Taller de resolució de problemes i modelització

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Taller de resolució de problemes i modelització

Màster de Formació del Professorat

Facultad de Matemáticas Curso 2009-2010

Javier Soria (soria@ub.edu)

UNIVERSITAT DE BARCELONA

U

B

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Taller de Problemas de Análisis

La solución de los ejercicios que se proponen ha de ser enviada en formato PDF al correo electrónico soria@ub.edu antes de finales de mayo de 2010. Los programas con los cálculos realizados se han de adjuntar también en el formato original, indicando qué aplicación se ha empleado (GeoGebra, Mathematica, Maple, etc.).

1. La paradoja de Zenón. Aquiles y la tortuga. Suma de series geométricas. «Aquiles, llamado “el de los pies ligeros” y el más hábil guerrero de los Aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él».

http://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas_de_Zenón

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2. Programación de cálculo de extremos. Implementar un programa que re-presente gráficamente una función dada, en un intervalo, así como su derivada, y que calcule los puntos críticos, si son extremos, y los valores máximo y mínimo absolutos de la función. -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

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3. Problemas de optimización. Máximos y mínimos. Aplicaciones.

Demostrar que todo punto crítico en el que la segunda derivada es positiva (ne-gativa) es un mínimo (respectivamente un máximo).

Dar varios ejemplos prácticos como aplicación de este resultado.

A una ventana rectangular se le abre un triángulo equilátero sobre el lado superior. Si el perímetro total de la figura así formada es de 11 m, determinar las dimensiones para que el área sea máxima.

Hallar las coordenadas del punto de la curva y = √x más cercano al punto

P = (4, 0).

Hallar dos números positivos cuyo producto sea 192 y cuya suma sea mínima. Un trapecio isósceles tiene una base menor de 14 cm y lados oblicuos de 6 cm. ¿Cuál es el área máxima de este trapecio?

En una oficina de correos sólo se admiten paquetes en forma de paralelepípedo rectangular, tales que la anchura sea igual a la altura y además, la suma de ancho, alto y largo sea de 72 cm. Hallar las dimensiones del paralelepípedo para que el volumen sea máximo.

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4. Algoritmo de Newton. Método de aproximación de raíces. Implementación algorítmica y ejemplos.

Descripción del algoritmo de Newton. Implementar un programa de cálculo de raíces usando este método. Aplicaciones a ecuaciones irresolubles explícitamente.

x1 x2 a 0.5 1.0 1.5 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 http://garf.ub.es/MFP/CD2.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Método_de_Newton

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5. Polinomios de Taylor. Definición, construcción algorítmica y aplicaciones. Definición del polinomio de Taylor de orden n alrededor de un punto a. Estudio del error (términos complementarios: Fórmula de Mac-Laurin).

Implementar un programa para su cálculo y representación gráfica.

Aplicaciones al cálculo aproximado de funciones no polinómicas (trigonométricas, logaritmo, exponencial). -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 http://garf.ub.es/MFP/CD2.pdf http://www.sectormatematica.cl/librosmat/Libro%20Matematicas.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_de_Taylor

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6. Problema de la vaca. Resolución del cálculo del radio de un círculo para que la intersección con otro fijo sea exactamente la mitad del total. Uso de métodos integrales.

Una vaca está atada con una cuerda a una estaca, que está clavada en el borde de un campo de hierba de forma circular, que tiene un metro de radio. ¿Cuál ha de ser la longitud de la cuerda para que sólo se pueda comer la mitad de la hierba?

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7. Número e. Definición como límite y como serie, propiedades y cálculo con pre-cisión arbitraria. Demostrar que e = ∞ X n=0 1 n! = l´ımn→∞  1 + 1 n n . Probar que e es un número irracional.

Calcular e con una precisión arbitraria.

e = 2,71828182845904523536... e = 20 X n=0 1 n! = 6613313319248080001 2432902008176640000 = 2,7182818284590452353. http://garf.ub.es/MFP/Rudin.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Numero_e

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8. La cicloide. Definición y diferentes expresiones de la cicloide. Aplicaciones. Describir la ecuación de la cicloide. El problema de la braquistocrona. Demostrar las distintas propiedades clásicas de esta curva.

http://es.wikipedia.org/wiki/Cicloide http://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_problem http://www.biblopia.com/descarga.php?j=ZJej http://www.csi-csif.es/andalucia/modules/mod_ense/revista/pdf/Numero_ 22/PATRICIA_PEREZ_ORTIZ01.pdf

Capítulo 12 de libro Aventuras Matemáticas, Miguel de Guzmán, Ediciones Pi-rámide S.A., Madrid 1995.

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9. Problema isoperimétrico. Caracterización de figuras con diámetro fijo y área máxima: rectángulos, polígonos, elipses.

Cálculo de rectángulos de área máxima y perímetro fijo. Cálculo de rectángulos de perímetro mínimo y área fija. Estudio del problema análogo para elipses.

El problema de Dido.

Cálculo del área de un círculo mediante la aproximación por polígonos regulares inscritos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse#Longitud_de_una_elipse http://en.wikipedia.org/wiki/Isoperimetric_inequality

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10. Series armónicas. Solución dada por Euler de la suma de la serie ∞ X k=1 1 n2 = π 2/6. Cálculo aproximado de π.

Demostrar la suma anterior usando las fórmulas integrales de Euler:

Z 1/2 0 1 + x 2 + x2 3 · · · dx = 1 2 + 1 22 4 + · · · 1 2n n2 · · · v u u t6 1000 X k=1 1 n2 = 3,1406380562059931230

El Problema de Basilea: historia y algunas demostraciones, La Gaceta de la RSME 12 (2009), 721–737. http://www.rsme.es/gacetadigital/abrir.php? id=898

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11. Polinomios de interpolación. Definición y cálculo. Aplicaciones. Regresión lineal y de orden superior de una tabla de valores.

Cálculo explícito del polinomio de aproximación. Programación algorítmica. Método de Lagrange.

Ejercicios de la página 196, Tema 10, del libro de texto de COU:Matemáticas I, Juan Luis Corcobado Cartes y Javier Marijuán López:

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12. Integral. Sumas de Riemann. Ejemplos. Definición de integral definida. Definición de las sumas de Riemann. Ejemplos.

Cálculo explícito para funciones sencillas. Implementación gráfica en un ordenador.

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Tema 11 del libro de texto de COU:Matemáticas I, Juan Luis Corcobado Cartes y Javier Marijuán López:

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13. Primitivas. Métodos de integración de funciones racionales. Descomposición de funciones racionales como fracciones simples. Ejemplos. 4x4 − 14x3 + 23x2 − 14x + 5 x5 − 5x4 + 9x3 − 5x2 = 2 x − 1 + 1 x − 1 x2 + x + 1 (x − 2)2 + 1. Z 4x4 − 14x3 + 23x2 − 14x + 5 x5 − 5x4 + 9x3 − 5x2 dx = = Z 2 x − 1 dx + Z 1 x dx − Z 1 x2 dx + Z x + 1 (x − 2)2 + 1 dx = = log|x|(x − 1)2p(x − 2)2 + 1 + 1 x + 3 arctan(x − 2) + C.

Tema 11 del libro de texto de COU:Matemáticas I, Juan Luis Corcobado Cartes y Javier Marijuán López:

http://www.sectormatematica.cl/librosmat/Libro%20Matematicas.pdf http://integrals.wolfram.com/index.jsp

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14. Longitud y volumen. Definición de longitud de una curva. Cálculo del volumen de un cuerpo de revolución. Aplicaciones al disco y a la esfera.

Aproximación poligonal de la gráfica de una curva. Definición de longitud.

Volumen de la esfera. !"#$%&'()"*#+',$%$+" ! ! "#$ "% #& $ ! ' (%)* + ! " % ) !, -& ./0123042-5)67)8-98: ! ! $ ! ; ' ( %* <+= % > ? ' !"#$%&' @>3>04>"47">308"0A2"7$8-0B7805808-68-=3>047>-=208"0384)-920")$)9>=201230">01>3C?2"> . ! % 0.0">03849>0%0D0E06)3>0>"38=8=230=8"08F80=80>?54)5>5/0?>59>3C042-08543)?)3: ! ! $ G ( %)+= % & E ' ! $ ! %+ + *+ , -./ & E ! H$ + G (#)*+,'-./0' I8517J50=80"20K84K20K>59>0>B7#0-2098-=3C50=)')47"9>=08-08-98-=8304L$205804>"47">3C08" A2"7$8-0=807-05L")=2042$208"0=80">0')673>05)67)8-98/08-68-=3>=2047>-=208"0384)-920")$)9>=20123 =250473A>50'0(%*/06(%*042-9)-7>50.0125)9)A>508-07-0)-983A>"20;>/0?</06)3>0>"38=8=230=8"08F80=8 >?54)5>5: ! " " -#,./0 #(./0# !/ 1*#23*45'%#+'#'6&'#'*'5'%&3 +$,')'%7$"*#'6 $ 8 9 ,./0:0 ( ./ 0:;8 "/ I)4K20A2"7$8-0A8-=3C0=>=20123: ! ! $ ! *,' (% *+0 6 (% *+-/=% > ? ' !"#$%&' M2$1378?>0B7808"0A2"7$8-08-68-=3>=20>"06)3>30EN&°0>"38=8=230=8"08F80OP08"0384)-92 ")$)9>=201230">01>3C?2">0!"#"$"%&"$"'%"(")00.0">03849>0%"("!"$"'"#"*0850,QH+$ ,R G S0:<=0S

Tema 11 del libro de texto de COU:Matemáticas I, Juan Luis Corcobado Cartes y Javier Marijuán López:

http://www.sectormatematica.cl/librosmat/Libro%20Matematicas.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco

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15. Series de Fourier. Aproximación de funciones periódicas por polinomios trigo-nométricos. Ejemplos.

Polinomios trigonométricos. Cálculo de los coeficientes. Ejemplos de series de Fourier de funciones periódicas. Núcleo de Dirichlet.

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier http://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html

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16. Matemáticas financieras. Cálculo de intereses simples y compuestos. Présta-mos hipotecarios.

Aplicaciones de las matemáticas en economía y finanzas. Implementación algorítmica de los ejemplos más básicos.

http://mathworld.wolfram.com/CompoundInterest.html http://es.wikipedia.org/wiki/Interes_compuesto

http://fcaenlinea.unam.mx/apuntes/interiores/docs/98/2/mate_fin.pdf http://www.matesymas.es/matfin/matfin.pdf

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17. Leyes de Kepler. Cálculo de la órbita de un planeta.

A partir de las tres leyes de Kepler, calcular la función que determina la posición de un planeta sobre su órbita elíptica.

http://www.mat.ub.es/%7Esoria/Kepler.html

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18. Funciones excepcionales. Función continua de Weierstrass que no es derivable en ningún punto. Curva de Peano que rellena un cuadrado. Función escalera de Cantor.

http://es.wikipedia.org/wiki/Función_de_Weierstrass http://gaussianos.com/la-funcion-de-weierstrass/

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Curva de Peano.

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Escalera de Cantor.

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