Regla de cuantización exacta y sus aplicaciones

(1)

INSTITUTO POLIT´ ECNICO NACIONAL Escuela Superior de F´ısica y Matem´ aticas

Regla de Cuantizaci´ on Exacta y sus Aplicaciones

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL T´ITULO DE

MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN F´ISICA

PRESENTA

Alejandro Gonz´ alez Cisneros

DIRECTORES DE TESIS Dr. Shi-Hai Dong Dr. Jes´us Garc´ıa Ravelo

M´exico, D. F. 2009

(2)

(3)

Regla de Cuantizaci´ on Exacta y sus Aplicaciones

(4)

2

(5)

3

(6)

4

(7)

´ Indice general

0. Introducci´on 13

0.1. El l´ımite de transición de la mecánica cuántica a la clásica . . . 13

0.2. M´etodo WKB. . . 15

0.3. Las reglas de cuantizaci´on Bohr-Sommerfield . . . 18

1. Preliminares 23 2. La regla de cuantizaci´on exacta de Ma-Xu 27 2.1. Resumen de la regla de cuantizaci´on . . . 28

3. Aplicaciones 31 3.1. Potencial Rosen-Morse trigonom´etrico sim´etrico. . . 31

3.2. Potencial Rosen-Morse trigonom´etrico asim´etrico . . . 34

3.3. Potencial hiperb´olico molecular . . . 36

3.4. Segundo potencial P¨oschl-Teller . . . 39

4. Conclusiones 43

A. Demostraci´on de Integrales 45

B. El teorema de Sturm-Liouville 49

C. La regla de cuantizaci´on para potenciales centrales 51

5

(8)

(9)

´ Indice de figuras

1. El movimiento de una part´ıcula de un potencial unidimensional. . . 18 1.1. Visualizaci´on de los puntos de retorno. . . 24

7

(10)

(11)

Resumen

En este trabajo, la regla exacta de cuantización propuesta por Ma y Xu está aplicada para simplificar el cálculo de los niveles de energ´ıa para sistemas cuánticos exactamente solubles. Esta regla exacta de cuantización es muy efectiva para todos sistemas cuánticos solubles. Los espectros de sistemas cuánticos estudiados pueden ser obtenidos solo del estado base. En este trabajo se calculó los niveles de energ´ıa de la ecuación de Schrödinger con los potenciales Rosen-Morse trigonométrico simétrico y asimétrico asi como el potencial hiperbólico molecular propuesto por Schiöberg y el segundo potencial tipo Pöschl-Teller usando esta regla de cuantización.

9

(12)

(13)

Abstract

In this work, the exact quantization rule proposed by Ma and Xu is applied to simplify the calcu- lation of the energy levels for the exactly solvable quantum systems. This exact quantization rule is very effective for all solvable quantum systems. The energy spectra of studied quantum systems can be obtained only from the ground state. In this work the energy levels of the Schr¨odinger equation with the symmetric and asymmetric trigonometric Rosen-Morse potentials, the hyperbolic potential and the second P¨oschl-Teller like potential are calculated by this quantization rule.

11

(14)

(15)

Cap´ıtulo 0

Introducci´ on

0.1. El l´ımite de transici´ on de la mec´ anica cu´ antica a la cl´ asica

El camino mas simple para estudiar la transición de la mecánica cuántica a la clásica es escribiendo la función de onda en la forma

ψ(r, t) = e^iS(r,t)/~. (1)

Substituyendo (1) en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo que describe el movimiento de una part´ıcula de masa µ en un campo de potencial con energ´ıa U (r) encontramos la ecuación

− ∂

∂tS =(∇S · ∇S)

2µ + U (r) − i~

2µ∇²S, (2)

donde se ha usado la siguiente relaci´on

∇²ψ = ∇ · (∇ψ) = ∇ · i

~ ψ∇S

= i

~

(∇²S)ψ −(∇S)²

~²

ψ, (3)

para determinar la funci´on compleja S(r, t).

Observamos que excepto por el último término del lado derecho de la ec. (2) corresponde la bien conocida ecuación de Hamilton-Jacobi de la mecánica clásica

− d

dtS0= (∇S₀)²

2µ + U (r). (4)

La ecuación (4) es una ecuación diferencial de primer orden para la función de acción S0 definida en términos de la Lagrangiana clásica, L, a través de la integral

S₀(r, t) = Z t

a

L(r, ˙r, t⁰)dt⁰. (5)

La trayectoria de una part´ıcula en la mecánica clásica es normal a las superficies de valores constantes de la función de acción. Por lo que

p = ∇S0. (6)

13

(16)

14 0.1. El l´ımite de transición de la mecánica cuántica a la clásica Comparando (2) con (4) observamos que formalmente la transición de la mecánica cuántica a la clásica corresponde al l´ımite ~ → 0, en analogia a la transición de la mecánica relativista a la no relativista ocurre cuando c → ∞. Ya que ~ es una cantidad constante, una transición tal debe ser considerada meramente formal. En efecto, solo cuando el término de la ec. (2) que contiene a ~ es pequeño respecto a los otros términos en la ecuación es válida.

Para simplificar el estudio de las condiciones bajo las cuales podemos describir sistemas cuánticos clásicamente, debemos considerar estados estacionarios. La energ´ıa del sistema esta bien definida en un estado estacionario y la dependencia del tiempo de la función de onda esta completamente determinada por la energ´ıa

ψ(r, t) = φ(r)e^iEt/~. (7)

Podemos proponer la funci´on S(r, t) en (1) de la siguiente forma para separar la dependencia del tiempo, esto es, podemos escribir

S(r, t) = σ(r) − Et. (8)

La ecuaci´on (2) cambia entonces a (∇σ)²

2µ + U (r) − E −i~∇²σ

2µ = 0. (9)

Cuando el término que contiene a ~ es pequeño en relación a los otros términos, la transición de la mecánica cuántica a la clásica consiste ahora en reemplazar la ecuación (9) por la siguiente ecuación de la mecánica clásica

(∇σ₀)²

2µ + U (r) − E = 0, (10)

donde σ₀ depende solo de las coordenadas y que esta conectada con el momento de la part´ıcula a trav´es de la relaci´on

p = ∇σ0, (11)

y se cumple la condici´on

(∇σ0)² ~|∇²σ0|. (12)

La desigualdad (12) puede entonces ser la condición para la transición hacia la mecánica clásica.

Usando (11) podemos escribir la desigualdad (12) como sigue

p² ~|(∇ · p)|. (13)

En el caso particular de un movimiento unidimensional, podemos reescribir la desigualdad (13) en la forma

1 ~|_dx^dp| p² = 1

2π

∂λ

∂x, (14)

´ o

λ λ 2π

∂λ

∂x, (15)

(17)

0. Introducci´on 15 donde fue utilizado

p = h λ, dp

dx = ∂p

∂λ

∂x. (16)

Esto es, el campo en la longitud de onda sobre una distancia λ/2π debe ser despreciablemente peque˜na comparada con la longitud de onda del mismo. Si denotamos a las dimensiones caracter´ısticas del sistema por a, tenemos que dλ/dx ∼ λ/a, y la desigualdad (14) se reduce a

λ a. (17)

Ahora, si tenemos en mente que p =p2µ(E − U). Podemos escribir la desigualdad (14) en la forma p³ µ~

dU dx

. (18)

Se sigue de (18) que una discusión clásica de sistemas cuánticos es aproximadamente justificada a traves del movimiento de part´ıculas con momento grande en un campo de potencial con un pequeño gradiante.

Si la desigualdad (18) se satisface, podemos desarrollar un método aproximado para resolver pro- blemas de mecánica cuántica quien se basa en correcciones a las descripciones clásicas. Este método es llamado la aproximación semiclásica o la aproximación Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB).

0.2. M´ etodo WKB

Para estudiar potenciales más allegados a los que se encuentran en la naturaleza, se idearon nuevos métodos que permit´ıan resolver la ecuación de Schrödinger que en los métodos tradicionales no se pueden solucionar con gran facilidad. En general, no era posible encontrar soluciones exactas o bien resultaban ser demasiado complicadas y oscuras para ser de utilidad. Cuando el sistema se encuentra en un estado de energ´ıa suficientemente alta como para garantizar que el comportamiento de las part´ıculas sea cercano al clásico casi en todo punto podemos utilizar este método. Esta es la razón por la que el método, que fue desarrollado simultanea e independientemente por G. Wentzel, H. A. Kramers y L. Brillouin en 1926 (de cuyos apellidos derivan las siglas WKB), recibe el nombre de aproximación semiclásica.

La aproximacion semiclásica es un método aproximado para resolver la ecuación cuántica (9) para la función σ(r) que determina la función de onda de un estado estacionario a través de la relación

ψ(r) = e^iσ(r)/~. (19)

Escribimos la solución de la ecuación (9) formalmente como la expansión

σ = σ₀+~ iσ₁+

~ i

2

σ₂+ · · · (20)

(18)

16 0.2. Método WKB Si la condición (13) para la aplicación de la aproximación semiclásica se satisface, los términos subsecuentes en esta serie son pequeños comparados con los anteriores y podemos usar el método de aproximaciones consecutivas para resolver la ecuación (9).

Substituyendo (20) en la ec. (9) y anulando los coeficientes de las mismas potencias de ~ obtenemos el sistema de ecuaciones acopladas

(σ⁰₀)²+ 2µ[U (r) − E] = 0,

(∇σ₁· ∇σ₀) +¹₂∇²σ₀= 0,

(∇σ₁· ∇σ₁) + 2(∇σ₀· ∇σ₂) + ∇²σ₁= 0,

. . . .

(21)

Resolviendo la primera ecuaci´on de (21) podemos determinar σ0(r), podemos entonces determinar σ1

de la segunda ecuaci´on, y asi sucesivamente. Usualmente se restringe a σ₀y σ₁ de σ.

Para ilustrar el m´etodo, consideraremos el caso unidimensional. El conjunto de ecuaciones (21) puede ser escrito de la siguiente forma

(σ⁰₀)²= p(x)²,

2σ₁⁰ = −^σ_σ⁰⁰⁰0 0

,

2σ₂⁰ = −^σ¹⁰⁰^+(σ_σ0 ⁰²¹⁾ 0

,

. . . .

(22)

donde usamos una prima para denotar derivaci´on con respecto a x. Las subsecuentes aproximaciones σ₁⁰, σ₂⁰, ... son luego obtenidas de la aproximaci´on a orden cero,

σ⁰₀= ±p(x) = ±p

2µ[E − U (x)], (23)

por simple derivaci´on. En particular, se sigue de la segunda ecuaci´on (47) que σ1= − ln√

p + ln C. (24)

Integrando (23) sobre x, determinamos σ0; podemos entonces usar (24), (20), y (19) para escribir una expresión para la función de onda en la aproximación semiclásica que satisface la ecuación de Schrödinger para términos de orden ~²

ψ(x) = C p|p| exp

i

Z x a

k(x⁰)dx⁰

+ C1

p|p| exp

−i Z x

a

k(x⁰)dx⁰

, (25)

donde

k(x) = 1

~

p2µ[E − U (x)]. (26)

(19)

0. Introducción 17 La región E > U (x) es llamada la región de movimiento clásicamente permitida.

En esa región, k(x) es una función real y ~k(x) es el momento de la part´ıcula expresada como una función de la coordenada. En esta región, podemos siempre escribir la función de onda (25) como una función de onda dependiente de dos constantes

ψ(x) = A

√psin

Z x a

k(x⁰)dx⁰+ α

. (27)

La amplitud de la función de onda (25) es proporcional a p^−1/2. La probabilidad de observar a la part´ıcula en un elemento de volumen pequeño es entonces basicamente proporcional a 1/p, esto es, inversamente proporcional a la velocidad de la part´ıcula clásica. Este resultado refleja la conserva- ción de probabilidad, pues en nuestra aproximación de probabilidad de corriente es proporcional a

|A(x)|²p(x) =const.

Los valores x0para los cuales E = U (x0) son llamados los puntos de retorno clásicos. Estos corres- ponden a puntos en el espacio donde la part´ıcula clásica se detiene (p(x0) = 0) para posteriormente moverse en la direccion opuesta. La función de onda (25) tiende al infinito en estos puntos. Esta di- vergencia esta conectada con el hecho de que la aproximación semiclásica no es aplicable, de acuerdo con (18) donde el momento es pequeño. Sea x0 un punto de retorno y determinamos la distancia

|x − x0| para la cual podemos usar la regi´on semicl´asica. Expandiendo la energ´ıa potencial en una serie alrededor del punto x = x₀ se puede escribir

p²= 2µ[E − U (x)] ≈ 2µ

dU dx

|x − x0|, (28)

misma que al ser substituida en (18) permite expresar la condición para que la aproximación semiclásica sea aplicable a distancias de los puntos de retorno satisfaciendo la desigualdad

|x − x0| 1 2

"

~² 2µ

^dU_dx

#^1/3

, (29)

´ o

|x − x0| ~ 2p = λ

4π. (30)

donde λ es la longitud de onda correspondiente al valor del momento en el punto x.

La región donde E < U (x) es llamada la región clásicamente inhabitable. En esa región, k(x) es una función imaginaria. Si escribimos k(x) = iκ(x), donde

κ(x) = 1

~

p2µ[E − U (x)], (31)

es una funci´on real, podemos reescribir (25) como sigue

ψ(x) = C p|p| exp

− Z x

a

κ(x⁰)dx⁰

+ C1

p|p| exp

Z x a

κ(x⁰)dx⁰

. (32)

(20)

18 0.3. Las reglas de cuantizaci´on Bohr-Sommerfield

Figura 1: El movimiento de una part´ıcula de un potencial unidimensional.

El primer término en (32) decrece exponencialmente cuando incrementa x, pero el segundo término crece exponencialmente. Podemos usar esas funciones semiclásicas solo si conocemos la conexión entre las soluciones oscilatorias y exponenciales cuando vamos a través del punto de retorno. En un pequeño intervalo (a, b) de longitud ~^2/3µ^−1/3|dU/dx|^−1/3 alrededor del punto de retorno no podemos usar la aproximación semiclásica y debemos resolver la ecuación de Schrödinger unidimensional.

La conexión entre soluciones oscilatorias y exponenciales es encontrada de la condición de conti- nuidad cuando cambiamos de la solución exponencial a la oscilatoria.

0.3. Las reglas de cuantizaci´ on Bohr-Sommerfield

Vamos a estudiar el caso particular ilustrado en la figura y usaremos el método semiclásico donde existen solo dos puntos de retorno determinados por la condición

U (x1) = U (x2) = E. (33)

Consideraremos una región (a1, b1) que contiene al punto de retorno x1 y una región (a2, b2) que contiene al punto de retorno x2, en estas regiones la aproximación semicláasica no es aplicable como se puede ver en las ecuaciones (25) y (26).

Como se puede ver en esta gr´afica esta dividida en tres regiones, en particular en las regiones I y III, podemos usar las funciones de onda (32). Puesto que la funci´on de onda debe ser cero en −∞ y

∞ as´ı que esta debe tener la forma ψ_I(x) = C₁

p|p|exp

− Z x1

x

κ(x)dx

, x < a₁, (34)

ψIII(x) = C p|p|exp

− Z x

x₂

κ(x)dx

, x < a2. (35)

(21)

0. Introducci´on 19 donde los sub´ındices I y III representan las soluciones respectivas a estas regiones.

Para obtener la soluci´on en la regi´on II hacemos uso de las soluciones (27) con A y α constantes arbitrarias

ψII(x) = A

√psin

Z x x₁

k(x⁰)dx⁰+ α

, b1≤ x ≤ b2. (36)

Como se ha dicho anteriormente en la regiones (a₁, b₁) y (a₂, b₂) donde la aproximación no es aplicable asi que escribiremos a la ecuación de Schrödinger de la forma

d²ψ

dx² + k²ψ = 0, donde k²= 2µ

~

[E − U (x)], (37)

en la regi´on (a1, b1).

Podemos expandir la energ´ıa potencial en esa regi´on en una serie de potencias y mantener solo los primeros dos t´erminos asi tenemos

U (x) = E − (x − x₁)F, F =

dU dx

x=x₁

. (38)

Substituyendo esta expresión en la ecuación (37) obtenemos la ecuación

~² 2µ

d²

dx² + F (x − x₁)

ψ(x − x₁) = 0. (39)

Esta ecuaci´on tiene a las funciones de Airy Φ(ξ) como soluci´on

ψ(x − x1) = Φ(ξ), (40)

donde

ξ = 2µF

~²

^1/3

(x₁− x). (41)

Los l´ımites de la región donde podemos usar la solución de la ecuación (39) es acorde a (29) determinado por la desigualdad

|x − x1| 1 2

"

~² µ

^dU_dx

#^1/3

, ´o |ξ| 1. (42)

Podemos usar el valor asintótico de la función de Airy para |ξ| 1 en las fronteras de la región, para tal proposito, expresaremos a las funciones de Airy en términos de la funciones de Bessel de orden 1/3 como sigue

Ψ(ξ) =









 r ξ

3πK_1/3 2 3ξ^3/2

; si ξ > 0,

1 3

pπξ

J_1/3 2

3ξ^3/2

+ J_−1/3 2 3ξ^3/2

; si ξ < 0.

(43)

Ahora usando los valores asint´oticos de las funciones de Bessel para grandes valores del argumento

ψ(ξ) =









 1

2ξ^−1/4exp

−2 3ξ^3/2

, si ξ 1;

|ξ|^−1/4exp 2

3|ξ|^3/2+π 4

, si − ξ 1,

(44)

(22)

20 0.3. Las reglas de cuantizaci´on Bohr-Sommerfield donde

2

3|ξ|^3/2=2 3

r2µF

~² (x − x1)^3/2= G(x), (45)

con

G(x) =









 Z x

x₁

k(y)dy, si x > x1; Z x

x₁

κ(y)dy, si x < x₁,

(46)

y los momentos k(x) y κ(x) dados por k(x) =

r2µ

~²[E − U (x)] = r2µF

~² (x − x1), κ(x) =

r2µ

~²[U (x) − E] = r2µF

~² (x1− x).

(47)

La soluci´on de (39) en las fronteras del intervalo (a₁, b₁) pueden ser escritas como sigue

ψ(x) =









 B 2p|p|exp

− Z x₁

x

κ(y)dy

en a1; B

p|p|sin

Z x x1

k(y)dy +π 4

en b₁.

(48)

Comparando (48) con (34) y (36) vemos que la funci´on de onda de la regi´on I es continua hasta la region II si

B = A, 2C1= A, y α = π

4. (49)

Analogamente respecto a la solución de la ecuación (37) en las fronteras del intervalo (b2,a2) alrededor del segundo punto de retorno puede ser obtenida directamente de (48) invirtiendo la dirección del eje x y escogiendo a x₂como el l´ımite fijo de las integrales. Procediendo de esta manera obtenemos

ψ(x) =









 D 2p|p|exp

− Z x

x2

κ(x⁰)dx⁰

en a2; D

p|p|sin

Z x2

x

k(x⁰)dx⁰+π 4

en b₂.

(50)

Usando (49) podemos escribir la soluci´on (36) como sigue ψII(x) = A

√p

Z x x₁

k(x⁰)dx⁰+π 4

= − A

√psin Z x₂

x

k(x⁰)dx⁰+π 4 −π

2 + Z x₁

x2

k(x⁰)dx⁰. (51)

Si se satisfacen las condiciones

D = 2C = (−1)ⁿ⁺¹A (52)

Z x₁ x2

k(x⁰)dx⁰−π

2 = nπ, n = 0, 1, 2.... (53)

Obtendremos una suave transici´on entre las funciones de onda de las tres regiones respectivas. Intro- duciendo la integral de fase

I

pdx = 2 Z x₂

x₁

pdx, (54)

(23)

0. Introducci´on 21 podemos considerar una trayectoria de x1 a x2 y de regreso de x2 a x1, as´ı que, podemos introducir la integral de fase como

I

pdx = 2π~(n + 1/2), (55)

la cual define un periodo completo del movimiento clásico. La ecuación (55) determina, en el caso semiclásico, los estados estacionarios de la part´ıcula. Esto corresponde a la regla de cuantización Bohr- Sommerfeld.

La funci´on ψ decrece exponencialmente fuera del intervalo (x1, x2) pero dentro de ese intervalo la funci´on

ψ(x) = A

√psin

Z x x1

k(x⁰)dx⁰+π 4

. (56)

oscila. La fase de la funci´on seno

Z x x1

k(x⁰)dx⁰+π

4, (57)

cambia de acuerdo a (55) de π/4 a (n + 3/4)π cuando x cambia de x₁a x₂y la función ψ tiene entonces n ceros en ese intervalo. El número cuántico n en la ecuación (55) determina el número de nodos de la función de onda en la región entre los puntos de retorno. La ec. (56) representa la solución a la aproximación semiclásica dada por la condición (30), en efecto, solo es válida para el caso donde un gran número de longitudes de onda esten contenidos entre los puntos de retorno, esto es, λ x2− x1. En otras palabras, solo se puede usar la aproximación semiclásica para estados caracterizados con grandes valores del número cuantico n.

La integral en (55) determina el área encerrada por la trayectoria en el plano fase. Esto sigue de la ecuación (55) que un estado simple corresponde a una área 2π~ en el plano fase.

Como la función semiclásica (56) es una función de oscilación rápida, podemos reemplazar entre x₁ y x₂ el cuadrado de la función seno por 1/2 de su valor promedio cuando determinamos la constante A de la condición de que la función de onda debe estar normalizada. Entonces encontramos

1 A =

s1 2

Z x2

x₁

dx

p . (58)

y si tomamos en cuenta que

µ Z x₂

x1

dx p =1

2T. (59)

que es el tiempo que se toma la part´ıcula para moverse a trav´es del intervalo x₂−x₁podemos introducir la frecuencia angular ω = 2π/T del movimiento peri´odico de la part´ıcula.

Expresando A en términos de esta frecuencia, encontramos de (56) la función normalizada de la aproximación semiclásica

ψ(x) =r 2µω πp sin 1

~ Z x

x1

pdx +π 4

. (60)

Consideraremos un simple ejemplo de una aplicación del método semiclásico determinando las energ´ıas de los estados estacionarios el caso del oscilador armónico, esto es, un sistema con energ´ıa potencial

(24)

22 0.3. Las reglas de cuantizaci´on Bohr-Sommerfield U (x) = µω²x²/2. Si denotamos los puntos de retorno por x1,2 = ±a, tenemos que E = µω²a²/2 y p = µω√

a²− x². Por lo tanto

I

pdx = 2πE

ω. (61)

Substituyendo esta ecuaci´on en (55) encontramos los valores de las energ´ıas de los estados estacionarios para n lo suficientemente grande

E = (n +1

2)~ω, (62)

que, para este caso, el m´etodo semicl´asico es exacto.

(25)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Consideremos la ecuaci´on de Schr¨odinger estacionaria unidimensional d²

dx²ψ(x) = −2µ

~²

[E − V (x)]ψ(x), (1.1)

donde µ es la masa de la part´ıcula, y V (x) el potencial, que es una funci´on real y continua de x. Luego la derivada logar´ıtmica de la funci´on de onda ψ(x) definida como φ(x) es

φ(x) = dlnψ(x)

dx = 1

ψ(x) dψ(x)

dx . (1.2)

Utilizando la derivada logar´ıtmica en la ec. de Schr¨odinger (1.1) obtenemos las siguientes dos ecuaciones dφ(x)

dx = −k(x)²− φ(x)², E ≥ V (x), (1.3)

dφ(x)

dx = κ(x)²− φ(x)², E ≤ V (x), (1.4)

donde

k(x) =p2µ[E − V (x)]/~, E > V (x),

κ(x) =p2µ[V (x) − E]/~, E < V (x),

k(x) = κ(x) = 0, E = V (x),

(1.5)

aqu´ı φ(x) decrece monotonamente con respecto a x cuando E ≥ V (x).

Podemos ver que cerca de un nodo de la funci´on de onda ψ(x) en la regi´on donde E ≥ V (x), φ(x) decrece a −∞, brinca a +∞, y luego, decrece de nuevo.

23

(26)

24

Figura 1.1: Visualizaci´on de los puntos de retorno.

Escogiendo a E como un valor arbitrario podemos asumir que el potencial satisface V (x) = V_I > E, −∞ < x ≤ x_I,

V (x) > E, xI < x < xA ´o xB< x < xF,

V (x) = E, x = xA ´o x = xB,

V (x) < E, xA< x < xB,

V (x) = VF > E, xF ≤ x < ∞,

(1.6)

donde x_A y x_B, x_A < x_B son llamados los puntos de retorno que satisfacen E = V (x_A) = V (x_B) ademas V_I y V_F representan los valores del potencial en los respectivos puntos como se puede ver en la figura.

Por otro lado la ecuación de Schrödinger (1.1), que es una ecuación de segundo orden, tiene dos soluciones independientes. En la región −∞ < x ≤ xIuna solución es divergente y la otra es fisicamente permisible de tal manera que

ψ(x) ∼ e^κ^I^x, φ(x_I) = κ_I =p

2µ[V_I− E]/~ > 0. (1.7) Similarmente en la regi´on xF ≤ x < ∞ la soluci´on fisicamente admisible es

ψ(x) ∼ e^−κ^F^x, φ(xF) = −κF = −p

2µ[VF− E]/~ < 0. (1.8) Haciendo uso del concepto fundamental del análisis matemático, reemplazamos el potencial por una sucesión de escalones constantes de potencial o sea el concepto de integral como el área bajo la curva. Primero discretizamos la región x_I ≤ x ≤ x_A en m intervalos delgados con anchura d_m, donde E ≤ V (x) y xA = xI + mdm. En el j-ésimo intervalo, xI+ jdm− dm≤ x ≤ xI+ jdm, V (x), donde j

(27)

1. Preliminares 25 tiene valores de 1 a m, es reemplazado por un potencial constante Vj

V_j = V (x_I+ jd_m− d_m/2), κ_j= q

2µ[V_j− E]/~. (1.9)

Resolviendo la ecuaci´on de Schr¨odinger en este intervalo obtenemos

ψj(x) = Aje^κ^j^x+ Bje^−κ^j^x. (1.10) Calculando las derivadas logar´ıtmicas en los extremos de los intervalos obtenemos

ϕj= 1 ψj(x)

dψ_j(x) dx

_x=x

I+jdm

= κA_je^κ^j^(x^I^+jd^m⁾− Bje^−κ^j^(x^I^+jd^m⁾

A_je^κ^j^(x^I^+jd^m⁾+ B_je^−κ^j^(x^I^+jd^m⁾ (1.11)

ϕj−1= 1 ψj(x)

dψj(x) dx

_x=x

I+jdm−dm

= κAje^κ^j^(x^I^+jd^m^−dⁿ⁾− Bje^−κ^j^(x^I^+jd^m^−d^m⁾

Aje^κ^j^(x^I^+jd^m^−d^m⁾+ Bje^−κ^j^(x^I^+jd^m^−d^m⁾. (1.12) De la ec. (1.12) obtenemos

A_je^κ^j^(x^I^+jd^m^−d^m⁾{κj− ϕj−1} = Bje^−κ^j^(x^I^+jd^m^−d^m⁾{κj+ ϕ_j−1}. (1.13) Substituyendo en la ec. (1.11) puesto que las derivadas logar´ıtmicas deben ser continuas en cualquier punto as´ı que

ϕj = κj

κjtanh(κjdn) + ϕj−1

κj+ ϕj−1tanh(κjdm), (1.14)

y encontramos una relaci´on de recurrencia. Si ϕ_j−1 es positiva entonces ϕ_j tambien lo es. No existe algun punto donde el numerador y el denominador sean cero as´ı que ϕj es finita y no se hace cero.

Ya que φ(xI) es positiva y conocida, uno es capaz de calcular ϕm = φ(xA) de ϕ0 = φ(xI) = κI con la relación de recurrencia (1.14) como j incrementa de 1 a m. φ(xA) es positiva, finita y no cero. La precición calculada depende del número de intervalos m. En principio uno puede obtener un preciso valor de φ(xA) para un n lo suficientemente grande.

Un similar cálculo puede ser realizado para la región xF ≤ x < ∞. La relación de recurrencia queda como

ϕ_j−1= κ_jϕ_j− κ_jtanh(κ_jd_n)+

κj− ϕjtanh(κjdm) . (1.15)

Si ϕj es negativa, finita y no cero ϕj−1 tambien lo es. Ya que φ(xF) es negativa y conocida, uno es capaz de calcular ϕ0 = φ(xB+) de ϕn = φ(xF) = −κF con la relaci´on de recurrencia (1.15) como j decrece de n a 1. φ(xB+) es negativa, finita y no cero. En principio uno puede obtener un valor presiso de φ(xB+) para un n lo suficientemente grande.

Formalmente el hecho de que φ(x) no sea cero en ninguna parte de la regi´on −∞ < x ≤ xA y x_B ≤ x < ∞ nos establece que en esas regiones las funciones de onda ψ(x) decaen exponencialmente.

Sin embargo pueden existir ceros de φ(x) en otras regiones clasicamente olvidadas.

Ahora dividiremos la regi´on x_A ≤ x ≤ x_B en m intervalos iguales y delgados con anchura d_m donde E ≥ V (x) y xB = xA+ mdm. En el j-´esimo intervalo, xA+ jdm− dm≤ x ≤ xA+ jdm, V (x) es

(28)

26

reemplazado por un potencial constante Vj

V_j= V (x_A+ jd_m− dm/2), κ_j= q

2µ[E − V_j]/~. (1.16)

Resolviendo la ecuación de Schrödinger en este intervalo encontramos la solución

ψ_j(x) = C_jsin(κ_jx + δ_j). (1.17) En las dos extremos de los intervalos las derivadas logar´ıtmicas, que podr´ıan encontrarse con las derivadas logar´ıtmicas en los extremos contiguos a otras pel´ıculas, son

ϕj = 1 ψj(x)

dψ_j(x) dx

_x=x

A+jdm−dm

= kjcot[kj(xA+ jdm− dm) + δj], ϕj−1= 1

ψ_j(x)

dψj(x) dx

_x=x

A+jd_m

= kjcot[kj(xA+ jdm) + δj].

(1.18)

De la ec. (1.18) obtenemos

φj= kjcot

arctan

kj

φj−1

+ kjdm

, (1.19)

y

k_jd_m= − arctan

k_j φj−1

+ arctan k_j φj

+ qπ, (1.20)

q =







0 no cero de φ(x) ocurren en x_A+ jd_m− d_m≤ x < x_A+ jd_m 1 un cero de φ(x) ocurren en xA+ jdm− dm≤ x < xA+ jdm,

(1.21)

Note que φ(x) decrece monotonamente con respecto de x cuando E > V (x).

Si no existe un lugar donde la funci´on φ(x) sea cero en el intervalo x_A+ jd_m− d_m≤ x < x_A+ jd_m tenemos que,

arctan

kj

φ_j−1

< arctan kj

φ_j

≤ π/2. (1.22)

La ecuaci´on (1.20) se mantiene con q = 0. Si hay algun cero en la funci´on φ(x) en la pel´ıcula x_A+ jd_m− d_m≤ x < x_A+ jd_m, φ_j−1≥ 0 y φ_j< 0. Luego,

arctan

kj

φj−1

∼ π/2, y arctan k_j φj

∼ −π/2. (1.23)

Es por esto que tenemos que adherir un π adicional en el lado derecho de la ecuaci´on (1.20) tal que su lado derecho sea positivo e igual a kjdm. Ya que la anchura dm de la pel´ıcula es muy peque˜na, no consideraremos el caso donde mas de un cero en φ(x) ocurre en la pel´ıcula.

La ecuación (1.19) es una relación recursiva, de donde podemos de calcular φm = φ(xB−) de φ0= φ(xA) cuando j incrementa de 1 a m. La precición de este cálculo depende del número m de las pel´ıculas. En principio, uno puede obtener un preciso φ(xB−) si m es lo suficientemente grande.

Del teorema de Sturm-Liouville, como E incrementa, φ(xB−) decrece monotonamente y φ(xB+) se incrementa mon´otonamente. Escogiendo el par´ametro E por dicotom´ıa tal que φ(x_B−) coincida con φ(x_B+), obtenemos un estado ligado con la energ´ıa E.

(29)

Cap´ıtulo 2

La regla de cuantizaci´ on exacta de Ma-Xu

En el cap´ıtulo anterior dividimos la regi´on xA≤ x ≤ xBen m pel´ıculas delgadas, donde E ≥ V (x), y obtuvimos la ecuaci´on (1.20) para kjdm. Haciendo una suma desde j = 1 a j = m de la ec (1.20), obtenemos

m

X

j=1

kjdm= N π − arctan k₁ φ0

+ arctan k₁ φ1

− arctan k₂ φ1

+ arctan k₂ φ2

− + · · · − arctan k_m−1 φm−2

+ arctan k_m−1 φm−1

− arctan

k_m φm−1

+ arctan k_m φm

, (2.1)

donde φ0 = φ(xA), φm = φ(xB), y N es el número de ceros de la derivada logar´ıtmica φ(x) en la región xA ≤ x ≤ xB. Cuando m va hacia el infinito, dm tiende a cero, y la suma en la ecuación (2.1) se convierte en una integral. Entonces obtenemos una nueva regla de cuantización

Z x_B x_A

k(x)dx = N π + l´ım

m→∞

− arctan

k1

φ(xA)

+ arctan

km

φ(xB)

+

m−1

X

j=1

arctan k_j φj

− arctan k_j+1 φj

, (2.2)

donde φj es calculada recursivamente con la ecuación (1.19). El primer término del lado derecho de la ecuación (2.2) viene de los ceros de la derivada logar´ıtmica φ(x) en la región xA ≤ x ≤ xB. Ya que φ(xA) > 0 y φ(xB) < 0, los últimos términos se cancelan cuando m tiende a infinito si los potenciales son continuos en los puntos de retorno. La última suma denota la contribución fase debida a las sub-ondas dispersadas.

La fórmula (2.2) tiene otra expresión. Si cambiamos δj = δ_j⁰+ π/2 en la ecuación (1.17) la ecuación 27

(30)

28 2.1. Resumen de la regla de cuantizaci´on (1.18) se convierte en

φj−1= −kjtanh

kj(xA+ jdm− dm) + δ_j⁰i , φ_j= −k_jtanh

k_j(x_A+ jd_m) + δ⁰_ji .

(2.3)

Luego, de las ecuaciones (1.20) y (2.2) obtenemos k_jd_m= arctan φ_j−1

kj

− arctan φ_j kj

+ q⁰π, (2.4)

q⁰ =







0 no cero de φ(x) ocurren en xA+ jdm− dm≤ x < xA+ jdm

1 un cero de φ(x) ocurren en xA+ jdm− dm≤ x < xA+ jdm,

Z x_B x_A

k(x)dx = N⁰π + l´ım

m→∞

arctan φ(x_A) k1

− arctan φ(x_B) km

+

m−1

X

j=1

arctan

φj

kj+1

− arctan φ_j kj

, (2.5)

donde N⁰ denota el número de nodos de la función de onda ψ(x) en la región xA ≤ x ≤ xB. Si el potencial es continuo en los puntos de retorno, debido a que φ(xA) > 0 y φ(xB) < 0 el segundo y tercer término son entonces

l´ım

m→∞arctan φ(x_A) k1

− l´ım

m→∞arctan φ(x_B) km

= π/2 − (−π/2) = π (2.6)

Ya que φ(x) decrece mon´otonamente en la regi´on xA< x < xB, N = N⁰+ 1.

La sumatoria en el lado derecho de la ecuaci´on (2.2) puede ser transformada en una expresi´on integral

Z x_B x_A

k(x)dx = N π + l´ım

m→∞

− arctan

k₁ φ(xA)

+ arctan

k_m φ(xB)

− Z x_B

xA

φ(x)(dk(x)/dx)

φ(x)²+ k(x)² dx. (2.7)

Los dos t´erminos el nos brackets se cancelan cuando m tiende a infinito si el potencial es continuo en los puntos de retorno.

La regla de cuantizaci´on (2.7) ha sido probada sin ninguna aproximaci´on asi que es exacta.

2.1. Resumen de la regla de cuantizaci´ on

En esta sección queremos dar una breve explicación de este cap´ıtulo donde se comenzó utilizando la ec. de Schrödinger unidimensional

d²

dx²ψ(x) = −2µ

~²

[E − V (x)]ψ(x), (2.8)

(31)

2. La regla de cuantización exacta de Ma-Xu 29 donde el potencial V (x) es una función real y continua de la variable x. Haciendo un cambio de variable φ(x) = d ln ψ(x)/dx = ψ(x)⁻¹dψ(x)/dx luego ψ(x) = e^{R φ(x)dx} substituyendo en la ec. de Schrödinger

e^{R φ(x)dx} d

dxφ(x) + e^{R φ(x)dx}φ(x)²= −2µ

~²[E − V (x)]e^{R φ(x)dx} (2.9) d

dxφ(x) = −2µ

~²

[E − V (x)] − φ(x)², (2.10)

El cambio de variable φ(x) = ψ(x)⁻¹dψ(x)/dx es llamado la derivada logar´ıtmica de la funci´on de onda ψ(x).

La ecuación (2.10) es una ecuación de Riccati, aqu´ı se puede ver que la ecuación de Schrödinger es cambiada a una ecuación de primer orden pero en su lugar a su vez es una ecuación de segundo grado.

A esto φ(x) es llamado el angulo fase de la funci´on de onda que debe ser mon´otona con respecto a la energ´ıa.

Para visualizar esto podemos ver la figura de arriba donde se puede ver que hay dos puntos de retorno y usamos E ≥ V (x) para poder usar este m´etodo.

Como se dijo anteriormente cuando x incrementa cruzando un nodo de la función de onda ψ(x), φ(x) decrece a −∞ y brinca a +∞ y luego decrece de nuevo. La regla de cuantización está dada por

Z x_B x_A

k(x)dx = N π + Z x_B

x_A

φ(x) dk(x) dx

dφ(x) dx

−1

dx, (2.11)

k(x) = p2µ[E − V (x)]

~ , E ≥ V (x), (2.12)

donde x_Ay x_B son los puntos de retorno que satisfacen E = V (x), N = n + 1 ademas N es el número de nodos de φ(x) en la región E ≥ V (x) y n es el número de nodos de la función de onda ψ esto es concluido comparando las ecuaciones (2.1) y (2.5). Como se puede ver esta regla de cuantización es muy similar a el método WKB (mencionado anteriormente aunque este no es exacto) salvo por el

´

ultimo término que es llamada la corrección cuántica.

Sobre el término N π es la contribución del número de nodos de la derivada logar´ıtmica. Se ha encontrado que para potenciales con soluciones exactas bien conocidas la corrección cuántica es inde- pendiente del número de nodos de la función de onda, tal vez esto se deba a que los potenciales con solución exacta tienen simetr´ıa por lo que la corrección cuántica es invariante bajo el número de nodos, esta conclusión esta enfocada en SUSY [4].

Esto significa que es suficiente de considerar del estado base la correcci´on cu´antica Z x_B

x_A

φ₀(x) dk₀(x) dx

dφ₀(x) dx

−1

dx, (2.13)

donde el subindice ”0” denota el estado base. Sin embargo, el momento k(x) del lado izquierdo de la regla de cuantizaci´on (2.11) esta dado en niveles de energ´ıa E_n. Esto es, los niveles de energ´ıa con sistemas exactamente solubles pueden ser calculados simplemente de su estado base.

(32)

30 2.1. Resumen de la regla de cuantización Ahora aplicaremos este método al cálculo de los niveles de energ´ıa de los potenciales Rosen-Morse trigonométrico simétrico y asimétrico, el potencial molecular hiperbólico y el segundo potencial Pöschl- Teller.

Cabe mencionar que la regla puede ser adoptada a un caso de potencial central en tres dimensiones solo que hay que introducir el potencial efectivo [7,8] como se describe en el ap´endice C.

(33)

Cap´ıtulo 3

Aplicaciones

3.1. Potencial Rosen-Morse trigonom´ etrico sim´ etrico

Se estudia un sistema exactamente soluble que es el potencial Rosen-Morse trigonométrico simétrico [3, 4], el cual está definido por

V (x) = U₀cot²(πx/a), x ∈ [0, a], (3.1)

donde U0y a son dos par´ametros positivos. Introduciendo una nueva variable y tal que y = − cot(πx/a), dy

dx = π(1 + y²)

a , (3.2)

donde y ∈ (−∞, ∞) para x ∈ [0, a]. Los puntos de retorno xA y xB son calculados cuando V (x) = En

as´ı

En= U0y², (3.3)

luego, obtenemos las siguientes propiedades

xA= a

πarccotr En

U0

, xB = a − xA, −yA= yB =r En

U0

. (3.4)

Por lo tanto el momento k(x) entre dos puntos de retorno est´a dado por

k(x) = p2µ[E − V (x)]

~

, (3.5)

entonces

k(x) =

√2µU0

~ q

y_B² − y². (3.6)

Analizando el t´ermino de la derivada de la ec. de Riccati (2.10) d

dxφ(x) = d

dyφ(y)dy

dx, (3.7)

31

(34)

32 3.1. Potencial Rosen-Morse trigonom´etrico sim´etrico

donde se uso la regla de la cadena entonces d

dyφ(y)dy

dx = −2µ

~²

[E − V (x)] − φ(y)², (3.8)

para el caso particular de este potencial la ec. (2.10) cambia a π(1 + y²)

a

dφ(y)

dy = −2µU₀

~²

(y²_B− y²) − φ(y)². (3.9)

Como se menciono anteriormente en el resumen de la regla de cuantización es mucho más fácil de trabajar con el estado base además de que la corrección cuántica es invariante bajo cualquier estado podemos hacer el cálculo en este estado base, que es el más sencillo. También queremos que la función sea monótona y decreciente cuando x se encuentra en la región E ≥ V (x). La única posible solución para estas condiciones es φ0(y) = −Cy + B (C > 0). Substituyendo φ0(y) en la ecuación (3.9) obtenemos

π(1 + y²) a

d(−Cy + B)

dy = −2µU₀

~²

E₀ U0

− y²

− (−Cy + B)² π(1 + y²)

a (−C) = −2µU0

~²

E₀ U0

− y²

− C²y²+ 2CBy − B²

−πC

a −πCy²

a = −2µU0

~²

E0

U₀

+2µU0

~²

y²− C²y²+ 2CBy − B². (3.10)

Igualando los t´erminos correspondientes al grado de y obtenemos tres ecuaciones

−π

aC =2µU0

~²

− C², 0 = 2CB, −π

aC = −2µ

~²

E₀− B², (3.11)

y las tres inc´ognitas son E0, B y C. De esta manera obtenemos las soluciones

C = π 2a 1 +

r

1 +8µa²U0

π²~²

!

, B = 0, yB = ~ s

πC

2µU0a. (3.12) Luego tenemos que

φ0(x) = −C y, E0=~²π² 4µa² 1 +

r

1 + 8µa²U0

π²~²

!

= ~²πC

2µa = ~²C²

2µ − U0, (3.13) as´ı que podemos concluir

r E0

U0

+ 1 = √~C 2µU₀ =

√2µU₀

~ h

C −π a

i−1

. (3.14)

Usando las integrales que se muestran a continuación podemos calcular la corrección cuántica (2.13) Z x_B

x_A

dx

p(xB− x)(x − xA) = π, (3.15)

Z x_B x_A

dx

(ax + b)p(xB− x)(x − xA) = π

p(axA+ b)(axB+ b), (3.16)

(35)

3. Aplicaciones 33 Z xB

xA

ax + b

(1 + x²)p(x_B− x)(x − xA)dx

= Re (Z xB

xA

a + ib

(i + x)p(x_B− x)(x − xA)dx )

= Re

( π(a + ib) p(i + x_A)(i + x_B)

) .

(3.17)

Cabe mencionar que existe una confusi´on en el signo de la ra´ız cuadrada en la ec.(3.17). As´ı que el signo ser´a determinado por otras condiciones. Por ejemplo debido a que I₁> 0 obtenemos

I₁= Z yB

−y_B

1

(1 + y²)py²_B− y²dy = Re

( iπ

p−1 − y_B² )

= π

p1 + y²_B. (3.18) Ahora, la correcci´on cu´antica (2.13) queda como

Z xB

−x_B

φ₀(x) dk₀(x) dx

dφ₀(x) dx

−1

dx

= Z

√

E0/U0

−√

E₀/U₀

φ₀(y) dk₀(y) dy

dφ₀(y) dy

−1

dy dx

−1

dy

= Z

√

E0/U0

−√

E₀/U₀

(−Cy)

"

−y pE0/U0− y²

#

[−C]⁻¹ π(1 + y²) a

⁻¹ dy

= −a√ 2µU₀ π~

Z

√

E0/U0

−√

E₀/U₀

1 + y²− 1

(1 + y²)pE0/U0− y²dy

= −a√ 2µU₀ π~

Z

√

E0/U0

−√

E₀/U₀

dy

pE0/U0− y² − Z

√

E0/U0

−√

E₀/U₀

−dy

(1 + y²)pE0/U0− y²

!

= −a√ 2µU₀

~ 1 − 1

p1 + E0/U0

!

= −a√ 2µU0

~

+ (a C − π).

(3.19)

Por otro lado la integral de momento k(x) en la ec. (2.11) es Z x_B

−xB

k(x)dx = Z y_B

−yB

k(y) dy dx

−1

dy

= ^a

√2µU0

π~

Z yB

−yB

−(1 + y²) + (1 + y_B²) (y²+ 1)py_B² − y² dy

= a√ 2µU0

π~ −π + (1 + y_B²)I1

= −a√ 2µU₀

~

+a√ 2µU₀

~

r En

U0

+ 1.

(3.20)

Por lo tanto, la regla de cuantizaci´on (2.11) queda como a√

2µU₀

~

r En

U0

+ 1 = nπ + aC, (3.21)

donde n = N − 1 es el n´umero de nodos en la funci´on de onda ψ(x). Los niveles de energ´ıa En son obtenidos resolviendo la ec. (3.21)

En = ~²

2µa²(aC + nπ)²− U0, n = 0, 1, 2, · · · . (3.22) Este resultado coincide con lo acordado en las referencias [3, 6].

(36)

34 3.2. Potencial Rosen-Morse trigonom´etrico asim´etrico

3.2. Potencial Rosen-Morse trigonom´ etrico asim´ etrico

Ahora se estudia este potencial que es m´as general que el del cap´ıtulo anterior definido por [4, 6]

V (x) = U0cot²(πx/a) + U1cot(πx/a), U0> 0, x ∈ [0, a]. (3.23)

Usando el mismo cambio de variable que en la secci´on anterior y = − cot²(πx/a), y ∈ (−∞, ∞) los puntos de retorno son calculados por E = V (x) as´ı que

En= U0y²− U1y, yA+ yB = U1/U0, yAyB= −En/U0. (3.24)

Luego, el momento k(x) y su derivada entre dos puntos de retorno est´an dados por

k(x) =

√2µ

~

pEn− U0y²+ U1y, dk dy = −

√2µ U0

~

y − U1/(2U0)

pE_n− U0y²+ U₁y, (3.25) y la ecuaci´on de Riccati (2.10) se convierte en

π(1 + y²) a

dφ(y)

dy = −2µ

~²

(E_n− U₀y²+ U₁y) − φ²(y). (3.26)

Siguiendo el mismo camino que en potencial Rosen-Morse simétrico trigonométrico, proponemos la solución como φ0(y) = −Cy +B (C > 0) para el estado base. Substituyendo en la ec. (3.26), obtenemos

−π

aC = 2µU0

~² − C², 0 = −2µU1

~² + 2CB, −π

aC = −2µE0

~² − B², (3.27) donde se ha igualado los t´erminos en potencias de y, as´ı obtenemos las siguientes soluciones

C = π 2a 1 +

r

1 +8µa²U0

π²~²

!

, B = µU1

C~², φ₀= −Cy + B, (3.28)

E0= ~² 2µ

Cπ a − B²

=~²C²

2µ − U0− µU₁²

2~²C². (3.29)

Ahora la correcci´on cu´antica es calculada del estado base de la misma forma que el potencial anterior

Z x_B

−xB

φ0(x) dk₀(x) dx

dφ₀(x) dx

−1

dx

= −a√ 2µU0

π~

Z y_B yA

(y − B/C) [y − U1/(2U0)]

(1 + y²)p(y_B− y)(y − y_A)dy

= −a√ 2µU0

π~

(Z y_B yA

1

p(y_B− y)(y − y_A)dy − I2

) ,

(3.30)