Modelamiento de muros delgados de concreto armado con elementos Lattice Truss

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

TESIS

MODELAMIENTO DE MUROS DELGADOS DE CONCRETO

ARMADO CON ELEMENTOS LATTICE TRUSS

PARA OBTENER EL TÍTULO PROFESIONAL DE INGENIERO CIVIL

ELABORADO POR

EDEN ANGEL CAPCHA MOLINA ASESOR

Mg. Jorge Luis Gallardo Tapia

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DEDICATORIA

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AGRADECIMIENTO

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

CONTENIDO

RESUMEN ... 1

ABSTRACT ... 2

PRÓLOGO ... 3

LISTA DE TABLAS ... 5

LISTA DE FIGURAS ... 7

CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN ... 12

1.1 ANTECEDENTES ... 12

1.2 PROBLEMÁTICA ... 13

1.3 OBJETIVOS ... 14

1. 3. 1 Objetivo General ... _ .... 14

1.3.2 Objetivos Específicos ... 14

1.4 HIPÓTESIS ... 14

CAPITULO 11: MARCO TEÓRICO ... 15

2.1 ANÁLISIS LINEALES ... 15

2.2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN ... 15

2.2.1 Formas De Modo Y Eigenvalores Del Sistema ... 15

2.2.2 Desacoplamiento Modal. ... 16

2.2.3 Superposición Modal Espectral. ... 18

2.2.4 Integración Directa De Las Ecuaciones Diferenciales ... 19

2.3 ANÁLISIS NO LINEALES ... 20

2.3.1 No Linealidad En Los Materiales ... 20

2.3.2 No Linealidad Geométrica ... 20

2.3.3 Análisis No Lineales ... 21

2.4 MODELOS DE ANÁLISIS NO LINEAL. ... 21

2.4.1 Micromodelos ... 21

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FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CONTENIDO

2.4.2 Macromodelos ... 22

2.4.3 Macromodelos En Muros ... 24

2.5 TEORÍA DEL CAMPO DE COMPRESIONES MODIFICADA ... 28

2.6 ESTIMACIÓN TEÓRICA DE LA RESISTENCIA DE MUROS DE CONCRETO ARMADO ... 36

2.6.1 Necesidad De Confinar Los Bordes De Los Muros ... 36

2.6.2 Momento Y Cortante De Agrietamiento ... 37

2.6.3 Resistencia Última Teórica Al Cortante ... 38

2.6.4 Cortante Máximo Por Flexocompresión ... 40

2.6.5 Resistencia Al Deslizamiento ... 40

CAPÍTULO 111: MODELOS DE ARMADURAS NO LINEALES ... 41

3. 1 1 NTRODUCCIÓN ... 41

3.2 MODELOS DE ARMADURAS EN MUROS DE CONCRETO ARMADO ... .42

3.3 MODELAMIENTO MEDIANTE LATTICE TRUSS ... 43

3.3.1 Componentes Verticales ... 44

3.3.2 Componentes Horizontales ... 46

3.3.3 Componentes Diagonales ... 47

3.4 INTERACCIÓN ENTRE DIAGONALES ... 50

3.5 APLICACIÓN DE LAS CARGAS ACTUANTES Y CONDICIONES DE BORDE ... 52

CAPÍTULO IV: COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE LOS MATERIALES .... 54

4.1 INTRODUCCION ... 54

4.1 CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN DEL ACERO ... 54

4.1.1 Modelos De Mander ... 54

4.1.2 Modelo De Dodd-Restrepo ... 56

4.2 MODELO CÍCLICO DE DODD-RESTREPO PARA EL ACERO ... 58

4.3 MODELOS DEL COMPORTAMIENTO MONOTÓNICO DEL CONCRETO .61 4.3.1 Comportamiento Monotónico En Compresion ... 61

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4.3.2 Modulo De Elasticidad Del Concreto ... 62

4.3.3 Comportamiento Monotónico En Tracción ... 62

4.4 MODELAMIENTO DEL COMPORTAMIENTO CÍCLICO DE CONCRETO ... 64

4.4.1 El Modelo De Schoettler-Restrepo ... 64

4.4.2 Modelo De Schoettler-Restrepo Aplicado Al Concreto ... 73

4.4.3 Comportamiento Cíclico Experimental Del Concreto ... 75

CAPÍTULO V: VALIDACIÓN DE MODELOS CON RESULTADOS EXPERIMENTALES ... 81

5.1 INTRODUCCIÓN ... 81

5.2 CASO DE ESTUDIO SAN BARTOLOMÉ ET AL. (2002) ... 81

5.2.1 Características Geometricas ... 81

5.2.2 Características De Los Materiales ... 82

5.2.3 Técnica De Ensayo ... _. ... 83

5.2.4 Resumen De Resistencias Teóricas ... 83

5.3 PREDICCIÓN DE LA RESPUESTA CÍCLICA CON ELEMENTOS LA TTICE-TRUSS ... 84

5.3.1 Efecto De La Posición De Los Elementos Externos ... 84

5.3.2 Efecto Del Ángulo De Inclinación De Las Diagonales ... 94

5.4 CASO DE ESTUDIO MEDINA (2005) ... 98

5.4.1 Características Geométricas ... 98

5.4.2 Tecnica De Ensayo ... 99

5.4.3 Propiedades Mecánicas De Los Materiales ... 99

5.5 PREDICCIÓN DE LA RESPUESTA CICLICA MEDIANTE ELEMENTOS LATTICE-TRUSS ... 102

5.5.1 Malla De Nueve Elementos ... 102

5.5.2 Resultados Numéricos Mfien3ep ... 108

5.5.3 Resultados Numericos Mqe188ep ... 110

5.5.4 Resultados Numéricos Mqe257ep ... 112

5.6 EFECTO DE LA INTERACCIÓN DE DIAGONALES ... 114

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5.7 EFECTO DEL TAMAÑO DE LA MALLA ... 117

5.8 MODELO SIMPLIFICADO PARA LA ESTIMACIÓN DE LA RESISTENCIA LATERAL DE MUROS DE CONCRETO ARMADO ... 122

5.8.1 Efecto De La Esbeltez En La Resistencia Lateral ... 122

5.8.2 Modelo Simplificado En El Caso De Muros Bajos ... 122

5.8.3 Modelo Simplificado En El Caso De Muros Esbeltos ... 125

5.8.4 Capacidad Predictiva Del Modelo Propuesto ... 128

CONCLUSIONES ... 130

RECOMENDACIONES ... 134

BIBLIOGRAFIA ... 135

ANEXOS ... 138

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RESUMEN

RESUMEN

El estudio de los modelos matemáticos para la predicción de las repuestas sísmicas es un de tema de interés creciente en la ingeniería, en especial en la evaluación del desempeño sísmico. Aunque en la actualidad existen numerosos modelos, en este trabajo se estudian los modelos de armadura no lineales (/attice truss), ya que se ha visto en trabajos anteriores que han presentado un buen desempeño.

En este trabajo se estudia la capacidad de predicción de la respuesta cíclica de los modelos de armaduras no lineales (/attice-truss) aplicados a muros delgados de concreto armado, en específico se estudia el efecto de parámetros de interés como el tamaño de la malla usada en la predicción de los resultados, la inclusión o no de la degradación de resistencias por interacción de las diagonales y el efecto de la inclinación de las diagonales.

La correcta modelación dependerá en general de la correcta inclusión de las propiedades no lineales de los materiales componentes, como el acero de refuerzo y el concreto sin confinar; en este trabajo se usó el modelo de Dodd Restrepo para la modelación del comportamiento cíclico del acero de refuerzo, mientras que para el modelamiento del comportamiento cíclico del concreto se usó el modelo de Schoettler-Restrepo.

Con la finalidad de evaluar la capacidad predictiva de los modelos lattice-truss se procedió a comparar los resultados obtenidos numéricamente con los resultados experimentales de cuatro muros de ductilidad limitada ensayados en la Universidad Nacional de Ingeniería y en la Pontificia Universidad católica del Perú, encontrándose en todos los casos que las predicciones de la respuesta cíclica usando modelos lattice-truss se ajusta de manera razonablemente precisa a los resultados experimentales.

MODELAMIENTO DE MUROS DELGADOS DE CONCRETO ARMADO CON ELEMENTOS LATTICE-TRUSS

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ABSTRACT

The study of mathematical models for the prediction of seismic responses is an issue of growing interest in engineering, especially in the evaluation of seismic performance. Although many models exist today, in this work we study the non linear cyclic truss models (lattice-truss), since it was seen in previous works that presented a good performance.

In this paper, we study the predictive capacity of the cyclic response of the non linear cyclic truss models applied to thin walls of reinforced concrete. Specifically, we study the effect of parameters interest, such as mesh size, in prediction of the results, the inclusion or not of the degradation of resistance by the interaction of the diagonals and the effect of the inclination of the diagonals.

The correct modeling will generally depend on the correct inclusion of the non linear properties of the component materials, such as reinforcing steel and unconfined concrete; in this work, the Dodd-Restrepo model was used for modeling the behavior of reinforcing steel, while the model of Schoettler-Restrepo was used to model the cyclic behavior of concrete.

In order to evaluate the predictive capacity of the non-linear cyclic models (lattice truss) we proceeded to compare the results obtained numerically with the experimental results of four walls of limited ductility tested at the Universidad Nacional de Ingeniería and at the Pontificia Universidad Católica del Perú. AII cases predicting the cyclic response using lattice-truss models fit the experimental results reasonably accurately.

MODELAMIENTO DE MUROS DELGADOS DE CONCRETO ARMADO CON ELEMENTOS LATTICE-TRUSS

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PRÓLOGO

En el Perú el uso de muros de concreto armado como sistema resistente frente a cargas laterales se ha ido incrementando en los últimos años, en especial el uso de muros delgados de concreto armado en los que se prescinde del confinamiento de los elementos de borde (muros de ductilidad limitada); aunque actualmente existe información disponible acerca del comportamiento cíclico de este tipo de muros, existen situaciones en las que se requiere modelos numéricos capaces de predecir adecuadamente la respuesta cíclica de estos, tales casos son por ejemplo la evaluación del desempeño sísmico de estructuras construidas con base en este tipo de muros.

Dentro del estado del arte de la ingeniería estructural existen esencialmente dos posibles formas de modelación para elementos de concreto armado, en especial para el modelamiento de muros; la primera forma es mediante el uso de micromodelos, lo que esencialmente implica el uso del método del elemento finito para la predicción de las respuestas no lineales de la estructura frente a diversas cargas; en general este es un método de gran potencia a la hora de predecir la respuesta estructural ya que es capaz de dar resultados punto a punto. Sin embargo el esfuerzo de computo es grande y actualmente sólo es practico si se usa para modelar ciertas regiones de una estructura.

La segunda forma de modelamiento es mediante el uso de macromodelos, estos generalmente son construidos a partir de la observación del fenómeno físico experimental, por tanto existen diferentes macromodelos si se intenta modelar el comportamiento cíclico de vigas, columnas o muros de concreto armado. El modelo más sencillo para predecir el comportamiento cíclico es el modelo de una componente de Giberson, usado comúnmente para el modelamiento de vigas y columnas, ejemplos de modelos más complejos preparados para el modelamiento de muros de concreto armado son por ejemplo el modelo de tres componentes verticales (Kabeyasawa et. al. 1983), o el modelo de múltiples componentes verticales (Kolozvari, 2013), los modelos de armaduras no lineales (Lattice-truss), basados en modelos puntal-tirante, son otra alternativa para la predicción de las respuestas cíclicas; ejemplos de este tipo de modelos son los presentados por Park et. al. (2007) y Panagiotou et. al. (2012).

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FACUL TAO DE INGENIERIA CIVIL PRÓLOGO

En este trabajo se han estudiado específicamente los modelos Lattice-Truss en la predicción de la respuesta cíclica de muros delgados, de esta manera se estará proporcionando una herramienta alternativa para su estudio. El trabajo inicia con el capítulo I en la que se encuentra un breve resumen del trabajo presentado.

En el capítulo II se presenta el marco teórico usado como base para el desarrollo de este trabajo. En este capítulo se ha hecho una revisión de los procedimientos de análisis lineal, se han revisado los métodos de disponibles para el análisis no lineal de estructuras, se muestran también los diferentes micromodelos más usados en la actualidad.

En el capítulo 111 se presentan las características más importantes del comportamiento no lineal del acero y el concreto, además se presentan los modelos más usados para la predicción de la respuesta monotónica del concreto y el acero, en este caso los modelos de Hognestad y Mander; para el modelamiento del comportamiento cíclico se presentan los modelos Schoettler Restrepo y Dood-Restrepo para el concreto y el acero respectivamente.

El capítulo IV estudia los modelos de armaduras no lineales (Lattice-truss) presentados en este trabajo, muestra los procedimientos requeridos para la correcta modelación de un muro, muestra los pasos para la determinación de las áreas efectivas de los componentes de los elementos /atttice y la determinación de las características de los elementos frame con base en el acero de refuerzo colocado en el muro.

El capítulo V usa la metodología presentada en los capítulos anteriores para la modelación de un grupo de muros de ductilidad limitada, ensayados previamente por otros autores. De esta manera se busca evaluar la capacidad de los modelos para predecir la respuesta cíclica de los especímenes estudiados, encontrándose que en todos los casos los modelos de lattice-truss predicen de manera razonablemente precisa los resultados experimentales presentados por otros autores.

Mag. Jorge Luis Gallardo Tapia

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FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL LISTA DE TABLAS

LISTA DE TABLAS

Tabla 3.1: Cálculo de las áreas de elementos verticales ... 45

Tabla 3.2: Áreas de acero de los elementos verticales . ... 45

Tabla 4.1: Resumen de las características del espécimen estudiado . ... 59

Tabla 4.2: Parámetros requeridos por el modelo de Dodd-Restrepo ... 59

Tabla 5.1: Resumen de resistencias teóricas del muro M1 . ... 84

Tabla 5.2: Áreas de las componentes de los elementos Lattice del modelo M1. 87 Tabla 5.3: Fuerzas de fluencia en los Lattice del modelo M1 ... 87

Tabla 5.4: Áreas de elementos Frame de refuerzos longitudinales y transversales del modelo M 1 . ... 87

Tabla 5.5: Áreas de las componentes de los elementos Lattice del modelo M2. 89 Tabla 5.6: Fuerzas de fluencia en los Lattice del modelo M2 ... 89

Tabla 5. 7: Parámetros del comportamiento monotónico del concreto para la malla M1 (línea 1) . ... .-... 90

Tabla 5.8: Parámetros del comportamiento cíclico del concreto para la malla M1 (Línea 2) . ... 90

Tabla 5.9: Parámetros asignados a las diagonales del modelo M1 ... 90

Tabla 5.1 O: Áreas de las componentes de los elementos Lattice del modelo M3 . ... 94

Tabla 5.11: Fuerzas de fluencia en los Lattice del modelo M3 . ... 94

Tabla 5.12 : Áreas de elementos Frame de refuerzos longitudinales y transversales del modelo M3 . ... 95

Tabla 5.13: Parámetros del comportamiento monotónico del concreto para la malla M3 (línea 1) . ... 96

Tabla 5.14: Parámetros del comportamiento cíclico del concreto para la malla M3 (Línea 2) ... 96

Tabla 5.15: Parámetros asignados a las diagonales del modelo M3 ... 96

Tabla 5.16: Características de los muros MFIEN3EP, MQE188EP y MQE257EP . ... 100

Tabla 5.17: Resumen de propiedades de elementos Lattice-Truss en el modelo MFIEN3EP ... 105

Tabla 5.18: Resumen de propiedades de los elementos Frame en el modelo MFIEN3EP ... 106

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FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL LISTA DE TABLAS

Tabla 5.19: Resumen de propiedades de elementos Lattice-Truss, en modelos MQE188 y MQE257 ... 106 Tabla 5.20: Resumen de propiedades de elementos Frame en el modelo MQE1888EP-01 ... 107 Tabla 5.21: Resumen de propiedades de elementos Frame en el modelo MQE257EP-01 ... 107 Tabla 5.22: Características geométricas de los lattice del modelo MFIEN3EP. 118 Tabla 5.23: Fuerzas de fluencia de los lattice del modelo MFIEN3EP . ... 118 Tabla 5.24: Parámetros del modelo de Schoettler-Restrepo usados en MFIEN3EP . ... 118 Tabla 5.25: Parámetros que definen la interacción de las diagonales en MFIEN3EP ... 119 Tabla 5.26: Parámetros de los elementos trame usados en el modelo MFIEN3EP . ... 119 Tabla 27: Resultados obtenidos de la aplicación de los modelos simplificado, en la predicción de la resistencia lateral. ... 128

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FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL LISTA DE FIGURAS

LISTA DE FIGURAS

Figura 2-1: Relaciones no lineales en el concreto (Yankelevsky et al. 1989) y el acero (Dodd et al. 1995) ... 20 Figura 2-2: Modelamiento de columna de concreto armado usando elementos finitos (Moharrami 2016) . ... 21 Figura 2-3: Respuesta cíclica obtenida de la modelación y las deformaciones unitarias en el concreto, (Moharrami 2016) ... 22 Figura 2-4: Modelo de una componente de Giberson . ... 23 Figura 2-5: a) Modelo de dos componentes y b) modelo de multi-resortes . ... 23 Figura 2-6: Modelos de plasticidad distribuida, a) Rótula de longitud finita y b) Modelo de fibras . ... 24 Figura 2-7: Modelo de un componente vertical para la modelación de muros de concreto armado ... 25 Figura 2-8: Modelo de tres componentes verticales, a) Con resorte flexiona!. y b) sin resorte flexiona! ... 26 Figura 2-9: Modelo de múltiples elementos verticales, Kolozvari 2013 . ... 27 Figura 2-10: a) Modelo de armaduras propuesto por Park et al. 2007 y b) Modelo de armaduras propuesto por Panagiotou et al. 2012 . ... 28 Figura 2-11: a) Panel de concreto armado sujeto a esfuerzos normales y cortantes y b) deformaciones asociadas . ... 29 Figura 2-12: a) Elemento representativo y b) circunferencia de deformaciones de Mohr . ... 30 Figura 2-13: Diagrama de cuerpo libre de elemento de concreto armado ... 31 Figura 2-14: a) Esfuerzos actuantes sobre elemento representativo y b) esfuerzos y direcciones principales ... 31 Figura 2-15: Disposición de los actuadores y conectores usados para aplicar los esfuerzos cortantes y normales, (Vecchio y Collins 1986) . ... 32 Figura 2-16: Dependencia de la resistencia a la compresión y las deformaciones principales . ... 33 Figura 2-17: Relación entre la resistencia máxima a la compresión y la deformación principal de tensión . ... 33 Figura 2-18: Relación tridimensional de la resistencia a compresión del concreto y las deformaciones principales de tracción y compresión ... 34

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FACUL TAO DE INGENIER{A CIVIL LISTA DE FIGURAS

Figura 2-19: Relación entre los esfuerzos y deformaciones de tracción del

concreto ... 35

Figura 3-1: Regiones de discontinuidad geométrica y cargas, tomado del ACI 318-2014 . ... 41

Figura 3-2: Modelo de puntal y tirante, tomado del ACI 318-2014 ... 42

Figura 3-3: Geometría y refuerzo de un muro de concreto armado y un modelo de armaduras (Lattice-truss) ... 43

Figura 3-4: Determinación de las áreas de concreto y acero para los elementos verticales . ... 45

Figura 3-5: Determinación de las áreas de concreto y acero para los elementos horizontales . ... 47

Figura 3-6: Determinación de las áreas de concreto para las diagonales . ... 48

Figura 3-7: Determinación de los esfuerzos y direcciones principales en un muro sometido carga lateral y axial, según la mecánica de materiales . ... 49

Figura 3-8: Modelo típico de un muro de concreto armado mediante elementos Lattice-Truss .... , .. 50

Figura 3-9: Interacción entre las diagonales y reducción del factor de resistencia, Panagiotou et al. 2012 ... 51

Figura 3-1 O: Aplicación de carga vertical al modelo y condiciones de borde ... 53

Figura 4-1: Curva esfuerzo deformación del acero, según Mander 1983 . ... 55

Figura 4-2: Curvas esfuerzo deformación del acero a) en coordenadas naturales y b) en coordenadas ingenieriles, (Dood et al. 1995) ... 56

Figura 4-3: Comparativa de los resultados obtenidos usando el modelo de Dodd-Restrepo y los resultados experimentales reportados por Kent y Park (1973) . .. 60

Figura 4-4: Modelo de Hognestad para el concreto si confinar . ... 61

Figura 4-5: Curva esfuerzo deformación del concreto en tracción ... 62

Figura 4-6: Curva monotónica del modelo de Schoettler-Restrepo . ... 64

Figura 4-7: Comportamiento cíclico pre y pos-agrietamiento del modelo . ... 67

Figura 4-8: Comportamiento cíclico en el intervalo pos-agrietamiento y pre-fluencia . ... 68

Figura 4-9: Comportamiento cíclico en el intervalo pos-fluencia y pre-agrietamiento ... 69

Figura 4-10: Comportamiento cíclico en el intervalo posfluencia y prefluencia ... 70

Figura 4-11: Comportamiento cíclico en el intervalo posfluencia y _{posfluencia . . 70}

Figura 4-12: Comportamiento cíclico en el intervalo posfluencia y posfluencia . . 71

Bach. Edén Angel Capcha Molina Pag. 8

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FACULTAD DE INGENIERfA CIVIL LISTA DE FIGURAS

Figura 4-13: Regiones donde es aceptable la ubicación del punto que define el Pinch . ... 72 Figura 4-14: Parámetros para la modelación del comportamiento monotónico del concreto ... 7 4 Figura 4-15: Comportamiento cíclico uniaxial del concreto, Yankelevsky et al. (1989) . ... 76 Figura 4-16: Detalle del paso de tracción a compresión en elementos de concreto, Yankelevsky et al. 1989 ... 77 Figura 4-17: Comportamiento cíclico del concreto obtenido con el modelo de Schoettler-Restrepo ... 78 Figura 4-18: Comparativa de los resultados numéricos y experimentales, curva tipo 1. ... 79 Figura 4-19: Comparativa de los resultados numéricos y experimentales, curva tipo IV . ... 80 Figura 5-1 : Geometría y refuerzos de muros estudiados por San Bartolomé et al. (2002) . ... ·.·. 82 Figura 5-2: Técnica de ensayo empleada por San Bartolomé et al. (2002) ... 83 Figura 5-3: Modelos M 1 y M2 con nueve elementos Lattice y cuatro elementos Frame .... 85 Figura 5-4: Modelo M3 con doce elementos /attice y cinco elementos Frame .... 85 Figura 5-5: Dimensiones y ángulo de inclinación de elementos Lattice usados en el mallado M1 y M3 ... 86 Figura 5-6: Posición de los elementos externos para el mallado M1 y M2 . ... 86 Figura 5-7: Comparativo de los resultados Numéricos del modelo M1 y resultados experimentales . ... 92 Figura 5-8: Comparativo de los resultados Numéricos del modelo M2 y resultados experimentales . ... 92 Figura 5-9: Comparativo de los resultados numéricos obtenidos de los modelos M1 y M2 ... 93 Figura 5-10: Comparativo de los resultados Numéricos del modelo M3 y resultados experimentales . ... 97 Figura 5-11: Vistas frontal y lateral del espécimen estudiado ... 98 Figura 5-12: Instrumentación usada en la medición de fuerzas y desplazamientos (Medina, 2005) ... 99

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Figura 5-13: Distribución de refuerzos en los muros estudiados, MFIEN3EP,

MQE188EP-01 y MQE 257EP-01, Medina (2005) . ... 100

Figura 5-14: Modelo de armaduras propuesto para la modelación de los muros MFIEN3EP, MQE188EP-01, MQE257EP-01 . ... 102

Figura 5-15: Tipos de Lattice-Truss usadas en la modelación . ... 103

Figura 5-16: Curvas esfuerzo deformación del acero grado 60 ... 103

Figura 5-17: Curva esfuerzo deformación del concreto sin confinar ... 104

Figura 5-18: Disposición de los elementos frame en los modelos de los muros MFIEN3EP y MQE188, MQE257 . ... 104

Figura 5-19: Patrón de desplazamientos aplicados en ensayo cíclico ... 108

Figura 5-20: Comparativa de los resultados numéricos y experimentales, MFIEN3EP ... 109

Figura 5-21: Comparación de las resistencias medidas y calculadas por ciclos, MFIEN3EP ... 109

Figura 5-22: Patrón de desplazamientos aplicado al muro MQE188EP-01 ... 110

Figura 5-23: Comparativa entre los resultados experimentales y numéricos, MQE188EP-01 ... 111

Figura 5-24: Comparativa de resistencias experimentales y numéricas, MQE188EP-01 ... 111

Figura 5-25: Patrón de desplazamientos aplicado al muro MQE257EP . ... 112

Figura 5-26: Comparativa entre los resultados experimentales y numéricos, MQE257 . ... 113

Figura 5-27: Comparativa de resistencias experimentales y numéricas, MQE257. ··· 113

Figura 5-28: Comparativa entre los resultados obtenidos con la inclusión o no inclusión del efecto de reducción de resistencias por interacción de diagonales, muro MFIEN3EP ... 114

Figura 5-29: Comparativa entre los resultados obtenidos con la inclusión o no inclusión del efecto de reducción de resistencias por interacción de diagonales, muro MQE188 . ... 115

Figura 5-30: Comparativa entre los resultados obtenidos con la inclusión o no inclusión del efecto de reducción de resistencias por interacción de diagonales, muro MQE257 . ... 115

Figura 5-31: Malla de 32 elementos lattice y 8 tipos de elementos frame usados en la modelación del muro MFIEN3EP . ... 117

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Figura 5-32: Tipos de lattice usados en la modelación ... 117 Figura 5-33: Comparativa entre resultados experimentales y resultados numéricos obtenidos con una malla de 32 elementos ... 120 Figura 5-34: Comparativa de resistencias experimentales y resistencias obtenidas con el uso de una malla de 32 elementos ... 121 Figura 5-35: Modelo de armadura simplificado para muros de concreto armado . ... 123 Figura 5-36: a) Modelo del muro en el estado último y b) diagrama de fuerzas en nudos 4 y _{3 ... 124} Figura 5-37: Modelo práctico de armaduras para muros esbeltos de concreto armado . ... 126 Figura 5-38: Modelo de muros esbelto en estado último y diagrama de fuerzas . ... 127

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FACULTAD DE INGENIER{A CIVIL CAP I: INTRODUCCIÓN

CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN

1.1 ANTECEDENTES

En la actualidad es posible encontrar diferentes modelos matemáticos capaces de representar el comportamiento no lineal de muros de concreto armado. En este sentido se ha prestado especial atención a los modelos de armaduras para el análisis no lineal (Nonlinear Ciclic Truss Mode/) que en algunos estudios previos han demostrado ser modelos eficientes al representar el comportamiento de elementos de concreto armado.

El uso de modelos de armaduras, como herramienta para la solución de ciertos problemas de análisis estructural se remonta hasta el año 1941, con el trabajo de Hrenikoff, titulado "Framework Method and its technique for solving plane stress problems". En este trabajo el autor propone resolver problemas de elasticidad lineal mediante un equivalente del problema en armaduras, obteniendo así un método de solución práctico para problemas bastante complejos.

Existen trabajos más recientes que hacen uso del enfoque adoptado por Hrenikoff, en estos casos estas ideas han sido extendidas y adaptadas para la determinación de la respuesta estática y cíclica de elementos de concreto armado. A continuación se mencionan los trabajos más relevantes sobre este tema.

Ortiz (2014) estudió el efecto de la forma de la sección, formas rectangulares y T, en el comportamiento sísmico de muros delgados de concreto armado; mediante el uso de elementos Lattice-Truss y Frame para representar el concreto y el acero de refuerzo, respectivamente. Los resultados teóricos fueron comparados con los datos experimentales de muros delgados de concreto armado obtenidos por Thomsen y Wallace (2004), encontrándose muy buena correlación entre estos.

Moharrami et al. (2014) usó modelos de armaduras no lineales para el estudio del comportamiento cíclico de columnas de concreto armado. En este trabajo se presentaron modificaciones a las curvas esfuerzo deformación del concreto para tomar en cuenta el aporte de la fricción en grietas (aggregate interlock) a la resistencia cortante. Finalmente se presentaron los resultados comparativos encontrándose una buena correlación entre los resultados experimentales y calculados.

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FACUL TAO DE INGENIER{A CIVIL CAP I: INTRODUCCIÓN

Panagiotou et al. (2012) y Lu et al. (2013), hicieron uso de modelos de armaduras no lineales para poder predecir el comportamiento no lineal de muros de concreto armado, obteniendo predicciones que ajustan razonablemente bien a las respuestas experimentales. Este tipo de modelos es capaz de incluir las curvas esfuerzo deformación del acero y el concreto, representar adecuadamente el problema de interacción momento-cortante e incluye la teoría modificada del campo de compresiones (Vecchio y Collins, 1985).

1.2 PROBLEMÁTICA

La práctica actual de la ingeniería y la investigación requieren de modelos computacionales capaces de predecir de manera razonable el comportamiento cíclico de diferentes elementos estructurales, además estos modelos deben ser, en la medida de las posibilidades, eficientes en el uso de los recursos de cómputo.

Actualmente es posible el uso de elementos finitos no lineales para la predicción de la respuesta cíclica de muros de concreto armado. Sin embargo estos modelos resultan complejos en su implementación y requieren de un gran esfuerzo de cómputo; por tanto se requiere un modelo simplificado que sea capaz de predecir de manera razonable el comportamiento cíclico de estos elementos.

Por otro lado los macromodelos de mayor difusión, implementados en conocidos programas comerciales de análisis estructural, presentan limitaciones importantes a la hora de enfrentarse a la tarea de predecir el comportamiento cíclico de muros de concreto armado, en especial los muros delgados de concreto armado, muy comunes en la práctica constructiva del Perú y que por sus características presentan un tipo especial de lazos histeréticos.

En este sentido, en este trabajo se hace un estudio de los modelos de armaduras no lineales (Non/iear Ciclic Truss Model) y su aplicación a la predicción de la respuesta cíclica de muros delgados.

(21)

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CAP I: INTRODUCCIÓN

1.3 OBJETIVOS

4.2.1 OBJETIVO GENERAL

o Mostrar la capacidad de los modelos Lattice Truss en el modelamiento de

la respuesta sísmica de muros delgados.

4.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

o Evaluar el efecto de los materiales (malla electrosoldada) en el

comportamiento de muros de ductilidad limitada.

o Evaluar la influencia del tamaño de la malla en los resultados obtenidos.

1.4 HIPÓTESIS

o Es posible representar el comportamiento sísmico de muros delgados mediante el uso de elementos Lattice-truss.

o La teoría del campo de compresiones modificada representa

adecuadamente el comportamiento de los elementos de concreto.

(22)

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FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CAP 11: MARCO TEÓRICO

CAPITULO 11: MARCO TEÓRICO

2.1 ANÁLISIS LINEALES

Los análisis lineales o de primer orden, en el contexto del análisis de estructuras, son procedimientos matemáticos que plantean ecuaciones de movimiento en las posiciones no deformadas de la estructura, es decir no toman en cuenta la

deformación producto de las cargas impuestas, y además tienen como base el uso

de las propiedades iniciales de los materiales; entre estas propiedades están las rigideces, las masas y amortiguamientos.

Si es posible idealizar una estructura como un ensamble de masas, rigideces y elementos de amortiguamiento; entonces las ecuaciones de movimiento resultantes pueden ser escritas como:

Mx +ex+

Kx

=

-MJx

₉

Dónde:

x: Vector de desplazamientos.

M: Matriz de masas del sistema.

K: Matriz de rigidez del sistema.

C: Matriz de amortiguamiento del sistema.

x₉: Aceleración del suelo.

2.2 MÉTODOS DE SOLUCIÓN

4.2.3 FORMAS DE MODO Y EIGENVALORES DEL SISTEMA

Si se considera al sistema en vibración libre, esto es que el sistema está libre de cargas externas, y además se ignora el efecto del amortiguamiento en las ecuaciones de movimiento se tiene un sistema homogéneo o ecuación característica del sistema.

Además si se supone la respuesta del sistema estructural como el producto de un vector de posición en altura y una función escalar dependiente del tiempo,

(23)

FACULTAD DE INGENIERfA CIVIL CAP 11: MARCO TEÓRICO

entonces el sistema puede ser reducido a un problema de vectores y valores característicos.

Mx+Kx= o

X

=

'Pi sin(w_it

+

o)

Dónde:

'Pi: i-ésimo Vector característico del sistema o i-ésima forma de modo.

w( i-ésima frecuencia cíclica.

4.2.4 DESACOPLAMIENTO MODAL

En general las ecuaciones de equilibrio resultan en un sistema acoplado, por tanto los métodos para sistemas de un grado de libertad no pueden ser aplicados a cada ecuación de manera directa, sin embargo es posible realizar un cambio de coordenadas usando una base distinta, en este caso una base compuesta por los vectores propios del sistema, de la siguiente manera:

Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuación del movimiento y al multiplicar por la izquierda el sistema anterior con la transpuesta de cp, se tiene:

Aprovechando las propiedades de ortogonalidad de los vectores característicos respecto a la matriz de masas y a la matriz de rigidez:

tM O . .

'Pi 'Pi

= ,

l

*

J

(24)

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CAP 11: MARCO TEÓRICO

Y si se supone que:

Se obtiene:

<p/C<fJi

=

O, i

*

j

<p.tC<p· <p.tK<p· -<p.tMJ

·· +

l l .

+ l l l ..

a- ---a· ---a·

=

---u

i <p/M<pi i <p/M<pi i <p/M<pi 9

1 <p·tC<p· R. ___ l l /J

i

-2w¡ <p/M<pi

Como se puede observar de las expresiones anteriores, se han generado "n" ecuaciones diferenciales lineales desacopladas, además con la siguiente sustitución:

Se tiene lo siguiente:

a¡

=

r¡d¡

ál

=

ridl

ªi

=

r¡c(

<p.tc<p- <p.tK<p·

a.+

l l

d-

+

l l _d-

=

-x

i <p/M<pi i <p/M<pi i g

La ecuación desacoplada anterior corresponde al factor de participación dinámica de cada modo componente y puede ser resuelta fácilmente, mediante el método de Newmark, aceleración lineal, aceleración constante, diferencia central, entre otros métodos aproximados.

(25)

4.2.5 SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL

El método de superposición modal espectral consiste en obtener las respuestas máximas de las ecuaciones desacopladas anteriores, por medio de espectros de respuesta, que en la mayoría de casos son funciones fáciles de obtener ya que resultan de la solución de un sistema de un grado de libertad con determinado periodo y amortiguamiento. Por tanto se tienen las respuestas máximas de las "n" formas modales de manera independiente la una de la otra:

Ü· _L

= m.f-(d)

_'t'L L i _max

De las ecuaciones anteriores se puede ver que las respuestas máximas de cada forma de modo no necesariamente ocurren al mismo tiempo, por tanto una suma directa del aporte a la respuesta total del sistema podría diferir demasiado de la respuesta real. Ante esto existen en la literatura algunas formas recomendadas de combinación de respuestas modales espectrales, tales como la raíz cuadrada de la suma de cuadrados (RSC), suma de valores absolutos o el método de la combinación cuadrática completa (CQC).

Uj

=

¿(<pijf(dJmax)2

(26)

4.2.6 INTEGRACIÓN DIRECTA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

2.2.1.1 ACELERACION LINEAL

Este método supone que la aceleración entre dos instantes de tiempo, suficientemente cercanos, varía linealmente por tanto se tiene que:

.1.x•

.. .. ¡ ( )

X= X· +- t- t· ¡ Llt ¡

Por integración directa se puede obtener la velocidad y desplazamiento:

.1.X·

. . .. (t ) ¡ ( )2

X= X·+ X· _l _l -t·

+ -

t - t·

¡ 2.1t ¡

xi 2 .1.x¡ 3

X

=

X· _t

+

X· (t - t ·) _t 1

+ -

₂ (t - t ·) 1

+ -

_6.1t(t - t ·) 1

Expresado como incrementos se tiene lo siguiente:

Entre dos instantes de tiempo se puede escribir la ecuación de movimiento como:

M.1.x

+

C.1x

+

K.1x

=

-MILlü_g

(

w2.1t2

) w2.1t2

1

+

{Jw.1t

+

₆ _Llx¡

=

-.1ü9 -w2.1tx¡ - (2{3w.1t

+

₂ )x¡

w2.1t2 fñ

=

1

+

{Jw.1t

+

₆

(27)

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2.3 ANÁLISIS NO LINEALES

4.2.7 NO LINEALIDAD EN LOS MATERIALES

CAP 11: MARCO TEÓRICO

Se dice que existe un comportamiento no lineal en los materiales si las relaciones constitutivas de estos no se relacionan linealmente, es decir si la relación entre esfuerzos y deformaciones no guardan una relación de proporcionalidad. En la práctica de la ingeniería estructural son usuales los materiales como el concreto, el acero y la albañilería y en todos los casos se observa la no linealidad de los materiales.

U-º -¡r 1.0 e

-...

1.0 2.0 3.0

S=l; -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10

Engineering Strsin e, . (%1

Figura 2-1: Relaciones no lineales en el concreto (Yankelevsky et al. 1989) y el acero (Dodd et al. 1995)

En la Figura 2-1 se muestran las relaciones esfuerzo deformaciones típicas de los materiales comúnmente usadas en la ingeniería. Como se puede ver el concreto resulta ser un material con un comportamiento altamente no lineal; de igual forma el acero usualmente usado como refuerzo en elementos de concreto armado exhibe un comportamiento no lineal.

4.2.8 NO LINEALIDAD GEOMÉTRICA

Usualmente los análisis lineales o de primer orden usan como hipótesis básica la idea de que las estructuras son los suficientemente rígidas como para poder ignorar sus deformaciones después de la aplicación de las cargas, esta condición es conocida como hipótesis de pequeños desplazamientos, de esta forma es posible plantear las ecuaciones de equilibrio en la condición no deformada de una estructura, es decir se plantean las ecuaciones de equilibrio considerando la geometría inicial de la estructura; sin embargo si se considera el efecto de las deformaciones en los análisis, estaremos frente a un análisis con no linealidad

(28)

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geométrica ya que usualmente las relaciones geométricas obtenidas resultan no lineales.

4.2.9 ANÁLISIS NO LINEALES

Los análisis no lineales son procedimientos matemáticos orientados a la obtención de las respuestas de sistemas estructurales considerando las no linealidades del material y las no linealidades geométricas.

2.4 MODELOS DE ANÁLISIS NO LINEAL

4.2.10 MICROMODELOS

Dentro del estado del arte de !a ingeniería estructural se llaman micromodelos a los modelos generados usando elementos finitos. El uso de elementos finitos para la representación de elementos estructurales resulta muy efectivo para poder obtener respuestas no lineales muy aproximadas a la realidad. Mediante el uso de este método se puede incorporar al modelo las características mecánicas de los materiales tales como las curvas esfuerzo deformación de los materiales componentes.

550lllllJ

E 6 o o M

o .,... _o

o o '---'< "'

950 llWl Hexahedral solid elemeuts for concrete

Figura 2-2: Modelamiento de columna de concreto armado usando elementos finitos (Moharrami 2016).

En la Figura 2-2 se muestra un modelo elaborado en base a elementos finitos tridimensionales hexaedrales; este modelo representa una columna de concreto armado con las dimensiones mostradas en la misma figura y sometida a desplazamientos cíclicos controlados, (Moharrami 2016). Los resultados de la

(29)

FACUL TAO DE INGENIER{A CIVIL CAP 11: MARCO TEÓRICO

simulación se muestran en la Figura 2-3 y cómo se puede ver existe muy buena correlación entre las respuestas experimental y numérica.

800 600 400 200 o t.. -200 -400 -600 -800

-2 -1 O

... Experi.meut --Analy�is

Dl'lft Rntlo (%) 2

180

120

60 .5-o � -60 -120 -180 Strnin 0.077778 0.055556 0.033333 0.011111 --0.011111 -0.033333 -0.055556 -0.077TT8

Figura 2-3: Respuesta cíclica obtenida de la modelación y las deformaciones unitarias en el concreto, (Moharrami 2016).

4.2.11 MACROMODELOS

Aunque como se mostró en el acápite anterior existe la posibilidad de usar micromodelos para la obtención de la respuesta estructural, en general el esfuerzo de cómputo requerido es muy elevado, además la cantidad de tiempo y la complejidad de estos modelos hacen que la implementación resulte aun complicada.

Una alternativa práctica son los macromodelos; estos modelos en general son concebidos para aproximar algunos mecanismos de falla y por esta razón existen en gran variedad.

2.4.1.1 MACROMODELOS EN ELEMENTOS VIGA COLUMNA

Como se mencionó en el acápite anterior el uso de macromodelos resulta una alternativa eficiente si se implementa adecuadamente, por tanto el uso de este tipo de modelos está bastante difundido en la actualidad, sobre todo en la evaluación del desempeño sísmico de edificaciones.

(30)

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2.4.1.2 MODELOS DE PLASTICIDAD CONCENTRADA

Una de las formas más conocidas y simples para representar el comportamiento no lineal de estructuras son los modelos de plasticidad concentrada, este tipo de modelos toman como punto de partida las observaciones experimentales realizadas en modelos estructurales, en los que se ha observado que la ocurrencia de la plastificación en elementos como vigas y columnas se concentran en ciertas regiones de estos; específicamente el caso de vigas y columnas las rotulas plásticas tienden a formarse cerca de los extremos de los elementos, como se muestra en la Figura 2-4.

Ine1ast1c Rotationa1

Spr�-�---�-

_A' _B'

Figura 2-4: Modelo de una componente de Giberson.

Por tanto basados en este tipo de observaciones se han planteado modelos, como los de Giberson, que usan un elemento trame al que se le han agregado resortes inelásticos en sus extremos, como se puede observar en la Figura 2-4; además es posible asignarles a estos resortes reglas histereticas que intenten aproximarse a los ensayos experimentales previos.

r

Elastic-plastic comp.

(1-p)k IneJastic ::.11rmg Subelcment _�

pk _/

1 _E"')

1 ra I

ra

1 ra

1 �

Ela�t:ic comp.

Figura 2-5: a) Modelo de dos componentes y b) modelo de multi-resortes.

Además de los modelos de una componente es posible encontrar en la literatura existente modelos de dos componentes, como el mostrado en la Figura 2-5, este tipo de modelos usa una componente elástica y una componente con dos resortes inelásticos en los extremos. Aunque los modelos de una y dos componentes han demostrado ser útiles en la modelación de edificaciones (Giberson 1967), no permiten modelar otras posibles zonas de plastificación, When et all. (1965)

(31)

presentaron la idea de modelar un elemento viga-columna como una secuencia de pequeños elementos a los que se les asigna las propiedades no lineales mediante resortes inelásticos. Esta idea se presenta en la Figura 2-5; con este método es posible modelar la variación de la rigidez a lo largo del elemento.

2.4.1.3 PLASTICIDAD DISTRIBUIDA

Los modelos con plasticidad distribuida consideran que la plastificación en el elemento se desarrollará en cierta longitud dentro del elemento, como se puede ver en la Figura 2-6, de esta esta manera se pueden tener en cuenta el hecho de que en realidad las mtulas plásticas no aparecen concentradas sino que aparecen distribuidas a lo largo del elemento. Otro modelo con plasticidad distribuida es el modelo de fibras; este modelo discretiza convenientemente la sección de un elemento, asignándole luego a cada elemento discretizado las características de las curvas esfuerzo deformación uniaxiales de los materiales correspondientes, en la gran mayoría de los casos acero y concreto; finalmente por medio de integraciones a lo largo de la longitud de plastificación se pueden obtener deformaciones, rotaciones y curvaturas, en la Figura 2-6 se muestra un modelo de fibras con las secciones discretizadas.

Figura 2-6: Modelos de plasticidad distribuida, a) Rótula de longitud finita y b) Modelo de fibras.

4.2.12 MACROMODELOS EN MUROS

Los mecanismos de falla en muros estructurales resultan diferentes de los mecanismos de falla en elementos viga columna. Un parámetro especialmente importante en la respuesta estructural de muros de concreto armado es la esbeltez, ya que dependiendo de este parámetro las fallas podrían ser de corte,

(32)

fallas de flexión, una falla intermedia o una falla por pandeo del refuerzo longitudinal.

El comportamiento cíclico de muros de concreto armado en general resulta más complejo que el comportamiento cíclico de columnas o vigas, especialmente por la relevancia que toman los esfuerzos de corte, uno de los fenómenos más relevantes es la interacción corte-flexión (Shear Flexure lnteraction, FSI), la interacción carga axial y la flexión y el deslizamiento del muro a través de la base.

2.4.1.4 ELEMENTO VERTICAL SIMPLE

Uno de los primeros modelos desarrollados para representar el comportamiento cíclico de muros de concreto armado fueron los elementos verticales simples. Mediante esta idea se representa un muro de concreto armado como un elemento vertical ubicado en el eje del muro, en muchos casos se usa el modelo de una componente de Giberson para representar las posibles zonas de plastificación, como se observa en la Figura 2-7. Algunas otras variantes consisten en usar un modelo de dos componentes y usar un modelo de multiresortes como se observa en la Figura 2-5. Aunque este tipo de modelos resulta muy sencillo de entender y de implementar, no representa adecuadamente los posibles mecanismos de falla en muros bajos, sin embargo se pueden obtener muy buenos resultados en muros esbeltos que tengan un adecuado detalle del refuerzo ya que en estos casos la plasticidad por flexión se concentra en la zona inferior de los muros.

Rigid .:nd

zonc t--1--- OVLEM

\Vall

Figura 2-7: Modelo de un componente vertical para la modelación de muros de concreto armado.

(33)

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2.4.1.5 MUL TIPLES ELEMENTOS VERTICALES

Una extensión de los modelos de una componente vertical fueron los modelos con tres componentes verticales, este tipo de modelos idealizan los muros de concreto como un ensamble de tres elementos verticales, dos de ellos ubicados en los extremos y representan los elementos de borde y uno situado en el eje del muro que representa el alma del muro, como se puede observar en la Figura 2-8.

Adicionalmente a los tres elementos verticales estos elementos llevan dos elementos que simulan vigas rígidas en la base y tope de estos, de tal forma que se tienen tres grados de libertad por nodo, es decir se tienen dos traslaciones y una rotación por nodo. Finalmente se ha usado un resorte horizontal para poder representar adecuadamente las características mecánicas al cortante del muro y

un resorte flexiona! para representar las características mecánicas de la flexión del muro (Kabeyasawa et al. 1983).

h

Figura 2-8: Modelo de tres componentes verticales, a) Con resorte flexiona! y b) sin resorte flexiona!.

Una forma alternativa de plantear un modelo de tres componentes verticales seria al eliminar el resorte flexiona! y asignarle la descripción del comportamiento flexiona! a los elementos verticales, esta es la propuesta hecha por Linde et al 1994 y se muestra en la Figura 2-8. Una de las desventajas del modelo de una componente es que no consideraba que la profundidad del eje neutro cambia en cada paso del análisis, con el uso de los modelos de tres componentes es posible tener en cuenta este hecho.

(34)

h k 1 k2

X 1

kH .

.

••••••

'\ . ºd _{Ríg1 Beam}

x=O

(1-c)h

ch

MVLEM (coustaut)

Figura 2-9: Modelo de múltiples elementos verticales, Kolozvari 2013.

La generalización del modelo de tres elementos verticales es el modelo de múltiples elementos verticales, un ejemplo típico de estos se muestra en la Figura 2-9, este tipo de modelos usa dos elementos extremos para representar los bordes de un muro estructural, mientras que los elementos verticales internos representan el alma del muro, al igual que los elementos verticales múltiples, estos elementos

tienen un resorte horizontal que representa el comportamiento a corte del muro y

solo tienen tres grados de libertad en cada nivel.

2.4.1.6 ANALOGIA DE LA ARMADURA

Una forma alternativa para representar el comportamiento cíclico de muros de concreto armado es mediante el uso de modelos de armaduras. La idea principal consiste en sustituir el medio estudiado por un conjunto de elementos verticales, horizontales y diagonales.

Cada elemento componente puede representar elementos de concreto o

elementos de acero o ambos, los elementos de concreto y acero serán

caracterizados por sus curvas esfuerzo deformación uniaxiales, de esta manera se puede resolver un problema complejo mediante la solución de un sistema más simple. En la Figura 2-1 O se presenta el modelo de armadura propuesto por Park et al. 2007 en este modelo se presenta con línea continua gruesa los elementos que tendrán asignadas las propiedades del concreto y el acero, mientras que las diagonales, representadas por líneas discontinuas, representaran únicamente elementos de concreto.

(35)

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Effeclive lab frame

f _______ j_

Vertical element

Figura 2-10: a) Modelo de armaduras propuesto por Park et al. 2007 y b) Modelo de armaduras propuesto por Panagiotou et al. 2012.

En la misma figura se muestra el modelo propuesto por Panagiotou et al. 2012 en este se ha modelado a un muro de concreto como el ensamble de nueve elementos Jattice truss, cada elementos está constituido de seis componentes, dos verticales, dos horizontales y dos diagonales, estos elementos sirven para representar el aporte del concreto en la respuesta sísmica, adicionalmente el acero de refuerzo horizontal y vertical se ha superpuesto en los elementos verticales y horizontales y se muestra en la misma figura con líneas punteadas. Este tipo de modelo ha demostrado eficiencia a la hora de predecir el comportamiento cíclico del concreto armado.

2.5 TEORÍA DEL CAMPO DE COMPRESIONES MODIFICADA

En la Figura 2-11 se muestra un elemento membrana que podría ser considerado como parte de una losa maciza de concreto armado, parte de un muro estructural o parte de diferentes tipos de cáscaras. Las dimensiones del elemento mostrado deberán ser tales que permitan abarcar una gran cantidad de grietas, y al ser parte de un elemento de concreto armado este elemento tendrá refuerzos longitudinales y transversales de acero, es decir orientados a lo largo de los ejes x e y.

(36)

� Yxy +++++++

,:-f

_++++++-++++++++ +++++++ +++++++ +++++++ "xy _+++-t+++

"·:-t

LDadlng

h

Ey

_L_

,-

---;

T

' ,

···, "

•

:

1

1 1

1 G

�

rt

t.

Deformation

Figura 2-11: a) Panel de concreto armado sujeto a esfuerzos normales y cortantes y b) deformaciones asociadas.

Considerando el caso más general posible se supondrá que el elemento mostrado está sometido a un estado general de esfuerzos, como el mostrado en la Figura 2-11, y se supondrá que para cada uno de los estados de esfuerzos existirá un único estado de deformaciones como el mostrado en la misma figura. La teoría del campo de compresiones modificadas busca encontrar la relación existente entre un estado de esfuerzos y su correspondiente estado de deformaciones y usa las siguientes hipótesis como base de sus conclusiones.

1. Para cada estado de esfuerzos existirá un único estado de deformaciones, esta hipótesis implica que las conclusiones obtenidas son válidas solo para cargas monotónicas.

2. Las medidas de los esfuerzos y deformaciones son consideradas en términos de valores promedio y son medidas en elementos cuyas dimensiones sean lo suficientemente grandes para incluir un gran número de grietas.

3. Existe adherencia perfecta entre los refuerzos y el concreto, es decir no se toma en cuenta la posibilidad del deslizamiento entre las componentes del concreto armado.

4. Los refuerzos longitudinales y transversales se encuentran uniformemente distribuidos en todo el elemento.

(37)

---

2 1 €

Figura 2-12: a) Elemento representativo y b) circunferencia de deformaciones de Mohr.

Dentro de las hipótesis que sirven de base a la teoría del campo de compresiones modificado se tiene que existe una adherencia perfecta entre el refuerzo de acero y el concreto circundante, por tanto si el concreto experimentara un nivel de deformación, el acero embebido debería experimentar los mismos niveles ·de deformación, por tanto se puede plantear que:

Además una vez conocido el estado de deformación se puede obtener la estado de deformaciones asociado a cualquier dirección, esto se puede hacer mediante el uso de la circunferencia de Mohr, como se observa en la Figura 2-12, haciendo uso del mismo método se pueden obtener las deformaciones principales, como se observa en la misma Figura 2-14.

Un diagrama de cuerpo libre del elemento estudiado se muestra en la Figura 2-13. En esta figura se puede apreciar el aporte a la resistencia por parte del concreto y el acero. Es importante notar que se ha supuesto que los refuerzos de acero no aportan a la resistencia al cortante y por tanto el cortante es resistido íntegramente por el concreto.

(38)

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,.-J

-J

Figura 2-13: Diagrama de cuerpo libre de elemento de concreto armado.

fcy

---vcxy

,:-J

t-T

Figura 2-14: a) Esfuerzos actuantes sobre elemento representativo y b) esfuerzos y direcciones principales.

De las condiciones de equilibrio estático se pueden plantear las siguientes expresiones:

J

fxdA

=

J ÍcxdA

+

J

fsxdA

A Ac As

J

[ydA

=

J

[cydA

+

J

[sydA

A Ac As

Las expresiones anteriores indican que el esfuerzo en el elemento es la suma del esfuerzo resistido por el concreto y el acero, tanto en la dirección x como en la dirección y, de forma análoga el cortante resistido por el elemento es igual al cortante resistido por el concreto pues se ha supuesto que el acero tiene un aporte insignificante a la resistencia cortante.

(39)

FACUL TAO DE INGENIERIA CIVIL CAP 11: MARCO TEÓRICO

Para poder determinar el comportamiento del concreto de manera experimental Vecchio y Collins 1986 realizaron ensayos en treinta paneles cuadrados de concreto armado de 89 cm de lado y 7 cm de espesor, cada uno de estos paneles con cuantías de acero diferentes y fueron sometidos a estados de esfuerzo diferentes.

Figura 2-15: Disposición de los actuadores y conectores usados para aplicar los esfuerzos cortantes y normales, (Vecchio y Collins 1986).

Un gráfico mostrando la forma de los equipos usados por los autores mencionados para la ejecución de los ensayos se muestra en la Figura 2-15. Como se puede ver consiste de un grupo de gatos hidráulicos acoplados a los bordes del elemento por medio de conectores y estos a su vez conectados a unas llaves de corte. Por medio de esta disposición es posible someter al elemento a un estado de cargas arbitrario. Una vez alcanzado los niveles de esfuerzos deseados en el elemento se procedió a medir las deformaciones del elemento, además se midieron las deformaciones del acero y en conjunto con las curvas esfuerzo deformación se obtuvieron los esfuerzos en el acero, finalmente al combinar esta información con las ecuaciones se obtuvieron los esfuerzos en el concreto.

(40)

FACULTAD DE INGENIER/A CIVIL CAP 11: MARCO TEÓRICO

,�

---

_{•••• ••••• 1 ••}

..

,....

••

./

f _{c2max --:··�--��--}••

/•

"----

---f. _e

Figura 2-16: Dependencia de la resistencia a la compresión y las deformaciones principales.

f • _e

o -1 -2 -3

••

f _c:Zmax" _{o.e -0.3 .. f,/f�}e

-4 -5 -e -1

Figura 2-17: Relación entre la resistencia máxima a la compresión y la deformación principal de tensión.

Los resultados obtenidos de estos ensayos experimentales mostraron que el esfuerzo de compresión principal, mostrado en la Figura 2-16 depende no sólo de la deformación principal de compresión sino también de la deformación principal de tensión, como se puede observar en la misma figura. En la Figura 2-17 se muestra la variación del esfuerzo de compresión máximo como una función de la deformación de tensión principal. De este grafico se puede ver claramente que mientras la deformación principal de tensión aumenta la resistencia máxima alcanzada en compresión disminuye.

(41)

FACUL TAO DE INGENIERIA CIVIL CAP 11: MARCO TEÓRICO

Figura 2-18: Relación tridimensional de la resistencia a compresión del concreto y las deformaciones principales de tracción y compresión.

Vecchio y Collins propusieron un juego de ecuaciones que resumen las conclusiones mostradas. Estas son:

Dónde:

fez

=

_{fezmax [ 2 (::) -}

(;:J

2 ]

fezmax

=

_{0.8 - 0.34}_{Ei/ E' e} ::; 1.0

E1 : Deformación principal de tensión.

Ez : Deformación principal de compresión.

E' e : Deformación asociada a la resistencia máxima en compresión.

fez : Esfuerzo principal de compresión.

En la Figura 2-18 se muestra un gráfico tridimensional que muestra la dependencia de las curvas esfuerzo deformación uniaxiales del concreto como una función de las deformaciones principales de tensión.

Es conocido en la práctica de la ingeniería que el concreto es un material con gran capacidad de resistir elevados esfuerzos de compresión, sin embargo su capacidad de resistir esfuerzos de tracción es apenas una pequeña fracción de su capacidad en compresión. Para el concreto simple la relación existente entre

(42)

FACULTAD DE INGENIER/A CIVIL CAP 11: MARCO TEÓRICO

esfuerzos y deformaciones en tracción es aproximadamente lineal hasta alcanzar el esfuerzo de tracción en agrietamiento lfer), en este punto el concreto deja de

resistir cualquier tipo de esfuerzos en tracción; sin embargo para el caso del concreto, como componente del concreto armado, la afirmación anterior es válida sólo en las grietas, pero entre grietas existe cierto nivel de tracción remanente, como se puede apreciar en la Figura 2-19. La medida de los esfuerzos remanentes de tracción se puede obtener del método usado por Vecchio y Collins.

1 +/200 E 1

Figura 2-19: Relación entre los esfuerzos y deformaciones de tracción del concreto.

El método mencionado consiste en aplicar ciertos niveles de esfuerzos en el elemento y medir las deformaciones obtenidas. Adicionalmente se deben medir las deformaciones axiales de los componentes de acero. Estos valores en conjunto con las curvas esfuerzo deformación del acero brindan los esfuerzos en el acero y mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio se pueden obtener los esfuerzos resistentes del concreto. De la aplicación de este método los autores concluyeron que después de alcanzar el esfuerzo de agrietamiento, el concreto agrietado sigue aportando a la resistencia en tracción del elemento, como se mencionó anteriormente esto es posible pues aún existen esfuerzos remanentes de tracción entre grietas. Las expresiones que ligan los esfuerzos y deformaciones de tracción propuestas por Vecchio y Collins fueron:

Dónde:

fer fei

=

1

+

.J200c1

fer : Esfuerzo de tracción máximo (Esfuerzo de agrietamiento).

c1 : Deformación principal de tracción.