1206 19 MATEMÁTICA Radicación en Reales Potencia de exponente racional

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(1)Radicacion en R Potencia de exponente racional 2º. 2º Año. Matemática. Cód. 1206-18. Prof. Verónica Filotti Prof. María del Luján Martínez Corrección: Prof. Silvia Amicozzi. Dpto. de Matemática.

(2) Radicación en R - Potencia de exponente racional Matemática La radicación en R Te proponemos que resuelvas este problema: “Encuentra el o los números cuyo cuadrado es igual a. 16 ” 9. En símbolos: x2 . 16 9. Notemos que x puede asumir dos valores x. 4 3. x. o. 4 3. ya que como sabemos: 2. 2. 16 4  4       9 3  3. ¿Qué valores de x satisfacen las siguientes ecuaciones? 27 64 1 b) x 2   9. a) x 3  . Observemos: 3. 3 27  3 En a) sólo x   satisface la igualdad pues      4 64  4. En b) ¡No existe valor de x que verifique la igualdad!, ya que ningún número real elevado al cuadrado da por resultado un número negativo. Es decir: a 2n  0, a Conclusión: Hallar la base de una cierta potencia conocida puede tener una, dos o ninguna solución.. 2. POLITECNICO.

(3) Este problema, de manera análoga a lo que ya estudiaste en R 0 , da lugar al concepto de radicación en R: radical. índice. Si n  1, n  N. n. n. a  b  bn  a. a b. raíz. radicando. De esta manera:. Si a  0 , siempre existe n a Si a  0 , existe sólo si n es impar. Por ejemplo: 1 no existe en R 4. . . . 3. 27 3 27  3    pues      8 2 8  2. . 5. 1  1 pues 15 = 1. . 4. 1 1 1  1  1  ya que        256 4 64 4  4. 3. 4. 4. Actividades 1) Calcula, si existe, el o los valores que representa cada una de las letras: a=. 10000. b=. d=.  121. e=. 0,027. h=. g=. 3. 3. 4. 8000. c=. 3.  1000. 0,0016. f=. 4. 81 256. 75 48. i=. . 75 48. POLITECNICO. 3.

(4) Radicación en R - Potencia de exponente racional Matemática 2) Completa con el signo que posee la raíz en cada caso: Radicando Positivo. Negativo. Índice Impar. Par. 3) Relaciona cada cálculo de la columna de la izquierda con su resultado en la columna de la derecha La suma de la raíz cúbica de 27 y el cuadrado de 3. -1. La diferencia de la raíz quinta de 243 y tres a la cero. -24. La raíz cuarta del producto de 1000 por 0,001. 1. La raíz séptima del cociente entre 64 y su opuesto. 2. La diferencia entre el cubo de (-2) y la raíz cúbica de 4096. 1. La raíz cúbica del producto de (-8) por su recíproco. 12. 4) Indica si las siguientes proposiciones son Verdaderas o Falsas. Justifica tu respuesta. a) La ecuación x4 = 81 tiene dos soluciones en R b) La expresión c). 5.  4,3481  R. d). 6.  2 6.  5 no representa ningún punto en el eje real. es un número natural. e) La longitud del lado de un cuadrado inscripto en una circunferencia de 7 cm. de radio es 98 cm.. 4. POLITECNICO.

(5) PROPIEDADES DE LOS RADICALES A los fines de que las propiedades que estudiaremos sean válidas en el conjunto de los números reales, es necesario que los radicales tengan solución y sea única de modo que si la raíz tiene índice par el radicando deberá ser no negativo y de sus dos posibles soluciones solo se considera la positiva. 1. 2. 3.. 4.. n. an  a ; a ≥ 0.  a. n. n. a ; a≥0. n. a.b . n. a  b. n. a .n b. n. a. n. b. Propiedad distributiva de la radicación con respecto a la multiplicación. ; b  0 Propiedad distributiva de la radicación con. respecto a la división. am . 5.. n. 6.. n p. 7.. n.  a n. m. a . n.p. a Propiedad raíz de otra raíz. am . k .n. ak .m. Actividades 5) Resuelve ,aplicando propiedades 1 900. a) b) c) d). g) 3. 256 3. 3. 24  24 . 8. 2. x a3. h) 3. 24  3 27. x 3a 3. i). 1 3 1 . a a2. 8ab 2 3. 3. 27b 4. ab 3. e) 5 2 . 5 16 f). 25 81 . 64 a2. POLITECNICO. 5.

(6) Radicación en R - Potencia de exponente racional Matemática Ejemplos resueltos 3. . a2. 3. . 2. j). 3a. 3. 3a. l). m). 3. b2. 6. 4. 4. b. a  3.4 a 2.4 3.2. . 6. b 2.2 b. 4.3. 6. a1.3  12 a 8. 12. a 3  12 a 8 .a 3  12 a11. 3. b3  b. b4 6 3  b  b. 3. 1 a 2. k). 2a. m). 2a 3. a2. b 4 2a. ñ). a 2b. 2 6 abc 5. a. 1 xy 2. 3x. ab 6. ab. 3. 3a. ab. 6) Extrae factores fuera del radical Ejemplos:. 125 x 2  5 3 x 2  5 2 5 x 2  5 2 5. . x 2  x 3  x 2 1  x   x 1  x. x 2  5x 5. 144 b 2 x. a) b). . 32 a 5 b 4. 4. 7) Resuelve las sumas algebraicas propuestas: Ejemplos. a). 6. 3. 1 1 5  2  2 2  5     2 2 2 2 . . 2 2 5 2 . . 4 3  5 12  2 75  4 3  5 2 2 3  2 5 2 3  4 3  10 3  10 3  24 3. 5 43 5 . 13 5 3. d) 3a 2 x 3  2ax 3 16 3. a  10 a 2. b). 3  108  5 48. e) - 3. c). a 3  a 16 a  a 1 a 5. f) 3 6 8 x 3  2 4 4 x 2  10 32 x 5. POLITECNICO. 5.

(7) 8) Verifica las siguientes igualdades 3a. a) b). 3. a. . a 3. . 27 a  2  9 a  6 a. .  3 a 2  a.a  1. 5. . 3  12 x  27 b 2  3 . 1  2 x  3b. c). 5   1  a 169  144 4 . d). a. 8. 2. e). a. a3. . . . 15 2. 4 a2. f) 288b 4 x 6  12b 2 x 3 2. g). 3.  343b  3 c 3  . 7c b. 9) Dados p . 1 1 20  2 y q  8  125 , calcula: 2 5. a) p  q . c) p. p . b) p  q . d) p 2  q 2 . e) 3.p  2.q . POLITECNICO. 7.

(8) Radicación en R - Potencia de exponente racional Matemática Racionalización de denominadores Racionalizar un denominador es encontrar una expresión equivalente a la dada sin radicales en el denominador Caso 1 a). b). 3. 3. . 5. 5. 4 3. . 2a 2. 5. . 5. 4 3. 2a 2. 3 5. . .  5. 2. 3. 22 a. 3. 22 a. . 3 5 5. 4. 3 2 2 a. . 3. 23 a 3. 2.3 4a a. . Caso 2 6 5 1. . . 6. . . 5 1. 5 1. . .   5. 5 1.   3. 6 5 1 2. 1. . 5 1 2. Actividades 10) Racionaliza los denominadores de cada una de las siguientes expresiones a) b) c) d) e). 3. 8. h). x2 3. i). 1 2 a a b. 5 3. f) 5 g). 2 3 1. j) k). 3x  y  xy 2x 2. a. 2. x. b. a b 1. 1  xy. 2bc ab. c2 d 5 ab. POLITECNICO. l). 5 2 x 3 y.

(9) POTENCIA DE EXPONENTE RACIONAL Se define:. q. a a p. p q. con p  Z  q  N. La validez de esta igualdad y de las expresiones que aparecerán a continuación está limitada por las restricciones anteriormente consignadas para los radicales y potencias. Ejemplos: 3 5.  2. 3. i). 2  5 23 . ii).  1   3. iii).  3 3   3 3. . 3 4. 4. 5. 3.  1 4  1   4  3 3 4. 3.  3  3. 4.  1   4   3 . . 3. 3. 3. . 4. Actividades 11) Completa según se indica en el ejemplo. a. p q.  2 . q. 3 5. 5.  a q. ap.  2 3. . p. 5.  2 . .  1 . 3. 2.  13    3. 6. 34. 3. 5. POLITECNICO. 9.

(10) Radicación en R - Potencia de exponente racional Matemática PROPIEDADES DE LA POTENCIA DE EXPONENTE RACIONAL La potencia de exponente racional unifica propiedades ya vistas para la potencia de exponente entero. O sea, que deberá justificarse por ejemplo: p Z  q  N ;. ab . p q. p q. a b. p q. En efecto. ab . p (1) q q. . ab . p. ( 2). . q. p. a b. p. (3). . q. a. p q. (1). p q. b  a .b p. p q. (1) por definición de potencia de exponente racional (2) la potencia es distributiva respecto de la multiplicación (3) por la propiedad de radicación. q. xy  x .q y q. De forma análoga se pueden demostrar la validez de las restantes propiedades de la potencia de exponente racional.. Completa :. Forma Simbólica. ab . p q. p q. a b. p q. p.  a q    .......... . b p q. r s. a .a  .......... ......  a   a a. 10. p q r s. p q. r s.    .......... .......    .......... ..... POLITECNICO. Forma Coloquial.

(11) Actividades 12) Escribe en forma de potencia, cada uno de los siguientes radicales y viceversa. 3. a) a. 2. c). b) ab. . 2. d). 3. 5 3. e) x. a 2b. 5. a3 b 3. a. 2 5. . 3. f) a .b 4 2. 2. 13) Determina si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica. 3. 2 5. 1 2. a) a . a  a. 7 10. f).  1 a b 3      2 5. a  1 1 b)  a 3 a 2  : a  a   4 5. c). 5. a : a 4. a. 2. 1. a. 13 20. . 2. 19 30. a b. 1 2. 1   3 4 8 a b   g) 1   3 2  64 a b . . . 1 5.  5 54 a b h)  4   32 1 x 5.    . 2 9. 1 3. 10. . 2a 9 b. . ab. 3 4. 1 4 4. 2 x5 1.  1  3 d)  x 5 x  : x 5  10 x  . e). a. 1. .  2  51 2    3  3 2  31 a  . a    a 60 i)    1    a 2      . 3 2. : a .a  3 a  2 3. 5. POLITECNICO. 11.

(12) Radicación en R - Potencia de exponente racional Matemática 14) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x. x x. . 1 8 x 3 2  b) 3 2 x 3. 1.  x  1 3 h)   5  x  1. 1 2x  3 2 2  c) 2 18  2 x. d) e). 3. x. 5.  ( 2). 5x  7 3. 1 2. . g) 7 x 2  14  x  3  0. 13  8 13. i). 22  x  6. . 1 3. . . j) 3 x  1  5 . 5  1 7 3.  3. k) 2.x  1  5 3  12. 1  1  2    8  1 1 x   f) x  8 2   x 8. 2. l) 3 x . 2  1  18 5. Respuestas 1) a)100 o -100 g)0,3. b)20. c)-10. h) No existe. i). d)No existe. e)0,2 o -0,2. f). 3 3 o4 4. 5 5 o4 4. 2) A cargo del alumno 3) a)12 4) a)V. b)2 b)V. c)+1 o -1 c)F. d) V. d)-1. e)-24. d)1. e) V. 45 1 a 1 b)4 c) 3 d) 4 e) 2 f) g) h) i)6b j) 30 8a a x 1 1 27 2 9 7 5 a x y k) 12 l) 6 m) 10 n) 12 2 3 a 11 b 6 ñ) a 6 3 2 a 4 b 2 2 c 2 32. 5) a). 6) a)12b x 14 7) a) 3 5 3. 648 a7. b)2ab 4 2a b)-25 3. 8) A cargo del alumno. 12. 12. POLITECNICO. c)4a a. d)-ax 3 2. e)  2. 5. a. f)2 2 x.

(13) 9) a)  6  2 5. 6 3. 10) a). 3. b). b)10. . x x. d)  60  20 5. c)  9  4 5. c)  3 1  2. . d). . a a b ab. 5 4 (a  b ) 3 g) ab. abc 3 d 4 f) cd 5. j) a  b. k). 1  xy. l). 1  xy. . .  53 4b 2 c 2 2bc. e). h) 3 x  y. 5 2 x 3 y. e) 22  5. i). 2 x. . 4x  9y. 11) A cargo del alumno 2. b) 3 ab . 12) a) a 3. 2. 5. c). 2 3. a b 13) a)V. b)F. c)V. d)V. 1 3. d) a. . 1 6. 1. b3. e) V. f)V. g)V. 14) a) x  2 b) x  3 c) x  . 19 2. d) x  5 4. g) x   2  x   3 l) . h)F. h) x  1 i) x  196. e). 5. x 2. f). a5 4 b3. i) V. 2 7 f) x   8 5 4 3 6 2 j) x   k) x  3 2. e) x . 1 14  2 3 15. BIBLIOGRAFIA  PREM 8 Buschiazzo,Cattaneo,Gonzalez,Hinrichsen,Filipputti,Lagreca.Editora UNR  Matemática Activa II - Masco,Cattaneo,Hinrichsen- Edit.Universitaria  Matemática 8 de Julia Seveso y otros - Serie Vértice - Editorial Kapeluz  Matemática 9 de Julia Seveso y otros - Serie Vértice - Editorial Kapeluz  Álgebra Intermedia de Allen R. Angel (Sexta Edición) . Editorial Pearson  Matemática I - Polimodal – Kaczor, Schaposchnik,Franco,Cicala,Díaz– Edit Santillana  Matemática I. Ciencias. Polimodal - Álvarez, Alvarez, Martinez – Editorial Vincent Vives.. POLITECNICO. 13.

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