1,567 f 4 = R 8 f 4 = 15 cm = 41,5 cm. 1,000 f = R 8 f = 15 cm = 26,5 cm. El dioptrio esférico es, por tanto, como el que se muestra en la imagen:

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1. Tenemos un dioptrio esférico convexo de 15 cm de radio que separa el aire de un vidrio de índice de refracción 1,567. Calcula las distancias focal e imagen. ¿Obtendríamos los mismos valores si el dioptrio fuese cóncavo?

La distancia focal imagen, f 4, está relacionada con el radio de curvatura, R, y los ín-dices de refracción según:

f 4 = R · 8 f 4 = 15 cm · = 41,5 cm

La distancia focal imagen, f, la calculamos como sigue:

f = –R · 8 f = –15 cm · = –26,5 cm

El dioptrio esférico es, por tanto, como el que se muestra en la imagen: 1,000 1,567 – 1,000 n n 4 – n 1,567 1,567 – 1,000 n 4 n 4 – n

10

Ó

ptica geométrica

A

ctividades del interior de la unidad

C R = 15 cm f ' = 41,5 cm f = – 26,5 cm Aire n = 1,000 F F' Vidrio n' = 1,567

Si el dioptrio fuera cóncavo, el radio sería negativo, R < 0, es decir, R = –15 cm, por lo que los valores de f 4 y f serán los mismos, pero con el signo cambiado.

2. La figura inferior muestra un tubo de vidrio lleno de agua (nagua= 1,333),

ce-rrado por un extremo con una superficie esférica de vidrio muy delgada de radio 10 cm, que tiene delante de la parte convexa un objeto puntual a 15 cm del vértice óptico. Calcula s4, f y f 4.

La ecuación general del dioptrio esférico es: – ns = n 4 – nR n 4 s 4 Aire s = –15 cm A A' s' Agua

(2)

De acuerdo con los datos, tenemos:

n 4 = nagua= 1,333 ; n = 1,000 ; s = –15 cm ; R = +10 cm

– = 8 s 4 = –39,95 cm

Mediante la ecuación de las distancias focales calculamos estos parámetros:

f 4 = R · 8 f 4 = 10 cm · = 40,03 cm

f = –R · 8 f = –10 cm · = –30,03 cm

3. Determina gráficamente las características de la imagen formada por un obje-to de tamaño y que está situado delante de un dioptrio esférico convexo que separa un medio de otro cuyo índice de refracción es mayor que el del prime-ro, en los siguientes supuestos: a) s < f. b) s = f. c) s > f.

Como el índice de refracción del medio de la derecha es mayor que el índice de re-fracción donde está situado el objeto, |f 4| > |f|.

a) Vamos a trazar dos rayos de los tres principales de los que disponemos: un rayo paralelo al eje óptico y otro rayo que pase por el centro de curvatura:

1,000 1,333 – 1,000 n n4 – n 1,333 1,333 – 1,000 n 4 n 4 – n 1,333 – 1,000 +10 cm 1,000 –15 cm 1,333 s 4 C F' y ' y F s < f f

La imagen que se forma es virtual, ya que se obtiene por prolongación de rayos, derecha y de mayor tamaño que el objeto.

b) Cuando s = f, el objeto está sobre el foco. La imagen se forma en el infinito. c) Para s > f, los dos rayos elegidos son uno paralelo al eje óptico y otro que pasa por

el foco objeto. Así, nos queda:

C F'

y

F y'

s > f f

En este caso, la imagen obtenida es real, invertida y: • Mayor que el objeto si s < 2 · f.

• Igual que el objeto si s = 2 · f. • Menor que el objeto si s > 2 · f.

NOTA: Interpretamos el enunciado suponiendo que la comparación entre s y f se realiza en valores

(3)

4. Las distancias focales objeto e imagen de un dioptrio esférico son, respectiva-mente, 15 cm y –22,5 cm. Determina: a) Si el dioptrio es cóncavo o convexo. b) El radio de curvatura. c) El índice de refracción del segundo medio si el pri-mero es aire.

a) Tenemos que:

f = 15 cm ; f 4 = –22,5 cm

Al ser f > 0, el dioptrio es cóncavo, ya que n4 > n.

b) A partir de la relación entre las distancias focales y el radio se tiene:

R = f + f 4

R = 15 cm + (–22,5 cm) = –7,5 cm

c) Teniendo en cuenta la relación:

= –

Y sustituyendo datos, se tiene:

= – 8 n 4 = 1,5

5. Una persona que mide 1,90 m y que no sabe nadar quiere atravesar andando una zona de playa porque observa que su profundidad aparente es de 1,60 m. ¿Es correcta su decisión?

Como los rayos van desde abajo arriba, aplicamos el criterio de signos considerando que las distancias por debajo del dioptrio son negativas, y por encima de él, positi-vas. Así, s y s 4 serán negatipositi-vas. El siguiente dibujo ayuda a resolver el ejercicio.

1,00 n 4 15 cm –22,5 cm n n 4 f f 4

Aplicando la ecuación del dioptrio plano y sustituyendo datos, resulta:

= 8 = 8 s = –2,13 m

Como vemos, la profundidad real es mayor que la altura de la persona, por lo que, al no saber nadar, no sería correcta su decisión.

1,333 s 1,000 cm –1,60 cm n s n4 s 4 h = –s N N' s' P' P n = 1,333 n' = 1,000 Aire Agua

(4)

6. Un avión pasa por encima del mar a una altura de 150 m. ¿A qué distancia ve-ría el avión un buceador situado a 5 m de profundidad? ¿Con qué tamaño lo vería?

El siguiente dibujo nos ayuda a resolver el problema:

A Buceador A' s' s = –150 m 5 m n' = 1,333 n = 1,000 Aire Agua

La imagen del avión que está situado en A se forma en A 4. Si giramos el dibujo de forma que los rayos luminosos procedan de la izquierda, tenemos:

s = –150 m

Aplicando la ecuación del dioptrio plano y sustituyendo datos, resulta:

= 8 = 8 s 4 = –200 m

Por tanto, el buceador vería el avión a una distancia d, cuyo valor es:

d = 200 m + 5 m = 205 m

En un dioptrio plano, las imágenes tienen siempre el mismo tamaño que el objeto. Por tanto, el buceador lo vería con el mismo tamaño que en realidad tiene; lo que se produce es una modificación aparente de la posición del objeto.

7. Desde el trampolín de una piscina, una persona situada a 3 m de altura sobre el agua observa al socorrista que está buceando en el fondo de la piscina. Si la distancia aparente con la que le ve es de 6 m, calcula: a) La profundidad de la piscina. b) La distancia aparente con la que el socorrista observa a la per-sona del trampolín.

a) El siguiente dibujo ayuda a resolver el problema: 1,333 s 4 1,000 –150 cm n 4 s 4 n s (Socorrista) (Imagen del socorrista) s' h = –s d = 3 + s' = 6 m A' A Persona en el trampolín 3 m n = 1,333 n ' = 1,000Aire Agua

(5)

La imagen del socorrista, que está en el punto A, se forma en A 4. Por tanto, ob-serva que, de acuerdo con la figura anterior:

d = 6 m = 3 + |s 4| 8 s 4 = –3 m

Aplicando la ecuación del dioptrio plano y sustituyendo datos, nos queda lo si-guiente:

= 8 = 8 s = –4

Es decir, la profundidad real de la piscina es: h = 4 m. b) En este caso, el dibujo es:

1,000 –3 m 1,333 s n 4 s 4 n s Socorrista s' s = –3 m h = 4 m A' A n = 1,333 n' = 1,000Aire Agua

Ahora el objeto, A, es la persona en el trampolín. Los rayos luminosos parecen proceder de A4, que sería la imagen (virtual) que percibe el socorrista. Al aplicar la ecuación del dioptrio plano y sustituir datos, tenemos:

= 8 = 8 s 4 = –4 m

Por tanto, el socorrista diría que la persona que se encuentra en el trampolín es-tá a una distancia:

d = h + |s 4|= 4 + 4 = 8 m

8. ¿Por qué en los espejos planos las imágenes formadas son siempre virtuales? Porque la imagen se forma por la prolongación de los rayos reflejados en el espejo. Como las prolongaciones de los rayos son líneas imaginarias, decimos que la ima-gen es virtual.

9. Explica con tus propias palabras por qué al observar nuestra imagen en un espejo plano vemos que está invertida de izquierda a derecha pero no de arriba abajo.

Gráficamente, vemos que cada punto del objeto tiene uno simétrico en la imagen; por tanto, la imagen no puede aparecer invertida de arriba abajo.

A esta misma conclusión llegamos al aplicar la expresión del aumento lateral, AL. Como para un espejo plano se cumple que:

n 4 = –n ; s 4= –s

Al sustituir estos datos, resulta:

AL= = 8 AL = = 1 8 y 4 = y Es decir, la imagen no aparece invertida.

n · (–s) –n · s n · s 4 n 4 · s y 4 y 1,333 s4 1,000 –3 m n 4 s 4 n s

(6)

10. Un niño se coloca delante de un espejo plano y a 50 cm de él: a) ¿A qué dis-tancia se forma la imagen? b) ¿Qué tamaño tiene la imagen? c) ¿Podríamos recoger la imagen del niño sobre una pantalla?

a) La imagen se formará a 50 cm detrás del espejo. Recuerda que en los espejos pla-nos se cumple que:

s = –s

b) La imagen formada en un espejo plano tiene el mismo tamaño que el objeto, es decir:

y 4 = y

c) No. Las imágenes que se forman en los espejos planos son siempre virtuales. Por tanto, no pueden recogerse sobre una pantalla.

11. Una persona se coloca 40 cm por delante de un espejo plano de 70 cm, ob-servando que sobran 5 cm de espejo por arriba y por debajo de su imagen: a) Calcula la estatura de la persona.

b) Indica las características de la imagen (posición, tamaño, real o virtual). a) Si sobran 5 cm de espejo por arriba y por debajo, la altura mínima que debería

tener el espejo para que se pudiese ver la imagen de la persona sería:

h = 70 cm – 2 · 5 cm = 60 cm

Y como la altura mínima que debe tener el espejo, en este caso, 60 cm, es igual a la mitad de la altura de la persona, la altura será:

h = 2 · 60 cm = 120 cm = 1,20 m

b) La imagen de un espejo plano es (siempre) virtual, del mismo tamaño que el ob-jeto y simétrica a él.

12. Razona si es aceptable el enunciado siguiente: «Al colocar un objeto delante de un espejo, se obtiene una imagen real y derecha».

No es aceptable. La imagen depende de las características del espejo y de la distan-cia del objeto al espejo.

13. Un objeto de 2 cm de tamaño se encuentra 20 cm por delante de un espejo esférico de 15 cm de radio. Determina numérica y gráficamente las caracte-rísticas de la imagen según que el espejo sea:

a) Cóncavo. b) Convexo.

a) Aplicando la ecuación fundamental de los espejos esféricos y sustituyendo datos,

s = –20 cm y R = –15 cm (recuerda que para espejos cóncavos, R < 0), resulta:

+ = 8 + = 8 s 4 = –12 cm

El aumento lateral, AL, vale:

AL= – 8 AL= – = –0,6 cm

Como s 4 es negativo, la imagen será real; además, al ser |AL| < 1, la imagen será de menor tamaño que el objeto, y como AL < 0, la imagen aparecerá invertida.

–12 cm –20 cm s 4 s 2 –15 cm 1 –20 cm 1 s 4 2 R 1 s 1 s 4

(7)

C s = – 20 cm R = – 15 cm s' = – 12 cm y y' F O

La figura siguiente muestra cómo obtendríamos gráficamente la imagen.

B B' A s = –20 cm R = 15 cm s' = 5,5 cm A' y ' y F C

14. Utilizando un espejo cóncavo, la imagen de cierto objeto es real, invertida, de doble altura y se forma a 150 cm del vértice del espejo. Calcula: a) La posi-ción del objeto. b) La distancia focal del espejo.

a) Si la imagen es real (s 4 < 0) y aparece invertida (y 4 < 0), se cumplirá que AL< 0. De acuerdo con el enunciado:

s 4 = –150 cm ; AL= = = –2 = – Por tanto, la posición del objeto es:

= –2 8 s = –75 cm b) La distancia focal del espejo resulta:

+ 1s = 1f 8 –150 cm1 + –75 cm1 = 1f 8 f = –50 cm 1 s 4 –150 cm s s 4 s –2 · y y y 4 y

b) En este caso, R > 0 (espejo convexo); por tanto, s = –20 cm y R = 15 cm; así:

+ = 8 + = 8 s 4 = 5,5 cm

Al ser s 4 > 0, la imagen será virtual. El aumento vale:

AL= – 8 AL= – = 0,28

Como AL > 0, la imagen aparecería derecha, y al ser, en valor absoluto, menor que la unidad, es de menor tamaño que el objeto, como se muestra en la figura:

5,5 cm –20 cm s 4 s 2 15 cm 1 –20 cm 1 s 4 2 R 1 s 1 s 4

(8)

15. Un objeto de 4 cm de altura se coloca a 100 cm de un espejo convexo de ra-dio de curvatura igual a 50 cm. Determina la posición de la imagen y su ta-maño.

Como el espejo es convexo, R > 0. Los datos que proporciona el enunciado de la actividad son:

s = –100 cm ; R = 50 cm ; y = 4 cm

Al sustituirlos en la ecuación de los espejos y operar, se obtiene el valor de la dis-tancia imagen:

+ = 8 + = 8 s 4 = 20 cm

Como s4 > 0, la imagen es virtual, lo que corresponde a un espejo convexo. Para calcular el tamaño de la imagen, utilizamos la ecuación del aumento lateral:

AL= = – 8 = – 8 y 4 = 0,8 cm

Como y 4 > 0, la imagen obtenida está derecha; además, es de menor tamaño que el objeto. El valor del aumento lateral es:

AL= = 8 AL

=

0,2

Estos dos hechos coinciden con lo estudiado para los espejos esféricos.

16. Explica brevemente por qué una lente divergente no puede formar imágenes reales.

Porque, en una lente divergente, los rayos que llegan paralelos al eje óptico diver-gen al salir de ella. Por tanto, la imadiver-gen se formará por prologación de rayos, lo que origina que sea virtual.

17. Razona la veracidad o la falsedad de la proposición siguiente: «La potencia de una lente convergente es positiva; por tanto, este tipo de lentes dan siempre imágenes reales».

Es falsa, puesto que existe un caso donde la imagen que forma una lente conver-gente es virtual. Este hecho ocurre cuando el objeto está situado a una distancia me-nor que la distancia focal. La figura muestra este caso.

0,8 cm 4 cm y 4 y 20 cm –100 cm y 4 4 cm s 4 s y 4 y 2 50 cm 1 –100 cm 1 s 4 2 R 1 s 1 s 4 F A B' A' B F' y' y s' s

(9)

18. Un objeto luminoso está situado 2 m delante de una pantalla. Mediante una lente situada entre el objeto y la pantalla pretendemos obtener una imagen en la pantalla que sea real, invertida y de un tamaño dos veces menor que el del objeto. Determina: a) El tipo de lente que se debe utilizar. b) La posición en la que debe colocarse. c) La potencia de la lente.

a) La imagen ha de ser real, puesto que ha de recogerse sobre una pantalla. Por tan-to, la lente debe ser convergente.

b) Si la imagen aparece invertida, y 4 < 0. Por otro lado, como su tamaño debe ser dos veces menor que el objeto, ha de cumplirse que:

AL= = 8 = 8 s4 = – [1]

En la figura inferior observamos que:

|s| + |s 4| = 2 m [2] s 2 s 4 s –y/2 y s 4 s y 4 y 2 F F Pantalla A B B' F' A' s s'

Al resolver el sistema formado por las expresiones [1] y [2], se obtiene:

s = –1,33 m ; s 4 = +0,67 m

Es decir, la lente debe estar a 1,33 m del objeto. c) La potencia de una lente, P, se define como:

P =

Para obtenerla, hemos de calcular primero la distancia focal imagen, f 4:

– = 8 – = 8 f 4 = 0,45 m

Por tanto:

P = = 2,2 D

19. Una lente bicóncava simétrica de radio de curvatura 20 cm está construida con un plástico de índice de refracción 1,7. Determina: a) La potencia óptica de la lente. b) Dónde hemos de colocar un objeto para que el tamaño de su imagen sea la tercera parte.

a) La potencia de una lente es la inversa de su distancia focal imagen. Esto es:

P = = (n 4 – 1) ·

(

– 1

)

R2 1 R1 1 f 4 1 0,45 m 1 f 4 1 –1,33 m 1 0,67 m 1 f 4 1 s 1 s 4 1 f 4

(10)

Teniendo en cuenta la geometría de la lente (véase la figura), el convenio de signos establecido nos indica que:

R1= –0,2 m ; R2= +0,2 Por tanto, al sustituir datos, resulta:

P = (1,7 – 1) ·

(

)

= –7 D b) Aplicando la ecuación del aumento

la-teral, tenemos:

AL= = = 8 s 4 =

Sustituyendo esta relación en la ecuación fundamental de las lentes delgadas, ob-tenemos el valor de la distancia objeto:

– = = P 8 – = = –7 8 s = –0,29 m = –29 cm

El objeto debe estar colocado 29 cm por delante de la lente.

20. ¿A qué distancia de una lente delgada de cuatro dioptrías hay que colocar un objeto para obtener de él una imagen virtual de doble tamaño?

Al ser la potencia positiva, la lente es convergente. Su distancia focal imagen, f 4, vale:

P = 8 f 4 = = = 0,25 m

Por otro lado, como la imagen es de doble tamaño que el objeto, tenemos que:

y 4 = 2 · y ; AL= = = 8 s 4 = 2 · s

Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas y sustituyendo datos, se obtiene la distancia objeto:

– = 8 – = 8 s = –0,125 m = –12,5 cm

Es decir, el objeto debería estar colocado a 12,5 cm por delante de la lente.

21. Un ojo miope tiene su punto remoto situado a 40 cm. Indica el tipo de lentes que debe utilizar y calcula su potencia. Haz un esquema que resuma tu res-puesta.

Para corregir la miopía, es necesario emplear lentes divergentes. Para calcular su po-tencia, necesitamos determinar la distancia focal de la lente. Como la imagen de un objeto situado en el infinito, s = –@, debe formarse a 40 cm del ojo, es decir,

s 4 = 40 cm, al aplicar la ecuación general de las lentes delgadas y sustituir estos,

da-tos tenemos: – = 8 – = 8 f 4 = –40 cm = –0,4 m Por tanto: P = 8 P = 1 = –2,5 m –0,4 m 1 f 4 1 f 4 1 –@ 1 –40 cm 1 f 4 1 s 1 s 4 1 0,25 1 s 1 2 · s 1 f 4 1 s 1 s 4 s 4 s 2 · y y y 4 y 1 4 1 P 1 f 4 1 f 4 1 s 1 s/3 1 f 4 1 s 1 s 4 s 3 1 3 s 4 s y 4 y 1 0,2 1 –0,2 1 C1 R1 R2 C2 2

(11)

Imagen delante Punto remoto Imagen en la retina Lente divergente Punto remoto

22. Una persona con vista cansada, cuyo punto próximo está situado a 120 cm, quiere leer un libro situado a una distancia de 30 cm. ¿Qué tipo de lentes de-be emplear? Calcula su potencia.

La vista cansada, o presbicia, se corrige con lentes convergentes. Para ello, las len-tes han de ser tales que las «imágenes» del libro, situadas a 30 cm de distancia,

s = –30 cm, se formen en el punto próximo del ojo, esto es, s 4 = –120 cm.

Sustituyendo estos en la ecuación general de las lentes delgadas, nos queda:

– = 8 – = 8 f 4 = 40 cm = 0,4 m

Luego:

P = 8 P = = 2,5 D

El signo positivo de la potencia confirma que la lente ha de ser convergente. 23. La distancia focal de una lupa es de 10 cm. Calcula: a) A qué distancia de la

lupa debe situarse un objeto para que la imagen se forme a 25 cm de la lupa. b) El tamaño de la imagen de un objeto de 4 mm de altura.

a) Los datos del enunciado son:

f 4 = 10 cm ; s 4 = –25 cm

Aplicando la ecuación general de las lentes delgadas y sustituyendo datos, la dis-tancia objeto resulta:

– = 8 – = 8 s = –7,1 cm

Vemos que el resultado concuerda con lo estudiado: el objeto debe estar situado entre el foco y la lente, |s| < | f 4|, para que la imagen que se forma sea virtual, derecha y de mayor tamaño que el objeto.

b) Aplicando la definición de aumento lateral, nos queda:

AL= = 8 y4 = y · = 0,4 cm · = 1,41 cm –25 cm –7,1 cm s 4 s s 4 s y 4 y 1 10 cm 1 s 1 –25 cm 1 f 4 1 s 1 s 4 1 0,4 m 1 f 4 1 f 4 1 –30 cm 1 –120 cm 1 f 4 1 s 1 s 4

(12)

24. Busca en la bibliografía adecuada las partes más importantes de un micros-copio óptico.

El microscopio óptico más sencillo contiene una lámpara. El foco luminoso que es-ta proyeces-ta atraviesa el objeto que se quiere estudiar. La luz difundida por el objeto es recogida por la lente objetivo, que forma la imagen que sirve como objeto a la segunda lente, la lente ocular.

Además, lleva diversos tornillos (u otros sistemas) tanto para enfocar la luz de la lámpara sobre la muestra como para colocar el objeto a la distancia óptima del ob-jetivo utilizado.

La figura muestra un microscopio óptico de campo brillante como los utilizados en los laboratorios de biología de los institutos de secundaria.

Ocular Imagen en la retina Portaobjetivos Objetivos Platina Condensador Sistema de focalización Tornillo para enfocar Lámpara

25. El objetivo y el ocular de un microscopio están separados 15 cm y tienen co-mo distancias focales 1 cm y 1,5 cm. Calcula el aumento del microscopio. La potencia de cada una de las lentes, objetivo, P1, y ocular, P2, valen:

P = 8 P1= = 100 D ; P2= = 66,7 D Por otro lado, la distancia entre los focos o intervalo óptico, d, vale:

d = 15 cm – (1 cm + 1,5 cm) = 12,5 cm = 0,125 m

Luego, el aumento del microscopio, A, será (véase la página 313 del libro del alumno):

A = –0,25 · d · P1· P2 8 A = –0,25 · 0,125 · 100 · 66,7 = –208 El signo negativo nos indica que la imagen sale invertida.

1 0,015 1 0,01 1 f 4

Figure

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