15 Probabilidad
ACTIVIDADES INICIALES
15.I. Con los datos de 2010, ¿cuál fue la probabilidad de tener un accidente si se realizó un vuelo durante ese año? ¿Y la probabilidad de fallecer en ese accidente?
La probabilidad de tener un accidente fue de 0,61 por millón, es decir, 1 entre 1 600 000 vuelos, aproximadamente. La probabilidad de fallecer fue de 786 entre 2400 millones, que equivale aproximadamente a una entre tres millones.
15.II. Calcula el promedio de fallecidos diarios por accidentes de coche en España y de avión en el mundo. ¿Cómo interpretas esos resultados?
El promedio es de 6,79 fallecidos en accidentes de tráfico en España frente a 2,15 fallecidos en accidentes aéreos en todo el mundo. Aunque no tengamos el dato del número de viajes en coche, podemos interpretar sin equivocarnos que el avión tiene una siniestralidad mucho menor.
15.III. En la lotería de Navidad se sortea el Gordo de Navidad entre 85 000 números. Compara la probabilidad de que te toque el Gordo jugando un solo número con la de sufrir un accidente de avión y con la de fallecer en ese accidente.
Actualmente la probabilidad de conseguir el Gordo de navidad es una entre 100 000, es aproximadamente 16 veces mayor que la de sufrir un accidente aéreo, y unas 31 veces mayor que la de fallecer en un accidente aéreo.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
15.1. Actividad resuelta.
15.2. Se considera el experimento consistente en extraer una carta de una baraja española.
a) ¿Es aleatorio el experimento?
b) Forma los sucesos:
A = “sacar figura” C = “sacar un as”
B = “sacar copas” D = “sacar 3 de oros”
a) Sí, es un experimento aleatorio si se extrae sin mirar.
b) Indicaremos Los palos con O = Oros; C = Copas; E = Espadas; B = Bastos; las cartas las indicaremos por su valor y las figuras serán S = Sota, C = Caballo; R = Rey; A = As. Cada carta será codificada según su valor y palo (por ejemplo 7C = 7 de copas; SB = Sota de bastos).
A = {SO; CO; RO; SC; CC; RC; SE; CE; RE; SB; CB; RB}
B = {AC; 2C; 3C; 4C; 5C; 6C; 7C; SC; CC; RC}
C = {AO; AC; AE; AB}
D = {3O}
15.3. En una urna hay cinco bolas rotuladas con las vocales. Se extrae una bola al azar.
Halla el espacio muestral y forma dos sucesos compuestos y sus contrarios.
Espacio muestral: E = {a, e, i, o, u}
Dos sucesos compuestos: A = {a, e, o} (vocales abiertas) y B = {o, u}
Sus contrarios: A=
{ }
i, u ; B={
a, e, i}
15.4. Actividad interactiva.
15.5. Actividad resuelta.
15.6. De una urna que contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10 se extrae una y se anota su número.
Se consideran los sucesos A = {1, 5, 9}, B = {4, 8} y C = {3, 5, 7, 9}.
a) Halla los sucesos A∪C y
(
B∪C)
∩ . Cb) Señala cuáles de entre los sucesos A, B y C son incompatibles y cuáles compatibles.
a) A∪ = {1, 3, 5, 7, 9} y C
(
B∪C)
∩C= C = {3, 5, 7, 9}b) A y B son incompatibles ya que no tienen elementos en común (A∩ = ∅B ).
También lo son B y C ya que C∩ = ∅B . En cambioA∩ = 5, 9C
{ }
, luego A y C sí son compatibles.15.7. Se lanza un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6 y se anota el número. Describe dos sucesos A y B incompatibles cuya unión coincida con E. ¿Tiene que ser B el suceso contrario de A?
Sirven por ejemplo A = {“sacar par”} = {2, 4, 6} y B = {“sacar impar”} = {1, 3, 5}.
B debe ser el contrario de A para que la unión coincida con E ya que su intersección es vacía por ser incompatibles.
15.8. Actividad interactiva.
15.9. Actividad resuelta.
15.10. En el experimento de extraer una carta de una baraja española, halla la probabilidad de:
a) Sacar un as. c) Sacar una figura.
b) Sacar un basto. d) Sacar el 2 de oros.
a)
(
sacar un As)
= 4 = 1 =0,1 40 10P c)
(
sacar una figura)
= 12 = 3 =0,340 10 P
b)
(
sacar un basto)
= 10 = 1 =0,25 40 4P d)
(
sacar el 2 de oros)
= 1 =0,025P 40
15.11. Tenemos 50 tarjetas numeradas del 1 al 50. Al tomar al azar una de ellas, calcula.
a) Probabilidad de que el número sea primo.
b) Probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de 3.
a) Los números primos menores que 50 son: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.
(
sea primo)
=15 = 3 =0,350 10 P
b) 50 : 3 = 16,666…, por tanto hay 16 múltiplos de 3 menores que 50, es decir,
(
sea múltiplo de 3)
=16 =0,32P 50 .
15.12. Actividad resuelta.
15.13. Actividad resuelta.
15.14. En una reunión participan 6 empresarios españoles, 8 portugueses, 10 italianos, 7 chinos y 5 canadienses. Elegido un portavoz al azar, halla:
a) P(ser español) d) P(ser europeo)
b) P(ser chino) e) P(no ser francés)
c) P(ser occidental) f) P(no ser español) En total hay 36 empresarios.
a)
(
ser español)
= 6 = 1 =0,16 36 6P
b)
(
ser chino)
= 7 =0,194P 36
c)
(
ser occidental)
= 29=0,805P 36
d)
(
ser europeo)
= 24= 2 =0,6 36 3P
e) P
(
no ser francés)
=1 (no hay franceses)f)
(
no ser español)
= −1(
ser español)
= −1 6 = 30= 5 =0,8336 36 6
P P
15.15. Lucía tiene dos dados cúbicos, uno morado y otro verde, y sabe que uno de ellos está trucado para aumentar la probabilidad de que salga un 5. Para averiguar cuál es el dado trucado, ha lanzado los dos 200 veces, anotando que con el dado morado ha salido 70 veces el número 5, mientras que con el verde ha salido en 40 ocasiones. ¿Cuál es el dado trucado?
La probabilidad teórica en un dado equilibrado sería 1/6 = 0,1666….
Como 70
200 =0,35 y 40
200 =0,20, el que más se aleja de la probabilidad teórica es el morado, por tanto es de esperar que esté trucado.
15.16. En una urna hay seis bolas verdes numeradas del 1 al 6 y ocho bolas rojas numeradas del 1 al 8. Se extrae una bola y se anota el resultado. Si A = “sacar número impar”, B = “sacar bola verde” y C = “sacar un número múltiplo de 4”, halla las probabilidades de:
a) A∪B b) A∪ C c) B∪ C
Aunque es fácil “contar” los casos favorables y aplicar la regla de Laplace lo resolveremos haciendo uso de la ecuación: P A
(
∪B)
=P A( )
+P B( )
−P A(
∩B)
.( ) ( ) ( )
{ } ( )
{ } ( )
{ } ( )
7 6 3 3
14 14 7 14
impar y verde 3
14
impar y múltiplo de 4 0 y son incompatibles.
verde y múltiplo de 4 1
14
P A P B P C
A B P A B
A C P A C A C
B C P B C
= = = =
∩ = ⇒ ∩ =
∩ = = ∅ ⇒ ∩ =
∩ = ⇒ ∩ =
a)
(
∪)
=( )
+( )
−(
∩)
= 7 + 6 − 3 =10= 5 =0,71428514 14 14 14 7 P A B P A P B P A B
b)
(
∪)
=( )
+( )
= 7 + 3 =10= 5 =0,71428514 14 14 7 P A C P A P C
c)
(
∪)
=( )
+( )
−(
∩)
= 6 + 3 − 1 = 8 = 4 =0,57142814 14 14 14 7 P B C P B P C P B C
15.17. En una determinada ciudad se sabe que, para personas de más de 60 años, la probabilidad de padecer una enfermedad del corazón es 0,15, la de padecer artrosis es 0,25 y la probabilidad de sufrir ambas enfermedades es 0,08. Elegida al azar una persona de más de 60 años, ¿cuál es la probabilidad de que enferme de corazón o de artrosis?
Si llamamos a los sucesos A = {Padecer una enfermedad del corazón} y B = {Padecer artrosis}
( ) ( ) ( ) ( )
0,15 0,25 0,08 0,32P A∪B =P A +P B −P A∩B = + − = La probabilidad de padecer alguna de las dos es 0,32.
EJERCICIOS Experimentos y sucesos aleatorios
.15.18. Indica si los siguientes experimentos son aleatorios y, en caso afirmativo, describe el espacio muestral.
a) Anotar el espacio recorrido por un vehículo en 2 horas si circula a 85 kilómetros por hora.
b) Extraer una bola de una urna que contiene bolas de color verde y rojo y anotar el color.
c) Hacer girar la flecha de una ruleta dividida en seis sectores numerados del 1 al 6 y anotar el número en que se detiene.
a) Es determinista. Cualquier vehículo en esas condiciones recorrerá 170 kilómetros.
b) Es aleatorio. E = {Verde, Rojo} (no son necesariamente equiprobables).
c) Es aleatorio. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
15.19. Un sobre contiene cinco tarjetas verdes numeradas del 1 al 5 y cinco tarjetas rojas numeradas del 3 al 7. Se extrae al azar una tarjeta y se anota su color y número.
a) Describe el espacio muestral.
b) Forma el suceso A = “sacar número par” y su contrario.
c) Indica un suceso seguro y uno imposible.
a) E = {V1, V2, V3, V4, V5, R3, R4, R5, R6, R7}
b) A=
{
V2,V4,R4,R6}
A={
V V1, 3,V5,R3,R5,R7}
c) Suceso seguro: C = {sacar un número menor que 8}
Suceso imposible: D = {anotar 1 rojo}
Operaciones con sucesos
.15.20. En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado con 10 caras numeradas del 1 al 10 consideramos los siguientes sucesos:
A = “salir un número par” y B = “salir un número múltiplo de 4”.
a) Forma los sucesos A, B y sus contrarios.
b) Halla A∪B A, ∩B A, ∪B A, ∩B.
c) ¿Son incompatibles los sucesos A y B? ¿Y los sucesos A y B? Razona tus respuestas.
a) A=
{
2, 4, 6, 8, 10}
A={
1, 3, 5, 7, 9}
B={ }
4, 8 B={
1, 2, 3, 5, 6, 7, 9,10}
b) A∪ =B A=
{
2, 4, 6, 8, 10}
A∩ =B B={ }
4, 8{
1, 2, 3, 5, 6, 7, 9} {
1, 3, 5, 7, 9}
A∪ =B A∩ =B A=
c) A y B son compatibles porque su intersección no es vacía. Los sucesos
{ } { }
= 1, 3, 5, 7, 9 y = 4, 8
A B si son incompatibles porque A∩ = ∅ . B
15.21. Al extraer una carta de una baraja española, se consideran los sucesos A = “sacar un 5”, B = “sacar una figura”, C = “sacar un caballo” y D = “sacar una copa”. Halla los sucesos:
a) A ∪ B d) B ∩ C g)* A ∩ C k) C ∪ D
b) B ∪ C e) A ∪ C h) B ∩ C l) B ∩ C ∩ D c) (A ∪ B) ∩ D f) B ∪ D i) A ∩ D m) C ∩ D a) A ∪ B = {5O, 5C, 5E, 5B, SO, SC, SE, SB, CO, CC, CE, CB, RO, RC, RE, RB}
b) B ∪ C = B = {SO, SC, SE, SB, CO, CC, CE, CB, RO, RC, RE, RB}
c) (A ∪ B) ∩ D = {5C, SC, CC, RC}
d) B ∩ C = C = {CO, CC, CE, CB}
e) A ∪ C = {5O, 5C, 5E, 5B, CO, CC, CE, CB}
f) B ∪ D = {SO, SC, SE, SB, CO, CC, CE, CB, RO, RC, RE, RB, 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C}
g) A ∩ C = Ø
h) B∩ = {SO, SC, SE, SB, RO, RC, RE, RB} C i) A ∩ D = {5C}
k) C ∪ D = {CO, CC, CE, CB, 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C, SC, RC}
l) B ∩ C ∩ D = {CC}
m) C∩ = {CO, CE, CB} D
Probabilidad experimental
.15.22. Si al lanzar un dado cúbico 600 veces sale un 3 en 85 ocasiones, ¿cuál es la diferencia aproximada entre la probabilidad experimental y la teórica?
La probabilidad teórica en un dado equilibrado es 1
6para cada valor. La diferencia es:
− = − = − = −
85 1 15 1
0,025
600 6 600 40 (un 2,5 % menos de veces de lo que indica la teoría).
15.23. Laura, Pablo y Leticia han lanzado al aire dos monedas 50 veces y cada uno ha anotado en un papel el número de cruces obtenidas en cada lanzamiento (0, 1 o 2). Con los resultados han formado esta tabla:
a) Calcula la probabilidad experimental de los siguientes sucesos.
A = “no obtener ninguna cruz”
B = “obtener una cruz”
C = “obtener dos cruces”
b) Compara las probabilidades experimentales obtenidas con las probabilidades teóricas esperadas. ¿Podemos asegurar que alguna de las monedas está cargada?
a) El número total de lanzamientos es 150.
+ +
= = = =
+ +
= = = =
+ +
= = = =
13 11 12 36 6
( ) 0,24
150 150 25
23 28 25 76 38
( ) 0,506
150 150 75
14 11 13 38 19
( ) 0,253
150 150 75
P A P B P C
b) Las probabilidades teóricas son.
P(ninguna cruz) = 1
4 = 0,25 P(una cruz) = 1
2 = 0,5 P(dos cruces) = 1
4 = 0,25 Las diferencias son muy pequeñas. No parecen estar cargadas.
Laura Pablo Leticia
0 13 11 12
1 23 28 25
2 14 11 13
Probabilidad de un suceso. Propiedades
.15.24. En un lanzamiento de un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6, ¿cuál es el suceso contrario al de obtener un múltiplo de 3? ¿Cuál es su probabilidad?
Si A = {obtener múltiplo de 3} = {3,6}, entonces
{
1, 2, 4, 5 y ( )}
4 2 0,66 3
A= P A = = =
15.25. Se hace girar la flecha de la ruleta que aparece en la imagen.
Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
a) Salir un número par.
b) Salir un número impar y el color rojo.
c) Salir un número impar o el color amarillo.
d) Salir un número par o el color verde.
e) No salir el color rojo.
a) 1
( ) 2 P P =
b) 1
( )
P I∩R = 4
c) 1 1 1 5
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 8 8
P I∪A =P I +P A −P I∩A = + − =
d) 1 3 1 5
( ) ( ) ( ) ( )
2 8 4 8
P P∪V =P P +P V −P P∩V = + − =
e) 3 5
( ) 1 ( ) 1
8 8
P R = −P R = − =
15.26. Se extrae al azar una ficha de un dominó. Calcula la probabilidad de que la suma de los puntos de la ficha sacada sea superior a 5.
⇒ =16 = 4
Número de fichas: 28 (suma mayor que 5)
28 7 P
15.27. En un experimento aleatorio se ha obtenido que la probabilidad de un suceso A es 0,31 y la de un suceso B es 0,69. ¿Podemos asegurar que A y B son sucesos contrarios?
No. Pueden tener intersección no vacía (o incluso que A esté contenido en B completamente).
Ejemplo: Se elige al azar un número entre 1 y 100. A = {es menor que 32} y B = {es menor que 70}
cumplen las condiciones y no son contrarios.
15.28. La baraja francesa está compuesta de 54 cartas, de las cuales 2 son comodines.
Calcula la probabilidad de que al extraer una carta al azar:
a) Sea una pica o una figura.
b) Sea de palo rojo.
c) Sea de palo negro o figura.
d) Sea de palo rojo y menor que 5.
e) No sea un comodín.
a)
(
pica o figura)
(pica) (figura) (figura de picas) 13 12 3 22 11 0,40754 54 54 54 27
P =P +P −P = + − = = =
b)
(
palo rojo)
(corazones) (diamantes) 13 13 26 13 0,48154 54 54 27
P =P +P = + = = =
c)
(
palo negro o figura)
= 32=16 =0,592 54 27P
d)
(
roja y menor que 5)
= 8 = 4 =0,148 54 27P
e)
(
no sea comodín)
= −1(
comodín)
= −1 2 = 52=0,962 54 54P P
15.29. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.
a) El suceso contrario al suceso seguro es el suceso imposible.
b) P(A) puede ser igual a 1,3.
c) A y B son incompatibles si A∪B = Ø.
d) Si P(A U B) = P(A) + P(B), entonces A y B son compatibles.
e) Si P(A ∩ B) = 1
5, P(A) = 2
7 y P(B) = 3
7 , entonces
( )
5P A∪B =7 a) Verdadera
b) Falsa. Ninguna probabilidad puede ser mayor que 1.
c) Falsa. Si son incompatibles A∩ = ∅ . B
d) Falsa. Si son compatibles la probabilidad de la intersección no sería cero y, por tanto,
( ) ( ) ( ) ( )
P A∪B =P A +P B −P A∩B .
e) Falsa:
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 10 15 7 187 7 5 35 35
P A B P A P B P A B + −
∪ = + − ∩ = + − = =
15.30. Si lanzo una moneda 9 veces y aparece cara en todos los lanzamientos, ¿es más probable que a la décima vez salga cruz en lugar de cara? Razona tu respuesta.
No, la probabilidad sigue siendo la misma. La moneda no tiene memoria.
15.31. ¿En cuál de las siguientes urnas es más probable extraer una bola roja?
1ª urna:
( )
1P R = 2 3ª urna:
( )
2P R = 3 2ª urna:
( )
3P R = 5 4ª urna:
( )
4P R = 9
Luego es más probable extraer bola roja en la tercera urna.
15.32. ¿Qué es más probable?
a) Que aparezca un 3 al tirar un dado de 6 caras.
b) Que salga una espada al extraer una carta.
c) Que acabe en 8 el gordo de la lotería.
(
Obtener un 3)
1P = 6
(
Sacar espada)
10 140 4
P = =
(
Que acabe en 8 el gordo)
1P =10
Luego es más probable sacar una espada al extraer una carta.
15.33. De los 32 alumnos de una clase, 15 están matriculados en Latín; 17, en Música, 9 cursan las dos materias, y el resto, ninguna de las dos.
Se escoge un estudiante al azar. Calcula la probabilidad de que:
a) Estudie Latín.
b) Estudie Música.
c) Curse ambas materias.
d) Estudie Latín, pero no Música.
e) Estudie Música, pero no Latín.
f) No curse ninguna de las dos materias.
a)
(
Estudie Latín)
15P =32 b)
(
Estudie Música)
17P =32 c)
(
Latín y Música)
9P = 32
d)
(
Latín pero no música) (
Estudie Latín) (
Estudie ambas)
15 9 6 332 32 32 16
P =P −P = − = =
e)
(
Música pero no Latín) (
Estudie Música) (
Estudie ambas)
17 9 8 132 32 32 4
P =P −P = − = =
f) P
(
No curse ninguna)
= −1 P(
Estudie Latín o Música)
=( ) ( ) ( )
( )
1 P Estudie Latín P Estudie Música P Estudie Latín y Música
= − + − =
15 17 9 9
1 32 32 32 32
= − + − =
15.34. Si P(A) = 1
4 , ¿quiere decir que hay cuatro casos posibles en el experimento y solo uno favorable al suceso A? Justifica la respuesta.
No. Significa que la cuarta parte de los casos son favorables. Por ejemplo, extraer una carta de copas de una baraja española. (10 casos favorables de 40 posibles. Probabilidad: 1
4 )
15.35. Explica razonadamente si la siguiente desigualdad es cierta o falsa sean cuales sean los sucesos A y B:
( )
( ) ( )
P A∪B ≤P A +P B Es cierta, ya que la probabilidad de un suceso siempre es mayor o igual que cero y P A
(
∪B)
=P A( )
+P B( )
−P A(
∩B)
≤P A( )
+P B( )
.15.36. Una asociación juvenil ha organizado una rifa para recaudar fondos y poder mejorar sus instalaciones. El sorteo consiste en extraer una bola al azar de un bombo que contiene bolas numeradas del 1 al 1000.
Se consideran los siguientes sucesos.
A = “que la bola extraída sea múltiplo de dos”
B = “que la bola extraída sea múltiplo de cinco”
a) Calcula P(A), P(B) y P A
(
∪B)
.b) ¿Son A y B sucesos compatibles o no?
a)
( )
500 1( )
200 1( )
100 11000 2 1000 5 1000 10
P A = = P B = = P A∩B = =
( )
1 1 1 6 32 5 10 10 5
P A∪B = + − = =
b) A y B son compatibles. Los elementos de la intersección son los múltiplos de 10.
15.37. Un equipo de fútbol vende camisetas de sus jugadores numeradas del 1 al 25. Puedes comprarlas blancas o azules, pero los números se alternan con los colores; es decir, la 1 es siempre blanca; la 2, azul; la 3, blanca…, y así sucesivamente.
Se escoge una camiseta al azar de un montón que contiene las 25.
a) Calcula las siguientes probabilidades.
P(ser blanca o múltiplo de seis) P(ser azul o múltiplo de cinco) P(ser blanca o número primo) P(no ser múltiplo de 10)
b) Inventa un suceso seguro y uno imposible para este experimento aleatorio.
a) Los sucesos “ser blanca” o “ser múltiplo de 6” son sucesos incompatibles, porque las camisetas blancas son siempre números impares y, por tanto, no pueden ser múltiplos de 6.
( )
• • 13 4 17
Blanca o 6 Blanca 6
25 25 25 P =P +P = + =
( )
12 5 2 15 3Azul o 5 Azul 5 Azul y 5
25 25 25 25 5
P P P P
• • •
= + − = + − = =
(
Blanca o primo) (
Blanca) (
Primo) (
Blanca y Primo)
13 9 8 1425 25 25 25
P =P +P −P = + − =
(
No ser múltiplo de 10)
1(
Ser múltiplo de 10)
1 2 23 25 25P = −P = − =
b) “Ser blanca y número par” es un suceso imposible, ya que no hay ninguna camiseta que sea blanca y tenga un número par y, por tanto, P(ser blanca y par) = 0.
“Sea azul o número impar” es un suceso seguro, ya que todas las camisetas azules tienen número par y, por tanto, P(ser azul o número impar) = 1.
15.38. En un experimento aleatorio, los sucesos A, B y C cumplen P(A) = 1
2 , P(B) = 1
3 y P(C) =1 4 . Además A y B son incompatibles y B y C también lo son.
¿Entre qué valores se encuentra la P A
(
∩C)
?Por ser A y C incompatibles con B, A y C están contenidos en el contrario de B.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P C =P A∩C +P A∩C ⇒P A∩C =P C −P A∩C
Por tanto, la probabilidad pedida será máxima cuando P A
(
∩C)
=0 y mínima cuando P A(
∩C)
seamáximo.
Como P A
(
∩B) (
=P A∪B)
= −1 P A( ∪B)= − − =1 12 31 61 tendremos que( )
1 1 1 1
4−6 =12≤P A∩C ≤ 4.
PROBLEMAS
15.39. Jimena ha escrito cada una de las 12 letras de la palabra EXPERIMENTAL en 12 tarjetas diferentes, alternando una letra mayúscula con una minúscula.
Ha introducido las 12 tarjetas en una bolsa y ha extraído una al azar. Calcula las siguientes probabilidades.
a) P(ser vocal o mayúscula) b) P(ser consonante o minúscula)
c) P(ser mayúscula o minúscula). ¿Cómo se llama a este suceso?
a) P
(
vocal o Mayúscula)
=P(
Vocal)
+P(
Mayúscula)
−P(
Vocal y Mayúscula)
== 5 + 6 − 2 = 9 = 3 12 12 12 12 4
b) P
(
consonante o minúscula)
=P(
consonante)
+P(
minúscula)
−P(
consonante y minúscula)
== 7 + 6 − 3 =10= 5 12 12 12 12 6
c) P
(
Mayúscula o minúscula)
=1. Este suceso se llama “Suceso seguro”.15.40. Los alumnos de 4.º de ESO de un centro escolar sortean un ordenador portátil para conseguir ingresos destinados a su viaje de fin de curso. Venden papeletas numeradas del 1 al 100.
Calcula la probabilidad de ganar el ordenador si se adquieren todos los boletos que sean múltiplos de 3 o de 5.
Múltiplos de 3. Como 100 3 =33,3
, tenemos 33 múltiplos de 3 menores o iguales que 100.
Múltiplos de 5: Como 100
5 =20, tenemos 20 múltiplos de 5 menores o iguales que 100.
Los múltiplos de 3 y 5 son los múltiplos de 15: Como 100 15 =6,6
tenemos 6 múltiplos de 15 menores o iguales que 100.
Por tanto: = + − = + − =
33 20 6 47
3 o 5 3 5 15
100 100 100 100
P P P P
La probabilidad de ganar será 47 100.
15.41. Una baraja de cartas infantil consta de 5 familias de colores numeradas todas ellas del 1 al 6.
Los colores de las familias son rojo, verde, azul, amarillo y negro. Se definen los siguientes sucesos.
A = “salir un 6”
B = “salir un número impar”
C = “salir una carta de la familia azul”
D = “salir un múltiplo de 3”
Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos.
a) B∪C b)A∩D c)C∩D d) C∩ D a)
(
∪)
=( )
+( )
−(
∩)
=15+ 6 − 3 =18 = 330 30 30 30 5
P B C P B P C P B C
b)
( ) ( )
5 130 6 P A∩D =P A = =
c)
( )
2 130 15 P C∩D = =
d) P C
(
∩D)
=P C( )
−P C(
∩D)
=306 −302 = 304 =15215.42. En la primera evaluación, 5 de los 25 alumnos de una clase de 4.º de ESO, aprobaron todas las asignaturas, 19 tuvieron 3 o menos suspensos, y 4 alumnos suspendieron 5 o más asignaturas. Escogiendo al azar un alumno de esa clase, calcula las probabilidades de los siguientes sucesos.
a) Que haya suspendido 1, 2 o 3 asignaturas.
b) Que tenga exactamente 4 suspensos.
c) Que haya suspendido alguna asignatura.
a) P
(
Haya suspendido 1, 2 o 3)
=P(
Haya suspendido 3 o menos)
−P(
Haya aprobado todo)
=19 5 14
25 25 25
= − =
b) Como de los 25 alumnos, 19 tuvieron 3 o menos suspensos, y 4 tuvieron 5 o más, quedan 2 con 4 suspensos, luego
(
Haya suspendido 4)
2P = 25.
c)
(
Haya suspendido alguna)
1(
Haya aprobado todas)
1 5 20 425 25 5
P = −P = − = =
15.43. Rodrigo sospecha que la ruleta de uno de sus juegos, que está dividida en ocho secciones iguales con los números del 1 al 8, está trucada. Para comprobar si se encuentra en lo cierto, ha hecho girar la ruleta 80 veces y ha anotado los resultados en la siguiente tabla.
Número de la ruleta Veces que ha salido
1 5
2 7
3 6
4 8
5 24
6 11
7 9
8 10
a) Calcula las probabilidades experimentales de cada uno de los posibles resultados y compáralas con las probabilidades teóricas.
b) ¿Tiene fundamento la sospecha de Rodrigo?
a)
Número 1 2 3 4 5 6 7 8
Probabilidad Experimental
5 1
80=16 7
80
6 3
80= 40 8 1
80=10 24 3
80 =10 11 80
9 80
10 1 80 = 8 Probabilidad
Teórica
1 8
1 8
1 8
1 8
1 8
1 8
1 8
1 8 Diferencia 0,0625 0,0375 0,05 0,025 0,175 0,0125 0,0125 0
b) Parece estar muy sesgada hacia el n.º 5 ya que la diferencia entre la probabilidad teórica y la práctica ronda el 17 %.
15.44. En una tómbola se venden boletos a un euro cada uno. En cada uno se obtienen siempre 1, 5, 10, 15, 50 o 100 puntos. Por acumulación de puntos, se pueden conseguir estos premios.
Esta tabla muestra el porcentaje de papeletas con cada una de las puntuaciones.
Puntos 1 5 10 15 50 100
% 40 25 15 10 7 3
Si solo compramos un boleto, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
a) A = “ganar una bicicleta”
b) B = “ganar un reproductor de MP4”
c) C = “no ganar ningún premio”
d) D = “obtener algún premio”
1€ = 1 boleto
a)
(
sacar boleto de 100)
3 0,03P =100 =
b) P
(
sacar boleto de 100 o sacar un boleto de 50)
=( ) ( )
= + = 3 + 7 = 10 =
sacar boleto de 100 sacar un boleto de 50 0,1
100 100 100
P P
c)
(
no ganar) (
sacar boleto de 5) (
sacar un boleto de 1)
40 25 65 0,65 100 100 100P =P +P == + = =
d)
(
ganar alguno)
1(
no ganar)
1 65 0,35P = −P = −100 =
15.45. Julio tiene una diana en forma de tangram en la que cada pieza es de un color diferente.
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar el dardo lo clave en la zona coloreada de azul?
Todas las áreas de las figuras tangram son múltiplos del triángulo pequeño, que llamamos u.
Triángulo pequeño = 1u Triángulo mediano = 2u Triángulo grande = 4u
Cuadrado = 2u Romboide = 2u
(
romboide)
2 1 0,12516 8
P u
= u = =
15.46. Un juego de mesa consiste en colocar al azar nueve fichas en las nueve casillas del tablero de la figura. Cuatro de ellas son blancas; otras cuatro, negras, y una, verde.
a) Sin necesidad de calcular probabilidades, di si la posibilidad de que haya por lo menos una fila, columna o diagonal con 3 fichas del mismo color es exactamente el doble de la probabilidad de que haya por lo menos una fila, columna o diagonal con 3 fichas blancas.
Justifica tu respuesta.
b) Calcula la probabilidad de que la ficha verde ocupe la casilla central.
c) Calcula la probabilidad de que la ficha verde ocupe la casilla central y, además, no haya dos fichas del mismo color contiguas.
a) No es justo el doble, ya que se debe restar la probabilidad de que haya (por lo menos) una fila, columna o diagonal con tres fichas blancas y otra fila, columna o diagonal con tres fichas negras.
b) Los casos posibles son las permutaciones con repetición de 3 elementos que se repiten 4 veces (fichas blancas), 4 veces (fichas negras) y 1 vez (ficha verde). Casos posibles 9!
4! 4!=630. Para calcular los casos favorables, una vez colocada la ficha verde, hay que situar las restantes fichas en los 8 huecos. Los casos favorables son las permutaciones con repetición de 2 elementos que se repiten 4 veces (fichas negras) y 4 veces (fichas blancas).
Casos favorables: 8!
4! 4!=70
70 1
(casilla verde central)=
630 9
P =
c) Los casos posibles son los mismos que en el apartado b. Los casos favorables son 2. Una vez colocada la ficha verde en la casilla central, hay 2 maneras de colocar las fichas alternativamente.
P(verde casilla central y no hay dos fichas de igual color contiguas) = 2 1 630 =315
AMPLIACIÓN
15.47. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un divisor de 60 resulte menor que 7?
a)1
6 b)
1
4 c)
1
3 d)
1 2
div(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Seis de ellos son menores que 7. La probabilidad pedida es 6 1 (divisor menor que 7)=
12 2
P =
La respuesta es d).
15.48. Lanzamos una moneda al aire cinco veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara al menos dos veces?
a) 13
16 b)
7
16 c)
1
4 d)
3 16
El caso contrario a “obtener al menos 2 caras” es “obtener ninguna o 1 cara”.
1 5 26 13
(obtener al menos 2 caras) 1 (obtener ninguna o una cara) 1
32 32 32 16
P = −P = − − = =
La respuesta es a).
15.49. Al lanzar al aire dos dados, numerados del 1 al 6, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de los números de la cara superior sea impar?
a) 1
6 b)
1
4 c)
1
3 d)
1 2
Para obtener un producto impar ambos números han de ser impares. De las 36 parejas tenemos 9 formadas por números impares, por tanto, la probabilidad pedida es: 9 1
(producto impar)
36 4
P = =
La respuesta es b).
15.50. Se elige al azar un número N de 3 cifras. ¿Cuál es la probabilidad de que sea potencia de 2?
a) 1
450 b) 1
300 c) 1
225 d) 3 899
Sabemos que 210 = 1024 y 27 = 128, luego solo 3 potencias de 2 son números de 3 cifras: 27, 28 y 29. Como hay 900 números de tres cifras, la probabilidad pedida es 3 1
900 =300. La respuesta es b).
AUTOEVALUACION
15.1. Se hace girar la perindola de la figura y se anota el número del lado sobre el que queda apoyada.
Se consideran los sucesos:
A = {2, 3, 5}, B = {3, 4} y C = {1, 4}
a) Halla:
A ∪ B A ∪ C A ∩ B B ∪ C A ∩ C B ∩ C b) ¿Cuáles son incompatibles?
La perindola está numerada con números del 1 al 6.
a) A ∪ B = {2, 3, 4, 5} A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5} A ∩ B = {3}
B ∪ C = {1, 3, 4} A ∩ C = Ø B ∩ C = {4}
b) Son incompatibles los sucesos A y C porque A ∩ C = Ø.
15.2. Se extrae una bola de una urna que contiene 40 bolas numeradas del 1 al 40. Se consideran los siguientes sucesos.
A = “salir un número múltiplo de 3”
B = “salir un número múltiplo de 7”
C = “salir un número par”
a) Escribe los sucesos A, B y C, y calcula sus probabilidades.
b) Halla las probabilidades de A ∪ B y A ∪ C.
a) A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39} ; B = { 7, 14, 21, 28, 35}
C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40}
b)
( )
17( )
2740 40
P A∪B = P A∪C =
15.3. Durante el año pasado, en el hospital en el que trabaja María nacieron 2450 bebés, de los que 1421 fueron niñas. Calcula la probabilidad experimental correspondiente al suceso “nacer niña” en ese hospital y compárala con la probabilidad teórica.
Probabilidad experimental de "nacer niña" 1421 0,58 2450 Probabilidad teórica de "nacer niña" 0,5
Diferencia : 0,08
= =
=
15.4. De dos sucesos A y B se conocen las siguientes probabilidades.
P(A)= 1
3, P(B)=
2
5 y P A
(
∩B)
= 34Calcula:
a) P A
(
∩B)
b) P A
(
∪B)
c) P A
(
∪B)
a) P A
(
∩B)
= −1 P A(
∩B)
= −1 34 = 41b)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 20 24 15 293 5 4 60 60
P A B P A P B P A B + −
∪ = + − ∩ = + − = =
c) P A
(
∪B)
= −1 P A(
∪B)
= −1 2960 = 603115.5. Una urna contiene cuatro bolas blancas numeradas del 1 al 4, tres negras con los números del 5 al 7 y tres rojas con los números del 8 al 10. Si se extrae una bola al azar, calcula las siguientes probabilidades.
a) P(salir una blanca o un número par) b) P(salir una negra o un número impar)
c) P(no salir una blanca o un número múltiplo de 3)
a)
(
blanca o impar) (
blanca) (
impar) (
blanca e impar)
4 5 2 710 10 10 10
P =P +P −P = + − =
b)
(
negra o impar) (
negra) (
impar) (
negra e impar)
3 5 2 6 310 10 10 10 5
P =P +P −P = + − = =
c) no blanca o 3
(
no blanca)
3 no blanca y 3 6 3 1 8 4 10 10 10 10 5 P =P +P −P = + − = =
PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS
Calcula y opina > Sobreventa
Los pasajeros que hayan sido víctimas de la sobreventa tienen derecho, además de a la devolución íntegra del precio de su billete, a una indemnización. Los pasajeros que no puedan embarcar por cancelación de vuelo o por overbooking recibirán, según la distancia del vuelo:
La aerolínea SkyCrowd va a fletar un avión de 80 plazas para volar de Barcelona a Milán, y vende los billetes a 120 euros. También ha encargado un estudio matemático y ha averiguado que la probabilidad de que un pasajero con billete no se presente es de 0,05.
15.1. ¿Cuánto dinero ingresará SkyCrowd si vende exactamente 80 plazas y todos los pasajeros acuden?
Si acuden todos: 80 · 120 = 9600 euros.
15.2. Estima cuáles serán sus ingresos si vende 80, 82 y 100 plazas, respectivamente, teniendo en cuenta las posibles devoluciones de billetes y las indemnizaciones.
95 % de 80 · 120 = 76 · 120 = 9120 euros
95 % de 82 = 77,9. Como 77,9 ≅ 78, podemos estimar que aparecerán 78 pasajeros y sus ingresos serán de 78 · 120 = 9360 euros.
Si reserva 100 plazas, es muy probable que aparezcan 95 pasajeros, de los cuales 80 volarán, pero tendrá que indemnizar a 15, así que sus ingresos serán de 80 · 120 – 15 · 250 = 5850 euros.
15.3. ¿Cuántos billetes debe vender SkyCrowd para maximizar sus ingresos?
Sabemos que el número está entre 82 y 100. Hagamos una tabla para ver cómo son las cosas:
Como vemos que a partir de 84 pasajeros los ingresos comienzan a bajar, el número de plazas reservadas que maximiza los beneficios es 84.
También podríamos calcular 0,95 · x = 80, que nos da x = 84,2 y, por tanto, 84 maximiza los beneficios.
Plazas reservadas
Estimación de pasajeros
Pasajeros
que viajarán Ingresos Pasajeros que
no viajarán Indemnizaciones Total ingresos
82 78 78 9360 0 0 9360
83 79 79 9480 0 0 9480
84 80 80 9600 0 0 9600
85 81 80 9600 1 250 9350
86 82 80 9600 2 500 9100
87 83 80 9600 3 750 8850
Importe del billete más 250 euros
Importe del billete más 400 euros
Menos de 1500 km De 1500 a 3500 km Más de 3500 km
Importe del billete más de 400 a 600 euros
15.4. Como habrás visto, para maximizar los ingresos, la compañía debe realizar overbooking. ¿Te parece que los beneficios justifican esta práctica, o piensas que hay consideraciones más allá de lo económico por las que no es defendible? Argumenta tu opinión en un breve escrito y ponlo en común con tus compañeros.
Respuesta abierta.
15.5. Ve más allá e investiga los derechos de los pasajeros en www.e-sm.net/4esoz71. ¿A qué tienes derecho si tu vuelo se retrasa 6 horas? ¿Y si te pierden el equipaje?
Respuesta abierta.
Analiza e interpreta > Probabilidad en Navidad
En 2011, la Lotería de Navidad ha cambiado alguna de sus reglas. Este ha sido el primer año en el que se han puesto a la venta todos los números posibles de 5 cifras (del 00 000 al 99 999) y no solo hasta el 85 000, como se hacía anteriormente. El Gordo ascendió a 400 000 euros al décimo.
15.1. Un décimo costaba 20 euros. ¿Cuál era en este sorteo la probabilidad de que nos tocara el Gordo?
La probabilidad de ganar el Gordo era de 1 100 000.
15.2. En 2010, el premio mayor era de 3 millones, pero solo había 85 000 números. ¿La probabilidad era mayor o menor?
La probabilidad en 2010 era de 1
85 000por lo tanto era mayor aunque el premio fuese menor.
15.3. Suponiendo que los premios en 2010 recayeran en números distintos, la distribución de premios sería la que aparece en la tabla de la derecha. Se dice que la lotería es el impuesto para los que no saben matemáticas. ¿Estás de acuerdo?
El estado reparte en premios el 70 % de los ingresos previstos, por lo tanto la esperanza matemática es la de perder un 30 % .
Respuesta abierta al último comentario.
Números premiados
Ganancia por euro
jugado
1 14 999
1 4999
1 2499
2 999
8 249
2 99
2 61,5
2 47
4816 4
8499 0
71 666 –1
Aprende a pensar > La esperanza de ganar.
En algunos juegos de azar solo hay dos posibilidades: si aciertas, multiplicas lo que has apostado, pero si no, lo pierdes todo. Vamos a utilizar la probabilidad para determinar si algunos de estos juegos son justos, favorables al jugador o desfavorables para él.
En un juego, la ganancia es la diferencia entre lo que pagas y lo que ganas. Si juegas 1 euro a doble o nada a cara o cruz, la ganancia puede ser 1 euro si aciertas o (–1) euro (pérdida) si fallas.
Llamaremos E a la esperanza matemática de ganar. Se obtiene sumando los productos de la ganancia en cada caso por la probabilidad de que ocurra ese caso.
Por ejemplo, supongamos que el juego consiste en apostar un euro al lanzar un dado. Si se obtiene un 6, se multiplica la cantidad apostada por tres. Si no, se pierde todo. En este caso
1 5 3 1
·2 ·( 1)
6 6 6 2
E = + − = − = − . Este valor es fácil de interpretar: al ser negativo, el juego es desfavorable para el jugador. La esperanza indica la probabilidad de ganar si se hace un número alto de apuestas.
En los últimos años han surgido muchas casas de apuestas en internet, que ofrecen premios por acertar el resultado de un partido o quién marcará el primer gol. En todos los casos se trata de apuestas negativas para el jugador, ya que el objetivo de estas webs es ganar dinero.
15.1. Un “amigo” nos ofrece apostar por quién va a sacar en el partido de esta noche, y nos ofrece 1,8 euros por cada euro jugado. Analiza matemáticamente la apuesta.
Los dos equipos tienen la misma probabilidad de sacar.
1 1
·0,8 0,1
2 2
E= − = − . Es desfavorable para el jugador.
15.2. ¿Qué cantidad debería pagar por cada euro jugado en la apuesta anterior para que el juego fuese justo (E = 0)?
1 1
· 0
2 2
E= x− = x = 1. Debería premiarse 2 a 1.
15.3. También se puede usar la esperanza matemática para los casos en los que hay varias posibilidades de premio. En el primer ejemplo, supongamos que además nos pagan el doble de lo apostado si conseguimos un 5. ¿Será ahora un juego favorable para nosotros?
1 1 4 1
·2 ·1 ·( 1)
6 6 6 6
E= + + − = − , sigue siendo desfavorable.
15.4. Ahora, nos proponen otro juego, que consiste en que paguemos 4 euros, tiremos el dado y ganemos la cantidad obtenida. ¿Es justo?
Como en todos los casos la probabilidad es1
6, la esperanza en este juego será
( )
1 1
· 3 2 1 0 1 2
6 2
E= − − − + + + = − Sigue siendo desfavorable.
15.5. Elisa participa en un concurso en el que hay que elegir la respuesta correcta a cada pregunta entre cuatro opciones. En este momento ganaría 10 000 y si acertara la última ganaría 50 000, pero si fallara se quedaría solo con 1000. Como en esta parte las preguntas son muy difíciles, cree que tendrá que contestar al azar. El presentador le ofrece plantarse o seguir.
Matemáticamente, ¿qué debería hacer? Y tú, ¿qué harías?
Suponiendo que juegue, está apostando los 10 000 euros que tiene ahora, para ganar 40 000 más (probabilidad 1
4) o perder 9000 (probabilidad 3
4). Calculamos 1 3
40 000· 9 000· 3 250
4 4
E= − = . ¡Ojo!
Esto quiere decir que si repitiera la apuesta muchas veces, terminaría ganando dinero, pero si contesta una sola vez al azar es más probable que pierda.
15.6. Los juegos son divertidos, pero apostar puede resultar peligroso. Todos los años un número importante de personas se enganchan a algún tipo de juego, llegando a perder su dinero, su casa, su familia… Los juegos de casino están fuertemente regulados en muchos países, pero otros son mucho más accesibles. ¿Qué opinas de los juegos de apuestas por dinero? Debate con tus compañeros.
Respuesta abierta.
Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM
Autoría: Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Juan Jesús Donaire, Vanesa Fernández, Joaquín Hernández, Juan Carlos Hervás, Miguel Ángel Ingelmo, Cristóbal Merino, María Moreno, Miguel Nieto, Isabel de los Santos, Esteban Serrano, José R. Vizmanos, Yolanda A. Zárate
Edición: Oiana García, José Miguel Gómez, Aurora Bellido Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire Corrección: Javier López
Ilustración: Modesto Arregui, Estudio “Haciendo el león”, Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos, José Santos, José Manuel Pedrosa
Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L.
Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya
(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados han sido marcados porque contienen alguna corrección en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno.
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