝑙 0 11
210𝑙 0 𝐽 3𝐴
0 𝑙! 105 0 0 𝑙! 1 105
6 0 0
0 9 70 0
0 0 9
70
0 0 0
0 0 13
420𝑙 0 −13
420𝑙 0
0 0 0
0 0 13
420𝑙 0 −13
420𝑙 0 𝐽
6𝐴 0 0
0 −𝑙! 140 0 0 0 −𝑙!
140 1 3 0 13
35 0 0 13
35
0 0 0
0 0 11
210𝑙 0 −11
210𝑙 0 𝐽 3𝐴
0 𝑙! 105 0 0 𝑙!
105
La matriz consistente de masas global (12x12) se calculará de la forma:
𝑀(!) = 𝜆 !∙ 𝑚(!) ∙ 𝜆
La matriz consistente de fuerzas (12x1) debidas al peso propio de la estructura tiene la siguiente expresión:
𝐹(!) =𝜌𝐴𝑙
2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0!
Finalmente, la el vector de desplazamientos (12x1), que es lo que se quiere calcular, tendrá la siguiente forma:
𝑈(!)= 𝑢!! 𝑢!" 𝑢!" θ!" θ!" θ!" 𝑢!" 𝑢!! 𝑢!" θ!" θ!" θ!" !
El cálculo del tensor de tensiones es más complejo que para el caso de los elementos tipo TRUSS, debido que hay que considerar también esfuerzos de flexión y torsión. En este tipo de elementos, la aplicación de las ecuaciones de Lamé no es directa, por lo que se hace uso de la teoría de barras unidimensional, y se calculan las tensiones máximas debidas a esfuerzos axiales y de flexión (Leet
& Uang, 2006), asumiendo flexión pura y simétrica:
𝜎! = 𝐸
𝑙! 𝑥!− 𝑥! 𝑢!!− 𝑢!! + 𝑦!− 𝑦! 𝑢!!− 𝑢!! + 𝑧! − 𝑧! 𝑢!!− 𝑢!!
+ 𝐸 ∙ θ!!− θ!! ∙𝑤
𝑙 + 𝐸 ∙ θ!!− θ!! ∙ℎ 𝑙
𝜏!" = 𝐸 ∙θ!!− θ!!
𝑙! ∙𝑎 2∙ 𝑤
2ℎ 𝜏!" = 𝐸 ∙θ!!− θ!!
𝑙! ∙𝑎 2∙ ℎ
2𝑤
donde w y h son las distancias máximas de las fibras exteriores al eje neutro de la sección, en sentido horizontal y vertical respectivamente. El tensor de tensiones del elemento (6x1) tendrá la siguiente forma:
𝜎(!) = 𝜎! 0 0 𝜏!" 0 𝜏!" !
2.2 Elementos placa
Los elementos tipo placa son aquellos en los que una dimensión es mucho menor que las otras dos. Se caracterizan por tener un espesor, tamaño de la dimensión menor, y un área, forma de las dos dimensiones mayores. Desde el punto de vista de la geometría, estos elementos son bidimensionales. Con este tipo de elementos se pueden modelar una gran diversidad de objetos, tales como: planchas, refuerzos, velas, etc. Aunque se han implementado diversos tipos de elementos placa, se van a describir aquellos cuyo aplicación a la deformación de velas es más útil o práctico. Tienen en común todos estos elementos implementados el ser de naturaleza triangular.
Los de primer orden o lineales constan de 3 nodos, mientras que los de segundo orden o cuadráticos constan de 6 nodos. La numeración de los nodos de dichos triángulos, tanto en coordenadas locales como globales, seguirán el modelo CCW (Counter Clock-Wise) con sentido contrario al de las agujas del reloj. Es importante la utilización del sentido correcto, ya que de lo contrario las normales tendrán distinta orientación, y los resultados no serán correctos. En la se muestra la numeración local de los nodos, los ángulos y las aristas de un elemento triangular. Es importante destacar que según la transformación de coordenadas que se muestra en la siguiente sección, el ángulo θ2 = -90º.
Ilustración 2. Numeración local de nodos en un elemento triangular
2.2.1 Transformaciones de coordenadas
Para las transformaciones que se van a estudiar asumiremos que las coordenadas de los nodos se encuentran dispuestas de forma correlativa (siguiendo la numeración CCW de los nodos) en un vector P de la forma:
𝑃(!) = 𝑥! 𝑦! 𝑧! … 𝑥! 𝑦! 𝑧! … 𝑥! 𝑦! 𝑧! … !
donde los puntos suspensivos indican que pueden haber más celdas que corresponden a las rotaciones o no. En cualquier caso, estas celdas no se utilizan para las transformaciones de coordenadas. Aunque estas transformaciones se van a particularizar para elementos triangulares, las mismas se pueden utilizar para elementos con mayor número de aristas, con tal de utilizar los tres primeros vértices consecutivos. La forma en la que se va a trabajar es la siguiente: se calcula a partir de este vector P una matriz de transformación reducida, para posteriormente ensamblar la misma en una matriz de transformación de coordenadas donde tendremos una submatriz por cada nodo.
La matriz de transformación reducida de coordenadas (3x3) se formula de la siguiente forma:
𝜆 =
𝑙!" 𝑚!" 𝑛!"
𝑙!" 𝑚!" 𝑛!"
𝑙!" 𝑚!" 𝑛!"
donde los distintos componentes de la matriz se calculan como se describen a continuación (Rao, 2005). Se calcula la longitud de las aristas 12 y 13 de la forma:
𝑑!"= 𝑥!− 𝑥! !+ 𝑦!− 𝑦! !+ 𝑧!− 𝑧! ! 𝑑!"= 𝑥!− 𝑥! !+ 𝑦!− 𝑦! !+ 𝑧!− 𝑧! ! Se calcula ahora los cosenos directores para el eje OY de la forma:
𝑙!"= 𝑥!− 𝑥!
𝑑!" 𝑚!"= 𝑦!− 𝑦!
𝑑!" 𝑛!"= 𝑧!− 𝑧! 𝑑!"
Se calcula ahora los cosenos directores para el eje OX de la forma:
𝑑!"= 𝑙!"∙ 𝑥!− 𝑥! + 𝑚!"∙ 𝑦!− 𝑦! + 𝑛!"∙ 𝑧! − 𝑧! 𝑑!"= 𝑑!"!− 𝑑!"!
𝑙!"= 𝑥!− 𝑥! + 𝑙!"∙ 𝑑!"
𝑑!" 𝑚!" =𝑦!− 𝑦!+ 𝑚!"∙ 𝑑!"
𝑑!" 𝑛!" =𝑧!− 𝑧!+ 𝑛!"∙ 𝑑!"
𝑑!"
Por último se calcula el vector n normal a la superficie, y se calculan los cosenos directores para el eje OZ, realizando el producto cruz de los vectores de las aristas 12 y 13, de la forma:
𝑒!"= 𝑥! 𝑦! 𝑧! − 𝑥! 𝑦! 𝑧! 𝑒!" = 𝑥! 𝑦! 𝑧! − 𝑥! 𝑦! 𝑧! 𝑛 = 𝑒!"×𝑒!"
𝑙!"= 𝑛! 𝑚!" = 𝑛! 𝑛!"= 𝑛!
La matriz de transformación de coordenadas para un elemento triangular con 3 grados de libertad por nodo (9x9) se construye de la siguiente forma:
𝜆 = 𝜆 0 0
0 𝜆 0 0 0 𝜆
La matriz de transformación de coordenadas para un elemento triangular con 6 grados de libertad por nodo (18x18) se construye de la siguiente forma:
𝜆 =
𝜆 0 0 0 𝜆 0 0 0 𝜆
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
𝜆 0 0 0 𝜆 0 0 0 𝜆
Para transformar el vector P de coordenadas globales al vector Pl de coordenadas locales se utiliza la matriz de transformación de la siguiente forma:
𝑃!(!) = 𝜆 ∙ 𝑃(!)
Es importante destacar que esta transformación invierte el sentido de la numeración de nodos, por lo que para preservar el sentido CCW, se debe utilizar el vector reordenado definido de la forma:
𝑃(!) = 𝑥! 𝑦! 𝑧! … 𝑥! 𝑦! 𝑧! … 𝑥! 𝑦! 𝑧! … !
2.2.2 Elementos isoparamétricos e integración numérica
Loe elementos finitos isoparamétricos se basan en la definición parametrizada tanto de las funciones de coordenadas y desplazamientos. De esta forma se utilizan las mismas funciones de forma tanto para la especificación de la forma del elemento como para la interpolación del campo de desplazamientos. Se pueden definir elementos isoparamétricos con diferentes geometrías (triángulos, cuadriláteros, etc) y con diferente orden (lineales, cuadráticos). Aunque se han implementado diferentes combinaciones de geometría y orden, se describirán únicamente los elementos triangulares lineales.
La matriz deformación-desplazamiento (Nikishkov, 2010) se utiliza para calculas las deformaciones para cualquier punto dentro del elemento a partir de los desplazamientos de los nodos de la forma:
𝜀 = 𝐵 ∙ 𝑈
Para el caso de un elemento triangular con tres nodos la matriz B se puede expresar en forma de bloque:
𝐵 = 𝐵! 𝐵! 𝐵! donde cada Bi corresponde a un nodo, y tiene la forma:
𝐵! =
𝜕𝑁!
𝜕𝑥 0
0 𝜕𝑁!
𝜕𝑦
𝜕𝑁!
𝜕𝑦
𝜕𝑁!
𝜕𝑥
donde los Ni son las funciones de forma del elemento.
Para trabajar con elementos isoparamétricos triangulares se definen las coordenadas naturales o baricéntricas. Estas se definen como cada una de las subáreas parciales que se forman al dividir el triángulo en tres secciones, trazando divisiones entre cada uno de los vértices y el baricentro. Las coordenadas naturales se representan con los símbolos ξ y η, y en el interior del triángulo pueden tomar valores en el intervalo (0 … 1). La conversión entre coordenadas naturales y euclídeas se realiza de la siguiente forma:
𝑥 = 𝑥!− 𝑥! 𝜉 + 𝑥!− 𝑥! 𝜂 + 𝑥! 𝑦 = 𝑦!− 𝑦! 𝜉 + 𝑦!− 𝑥! 𝜂 + 𝑦!
Utilizando las coordenadas naturales, las funciones de forma triangulares se definen como:
𝑁! = 1 − 𝜉 − 𝜂 𝑁! = 𝜉 𝑁! = 𝜂
y las derivadas parciales de las funciones de forma respecto de las coordenadas naturales:
𝜕𝑁!
𝜕𝜉 = −1 𝜕𝑁!
𝜕𝜉 = 1 𝜕𝑁!
𝜕𝜉 = 0
𝜕𝑁!
𝜕𝜂 = −1 𝜕𝑁!
𝜕𝜂 = 0 𝜕𝑁!
𝜕𝜂 = 1
Como se necesitan las derivadas parciales de las funciones de forma con respecto a las coordenadas euclídeas, se aplica la siguiente transformación:
𝜕𝑁!
𝜕𝑁𝜕𝑥!
𝜕𝑦
= 𝐽!!∙
𝜕𝑁!
𝜕𝜉
𝜕𝑁!
𝜕𝜂
donde la matriz J es el jacobiano de la matriz de transformación que tiene esta forma:
𝐽 =
𝜕𝑥
𝜕𝜉
𝜕𝑥
𝜕𝜂
𝜕𝑦
𝜕𝜉
𝜕𝑦
𝜕𝜂
y cuyos elementos se calculan:
𝜕𝑥
𝜕𝜉 = 𝜕𝑁!
𝜕𝜉 ∙ 𝑥! 𝜕𝑥
𝜕𝜂 = 𝜕𝑁!
𝜕𝜂 ∙ 𝑥!
𝜕𝑦
𝜕𝜉 = 𝜕𝑁!
𝜕𝜉 ∙ 𝑦! 𝜕𝑦
𝜕𝜂 = 𝜕𝑁!
𝜕𝜂 ∙ 𝑦!
La inversa del jacobiano se puede calcular de la siguiente forma:
𝐽!!= 1 𝐽
𝜕𝑦
𝜕𝜂 −𝜕𝑥
𝜕𝜂
−𝜕𝑦
𝜕𝜉
𝜕𝑥
𝜕𝜉
La matriz de rigidez se calcula a partir de las funciones de deformación-desplazamiento, de forma general, por medio de integración:
𝐾 = 𝐵 !∙ 𝐷 ∙ 𝐵 𝑑Ω
Para el caso de los elementos isoparamétricos esta integral se ha de realizar de forma numérica.
Hay numerosas maneras de realizar la integración numérica, pero para elementos finitos el método más utilizado es la regla de integración de Gauss, también conocida como cuadratura de Gauss. Hay diferentes reglas de cuadratura según la geometría del elemento. Se han implementado reglas para elementos con forma de triángulo y de cuadrilátero, pero se van a
describir únicamente las primeras. La integración de Gauss para elementos triangulares se define utilizando las coordenadas naturales de la forma:
𝐼 = 𝑓 𝜉, 𝜂 𝑑𝜉𝑑𝜂 = 𝑓 𝜉!, 𝜂! ∙ 𝑤! ∙ 𝑤!
!
!
!!
!
!!
!
donde los ξi y ηi son los puntos de integración de Gauss, y los wi son los pesos de Gauss. Tanto los puntos de integración como los pesos se pueden encontrar de forma tabulada. A continuación se muestran las tres primeras reglas triangulares:
n ξ η w
1 1
3 1
3 1
2 1
6 2 3
1
6 1
6 1 6
2
3 1
3 1 3
1 3 3 1
3 1 2 0
1
2 1 0 0 1
3 1 2
1
2 0 0 1 0 27
60 8 60
8 60
8 60
3 60
3 60
3 60
2.2.3 Elementos tipo CST
Los elementos tipo CST (Constant Strain Triangle) son los elementos triangular más simples que se pueden construir. Este tipo de elementos sólo presenta tensiones de membrana (en el plano del elemento), por lo que no modela deformaciones por flexión (Rao, 2005). Además, se considera que la tensión en toda la extensión de la placa es constante. Con estas premisas se tienen 3 grados de libertad por nodo, y por lo tanto 9 grados de libertad por elemento.
Se comienza con el cálculo de la matriz de deformación-desplazamiento en coordenadas locales (3x9):
𝐵(!) = 1 2 ∙ 𝐴
𝑦!" 0 0
0 −𝑥!" 0
−𝑥!" 𝑦!" 0
𝑦!" 0 0
0 −𝑥!" 0
−𝑥!" 𝑦!" 0
𝑦!" 0 0
0 𝑥 −!" 0
−𝑥!" 𝑦!" 0
donde 𝑥!" = 𝑥!− 𝑥! e 𝑦!" = 𝑦! − 𝑦!, y A es el área del elemento. Se puede comprobar que esta matriz B corresponde a la derivada para los elementos isoparamétricos anteriormente descritos.
Utilizando la matriz de propiedades del material para el estado de tensiones en el plano:
𝐷(!) = 𝐸 1 − 𝜈!
1 𝜈 0
𝜈 1 0
0 0 1 − 𝜈 2
donde E es el módulo de Young, calculamos la matriz de rigidez en coordenadas locales (9x9):
𝑘(!) = 𝐴 ∙ 𝑡 ∙ 𝐵(!) !∙ 𝐷(!) ∙ 𝐵(!)
donde A es el área del elemento, y t es su espesor. La matriz de rigidez global (9x9) se calculará de la forma:
𝐾(!) = 𝜆 !∙ 𝑘(!) ∙ 𝜆
Finalmente, el vector de desplazamientos (9x1), que es lo que se quiere calcular, tendrá la siguiente forma:
𝑈(!) = 𝑢!! 𝑢!" 𝑢!" 𝑢!" 𝑢!! 𝑢!" 𝑢!" 𝑢!" 𝑢!! !
2.2.4 Elementos tipo ISO-T3
Los elementos isoparamétricos triangulares tipo ISO-T3 son elementos basados en la teoría de placas de Reissner-Mindlin, que es una extensión de la teoría de barras de Timoshenko (Zienkiewicz, Taylor, & Fox, 2014). En esta teoría las deformaciones por cortante fuera del plano no son nulas (al contrario que con la teoría de placas de Kirchhoff). De esta forma se modelan tensiones por flexión y cortante, que se asume que no están acopladas a las tensiones de membrana. Con estas premisas se tienen 6 grados de libertad por nodo, y por lo tanto 18 grados de libertad por elemento.
En la formulación de este elemento se asume que las tensiones de membrana, de flexión y por cortante no están acopladas. Gracias a esto la matriz de rigidez en coordenadas locales (18x18) de cada elemento se puede considerar como la suma de las matrices de rigidez debida a los anteriores casos:
𝑘(!) = 𝑘! + 𝑘! + 𝑘! La matriz de rigidez global (18x18) se calculará de la forma:
𝐾(!) = 𝜆 !∙ 𝑘(!) ∙ 𝜆
El cálculo de la matriz de rigidez por tensiones de membrana se calcula mediante integración numérica utilizando la matriz de deformación-desplazamiento descrita en una sección anterior, y cuya forma completa para cada uno de los puntos de Gauss es:
𝐵! 𝜉, 𝜂 =
𝜕𝑁!
𝜕𝑥 0
0 𝜕𝑁!
𝜕𝑦
𝜕𝑁!
𝜕𝑦
𝜕𝑁!
𝜕𝑥
𝜕𝑁!
𝜕𝑥 0
0 𝜕𝑁!
𝜕𝑦
𝜕𝑁!
𝜕𝑦
𝜕𝑁!
𝜕𝑥
𝜕𝑁!
𝜕𝑥 0
0 𝜕𝑁!
𝜕𝑦
𝜕𝑁!
𝜕𝑦
𝜕𝑁!
𝜕𝑥
𝑘! = 𝑡 ∙ 𝑤! ∙ 1
2 𝐽 ∙ 𝐵! 𝜉!, 𝜂! !∙ 𝐷 ∙ 𝐵! 𝜉!, 𝜂!
!
donde n es número de puntos de integración de Gauss, J es el Jacobiano de la matriz de transformación anteriormente descrito, D es la matriz constitutiva del material del elemento, y los wi son los pesos de Gauss correspondientes a cada punto de integración. La matriz km contiene sólo los valores correspondientes a los elementos x e y.
Cuando además de las tensiones de membrana los elementos modelan las de flexión y cortante, a estos elementos se les suelen denominar láminas. Para construir las matrices de rigidez de las mismas hay distintas alternativas en función de las asunciones o condiciones que se definan. Se han implementado diferentes subtipos de láminas, y se muestran en las siguientes secciones las dos más importantes.
Finalmente, El vector de desplazamientos (18x1), que es lo que se quiere calcular, tendrá la siguiente forma:
𝑈!(!)= 𝑢!! 𝑢!! 𝑢!! θ!! θ!! θ!! ! 𝑈(!) = 𝑈!(!) 𝑈!(!) 𝑈!(!) !
2.2.4.1 Láminas subtipo MR
Este tipo de elementos están derivados directamente de la teoría de placas de Reissner-Mindlin.
La construcción del resto de matrices sigue un proceso similar al anterior. El cálculo de la matriz de rigidez por tensiones de flexión se calcula mediante integración numérica utilizando la matriz de deformación-desplazamiento que se describe a continuación, y que se ha de construir para cada uno de los puntos de Gauss que se vayan a utilizar en la integración:
𝐵! 𝜉, 𝜂 =
0 𝜕𝑁!
𝜕𝑥 0
0 0 𝜕𝑁!
𝜕𝑦 0 𝜕𝑁!
𝜕𝑥
𝜕𝑁!
𝜕𝑦
0 𝜕𝑁!
𝜕𝑥 0
0 0 𝜕𝑁!
𝜕𝑦 0 𝜕𝑁!
𝜕𝑥
𝜕𝑁!
𝜕𝑦
0 𝜕𝑁!
𝜕𝑥 0
0 0 𝜕𝑁!
𝜕𝑦 0 𝜕𝑁!
𝜕𝑥
𝜕𝑁!
𝜕𝑦
El cálculo de la matriz de rigidez se realiza de la siguiente forma:
𝑘! = 𝑡 ∙ 𝑤!∙ 1
2 𝐽 ∙ 𝐵! 𝜉!, 𝜂! !∙ 𝐷! ∙ 𝐵! 𝜉!, 𝜂!
!
donde n es número de puntos de integración de Gauss, J es el Jacobiano de la matriz de transformación anteriormente descrito, Db es la matriz constitutiva del material del elemento a
flexión, y los wi son los pesos de Gauss correspondientes a cada punto de integración. La matriz kb contiene sólo los valores correspondientes a los elementos z, θ1 y θ2.
La matriz constitutiva del material a flexión se define de la forma:
𝐷! = 𝐸 ∙ 𝑡! 12 1 − 𝜈!
1 𝜈 0
𝜈 1 0
0 0 1 − 𝜈
donde E es el módulo de Young del material, ν es la constante de Poisson del material, y t el espesor del elemento.
El cálculo de la matriz de rigidez por tensiones a cortante se calcula mediante integración numérica utilizando la matriz de deformación-desplazamiento que se describe a continuación, y que se ha de construir para cada uno de los puntos de Gauss que se vayan a utilizar en la integración:
𝐵! 𝜉, 𝜂 =
𝜕𝑁!
𝜕𝑥 −𝑁! 0
𝜕𝑁!
𝜕𝑦 0 −𝑁!
𝜕𝑁!
𝜕𝑥 −𝑁! 0
𝜕𝑁!
𝜕𝑦 0 𝑁!
𝜕𝑁!
𝜕𝑥 −𝑁! 0
𝜕𝑁!
𝜕𝑦 0 −𝑁!
El cálculo de la matriz de rigidez se realiza de la siguiente forma:
𝑘! = 𝑡 ∙ 𝑤! ∙ 1
2 𝐽 ∙ 𝐵! 𝜉!, 𝜂! !∙ 𝐷! ∙ 𝐵! 𝜉!, 𝜂!
!
donde n es número de puntos de integración de Gauss, J es el Jacobiano de la matriz de transformación anteriormente descrito, Ds es la matriz constitutiva del material del elemento a cortante, y los wi son los pesos de Gauss correspondientes a cada punto de integración. La matriz ks contiene sólo los valores correspondientes a los elementos z, θ1 y θ2.
La matriz constitutiva del material a cortante se define de la forma:
𝐷! = 𝜅𝐺𝑡 1 0 0 1
donde κ es un factor de corrección de cortante, habitualmente toma el valor de 5/6, t es el espesor del elemento, y G es módulo de elasticidad transversal para un material isotrópico, definido en una sección anterior.
2.2.4.2 Láminas subtipo TLLL
Este tipo de elementos son debidos a (Oñate, Zarate, & Flores, 1994). La idea principal es utilizar nodos intermedios en las aristas del triángulo para calcular las rotaciones, y después trasladarlas a
Ilustración 3. Elemento triangular con nodos intermedios
Para estos nuevos nodos virtuales se definen funciones de forma en coordenadas naturales, de la siguiente forma:
𝑁! = 1 − 2𝜉 𝑁! = 2𝜉 + 2𝜂 − 1 𝑁! = 1 − 2𝜂
y las derivadas parciales de las funciones de forma respecto de las coordenadas naturales:
𝜕𝑁!
𝜕𝜉 = −2 𝜕𝑁!
𝜕𝜉 = 2 𝜕𝑁!
𝜕𝜉 = 0
𝜕𝑁!
𝜕𝜂 = 0 𝜕𝑁!
𝜕𝜂 = 2 𝜕𝑁!
𝜕𝜂 = −2
El cálculo de la matriz de rigidez por tensiones de flexión se calcula mediante integración numérica utilizando la matriz de deformación-desplazamiento que se describe a continuación, y que se ha de construir para cada uno de los puntos de Gauss que se vayan a utilizar en la integración:
𝐵! 𝜉, 𝜂 =
0 −𝜕𝑁!
𝜕𝑥 0
0 0 −𝜕𝑁!
𝜕𝑦 0 −𝜕𝑁!
𝜕𝑦 −𝜕𝑁!
𝜕𝑥
0 −𝜕𝑁!
𝜕𝑥 0
0 0 −𝜕𝑁!
𝜕𝑦 0 −𝜕𝑁!
𝜕𝑦 −𝜕𝑁!
𝜕𝑥
0 −𝜕𝑁!
𝜕𝑥 0
0 0 −𝜕𝑁!
𝜕𝑦 0 −𝜕𝑁!
𝜕𝑦 −𝜕𝑁!
𝜕𝑥
El cálculo de la matriz de rigidez se realiza de la siguiente forma:
𝑘! = 𝑡 ∙ 𝑤! ∙ 1
−2 𝐽 ∙ 𝐵! 𝜉!, 𝜂! !∙ 𝐷! ∙ 𝐵! 𝜉!, 𝜂!
!
donde n es número de puntos de integración de Gauss, J es el Jacobiano de la matriz de transformación construida a partir de las funciones de forma de los nodos virtuales, Db es la matriz constitutiva del material del elemento a flexión, y los wi son los pesos de Gauss correspondientes a cada punto de integración. La matriz kb contiene sólo los valores correspondientes a los elementos z, θ1 y θ2.
El cálculo de la matriz de rigidez por tensiones a cortante se calcula mediante integración numérica utilizando la matriz de deformación-desplazamiento que ha de construir para cada uno
de los puntos de Gauss que se vayan a utilizar en la integración. Sin embargo, al contrario que en los casos anteriores, la construcción de la misma no es directa, y se realiza de la siguiente forma:
𝐴 𝜉, 𝜂 = 1 − 𝜂 −𝜂 2 𝜂
𝜉 𝜉 2 1 − 𝜉
𝐶 = −1 𝑥!" 𝑦!"
0 0 0
−1 0 0
1 0 0
−1 2 𝑥!" 2 𝑦!" 2
0 0 0
0 0 0
1 2 0 0
1 𝑥!" 𝑦!"
𝐵! 𝜉, 𝜂 = 𝐽!!∙ 𝐴 𝜉, 𝜂 ∙ 𝐶
donde J es el Jacobiano de la matriz de transformación construida a partir de las funciones de forma de los nodos virtuales.
El cálculo de la matriz de rigidez se realiza de la siguiente forma:
𝑘! = 𝑡 ∙ 𝑤! ∙ 1
−2 𝐽 ∙ 𝐵! 𝜉!, 𝜂! !∙ 𝐷! ∙ 𝐵! 𝜉!, 𝜂!
!
donde n es número de puntos de integración de Gauss, J es el Jacobiano de la matriz de transformación construida a partir de las funciones de forma de los nodos virtuales, Ds es la matriz constitutiva del material del elemento a cortante, y los wi son los pesos de Gauss correspondientes a cada punto de integración. La matriz ks contiene sólo los valores correspondientes a los elementos z, θ1 y θ2.
3. Análisis de la Estructura
Una vez modelados los miembros de la estructura, utilizando alguno de los tipos de elementos descritos anteriormente, se ensamblan las distintas matrices globales. Inicialmente se ensamblarán las matrices de rigidez (K), masas (M), y fuerzas externas (F), y se realizarán los distintos tipos de análisis necesarios para realizar un cálculo estático o una simulación dinámica.
Un proceso muy importante en los distintos pasos de resolución es la aplicación de las condiciones de contorno. En este caso se aplican como restricciones a los desplazamientos en los distintos grados de libertad. Hay diferentes alternativas, y se ha optado por el método de eliminación de las filas y columnas con grado de libertad restringido (Smith & Griffiths, 2006). Este método proporciona resultados estables y robustos (para evitar que las soluciones numéricas de los sistemas de ecuaciones sean indeterminados), con el inconveniente de un mayor coste