EC 2322 Reflexión OPU en Medios Sin Perdidas pdf

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(1)EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. 2.4.. ESTUDIO. DE LA REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE ONDAS PLANAS. UNIFORMES EN MEDIOS SIN PÉRDIDAS. 2.4.1 El caso general En el caso de medios sin pérdidas, la constante de propagación es. γˆ = jω µ ε , mientras que la impedancia intrínseca es real e igual a. η = µ /ε . Para la Ley de Snell se tiene entonces:. senθ t =. µ1 ε1 v senθ i = 2 senθ i v1 µ2 ε 2. (2.54). Obsérvese que cuando v2 > v1 puede obtenerse sen θ t > 1 para ciertos ángulos de incidencia, lo que implica que θ t sería complejo. El estudio y explicación de este caso se deja para el final de esta sección. Suponiendo entonces que se cumplen las condiciones para que θ t sea real, los coeficientes de Fresnel también son reales y vienen dados por:. η cosθ i − η 2 cosθ t R// = 1 η1 cosθ i + η 2 cosθ t. (2.55a). η cosθ i − η1 cosθ t R⊥ = 2 η 2 cosθ i + η1 cosθ t. (2.55b). T// =. 2η 2 cosθ i η1 cosθ i + η 2 cosθ t. (2.55c). T⊥ =. 2η 2 cosθ i η 2 cosθ i + η1 cosθ t. (2.55d). Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 64.

(2) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Obsérvese que los coeficientes de reflexión tienen una estructura de la forma ( A − B ) ( A + B) , mientras que para los coeficientes de transmisión tanto el numerador como el denominador son positivos. Entonces, en una primera aproximación: − 1 < R// ≤ 1 , − 1 < R⊥ ≤ 1. η 0 ≤ T// ≤ 2 2 , 0 ≤ T⊥ ≤ 2 η1. Es importante aclarar que los coeficientes de reflexión y de transmisión alcanzarán los extremos señalados dependiendo de las propiedades electromagnéticas de los medios de incidencia y de transmisión. Mediante un estudio más detallado, como el que se incluye más adelante, se pueden establecer de forma exacta los extremos en cuestión. De acuerdo con las desigualdades anteriores, se tiene: a) Es factible que para algún ángulo de incidencia alguno de los coeficientes de reflexión se anule. b) Los coeficientes de reflexión alcanzan la unidad cuando cosθ t = 0 , lo que implica que θ t = π / 2 . En este caso se dice que hay Reflexión Total. c) Cuando θ t = π / 2 , es decir que hay reflexión total, los coeficientes de transmisión alcanzan su valor máximo: T// = 2η 2 η1 , T⊥ = 2 . Se consideran como casos particulares: el caso de incidencia normal (θ i = θ r = θ t = 0 ) , el caso de incidencia sobre un conductor ideal (η 2 = 0 ), el caso de reflexión nula y el caso de reflexión total. Antes de estudiar los casos. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 65.

(3) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. particulares, se considera con detalle el comportamiento de los coeficientes de Fresnel.. 2.4.2 Estudio detallado de los coeficientes de Fresnel Es importante conocer para qué ángulos de incidencia los coeficientes de Fresnel son reales, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos. Con relación a los ángulos de incidencia para los que los coeficientes de Fresnel son reales debe cumplirse. v2 v1 sen θ i ≤ 1 en el intervalo. 0 ≤ θ i < π / 2 . Para v2 < v1 se cumple la condición para todo el intervalo 0 ≤ θ i < π / 2 . Para v2 > v1 se cumple la condición sólo si sen θ i ≤ v1 v2 . En resumen: a) Si v2 < v1 , los coeficientes de Fresnel son reales para 0 ≤ θ i < π / 2 . b) Si. v2 > v1 ,. los. coeficientes. de. Fresnel. son. reales. 0 ≤ θ i ≤ θ ic = sen −1 (v1 v2 ) . Al ángulo θ ic = sen −1 (v1 v2 ). para se le. denomina ángulo crítico. El estudio de los intervalos de crecimiento y decrecimiento y de los extremos de los coeficientes de Fresnel implican el cálculo de sus derivadas respecto al ángulo de incidencia. Puede demostrarse que: ∂T// ∂θ i.  v2  v   − 1 2 sen 2 θ i + 1 2 η sen θ i  v1  v1  = 2 2 cosθ t (η1 cosθ i + η2 cosθ t ) 2. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (2.56a). 66.

(4) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. ∂R// η1 ∂T// = ∂θ i η2 ∂ θ i ∂T⊥ ∂θ i. (2.56b).  v2  v   − 1 2 sen 2 θ i + 1 2 η η senθ i  v1  v1  = 1 2 cosθ t (η2 cosθ i + η1 cosθ t )2. (2.56c). ∂R⊥ ∂T⊥ = ∂θ i ∂θ i. (2.56d). Observando con detalle las ecuaciones (2.56), se tiene que todos los factores involucrados son positivos, excepto el factor v2 v1 − 1 , el cual puede ser positivo o negativo, sin anularse. Por lo tanto: a) Los coeficientes de Fresnel no tienen máximos ni mínimos locales. Sus valores máximo y mínimo están ubicados en los extremos del intervalo angular en que son reales. b) Cuando. v2 < v1 los coeficientes de Fresnel son estrictamente. decrecientes para 0 ≤ θ i < π / 2 . Entonces sus extremos son:. η1 − η 2 ≥ R// > −1 η1 + η 2. 2η 2 ≥ T// > 0 η1 + η2. η 2 − η1 ≥ R⊥ > −1 η 2 + η1. 2η 2 ≥ T⊥ > 0 η1 + η 2. En el caso de polarización paralela, para que haya reflexión nula es necesario que η1 > η 2 , mientras que para polarización perpendicular es necesario que η1 < η 2 . Como se esperaba, no puede ocurrir reflexión total. c) Cuando v2 > v1 los coeficientes de Fresnel son estrictamente crecientes para 0 ≤ θ i ≤ θ ic . Entonces sus extremos son:. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 67.

(5) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. η1 − η 2 ≤ R// ≤ 1 η1 + η 2. 2η 2 2η ≤ T// ≤ 2 η1 + η 2 η1. η 2 − η1 ≤ R⊥ ≤ 1 η 2 + η1. 2η2 ≤ T⊥ ≤ 2 η1 + η 2. En el caso de polarización paralela, para que haya reflexión nula es necesario que η1 < η 2 , mientras que para polarización perpendicular es necesario que η1 > η 2 . Como se esperaba, ocurre reflexión total si el ángulo de incidencia es el ángulo crítico. Es importante mencionar que, de acuerdo con estos resultados, las siguientes afirmaciones entre comillas, que podrían derivarse del simple sentido común, SON FALSAS: a) “Cuando hay reflexión nula hay máxima transmisión”. Esta afirmación contradice el hecho de que los coeficientes no tienen máximos ni mínimos locales. Lo que realmente sucede es que para el ángulo de incidencia al cual ocurre la reflexión nula, no es necesaria la onda reflejada para que se cumplan las condiciones de frontera. b) “Cuando hay reflexión total no hay onda transmitida”. Se encontró que para el ángulo de incidencia que produce reflexión total (el ángulo crítico) los coeficientes de transmisión son máximos, y de acuerdo con los valores obtenidos la amplitud de la onda transmitida puede incluso duplicar a la de la onda incidente, para el caso de polarización perpendicular. Para explicar esta aparente contradicción con el sentido común, se hace más adelante un estudio de la conservación de la energía, aplicando el Teorema de Poynting. Es importante destacar por Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 68.

(6) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. los momentos que cuando hay reflexión total la onda transmitida tiene. θ t = π / 2 , por lo que se propaga paralela a la interfaz. c) “Las ondas reflejada y transmitida se originan en la división de la onda incidente”. De acuerdo con esto no debería existir onda transmitida cuando hay reflexión total. Sin embargo, el hecho de que sí existe onda transmitida cuando hay reflexión total plantea la necesidad de ahondar sobre el asunto de cómo se originan las ondas reflejada y transmitida, asunto que será discutido más adelante, cuando se aplique el Teorema de Poynting al estudio de la reflexión en medios sin pérdidas. A continuación se estudian los casos particulares de reflexión mencionados al final de la sección 2.4.1.. 2.4.3 Incidencia normal Haciendo θ i = θ t = 0 en los coeficientes de Fresnel, se tiene:. η − η2 R// = 1 η1 + η2. T// =. 2η 2 η1 + η 2. η − η1 R⊥ = 2 η 2 + η1. T⊥ =. 2η2 η1 + η 2. 2.4.4 Incidencia sobre un conductor ideal Haciendo η 2 = 0 en los coeficientes de Fresnel, se obtiene:. R// = 1. T// = 0. R⊥ = −1. T⊥ = 0. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 69.

(7) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Se obtiene de lo anterior que hay reflexión total y transmisión nula para cualquier ángulo de incidencia, y sin importar el grosor del conductor. Es importante mencionar que en los casos reales de incidencia sobre láminas metálicas, se obtienen resultados muy similares al caso ideal, dependiendo de la frecuencia de operación y tomando en cuenta que el grosor de la lámina debe ser mucho mayor a la profundidad de penetración. Esto permite afirmar que las láminas metálicas actúan como espejos electromagnéticos. También es oportuno destacar que éste es el único caso en que los coeficientes de transmisión son nulos, ya que la otra posibilidad matemática ( θ i = π / 2 ) corresponde al caso en que no hay incidencia sobre la interfaz.. 2.4.5 Reflexión nula Como se mencionó previamente, existe la posibilidad matemática de que los coeficientes de reflexión se anulen para cierto ángulo de incidencia. Como se demostró que dichos coeficientes son estrictamente crecientes o decrecientes, sólo puede haber un ángulo de incidencia para el cual se anule el coeficiente de reflexión. A dicho ángulo se le denomina ángulo de Brewster. Las expresiones del ángulo de Brewster para las polarizaciones canónicas son:. Polarización paralela En este caso θ i = θ iB// . Haciendo R// = 0 , se obtiene:. θ iB// = tan −1. ε 2 ε 2 µ1 − ε1 µ 2 ε1 ε 2 µ 2 − ε1 µ1. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (2.57a). 70.

(8) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. En el caso muy frecuente en que µ1 = µ 2 y ε 2 ≠ ε1 (materiales dieléctricos ideales), el ángulo de Brewster para polarización paralela se reduce a:. θ iB// = tan −1. ε2 = tan −1 (n21 ) ε1. (2.57b). donde n21 es el índice de refracción relativo del medio 2 respecto al medio 1. En el caso en que ε 2 = ε1 y µ1 ≠ µ 2 , que corresponde a materiales magnéticos LIH, el ángulo de Brewster para polarización paralela no tiene solución real.. Polarización perpendicular En este caso θ i = θ iB⊥ . Haciendo R⊥ = 0 , se obtiene:. θ iB⊥ = tan −1. µ 2 ε1 µ 2 − ε 2 µ1 µ1 ε 2 µ 2 − ε1 µ1. (2.58a). En el caso en que ε 2 = ε1 y µ1 ≠ µ 2 (materiales magnéticos LIH), el ángulo de Brewster para polarización perpendicular se reduce a:. θ iB⊥ = tan −1. µ2 µ1. (2.58b). En el caso frecuente en que µ1 = µ 2 y ε 2 ≠ ε1 (materiales dieléctricos ideales), el ángulo de Brewster para polarización perpendicular no tiene solución real.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 71.

(9) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. 2.4.6 Reflexión total: incidencia con el ángulo crítico Como se vio en el estudio detallado de los coeficientes de Fresnel, el ángulo crítico viene dado por:. θ ic = sen −1 (v1 v2 ). (2.59). y existe solamente cuando v2 > v1 . De acuerdo con el mencionado estudio, para este caso los coeficientes de Fresnel resultan ser:. R// = 1. T// = 2η 2 η1. R⊥ = 1. T⊥ = 2. Ya se había visto que para que hubiese reflexión total era necesario que cosθ t = 1 , por lo que θ t = π / 2 . Existe entonces una onda transmitida que se propaga paralela a la interfaz, y con campo eléctrico no nulo. Dado que la magnitud de la densidad de potencia de la onda reflejada es igual a la de la onda incidente, y la onda transmitida tiene una densidad de potencia no nula, queda pendiente por analizar de dónde proviene la densidad de potencia de la onda transmitida, aspecto que es considerado en la sección 2.5 de esta unidad.. 2.4.7 Incidencia con un ángulo mayor al ángulo crítico Como se sabe, el ángulo crítico es el máximo ángulo de incidencia para el cual los coeficientes de Fresnel son reales cuando v2 > v1 . Por lo tanto, para. θ ic ≤ θ i < π / 2 los coeficientes de Fresnel son complejos. Para esta situación surgen varias interrogantes: ¿qué sucede con la Ley de Snell?, ¿qué sucede Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 72.

(10) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. con la onda transmitida?, ¿qué sucede con los coeficientes de reflexión, cuya magnitud había alcanzado la unidad para θ i = θ ic ?, entre otras. A continuación se da respuesta a estas cuestiones. En primer lugar, cuando θ i > θ ic en la Ley de Snell queda: sen θ i v v sen θ i > sen θ ic = 1 ⇒ sen θ t = 2 sen θ i = >1 v2 v1 sen θ ic De acuerdo con este resultado, el ángulo de transmisión debe ser complejo, es decir: θ t = θˆt . La interpretación de una onda plana uniforme que se propaga según un ángulo complejo no puede establecerse de manera sencilla. Es necesario, y más interesante, encontrarle una interpretación a una onda plana uniforme que se propaga en la dirección de un vector de propagación complejo. El vector de propagación de la onda transmitida es: tˆ = 1z cos θˆt + 1x sen θˆt. Nótese que este vector ahora es complejo, y deja de ser unitario porque sen θ t > 1 . Para cosθˆt se tiene: cosθˆt = 1 − sen 2 θˆt = ± j sen 2 θˆt − 1. (2.60). donde el signo se elegirá de acuerdo al sentido físico de esta expresión dentro de la exponencial de propagación de la onda. El vector de propagación de la onda transmitida queda: tˆ = ±1z j sen 2 θˆt − 1 + 1x sen θˆt Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (2.61a). 73.

(11) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Al usar la Ley de Snell, se tiene: 2. v  v tˆ = ±1z j  2 sen θ i  − 1 + 1x 2 sen θ i v1  v1 . (2.61b). La exponencial de propagación de la onda transmitida queda:  2      v v   2 2 exp − jβ 2 tˆ ⋅ r = exp − jβ 2  ± z j  sen θ i  − 1 + x sen θ i   v1    v1     . (. ).        2      v v   2 2  exp − jβ 2 tˆ ⋅ r = exp m  β 2  sen θ i  − 1  z − j  β 2 sen θ i  x    v1   v1   44 3  1 4 2 4 4 4  144  44244443 jβ eq x   z α eq  . (. ). Se obtiene que el argumento de la exponencial de propagación de la onda transmitida tiene un término real y un término imaginario puro. Dado que no tiene sentido físico que la onda se amplifique para valores de z positivos, correspondientes a la región de transmisión, debe elegirse el signo negativo en la parte real del argumento la exponencial, a fin de que la onda se atenúe. De acuerdo con los resultados obtenidos la onda transmitida, al propagarse según un vector de propagación complejo, es una onda que se propaga en dirección x (de acuerdo con la parte imaginaria del argumento de la exponencial de propagación), y se atenúa en dirección z (de acuerdo con la parte real del argumento de la exponencial de propagación), que es una de las coordenadas del frente de onda x = cte. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 74.

(12) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Como la amplitud de la onda no es constante en el frente de onda, entonces resulta que la onda transmitida, siendo una onda plana uniforme que se propaga en la dirección de un vector complejo, es en realidad una onda plana no uniforme que se propaga en dirección x y se atenúa en dirección z. Es importante aclarar que la atenuación de la onda en este caso no puede asociarse con pérdidas, sino con la no uniformidad de la amplitud de la onda. Se observa que la constante de fase en dirección x no es la constante de fase de la región 2, sino una constante de fase modificada: v. v. β eq = β 2 2 sen θ i , con β 2 < β eq < β 2 2 para θ ic < θ i < π / 2 (2.62a) v1 v1 Por su parte, la constante de atenuación en dirección z no es la constante de atenuación de la región 2 (que obviamente es nula), sino una constante de atenuación equivalente: 2. 2. v  v  α eq = β 2  2 sen θ i  − 1 , con 0 < α eq < β 2  2  − 1  v1   v1 . (2.62b). Con relación a los coeficientes de reflexión, se tiene que el coseno del ángulo de transmisión es una cantidad imaginaria pura: cosθˆt = − j sen 2 θˆt − 1 = − j. (v2. v1 )2 sen 2 θ i − 1. Al ser el coseno del ángulo de transmisión una cantidad imaginaria pura, los coeficientes de reflexión pasan a ser números complejos en los que el numerador y el denominador son complejos conjugados:. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 75.

(13) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. η cosθ i + jη 2 Rˆ // = 1 η1 cosθ i − jη 2. (v2 (v2. η cosθ i + jη1 Rˆ ⊥ = 2 η 2 cosθ i − jη1. (v2 (v2. v1 )2 sen 2 θ i − 1 v1 ) sen θ i − 1 2. 2. v1 )2 sen 2 θ i − 1 v1 ) sen θ i − 1 2. 2. (2.63a). (2.63b). Por lo tanto Rˆ // = Rˆ ⊥ = 1 , lo que indica que cuando el ángulo de incidencia supera al ángulo crítico continúa habiendo reflexión total, con la diferencia de que la onda reflejada tiene un desfasaje con relación a la onda incidente. Por su parte, para los coeficientes de transmisión se tiene: Tˆ// = Tˆ⊥ =. 2η 2 cosθ i. η1 cosθ i − jη 2. (v2. v1 ) sen θ i − 1 2. 2. 2η 2 cosθ i. η 2 cosθ i − jη1 (v2 v1 ) sen θ i − 1 2. 2. (2.64a). (2.64b). Los coeficientes de transmisión son en este caso entonces cantidades complejas, cuya magnitud es una función decreciente en el intervalo. θ ic < θ i < π / 2 , anulándose en el límite cuando θ i → π / 2 , como era de esperar. Finalmente, el ángulo de transmisión θˆt , al ser una cantidad compleja, puede expresarse en forma rectangular como θˆt = θ t '+ jθ t " . Al calcular su coseno, se tiene: cosθˆt = cos(θ t '+ jθ t ") = cosθ t ' cosh θ t "− j sen θ t ' senh θ t ". Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 76.

(14) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Igualando con cosθˆt = − j (v2 v1 )2 sen 2 θ i − 1 , se tiene que: cosθ t ' = 0 ⇒ θ t ' = π / 2 (ya que cosh θ t " ≠ 0 ∀θ t " ) senh θ t " =. (v2. v1 )2 sen 2 θ i − 1 ⇒ θ t " = senh −1  . (v2. v1 )2 sen 2 θ i − 1  . Por lo tanto:. θˆt = π / 2 + j senh −1 . (v2. v1 )2 sen 2 θ i − 1  . (2.65). ( ). De este resultado, se obtiene que Re θˆt = π / 2 coincide con el ángulo físico según el cual se propaga la onda transmitida, que como ya se mencionó. ( ). es una onda plana no uniforme, mientras que Im θˆt no tiene interpretación física, por lo que carece de interés calcularlo numéricamente.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 77.

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