2010
Escuela Politécnica NacionalIng. Mónica Mantilla
FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES
F
F
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Generalidades
Distancia entre dos puntos
Si recta (en una sola dimensión a lo largo de la recta numérica).
Si plano ( )
Si plano ( )
x y
Si
F
F
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Definición
Si a cada par de valores de dos variables x y y independientes una de la otra (el valor de una no dependerá del valor que tome la otra) tomadas en cierto dominio de definición D, corresponde un valor determinado de magnitud
z, se dice que z es una función de las dos variables independientes x y y
definidas en el dominio D.
Notación
x
z
Nota:
Una función de 2 variables puede expresarse a través de una tabla o de una fórmula.
La función de dos variables puede no estar definida para todos los valores arbitrarios de x y y (sobre todo cuando la función presente logaritmos o raíces).
D
D
o
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m
m
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El conjunto de valores que toman las variables x y y se denomina dominio de definición.
En algunos casos el dominio de definición de la función constituye una parte finita o infinita del plano XOY.
Definiciones
Frontera
Son los puntos que limitan o rodean al dominio, pudiendo estar o no incluidos.
Puntos Interiores
Son todos los puntos que no pertenecen a la frontera.
Dominio Abierto
Si los puntos de la frontera no se incluyen.
Frontera Puntos Interiores
z
x
Dominio Cerrado
Si los puntos de la frontera se incluyen.
Dominio Acotado
Si existe una magnitud constante C talque la distancia entre todo punto
m del dominio y el origen de coordenadas es menor que C.
El análisis de todo dominio debe incluir: 1. Análisis Matemático
2. Análisis Gráfico
3. Análisis Analítico o Descriptivo→ Expresar en palabras lo visto. Interpretación. Frontera Puntos Interiores z x y Frontera Puntos Interiores z x y
Ejercicios
Hallar el dominio de definición de:
1. Análisis Matemático
2. Análisis Gráfico
3. Análisis Analítico
Dominio de definición: Todos los pares que
pertenecen al círculo de radio , incluidos los puntos de la frontera. 1. Análisis Matemático z y x R
2. Análisis Gráfico
3. Análisis Analítico
Dominio de definición: Todos los pares que
pertenecen al plano XOY ubicados a la derecha de la recta , excluidos los puntos de la frontera.
Halle el dominio de la función , donde A representa el área de un triángulo de base x y altura y.
Dominio de definición:
Dominio Geométrico: Si hablamos de áreas, no es posible decir que un área puede ser negativa. Además, si x y y son distancias, tampoco pueden ser ni negativas ni iguales a cero.
z y x z y x
Halle el dominio de 1. Análisis Matemático
2. Análisis Gráfico
3. Análisis Analítico
Dominio de definición: Todos los pares comprendidos entre las
rectas y pero con valores ó .
z
y
x
x y
Halle el dominio de definición para la función 1. Análisis Matemático
2. Análisis Gráfico
x y
x y
3. Análisis Analítico
Dominio de definición: Todos los pares ubicados a lo largo del eje
OX, comprendidos entre las rectas y .
z
y
x
x y
Hallar el dominio de: a. z= ln (x2 +y)
ANÁLISIS ANALÍTICO.
La función z= ln (x2 +y) está bien definida, si se cumple, x2 +y > 0, que nos representa la parte del plano por encima de la parábola y = -x2.
ANÁLISIS MATEMÁTICO. Df = { (x,y) є R2 / x2 +y > 0} ANÁLISIS GRAFICO. b. z = ANÁLISIS ANALÍTICO.
La función z = está bien definida, si se
cumple, > 0, donde se tiene:
Df = { (x,y) є R2 / ANÁLISIS GRAFICO.
Dada encontrar el dominio de la función e interpretar gráficamente:
Análisis matemático:
Interpretación Analítica:
Para todos los y mayores que x y para todos los y menores que x, y para todos los
–y que se encuentren fuera de la recta y2
>x
Para todos los y mayores que x y para todos los y menores que –x que se encuentren fuera de la recta y2>x
Dada encontrar el dominio de la función e interpretar gráficamente:
Análisis matemático
Interpretación Analítica:
Para todos los (x,y) que se encuentren en el área común de las funciones x2-y2≥4 y y2+x2>9
Interpretación Grafica:
F
F
u
u
n
n
c
c
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La definición dada para una función de 2 variables se aplica para funciones de 3 o más variables.
Definición
Si a todo sistema ordenado de valores de las variables x, y, z, … , u, t corresponde un valor determinado de la variables w, entonces se dice que w es función de las variables independientes x, y, z, … , u, t. Entonces:
El dominio de la función de 3 variables es un conjunto de ternas de números . Cada terna define un punto M de la región XOYZ en el espacio. Por tanto, el dominio de definición es el conjunto de puntos en el espacio (Región del espacio).
De forma análoga, se puede determinar el dominio de definición de una función de 4 variables , como un cierto conjunto de sistema de 4 números . Sin embargo es imposible la interpretación geométrica y la representación gráfica en este caso.
R
R
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p
p
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2
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b
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s
A cada punto de la función le proyecto sobre el plano XOY, formándose en dicho plano el dominio de definición.
A una función de 3 variables no la puedo representar gráficamente pues necesitaríamos 4 dimensiones. Sólo se puede representar su domonio.
