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2010 -II. Matemática. Solucionario. Examen de admisión TEMA P. Respuesta. Pregunta N.º 1. Pregunta N.º 2. Resolución Tema: Regla de mezcla (aleación)

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(1)

Matemát

2010

-II

Examen de admisión

Matemática

TEMA P

Pregunta N.º 1

Se tienen dos lingotes de plata, el primero de ley 0,750 y el segundo de ley 0,950. ¿Qué peso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0,900? A) 400 g, 1400 g B) 450 g, 1350 g C) 500 g, 1300 g D) 550 g, 1250 g E) 600 g, 1200 g

Resolución

Tema:

Regla de mezcla (aleación)

Análisis y procedimiento

L 1=0,750 L2=0,950 W1=Ng W 2=(1800 – ) gN 1800 g ley=0,900 ingredientes mezcla Ley media= + + L W L W W W 1 1 2 2 1 2 → = + − + − 0 900 0 750 0 950 1800 1800 , ( , ) ( , )( ) ( ) N N N N Luego N=450 \ W1=450 g; W2=1350 g

Respuesta

450 g; 1350 g

A

lternAtivA

B

Pregunta N.º 2

Sean E un espacio muestral, A y B subconjuntos de E y P:

P (E) → [0, 1] una función de

probabi-lidad tal que P(A)=0,5, P(B)=0,4. Si A y B son independientes, halle P(A ∪ BC).

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3

D) 0,8 E) 0,9

Resolución

Tema:

Probabilidad

Análisis y procedimiento

Del enunciado, A y B son subconjuntos del espa-cio muestral, además,

P(A)=0,5 P(B)=0,4

También sabemos que A y B son eventos inde-pendientes, entonces, se cumple que

P(A ∩ B)=P(A) · P(B) Reemplazando tenemos

P(A ∩ B)=(0,5) · (0,4)

(2)

Recordemos que si el evento coincide con el espacio muestral, a este evento se le llama evento seguro; entonces, E=Ω y la probabilidad de todo evento seguro es igual a 1.

Gráficamente, tendríamos P B( )=0,4 P A( )=0,5 0,2 0,2 0,3 P A( BC) P( )=1 0,3

Del gráfico, se observa que

P(A ∪ BC)=0,5+0,3=0,8.

Respuesta

0,8

A

lternAtivA

D

Pregunta N.º 3

Tres números A, B, C están en relación directa a 5, 7 y 11. Si sumamos a dichos números respec-tivamente 130, 260 y n, la nueva relación directa es como a 13, 17 y 19. Determine n.

A) 390 B) 650 C) 910

D) 1170 E) 1430

Resolución

Tema:

Magnitudes proporcionales

Análisis y procedimiento

Dado que A; B y C están en relación DIRECTA a 5; 7 y 11, tenemos que

A=5K B=7K C=11K

Luego de sumar 130; 260 y n a cada uno de ellos, respectivamente, tenemos que

5 130 13 7 260 17 11 19 K+ = K+ = K n+ (*)  K= –195 Reemplazando en (*) 7 195 260 17 11 195 19 (− )+ = (− )+ n Efectuando n=910

Respuesta

910

A

lternAtivA

C

Pregunta N.º 4

El número 5α10β en base 10 es divisible por 72; entonces el valor de α

β es:

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

Resolución

Tema:

Teoría de divisibilidad

Recordemos algunos criterios de divisibilidad. • Si abcd=8o → bcd=8o

4 2 1

→ 4b+2c d+ =8o

(3)

Análisis y procedimiento

Por dato, tenemos que 5α10β= 72 8 9 o o o • Usando el criterio de divisibilidad por 8 se tiene que 10 8 4 8 421β= → β+ = o o → β=4 • Usando el criterio de divisibilidad por 9 se tiene que 5 104 9α =o → 5+ + + + =α 1 0 4 9o → α=8 Luego, el valor de α β= = 8 4 2. Por lo tanto, α β es igual a 2.

Respuesta

2

A

lternAtivA

C

Pregunta N.º 5

Al multiplicar un número de cinco cifras por 99 se obtiene un nuevo número cuyas últimas cifras son 18 828. Calcule la diferencia entre el mayor y el menor número formado con las cifras del número original. A) 72 349 B) 74 394 C) 74 943 D) 79 342 E) 79 472

Resolución

Tema:

Operaciones fundamentales en Z+

Análisis y procedimiento

Sea el número original abcde. Del dato abcde×99=...18828 abcde×(100 – 1)=...18828 Entonces abcde00 – abcde=...18828 abcde00=...18828+abcdeabcde abcde00 ...18828 + 1 1 1 1 analizando la adición e=2; b=8 d a c =7; =1 =3

Formando el mayor y el menor numeral con las cifras del número original y restando tenemos

mayor 87321 menor → − → 12378 74943

Respuesta

74 943

A

lternAtivA

C

Pregunta N.º 6

El plazo (en meses) al que debe imponerse un capital a una tasa de interés del 10% bimestral, capitalizable cuatrimestralmente, para que se incremente en un 72,8%, es

A) 3 B) 4 C) 6

(4)

Resolución

Tema:

Regla de interés

Análisis y procedimiento

Sea C el capital depositado Por dato

• r%=10% bimestral <> 20% cuatrimestral • Como C es capitalizable cuatrimestralmente,

entonces cada 4 meses los intereses se acumulan al capital.

Gráficamente

4 meses 4 meses 4 meses

C 120%C 144%C 172,8%C + + + 20%C 24%C 20%(120% )C 28,8%C 20%(144% )C el capital se incrementó en el 72,8%

Del gráfico, observe que en el tercer periodo el monto es 172,8% del capital, entonces en 12 meses el capital se incrementa en 72,8%.

Respuesta

12

A

lternAtivA

e

Pregunta N.º 7

Dos fracciones que tienen denominadores 13 y por numeradores dos números enteros conse-cutivos comprenden entre ellas la fracción cuyo valor decimal es 0 1545,

. Halle la menor de las fracciones.

A) 2/13 B) 3/13 C) 4/13

D) 5/13 E) 6/13

Resolución

Tema:

Números racionales (fracciones y decimales)

Análisis y procedimiento

Observación

El número decimal 0, 5451

equivalente a 0,15454545... está incorrectamente representado, pues la forma correcta de representarlo es 0, 541

.

Por dato del problema, tenemos • n 13< < + A B n 1 13 (I) • A B= 0 154,  (II) De (II) tenemos A B=0 154= − = 154 1 990 17 110 ,  A B= 17 110 Reemplazando en (I) tenemos

n n 13 17 110 1 13 < < + → n<13 17× ∧ × < +n 110 13 17 110 1 \ n=2

Entonces, la menor fracción es 2/13.

Respuesta

2/13

A

lternAtivA

A

Pregunta N.º 8

Para pintar el Estadio Nacional se contratan 8 personas que afirman pueden terminar la obra en 10 días, laborando 8 horas diarias. Al terminar el quinto día de trabajo se decide incrementar la jornada a 10 horas diarias y contratar más per-sonas para culminar el resto de la obra en 2 días. Calcule la cantidad de personas que se deben contratar en forma adicional.

A) 8 B) 10 C) 12

(5)

Resolución

Tema:

Magnitudes proporcionales

Análisis y procedimiento

obra

8 personas / 10 días / 8 h/d Inicialmente:

Se hizo así: 8 personas 5 días 8 h/d (8+ ) personas 2 días 10 h/d x se contratarán personas adicionalesx

Se observa que las 8 personas han trabajado la mitad del tiempo indicado para concluir la obra, por lo tanto, solo han hecho la mitad del trabajo. En consecuencia, ahora todos los obreros con el grupo que se incorpora deberán terminar la obra, es decir, deberán realizar la mitad del trabajo. Además, recordemos que

(N.º de obreros)(N.º de días)(N.º h/d)=cte. Reemplazando valores, tenemos que

8×5×8=(8+x)×2×10 \ x=8

Respuesta

x=8

A

lternAtivA

A

Pregunta N.º 9

Dadas las funciones f, g: R → R, definidas por

f(x)=|x – 2|+2 y g(x)=– (x2+2). Determine f+g. A) − −    − ≥ − +   + <        x x x x 1 2 7 4 2 1 2 9 4 2 2 2 , , B) − −    + ≥ − +   − <        x x x x 1 2 1 4 2 1 2 5 4 2 2 2 , , C) x x x x +    − ≥ −    + <        1 2 9 4 2 1 2 7 4 2 2 2 , , D) x x x x − ( ) + ≥ −( + ) − <       1 7 4 2 1 1 4 2 2 2 , , E) − −    − ≥ − +   + <        x x x x 1 2 1 4 2 1 2 7 4 2 2 2 , ,

Resolución

Tema:

Álgebra de funciones Recuerde

Sean las funciones f: A → B y g: C → D Se define

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

Dom(f+g)=Domf ∩ Domg

Análisis y procedimiento

Nos piden determinar f+g. Datos

f(x)=|x – 2|+2; Domf=R

g(x)=– x2 – 2; Domg=R Entonces

(6)

Reemplazando los datos (f+g)(x)=|x – 2|– x2 y además

Dom(f+g)= Domf ∩ Domg=R ∩ R=R Redefiniendo la función f g x x x x x x x +

(

)

= − + − ≥ − − + <     ( ) 2 2 2 2 2 2 ; ;

Completando cuadrados, obtenemos lo siguiente.

f g x x x x x +

(

)

= − −    − ≥ − +   + <        ( ) 1 2 7 4 2 1 2 9 4 2 2 2 ; ;

Respuesta

− −   − ≥ − +   + <        x x x x 1 2 7 4 2 1 2 9 4 2 2 2 ; ;

A

lternAtivA

A

Pregunta N.º 10

Sean los números complejos z=x+iy y

u= x iy x+ , >0 y los conjuntos

A={z/1 ≤ |z+4i| ≤ 2},

B=

{

u= x iy u− / +4i≥0

}

¿Cuál de las siguientes gráficas representa a A ∩ B?

A) 4 B) 4 C) 4 D) 4 E) 4

Resolución

Tema:

Números complejos

En la resolución de este problema utilizaremos algunas propiedades de módulo de un com-plejo y luego graficaremos regiones generadas por conjuntos cuyos elementos son números complejos.

Análisis y procedimiento

Hallamos las regiones determinadas por los conjuntos A y B.

A=

{

z x yi= + 1≤ +z 4i ≤2

}

1≤ +z 4i ≤2

↔ 1≤ +z 4i ≤2 ↔ 1≤ −z 4i≤2

(7)

Se observa que el conjunto A es una corona centrada en z0=4i, de radios r=1 ∧ R=2. Es decir 4 2 3 4 3 2 B=

{

u= x yi u− +4i ≥0 ∧ x>0

}

Como |u+4i| ≥ 0 siempre se cumple ∧ x>0, entonces, B es un semiplano de puntos (x; y), tal que x>0.

Es decir

Por lo tanto, A ∩ B es

4

Respuesta

Ninguna alternativa coincide.

n

ohAyClAve

Pregunta N.º 11

Señale cuál de las figuras representa adecuada-mente la gráfica de la función

f(x)=log(|x|+1)+log(|x| – 1) 0 Y X 1 2 – 1 – 2 – 1 – 2 1 2 A) 0 Y X 1 2 – 1 – 2 – 1 – 2 1 2 B) 0 Y X 1 2 – 1 – 2 – 1 – 2 1 2 C)

(8)

0 Y X 1 2 – 1 – 2 – 1 – 2 1 2 D) 0 Y X 1 2 – 1 – 2 – 1 1 2 E) – 2

Resolución

Tema:

Función logarítmica

Recuerde que f es una función par si y solo si

f(x)=f(– x) ; ∀ – x ∧ x ∈ Dom(f), y que la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje Y.

Análisis y procedimiento

I. La existencia de la función está garantizada cuando |x|– 1 > 0.

→ |x| > 1

→ x ∈ 〈– ∞; –1〉 ∪ 〈1; +∞〉 Luego, Dom(f)= 〈– ∞; –1〉   ∪   〈1; +∞〉 II. La función es par.

En efecto, sea x ∈ Dom(f) → f(x)=log(|x|+1)+log(|x|– 1)

=log(|– x|+1)+log(|– x|– 1) =f(– x)

III. Si x ∈ 〈1; +∞〉   →   f(x)=log(x+1)+log(x– 1) =log(x2 – 1)

además, x=1 es una asíntota y f( ) = 2 0 también es fácil de ver que f(2) < 1. Entonces, la gráfica de f es dada por

Y

X

1 2 2

1

Finalmente, como la función es par, su gráfica es dada por

Y

X – 1 – 2 1 2 1

Respuesta

Y

X – 1 – 2 1 2 1

A

lternAtivA

A

Pregunta N.º 12

Indique la secuencia correcta después de determi-nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F) I. Si A es una matriz de orden n×n, entonces

A – AT=0.

II. Si

A= 

1 10 1, entonces An=10 1ndonde n es un número natural.

(9)

III. Si a b a b 2 1 1 1 3 1 2 5 1 4            = ++     , entonces a – b=0 A) VVV B) VVF C) FFV D) FVV E) FFF

Resolución

Tema:

Matrices

Debemos tener en cuenta la siguiente definición. • A1=A • An A A A A n = × × × ×... veces 

Análisis y procedimiento

I. Falso Porque si A ∈ Rn×n, no necesariamente A=AT Por ejemplo Si A= AT    → =     0 1 0 0 0 0 1 0 ∧ A AT= −       ≠ 0 1 1 0 O II. Verdadero

En efecto, induciendo el resultado

A=    1 1 0 1 A2 1 1 0 1 1 1 0 1 1 2 0 1 =       =     A3 1 2 0 1 1 1 0 1 1 3 0 1 =       =     . . . An=n    1 0 1 III. Verdadero

En efecto, operando tenemos

a b a b a b 2 1 1 1 3 1 2 3 2 1 4            = ++ +      Igualando con el dato, obtenemos

a b a b a b + + +       = ++      2 3 2 1 4 2 5 1 4 ↔ a+2b=2+a ∧ 3a+2=5 b=1 ∧ a=1 Entonces, a – b=0

Respuesta

FVV

A

lternAtivA

D

Pregunta N.º 13

Halle el valor de a ∈ R, para que la inecuación

a214 x2 4x 4a 0

(

)

− + ≤ , tenga como solución el conjunto [– 2; 4].

A) – 6 B) – 4 C) – 2

D) –1 E) –1/2

Resolución

Tema:

Inecuación cuadrática

Para resolver el problema vamos a utilizar las siguientes propiedades.

1.o Dada la ecuación ax2+bx+c; a ≠ 0 de raíces

x1; x2, se cumple que x x b a x x c a 1+ 2= − ∧ 1 2=

2.o En una inecuación cuadrática ax2+bx+c><0;

(10)

Análisis y procedimiento

Piden el valor de a ∈ R, tal que (a2 – 14)x2 – 4x+4a ≤ 0; CS=[– 2; 4] Entonces, a2 – 14 > 0; – 2 ∧ 4 son los puntos críticos.

Aplicando la propiedad anterior − + = − − − 2 4 4 14 2 ( ) a ∧ −( )( )2 4 = − 4 14 2 a a Se tiene 2

(

a214

)

=4 ∧ −2

(

a214

)

=a a2=16 ∧ 2a2+a – 28=0 (a=4 ∨ a=– 4) ∧ (2a – 7)(a+4)=0

(

a= ∨ a= −

)

a= ∨ a= −

 

4 4 7

2, 4

Por lo tanto, a=– 4.

Respuesta

a=– 4

A

lternAtivA

B

Pregunta N.º 14

Dados los conjuntos

A={(a1, a2) ∈ R2/(a1, a2) ∈ [3, 4]×[4, 5]} y

B={(b1, b2) ∈ R2 / b21+b22 ≤ 1}. Si se define

A+B={a+b / a ∈ A, b ∈ B},

determine el área de A+B. A) 1+p B) 2+p C) 3+p D) 5+p E) 6+p

Resolución

Tema:

Gráfica de relaciones

Utilizaremos la definición del producto cartesiano y la suma de pares ordenados en R2.

Análisis y procedimiento

De la definición de (A+B), la circunferencia se va ha trasladar hacia la derecha y hacia arriba, entonces tendremos una gráfica aproximada:

A 2 3 4 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 sumando 6 cuarto de circunferencia B –1 X Y Y X

Es decir un elemento de A+B es (a1+b1, a2+b2) entonces el área de A+B es

= + + + + +    1 1 1 1 1 4 4 π =5+p

Respuesta

(5+p)

A

lternAtivA

D

Pregunta N.º 15

El conjunto solución del sistema

x2 – 2x – y=–1 x2+y2=1 es: A) {(1, 1), (2, –1), (1, 0)} B) {(1, 2), (2, 1), (1, –1)} C) {(1, 0), (–1, –1)} D) {(1, 0), (0, 1)} E) {(–1, 1), (1, –1)}

Resolución

Tema:

Sistema de ecuaciones no lineales Para resolver un sistema de ecuaciones no lineales se pueden graficar las ecuaciones y evaluar los puntos de corte que serían las soluciones del sistema.

(11)

Análisis y procedimiento

x x y x y 2 2 2 2 1 1 − − = − + =    

Completando cuadrados en la primera ecuación se tiene (x ) y x y − = + =     1 1 2 2 2 Graficando se obtiene (0; 1) x2+ =1y2 y=( –1)x 2 X Y 1 (1; 0) 1

Se observa que los puntos de corte son (0; 1) y (1; 0), y estas son las soluciones del sistema no lineal.

Respuesta

{(1; 0), (0; 1)}

A

lternAtivA

D

Pregunta N.º 16

Determine el valor mínimo que toma la función objetivo, P(x, y)=10x+20y sujeta a las restric-ciones: x y x y y x + ≥ − ≤ ≤     2 2 2 A) – 70 B) – 20 C) 0 D) 20 E) 30

Resolución

Tema:

Programación lineal

Para resolver el problema, vamos a graficar el conjunto de restricciones para hallar la región factible, luego, evaluamos en los vértices y elegi-mos el menor valor.

Análisis y procedimiento

Piden el valor mínimo que toma la función

P(x; y)=10x+20y

sujeta a las restricciones

x y x y y x + ≥ − ≤ ≤     2 2 2

Reordenando el conjunto de restricciones

y x y x y x ≥ − + ≥ − ≤       2 2 2 I II III

Ahora, graficamos el conjunto de restricciones.

1 2 –1 1 región factible Y X I II III (2; 0) (1; 1)

Luego, el valor mínimo que toma la función objetivo P(x; y) se encontrará en un vértice o dos vértices consecutivos. En este caso, los vértices son (1; 1) ∧ (2; 0).

(12)

Evaluando en P(x; y)=10x+20y, se obtienen

P(1; 1)=30 P(2; 0)=20

Respuesta

Luego, el valor mínimo que toma la función objetivo P(x; y) es 20.

A

lternAtivA

D

Pregunta N.º 17

Determine la gráfica que corresponde a la función

f(x)=(x+2)(x+1)3(x – 3)6(x – 6)5 A) –1 –2 3 6 B) –1 –2 3 6 C) –1 –2 3 6 D) –1 –2 3 6 E) –1 –2 3 6

Resolución

Tema:

Gráfica de funciones polinomiales Recuerde que

1.º Las raíces reales de la función polinomial intersecan al eje X.

2.º Si la raíz es de multiplicidad impar o simple, interseca al eje X; si la raíz es de multiplicidad par, es tangente al eje X.

Análisis y procedimiento

Se observa que: 6 es raíz de multiplicidad impar. – 1 es raíz de multiplicidad impar. 3 es raíz de multiplicidad par. – 2 es raíz simple.

Además si x > 6 → f(x) > 0

Entonces, tenemos que la gráfica aproximada es

– 1 1 2 3 4 5 6

raíz de multiplicidad impar (punto de inflexión)

raíz simple

raíz de multiplicidad par

raíz de multiplicidad impar (punto de inflexión) Y X – 2

Respuesta

–1 6 – 2 3

A

lternAtivA

D

(13)

Pregunta N.º 18

La ecuaciones de segundo grado:

x2+bx+c=0 y x2+b’ x+c’=0 tienen raíz común si

(c – c’)2+(b – b’)(bc’ – b’ c)=0

Determínese la condición para que las ecuaciones

x3+px+q=0 y x2+x+r=0 tengan una raíz común.

A) (r – p – r)(r2 – pr+q)=0 B) (r+q)2+(r – p –1)(r2 – pr+q)=0 C) (r+q)2+(r2 – pr+q)=0 D) (r+q)2+(r – p –1)=0 E) (r+q)2 – (r+p+1)(r2 – pr+q)=0

Resolución

Tema:

Ecuación cuadrática y cúbica Recuerde que si r es una raíz del polinomio

P(x)=a0xn+a 1xn –1+...+an; a0 ≠ 0, entonces P(r)=0; es decir a0rn+a 1rn – 1+...+an=0

Análisis y procedimiento

Como las ecuaciones x3+px+q=0 y x2+x+r=0 tienen una raíz en común que sea x0, luego se tiene que

x03+px0+ = q 0 (I)

x02 x r

0 0

+ + = (II)

En (II), multiplicando por x0, tenemos que

x03 x rx x x r

02 0 0 02 0

+ + = y = − −

x03−x0− +r rx0=0 Luego se tiene el sistema

x r x r x px q 03 0 0 1 0 0 + − − = + + =     ( ) (III) (I) 03

Restando (III) y (I) , tenemos (r – p – 1)x0= r + q

x

r q r p

0= − −+ 1 Reemplazando en (II), se tiene

r q r p r q r p r + − −     + + − −    + = 1 1 0 2

Multiplicando por (r – p – 1)2, se tiene (r+q)2+(r+q)(r – p – 1)+r(r – p – 1)2=0 (r q+ )2+ − −(r p 1)

(

r q r+ + 2− −rp r

)

=0 (r+q)2+(r – p – 1)(r2 – pr+q)=0

Respuesta

(r+q)2+(r – p – 1)(r2 – pr+q)=0

A

lternAtivA

B

Pregunta N.º 19

Sean p, q, r proposiciones lógicas.

Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. (p → q) → r ≡ p → (q → r) II. (p → q) ∨ p ≡ q III. q ∧ (p → ∼ q) ≡∼(q → p) A) VVV B) VFV C) FVF D) FFV E) FFF

Resolución

Tema:

Lógica proposicional

Análisis y procedimiento

Para determinar el valor de verdad, utilizaremos las leyes lógicas.

(14)

I. Falsa ( ) ( ) ( ) p q r p q r p q p q r q r p q r → → ≡ → → ∨ ∧ ∨ ∨ ∨ ∨ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼         Por lo tanto, no son equivalentes. II. Falsa (p q) p q p q → ∨ ≡ ∨ ∼      verdadero

Por lo tanto, no son equivalentes. III. Verdadera q p q q p p q q p q p q p ∧ → ≡ → ∨ ∧ ∨ ∧ ( ) ( )  ∼∼ ∼    ∼ ∼ ∼ Por lo tanto, son equivalentes.

Respuesta

FFV

A

lternAtivA

D

Pregunta N.º 20

La longitud de los lados de un triángulo forman una progresión geométrica de razón q > 1. Entonces q toma los valores

A) q >1+ 5 2 B) 1 5 2 1 5 2 − < < +q C) 1 1 5 2 < < +q D) 1+25< < +q 1 26 E) 1 6 2 1 7 2 + < < +q

Resolución

Tema:

Triángulo

Análisis y procedimiento

Sea q la razón geométrica y a la longitud del lado intermedio, entonces, los lados serán

A C B a a q a q. AB a q = BC=a AC=a · q

Como todo lado es menor que la suma de los otros dos, el mayor de los lados debe ser menor que la suma de los menores lados.

Así aq a q a < + Luego, q2 – q – 1 < 0. Completando cuadrados q2 q 1 4 5 4 − + < q−     < 1 2 5 4 2 − 5< − < 2 1 2 5 2 q 1 5 2 1 5 2 − < < +q Pero, según el dato, q > 1. ∴ 1< < 1+ 5 2 q

Respuesta

1 1 5 2 < < +q

A

lternAtivA

C

(15)

Pregunta N.º 21

En un cuadrado ABCD se prolonga el lado AD hasta el punto R. Desde un punto Q de BC se traza

QR que interseca a CD en P. Determine la medida

del ángulo APQ si PA=CR y m ∠  PAR=20º. A) 55º B) 60º C) 65º D) 70º E) 75º

Resolución

Tema:

Cuadrilátero

Análisis y procedimiento

B A 20º D R a P x Q a C 45º 45º De la figura, ADP ≅ CDR. Luego DP=DR Entonces mPRD=45º TAPR x=45º+20º

Respuesta

x=65º

A

lternAtivA

C

Pregunta N.º 22

En el paralelogramo ABCD se tiene AB=6 m y

BC=8 m. Se traza la bisectriz interior del ángulo A la cual interseca a BC en E y a la prolongación

de DC en F; desde M, punto medio de EF, se traza un rayo paralelo a CD que interseca al segmento

AD en N. Determine MN (en m).

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

Resolución

Tema:

Cuadriláteros (paralelogramo)

Análisis y procedimiento

Piden MN     1 1 1 6 6 A B N D C F E H M n n  6

Del dato, AE es bisectriz del BAD, entonces mBAE=mEAD=α.

Además, BC//AD, entonces mAEB=mEAD=α. Luego

ABE isósceles, AB=BE=6 y EC=2 También M es punto medio de EF y MN//FD Entonces, EH=HC=1

Además, EHM es isósceles, entonces

EH=HM y ABHN es un paralelogramo, entonces AB=HN=6.

(16)

Finalmente, MN=MH+HN Reemplazando ∴ MN=7

Respuesta

MN=7

A

lternAtivA

B

Pregunta N.º 23

En la figura, se tiene una semicircunferencia con diámetro BF, donde D es punto de tangencia. Si

AD=3 cm, EC=2 cm. Calcule AC (en cm).

A B C F E D A) 6,0 B) 6,4 C) 6,8 D) 7,2 E) 7,6

Resolución

Tema:

Semejanza de triángulos

Análisis y procedimiento

Piden DE=

.

Al tener los puntos de tangencia B, F y D, se cumple que AD=AB=3 DE=EF =

A B C F E D 3 3



2



Luego ABC ∼ EFC 3 5+

=2

6=(5+) 1 1 Entonces,

=1. ∴ DE=1

Respuesta

6,0

A

lternAtivA

A

Pregunta N.º 24

En un trapecio rectángulo ABCD (recto en A y D) sus diagonales se intersecan perpendicularmente en E. Si AD=3 m y AE=1 m. Determinar (en m) la proyección de BC sobre DC. A) 21 2 4 B) 21 2 2 C) 9 D) 10 E) 11 2

(17)

Resolución

Tema:

Relaciones métricas

Análisis y procedimiento

3 2 6 1 1 8 A B C S D m 7m E N Piden SC. Del gráfico • SC: proyección de BC sobre DC ACD (3)2=AC · 1 →   AC=9 y EC=8 ADC (DC)2+(3)2=(9)2 →   DC=6 2 DAB ≅ DBS →   SN=AE=1 DNS ∼ DEC DS DC= 1 8 → DS=m y CS=7m • Luego 8m=6 2 m=3 4 2 ∴ SC=7m=7 3 4 2 21 4 2   =

Respuesta

La proyección de BC sobre DC es 21 4 2.

A

lternAtivA

A

Pregunta N.º 25

La figura muestra un semicircunferencia donde

GF=9 m y FD=7 m. Calcule la longitud del

segmento FE en metros. A B C D E F G A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Resolución

Tema:

Semejanza y relaciones métricas

Análisis y procedimiento

Sean AG=a y GC=b. F x E D B A a G b C   7 9

(18)

Como m  BAC=m  GDC AGF ∼ DGC a b ab 16 9 9 16 = → = ( ) ( )I Para la circunferencia (x+9)2=ab, entonces, (x+9)2=9(16)

Respuesta

x=3

A

lternAtivA

C

Pregunta N.º 26

Sea el exágono regular ABCDEF inscrito en una circunferencia, sobre DE se ubica el punto T, se trazan los segmentos AT y DF que se cortan en el punto M, siendo M el punto medio de DF. Si

MT=3 cm, determine (en cm) el valor del

apo-tema del exágono. A) 19 B) 21 C) 23 D) 24 E) 27

Resolución

Tema:

Polígonos regulares

Análisis y procedimiento

Piden el apotema del exágono regular ABCDEF=x Dato

• TM=3

• M es punto medio DF .

O x 60º 60º 120º 2a 2a 30º 3 a 120º 3 2a 2a 2a 7 N A F E B C D 3 a 7 a 30º 7 T M

Sea la longitud del lado del exágono igual a 2a. En el triángulo isósceles DEF, mDEF=120º, entonces DF=2 3a ; pero M es punto medio de

DF, por lo tanto, DM=MF=a 3 .

En el AFM: teorema de Pitágoras, (AM)2=(2a)2+ a 3

(

)

2, AM=a 7 Por el teorema de las cuerdas,

a 3 a 3 a 7 3 a 7

(

)(

)

=

(

)

( ), =

Finalmente, en el ONC: notable 30º y 60º,

CN= 7x= 21

Respuesta

x= 21

A

lternAtivA

B

Pregunta N.º 27

Un triángulo isósceles ABC encierra una región de 16 m2 de área. Por B se traza la altura BH relativa al lado desigual AC. Entonces el área (en m2) de la región triangular formada al unir los puntos medios de AH, BH y BC es:

(19)

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

Resolución

Tema:

Relación de áreas

Análisis y procedimiento

Piden A MNQ=

B

A B C H Q B N M

Al ser M y N puntos medios de BH y BC, respectivamente, se cumple

MN // AC

Entonces

A MNQ=A MNH=B

Luego por relación de áreas

A B C H B N M



k k



2B 4B B A ABC=8B=16 Entonces B=2 ∴ A MNQ=2

Respuesta

El área es 2.

A

lternAtivA

B

Pregunta N.º 28

Se tiene el cubo ABCDEFGH de arista 2 cm. Se construye el cuadrilátero achurado como se muestra en la figura; tal que a=1

2cm, b = 3 2cm,

c=13cm

.

Determine el área del cuadrilátero (en cm2). H b c a d C D G F B A E A) 4,64 B) 5,34 C) 6,14 D) 6,64 E) 7,54

Resolución

(20)

Análisis y procedimiento

Piden S. Del gráfico H C D G F B A E 3 2 1 2 d=53 P 1 3 S Q R S M N 2 4  4 7 T 2 2 5 2 PAN ∼ SBN BN BN+2= 1 3 1 2 / / → BN=4 MBS ∼ MFR MB MB+2= 1 3 3 2 / / → MB =4 7 MBN 1 1 4 1 4 7 2 2 2 BT ( ) = +   → BT=2 2 5 SBT ST ( ) =    +     2 1 2 2 3 2 2 5 → ST= 97 15 A BAEF=A SPQR . cos q 2 2 2 5 97 15 2=             S= 194 3 ∴ S=4,64

Respuesta

S=4,64

A

lternAtivA

A

Pregunta N.º 29

Un plano interseca a las aristas de un triedro con vértice O en los puntos A, B y C de modo que: m∠AOB=m∠COB=60º y

m∠AOC=m∠ABC=90º.

Halle OB (en metros) si OA+OC=10 m.

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

Resolución

Tema:

Ángulo triedro

Análisis y procedimiento

Dato: a+b=10 C B A O 60º a b x 60º

(21)

T. cosenos AOB: AB2=a2+x2 – ax BOC: BC2=b2+x2 – bx AOC: T. Pitágoras: a2+x2 – ax+b2+x2 – bx=a2+b2 de donde 2x=a+b

Respuesta

x=5

A

lternAtivA

C

Pregunta N.º 30

Halle el volumen de una pirámide V – ABC (en cm3), cuyas caras laterales forman con la base un diedro de 30º, sabiendo que AB=13 cm,

BC=15 cm y AC=14 cm. A) 56 3 B) 112 3 C) 120 3 D) 127 3 E) 132 3

Resolución

Tema:

Pirámide

Análisis y procedimiento

Piden el volumen de la pirámide V – ABC. Datos AB=13; BC=15 y AC=14 A B C V T I 13 15 14 4 30º 2 4

Como los diedros entre una cara lateral y la base son iguales, entonces, el pie de la altura de la pirámide es el incentro de la base ABC. Para hallar el área de la base ABC, aplicamos la fórmula de Herón, entonces,

A

ABC= 21 8 7 6( )( )( );

A

ABC=84

Como, IT es longitud del inradio, utilizamos la fórmula del inradio, entonces,

A

ABC=(21)(IT); 84=21(IT)

IT=4

En el VIT notable 30º y 60º, IT=4, entonces, VI= 4 3 Finalmente

v

V ABC

A

ABC VI − =

(

)

( ) 3

v

V ABC− =     ( )84 4 3 3 ∴

v

V ABC− =1123 Observación

En las alternativas no figura esta clave, por lo tanto, la respuesta más cercana es 112 3.

Respuesta

112 3

(22)

Pregunta N.º 31

Un triángulo isósceles cuya base mide 2a unidades y cuya altura mide 3a unidades, gira alrededor de uno de sus lados. Calcule (en unidades cúbicas) el mayor volumen del sólido que de esta manera se genera.

A) 4 p a3 B) 5 p a3 C) 6 p a3 D) 7 p a3 E) 8 p a3

Resolución

Tema:

Sólidos de revolución Tenga en cuenta que

El volumen que genera la región

B

P Q

L

sombreada al girar 360º en torno

a la recta

L

se calcula como

VSG=B×2p(PQ)

De modo que P es centroide de dicha región.

Análisis y procedimiento

Piden el mayor volumen del sólido que se genera al girar la región ABC en torno a uno de sus lados. Como el área es constante, entonces los volúme-nes dependen de PH y PQ siendo P centroide de dicha región. 10 a 5 A H C a a P Q a 2a 37º 2 B 360º

Luego del gráfico, la m  HBC =37 2 º

a 10 a 5 <

PQ < PH

Entonces el mayor volumen se calcula como

VSG=

(

2a×3a

)

× ×a 2 2π \ VSG=6pa3

Respuesta

VSG=6pa3

A

lternAtivA

C

Pregunta N.º 32

En un rectángulo ABCD la diagonal AC tiene una longitud de 2a unidades y forma con AB un ángulo de 30º. El rectángulo gira alrededor de una recta paralela a AC y que pasa por B. El área de la superficie total generada por el rectángulo es:

A) 2πa2

(

3− 3

)

B) πa2

(

3+ 3

)

C) 3pa2 3 D) πa2

(

3 2 3+

)

E) 2πa2

(

3+ 3

)

Resolución

Tema:

Teorema de Pappus-Guldin

Cuando nos piden calcular el área de una super-ficie generada por una rotación, es recomendable usar el teorema de Pappus, siempre que se pueda calcular la distancia del centroide al eje de giro.

(23)

Análisis y procedimiento

30º 30º a a a a a a 3 a 3 a H B A D C O 30º

L

d

En un rectángulo, el centroide O es el punto de intersección de sus diagonales.

En ABCD AC=2a → AO=OB=OC=OD=a Como

L



//AC → mABH=30º En AOB mOBA=mOAB= 30º → mOBH 60º= Sea d la distancia de O a

L



. En el BOH: d=a2 3

La línea que gira tiene longitud . →   

=

2a

(

3 1+

)

Aplicando el teorema de Pappus-Guldin ASG=2p d ·

ASG=2πa2 3

(

2a

(

3 1+

)

)

Respuesta

2πa2

(

3+ 3

)

A

lternAtivA

e

Pregunta N.º 33

Dada la función f, definida por:

f x x x x ( )= ( ) arccos( ) arctan+ + +     arcsen 1 1

.

Determine el rango de f. A) −   π π 2 2; B) − π π 2 2; C) π π 2 1 2 3 4 +         arc tan ; D) π π 2 1 2 +        arc tan ; E) π π 2 3 4 ;   

Resolución

Tema:

Funciones trigonométricas inversas arcsen x+arccos x=p 2 ↔ –1 ≤ x ≤ 1

Análisis y procedimiento

Piden el rango de f. Dato f(x)=arcsen(x)+arccos(x)+arctan 1 1 x+    

(24)

Entonces f(x)=p 2+arctan 1 1 x+     Como –1 ≤ x ≤ 1 → 0 ≤ |x| ≤ 1 → 1 ≤ |x|+1 ≤ 2 → 1 1 1 1 2 ≥ + ≥ x

Como la función arcotangente es creciente, entonces

arctan( ) arctan1 1 arctan 1 1 2 ≥ +    ≥    x π 4 1 1 1 2 ≥ +    ≥     arctan arctan x 3 4 2 1 1 2 1 2 π π+ π +    ≥ +    arctan arctan x 3 4 2 1 2 π ≥ +π     f x( ) arctan Por lo tanto Ranf= +arctan ;       π π 2 1 2 3 4

Respuesta

π π 2 1 2 3 4 +         arctan ;

A

lternAtivA

C

Pregunta N.º 34

En la figura se muestra un paralelepípedo recto de lados a, b, c. Calcule el seno verso del ángulo g, si:

b c a b c 2 2 2 2 2 1 3 + + + = c b a  A) 1 6 B) 1 3 C) 1 2 D) 2 3 E) 1

Resolución

Tema:

Resolución de triángulos oblicuángulos

Teorema de cosenos A B C A a b c a 2=b2+c2 – 2bc cosA

Seno verso de un ángulo

versα=1 – cosα

Análisis y procedimiento

Piden seno verso del ángulo g. Dato b c a b c 2 2 2 2 2 1 3 + + + =

(25)

Tenemos c b a  A B C

Del paralelepípedo recto mostrado, analizamos el triángulo ABC.  a A B C b c2+ 2 a2+ +b c2 2

Por teorema de cosenos

a2=

(

a2+b2+c2

)

2+

(

b2+c2

)

2 −2 a2+b2+cb2+c2cosγ Operando cosγ = + + + b c a b c 2 2 2 2 2 Por referencia del dato, cosγ =1

3. versg=1 – cosg versγ = −1 1 3 \ versγ = 2 3

Respuesta

2 3

A

lternAtivA

D

Pregunta N.º 35

Si 16sen5x=Asenx+Bsen3x+Csen5x, determine el valor de (A+2B+C).

A) – 3 B) – 2 C) 1

D) 4 E) 6

Resolución

Tema:

Identidades trigonométricas • 2sen2x=1– cos2x

• 4sen3x=3senx – sen3x

• 2senacosb=sen(a+b)+sen(a – b)

Análisis y procedimiento

Piden A+2B+C. Dato

16sen5x=Asenx+Bsen3x+Csen5x (I)

Entonces

16sen5x=2(2sen2x)(4sen3x) =2(1– cos2x)(3senx – sen3x) =6sen x – 6sen xcos2x – 2sen3x+ +2sen3xcos2x

Aplicamos transformaciones.

16sen5x=6senx – 3(sen3x – senx) – 2sen3x+ +(sen5x+senx)

16sen5x=10senx – 5sen3x +sen5x (II)

Comparamos (I) y (II)   → A=10; B=– 5; C=1 ∴ A+2B+C=10+2(– 5)+1=1

Respuesta

El valor de (A+2B+C) es 1.

A

lternAtivA

C

(26)

Pregunta N.º 36

En la circunferencia trigonométrica mostrada mAB P

' = θ , determine el área de la región triangular A’MT. Y X T A M B' A' P A) −1

[

]

2 tanθ senθ B) −1

[

+

]

2 tanθ senθ C) 1 2

[

tanθ−senθ

]

D) 1 2

[

tanθ+senθ

]

E) −1

[

+

]

2cotθ cosθ

Resolución

Tema:

Circunferencia trigonométrica En la C. T. AT=– tanq Y X T A M  tan sen

Análisis y procedimiento

Y X T A M A' P sen  O – tan

S1: área de la región triangular OA’M → S1=

( )(

1

)

2 senθ

S2: área de la región triangular OA’T → S2=

( )

1

(

)

2 tanθ S: área de la región sombreada

S=S2 – S1 → S=

( )

1

(

)

( )(

)

2 1 2 tanθ senθ ∴ S= −1

(

+

)

2 tanθ senθ

Respuesta

−1

(

+

)

2 tanθ senθ

A

lternAtivA

B

Pregunta N.º 37

Calcule el valor de:

E=2 1 −2 sen10º sen70º. A) – 1 B) 0 C) 1 D) 2 2 E) 3 2

(27)

Resolución

Tema:

Transformaciones trigonométricas • 2senq senα=cos(q – α) – cos(q+α) • α+q=90º → senα = cosq

Análisis y procedimiento

E= 1 − 2sen º10 2sen º70 E= −1 2 2( 70 10 ) 2 10 sen º sen º sen º

E= −1 2(cos2sen º60º cos10− 80º)

E= −  −   1 2 1 2 80 2 10 cos º sen º E=2 80 2 10 cos º sen º E=sen º sen º 10 10 E=1

Respuesta

E=1

A

lternAtivA

C

Pregunta N.º 38

En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado,

ADC es un sector circular con centro en D,

m∠ABM=q y m∠ADM=φ. Calcule tanq en términos de φ. B A C D M A) 11++sencosφφ B) 1 1 + + cos sen φ φ C) 2 2 − − cos sen φ φ D) 1 1 − − sen cos φ φ E) 1 1 − − cos sen φ φ

Resolución

Tema:

Resolución de triángulos rectángulos

x y a  x=asen y=acos

Análisis y procedimiento

Datos: mABM=q y mADM=φ

B A D C M rsen r r– sen E r r– cos   r rcos L Sea DM=r, entonces, En el triángulo DLM: LM=r senφ LD=r cosφ En el triángulo BEM tan cos sen θ φ φ = − − r r r r → tan cos sen θ φ φ = − − 1 1

Respuesta

1 1 − − cos sen φ φ

A

lternAtivA

e

(28)

Pregunta N.º 39

En la semicircunferencia de centro O del grá-fico mostrado, mAB =164º y AC=2 50cm. Calcule el área de la región sombreada (en cm2).

C A B O A) 58,5 B) 60,5 C) 62,5 D) 64,5 E) 66,5

Resolución

Tema:

Cálculo del área de un sector circular rad r r S=1 2 2 · ·θ r

S: representa el área del sector circular q: número de radianes

r: radio del sector circular

Análisis y procedimiento

Piden calcular el área de la región sombreada. Sea S el área de la región sombreada.

C A B O 164º 164º 50 50 50 Entonces S=12·4145π

(

50

)

2− 50 502 sen164º S=41 5− 9 7 · ·π Se sabe que p=3,14 \ S=64,5 cm2

Respuesta

S=64,5 cm2

A

lternAtivA

D

Pregunta N.º 40

Si S y C representan los valores de un ángulo en grados sexagesimales y centesimales, respectiva-mente, y se cumple que

C2+S2=2C3 – 5SC2+4S2C – S3 – 2SC Calcule el valor de C. A) 361 11 B) 3111 11 C) 3610 11 D) 3670 11 E) 3680 11

Resolución

Tema:

Sistemas de medición angular Siendo S=# de grados sexagesimales C=# de grados centesimales S C 9 10=   → S=9K C=10K

(29)

Análisis y procedimiento

Piden C Del dato C2+S2=2C3 – 5SC2+4S2C – S3 – 2SC Ordenamos C SC S C S C S C S P C 2+2 + 2=2

( )

3 5

( )

2 +4 2( ) 3 ( )  (I)

P(C) es un polinomio que se anula para C=S.

Factorizamos P(C) por divisores binómicos

2 – 5S +4S2 – S3 2S – 3S2 S3 2 – 3S S2 0 C=S Luego P(C)=(C – S)(C – S)(2C – S) En (I) (C+S)2=(C – S)2(2C – S) → − = + −    2C S C S 2 C S → ( ) − =    2 10 9 19 2 K K K K K=361 11 Como C=10K Entonces C=3610 11

Respuesta

3610 11

A

lternAtivA

C

Referencias

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