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En esta sesión se analiza, mediante el método Crank-Nicolson de diferencias finitas, la evolución temporal del nivel freático sobre una geometría de acuífero libre alterada por la excavación de una zanja. Las condiciones de contorno impuestas son de tipo Dirichlet (nivel piezométrico prescrito en el contorno) y la permeabilidad del terreno se considera variable respecto al espacio. Uno de los objetivos principales es que el estudiante sea capaz de comprender las diferencias en el tratamiento numérico existentes entre considerar un coeficiente difusivo constante (sesión práctica 4) o variable.
5
EDP PARABÓLICA CON MÉTODO CN VARIABLE
Flujo en acuífero libre
1. Objetivo
En este trabajo se desea estudiar el efecto que produce una excavación sobre un terreno saturado no homogéneo de permeabilidades Ki i∈
{
1,2,3,...,p}
conocidas. Para ello se plantea realizar un análisis de flujo en régimen no estacionario (transitorio) bajo una geometría de acuífero libre, tal y como muestra la figura 1.Figura 1. Esquema generalizado de la geometría de una excavación en acuífero libre
La solución de un problema de flujo reside en encontrar el nivel piezométrico h
y, en consecuencia, el caudal Q filtrado en la zanja debido al gradiente de presión de agua:
γw P z h= +
donde z representa la cota que tiene un punto del suelo, expresada en unidades de longitud, sobre un nivel de referencia; P es la presión de agua W expresada en unidades de fuerza por unidad de longitud; γ es el peso específico del agua (fuerza por unidad de superficie) y la relación PW γ representa la presión expresada en forma de columna de agua que tiene por encima dicho punto del suelo (véase figuras 2 y 3).
Figura 2. Representación del nivel piezométrico con geometría de acuífero confinado
Suelo no saturado
Suelo saturado
Nivel freático original Superficie Excavación de zanja
Nivel freático alterado
por la zanja Nivel freático en la zanja
Nivel de referencia
z
γ W P
Punto del suelo saturado
Nivel freático Terreno impermeable
z
γ W P
h
Figura 3. Representación del nivel piezométrico con geometría de acuífero libre
Por tanto el nivel piezométrico tiene unidades de longitud, y en este caso, debido a que no se tiene confinamiento, es igual al nivel freático (cota del nivel de agua que separa físicamente la parte saturada del terreno de la que no lo está), según muestra la figura 3.
Consideración general: hipótesis de Dupuit
El movimiento del agua con una geometría de acuífero libre, sin confinamiento, es por lo general bidimensional, es decir, ésta se desplaza a través del suelo tanto horizontal como verticalmente (véase figura 4).
Figura 4. Flujo de agua en una geometría de acuífero libre
Sin embargo, y bajo condiciones de líneas equipotenciales de nivel lo más verticales posible, la llamada hipótesis de Dupuit asume flujo sólo horizontal y por tanto reduce el problema a uno estrictamente unidimensional. De este modo se puede considerar h(x,y)=h(x) y Q(x,y)=Q(x).
2. Planteamiento físico: zanja en terreno saturado y heterogéneo
Hipótesis básicas del problema:
Nivel de referencia Punto del suelo saturado
Nivel freático Suelo no saturado Suelo saturado y x Suelo no saturado Suelo saturado Superficie Línea y dirección de flujo Dirección de avance del agua
Nivel freático final Nivel freático
- Se asume la hipótesis de Dupuit.
- Suelo heterogéneo, isótropo y saturado.
- Análisis transitorio. Por tanto, tanto el nivel piezométrico como el caudal dependen también del tiempo: h(x)=h(x,t) y Q(x)=Q(x,t).
El movimiento del agua sobre el terreno viene caracterizado por la ley de flujo de Darcy, que muestra cómo ésta fluye de mayor a menor nivel piezométrico (considerando la permeabilidad K no constante, es decir, K(x)):
) , ( ) ( ) , (x t K x h x t q =− ⋅∇ (1)
El problema general de flujo difusivo (sin considerar términos de reacción ni convección) en una geometría de acuífero libre está gobernado por la siguiente ecuación en derivadas parciales:
r t x q t t x h Ss =−∇⋅ + ∂ ∂ ) , ( ) , ( (2)
donde los parámetros del terreno que intervienen son:
- Recarga r (constante): es el valor, expresado en unidades de volumen por unidad de tiempo, del caudal de agua que penetra al interior del acuífero producto de procesos activos en superficie. Depende, mayoritariamente, de la capacidad de infiltración del terreno.
- Coeficiente de almacenamiento específico Ss (constante): hace referencia al volumen de agua liberado por una unidad de volumen de acuífero cuando se desciende una unidad el nivel piezométrico. Está expresado en unidades del inverso de la longitud y los valores típicos que se adoptan en acuíferos libres de espesor unitario varían entre 0.3 m-1 y 0.01 m-1.
Aplicando la ley de Darcy (1) a la ecuación (2) se obtiene:
(
K x h x t)
r t t x h Ss =∇⋅ ⋅∇ + ∂ ∂ ) , ( ) ( ) , ( (3)Dado que el dominio espacial de la variable de estado h( tx, ) es unidimensional, el desarrollo del término de la divergencia ∇⋅
(
K(x)⋅∇h(x,t))
en la expresión(3) se simplifica resultando la siguiente ecuación en derivadas parciales (EDP) parabólica 1D, que gobierna el problema planteado en esta sesión:
r x t x h x K x t t x h Ss + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ( , ) ) ( ) , ( (4)
Figura 5. Variables y parámetros de un esquema de excavación en terreno saturado y
heterogéneo donde se han representado dos curvas de nivel piezométrico para dos instantes de tiempo (t1 < t2)
cuya solución requiere dos condiciones de contorno que, para este caso, se han propuesto de tipo Dirichlet (valor de la variable preescrito): h(x=0,t)=h0 y
L
h t L x
h( = , )= . Dichas condiciones de contorno y el dominio de resolución,
[ ]
Lx∈ 0, , están representados en la figura 5. Además, debido al carácter transitorio del problema, se necesita una condición inicial que haga referencia al estado del nivel piezométrico antes de ejecutar la excavación. En este caso, el nivel original es h (véase figuras 1 y 5) y, por tanto, la condición inicial es 0
0 ) 0 , (x t h h = = . 3. Problema numérico
Se desea resolver mediante un esquema de diferencias finitas la siguiente EDP parabólica unidimensional con coeficiente (permeabilidad K(x)>0) no constante pero invariable en el tiempo y condiciones de contorno de tipo Dirichlet:
L
Condiciones de contorno tipo Dirichlet: 0 ) , 0 (x t h h = = L h t L x h( = , )= 1
k
k
2k
3k
p Nivel de referencia y x 0 h L h)
,
(
x
t
2h
)
,
(
x
t
1h
0 = i i=1 i=2 i=3 i=M i= M +1 L a x= x=b
[ ]
[ ]
0 0 ) 0 , ( ) , ( ) , 0 ( , 0 , 0 ) , ( ) ( ) , ( h t x h h t L x h h t x h T t L x r x t x h x K x t t x h S L s = = = = = = ∈ ∀ ∈ ∀ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ (5)El objetivo es aproximar la ecuación en derivadas parciales (5) a un problema discreto cuya resolución conduce a un sistema lineal de ecuaciones en cada paso de tiempo. Para ello es necesario definir una discretización espacial (dirección x) y temporal (tiempo t), tal y como se muestra en la figura 6:
N n t n t t M i x i x x n i ,..., 1 , 0 1 ,..., 1 , 0 0 0 = ∆ + = + = ∆ + = (6)
Figura 6. Discretización del problema en la dirección x
A fin de resolver numéricamente la ecuación (5) se impone que ésta se verifique en un punto x , i 1=1,...,M, y en un instante tn+1/2, n=1,...,N−1, de la discretización (6). Para ello, de acuerdo con la figura 7, se denota el valor de la función ( , n+1/2) i t x h como n+1/2 i h , aproximándola por n+1/2 i H . r x t x h x K x t t x h S n i n i s + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + +1/2 2 2 2 / 1 ) , ( ) ( ) , ( (7)
Figura 7. Discretización del problema parabólico 1D planteado Término difusivo Término temporal 1 − i x xi xi+1 n t 2 / 1 + n t 1 + n t 2 / 1 + n i
H
2 t ∆ x ∆ t ∆ 2 t ∆La derivada temporal de la ecuación (7) se aproxima mediante un esquema de diferencias finitas centrado con paso ∆t/2 (ver detalles en el apéndice A):
) ( ) , ( 1 2 2 / 1 t t h h t t x h n i n i n i ∆ Ο + ∆ − = ∂ ∂ + + (8)
Asimismo, para aproximar el término difusivo (derivada espacial, no temporal) en un instante tn+1/2 se interpola linealmente entre los instantes de tiempo t y n tn+1, obteniendo la expresión (ver detalles en el apéndice A):
) ( ) , ( ) ( 2 1 ) , ( ) ( 2 1 ) , ( ) ( 2 1 2 / 1 t x t x h x K x x t x h x K x x t x h x K x n i n i n i ∆ Ο + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + + (9)
de tal forma que se debe hallar ahora una discretización espacial para el término difusivo en los instantes de tiempo t y n tn+1. Como la permeabilidad no es constante, se define la siguiente función:
x t x h x K t x F ∂ ∂ = ( ) ( , ) ) , ( (10) tal que ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ x t x h x K x x t x F ( , ) ) ( ) , ( (11)
Nótese que la derivada espacial (11) de dicha función es el término difusivo. Aplicando una aproximación centrada de segundo orden a dicha derivada con un paso ∆x/2 (véase figura 8) y en un instante de tiempo genérico t , se u
obtiene (ver detalles en el apéndice B):
) ( ) , ( ) ( ) , ( 1/2 1/2 x2 x F F x t x h x K x x t x F u i u i u i u i ∆ Ο + ∆ − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + − (12)
u i i u i u i i u i x t x h K F x t x h K F 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 ) , ( ) , ( − − − + + + ∂ ∂ = ∂ ∂ = (13)
Figura 8. Discretización espacial centrada en i con paso ∆x/2
De nuevo, se aproximan a las derivadas espaciales de h( tx, ) mostradas en (13) mediante un esquema centrado de segundo orden con un paso ∆x/2 (véase apéndice B y figura 9), obteniéndose:
) ( ) , ( ) ( ) , ( 2 1 2 / 1 2 1 2 / 1 x x h h x t x h x x h h x t x h u i u i u i u i u i u i ∆ Ο + ∆ − = ∂ ∂ ∆ Ο + ∆ − = ∂ ∂ − − + + (14)
Figura 9. Discretización espacial centrada en i±1/2 con paso ∆x/2
Substituyendo finalmente las expresiones (14) y (13) en (12) se obtiene la discretización espacial de segundo orden para el término difusivo en los instantes de tiempo t y n tn+1:
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
( ) 1 ) , ( ) ( ) ( 1 ) , ( ) ( 2 1 1 1 2 / 1 1 1 1 2 / 1 2 1 2 1 2 / 1 1 2 / 1 2 x h h K h h K x x t x h x K x x h h K h h K x x t x h x K x n i n i i n i n i i n i n i n i i n i n i i n i ∆ Ο + − ⋅ − − ⋅ ∆ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ Ο + − ⋅ − − ⋅ ∆ = ∂ ∂ ∂ ∂ + − + − + + + + + − − + + (15) 1 − i i−1/2 i i+1/2 n=1,...,N−2i=M+1 2 x ∆ 2 x ∆ 1 − i i−1/2 i i+1/2 i+1 2 x ∆ 2 x ∆Por tanto ahora para obtener la EDP (5) discretizada tan sólo hay que sustituir las expresiones (15) y (8) en la ecuación (7), teniendo en cuenta la interpolación lineal del término difusivo (ecuación (9)). Sin embargo, para facilitar la lectura de la expresión resultante, se define el siguiente operador N:
(
)
(
u)
i u i i u i u i i u i K h h K h h h N( )≡ +1/2⋅ +1− − −1/2 ⋅ − −1 (16)resultando así el siguiente problema discreto en diferencias finitas:
1 ,..., 0 0 0 0 ,..., 1 ) , ( ) ( 2 ) ( 2 0 0 1 0 0 2 2 1 1 + = = ≥ = ≥ = > = ∆ ∆ Ο + ∆ + + = − + + + M i h h n h h n h h n M i x t r S t h N S R h N S R h h i L n M n s n i s n i s n i n i (17) donde se define 2 x t R ∆ ∆ = (18)
Nótese que la ecuación (17) cumple exactamente la EDP (5) ya que involucra el término del error. Eliminando dicho término se obtiene la aproximación discreta deseada: 1 ,..., 0 0 0 0 ,..., 1 ) ( 2 ) ( 2 0 0 1 0 0 1 1 + = = ≥ = ≥ = > = ∆ + ⋅ + = ⋅ − + + + M i h H n h H n h H n M i r S t H N S R H H N S R H i L n M n s n i s n i n i s n i (19)
1 ,..., 0 0 0 0 ,..., 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 + = = ≥ = ≥ = > = ∆ + + + = − + − + + − + + + + − M i h H n h H n h H n M i r S t H c H H q H c H H q i L n M n s n i i n i i n i i n i i n i i n i i α β (20)
donde las expresiones de los coeficientes qi,ci,αi y βi son:
) ( 2 1 ) ( 2 1 2 2 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 − + − + + − + − = + + = = = i i s i i i s i i s i i s i K K S R K K S R K S R c K S R q β α (21)
La ecuación (20) se puede representar como un sistema lineal de ecuaciones. Dicho sistema, escrito en forma matricial, es:
G H B H A⋅ n 1+ = ⋅ n + (22) Obsérvese que ∈Μ
(
×)
1 ∈Μ(
×1)
ℜ + ℜ M M Hn ,Hn,G M B A, , donde el vector 1 + nH hace referencia al nivel piezométrico discretizado en el instante de tiempo 1
+
n y el vector H al nivel discretizado en el instante n n. Obsérvese que dichos
vectores contienen los valores del nivel piezométrico en los M puntos interiores de la discretización. El vector G incluye el término de la recarga y las condiciones de contorno de tipo Dirichlet:
⋅ ⋅ + ⋅ ∆ = = = − + + − + + + L M s n M n M n n n n M n M n n n h c h q r S t H H H H H H H H 2 0 0 2 1 1 1 1 1 0 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 M M M M H G H (23)
Las matrices A, son, dada la discretización de la figura 7 y las expresiones B
(21), tridiagonales y simétricas. Además la matriz A es diagonalmente dominante:
= − − − − − − = − − − − − − M M M M M M M M M M q c q c q c q c q c q c β β β β α α α α 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 O O B A (24)
De esta manera la solución de la EDP (5) equivale a resolver el sistema lineal de ecuaciones (22) para cada ∆t hasta un tiempo final T escogido.
4. Introducción al código
Se ha elaborado un programa que contiene los siguientes tres ficheros de extensión MATLAB (*.m):
• Zanja
• diferencias_finitas_CN • coef
Zanja: incluye la lectura de los datos geométricos y características del terreno por pantalla incluidas las condiciones de contorno y la discretización del dominio espacial y temporal. Además realiza la gráfica del resultado y calcula, por diferencias finitas, el valor aproximado del caudal en la zanja una vez resuelto el sistema (22).
coef: este fichero se encarga de elaborar un vector que contiene el valor del coeficiente no constante (en este caso la permeabilidad) del término difusivo de la EDP (5) en cada nodo i , i±1/2 de la discretización espacial, calculados a partir de los puntos de cambio del coeficiente (leídos por pantalla en Zanja). Los valores para los puntos intermedios i±1/2 sólo son calculados en los nodos interiores, es decir, para i=1,...,M . El vector creado es utilizado para calcular los coeficientes de las ecuaciones (21).
diferencias_finitas_CN: es la función encargada de resolver mediante una aproximación por el método de Crank-Nicolson el problema planteado, es decir, resolver el sistema de ecuaciones (22), creando previamente las matrices
A y B mediante la instrucción spdiags (útil para crear matrices definidas por
diagonales) y utilizando la descomposición de A en triangular inferior )(L y triangular superior (U . Recuérdese que, debido a que la permeabilidad ) depende de la posición espacial, los coeficientes de las matrices no son constantes. Por tanto cada una de sus tres diagonales se construyen a partir de las definiciones (21) y del vector obtenido a través de la función coef.
Para utilizar correctamente las condiciones de contorno de tipo Dirichlet se almacena la solución para cada paso de tiempo en una columna de una matriz. Es en esta matriz donde, para respetar las condiciones de contorno y la condición inicial, se asignan previamente los valores preescritos del nivel piezométrico: la primera fila corresponde al valor de la condición de contorno en el extremo inicial del dominio, la última fila al valor de la condición de contorno en el extremo final, y la primera columna al valor de la condición inicial (véase figura 10).
Figura 10. Estructura de la matriz solución 5. Guía de la sesión
Se plantea el problema de flujo durante la fase de excavación de un parking de grandes dimensiones, diseñado para que sea capaz de proporcionar el servicio necesario al aeropuerto al que está vinculado. Para el estudio de dicho problema considérese un terreno como el mostrado en el corte geológico N-S de la figura 11.
Figura 11. Geología de la zona a considerar
Al tratarse de un espacio reservado al tráfico aéreo, la superficie del terreno se puede considerar prácticamente horizontal. En la figura 11 se muestra el corte de un pliegue tumbado, de tipo sinforme y con serie estratigráfica normal (se trata, por tanto, de un sinclinal) cuyo flanco sur presenta en superficie un
0 2 ,..., 1 − = = N i n 1 2 ,..., 1 − = + = N i M n Nodos interiores M i N n=1,..., −1 =1,..., Condición inicial Condición de contorno en x=0 Condición de contorno en x= L
1 m
Superficie Nivel freático original Nivel freático alterado
2
K
K
3K
4 Calizas Arcillas Conglomerados 150 m 70 m 110 m 120 m 100 m 410 mbuzamiento casi vertical. Considérese igualmente que el corte geológico mostrado corresponde a un pliegue cilíndrico que ha sido representado siguiendo un eje de dirección E-W, lo que a la práctica implica que la estructura se mantiene sin grandes cambios en dicha dirección, asumiendo así que el nivel freático alterado no variará y, por tanto, que un análisis 1D del problema resulta suficiente para un cálculo preliminar.
Por otro lado, el terreno está compuesto por cuatro capas de distinta permeabilidad: unos conglomerados de matriz arenosa que en profundidad pasan a matriz margosa, una tercera potencia de calizas y una última capa de arcilla. La permeabilidad del terreno está indicada en la tabla 1.
Material Permeabilidad K (cm/s)
Conglomerados 10-1
Conglomerados margosos 5·10-2
Caliza 5·10-3
Arcilla 10-3
Tabla 1. Valores estimados de la permeabilidad
Se necesita ejecutar una excavación de 7 metros de profundidad que inicialmente se ha previsto realizar sobre el terreno arcilloso que aflora en el extremo sur de la figura 10. Suponer, además, que el radio de influencia de la excavación sobre el nivel freático original, situado a 1 m de profundidad, no será superior a 410 m hasta pasado mínimo dos años. Bajo estos supuestos, preocupa el caudal que se pueda extraer de la excavación si se asume que el nivel de agua se conserva siempre, mediante bombas, en la base de la misma (es decir, la zanja no se anega, véase figura 12).
Sesión dirigida: 1
K
0 = L h Conglomerados margosos6
0=
h
x h Figura 12 Geometría propuesta1. El primer paso es establecer la geometría del problema propuesto, indicando así el valor tanto de las condiciones de contorno como de los parámetros geométricos del terreno (véase figura 12).
2. Ejecutar el programa principal Zanja con los datos geométricos y parámetros del terreno correspondientes a la figura 11, con un coeficiente de almacenamiento específico de 0.1 m-1 y sin considerar recarga. Realizar un análisis temporal de 3 meses utilizando una discretización en el espacio de 50 intervalos y una discretización en el tiempo de 500, obteniendo la curva solución que muestra la figura 13.
Figura 13. Nivel piezométrico obtenido en el paso 2
Obsérvese que el caudal aproximado que se filtra a la zanja tras el período de tiempo considerado es de 1.2·10-6 m3/s. Obsérvese también que, debido a la presencia de arcillas poco permeables cerca de la excavación, el nivel piezométrico se mantiene en su cota inicial hasta cerca de los 300 m.
3. Ejecutar de nuevo el paso 2, utilizando las mismas discretizaciones pero considerando un análisis temporal de uno y dos años (figuras 14 y 15). Nótese como la alteración del nivel piezométrico causada por la excavación sigue sin estabilizarse incluso después de 2 años (debido, de nuevo, a la baja permeabilidad de las arcillas excavadas). Obsérvese igualmente que en las figuras 14 y 15 se empieza a notar, de un modo más evidente, los puntos de cambio de material. ¿Responden a algún sentido físico los cambios de pendiente en la solución obtenida? Recuérdese que el nivel piezométrico se puede definir como la energía por unidad de peso que tiene, en este caso, un punto del suelo saturado.
Figura 14. Nivel piezométrico obtenido en el paso 3 para T =1 año
Figura 15. Nivel piezométrico obtenido en el paso 3 para T =2 años
4. Ejecutar nuevamente el paso 3 para T =1 año pero esta vez con una discretización espacial de 500 intervalos (véase figura 16). Nótese que aunque aparentemente la solución dibujada parece correcta, el mínimo caudal en la zanja que se muestra en pantalla tiene valor negativo. Dicho valor viene dado por el hecho de tener un nivel piezométrico negativo (por debajo de la cota de la zanja, es decir, por debajo de la cota cero) en el nodo M para algún instante de tiempo. Por ejemplo, comprobar que H(xM,t0+ t∆ )=−1.5689 m.
Tal variación de nivel piezométrico se puede interpretar como una oscilación de la solución, debido a que la condición de no oscilación
2 / 1 ) / ( mod = K S ⋅R≤
R i s no se cumple por mucha diferencia (comprobar que, por ejemplo, Rmod =(K3/Ss)⋅R=46.2582).
Figura 16. Nivel piezométrico obtenido en el paso 4 para T =1 año
5. Comprobar, ejecutando el programa bajo los mismos supuestos que el paso 4, que las oscilaciones aparecen en la curva solución si se escogen 500 intervalos en el espacio y 50 intervalos en el tiempo (ver figura 17).
v
6. Ejercicios propuestos
Se propone la realización de los siguientes ejercicios:
1. ¿Cómo sería la curva solución si la excavación se realizase sobre el terreno conglomerático no margoso (véase el margen izquierdo de la figura 12)? Analizar dicho caso utilizando los mismos datos que en el paso 2 del guión de la sesión y comparar el caudal resultante en la zanja a los tres meses de excavación. En vista del resultado, ¿qué terreno sería más recomendable para la obra: las arcillas o los conglomerados?
2. Nótese que en el problema planteado el nivel piezométrico en el extremo final del dominio pasa súbitamente de valer h (condición inicial) a valer 0
L
h (condición de contorno final). Dado que el nivel se presupone fijo en la base de la zanja, este salto de valores indica que la excavación se realiza instantáneamente. Una posible manera de obtener caudales más realistas y de reducir las oscilaciones numéricas observadas cuando
2 / 1 mod >>
R sería hacer más continua la condición de contorno final definiendo una velocidad de excavación.
Por tanto, se pide modificar ligeramente el programa principal Zanja a Zanja_CondicionVariable para realizar el mismo análisis que en el paso 5 del guión de la sesión, pero esta vez suponiendo que el terreno se excava de manera lineal con velocidad v hasta un tiempo final de excavación Tmax (véase figura 18).
Figura 18. Condición de contorno con ley lineal
Obsérvese que hL =0 cuando Tmax <T debido a que el plano de referencia escogido (ver figura 12) se encuentra en la base de la excavación. Para este ejercicio en concreto, considerar Tmax =T y
L h t 0 h max T T
1 m 2
K
3K
Calizas Conglomerados 390 m 110 m 500 mcomparar la animación obtenida con la del punto 5 del guión. ¿Cuál es la principal diferencia en la curva solución?
Por otro lado, ¿cuál ha sido la velocidad de excavación necesaria? ¿Es realista? De no serlo, probar una que sí se considere más realista (por ejemplo, v=1 m/día) y comentar la animación del resultado.
3. Debido a la construcción de una torre de control en las proximidades, supóngase que la excavación del parking tiene que ser desplazada hasta la interfase entre los conglomerados margosos y las calizas. Por tanto, uno de los dos costados de la zanja estará expuesto a un conjunto de materiales más permeables que el otro. En estas circunstancias, preocupa conocer el caudal de agua cuando llegue el momento de ejecutar la cimentación de la obra, prevista para tres semanas después de iniciarse la excavación (ver figura 19). Obsérvese que el lado más permeable es el que prioritaramente debe ser analizado.
Figura 19. Modificación de la geometría del problema
Realizar dicho análisis con 100 pasos en el espacio y 500 en el tiempo utilizando el programa Zanja. Nótese que debido a la permeabilidad del terreno será necesario ampliar el domino suponiendo que los conglomerados se extienden más allá del extremo norte de la figura 10. Supóngase entonces que el dominio es L=500 m y hallar el caudal de agua en el momento de cimentar.
4. Con objetivo de hacer más realistas los resultados del ejercicio 3, se plantea resolver de nuevo el mismo análisis pero definiendo una ley de excavación similar a la expuesta en el ejercicio 2. Sin embargo, como realmente nunca se consigue excavar al mismo ritmo todos los días, se proponen dos posibles condiciones de contorno final.
La primera de ellas consiste en excavar más rápido al principio y más lento al final, pasado progresivamente de un estado a otro (véase la figura 20). 1
K
0 = L h Conglomerados margosos6
0=
h
x hmax
T T
Figura 20. Condición de contorno con ley exponencial
Obsérvese que la forma de la curva puede modelarse como una función exponencial: ∈ ≤ + − ⋅ = ] , ( 0 ) exp( max max T T t si T t si B vt A hL (25)
donde las constantes A y B están definidas por
A h B vT h A − = − − = 0 max 0 ) exp( 1 (26)
En este caso la velocidad (no constante) de excavación está controlada, fijado un tiempo máximo de excavación Tmax, por el parámetro v. Una aproximación a dicho parámetro puede ser, por ejemplo, la velocidad lineal (constante) de excavación v≡vL =h0/ Tmax.
La segunda condición de contorno propuesta responde a una idea contraria a la anterior. En este caso se desea excavar más lento al principio y más rápido al final, pasando también progresivamente de un estado al otro (ver figura 21).
L
h
t 0
max T T a T max T ε
Figura 21. Condición de contorno con ley asintótica
Observar cómo ahora la curva puede modelarse como una función asintótica cuya asíntota vertical se encuentra en t =Ta =Tmax(1+ε):
∈ ≤ + − = ] , ( 0 max max T T t si T t si B t T A hL a (27)
donde las constantes A y B están definidas por
max 0 0 ) ( T h T B B h T A a a = − = (28)
En este caso la velocidad (no constante) de excavación está controlada por la distancia que hay entre la asíntota y el valor de Tmax, medida a partir del parámetro ε >0.
Por tanto se pide realizar de nuevo el ejercicio 3 utilizando las leyes de excavación (25) y (27). Utilizar los valores de v y ε propuestos en la tabla 2 y obtener el caudal en la zanja en el momento de colocar la cimentación suponiendo que la excavación se terminará una semana antes (Tmax =2 semanas). ¿Cómo es el valor comparado con el obtenido al suponer que la zanja se construye instantáneamente? Confiando en los resultados, ¿qué es más recomendable, excavar rápido al principio o hacerlo al final? L h t 0 h
2
K
impK
impr
Tubo de Impermeabilización Terreno impermeabilizado cx
v ε (%) Caso 1 0.5⋅vL 5 Caso 2 vL 20 Caso 3 5⋅vL 50 Tabla 2. Parámetros propuestos5. Finalmente, por problemas técnicos, se ha decidido usar una ley de excavación asintótica. Sin embargo preocupa saber qué forma debería tener dicha ley para obtener un caudal crítico a la hora de cimentar menor o igual a 2.6·10-5 m3/s.
Por tanto, se pide resolver la siguiente ecuación no lineal en términos del parámetro ε : 0 10 6 . 2 ) ( ) (ε =Q ε − ⋅ −5 = f (29)
donde el caudal Q(ε) depende del nivel piezométrico a través de la ley de Darcy (1). Nótese entonces que para evaluar la función f(ε) se tiene que resolver la EDP (5) tal y como se ha hecho en los ejercicios anteriores. En este caso, utilizar las mismas discretizaciones y el mismo dominio que el propuesto en el ejercicio 3. Para hallar el cero de funciones definido en (29), utilícese el algoritmo del método de la secante con unas tolerancias de 10-5.
Una vez obtenido el resultado, suponer que los problemas técnicos no permiten excavar lo suficientemente rápido los primeros días de obra, limitando el análisis al caso ε ≤10 (%). ¿Se cumple así la condición de caudal crítico?
6. Visto el resultado del ejercicio anterior, se plantea la posibilidad de impermeabilizar una parte de los conglomerados margosos mediante la técnica de Jet Grouting. Dicha técnica permite crear una columna cilíndrica con radio r de un material de baja permeabilidad imp Kimp (véase figura 22).
Figura 22. Impermeabilización con Jet Grouting
Conglomerados margosos
x h
Suponiendo que la ley de excavación sea asintótica, excavando al principio lo más rápido que los problemas técnicos permitan (nótese entonces que ε =10), se desea encontrar el radio de impermeabilización necesario para obtener ahora un caudal crítico de 2.1·10-5 m3/s.
Por tanto, se pide resolver la siguiente ecuación no lineal en función del radio r : imp 0 10 6 . 2 ) ( ) ( = − ⋅ −5 = imp imp Q r r f (30)
Nótese que para resolver numéricamente el problema (30) se puede relacionar el radio de impermeabilización con la coordenada x de c cambio de permeabilidad entre los conglomerados margosos y la columna de Jet Grouting, de acuerdo con la expresión
) ( 2 1 c imp L x r = − (31)
Substituyendo (31) en (30) el problema pasa ahora por resolver el siguiente cero de funciones:
0 ) ( ) ( 2 1 ≡ = ⋅ − c c f x x L f (32)
La ecuación no lineal (32) se puede resolver de manera similar a la ecuación (29) usando el algoritmo del método de la secante. Sin embargo, nótese que este método necesita dos aproximaciones iniciales
k c x y k−1 c x (o bien k imp r y k−1 imp
r ) tal que la nueva aproximación es
) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 − − − + − − = k c k c k c k c k c k c k c x f x f x f x x f x x (33)
Nótese que si se utiliza el mismo dominio (L=500 m) y las mismas discretizaciones que en el ejercicio anterior (100 pasos en el espacio y 500 en el tiempo) se estará colocando un nodo cada 5 metros de terreno. Por tanto, debido a que el radio de impermeabilización no debería ser muy elevado, es bastante probable que en algún momento
del proceso iterativo el denominador de la expresión (33) tome valor nulo y, por consiguiente, los errores tiendan a infinito.
Para subsanar este problema se recomienda reducir el dominio a L=300 metros (nótese que entonces el cambio de permeabilidad entre K1 y K2
se produce en el punto x=190 m), tomar una discretización de 1000 pasos en el espacio y, para evitar posibles oscilaciones, 5000 en el tiempo. Usar en este caso una tolerancia para la evaluación de la función de 10-5 y para el error relativo de 10-3.
Suponiendo que la columna generada tiene una permeabilidad 10
/ 2 K
Apéndice A
Figura A1. Discretización del problema parabólico 1D planteado
En este apartado se deduce la expresión para aproximar numéricamente el valor de la derivada primera de una función f( tx, ) respecto al tiempo en un instante tn+θ∆t (0≤θ ≤1), situado entre los instantes t y n tn+1 (ver figura A1). Por tanto, el objetivo es hallar una expresión que permita expresar el valor de
θ + ∂ ∂ n i t f
en función de los valores de f( tx, ) en los puntos de la discretización ( , n)
i t x y ) , ( n+1 i t
x . Nótese que dichos valores se pueden expresar como
) , ( ) ) 1 ( , ( 1 t t x f f t t x f f n i n i n i n i ∆ ⋅ − = ∆ ⋅ − + = + + + θ θ θ θ (A1)
Es importante observar que para θ =1/2 se aproxima la derivada primera respecto al tiempo en el instante tn+1/2 =tn +∆t/2, que es precisamente la aproximación que interesa obtener en la expresión (8) de este guión.
De modo que aplicando una aproximación de Taylor a (A1) centrada en el punto ( , n+θ) i t x se obtiene ) ( 2 ) ) 1 (( ) 1 ( ! ) ) 1 (( 3 2 2 2 0 1 t t f t t f t f t f k t f n i n i n i m k n i k k k n i ∆ Ο + ∂ ∂ ⋅ ∆ ⋅ − + + ∂ ∂ ⋅ ∆ ⋅ − + = ∂ ∂ ⋅ ∆ ⋅ − = + + + = + +
∑
θ θ θ θ θ θ θ (A2) 1 − i x xi xi+1 n t θ + n t 1 + n t θ + n if
t ∆ θ t ∆ − ) 1 ( θ x ∆ t ∆) ( 2 ) ( ! ) ( 3 2 2 2 0 t t f t t f t f t f k t f n i n i n i m k n i k k k n i ∂ +Ο ∆ ∂ ⋅ ∆ ⋅ + ∂ ∂ ⋅ ∆ ⋅ − = ∂ ∂ ⋅ ∆ ⋅ − = + + + = +
∑
θ θ θ θ θ θ θ (A3)Restando (A2) y (A3) se llega a la expresión
[
]
( ) 6 1 3 3 2 ) 2 1 ( 4 3 3 3 2 2 2 2 1 t t f t t f t t f t f f n i n i n i n i n i ∆ Ο + ∂ ∂ ⋅ ∆ ⋅ + − + ∂ ∂ ⋅ ∆ ⋅ − + ∂ ∂ ⋅ ∆ = − + + + + θ θ θ θ θ θ (A4)de modo que, despejando de (A4) el término de la primera derivada, se obtiene
) ( 2 ) 2 1 ( 2 2 2 1 t t f t t f f t f n i n i n i n i n i n i ∆ Ο + ∂ ∂ ⋅ ∆ ⋅ − = − ∆ − = ∂ ∂ + + + + + θ θ θ θ θ τ τ (A5)
Obsérvese cómo el orden de la aproximación (A5) es cuadrático si se escoge 2
/ 1 =
θ , mientras que para cualquier otro valor de θ dicho orden será lineal. Nótese por tanto que para θ =1/2 se obtiene la aproximación por el método de Crank-Nicolson, ) ( 2 1 2 / 1 t t f f t f n i n i n i ∆ Ο + ∆ − = ∂ ∂ + + (A6)
Por otro lado, la interpolación temporal del término difusivo (véase ecuación (9) de el guión) también se puede discretizar a partir de las ecuaciones (A2) y (A3). Concretamente, multiplicando la ecuación (A2) por θ , la ecuación (A3) por
) 1
[
]
[
]
[
]
[
]
( ) 6 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 4 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 1 t t f t t f t t f t f f f n i n i n i n i n i n i ∆ Ο + ∂ ∂ ∆ ⋅ − − − + + ∂ ∂ ∆ ⋅ − + − + + ∂ ∂ ∆ ⋅ − − − + − + = − + ⋅ + + + + + θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ (A7) resultando ) ( ) 1 ( ) ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 3 2 2 2 1 t f f t t f t f f f n i n i n i n i n i n i ∆ Ο + − + ⋅ = = ∆ Ο + ∂ ∂ ∆ ⋅ − − − + ⋅ = + + + + θ θ θ θ θ θ θ θ (A8)Nótese cómo el orden de la interpolación lineal (A8) es cuadrático. Dicha interpolación, para el método de Crank-Nicolson
(
θ =1/2)
, resulta de la forma) ( 2 1 2 1 1 2 2 / 1 f f t f n i n i n i = + +Ο ∆ + + (A9)
Apéndice B
En este apéndice se deduce una aproximación centrada a la derivada primera respecto al espacio de una función f( tx, ).
Nótese que al tratarse de una derivada espacial el tiempo no influye en la aproximación pues permanece fijo. Por tanto, considerando un instante de tiempo genérico t , el objetivo es hallar una expresión que permita expresar el u
valor de u i x f ∂ ∂
en función de los valores de f( tx, ) en los puntos de la discretización ( 1, u)
i t x+ y ) , ( 1 u i t
x− . Obsérvese que dichos valores se pueden expresar como
) , ( ) , ( 1 1 u i u i u i u i t x x f f t x x f f ∆ − = ∆ + = − + (B1)
Por tanto, desarrollando con una serie de Taylor centrada en ( , u)
i t x las expresiones (B1), se obtiene ) ( 2 ! 3 2 2 2 0 1 x x f x x f x f x f k x f u i u i n i m k u i k k k u i ∂ +Ο ∆ ∂ ⋅ ∆ + ∂ ∂ ⋅ ∆ + = ∂ ∂ ⋅ ∆ =
∑
= + (B2) ) ( 2 ! ) ( 3 2 2 2 0 1 x x f x x f x f x f k x f u i u i u i m k n i k k k u i ∂ +Ο ∆ ∂ ⋅ ∆ + ∂ ∂ ⋅ ∆ − = ∂ ∂ ⋅ ∆ − =∑
= − (B3)Para obtener una aproximación centrada de segundo orden de la primera derivada espacial de f( tx, ) se combinan las expresiones de (B2) y (B3) como sigue ) ( 3 2 5 3 3 3 1 1 x x f x x f x f f u i u i u i u i ∂ +Ο ∆ ∂ ⋅ ∆ + ∂ ∂ ⋅ ∆ = − − + (B4)
) ( 2 ) ( 6 2 2 1 1 4 3 3 2 1 1 x x f f x x f x x f f x f u i u i u i u i u i u i ∆ Ο + ∆ − = ∆ Ο + ∂ ∂ ⋅ ∆ − ∆ − = ∂ ∂ + − + − (B5)
Por otra parte, se ha visto que la aproximación del término difusivo (primera derivada espacial) se realiza en dos pasos. El primero de ellos consiste en aproximar la primera derivada de una función mediante un incremento ∆x/2 (no ∆x) centrada en x . Por tanto la consecuente aproximación de segundo i orden resulta de sustituir dicho incremento en la ecuación (B5), sabiendo que
) , 2 / ( 2 / 1 n i n i f x x t f+ = +∆ y que 1/2 ( /2, n) i n i f x x t f− = −∆ , de modo que ) ( ) ( 24 2 2 / 1 2 / 1 4 3 3 2 2 / 1 2 / 1 x x f f x x f x x f f x f u i u i u i u i u i u i ∆ Ο + ∆ − = ∆ Ο + ∂ ∂ ⋅ ∆ − ∆ − = ∂ ∂ + − + − (B6)
En el segundo paso también se debe aproximar la primera derivada de una función con un incremento ∆x/2, pero esta vez centrada en xi±1/2 en lugar de
i
x . Por tanto ahora la aproximación de segundo orden de dicha derivada resulta de sustituir dicho incremento en (B5) sabiendo que
) , 2 / ( ) , 2 / ( ) , 2 / ( ) , 2 / ( 2 / 1 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 1 u i u i u i u i u i u i u i t x x f f t x x f t x x f f t x x f f ∆ − = ∆ + = ∆ − = ∆ + = − − − + + + (B7) resultando ) ( ) ( 24 ) ( ) ( 24 2 1 4 2 / 1 3 3 2 1 2 / 1 2 1 4 2 / 1 3 3 2 1 2 / 1 x x f f x x f x x f f x f x x f f x x f x x f f x f u i u i u i u i u i u i u i u i u i u i u i u i ∆ Ο + ∆ − = ∆ Ο + ∂ ∂ ⋅ ∆ − ∆ − = ∂ ∂ ∆ Ο + ∆ − = ∆ Ο + ∂ ∂ ⋅ ∆ − ∆ − = ∂ ∂ − − − − + + + + (B8)
Ejercicio 1
Figura 23. Evolución del nivel freático con la zanja en terreno conglomerático
Obsérvese en la figura 23 cómo la pendiente de la altura piezométrica va creciendo a medida que la permeabilidad del terreno disminuye, debido a que se necesita más energía por unidad de peso para atravesar un material de alta permeabilidad que para hacerlo por uno de baja permeabilidad.
Obsérvese también que el caudal en la zanja a los tres meses de realizarse la excavación es de 4.39·10-6 m3/s, mientras que en el paso 2 del guión (considerando la excavación en arcillas) el caudal filtrado es aproximadamente 3.5 veces menor. Según este resultado, apréciese que sería más recomendable ejecutar la obra en terreno arcilloso.
Ejercicio 2
Véase cómo ahora en la solución obtenida (figura 24) la condición de contorno
L
h no permanece fija, si no que disminuye a medida que avanza el tiempo. Nótese que, como se ha tomado por hipótesis que el tiempo máximo de excavación es igual al tiempo de análisis (T =Tmax), dicho descenso acaba justo al llegar a la cota 0.
Además obsérvese que en la solución ya no aparecen las oscilaciones características de la figura 17 (correspondiente al paso 5 del guión de la sesión), como tampoco se aprecian en la animación del resultado. Aún así, no han desaparecido por completo dado que, como se comentó en el paso 4 del guión, el mínimo caudal obtenido en la zanja sigue siendo negativo (a las 172.8 horas de análisis). Por tanto obsérvese cómo efectivamente las oscilaciones disminuyen al suavizar la condición de contorno final.
Figura 24. Nivel piezométrico con relación de excavación lineal para T =Tmax
Sin embargo la velocidad de excavación lineal para el caso T =Tmax es de 0.0167 m/día (véase figura 25). Dicha velocidad indica, de manera muy poco realista, que los 6 m de profundidad de la zanja se excavan de manera constante durante todo un año.
Figura 25. Relación de excavación lineal para T =Tmax
Para el caso v=1 m/día las oscilaciones vuelven a estar presentes tanto en la animación como en la solución final (ver figura 26), debido a que dicha velocidad produce una función de excavación que está lejos de ser suave (ver figura 27), pues ésta presenta un descenso inicial con una pendiente muy elevada antes de pasar, súbitamente, a una recta con pendiente nula. Nótese
que dicha forma es muy parecida al caso de excavación instantánea (programa Zanja), donde la pendiente inicial tendría un valor infinito ( ∞ ).
Figura 26. Nivel piezométrico con relación de excavación lineal para v=1 m/día
Figura 27. Relación de excavación lineal para v=1 m/día
Ejercicio 3
La curva de alturas piezométricas obtenida en el costado más permeable de la zanja, cuando ésta se excava en la interfase entre los conglomerados margosos y las calizas, se muestra en la figura 28. Nótese que dicha curva presenta una forma parecida a la de la figura 23, típica por tanto de materiales permeables.
El valor del caudal obtenido en la zanja en este caso es de 1.95·10-5 m3/s.
Figura 28. Solución obtenida en el ejercicio 3 Ejercicio 4
A continuación se muestran las leyes de excavación propuestas en la tabla 2 del guión de la sesión (figuras 29, 30 y 31) para el caso de ejecutar la obra usando una ley exponencial.
Figura 30. Ley de excavación exponencial para vL
Figura 31. Ley de excavación exponencial para 5vL
Los caudales obtenidos se muestran en la tabla 3. Q (m3/s) L v ⋅ 5 . 0 2.15·10-5 L v 2.05·10-5 L v ⋅ 5 1.97·10-5
Obsérvese cómo, usando una ley exponencial, al aumentar la velocidad de excavación el caudal filtrado a la zanja disminuye.
De la misma manera, a continuación se presentan las leyes de excavación propuestas en la tabla 2 del guión de la sesión (figuras 32, 33 y 34) para el caso de ejecutar la obra usando una ley asintótica.
Figura 32. Ley de excavación asintótica para ε =5 (%)
Figura 34. Ley de excavación asintótica para ε =50 (%) Los caudales obtenidos se muestran ahora en la tabla 4.
Q (m3/s) 5 = ε 2.88·10-5 20 = ε 2.69·10-5 50 = ε 2.56·10-5
Tabla 4. Caudales obtenidos con la ley asintótica
Nótese como, usando una ley asintótica, al aumentar la velocidad de excavación (disminuir el valor del parámetro ε ) el caudal filtrado a la zanja también aumenta.
Comparando los resultados de las tablas 3 y 4 se observa claramente que una ley exponencial filtra menos caudal a la zanja que una ley asintótica. Por lo tanto, sería recomendable excavar la obra más rápido al principio y más lento al final en lugar de hacerlo al revés.
Ejercicio 5
Para realizar este ejercicio se han programado los siguientes tres ficheros: Zanja_SecanteEpsilon.m, ceroHL.m, y ceroCAUDAL.m (siendo la última común con el ejercicio 6). La función principal es Zanja_SecanteEpsilon. El valor del parámetro ε de convergencia obtenido al realizar el método de la secante con aproximaciones iniciales ε1 =10 y ε2 =20 (%) a la función (29) es
6288 . 37 =
ε (%). Dado que el caudal crítico es 2.6·10-5 m3/s, el valor de ε está, tal y como era de esperar, entre 20 % y 50 % (véase tabla 4).
La ley asintótica de excavación obtenida se muestra en la figura 35.
Figura 35. Ley de excavación asintótica para el valor de convergencia
Para el caso límite ε =10 el caudal obtenido es (como es de prever dados los resultados del ejercicio anterior), mayor al caudal crítico. Concretamente, dicho valor es 2.79·10-5 m3/s.
Ejercicio 6
Para realizar este ejercicio, además de comentada la función ceroCAUDAL.m, se han programado los siguientes dos ficheros más: ceroPERM.m y Zanja_SecanteRadio.m, siendo éste último el programa principal.
En este caso (ε =10), con las discretizaciones, tolerancias y dominio propuestos, el valor del radio de impermeabilización óptimo para obtener un caudal crítico de 2.1·10-5 m3/s es de =3.19954≅3.2
imp
