UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN Enrique Guzmán y Valle
Alma Máter del Magisterio Nacional FACULTAD DE TECNOLOGÍA
Escuela Profesional de Electrónica y Telecomunicaciones
MONOGRAFÍA
El análisis de Fourier y su aplicación en las telecomunicaciones
Examen de Suficiencia Profesional Res. Nº 0179-2021-D-FATEC
Presentada por:
Retamozo Quispe, Wilfredo
Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación Especialidad: Telecomunicaciones e Informática
Lima, Perú 2021
MONOGRAFÍA
El análisis de Fourier y su aplicación en las telecomunicaciones
Designaciónde Jurado Resolución Nº 0179-2021-D-FATEC
--- Dr. La Rosa Longobardi, Carlos Jacinto
Presidente
--- Mg. Sotelo Raymondi, Amador Gregorio
Secretario
--- Mg. Hermitaño Atencio, Bernardo Climaco
Vocal
Línea de investigación: Tecnología y soportes educativos.
Dedicatoria
A las personas que más adoro a diario, mis padres.
Índice de contenidos
Portada ... i
Hoja de firmas de jurado... ii
Dedicatoria ... iii
Índice de contenidos ... iv
Lista de tablas ... viii
Lista de figuras ... ix
Introducción ... xi
Capítulo I. Origen de los Métodos de Fourier ...12
1.1 ¿Quién fue Fourier? ...12
1.2 Un poco de historia sobre series de Fourier ...13
1.2.1 La cuerda vibrante. ...14
1.2.2 Difusión del calor. ...15
1.3 Series de Fourier...16
1.3.1 Funciones periódicas. ...16
1.3.2 Serie de Fourier. ...17
1.3.2.1 Obtención de la serie de Fourier. ...17
1.3.2.2 Espectro de frecuencia...17
1.3.3 Aproximación mediante una serie de Fourier finita. ...19
1.3.4 Convergencia de la serie de Fourier. ...20
Capítulo II. Integral de Fourier y espectros continuos ...23
2.1 De la serie de Fourier a la integral de Fourier ...23
2.2 Propiedades de la transformada de Fourier ...24
2.2.1 Simetría. ...25
2.2.2 Linealidad...26
2.2.3 Desplazamiento temporal y frecuencial...26
2.2.4 Escalado temporal y frecuencial. ...26
2.2.5 Modulación de amplitud. ...27
2.3 Transformada de Fourier de funciones especiales ...29
2.3.1 Transformada de Fourier de un impulso. ...29
2.3.2 Transformada de Fourier del seno y coseno. ...30
2.3.3 Transformada de Fourier del escalón unitario. ...30
2.3.4 Transformada de Fourier de un tren de impulsos. ...30
2.4 Señales periódicas y la Transformada de Fourier ...31
2.4.1 De la serie de Fourier a la transformada. ...31
2.4.2 Transformada de Fourier de funciones periódicas...31
2.5 Transformada de Fourier discretizada (DFT) ...32
2.5.1 De la Transformada de Fourier a la DFT. ...33
2.5.2 La inversa de la transformada de Fourier Discretizada (IDFT). ...34
2.6 Relación entre la transformada de Fourier y la DFT ...34
2.6.1 Propiedades de la DFT. ...36
2.7 La transformada rápida de Fourier ...37
2.7.1 La transformada de Fourier en tiempo real. ...38
2.8 La transformada de Fourier en tiempo discreto (DTDT) ...38
2.9 La transformada de Fourier en Tiempo discreto ...39
2.10 Propiedades y transformadas de Fourier ...40
Capítulo III. Fourier en las Telecomunicaciones ...46
3.1 Telecomunicaciones ...46
3.1.1 Proceso de transmisión. ...47
3.1.2 Ecuación que vincula los dominios. ...47
3.1.3 Instancias del proceso de transmitir. ...47
3.1.3.1 Modulación y transmisión. ...47
3.1.3.2 Identificación y aislamiento de la señal portadora de información. ...48
3.1.3.3 Estado de demodulación y recuperación de señales finales. ...48
3.1.4 Convolución de dos señales. ...49
3.1.5 Relación entre la transformada y la convolución. ...49
3.1.6 Otras utilidades, teoría del muestreo. ...50
3.2 Transformada de Fourier en telecomunicaciones...50
3.2.1 Modulación de señales. ...51
3.2.1.1 Modulación de amplitud. ...51
3.2.1.2 Modulación de Frecuencia. ...53
3.1.2.3 Modulación de Fase. ...54
3.1.2.3.1 Modulación de fase PSK. ...55
Capítulo IV. ¿Como y donde se aplican las series de Fourier? ...56
4.1 Aplicación en procesamiento digital de señales...56
4.2 Aplicación en la medicina ...57
4.2.1 Diagnóstico automático. ...57
4.3 Aplicaciones diversas ...58
4.3.1 El problema isoperimétrico. ...58
4.3.2 Temperatura de la tierra ...58
4.3.3 Evaluación de las series no triviales. ...59
4.3.4 La desigualdad de Wirtinger. ...59
4.3.5 Solución de ecuaciones diferenciales. ...59
4.3.6 Flujo de calor. ...59
4.3.7 Ecuación de ondas. ...60
Aplicación didáctica ...61
Síntesis ...94
Apreciación crítica y sugerencias ...95
Referencias ...96
Lista de tablas
Tabla 1. Resumen de las propiedades más importantes de la DFT ... 37
Lista de figuras
Figura 1. Cuerda vibrante.. ... 14
Figura 2. Representación de una onda periódica.. ... 16
Figura 3. Onda cuadrada en sus 7 primeros armónicos. ... 18
Figura 4. Representación de una onda cuadrada de frecuencia 1Hz con su correspondiente espectro armónico.. ... 18
Figura 5. Evolución de una serie de Fourier finita hacia una onda cuadrada.. ... 19
Figura 6. Evolución del error cuadrático medio. ... 20
Figura 7. Función que cumple la primera función. ... 21
Figura 8. Función que cumple la segunda función. ... 21
Figura 9. Función que cumple la tercera función. ... 21
Figura 10. Aproximación de las series de Fourier en las discontinuidades. ... 22
Figura 11. Evolución de una función periódica a una función aperiódica.. ... 24
Figura 12. Escalado de tiempo y frecuencia.. ... 27
Figura 13. Resultado de la modulación de una onda sinusoidal de 150 Hz (portadora) mediante una onda periódica de 5 Hz (moduladora). ... 28
Figura 14. Esquema simplificado de la emisión y recepción de la AM... 29
Figura 15. Transformada de Fourier de una función periódica.. ... 32
Figura 16. Transformada de Fourier discretizada (DFT)... 33
Figura 17. Modificaciones de la señal continua en el proceso de obtención de la DFT.. ... 35
Figura 18. Modificaciones Caso en que el truncado no es igual a un número entero de períodos. ... 36
Figura 19. Comparación entre las operaciones necesarias para una DFT y una FFT.. ... 38
Figura 20. Ejemplo de función continua f(t) y discreta f[n].. ... 39
Figura 21. Comportamiento de la Transformada de Fourier Discreta.. ... 40
Figura 22. Distintas formas de la serie de Fourier.. ... 41
Figura 23. Propiedades de la serie de Fourier. ... 41
Figura 24. Propiedades de la transformada de Fourier.. ... 42
Figura 25. Propiedades de la .. ... 42
Figura 26. Propiedades de la serie de Fourier en Tiempo Discreto.. ... 43
Figura 27. Series de Fourier de funciones periódicas.. ... 43
Figura 28. Transformadas de Fourier. ... 44
Figura 29. Transformadas de Fourier en tiempo discreto.. ... 44
Figura 30. Series y Transformadas de Fourier de Señales Periódicas en Tiempo Discreto. .... 45
Figura 31. Funciones periódicas del lado izquierdo y su correspondiente Transformada de Fourier. ... 49
Figura 32. (a) Señal binaria o digital. (b) Modulación de amplitud. (c) Modulación de frecuencia. (d) Modulación de fase. ... 52
Figura 33. Modulación de amplitud. (a) Portadora, (b) Moduladora, (c) Señal modulada. ... 53
Figura 34. Modulación de frecuencia. (a) Portadora, (b) Moduladora, (c) Señal modulada. ... 54
Figura 35. Modulación de fase. El espectro digital se mapea con los cambios de fase en la portadora... 55
Figura 36. Procesamiento de señales por voz. ... 57
Figura 37. Diagnostico automático por medio de la ecografía. ... 58
Introducción
La presente monografía es una recopilación de material que me fue inculcado como conocimiento respecto al tema por los docentes de la UNE, allá cuando estaba por el semestre II de mis estudios, fue la raíz para dar inicio a mi investigación más a fondo con distintas fuentes bibliográficas tomados como referencia tanto como textos escritos, virtuales.
En el resumo algunos de los aspectos más fundamentales del análisis de Fourier, los cuales describen herramientas matemáticas, por otro lado, el presente trabajo no es objeto de presentar un análisis exhaustivo de cada teoría mencionada en el contenido, sino todo lo contrario el fin es que sea una herramienta de apoyo para todas las personas que deseen acercarse, indagar o estudiar las teorías de Fourier.
La Transformada de Fourier (TF) como otros pueden conocerla, “es una herramienta muy poderosa a la fecha que tiene una gran variedad de aplicaciones, en diversas ramas de la matemática y la física matemática, desde la teoría de números y geometría hasta mecánica cuántica, así como en otras áreas de la ciencia e ingeniera tales como procesamiento de señales (electrónica), comunicaciones, óptica, procesamiento de imágenes y medicina, por mencionar” alguno de ellos.
El autor.
Capítulo I
Origen de los Métodos de Fourier
Como inicio del capítulo lo primordial es hacer una previa indagación de antecedentes de la Transformada de Fourier a raíz de las ya conocidas series
trigonométricas, entonces daré el inicio respectivo redactando una breve reseña de la vida de Fourier.
1.1 ¿Quién fue Fourier?
Jean Baptiste Joseph Fourier matemático y físico francés, nació en Auxerre (Francia) el 21 de marzo de 1768, empezó sus estudios en la Escuela de Pallais en donde estudió el latín y el francés, en adelante cuando sus padres fallecieron quedo huérfano fue recomendado al obispo de Auxerre, quien tomó la decisión de enviarlo a un colegio militar que era regido por los benedictinos, lugar en el mostro interés por la literatura y en
adelante por “las matemáticas.
A los 12 años escribía magníficos sermones que era pronunciado por los benedictinos, a los 14 ya había completado el estudio de seis volúmenes del curso de matemáticas de Bezout y a los 15 recibió su primer premio por el estudio de Mecanique en general de Bossut”.
En el año de 1798 Fourier se incorporó a la armada de Napoleón con la función de un consejero científico en la invasión de Egipto, luego en ese lugar creo el Instituto de El Cairo, siendo uno de los 12 miembros de la división matemática. En 1801 Napoleón nombro Prefecto (gobernador) del departamento de Isere de capital Genobre, es en este lugar en el que Fourier hizo su contribución matemática sobre la propagación del calor que presente a la academia de ciencias allá por los años 1807, en adelante dejo la docencia debido al cargo de Prefecto que ocupaba, pero esta no fue razón para dejar de lado sus investigaciones científicas (Carrillo, 2003, p.45).
En “1817 es elegido como miembro de la academia de ciencias en la sección de física y en 1822 año que publico su famoso libro Theorie Analytique de la Charleur motivo motivo por el cual fue nombrado secretario perpetuo de la Academia, lo que dio acceso para hacer pública su memoria premiada de” 1811.
Al transcurrir sus últimos años en Paris reanudo sus investigaciones matemáticas y aún publico una serie de documentos, algunos dirigidos a las matemáticas puras y otros sobre tema de matemáticas aplicada, la influencia en el mundo científico francés había crecido de manera notable, se le reconoce que descubrió las series matemáticas y el teorema integral que lleva su nombre, este gran investigador falleció en Paris el 16 de marzo de 1830. Sin duda el trabajo de Fourier durante los años que estuvo en vida proporciono un gran impulso para posteriores
investigaciones sobre series trigonométricas y la teoría de función variable real (Carrillo, 2003, p. 47).
1.2 Un poco de historia sobre series de Fourier
“Las series trigonométricas surgen en las matemáticas allá por el siglo XVIII en
relación con el estudio de las pequeñas oscilaciones de medios elásticos,
precisamente con este problema consiguió la atención y el esfuerzo de números físicos y matemáticos del momento” (Carrillo, 2003, p. 35).
1.2.1 La cuerda vibrante.
Brook Taylor allá por el año 1715 propuso el problema de la cuerda vibrante y a partir del desarrollo del cálculo en el siglo XVIII, este problema se convirtió en la herramienta principal para poder estudiar y modelizar la naturaleza. En él se trata de determinar el movimiento de una cuerda elástica, así como el tiempo de vibración de la misma con la interrogante s esta es tensada mediante la aplicación de cierta fuerza externa y luego se deja libre (Trinidad, 2017, p.34).
Este problema puede describirse en la situación más elemental en el siguiente gráfico:
Figura 1. Cuerda vibrante. Fuente: Trinidad, 2017.
En la figura se supone que es una cuerda flexible que se estira hasta quedar tensa y que sus extremos se fijan (por conveniencia) en los puntos (0;0) y (𝝅,0) del eje de
abscisas.
Luego se tira de la cuerda hasta que adopte la forma de una curva dada por la ecuación y = f (x).
1.2.2 Difusión del calor.
Fourier tomo de referencia las ideas de Bernoulli 54 “años más tarde, quien se interesó por la teoría del calor en los cuerpos sólidos.
Por el año 1807 Fourier envió un artículo a la academia de ciencias de Paris en el que redactaba el tema sobre la difusión del calor, en la que concretamente considero una delgada varilla de longitud dada, digamos 𝝅 cuyos extremos se mantienen en 0°
centígrados y cuya superficie lateral está aislada.
Entonces si la distribución inicial de temperatura en la varilla viene dada por una función f (x) es de suponer que la temperatura de la varilla en cada sección transversal de la misma constante, la” pregunta e interrogante recae en ¿Cuál sería la temperatura de cualquier punto x y en el tiempo t, entonces la función u debe satisfacer:
La primera condición es una ecuación en derivadas parciales en segundo orden, más conocida por el nombre de ecuación del calor.
La segunda tiene por significado que la temperatura en los extremos de la varilla se mantiene en 0° centígrados.
La tercera representa la distribución inicial de temperatura en la varilla considerada.
1.3 Series de Fourier
“La teoría de Fourier de una manera intuitiva la aplicación es aquella que refiere al tratamiento de las señales periódicas ya que sus resultados tienen una sencilla
interpretación física tal y como podremos mostrar en adelante” (Trinidad, 2017, p.74).
1.3.1 Funciones periódicas.
Como algo primordial se tiene la necesidad de tener un concepto a “función
periódica como los valores se repiten a intervalos regulares, el tiempo1 entre las continuas repeticiones se le conoce como período. Matemáticamente podemos decir que una función temporal es periódica cuando se cumple la siguiente relación:
f ( t ) = f ( t + T )
En todo el valor t, hace que la constante mínima que satisface la anterior relación es denominada período (T), dejando en claro que en funciones temporales se expresa en segundos, recordar que la parte de la función que abarca un tiempo equivalente a un período T se le denomina ciclo.
Figura 2. Representación de una onda periódica. Fuente: Carrillo, 2003.
Como función periódica tiene por concepto la frecuencia como la inversa de período, o sea, como el número de ciclos por segundo”:
fr = 1/T
“Su unidad es el Hercio (Hz). Si se supone que un ciclo equivale a 2π radianes, entonces el número de radianes en un segundo es lo que se conoce como pulsación o frecuencia angular en rad/s o en 1/s:
ω = π2 T
De una manera general ambos términos (frecuencia y pulsación) es denominado como frecuencia, aunque se ha de tener en cuenta que sus unidades son distintas, en una onda periódica el valor a definir de pico máximo y el valor pico mínimo como sus valores máximos y mínimos en un período, respectivamente. El valor de pico a pico es la diferencia entre ambos:
{ }
{ }
1.3.2 Serie de Fourier.
1.3.2.1 Obtención de la serie de Fourier.
Fourier como teoría afirman que cualquier función periódica f(t), ya sea más o menos
compleja, se puede descomponer en suma de funciones simples, sinusoidales, cuya frecuencia es múltiplo de la función periódica. Dicha función se puede descomponer en una serie
armónica infinita expresada como:
1.3.2.2 Espectro de frecuencia.
Las anteriores expresiones ponen de manifiesto que una función periódica” queda
descompuesta “en una serie infinita de funciones sinusoidales que tienen diferentes frecuencias, todas ellas múltiplos de la frecuencia de la función , tal como se muestra en” la siguiente figura.
Figura 3. Onda cuadrada en sus 7 primeros armónicos. Fuente: Carrillo, 2003.
Figura 4. Representación de una onda cuadrada de frecuencia 1Hz con su correspondiente espectro armónico. Fuente: Carrillo, 2003.
La “representación de la amplitud o el valor eficaz de los distintos armónicos en función de la frecuencia, o del orden del armónico, es lo que se conoce como espectro de frecuencia”.
1.3.3 Aproximación mediante una serie de Fourier finita.
En la expresión de la descomposición en Serie de Fourier de una función periódica aparece un sumatorio que incluye un número ilimitado de elementos. En este apartado veremos cómo ponderar cada uno de ellos de forma que el estudio se pueda limitar a un número finito de componentes armónicas (Carillo, 2003, p.23).
“De esta forma surge el concepto de Serie de Fourier Finita, (t), que es aquella descomposición armónica en la que se tienen en cuenta sólo los primeros K elementos de la Serie de Fourier, o sea”:
Figura 5. Evolución de una serie de Fourier finita hacia una onda cuadrada. Fuente: Carrillo, 2003.
Si se aproxima la función f(t) mediante la serie finita de Fourier (t), se obtiene la expresión:
Entonces si la serie Fourier inserta todos los términos en el sumatorio, la energía del error cometido al aproximar una función por dicha descomposición es nula”.
Figura 6. Evolución del error cuadrático medio. Fuente: Autoría propia
1.3.4 Convergencia de la serie de Fourier.
Para “el resultado de los coeficientes de la Serie de Fourier, se emplean las ya conocidas integrales mostradas anteriormente. Sin embargo, “en ocasiones las integrales descritas pueden divergir, o sea, puede que algún coeficiente ( o ) tienda a ∞.
Puesto que el empleo de funciones discontinuas es muy útil, en el que la onda cuadrada, se ha de estudiar más detenidamente el fenómeno de la convergencia. Las condiciones para asegurar esta convergencia se deben a Dirichlet, y pueden resumirse” en:
1era. Condición
La función ha de ser absolutamente integrable
De esta forma garantizamos que”:
Figura 7. Función que cumple la primera función. Fuente: Carillo, 2003.
2da. condición
En cualquier intervalo de tiempo la función tiene un no finito de máximos y mínimos.
Figura 8. Función que cumple la segunda función. Fuente: Cañada, 2004.
3ra. condición
En cualquier intervalo finito de tiempo hay un número finito de discontinuidades, y además han de ser de amplitud finita.
Figura 9. Función que cumple la tercera función. Fuente: Carrillo, 2003.
Entonces función “que no cumpla las condiciones anteriores no son usuales y, por lo tanto, no son particularmente importantes en el estudio de señales y sistemas. Se ha de decir que todas las funciones periódicas asociadas a sistemas físicos cumplen dichas condiciones y, por lo tanto, son susceptibles de ser estudiadas mediante las Series de Fourier (Carrillo, 2003, p.78).
“En las condiciones ya mencionadas hacemos referencia a la convergencia de las series de Fourier aún en presencia de discontinuidades finitas. En dichas discontinuidades, la función aproximada por su descomposición” en Serie de Fourier viene dada por:
Donde:
es “el instante en el que la función presenta la discontinuidad
y son los instantes anterior y posterior de la discontinuidad
es la Serie de Fourier
f(t) es la función original, a partir de la cual se calculan los coeficientes de la Serie de Fourier
A pesar de este resultado se admite la descomposición en Serie de Fourier como equivalente a la función periódica que”” representa.
Figura 10. Aproximación de las series de Fourier en las discontinuidades. Fuente: Carrillo, 2003.
Capítulo II
Integral de Fourier y espectros continuos
2.1 De la serie de Fourier a la integral de Fourier
“Hasta ahora a las funciones a las que se le han aplicado las teorías de Fourier se les ha exigida periodicidad, que fue la primera aplicación de estas teorías” (Cañada, 2004, p.35).
Entonces después de insertar las series de Fourier, su autor habló de manera general lo que ahora se llama la Transformada de Fourier. Esta operación es aplicable a
prácticamente cualquier tipo de función, periódica o no, mediante las siguientes relaciones:
Transformada de Fourier
Transformada inversa de Fourier
donde t representa al tiempo en s y ω a la frecuencia en rad/s.
“Con la transformación asociada al empleo de la función F(ω) definida en, se obtiene una función continua en el dominio de la frecuencia ω (en rad/s). De forma que a F(ω) se le llama espectro continuo de f(t), o bien, Transformada de Fourier de f(t).
Ahora bien, ¿cuál es el significado físico de la Transformada de Fourier? Para llegar a él se puede partir de la Serie de Fourier y buscar la generalización hacia una función aperiódica. Se puede tomar como partida la función periódica:
De la función anterior se puede obtener una función no periódica” cuando T → ∞ , esto es:
Figura 11. Evolución de una función periódica a una función aperiódica. Fuente: Cañada, 2004.
2.2 Propiedades de la transformada de Fourier
A continuación, se enumeran las propiedades más importantes de la Transformada de Fourier.
En todas ellas se seguirá la siguiente notación:
f(t) Función Temporal.
F(ω) ó I{f(t)} es la Transformada de Fourier de f(t).
R(ω) es la parte real de F”(ω).
X(ω) “es la parte imaginaria de F(ω).
2.2.1 Simetría.
Si f(t) es una función real entonces:
R(ω) es una función par en ω.
X(ω) en una función impar en ω.
F(-ω) = F*(ω)
|F(ω)| “es par y ∠F(ω) es impar.
Si la Transformada de Fourier de una función real es real entonces f(t) es una función par, o sea, si f(t) es par X(ω) es igual a cero.
Si la Transformada de Fourier de una función es imaginaria entonces f(t) es una función impar, o sea, si f(t) es impar R(ω) es igual a cero.
Hacemos mención en el siguiente ejemplo que se va a calcular la transformada de Fourier de la función definida por:
Como resultado la transformada de Fourier es el resultado de la integral definida por”:
De forma que:
2.2.2 Linealidad.
Si I{f1(t)} = F1(ω) y I{f2(t)} = F2(ω) “entonces:
2.2.3 Desplazamiento temporal y frecuencial.
Esta propiedad afirma que:
De “forma que el espectro de magnitud se conserva, mientras que el de fase se ve afectado precisamente el ángulo ωt0. O, dicho de otra forma:
Esto en cuanto a la propiedad del desplazamiento temporal, la propiedad del desplazamiento frecuencial se puede enunciar como:
En este caso la función temporal pasa a tener una expresión compleja.
2.2.4 Escalado temporal y frecuencial.
La propiedad de escalado” es:
En esta forma si escalamos la función en el dominio del tiempo, contracción o expansión, se produce un escalado en dirección contraria en el dominio de la frecuencia. A su vez, la magnitud del espectro de frecuencia queda multiplicada
por la misma constante que provoca el escalado temporal y frecuencial (Cañada, 2004, p.56).
Figura 12. Escalado de tiempo y frecuencia. Fuente: Carrillo, 2003.
2.2.5 Modulación de amplitud.
“La modulación de amplitud está relacionada con la variación de amplitud de una función sinusoidal (portadora) mediante otra función. Esto se puede expresar como:
Donde:
es la función modulada
cos es la función sinusoidal cuya amplitud se modula y recibe el nombre de portadora
es la frecuencia de la portadora
f(t) es la función mediante la cual se modula la amplitud de la portadora, llamada también moduladora”
La modulación desplaza al espectro de frecuencia de la moduladora a ambos lados de la portadora, es decir:
Figura 13. Resultado de la modulación de una onda sinusoidal de 150 Hz (portadora) mediante una onda periódica de 5 Hz (moduladora). Fuente: Carrillo, 2003.
“Esta “propiedad se utiliza en las transmisiones de radio de . En primer lugar, se transforman las ondas sonoras en señales eléctrica, empleando por ejemplo un micrófono.
Estas señales tienen un rango de frecuencia entre 10 Hz y 20 kHz. A continuación, dicha señal se multiplica por una señal con los suficientes kilohercios, por ejemplo 1024 kHz, como para que la onda resultante tenga una buena propagación a través de la atmósfera.
De esta forma, las señales de sonido hacen las veces de moduladora y la señal de alta frecuencia hace las veces de portadora”.
La “onda así modulada tiene un espectro de frecuencia de 1024 kHz ± (10Hz ÷ 20kHz). Para realizar el proceso inverso en el receptor, demodulación, se vuelve a multiplicar por la portadora.
Figura 14. Esquema simplificado de la emisión y recepción de la AM. Fuente:
Cañada, 2004.
2.3 Transformada de Fourier de funciones especiales
En este apartado se verán algunas de las funciones más utilizadas en el análisis de Fourier, que en cambio no tienen una Transformada de Fourier evidente.
2.3.1 Transformada de Fourier de un impulso.
Se puede demostrar que la Transformada de Fourier de un impulso unitario es la unidad, o lo que es lo mismo:
Si se aplica el teorema de Parseval al resultado, se observa que el espectro de energía es constante para todas las frecuencias, y, por lo tanto, su energía es infinita. He aquí la razón de la no existencia de los impulsos unitarios en los sistemas físicos, se” necesita
“energía infinita para poder generarlos. Derivadas de esta Transformada de Fourier hay una serie de propiedades, o de transformadas que deben ser consideradas:
, obtenida por dualidad y que indica que un nivel de continua está asociado a un pulso en el origen, donde δ(ω) es además una función par.
2.3.2 Transformada de Fourier del seno y coseno.
Estos son dos transformadas”:
2.3.3 Transformada de Fourier del escalón unitario.
En este caso la Transformada de Fourier es:
2.3.4 Transformada de Fourier de un tren de impulsos.
El tren de impulsos se ha definido como δT (ω). Su Transformada de Fourier tiene la particularidad de que también es periódica, solo que en el dominio de la frecuencia. Y su período de oscilación es de precisamente la frecuencia del tren de impulsos temporal, o” sea:
2.4 Señales periódicas y la Transformada de Fourier 2.4.1 De la serie de Fourier a la transformada.
Ahora lo que se pretende es encontrar la relación existente entre la Transformada de Fourier de uno de los períodos de la señal y la Serie de Fourier de la función periódica. Al empezar a estudiar la Transformada de Fourier se partió de una función periódica en la que el período se hacía tender hacia infinito (Cañada, 2004, p.65).
“Sea la función periódica (t) de período T (ω0=2π/T). A partir de ella se puede obtener una función no periódica mediante la expresión:
2.4.2 Transformada de Fourier de funciones periódicas.
Si se descompone una función periódica en una Serie de Fourier se llega a una expresión del tipo:
Se puede aplicar la Transformada de Fourier a los dos miembros de la igualdad de forma” que:
“Esta expresión indica que la Transformada de Fourier de una función periódica es un tren de impulsos modulado en amplitud, de forma que el área de esos impulsos son los coeficientes de la Serie de Fourier multiplicadas por 2π” (Cañada, 2004, p.56).
Figura 15. Transformada de Fourier de una función periódica. Fuente: Trinidad, 2017.
2.5 Transformada de Fourier discretizada (DFT)
En el cálculo de la Transformada de Fourier, tal y como redactamos líneas arriba anteriores, están involucradas las siguientes expresiones integrales:
Cuando necesitamos plasmar la idea en “una computadora para la resolución de estas ecuaciones, aparece el problema de que la Transformada de Fourier no se puede implantar directamente.
Según Carrillo (2003) El inicio de esta dificultad está en que las funciones
asociadas a la Transformada de Fourier son ecuaciones en el dominio continuo del”
tiempo y de la frecuencia, o sea, que toman infinitos valores en un intervalo finito de tiempo y de frecuencia (p.67).
“Mientras que las señales a tratar en una computadora han de ser señales discretas, o sea, con un número finito de valores. Se hace entonces imprescindible modificar las
ecuaciones anteriores, para adaptarlas a la naturaleza de la información manejada por una computadora.
Al surgir esta necesidad nace la Transformada de Fourier Discretizada o que posibilita el análisis de Fourier en sistemas digitales.
Una ventaja adicional de la DFT, es la existencia de algoritmos de cálculo que permiten realizar este análisis con un número mínimo de operaciones. Estos algoritmos se agrupan bajo la denominación de FFT (Fast Fourier Transform o Transformada Rápida de Fourier), y optimizan los cálculos necesarios para la DFT, siempre y cuando las señales implicadas cumplan una serie de requisitos, por ejemplo, que el número de muestras sea una potencia de” 2.
2.5.1 De la Transformada de Fourier a la DFT.
“El punto de partida es la señal continua f(t) con su correspondiente transformada F(ω). Estas dos señales serán modificadas, paso a paso, en aras de alcanzar una
representación que pueda ser tratada en una computadora” (Trinidad, 2017, p.34).
Figura 16. Transformada de Fourier discretizada (DFT). Fuente: Trinidad, 2017.
2.5.2 La inversa de la transformada de Fourier Discretizada (IDFT).
La “expresión de la Inversa de la Transformada de Fourier Discretizada o es:
Esta expresión nos da los N primeros valores del área de los impulsos de la función periódica f (t), que coinciden con los N primeros valores de la función f(t) escogidos con un intervalo de tiempo T.
2.6 Relación entre la transformada de Fourier y la DFT
Una vez alcanzada la expresión para la DFT, es necesario ver bajo qué condiciones ésta es capaz de alcanzar la mejor aproximación a la Transformada de Fourier. La DFT implica un muestreo, un truncado y la convolución de la señal resultante con un tren de impulsos cuyo resultado es una señal periódica discreta. Para que la DFT sea igual a la Transformada de Fourier, ninguno de los tres pasos anteriores ha de significar una pérdida o distorsión de la información que contiene la señal continua.
Otra consideración a tener en cuenta es que, si la señal original es periódica, después del muestreo ha de seguir siéndolo. Para ello se ha de escoger una frecuencia de muestreo múltiplo de la de la señal” original.
Figura 17. Modificaciones de la señal continua en el proceso de obtención de la DFT. Fuente:
carrillo, 2003.
“Los requisitos de la señal para que su DFT pueda ser equivalente a la Transformada de
Fourier son:
Ser una señal periódica.
Ser una señal de banda limitada, o sea, que su espectro frecuencial tenga una frecuencia
máxima finita.
Por otra parte, a la hora de preparar la señal para el cálculo de la DFT, se hace necesario cumplir unas condiciones que garanticen la equivalencia entre la Transformada de Fourier y la DFT, estas” son:
Muestrear “por encima del doble de la frecuencia máxima de la señal (límite de Nyquist). Además, la frecuencia de muestreo ha de ser un múltiplo entero de la frecuencia fundamental.
El tiempo de truncado ha de ser un múltiplo entero del período de la señal, para que este
abarque un número entero de períodos.
Un ejemplo de lo que ocurriría si no se cumple esta última condición lo muestro en la siguiente figura:
Figura 18. Modificaciones Caso en que el truncado no es igual a un número entero de períodos.
Fuente: Carrillo, 2003.
2.6.1 Propiedades de la DFT.
Las propiedades de la DFT son en gran parte las mismas que las de la Transformada
de Fourier, ya que la primera se puede obtener a partir de la segunda. Estas propiedades se agrupan en la tabla que a continuación se muestra, donde se ha sustituido nT por n, y k por 2πk/NT para simplificar” la notación.
Tabla 1.
Resumen de las propiedades más importantes de la DFT
Dominio temporal
Dominio frecuencial Lineali
dad f(n) + g(n)
Dualid ad
Despla zamiento Temporal
Despla zamiento Frecuencial
Teore ma de Convolución
Teore ma de Modulación
Teore
ma de Parseval
Nota: Detallamos el resumen de suma importancia de la DFT. Fuente: Autoría propia.
2.7 La transformada rápida de Fourier
La Transformada Rápida de Fourier (FFT ó Fast Fourier Transform) es un
algoritmo de cálculo de la DFT que requiere mecho menor esfuerzo computacional que el cálculo directo de la DFT.
“Se basa en un cálculo iterativo de los coeficientes de la DFT, de forma que se optimiza el número de operaciones a realizar y, consecuentemente, el tiempo de cómputo de la Transformada” (Trinidad, 2017, p.34).
La “interpretación de la FFT no requiere un conocimiento profundo del algoritmo implantado para su cálculo, pero si es necesario una buena base en cuanto al
comportamiento de la DFT. De esto se deduce el hecho de que la FFT es un algoritmo relativamente” sencillo.
Figura 19. Comparación entre las operaciones necesarias para una DFT y una FFT. Fuente:
Trinidad, 2017.
2.7.1 La transformada de Fourier en tiempo real.
En “muchas aplicaciones se hace necesario el cálculo de la Transformada de Fourier de forma que se puedan tomar decisiones en tiempo real. En ingeniería eléctrica, este es el caso de algunos de los equipos de protección de líneas de alta tensión. En estos puede ser necesario realizar un análisis de la forma de la tensión o intensidad con el fin de
determinar si se ha presentado alguna contingencia, y, en consecuencia, de proceder a disparar o no la protección.
La DFT es, como ya se ha visto, una poderosa herramienta para realizar este
análisis cuando, por ejemplo, se desea conocer la evolución de la componente fundamental de una onda periódica a lo largo del tiempo. Sin embargo, en este tipo de aplicaciones, el factor tiempo es también determinante, ya que puede ser interesante conocer la evolución de la señal objeto de estudio al mismo tiempo que se” produce.
2.8 La transformada de Fourier en tiempo discreto (DTDT)
Hasta ahora las funciones con las que se han trabajado son funciones continuas en
el tiempo, y aunque puede ser que la mayor parte del tiempo valgan cero, se puede conocer su valor en cualquier instante.
En cambio, hay otro tipo de señales que para cualquier intervalo de finito toman un número finito de valores, son las llamadas señales o secuencias discretas.
Se pueden encontrar fácilmente en los campos que abarca la ingeniería ejemplos de ambas. Por ejemplo, una señal continua es la tensión de descarga de un
condensador a lo largo del tiempo (Cañada, 2004, p.98).
Quizás “sea este tipo de señales, las continuas, con las que se está más habituado a trabajar. No obstante, existen fenómenos cuya naturaleza requiere un tratamiento discreto, como puede ser la representación de una curva diaria de consumo.
Figura 20. Ejemplo de función continua f(t) y discreta f[n]. Fuente: Carrillo, 2003.
2.9 La transformada de Fourier en Tiempo discreto
Al igual que ocurría en el caso continuo se puede llegar la Transformada de Fourier en Tiempo Discreto (DTFT) como un caso límite de la DTFS.
O bien, definir la Transformada y llegar a la serie como un caso particular de la primera. En todo caso el proceso es análogo al ya visto para el caso continuo en el tiempo y, por lo tanto, aquí se introduce directamente su definición que” es:
Esto “quiere decir que las altas frecuencias se sitúan en torno a los múltiplos impares de π ( ±π, ±3π, ±5π...) y las bajas en torno a los múltiplos pares (0, ±2π, ±4π,
±6π...), tal y como se muestra en la figura a continuación.
Figura 21. Comportamiento de la Transformada de Fourier Discreta. Fuente: Carrillo, 2003.
2.10 Propiedades y transformadas de Fourier
En adelante mostrare mediante imágenes las propiedades y transformadas más habituales” utilizadas:
Figura 22. Distintas formas de la serie de Fourier. Fuente: Carrillo, 2003.
Figura 23. Propiedades de la serie de Fourier. Fuente: Carrillo, 2003.
Figura 24. Propiedades de la transformada de Fourier. Fuente: Carrillo, 2003.
Figura 25. Propiedades de la . Fuente: Carrillo, 2003.
Figura 26. Propiedades de la serie de Fourier en Tiempo Discreto. Fuente: Carrillo, 2003.
Figura 27. Series de Fourier de funciones periódicas. Fuente: Carrillo, 2003.
Figura 28. Transformadas de Fourier. Fuente: Carrillo, 2003.
Figura 29. Transformadas de Fourier en tiempo discreto. Fuente: Carrillo, 2003.
Figura 30. Series y Transformadas de Fourier de Señales Periódicas en Tiempo Discreto. Fuente: Carrillo, 2003.
Capítulo III
Fourier en las Telecomunicaciones
3.1 Telecomunicaciones
Como “idea fundamental de la transformada de Fourier es permitirte transformar una señal del domino del tiempo o el espacio al de la frecuencia para así obtener
información que no es evidente en el dominio temporal como por ejemplo es más fácil saber sobre qué ancho de banda se concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia. O su proceso inverso, de la frecuencia al dominio temporal, mediante su anti” transformada.
Si bien en sus inicios Fourier nació para los campos de la física y la matemática con el paso del tiempo y el advenimiento de las tecnologías de la comunicación se les encontró utilidades en la descripción de estos fenómenos físicos propios de la comunicación, como son el comportamiento de ondas, dando así lugar a la transferencia de datos como la conocemos hoy en día (Carrillo, 2003, p.78).
El “proceso para hallar la Transformada de Fourier si bien era un cálculo pesado con la llegada de las computadoras y los diferentes softwares permitieron que esta desventaja no fuera más un limitante y logro así que el uso de Transformadas” realmente
fuera “una ventaja y no una tarea tediosa permitiendo sacar el potencial de la misma y dar crecimiento a estas teorías y permitir avances en la tecnología.
3.1.1 Proceso de transmisión.
La ejecución de la modulación, la demodulación y el filtrado son los procesos por los cuales una señal portadora de información puede combinarse con otras señales para transmisión a lo largo de un canal, y luego recuperarla de tal manera que la información transmitida pueda extraerse.
Suponiendo la posibilidad de que el canal utilizado para transmitir tenga ruido se deben usar las técnicas de filtrado en el domino de la frecuencia, como antes mencionamos para trabajar en este dominio es necesaria la Transformación de Fourier.
Cuando varias señales tienen que ser transmitidas al mismo tiempo, a lo largo de un solo canal, una solución es el uso de la modulación de amplitud.
3.1.2 Ecuación que vincula los dominios.
Como ya se nombró antes, la ecuación que vincula una función del tiempo o
espacio con el dominio de la frecuencia es la Transformada de Fourier. Que tiene la forma:
Donde f(x) es una función en el dominio del tiempo o el espacio y la nueva función F(w) es la función del dominio” de la frecuencia.
3.1.3 Instancias del proceso de transmitir.
3.1.3.1 Modulación y transmisión.
El primer paso es el de la generación de la señal y la parte de transmisión de todo
el proceso. Es el proceso que te permiten las herramientas matemáticas de Fourier de transformar algo del espacio tiempo al espacio de frecuencias para ser transmitido.
3.1.3.2 Identificación y aislamiento de la señal portadora de información.
Nuevamente la intervención de la Transformada de Fourier y sus aplicaciones son para cada cambio de dominio necesario durante el proceso. Primero se examina el espectro de señal recibida, se intenta identificar y aislar a las señales portadoras y sabemos que la más baja porta la señal que deseamos extraer. Se diseña el filtro adecuado que función en el dominio de la frecuencia para aislar la onda portadora seleccionada antes de usar la operación de demodulación para extraer la
información (Villafana, 2003, p.35).
3.1.3.3 Estado de demodulación y recuperación de señales finales.
Estas “últimas etapas constan de una serie de operaciones que se hacen en los distintos dominios, aunque mayormente en el de la frecuencia, para reducir el ruido para finalmente hacer la transformación de la frecuencia) al dominio del tiempo y analizar lo obtenido lo cual debería coincidir con lo enviado en gran medida siempre que haya poco ruido agregado por el canal de” transmisión.
Figura 31. Funciones periódicas del lado izquierdo y su correspondiente Transformada de Fourier.
Fuente: Carrillo, 2003.
3.1.4 Convolución de dos señales.
Hace “referencia a un operador matemático expresado con el símbolo del asterisco (*) y la cual nos permite que dos funciones, supongamos f y g generen una tercera función. Es decir, nos permite relacional tres señales, usualmente, la señal de entrada, la respuesta al impulso y la señal de salida.
3.1.5 Relación entre la transformada y la convolución.
Se ven muchos trabajos que se hacen sobre distintos dominios por lo que existen una gran cantidad de teoremas que apoyan las herramientas matemáticas para el trabajo de señales como el teorema de convolución en frecuencia y el teorema de convolución en el tiempo ecuaciones que permiten trabajar en los distintos dominios y con esta” flexibilidad
se pueden “resolver problemas de distintas formas de acuerdo a la conveniencia o facilidad de cálculo.
3.1.6 Otras utilidades, teoría del muestreo.
Esta teoría busca convertir una señal analógica en una secuencia de números separados uniformemente en el tiempo o reconstruir una señal periódica a partir de sus muestras. Es importante elegir correctamente este periodo de espaciado al realizar la primera operación para que la secuencia represente a una única, en lo posible, señal analógica original con el objetivo de evitar” ambigüedades.
Como vemos nuevamente a la transformada nuevamente nos permite movernos entre distintos dominios los cuales resultan beneficiosos para las distintas operaciones que se les debe aplicar a cada dominio, por ejemplo, la principal utilidad de estas herramientas radica en la posibilidad de digitalizar señales (Cañada, 2004, p.68).
3.2 Transformada de Fourier en telecomunicaciones
La “transformada de Fourier relaciona una función en el dominio del tiempo con una función en el dominio de la frecuencia. Los valores de frecuencia componentes, extendidas para todo el espectro, son representados como picos en el dominio de la frecuencia. La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función; es decir, al aplicar la transformada de Fourier a una función solo se visualizará un rango de valores de frecuencias para todos los valores de la función en un cierto dominio.
La transformada de Fourier se utiliza para obtener información de una señal determinada que no es evidente en el dominio temporal, por medio de su traducción al dominio de” frecuencias.
3.2.1 Modulación de señales.
La modulación de señales comprende los procesos utilizados para transportar información sobre cualquier onda física, denominada portadora, típicamente una onda sinusoidal. Mediante las técnicas de modulación se obtiene un mejor
aprovechamiento del canal de comunicación y los recursos físicos de transmisión, lo que hace posible la transmisión simultanea de mayor volumen de información, de mejor calidad, y protegiendo los datos de posibles ruidos e interferencias (Carrillo, 2003, p.43).
En principio, la modulación consiste en hacer que un parámetro de “la onda portadora cambie de valor de acuerdo con las variaciones de la señal moduladora (la información a transmitir). De acuerdo al parámetro de la señal moduladora que se modifica en el proceso, existen diversos tipos de modulación; entre ellos:
Modulación de amplitud (AM)
Modulación de fase (PM)
Modulación de frecuencia (FM)
Cada uno de estos métodos de modulación de señal es caracterizado por una ecuación matemática que representa una función la cual, a efectos prácticos, se aplica sobre la ecuación característica de la señal portadora. Estas ecuaciones tienen su fundamento matemático en la transformada de Fourier”.
3.2.1.1 Modulación de amplitud.
“Amplitud Modulada (AM) o modulación de amplitud es un tipo de modulación lineal que consiste en hacer variar la amplitud de la onda portadora, de alta frecuencia, de
forma que esta cambie de acuerdo con las variaciones de nivel de la señal moduladora, de baja frecuencia, que es la información que se va a transmitir” (Carrillo, 2003, p.65).
Una gran ventaja de AM es que su demodulación es muy simple y, por
consiguiente, los receptores son sencillos y económicos. El proceso de modulación en amplitud consiste, básicamente, en multiplicar la señal moduladora en función de su amplitud por la portadora, sinusoidal y, a su vez, sumarle esa portadora sinusoidal. El espectro en frecuencias de la señal quedara trasladado a radianes por segundo, tanto en la parte positiva (Carrillo, 2003, p.87).
Figura 32. (a) Señal binaria o digital. (b) Modulación de amplitud. (c) Modulación de frecuencia.
(d) Modulación de fase. Fuente: Carrillo, 2003.
Del mismo como en la negativa, y su amplitud será, en ambos casos, el producto de la señal moduladora por la amplitud de la portadora, sumado a la amplitud de la portadora, y dividido por dos.
Figura 33. Modulación de amplitud. (a) Portadora, (b) Moduladora, (c) Señal modulada. Fuente:
Carrillo, 2003.
3.2.1.2 Modulación de Frecuencia.
En telecomunicaciones, “la frecuencia modulada (FM) o modulación de frecuencia es una modulación angular que transmite información a través de una onda portadora variando su frecuencia (contrastando esta con la amplitud modulada o modulación de amplitud (AM), en donde la amplitud de la onda es variada mientras que su frecuencia se mantiene constante).
En aplicaciones analógicas, la frecuencia instantánea de la señal modulada es proporcional al valor instantáneo de la señal moduladora. Datos digitales pueden ser enviados por el desplazamiento de la onda de frecuencia entre un conjunto de valores discretos, una modulación conocida como FSK (Trinidad, 2017, p.45).
Cuando la amplitud de la señal de información varia, produce un corrimiento proporcional en la frecuencia de la portadora. El aumento que la señal moduladora produce en la frecuencia de la portadora se conoce como desviación de” frecuenta. La desviación máxima de frecuencia “ocurre en los máximos de la amplitud de la señal moduladora. La frecuencia de la señal moduladora determina la relación de desviación de frecuencia.
La “modulación de una portadora sobre FM, aunque se puede realizar de varias formas, resulta un problema delicado debido a que se necesitan dos características contrapuestas: estabilidad de frecuencia y que la señal moduladora varié la frecuencia.
La aplicación de la transformada de Fourier se reduce a la traducción o mapeo de la señal al dominio digital, estrechando el espectro de frecuencias a los valores para el
procesamiento puramente digital, requeridos por los dispositivos electrónicos.
Figura 34. Modulación de frecuencia. (a) Portadora, (b) Moduladora, (c) Señal modulada. Fuente:
Carrillo, 2003.
3.1.2.3 Modulación de Fase.
La modulación en fase es un tipo de modulación que se caracteriza porque la fase de la onda portadora varia directamente de acuerdo con la señal modulante. Se obtiene variando la fase de una señal portadora de amplitud constante, en forma directamente proporcional a la amplitud de la señal modulante. La modulación de fase no suele ser muy utilizada porque se requieren equipos de recepción más complejos que los de frecuencia modulada. Además, puede presentar problemas de ambigüedad para determinar por ejemplo si una señal tiene una fase de” 0° o 180°.
3.1.2.3.1 Modulación de fase PSK.
La “modulación PSK se caracteriza porque la fase de la señal portadora representa cada símbolo de información de la señal moduladora, con un valor angular que el
modulador elige entre un conjunto discreto de n valores posibles. La modulación PSK también se denomina por desplazamiento debido a los saltos bruscos que la moduladora digital provoca en los correspondientes parámetros de la portadora. Un modulador PSK representa directamente la información mediante el valor absoluto de la fase de la señal modulada, valor que el demodulador obtiene al comparar la fase de esta con la fase de la portadora sin modular.
En este contexto, la transformada de Fourier cumple el rol de relocacion de los ciclos en el dominio transformado; por medio del análisis de los desfases de la señal modulada se generarán los pulsos de la señal digital; el espectro en frecuencias del dominio transformado estará nuevamente acotado al rango de digitalización de la señal” (Carrillo, 2003, p.47).
Figura 35. Modulación de fase. El espectro digital se mapea con los cambios de fase en la portadora. Fuente: Carrillo, 2003.
Capítulo IV
¿Como y donde se aplican las series de Fourier?
Muchas ecuaciones de las ciencias se formulan con derivadas parciales y se resuelven, en ocasiones, descomponiendo la incógnita en series (sumas infinitas).
Las series más interesantes son las de potencias y por supuesto las de Fourier. Dado el carácter periódico de tales sumas, las series de Fourier se aplican, por
ejemplo, donde surgen procesos oscilantes, como ocurre en las series temporales de naturaleza económica, en electrónica (se aplican por ejemplo en teoría de señales), en acústica o en óptica (Bolton, 1998, p.54).
Los “problemas teóricos relacionados con la convergencia de las series de Fourier han impulsado avances fundamentales en distintos ámbitos de las matemáticas y siguen siendo considerados hoy como problemas muy difíciles.
4.1 Aplicación en procesamiento digital de señales
Es importante considerar la aplicación de las series de Fourier, ya que estas sirven mucho en el procesamiento digital de señales, la cual es un área de las ciencias e ingeniería que se ha desarrollado rápidamente en los últimos 30 años.
Este rápido desarrollo es resultado de avances tecnológicos tanto en los ordenadores digitales como en la fabricación de circuitos integrados. Estos” circuitos
digitales “baratos y relativamente rápidos han hecho posible construir sistemas digitales altamente sofisticados, capaces de realizar funciones y tareas del procesado de señales que convencionalmente se realizaban analógicamente, se realicen hoy mediante hardware digital, más barato y a menudo más fiable (Bolton, 1998).
La importancia de esto radica en que la serie de Fourier nos facilita el arduo trabajo del manejo con señales, ya que para que nosotros podamos procesar estas señales es
necesario expresarlas como una combinación lineal de términos, lo cual nos lo proporciona la serie de Fourier.
Figura 36. Procesamiento de señales por voz. Fuente: Recuperado de https//:
www.telecomunicacionesdefourier.es
4.2 Aplicación en la medicina 4.2.1 Diagnóstico automático.
La ecografía permite registrar la vibración de cada una de las membranas del corazón, proporcionando una curva periódica. Un programa de ordenador calcula los primeros términos de las sucesiones (coeficientes de Fourier). En el caso de la válvula mitral, son suficientes los dos primeros coeficientes de Fourier para diagnosticar al
paciente. Esta forma de diagnóstico disminuye costes en el sistema sanitario y, sobre todo, evita al paciente los riesgos y molestias inherentes a las pruebas” endoscópicas.
Figura 37. Diagnostico automático por medio de la ecografía. Fuente: Recuperado de https://www.google.com/search?q=ecografias&client
4.3 Aplicaciones diversas
Modernamente el análisis de “Fourier ha sido impulsado por matemáticos como lebesgue Hardy, Littlewood, Wiener, Frobenius, Selberg, Weily Weyl entre otros.
El poder extraordinario y la flexibilidad de las series de Fourier se ponen de
manifiesto en la asombrosa variedad de aplicaciones que estas tienen en diversas ramas de la matemática y de la física matemática desde la teoría de números y geometría hasta la mecánica quántica.
Algunas de las más importantes aplicaciones de las series de Fourier son:
4.3.1 El problema isoperimétrico.
Que es de carácter matemático afirma que, si C es una curva cerrada simple con un tipo de clase y de longitud unitaria, entonces el área A encerrada por la curva satisface cierta desigualdad. La desigualdad se satisface si y solos si C es una circunferencia. En consecuencia, entre todas las curvas cerradas simples de longitud unitaria la que encierra mayor área es la” circunferencia.
4.3.2 Temperatura de la tierra
Un problema sencillo pero muy interesante es el de calcular la temperatura de la
tierra a “una profundidad x a partir de la temperatura de la superficie. Describamos la temperatura de la superficie terrestre como una función f periódica en el tiempo t y de periodo 1(un año). La temperatura y la profundidad en un tiempo y longitud
respectivamente, mayores o iguales a cero son también periódicas. Bajo estas
circunstancias la temperatura puede ser expandida mediante una serie de Fourier para cada valor x fijo.
4.3.3 Evaluación de las series no triviales.
Otra de las aplicaciones de la serie de Fourier es la evaluación de las series no triviales mediante la identidad de plancherel para calcular algunas sumas infinitas.
4.3.4 La desigualdad de Wirtinger.
Es una aplicación de tipo matemática de las series de Fourier para una función continúa definida en un intervalo cerrado.
4.3.5 Solución de ecuaciones diferenciales.
Tal vez una de las propiedades más importantes de las series de Fourier y en particular de las integrales de Fourier se presenta en la solución de ecuaciones
diferenciales ya que transforma operadores diferenciales con coeficientes constantes en multiplicación por polinomios.
4.3.6 Flujo de calor.
Otra de las aplicaciones importantes de la serie de Fourier y en este caso de la transformada de Fourier es el problema del flujo del calor. el planteamiento de este problema es similar al del problema” anterior.
4.3.7 Ecuación de ondas.
Las aplicaciones tanto en la ecuación de ondas, la fórmula de Poisson y la Identidad de Jacobi son de carácter matemático riguroso por lo que se dejan” indicadas.
Aplicación didáctica
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN Enrique Guzmán y Valle
“Alma Máter del Magisterio Nacional”
FACULTAD DE TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
SESIÓN DE APRENDIZAJE I. INFORMACIÓN GENERAL
1.1. ASIGNATURA : Cálculo II
1.2. ESPECIALIDAD : Telecomunicaciones e Informática 1.3. AÑO DE ESTUDIOS : II Ciclo
1.4. N° HORAS : 90 minutos
1.5. HORARIO : miércoles 9:00 a. m. a 10:30 a. m.
1.6. DOCENTE : RETAMOZO QUISPE, Wilfredo.
II. TEMA: Reconocimiento de voz a través de herramienta Matlab.
III. OBJETIVOS GENERAL
A través de esta clase el estudiante realizará el análisis de señales de voz, aprenderá a programar y simular el reconocimiento de voz por medio de la interacción entre el usuario y la computadora, utilizando la herramienta Matlab y la aplicación de la transformada de Fourier.
3.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS a) Analizar las señales de voz.
b) Explorar algoritmos de procesamiento digital de voz, que permitan un tratamiento sencillo de información relevante de las señales de voz.
c) Lograr la interacción automática humano/computadora por medio de un sistema simple de utilizar.
IV. ESTRATEGIAS METODOLOGICAS
4.1. Método : Inductivo – Deductivo 4.2. Procedimiento Didáctico : Observación – Demostración 4.3. Formas Didácticas : Trabajo grupal
V. MEDIOS Y MATERIALES EDUCATIVOS
5.1. Materiales de enseñanza - Equipo de cómputo
- Micrófono - Software Matlab - Multimedia - Pizarra acrílica - Plumones
VI. DESARROLLO DEL TEMA 6.1 Motivación
La motivación se llama: “El mal entendido”
Este juego implica a grupos de cinco estudiantes. Un integrante de cada grupo debe sentarse delante de sus respectivos grupos. A cada grupo se le entrega un objeto. El grupo debe describirlo (sin decir explícitamente qué objeto es) al estudiante elegido. El
estudiante elegido debe entonces dibujarlo basándose en las descripciones del grupo. Al final del juego nos daremos cuenta de lo difícil que es dibujar con solo la descripción, de ello pasamos a indagar de la siguiente interrogación: ¿cómo una máquina puede
comunicarse o interactuar con el humano o viceversa?
6.2 Resumen del Tema
En esta sesión se buscará realizar el análisis de señales de voz (audio), utilizando la aplicación de la transformada de Fourier para el procesamiento digital de señales de audio, con ayuda del programa Matlab y su funcionalidad FFT.
Al comienzo daremos una pequeña introducción conceptual de Matlab, y sobre la fonación e implementación de la Transformada de Fourier, en la aplicación en
procesamiento de audio que se desarrollará.
6.3 Evaluación (hoja de evaluación)
6.4 Aplicación (hoja de práctica)
VII. Referencias Recuperado de:
González Dosal Raquel. Producción de la voz y el habla. La fonación. Production of voice and speech .phonation. Pags 5-39
J.M. Almira, Matemáticas para la recuperación de señales, Grupo Editorial Universitario, 2005 pag 20.
https://es.wikiversity.org/wiki/Propiedades_de_la_transformada_de_Fourier
http://formella.webs.uvigo.es/doc/tc01/node32.htm
Análisis de Fourier. Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2013. Pags 5 – 10.
http://www.ehu.eus/acustica/espanol/electricidad/micres/micres.html
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN Enrique Guzmán y Valle
“Alma Máter del Magisterio Nacional”
FACULTAD DE TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
HOJA DE INFORMACIÓN I. INFORMACIÓN GENERAL
1.1. ASIGNATURA : Cálculo II
1.2. ESPECIALIDAD : Telecomunicaciones E informática 1.3. AÑO DE ESTUDIOS : II Ciclo
1.4. N.° HORAS : 90 minutos
1.5. HORARIO : Miércoles 10:00 a. m. a 10:30 a. m.
1.6. DOCENTE : Retamozo Quispe, Wilfredo
II. TEMA: Reconocimiento de voz a través de herramienta Matlab.
III. CONTENIDOS
3.1 Origen de Matlab
Su nombre “Matlab” fue originalmente creado por el matemático estadounidense, Cleve Moler, fundador de la empresa Math Works Inc (líder mundial en desarrollo de software para cálculo técnico), con el objetivo de proporcionar un acceso fácil al software matricial desarrollado en los proyectos de UNIX LINPACK.
3.2 Versiones e historia.
A finales de los años 70, se escribió la primera versión de MATLAB en Fortran (lenguaje de programación de alto nivel que se usa principalmente en aplicaciones científicas y matemáticas) siendo la única estructura de datos la matriz.
De ahí el nombre del programa, cuyas siglas
corresponden a MATrix LABoratory. Posteriormente, en los años 80, MATLAB fue reescrito en lenguaje C. En 1990 fue escrita la versión 3 para MS-DOS y para Windows 3.11, aparece la versión 4, que ya incorpora la primera versión del Simulink.
La versión actual es la R2021A, esta versión es compatible con los sistemas operativos Microsoft Windows, macOS y GNU/Linux.
3.3 Características de Matlab.
Es un lenguaje potente y rápido, pero sencillo. Ocupa poca memoria, por el mismo no necesita compilar o crear ejecutables y los ficheros son de texto.
El usuario puede acceder a la mayor parte de sus funciones para modificarlas y/o crear
las suyas propias, gracias a que sus funciones matemáticas están predefinidas y agrupadas en toolboxes (librería comercial).
Presenta “una gran capacidad para generar gráficos, en dos y tres dimensiones, y permite incorporar efectos y animaciones.
Permite el desarrollo de aplicaciones complejas con ayuda del editor de ventanas, menús y controles de la utilidad GUI (Graphics User Interface).
Puede intercambiar datos con otros lenguajes y entornos. Puede acceder a distintos dispositivos de hardware tales como tarjetas de sonido, tarjetas de adquisición de datos y DSPs (Digital Signal Processors)”.
3.4 Partes constitutivas.
El “programa MATLAB está constituido por:
El entorno (ventanas, variables y ficheros)
Los objetos gráficos.
Un lenguaje propio de programación.
3.4.1 El entorno de Matlab.
El entorno es el conjunto de herramientas que permiten trabajar como usuario o como programador. Permiten importar, procesar y exportar datos; crear y modificar ficheros; generar gráficos y animaciones; y desarrollar aplicaciones de usuario.
El entorno de MATLAB incluye las ventanas, las variables y los ficheros.
Ventanas
Son de diversos tipos. Las ventanas que forman el núcleo (kernel) del programa se organizan en el escritorio (desktop), pero en una sesión típica se abren y cierran gran número de ventanas secundarias correspondientes a figuras, editores de ficheros o de variables, aplicaciones diversas... Existen, además, ventanas específicas correspondientes a la ayuda y a las demostraciones (helps y demos).
Variables
Son objetos temporales (al cerrar el MATLAB se borran) y, durante la sesión en curso, se almacenan en el llamado workspace.
Ficheros
Son objetos permanentes (al cerrar el MATLAB no se borran). Aparte de los ficheros que conforman el núcleo básico del programa MATLAB, están los ficheros creados” por el