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TEMA 4: ECUACIONES E INECUACIONES

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Academic year: 2022

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TEMA 4: ECUACIONES E INECUACIONES

4.1.- ECUACIONES.

4.1.1.- CONCEPTOS GENERALES:

.- Igualdad algebraica: es una expresión algebraica que tiene dos miembros separados por el signo igual.

3x + 4y = 27 + 2x

1º miembro 2º miembro

.- Identidad algebraica: es una igualdad que se cumple para cualquier valor que se asigne a las letras.

a · (b + c) = a· b + a · c (se cumple para cualquier valor de a, b, y c.) .- Ecuación: es una igualdad que expresa una condición que se debe cumplir y sólo se cumple para un único valor de las letras (incógnitas)

Grado: es el mayor exponente que presentan las incógnitas;

Nº incógnitas: nº de letras diferentes que aparecen en la ecuación.

2x + 10 = 18 – 6x Ec. de 1º grado con una incógnita [Grado: 1 (x1) ; Incógnita: 1 (x)]

Ecuaciones equivalentes: son aquellas que tiene la misma solución, es decir, se cumplen para el mismo valor de la incógnita.

Principios de equivalencia:

Regla de la suma: si sumamos un mismo número o expresión algebraica a los dos miembros de una ecuación obtenemos una ecuación equivalente.

2x + 4 = 14

2x + 4 – 4 = 14 – 4 Regla de la suma 2x = 14 – 4

2x = 10

Aplicación práctica: para cambiar de miembro, lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando.

(2)

Regla del producto: si multiplicamos o dividimos por un mismo número o expresión los dos miembros de una ecuación obtenemos una ecuación equivalente.

2x = 10

2x : 2 = 10 : 2 Regla del producto x = 10 : 2

x = 5

Aplicación práctica: para cambiar de miembro, lo que está multiplicando pasa dividiendo y lo que está dividiendo pasa multiplicando.

Transponer miembros: se puede cambiar el orden de los dos miembros, dando lugar a una ecuación equivalente.

3+2x=1 1=3+2x

Resolución de una ecuación: resolver una ecuación es determinar el valor de la incógnita que hace que se cumpla la igualdad (hallar la solución). Para ello se aplican el concepto de ecuación equivalente y los principios de equivalencia. El objetivo final es llegar a una ecuación del estilo x= nº.

Ecuación polinómica: aquella que se puede reducir a otra en la que un miembro es un polinomio y el otro es cero.

4.1.2 TIPOS DE ECUACIONES.

.- Ec. polinómicas de 1º grado: una ec. es de 1º grado con una incógnita, x, si equivale a otra de la forma ax+b=0.

Resolución de una Ec. de 1º grado:

Ec. de 1º grado con una incógnita: 3 · (2x + 1) = 5 · (3x – 4) – 13 1.- Eliminar paréntesis:(P. distributiva) 3 · 2x + 3 · 1 = 5 · 3x – 5 · 4 – 13

6x + 3 = 15x – 20 -13 2.- Reducir (si se puede) los dos miembros: 6x + 3 = 15x – 33

3.- Trasponer términos: 3 + 33 = 15x - 6x

pasar a un miembro todos los términos con incógnita y al otro los términos que no la contengan (aplicación de la regla de la suma: cambiar el signo a lo que cambia de miembro).

4.- Volver a reducir: 36 = 9x

5.- Despejar la incógnita: 36:9 = x 4 = x

(aplicación de la regla del producto: lo que está multiplicando pasa dividiendo).

(3)

Ecuaciones con fracciones:

1.- Se halla el m.c.m. de los denominadores de los dos miembros y se reduce a común denominador.

6 10 3 3 20 5

3x+ = x+

m.c.m. (3,5 y 6) = 30

30 15 300 30

200

18x+ = x+

2.- se quitan los denominadores y se continúa con la resolución de la ecuación (si los dos miembros de la ecuación tienen el mismo denominador, para que se cumpla la igualdad los numeradores tienen que ser iguales. Por eso se sigue trabajando únicamente con los numeradores).

18x + 200 = 300x + 15 se resuelve como el caso anterior Interpretación/Resolución gráfica de una ecuación de 1º grado: la solución de una Ec. de 1º grado del tipo ax + b = 0, está relacionada con el punto de corte de la recta correspondiente a la Ec. y = ax + b con el eje OX.

.- Ec. polinómicas de 2º grado o cuadráticas: aquellas que se pueden reducir a la forma ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0. Estas ec. pueden ser completas (a, b y c ≠ 0) o incompletas (b = 0, c = 0 ó b y c = 0) según lo sea el trinomio ax2 + bx + c.

Resolución de ec. de 2º grado:

Ec. 2º grado incompleta del tipo ax2 = 0 (b y c = 0).

1.- Despejar la incógnita: x2 = a

0 = 0 => x = 0

Ej: 4x2 = 0 x = 0

Ec. 2º grado incompleta del tipo ax2 + bx = 0 (c = 0)

1.- Factorizar: sacando factor común x · (ax + b) = 0

2.- Buscar soluciones: para que una multiplicación sea igual a 0, alguno de los dos factores tienen que ser 0 .

x = 0 ó ax + b = 0 =>

a x= −b

(4)

Ej: 3x2 + 12x = 0

x (3x + 12) = 0 => x = 0 ó 3x + 12 = 0

x = 4

3 12 =−

Ec. de 2º grado incompleta del tipo ax2 + c = 0 (b = 0)

1.- Despejar x2: x2 = a

c

2.- calcular x:

a x=± −c

Ej:

6 36 3 36 108

0 108 3

2 2

±

=

±

=

=

=

=

x x x

Ec. de 2º grado completa:

1.- Se calcula el m.c.m. de los denominadores en el caso de que haya fracciones en algún término y se eliminan paréntesis; se pasan todos los términos al primer miembro y se agrupan términos hasta conseguir una ecuación equivalente del tipo

ax2 + bx + c = 0.

2.- Se aplica la fórmula general:

a ac b

x b

2

2 −4

±

= −

3.- Se comprueban las soluciones en la ecuación inicial.

Ej:

(5)

( )

2 2 2

; 6 2 4

2 6

2 2 6 2

4 6 2

32 36 6 1

· 2

8

· 1

· 4 6 6

0 8 6

4 4 2 4

2 2

2

− =

= + =

=

= ±

= ±

= ±

= ±

= +

=

x x

x x x

x x x

Discriminante y nº de soluciones: se llama discriminante al radicando de la raíz que aparece en la fórmula general para resolver Ec. de 2º grado, es decir, b2 – 4ac.

Estudiando su signo podemos conocer el nº de soluciones de una Ec. de 2º grado:

- Si es positivo, existen 2 raíces y la Ec. tiene 2 soluciones distintas y reales.

- Si es 0, existe 1 raíz y la Ec. tiene 1 solución doble.

- Si es negativo, no existe la raíz y, por lo tanto, la Ec. no tiene soluciones reales.

Estudio de las soluciones de una Ec. de 2º grado: separando el doble signo de la fórmula general de la Ec. de 2º grado, se obtiene la expresión de sus 2 raíces o soluciones.

a ac b

x b

2

2 4

1

− +

= − ;

a ac b

x b

2

2 4

2

= −

Si sumamos ambas y simplificamos, se obtiene:

S= x1+x2=

a b a

b a

ac b

b ac b

b+ − − − − = − = −

2 2 2

4

4 2

2

Multiplicándolas y simplificando llegamos a:

( )( )

P=

a c a

ac b

b a

ac b

b ac b

x b

x1 2 = − + 2 − −22 − = 222+ = 4

4 4

4

· 4

Por otro lado, se puede observar que si dividimos ax2 + bx + c = 0 por a, obtenemos

2 + + =0

a x c a

x b que se podrá expresar como:

x2 – Sx + P = 0

Factorización de un polinomio cuadrático: el polinomio de una ec. cuadrática, cuyas soluciones son x1 y x2, se puede factorizar como:

ax2 + bx + c = a

(

xx1

)(

xx2

)

(6)

Interpretación/Resolución gráfica de una Ec. de 2º grado : la solución de una Ec. de 2º grado del tipo ax2 + bx + c = 0, está relacionada con los puntos de corte de la parábola correspondiente a la función y= ax2 + bx + c con el eje OX.

.- Ec. polinómicas bicuadradas: aquellas que se pueden reducir a la forma ax4 + bx2 + c = 0, es decir, una ec. de 4º grado incompleta en la que faltan los términos con exponente impar.

Resolución de una Ec. bicuadrada: se resuelven como Ec. de 2º grado ya que basta con hacer un cambio de variable.

1.- Se hace el cambio de variable: z=x2 => az2 + bz +c = 0 2.- Se resuelve la ec. de 2º grado resultante, a través de la fórmula general.

3.- Se deshace el cambio de variable para calcular x: xz

Nº de soluciones:

- si z tiene 2 valores positivos, la ec. bicuadrada tiene 4 soluciones.

- si z tiene una solución positiva y otra negativa o sólo una positiva, la ec. bicuadrada tendrá dos soluciones (las que se obtienen del valor positivo).

- si z tienen 2 valores negativos o uno sólo, la ec. bicuadrada no tienen soluciones reales.

- si uno de los valores de z es cero, una de las soluciones de la ec.

bicuadrada también es cero.

.- Ec. polinómicas de grado mayor que 2 factorizables: el método de factorización de polinomios permite resolver ec. polinómicas de cualquier grado escritas de la forma P(x) = 0, siempre que se pueda realizar la factorización del polinomio P(x).

Resolución de la ec. :

1.- Se factoriza el polinomio.

2.- Se resuelve la ec.: un producto es cero si lo es alguno de sus factores.

(7)

.- Ec. racionales o con fracciones algebraicas: aquellas en la que alguno de sus términos es una fracción algebraica (denominador es un monomio, binomio,…).

Resolución de ec. racionales: se resuelve por el mismo procedimiento que se aplica a las ec. con fracciones numéricas.

1.- se quitan paréntesis, si los hay, se reduce a común denominador y se quitan los denominadores.

2.- se agrupan términos y se resuelve la ec.

3.- se comprueban las soluciones en la ec. inicial. Comprobar que no anulan los denominadores.

.- Ec. irracionales o radicales: aquellas en la que la incógnita aparece bajo el signo de raíz.

Resolución de ec. radicales:

1.- aislar la raíz con mayor radicando en uno de los miembros.

2.- elevar los dos miembros al índice de la raíz.

3.- repetir si hay más radicales 4.- Resolver la ecuación.

5.- Comprobar las soluciones en le ec. inicial. Comprobar que los radicandos son mayores o iguales que cero.

.- Resolución algebraica de problemas:

1.- Leer atentamente el enunciado.

2.- Extraer datos, relacionando datos desconocidos con una incógnita. un mismo problema puede ser interpretado de formas diferentes.

3.- Plantear la ecuación.

4.- Resolverla.

5.- Interpretar y comprobar las soluciones del problema: las soluciones de una ec. no son necesariamente las soluciones del problema, por lo que es conveniente comprobar su validez.

(8)

4.2 INECUACIONES.

4.2.1. CONCEPTOS GENERALES:

.- Desigualdad algebraica: es una expresión algebraica que tiene dos miembros separados por los signos <, >, ≥ o ≤.

3x + 4y > 27 + 2x

1º miembro 2º miembro

.- Desigualdad absoluta: es una desigualdad que se cumple para cualquier valor que se asigne a las letras.

x2 ≥ 1(se cumple para cualquier valor de x, pq todo cuadrado es positivo) .- Inecuación: es una desigualdad que expresa una condición que se debe cumplir y se cumple para determinados valores de la incógnita. Puede tener 0, 1, varias o infinitas soluciones (lo más habitual) que pueden expresarse en forma de intervalo.

Grado: es el mayor exponente que presentan las incógnitas;

Nº incógnitas: nº de letras diferentes que aparecen en la inecuación.

2x + 10 < 18 – 6x Inec. de 1º grado con una incógnita [Grado: 1 (x1) ; Incógnita: 1 (x)]

Inecuaciones equivalentes: son aquellas que tiene la misma solución, es decir, se cumplen para los mismos valores de la incógnita.

Principios de equivalencia (propiedades de las desigualdades):

Regla de la suma/resta: si sumamos/restamos un mismo número o expresión algebraica a los dos miembros de una inecuación obtenemos una inecuación equivalente.

2x + 4 < 14

2x + 4 – 4 < 14 – 4 Regla de la suma 2x < 14 – 4

2x < 10

Aplicación práctica: para cambiar de miembro, lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando.

(9)

Regla del producto/cociente: si multiplicamos/dividimos por un mismo número (distinto de 0) o expresión los dos miembros de una inecuación obtenemos una inecuación equivalente.

2x > 10

2x : 2 > 10 : 2 Regla del producto x > 10 : 2

x > 5

Aplicación práctica: para cambiar de miembro, lo que está multiplicando pasa dividiendo y lo que está dividiendo pasa multiplicando.

¡OJO! SI MULTIPLICAMOS O DIVIDIMOS POR UN Nº NEGATIVO EL SENTIDO DE LA DESIGUALDAD CAMBIA.

-2x > 10 x < -5

Transponer miembros: se puede cambiar el orden de los dos miembros, dando lugar a una inecuación equivalente, pero hay que cambiar el sentido de la desigualdad. 3+2x<1 1>3+2x

Resolución de una inecuación: resolver una inecuación es determinar los valores de la incógnita que hace que se cumpla la desigualdad (hallar la solución).

Para ello se aplican el concepto de inecuación equivalente y los principios de equivalencia.

Inecuación polinómica: aquella que se puede reducir a otra en la que un miembro es un polinomio y el otro es cero. P(x) < 0

4.2.2 RESOLUCIÓN DE INECUACIONES.

.- Inecuaciones lineales o de 1º grado con una incógnita: aquellas que se pueden transformar en otra equivalente que tenga una de las siguientes formas.

ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0

Su solución es siempre una semirrecta, es decir, un intervalo no acotado o infinito. El intervalo será cerrado por el extremo finito si el signo es ≤ o ≥ y abierto si el signo es < o >.

Inec. de 1º grado con una incógnita: 3 · (2x + 1) < 5 · (3x – 4) – 13 1.- Eliminar paréntesis:(P. distributiva) 3 · 2x + 3 · 1 < 5 · 3x – 5 · 4 – 13

6x + 3 < 15x – 20 -13 2.- Reducir (si se puede) los dos miembros: 6x + 3 < 15x – 33 3.- Trasponer términos: 3 + 33 < 15x - 6x

(10)

pasar a un miembro todos los términos con incógnita y al otro los términos que no la contengan (aplicación de la regla de la suma: cambiar el signo a lo que cambia de miembro).

4.- Volver a reducir: 36 < 9x 5.- Despejar la incógnita: 36:9 < x

4 < x

(aplicación de la regla del producto: lo que está multiplicando pasa dividiendo).

Se expresa la solución en forma de intervalo: x ∈ (4,∞) Inecuaciones con fracciones:

1.- Se halla el m.c.m. de los denominadores de los dos miembros y se reduce a común denominador.

6 10 3 3 20 5

3x+ < x+

m.c.m. (3,5 y 6) = 30

30 15 300 30

200

18x+ < x+

2.- se quitan los denominadores y se continúa con la resolución de la inecuación (si los dos miembros de la inecuación tienen el mismo denominador, para que se cumpla la desigualdad los numeradores tienen que cumplirla. Por eso se sigue trabajando únicamente con los numeradores).

18x + 200 < 300x + 15 se resuelve como el caso anterior

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