Flujo no estacionario en conductos

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Flujo no estacionario en conductos

FIUBA, Buenos Aires

(2)

Organizaci´

on

1

C´

alculo del golpe de ariete

M´

etodo de las caracter´ısticas

Ejemplo

(3)

Flujo no estacionario en conductos

El presente estudio se realiza sobre la geometr´ıa de conductos de secci´on variable, donde el flujo, como en otros casos de flujos en conductos, se considera unidireccional.

(4)

El estudio del problema se consigue a partir del análisis de las ecuaciones de conservación de la masa y de cantidad de movimiento. Introduciremos entonces sucesivamente las hipótesis de nuestro problema f´ısico para simplificarlas. Recordemos: Dρ Dt = ∂ρ ∂t + ∇ · (ρ~v) = 0 (1) D(ρ~v) Dt = ∂(ρ~v) ∂t + ∇~v · (ρ~v) = ~fvolum+ ∇ · ¯ ¯ T (2) Usando la condición1 ρDφ Dt = D(ρφ)

Dt sobre (2) y separando las componentes normales y tangenciales del tensor de tensiones,

ρD~v Dt = ~fvolum− ∇p + ∇ · ¯ ¯ T0 (3) 1

(5)

As´ı como sucede en flujo estacionario en conductos, es posible expresar ∇ ·T¯¯0, los esfuerzos de fricción, en función de una ca´ıda de presión. Se adopta como hipótesis que la fricción en flujo turbulento permanente puede escribirse según ρf V2/8.

Supondremos, en adelante, que el factor de fricci´on no var´ıa pese a tratarse de un problema no estacionario. Dado que el flujo es unidireccional, simplificamos (3): 1 ρ ∂p ∂x+ gsenθ + Dv Dt+ f V2 2D = 0

El término de la derivada material, teniendo en cuenta que el flujo es en una sola dimensión, puede simplificarse también:

Dv Dt = ∂v ∂t + ∂v ∂xv

En estos fen´omenos, de variaciones locales importantes frente a las variaciones espaciales, resulta ∂v

∂t >> ∂v ∂xv. Entonces: ∂v ∂t + 1 ρ ∂p ∂x+ gsenθ + f V2 2D = 0 (4)

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La forma integral de la ecuaci´on (1): ∂ ∂t Z Z Z V ρdv + Z Z Z V ∇ · (ρ~v)dv

Como en la ecuaci´on de cantidad de movimiento, se consideran solamente las variaciones espaciales en la direcci´on del conducto, resulta

∂

∂t(ρAdx) + ∂

∂x(ρvA)dx

Siendo el elemento dx independiente de t, se desarrollan los t´erminos seg´un: ∂ρ ∂tAdx + ∂A ∂tρdx + ∂ρ ∂xvAdx + ∂A ∂xρvdx + ∂v ∂xρAdx = 0 Dividiendo por ρAdx:

1 ρ ∂ρ ∂t + 1 A ∂A ∂t + v ρ ∂ρ ∂x+ v A ∂A ∂x + ∂v ∂x = 0 Utilizando la definici´on de derivada material, agrupamos:

1 A DA Dt + 1 ρ Dρ Dt+ ∂v ∂x= 0 (5)

(7)

Considerando un intervalo dt, la ecuaci´on (5) relaciona variaciones del ´area del conducto dA/A, el cambio espacial de la velocidad ∂v

∂xdt y el de la compresibilidad dρ/ρ.

(8)

Para estimar las tensiones que se producen por los cambios del ´area, recurrimos a relaciones de resistencia de materiales.

Para un caño de diámetro D, espesor e y con un módulo de elasticidad E, la tensión frente a un ∆p es σ = ∆pD

2e. La relación elástica entre tensión y deformación σ = E determina que la deformación unitaria =∆D

D = ∆p D 2eE. La deformaci´on radial es entonces: ∆D = D

∆p D

2eE

.

Multiplicando por πD/4 se tiene la variaci´on de ´area ∆A = πD

2 4 ∆p D 2eE . Resulta: ∆A A = ∆p D 2eE

Se puede llevar este resultado a la forma diferencial: 1 A DA Dt = Dp Dt D 2eE

(9)

Por otro lado, la definición de módulo de elasticidad volumétrica para un fluido: K = − dp dV ol/V ol = dp dρ/ρ

Luego, escribimos cambios de densidad como cambios en presi´on: 1 ρ Dρ Dt = 1 K Dp Dt

Conseguimos entonces simplificar la ecuaci´on de continuidad (5): 1 K Dp Dt 1 +K E D e +∂v ∂x = 0 (6)

(10)

Por último, recordemos la expresión para la velocidad de una onda acústica a través de una cañer´ıa:

a2= K/ρ

1 + (K/E)(D/e) Con ello se reduce (6) a:

1 ρ Dp Dt + a 2∂v ∂x = 0

Para aplicaciones del golpe de ariete el t´ermino convectivo de Dp

Dt es mucho más pequeño que el término no estacionario. Se obtiene la ecuación:

∂p ∂t + ρa

2∂v

(11)

M´etodo de las caracter´ısticas

El sistema de ecuaciones a derivadas parciales formado por (4) y (7) tiene como incógnitas v y p que son funciones de x y t. Las ecuaciones permiten tener en cuenta la fricción en la cañer´ıa y la pendiente de la misma. Para resolverlas, éstas pueden ser transformadas a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias mediante el Método de las Caracter´ısticas.

Para ello, consideremos la suma de (4) y (7) multiplicada por un escalar arbitrario λ. ∂v ∂t + 1 ρ ∂p ∂x+ gsenθ + f V2 2D + λ ∂p ∂t + ρa 2∂v ∂x = 0 Agrupando los t´erminos de presi´on y de velocidad

∂v ∂t + λρa 2∂v ∂x+ λ ∂p ∂t + 1 ρλ ∂p ∂x + gsenθ +f V 2 2D = 0 (8)

(12)

Podemos poner condiciones sobre el escalar λ. En particular si λρa2= v = dx/dt = 1

λρ, se sigue verificando el sistema de ecuaciones. Este valor nos permite expresar la ecuación (8) en términos de la derivada material de la velocidad v y de la presión p.

Luego, λ = ±1 ρa Entonces

dx

dt = ±a (9)

La ecuaci´on a derivadas parciales se convierte en dos de derivadas totales: Dv Dt ± 1 ρa Dp Dt+ gsenθ + f V2 2D = 0 (10)

Debido a que la ecuación (10) es válida únicamente cuando se satisfacen las ecuaciones (9), es conveniente representar la solución como una gráfica de x contra t. La posición x localiza el punto en la cañer´ıa que se mide desde el extremo de aguas arriba y t es el tiempo en el cual se determinan las variables v y p.

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Se considera que se conocen las condiciones en un punto A: vA, pA, xA y

tA. Luego, la ecuaci´on (10) con el signo + se conoce como ecuaci´on de

compatibilidad C+y es v´alida para dx

dt = +a, es decir, a lo largo de la l´ınea AP de la figura 2.

Figura:Gr´afico xt de las caracter´ısticas a lo largo de las cuales se obtienen las soluciones.

(14)

Multiplicando (10) por (ρa)dt e integrando desde A hasta P: ρa Z vP v_A Dv + Z pP p_A Dp + ZtP t_A ρag senθdt + Z tP t_A ρaf v 2 2Ddt = 0 Como adt = dx puede escribirse la ecuación en función de incrementos de x. En particular, el término de fricción, si la distancia en x entre A y P no es muy grande, puede aproximarse:

Z xP

xA

v2dx ∼ ∆xvAvP

La misma transformaci´on se puede realizar en la ecuaci´on C−de (10). Puede plantearse entre un punto B y el punto P (Figura 2). Resulta el sistema de la forma: ρa(vP− vA) + pP− pA+ ρg senθ∆x + f vAvP 2D ∆x = 0 (11) ρa(vP− vB) − (pP− pA) + ρg senθ∆x + f vBvP 2D ∆x = 0 (12)

(15)

Conocidas las condiciones en A y en B puede resolverse el sistema (12) para determinar lo que ocurre en un paso de tiempo posterior en P , vP y pP.

Mallando adecuadamente el dominio x para t = 0 podemos conocer todo lo que ocurre en un instante ∆t posterior. Asimismo son necesarias

condiciones de contorno para el todo el tiempo de solución. Como es usual en la bibliograf´ıa de cálculo de cañer´ıas (piping ), se pueden expresar las variables de velocidad y presión como expresiones del caudal y altura piezométrica respectivamente. El cambio de variable produce:

ρg(HA− HP) = pA− pP + ρg senθ∆x Q = vA (12) se transforma en: HP = HA− a gA(QP− QA) + f QAQP 2gDA2 ∆x (13) HP = HB+ a gA(QP− QB) + f QAQB 2gDA2 ∆x (14)

(16)

Para simplificar las ecuaciones se introducen constantes C1 y C2 de modo

que: C1= a gA C2= f ∆x 2gDA2

Las ecuaciones de compatiblidad resultan:

HP = HA− C1(QP− QA) − C2(QAQP) (15)

HP = HB+ C1(QP− QB) + C2(QBQP) (16)

En forma general, puede escribirse el sistema para un conjunto de nodos. Conociendo condiciones iniciales y de frontera de un problema puede calcularse su comportamiento en el estado transitorio. Como condiciones de frontera, pueden considerarse presiones y/o velocidades en los extremos de un conducto.

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Ejemplo

Figura:Problema: Tanque con nivel variable.

Considerese el problema de un conducto unido a un tanque con altura variable seg´un H = HR+ ∆Hsin(ωt). La frecuencia ω = 4L/a y el

conducto descarga fluido por un peque˜no orificio ubicado en (B). Con las condiciones dadas en la figura es posible conocer el estado transitorio.

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Ejemplo

En primer lugar es necesario identificar las condiciones de borde: La presi´on en el extremo unido al tanque (A).

El caudal que sale por el orificio en (B ).

La presi´on en (A) estar´a dada por la altura de columna de agua que depende exclusivamente del nivel de l´ıquido del tanque, es decir de H = HR+ ∆Hsin(ωt).

Por otra parte el caudal de salida en (B) est´a dado por una expresi´on de la forma CdA

√

2gHB. La magnitud HB es el salto de presi´on (≡ alturas) entre

(B) y el exterior. Inicialmente se puede considerar que ésta es dada por la altura en (A) menos las pérdidas por fricción hasta (B).

Resumiendo,

HA= HR+ ∆Hsin(ωt) y QB= CdA

√ 2gHB.

Se puede luego dividir nuestro dominio en una serie de intervalos ∆x a lo largo del eje x. Inicialmente conocemos Q y H en cada uno de los nodos. Para un instante dt = dx/a podemos determinar mediante el m´etodo de las caracter´ısticas los cambios que se producen.

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Ejemplo

Cuando se vuelve a calcular lo que ocurre en los extremos (A) y (B) es necesario determinar las caracter´ısticas que se utilizar´an junto a las condiciones de borde para determinar las correspondientes Q y H. Si se hiciera una malla simple de tres puntos A, B y P como en la Figura 2 el c´alculo ser´ıa:

Calcular HA, QA y HB, QB en un instante inicial.

Con la C+_{desde A y la C}−

desde B, determinar QP, HP para un

instante posterior dt = dx/a = L 2 1 a.

Con la C−desde P y la altura en A correspondiente HA(dt) se halla

QA.

Con la C+desde P y la expresi´on para el caudal en B QB= CdA

√

2gHB se resuelve el sistema de dos ecuaciones para

obtener QB y HB.

se repiten n pasos de tiempo dt.

Recordemos que con un mallado de 3 puntos, esencialmente didáctico, perdemos precisión. Lo apropiado será mallar con más puntos hasta verificar la convergencia de la solución.

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Ejemplo

Figura:Caudal en la entrada en funci´on del tiempo. Se observa la convergencia del resultado aumentando el n´umero de puntos del mallado.

Otro ejemplo de condición de frontera puede ser el dado por el cierre gradual de una válvula. Se tendrá una expresión del tipo Q = CdA

√

2gH donde el área A será variable en el tiempo. Asimismo pueden considerarse cambios de diámetro en una cañer´ıa bifurcaciones, elementos de expansión, etc. El cálculo numérico ayuda a trabajar la complejidad de este tipo de problemas, donde se resuelven sistemas de ecuaciones no lineales.

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