Lección 4: PROPORCIONALIDAD

Lección 4: PROPORCIONALIDAD

Magnitud es toda propiedad que se puede medir y cuantificar (expresar con una cantidad). Son magnitudes la longitud, la masa, el peso, la capacidad, la superficie, el tiempo, el volumen, la velocidad, la fuerza, etc.

Dos magnitudes están relacionadas cuando a un determinado valor de una le corresponde un determinado valor de la otra y al variar el valor de una también varía el valor de la otra.

VALORES CORRESPONDIENTES DE MAGNITUDES RELACIONADAS

Se llaman valores correspondientes los valores de una y otra magnitud que están unidos por la relación entre ambas.

Por ejemplo, cuando en un supermercado ponen una lista de precios de distintos lotes de fresas en relación al peso de cada lote, de tal manera que una bandeja de 250 g cuesta 1 €, una bandeja de 500 g cuesta 1’90 €; una de 750 g, sale por 2’75 € y una de 1.000 g cuesta 3’50. A cada peso de cada bandeja le corresponde un precio determinado. Entre estas dos magnitudes hay una relación y a un determinado peso le corresponde un determinado precio. El peso de una bandeja, 250 g y su precio, 1€, son valores correspondientes. Como también lo son 500 g y 1’90 €; 750 g y 2’75 € o 1.000 g y 3’50 €.

TABLA DE VALORES DE MAGNITUDES RELACIONADAS

Estos valores se pueden expresar clasificados en una tabla de valores.

Los valores de cada magnitud se colocan en una fila y los de la otra en otra fila, de tal forma que en cada columna coincida cada par de valores correspondientes. En la primera columna indicaremos las magnitudes relacionadas señalando también las unidades en que están expresados los valores de cada una de ellas.

PESO (g) 250 500 750 1.000

PRECIO (€) 1 1’90 2’75 3’50

Esta tabla también se puede diseñar de otra forma, colocando los valores de cada magnitud relacionada en una columna, de tal manera que en cada fila coincidan cada par de valores correspondientes. PESO (g) PRECIO (€) 250 1 500 1’90 750 2’75 1000 3’50

ACTIVIDADES

Lee detenidamente los apuntes anteriores, reflexiona y estudia lo destacado y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes

actividades.

1.- Di cuales de las siguientes propiedades son magnitudes y cuáles no.

BONDAD – PESO – VOLUMEN – BELLEZA – PRECIO – VELOCIDAD – LONGITUD FELICIDAD – SUPERFICIE – COSTE – TIEMPO – MASA – CAPACIDAD – ALEGRÍA

2.-Las temperaturas registradas en el día de ayer fueron las siguientes: - A las 00:00 horas el termómetro marcaba 3º C.

- A las 06:00 horas, marcó 1ºC. - A las 12:00 horas, marcó 12º C. - A las 18:00 horas, marcó 9º C.

Identifica las magnitudes relacionadas y elabora una tabla de valores.

3.- Identifica en cada uno de estos casos cuales son las magnitudes relacionadas: - Un camión tardó 3 horas en recorrer una distancia de 250 km.

- Un grifo, con un caudal 2 litros/s, tardó 10 min en llenar un depósito. - Por 3 kg de naranjas Laura pagó 5 €.

- Un pintor pinta 250 m2 _{de pared en 1’5 h.}

4.-En una fábrica de camisas se obtienen los siguientes resultados:

¿Cuáles son las magnitudes relacionadas?

Escribe una pareja de valores correspondientes de esta tabla. CANTIDAD DE OPERARIAS CANTIDAD DE CAMISAS 50 300 100 600 150 900 200 1.200

¿Cuántas camisas fabrican 100 operarias?

¿Cuál sería el valor de la cantidad de camisas correspondiente a 250 operarias?

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2.- RAZÓN

Una razón es el cociente indicado de dos valores correspondientes de dos magnitudes relacionadas.

El cociente indicado que define una razón se puede expresar en forma de división o, lo que es más habitual, en forma de fracción.

razones. son mapa o plano un de escalas Las 4 : 3 4 3 =

Términos de una razón:

Al numerador (o dividendo) de una razón se le llama antecedente y al denominador (o divisor) se le llama consecuente.

50 1 : razón una es plano un de o mapa un de escala La 2'5 : 1'5 2'5 1'5 4 : 3 4 3 TE) (CONSECUEN b : TE) (ANTECEDEN a E CONSECUENT b E ANTECEDENT a = = = → →

Se debe tener en cuenta que cualquier fracción es una razón pero hay razones que no son fracciones. En una fracción los términos son números enteros siempre; en una razón pueden ser enteros o decimales.

Lectura de una razón:

Se lee “antecedente” es a “consecuente”

2'5 1'5 2'5 : 1'5 2'5 1'5 . 4 : 3 4 3 . a es cuatro a es Tres a es → = → = → =a:b a b b a ========================================================================

ACTIVIDADES

Lee detenidamente los apuntes anteriores, reflexiona y estudia lo destacado y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes

actividades.

5.- Escribe la razón en la que se encuentran cada una de las siguientes parejas de valores e identifica en cada una de ellas el antecedente y el consecuente. Escribe también como se leen.

a) 6 y 2 b)35 y 8 c) 125 y 25

6.- Expresa matemáticamente las siguientes razones e identifica en cada una de ellas el antecedente y el consecuente:

a) Seis es a once. b) Veinte es a veintisiete c) Doce es a treinta y cinco. d) Siete es a diez.

7.- Escribe las razones entre los valores correspondientes de la siguiente tabla:

8.- Una hoja de papel DIN A4 mide 29’7 cm de largo y 21 cm de ancho. ¿En qué razón están sus dimensiones?

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3.- RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD. PROPORCIONES.

La relación de proporcionalidad es la que hay entre dos magnitudes cuando al variar una de ellas una cierta cantidad de veces, la otra también varía la misma cantidad de veces.

DISTANCIA (km) TIEMPO (h)

50 0’8

60 0’96

80 1’28

Por ejemplo, entre el peso de un producto y su coste. Si se aumenta tres veces (se multiplica por tres) el peso de un producto, el coste también aumenta tres veces (se multiplica por tres); si se disminuye el peso cuatro veces hasta la cuarta parte (se divide entre 4), precio también se disminuye cuatro veces (se divide entre 4). Más concretamente: Si dos quilos de naranjas nos cuestan 3 euros, seis quilos, que es el triple de 2, nos costarán 9 euros, que es el triple de 3. Por lo tanto, entre el peso y el coste de un producto hay una relación de proporcionalidad. Si se varía el peso (aumentándolo o disminuyéndolo), también varía el coste (aumenta o disminuye) la misma cantidad de veces.

Entre el tiempo que se tarda en recorrer una distancia y la velocidad a la que se va. Si aumentamos la velocidad al doble, (la multiplicamos por dos, o sea, la aumentamos dos veces), el tiempo que se tarda se disminuye a la mitad, (se divide entre dos, disminuye dos veces). Así que, entre la velocidad y el tiempo también hay una relación de proporcionalidad. En algunos casos al variar una magnitud una cierta cantidad de veces, la otra también varía pero no la misma cantidad de veces. En esos casos no hay relación de proporcionalidad. Por ejemplo, al aumentar nuestra edad, nuestra estatura también aumenta, pero no la misma cantidad de veces. A los catorce años, que es del doble de 7, no medimos el doble de lo que medíamos a los siete.

PROPORCIÓN

La relación de proporcionalidad se puede expresar matemáticamente con una proporción. Una proporción es la igualdad de dos razones.

10 6 2'5 1'5 12 9 4 3 _{= =} = d c b a

Términos de una proporción:

En una proporción, el antecedente de la primera razón y el consecuente de la segunda se llaman extremos; y el consecuente de la primera y el antecedente de la segunda se llaman medios.    → = MEDIOS los son y EXTREMOS los son y c b d a d c b a

Una proporción continua es la que tiene sus medios iguales o sus extremos iguales.

a c b a d b b a _{= =}

Lectura de una proporción:

Una proporción se lee: “antecedente 1” es a “consecuente 1” como “antecedente 2” es a “consecuente 2”.

. 2'5 1'5 2'5 1'5 . . 10 6 12 9 4 3 12 9 4 3 d c b a d c b a a es como a es como a es como a es a es a es → = → = → = 10 6 Razón de proporcionalidad:

Es el cociente de la división del antecedente entre el consecuente de cualquiera de las razones que forman una proporción. Es el mismo valor para las dos razones de la

proporción. r 0'6 10 : 6 2'5 : 1'5 10 6 2'5 1'5 r 0'75 12 : 9 4 : 3 12 9 4 3 alidad. proporcion de razón = = = = = = = = = = → = = ⇒ = a b c d r d c ba : :

Se puede expresar en forma decimal o en forma de fracciónirreducible. Las escalas delos mapas o de los planos son razones de proporcionalidad.

Tasa unitaria:

Es una razón en la que el consecuente es 1. Por lo tanto es el valor de una magnitud correspondiente al valor 1 de la otra.

Por ejemplo, cuando la velocidad de un coche es de 80 km/h, quiere decir que dicho coche recorre 80 km en una hora. La relación entre el valor de la distancia recorrida (80) y el valor del tiempo empleado en recorrer esta distancia (1) la podemos expresar con la siguiente razón:

Km/h 80 h km 80 h 1 km 80 1 : 80 1 80 = = =

= Entonces se dice que 80 km/h es una tasa unitaria. Para calcular la tasa unitaria de una relación de proporcionalidad a partir de una razón dada se divide el antecedente y el consecuente de la razón dada entre el consecuente dicha razón. Halla la tasa unitaria de:

20 litros en 5 segundos  = = = 4 L/s s 1 L 4 5 : 5 5 : 20 s 5 L 20 600 km en 8 horas  = = =75km/h h km 1 75 8 : 8 8 : 600 h 8 km 600

3 g de azúcar en 4 litros de agua  = = =0'75g/L L g 1 0'75 L g 4 : 4 4 : 3 L 4 g 3

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

En toda proporción se cumplen las siguientes propiedades:

- Al invertir las dos razones de una proporción se obtiene otra proporción

9 12 3 4 12 9 4 3 _{= ⇒ =} → = ⇒ = c d a b d c b a

- Al intercambiar los medios de una proporción (o los extremos) se obtiene otra proporción. 3 4 9 12 3 9 4 12 12 4 9 3 12 9 4 3 _{= ⇒ = ⇒ = ⇒ =} = ⇒ = ⇒ = ⇒ = a b c d a c b d d b c a d c b a

- Propiedad de la serie de razones iguales:

Cada una de las razones de la serie es proporcional a la razón formada por la suma de los antecedentes y la suma de los consecuentes de todas las razones de la serie.

24 18 8 6 24 18 12 9 24 18 4 3 24 18 8 12 4 3 8 6 12 9 4 3 = = = = + + + + = = = + + + + + + = = = ; 6 9 ... ... f d b ... e c a f e d c b a

- Propiedad fundamental de las proporciones:

Si se expresan las razones en forma de fracción, se puede decir que una proporción es una equivalencia de fracciones, o sea, está formada por dos fracciones equivalentes. Teniendo en cuenta esto se cumple la propiedad de las fracciones equivalentes que dice que los productos cruzados de dos fracciones son iguales.

Aplicando esto a una proporción, antecedente 1 por consecuente 2 es igual al consecuente 1 por el antecedente 2.

O de otra manera, el producto de extremos es igual al producto de medios.

15 6 · 2'5 10 · 1'5 2'5 1'5 36 9 · 4 12 · 3 = = ⇒ = = = ⇒ = = ⇒ = 10 6 12 9 4 3 c b d a d c b a · ·

Esta propiedad, referida a las proporciones, se le llama propiedad fundamental de las proporciones.

APLICACIONES DE LA PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES - Identificación de una proporción

Dos razones forman una proporción si el producto de sus extremos es igual al producto de sus medios. 10 0'6 25 15 15 0'6 · 25 150 10 · 15 10 0'6 , 25 15 75 15 25 5 375 15 · 25 375 75 · 5 75 15 , 25 5 ≠ ⇒           = = ⇒ = ⇒           = = →

- Cálculo del término desconocido de una proporción:

Aplicando la propiedad fundamental de la proporciones, se puede calcular un término desconocido (x, y) de una proporción.

b c · a y a c · b = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = b : c) · (a y y · b c · a cy b a a : c) · (b c b x a x c b a x x · ·

Según esto, si el término desconocido de la proporción es un extremo, se puede decir que:

-Un extremo es igual al producto de medios partido por el otro extremo.

a c · b = x

Y si es un medio se puede decir que:

-Un medio es igual al producto de extremos partido por el otro medio.

b c · a = y 12 y 12 2'5 30 y 2'5 20 1'5 y 20 y 2'5 1'5 30 x 30 2 60 x 2 12) (5 x 12 5 x 2 x 12 5 2 = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = · : : · · ·

Un caso particular es cuando los términos desconocidos son los dos medios o los dos extremos. 6 x 6 36 9 4 x x 9 4 x 10 x 10 100 20 5 x 20 x x 5 c b y c b y c b y y y c b y d a x d a x x x d a d x x a 2 2 = ⇒ = = = ⇒ = = ⇒ = = = ⇒ ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = · · · · · · · · · ·

Se llama media proporcional

======================================================================== ACTIVIDADES

Lee detenidamente los apuntes anteriores, reflexiona y estudia lo destacado. Consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades.

9.- ¿Cuáles de estas parejas de razones forman una proporción? Identifica en cada una de ellas los antecedentes, los consecuentes, los extremos y los medios.

10 5 y 5 2'5 18 15 y 6 5 8 12 y 7 3 c) b) a)

¿Alguna de ellas forma una proporción continua? ¿Cuál?

10.- Halla la razón de proporcionalidad de las siguientes proporciones.

52'5 21 15 6 2 1'7 4 3'4 3 13'5 2 9 _{= = =} c) b) a)

11.-Escribe tres proporciones con los valores 2, 5, 6 y 15. 12.- Halla el valor de x en las siguientes proporciones.

x 48 3 x 25 x 5 2 x 3 6 9 3 x x 27 x 18 13 6 20 x 5 4 = = = = = = f) e) d) c) b) a)

13.- Rosa ha pagado 3 € por 9 chicles y Pedro, 4 € por 12 chicles. ¿Ha pagado Pedro una cantidad proporcional a la Rosa? ¿Cuánto han pagado por cada chicle? ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?

14.- En el partido de ayer Sara consiguió 4 canastas de diez lanzamientos. En el partido de hoy de 15 lanzamientos obtuvo 5 canastas. ¿Ha mantenido la misma proporcionalidad de aciertos hoy con respecto a ayer? Razónalo y justifícalo.

15.- Halla la tasa unitaria en los siguientes casos: a) 80 metros en 10 segundos

b) 60 mg en 15 cm3 c) 120 hL en 240 minutos

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4.- PROPORCIONALIDAD DIRECTA

4.1.-RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

La relación de proporcionalidad directa es la que hay entre dos magnitudes si al aumentar (disminuir) una de ellas una cierta cantidad de veces la otra también aumenta (disminuye) la misma cantidad de veces.

Es decir, si una aumenta al doble (se multiplica por dos), la otra también aumenta al doble (también se multiplica por dos); si una aumenta cinco veces (se multiplica por cinco), la otra también aumenta cinco veces (también se multiplica por cinco); o bien si una disminuye tres veces (se divide entre tres), la otra también disminuye tres veces (también se divide entre tres). Se llaman magnitudes directamente proporcionales.

Por ejemplo, entre el peso de un producto y su coste suele haber una relación de

proporcionalidad directa ya que si se aumenta el peso al doble, su coste también aumenta al doble. Si disminuye el peso a la cuarta parte, (se divide entre cuatro), su coste también disminuye cuatro veces. Dos kilos de naranjas me cuestan el doble que un kilo; y medio kilo me cuesta la mitad que un kilo. Seis kilos de arroz me cuestan tres veces más que dos kilos y un kilo me costará la sexta parte (seis veces menos) de lo que cuestan seis kilos.

También son magnitudes directamente proporcionales la velocidad y la distancia recorrida; la cantidad de operarios que hacen un trabajo y la cantidad de trabajo que realizan; el tiempo que un grifo permanece abierto y la cantidad de agua que echa; la cantidad de cabezas de ganado que hay que alimentar y la cantidad de alimento que consumen; etc.

Con los valores de dos magnitudes directamente proporcionales se puede elaborar una tabla de valores. Con cada par de valores de esta tabla se pueden formar una razón. Y con cada par de estas razones se puede formar una proporción. También se puede formar una proporción con un par de valores de la misma magnitud en una razón y sus correspondientes en la otra. Incluso también se puede formar proporción invirtiendo las dos razones que forman una proporción.

En cualquier caso, en una relación de proporcionalidad directa “el cociente entre dos valores correspondientes es constante (da siempre lo mismo) y se llama constante de

proporcionalidad directa”.

Por lo tanto la constante de proporcionalidad directa se puede hallar dividiendo el valor de una magnitud entre su correspondiente en la otra.

PD

MAGNITUD A 1 2 3 4 … n

MAGNITUD B 1’5 3 4’5 6 _… 1’5· n

La constante de proporcionalidad de esta tabla se halla dividiendo cualquier valor de la magnitud B entre su correspondiente de la magnitud A.

Constante de proporcionalidad, k =1’5 : 1 = 3 : 2 = 4’5 : 3 = 6 : 4 = … = 1’5 · n : n = 1’5 Si se multiplica un valor de la magnitud A por la constante de proporcionalidad se obtiene su correspondiente de la magnitud B.

Y si se divide un valor de la magnitud B entre la constante de proporcionalidad se obtiene su correspondiente de la magnitud A.

TABLAS DE VALORES DE UNA PROPORCIONALIDAD DIRECTA

En una tabla de valores de una relación de proporcionalidad directa se puede hallar el valor correspondiente a uno determinado de una magnitud en la otra de varias formas:

- Teniendo en cuenta la definición de proporcionalidad directa, dividiendo el valor

determinado entre un valor de la misma magnitud de una pareja de valores correspondientes conocida para ver cuántas veces aumenta y luego multiplicar el resultado por el valor

correspondiente de dicha pareja. PD

MAGNITUD A 4 20 y

MAGNITUD B 6 x 3

20  20 : 4 = 5  x = 6 · 5 = 30  x = 30 3  3 : 6 = 0’5  y = 4 · 0’5 = 2  y = 2

PD

MAGNITUD A 4 20 2

MAGNITUD B 6 30 3

- Formulando una proporción y calculando el término desconocido. PD MAGNITUD A 4 20 Y MAGNITUD B 6 x 3 2 y 2 6 12 6 3 4 y 3 y 6 4 30 x 30 4 120 4 20 6 x x 20 6 4 = ⇒ = = = ⇒ = = ⇒ = = = ⇒ = · ·

- Con la constante de proporcionalidad directa: PD MAGNITUD A 4 20 y MAGNITUD B 6 x 3 K = 6 : 4 = 1’5  x = 20 · 1’5 = 30  x = 30 y = 3 : 1’5 = 2  y = 2 FACTOR DE CONVERSIÓN

Un factor de conversión es un una fracción, de valor 1, que expresa una relación de proporcionalidad directa de una magnitud consigo.

Una de las aplicaciones más comunes de los factores de conversión es el del cambio de unidades.

kg 0'223 · g 1000 kg 1 _{= → = = =} = = 1000 kg 233 g 1000 kg 1 · g 223 g 1000 kg 1 g 223 kg a g 223 kg 1 kg 1 1 1

Y para pasar de kg a gramos se utilizará este otro factor de conversión:

kg 223 kg 1 g 1000 _{→ = = =} = 1 g 1000 · 0'223 kg 1 g 1000 · kg 0'223 kg 1 g 1000 · kg 0'223 g a kg 0'223 1

Para pasar de cm3 _{se puede utilizar el siguiente factor de conversión:}

L 0'35 cm 1000 L 1 3 = = = = → = = = 1000 L 1 · 350 cm 1000 L 1 · cm 350 cm 1000 L 1 · cm 350 L a cm 350 1 dm 1 L 1 1 3 3 ₃ 3 ₃ 3 ======================================================================== ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 146 del libro la cuestión 1, “Magnitudes directamente

proporcionales”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los

apuntes anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades.

16.- Identifica, marcando con PD, las magnitudes que sean directamente proporcionales, razonando tu respuesta.

____ a) El número de personas que viajan en un autobús y el dinero que gana cada una.

____ b) La cantidad de pienso que gasta un granjero a la semana y el número de vacas que alimenta.

____ c) El tiempo que está el cántaro en la fuente y la cantidad de agua que se recoge.

17.- Razona por qué las magnitudes relacionadas en cada tabla son de

proporcionalidad directa y complétalas, justificando los resultados. Halla también en cada caso la constante de proporcionalidad.

a) Un camión avanza por una carretera a 50 km/h.

TIEMPO (horas) 1 2 3 5 1/2 1/4

ESPACIO (km) 50

b) Un kilo de peras cuesta 120 céntimos de euro.

PESO (kilos) 1 2 3 10 1/2 1/3 1/4

PRECIO

(céntimos) 120

18.- Utiliza el factor de conversión indicado en cada caso para pasar de una unidad a otra. g 1 mg 000 1 1 conversión de factor el con mg a g 2'8 mL 1000 L 1 1 conversión de factor el con litros a ml 1450 = = b) a)

19.- ¿Cuál será el factor de conversión que permite pasar de horas a minutos? Utilízalo para pasar 5 h a minutos.

20.- Página 146, actividad 1. 21.- Página 146, actividad 2.

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4.2.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

CON UNA REDUCCIÓN A LA UNIDAD

Consiste en calcular primero el valor correspondiente a uno en la magnitud cuestionada, y a partir de este obtener los valores cuestionados. Para eso, en la justificación de los resultados, se siguen los siguientes pasos:

I.- Datos y preguntas.

II.- Razonamiento y planificación:

- Identificando las magnitudes relacionadas.

- Razonando el tipo de relación que hay entre dichas magnitudes, en este caso de proporcionalidad directa.

- Eligiendo el método de resolución, en este caso por reducción a la unidad. III.- Justificación de los resultados, con las operaciones en forma de igualdad:

- Elaborando una tabla de valores con los datos del enunciado incluyendo el valor 1 de una de las magnitudes y su correspondiente en la magnitud cuestionada.

- Completando la tabla de valores, hallando primero el valor correspondiente a 1 y a partir de él obtener los valores cuestionados aumentando o disminuyendo (multiplicando o

dividiendo por el correspondiente a 1)los valores correspondientes a estos. IV.- Expresar la solución con una frase completa e independiente.

PROBLEMA RESUELTO 1

De una fuente recogemos 20 litros de agua en 4 minutos. ¿Cuántos litros recogeremos en 7 minutos?

Recogemos 20

l

Las magnitudes relacionadas son el VOLUMEN de agua que echa la fuente y el TIEMPO durante el cual se recoge el agua.

Al aumentar (disminuir) el TIEMPO una cierta cantidad de veces, el VOLUMEN de agua que echa también aumenta (disminuye) la misma cantidad de veces. Se trata de una relación de PROPORCIONALIDAD DIRECTA. Se puede resolver por REDUCCIÓN A LA UNIDAD. TIEMPO (min) ---PD---VOLUMEN (

l

4 --- 20

Disminuye 4 veces Disminuye  4 veces

1 ---20 : 4 = 5

Aumenta  7 veces Aumenta  7 veces

7 --- 5 · 7 = 35 En siete minutos se recogerán 35 litros.

ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 147 del libro la cuestión 1.2, “Método de reducción a

la unidad”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes

anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades.Resuelve con una reducción a la unidad:

22.- Un corredor da 3 vueltas a una pista polideportiva en 12 minutos. Si sigue al mismo ritmo, ¿cuánto tardará en dar 5 vueltas?

23.- Julia y Andrés reparten propaganda. Los 5 paquetes que lleva Julia pesan 6 kilos. ¿Cuánto pesarán los 8 paquetes que lleva Andrés?

24.-Un piso de 90 m2 _{cuesta 171.000 €. ¿Cuánto costará otro piso similar de 110 m}2 _en el mismo edificio?

25.- Un grifo echa 42 litros de agua en 7 minutos. ¿Cuántos litros echa en 11 minutos? ======================================================================

CON UNA REGLA DE TRES DIRECTA Se siguen los siguientes pasos: I.- Datos y preguntas.

II.- Razonamiento y planificación:

- Identificando las magnitudes relacionadas.

- Razonando el tipo de relación que hay entre dichas magnitudes, en este caso de proporcionalidad directa.

- Eligiendo el método de resolución, en este caso por regla de tres directa.

III.- Justificación de los resultados:

- Elaborando una tabla de valores con los datos y la pregunta del enunciado identificándola con una letra, normalmente x, y, z, ... .

- Formar con cada pareja de valores de la misma magnitud sendas razones. - Formular una proporción con cada una de las razones del paso anterior. - Hallar el término desconocido de la proporción anteriormente formulada.

PROBLEMA RESUELTO 2

Montse pagó 2’76 € por 230 gramos de queso manchego. ¿Cuánto pagará Andrés por una porción de ese mismo queso, que pesó 315 gramos?

Por 230 g, pagó 2’76 € Por 315 g, ¿pagará?

Las magnitudes relacionadas son el PESO del queso que compra y su COSTE. Al aumentar (o disminuir) el PESO una cierta cantidad de veces, el COSTE también aumenta (o disminuye) la misma cantidad de veces. Se trata de una relación de PROPORCIONALIDAD DIRECTA. Se puede resolver por REGRA DE TRES DIRECTA.

x es lo que pagará por 315 g.

− − − − − − − −− →   − − − − − − − − − −− → _  − − − − − − − − − −− →  ↓ ↓ _{ ⇒ = = =}     ↓ − − − → = ← − − − − ↓ _ PESO( g) PD COSTE( €) 230 2'76 315 x 315 · 2'76 869'4 _{x 3'78} 230 230 230 2'76 315 x 230 2'76 315 x €

Por trescientos quince gramos de queso pagarán 3’78 euros.

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ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 147 del libro la cuestión 1.1, “Regla de tres simple

directa”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes

anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades.

Resuelve con una regla de tres:

26.- Un corredor de maratón recorrió los primeros 2’4 km en 8 minutos. Manteniendo la misma velocidad, ¿cuánto tardará en completar los 42 km de la carrera?

27.- ¿A cuánto sale el kilo de mortadela sabiendo que se pagaron 2’55 € por 340 gramos?

28.- Página 147, actividad 4. 29.- Página 147, actividad 5.

5.- PROPORCIONALIDAD INVERSA

5.1.-RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

La relación de proporcionalidad inversa (PI)es la que hay entre dos magnitudes si al aumentar (disminuir) una de ellas una cierta cantidad de veces la otra disminuye (aumenta) la misma cantidad de veces.

Es decir, si una aumenta al doble (se multiplica por dos) la otra disminuye a la mitad (se divide entre dos); si una aumenta cinco veces (se multiplica por cinco) la otra disminuye cinco veces (se divide entre cinco); o bien si una disminuye tres veces (se divide entre tres) la otra aumenta tres veces (se multiplica por tres). Se llaman magnitudes inversamente proporcionales. Por ejemplo, entre la velocidad y el tiempo que se tarda en realizar un recorrido hay una relación de proporcionalidad inversa ya que si se aumenta velocidad al doble, el tiempo que se tarda disminuye a la mitad. Si disminuye la velocidad a la cuarta parte, (se divide entre cuatro) el tiempo aumenta cuatro veces (se multiplica por cuatro). A 40 km/h tardo la mitad de tiempo que a 20 km/h y el triple que a 120 km/h.

También son magnitudes inversamente proporcionales la cantidad de operarios que hacen un trabajo y el tiempo que tardan en realizarlo; el caudal de agua que echa un grifo y el

tiempoque tarda en llenar un recipiente; la cantidad de cabezas de ganado que hay que alimentar y el tiempo durante el cual las podemos alimentar; etc.

Con los valores de dos magnitudes inversamente proporcionales se puede elaborar una tabla de valores. Con cada par de valores de una misma magnitud se pueden formar una razón. E, invirtiendo una de esas razones se puede formar una proporción.

PI MAGNITUD A 4 8 12 MAGNITUD B 6 3 2 3 2 12 8 2 3 In 12 8 2 3 ; 12 8 6 2 12 4 2 6 In 12 4 2 6 ; 12 4 6 3 8 4 3 6 In 8 4 3 6 ; 8 4 =       = → = →       = → = →       = →

También se puede formar una proporción cruzando los valores correspondientes de dos parejas de valores. 3 12 2 8 2 y 12 ; 3 y 8 6 2 12 4 2 y 12 ; 6 y 4 6 3 8 4 3 y 8 ; 6 y 4 = → = → = →

Invirtiendo las razones de cada una de las anteriores proporciones formadas se obtienen otras tantas proporciones.

En cualquier caso, en una relación de proporcionalidad inversa “el producto entre dos valores correspondientes es constante (da siempre lo mismo) y se llama constante de

proporcionalidad inversa”.

Por lo tanto la constante de proporcionalidad inversa se puede hallar multiplicando el valor de una magnitud por su correspondiente en la otra.

PI

MAGNITUD A 1 2 3 4 … n

MAGNITUD B 60 30 20 15 … n : 60

1 · 60 = 2 · 30 = 3 · 20 = 4 · 15 = … = n · (n : 60) = 60 = constante de proporcionalidad inversa (k)

TABLAS DE VALORES DE UNA PROPORCIONALIDAD INVERSA

En una tabla de valores de una relación de proporcionalidad inversa se puede hallar el valor correspondiente a uno determinado de una magnitud en la otra de varias formas:

- Teniendo en cuenta la definición de proporcionalidad inversa, dividiendo el valor determinado entre un valor de la misma magnitud de una pareja de valores correspondientes conocida para ver cuántas veces aumenta y luego dividiendo el valor correspondiente de dicha pareja entre el resultado de la primera división.

PI

MAGNITUD A 4 8 Y

MAGNITUD B 20 X 50

8 8 : 4 = 2 x = 20 : 2 = 10 x = 10

50  50 : 20 = 2’5  y = 4 : 2’5 = 1’6 y = 1’6

- Formulando una proporción y calculando el término desconocido. PI

MAGNITUD A 4 8 y

1'6 y 1'6 50 80 50 20 4 y 20 50 y 4 50 20 ; y 4 10 x 10 84 80 8 20 4 x 20 x 8 4 x 20 ; 8 4 = ⇒ = = = ⇒ = → = ⇒ = = = ⇒ = → · ·

- Con la constante de proporcionalidad inversa, dividiéndola entre el valor correspondiente al desconocido que se quiere hallar.

PD MAGNITUD A 4 8 y MAGNITUD B 20 x 50 K = 4 · 20 = 80  x = 80 : 8 = 10  x = 10 y = 80 : 50 = 1’6  y = 1’6 ======================================================================== ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 150 del libro la cuestión 3, “Magnitudes inversamente

proporcionales”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los

apuntes anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades.

30.- Identifica, marcando con PI, las magnitudes que sean inversamente proporcionales, razonando tu respuesta.

____ a) El peso de un libro, elegido al azar en una biblioteca, y el número de páginas que contiene.

____ b) El volumen de una caja y el número de cajas iguales que se pueden almacenar en una nave.

____ c) El número de hijos de una familia y el número de días que tienen de vacaciones.

____ d) El caudal (nº de litros por minuto) que echa un manantial y el tiempo que tarda en llenar un cántaro de 20 litros.

31.-Razona por qué las magnitudes relacionadas en cada tabla son de

proporcionalidad inversa y complétalas, justificando los resultados. Halla en cada cada una su constante de proporcionalidad

a) Un coche, a la velocidad de 60 km/h tarda 30 min en ir de una población A a otra B.

VELOCIDAD

(km/h) 60 120 180 30 10 40

TIEMPO (min) 30

b) Sabemos que 4 tractores aran un campo en 6 horas.

Nº DE

TRACTORES 4 2 1 3 6 8

TIEMPO (horas) 6

32.- Página 150, actividad 12. 33.- Página 150, actividad 13 .

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5.2.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Un problema de proporcionalidad inversa se puede resolver de dos formas diferentes: CON UNA REDUCCIÓN A LA UNIDAD

Se siguen los siguientes pasos: I.- Datos y preguntas.

II.- Razonamiento y planificación:

- Identificando las magnitudes relacionadas.

- Razonando el tipo de relación entre dichas magnitudes, en este caso de proporcionalidad inversa.

- Eligiendo el método de resolución, en este caso por reducción a la unidad. III.- Justificación de los resultados:

- Elaborando una tabla de valores con los datos y preguntas del enunciado y el valor 1 de una de las magnitudes y el correspondiente en la magnitud cuestionada.

- Completando la tabla de valores, hallando primero el valor correspondiente a 1 y a partir de él obtener los valores cuestionados aumentando o disminuyendo (multiplicando o

dividiendo por el correspondiente a 1) los valores correspondientes a estos. IV.- Expresar la solución con una frase completa e independiente.

PROBLEMA RESUELTO 3

Tres caballos consumen una carga de heno en 10 días. ¿Cuántos días le durará una carga de heno a 5 caballos?

A 3 caballos les dura 10 días. A 5 caballos, ¿cuánto les durará?

Las magnitudes relacionadas son la CANTIDAD DE CABALLOS y el TIEMPO que les dura el heno.

Al aumentar (o disminuir) la CANTIDAD DE CABALLOS una cierta cantidad de veces, el TIEMPO disminuye (o aumenta) la misma cantidad de veces. Se trata de una relación de PROPORCIONALIDAD INVERSA. Se puede resolver por REDUCIÓN A LA UNIDAD. CANTIDAD

DE CABALLOS ---PI---TIEMPO (d) 3 --- 10

Disminuye 3 veces Aumenta  3 veces

1 --- 10 · 3 = 30

Aumenta  5 veces Disminuye  5 veces

5 --- 30 : 5 = 6

A cinco caballos la carga de heno les duraría 6 días.

====================================================================== ACTIVIDADES

Lee detenidamente los apuntes anteriores, reflexiona y estudia lo destacado. Consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades.

Resuelve por reducción a la unidad:

34.- Diez obreros construyen un dique en 8 días. ¿Cuánto tiempo tardarían 16 obreros?

35.- Adela, caminando a la velocidad de 4 km/h, tarda 20 min en ir desde su casa al instituto. ¿Cuánto tardaría si caminase a una velocidad de 5 km/h?

36.- Página 151, actividad 19. 37.- Página 151, actividad 20.

CON UNA REGLA DE TRES INVERSA Se siguen los siguientes pasos: I.- Datos y preguntas.

II.- Razonamiento y planificación:

- Identificando las magnitudes relacionadas.

- Razonando el tipo de relación que hay entre dichas magnitudes, en este caso de proporcionalidad inversa.

- Eligiendo el método de resolución, en este caso por regla de tres inversa. III.- Justificación de los resultados:

- Elaborando una tabla de valores con los datos y pregunta del enunciado identificando el valor cuestionado con una letra (x, y, z,...).

- Formar con cada pareja de valores de la misma magnitud sendas razones.

- Formular una proporción con una de las razones del paso anterior y la inversa de la otra. - Hallar el término desconocido de la proporción anteriormente formulada.

IV.- Expresar la solución con una frase completa e independiente.

PROBLEMA RESUELTO 4

Un autobús que marcha a 60 km/h, tarda 16 minutos en cubrir la distancia entre Noia y Outes. ¿Cuánto tardaría se hiciese el recorrido a 80 km/h?

A 60 km/h, tarda 16 min. A 80 km/h, ¿tardaría?

Las magnitudes relacionadas son la VELOCIDAD del autobús y el TEMPO que tarda. Al aumentar (o disminuir) la VELOCIDAD una cierta cantidad de veces, el TIEMPO

disminuye (o aumenta) la misma cantidad de veces. Se trata de una relación de

PROPORCIONALIDAD INVERSA. Se puede resolver por REGRA DE TRES INVERSA. x es lo que tardaría a 80 km/h. min 12 80 960 80 16 60 x x 16 60 80 x 16 60 80 Inversa x 16 80 60 x 80 16 60 (min) TIEMPO PI (km/h) VELOCIDAD = = = ⇒                  ↓ − − − − − − − ← = → −− − − − − ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ → − − − − − − − − − − → − − − − − − − − − − → − − − − − − − − ·

A 80 km/h, el autobús tardaría 12 minutos en ir de Noia a Outes.

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ACTIVIDADES

Lee detenidamente en la página 74 del libro la cuestión 4.1, “Regla de tres simple

inversa”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes

anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades.

Resuelve por regla de tres:

38.- Las veinte vacas duna granja consumen una carga de alfalfa en 12 días. ¿Canto durará la misma carga de alfalfa si el número de vacas aumenta a 30?

39.- Un grifo, con un caudal de 8 litros por minuto, tarda 35 minutos en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría en llenarse ese mismo depósito si el grifo tuviese un caudal de 14 litros por minuto?

40.- Página 151, actividad 15. 41.- Página 151, actividad 16. 42.- Página 151, actividad 17. 43.- Página 151, actividad 18

======================================================================

6.- PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

La proporcionalidad compuesta es el conjunto de relaciones de proporcionalidad que hay entre una magnitud y otras dos o más.

Se compone de dos o más relaciones de proporcionalidad simple, directas o inversas. Pueden ser:

- todas directas, - todas inversas o

- unas directas y otras inversas.

6.1.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROPORCINALIDAD COMPUESTA. Se pueden resolver por dos métodos diferentes:

CON UNA REDUCCIÓN A LA UNIDAD

Consiste en calcular primero el valor correspondiente a uno en la magnitud cuestionada y, a partir de este, obtener los valores cuestionados. Para ello se siguen los siguientes pasos. I.- Datos y preguntas.

II.- Razonamiento y planificación:

- Identificando las magnitudes relacionadas.

- Razonando el tipo de relación entre dichas magnitudes..

- Eligiendo el método de resolución, en este caso por reducción a la unidad. III.- Justificación de los resultados:

- Elaborando una tabla de valores con los datos del enunciado incluido el valor 1 de una de las magnitudes y el correspondiente en la magnitud cuestionada.

- Completando la tabla de valores, hallando primero el valor correspondiente a 1 de las otras magnitudes en la magnitud cuestionada y a partir de él obtener los valores

cuestionados aumentando o disminuyendo (multiplicando o dividiendo por el correspondiente a los valores correspondientes a estos).

IV.- Expresar la solución con una frase completa e independiente.

PROBLEMA RESUELTO 5

Una cuadrilla de albañiles, trabajando 8 horas al día, construyeron una pared de 600 m2 _en 15 días. ¿Qué superficie de pared construirían si trabajasen 10 horas diarias durante 18días?. Trabajando 8 h/día, en 15 días, construyen 600 m2_.

Trabajando 10 h/día, en 18 días, ¿superficie construida?

Las magnitudes relacionadas son la DURACIÓN DE LA JORNADA y el TIEMPO que tardan en hacer el trabajo, con la SUPERFICIE construida.

Al aumentar (o disminuir) la DURACIÓN DE LA JORNADA una cierta cantidad de veces, también la SUPERFICIE construida aumenta (o disminuye) la misma cantidad de veces. Hay una relación de PROPORCIONALIDAD DIRECTA.

Y al aumentar (o disminuir) el TIEMPO que tardan una cierta cantidad de veces, la

SUPERFICIE construida también aumenta (o disminuye) la misma cantidad de veces. Hay, también, una relación de PRORCIONALIDAD DIRECTA.

Se trata de una relación de PROPORCIONALIDAD COMPUESTA de dos proporcionalidades SIMPLES DIRECTAS.

DURACIÓN DE LA ---PD--- SUPERFICIE

JORNADA (h/d) TIEMPO (d) ---PD--- CONSTRUÍDA (m2₎ 8 --- 15 --- 600

Disminuye 8 veces Disminuye 8 veces

1 --- 15 --- 600 : 8 = 75

Disminuye 15 veces Disminuye 15 veces

1 --- 1 --- 75 : 15 = 5

Aumenta 10 veces Aumenta 10 veces

10 --- 1 --- 5 · 10 = 50

Aumenta 18 veces Aumenta 18 veces

10 --- 18 --- 50 · 18 = 900

Un grupo de albañiles, trabajando diez horas diarias durante dieciocho días construirán 900 m2 _{de pared.}

PROBLEMA RESUELTO 6

Un ganadero necesita 840 kg de pienso para alimentar 15 vacas durante 7 días. ¿Durante cuánto tiempo podría alimentar 10 vacas con 320 kg?

Con 840 kg de pienso, alimenta 15 vacas, durante 7 días . Con 320 kg de pienso, alimenta 10 vacas, ¿Cuánto tiempo?

Las magnitudes relacionadas son el TIEMPO con el PESO del pienso y con la CANTIDAD DE VACAS.

Al aumentar (o disminuir) el PESO del pienso una cierta cantidad de veces, también el TIEMPO aumenta (o disminuye) la misma cantidad de veces. Hay una relación de PROPORCIONALIDAD DIRECTA.

Y al aumentar (o disminuir) la CANTIDAD DE VACAS una cierta cantidad de veces, el TIEMPO disminuye (o aumenta) la misma cantidad de veces. Hay una relación de PRORCIONALIDAD INVERSA.

Se trata de una relación de PRORCIONALIDADE COMPUESTA de dos relaciones de proporcionalidad SIMPLE, una DIRECTA yla otra INVERSA.

______________________________PD__________________  │ PESO DEL CANTIDAD 

PIENSO (kg) DE VACAS ---PI --- TIEMPO (d) 840 --- 15 --- 7

 Disminuye 840 veces  Disminuye 840 veces

1 --- 15 --- 7 : 840 = 7/840 = 1/120  Disminuye 15 veces  Aumenta 15 veces

1 --- 1 --- (1/120) · 15 = 15/120 = 1/8

Aumenta 320 veces Aumenta320 veces

320 --- 1 --- (1/8) · 320 = 320 : 8 = 40 Aumenta 10 veces  Disminuye 10 veces

320 --- 10 --- 40 : 10 = 4

El ganadero podría alimentar las diez vacas durante 4 días.

POR REGLA DE TRES COMPUESTA

Consiste en formular una proporción con los valores de los datos y el valor de lo que se pregunta como término desconocido y resolverla. Se siguen los siguientes pasos:

I.- Datos y preguntas.

II.- Razonamiento y planificación:

- Identificando las magnitudes relacionadas.

- Razonando el tipo de relación que hay entre dichas magnitudes..

- Eligiendo el método de resolución, en este caso por regla de tres compuesta. III.- Justificación de los resultados:

- Se elabora una tabla de valores con los datos del enunciado yel valor de lo que se pregunta, que se identificará con una letra, normalmente x, y, z, … .

- Se forman sendas razones con cada pareja de valores de la misma magnitud.

- Se formula una proporción con la razón que tiene el término desconocido y el producto de las otras o de sus inversas.

- Se resuelve la proporción, calculando el término desconocido. V.- La solución se expresa con una fase completa e independiente.

PROBLEMA RESUELTO 7

Una excavadora, trabajando 10 horas al día durante 8 días, abre una zanja de 1.000 m. ¿Cuánto tardaría en abrir una zanja de 600 m trabajando 12 horas diarias?

Trabajando 10 h/día, abre 1000 m, en 8 días, . Trabajando 12 h/día, abrir 600 m, ¿tardaría?

Las magnitudes relacionadas son el TIEMPO que tarda con la DURACIÓN DE LA JORNADA y la LONGITUD de la zanja..

Al aumentar (o disminuir) la DURACIÓN DE LA JORNADA una cierta cantidad de veces, también el TIEMPO que tarda disminuye (o aumenta) la misma cantidad de veces. Hay una relación de PROPORCIONALIDAD INVERSA.

Y al aumentar (o disminuir) la LONGITUD de la zanja una cierta cantidad de veces, el TIEMPO también aumenta (o disminuye) la misma cantidad de veces. Hay una relación de PRORCIONALIDAD DIRECTA.

Se trata de una relación de PRORCIONALIDAD COMPUESTA de dos proporcionalidades SIMPLES, una INVERSA y la otra DIRECTA.

Se puede resolver aplicando una REGRA DE TRES COMPUESTA. x es el tiempo que tardaría.

días 4 12 48 12000 48000 1000 12 8 600 10 x x 8 600 1000 10 12 x 8 600 1.000 10 12 x 8 600 1.000 10 12 x 8 600 1.000 12 10 x 600 12 8 1.000 10 (d) TIEMPO PD (m) LONGITUD (h/d) JORNADA LA DE PI DURACIÓN = = = = ⇒ = ↓ −− − − − − − − − − − − ← = → −− − − − − − − − − ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ → − − − − − − − − − ↓ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − · · · · ·

La excavadora tardaría 4 días en abrir la zanja.

ACTIVIDADES

Lee detenidamente en las páginas155 y 156 del libro la cuestión 5, “Proporcionalidad

compuesta”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los apuntes

anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades.

44.- Página 156, actividad 26. 45.- Página 156, actividad 27. 46.- Página 156, actividad 28. 47.- Página 156, actividad 29. 48.- Página 156, actividad 30. 49.- Página 156, actividad 31.

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7.- REPARTOS PROPORCIONALES

Es una aplicación de la relación de proporcionalidad en la que se reparte una cantidad proporcionalmente a unas cantidades dadas. Puede ser un reparto proporcional directo o inverso.

7.1.- REPARTO PROPORCIONAL DIRECTO

La cantidad se reparte de forma directamente proporcional a las cantidades dadas. Se trata de una proporcionalidad directa.

Si C es la cantidad a repartir; a, b, c, … las cantidades dadas entre las que se reparte y x, y, z, … las cantidades desconocidas correspondientes, en el reparto, a cada una de las dadas y que habrá que hallar; teniendo en cuenta que C sería la cantidad que correspondería en el reparto al total de las cantidades, a, b, c, …, entre las que se hace el reparto, se podrían formar la siguiente serie de razones:

... , c z , b y , a x , ... c b a C + + +

Y con ellas se formulan las siguientes proporciones con las que se calculan los valores correspondientes x, y, z, …, desconocidos. = ⇒ = + + + + = ⇒ = + + + + = ⇒ = + + + + C x _x C· a a b c ... a a b c ... C y _y C· b a b c ... b a b c ... C z _z C· c a b c ... c a b c ...

PROBLEMA RESUELTO 10

Alfredo, Luis y Carlos repartieron unos folletos publicitarios por lo que percibieron entre los tres 720 euros. Si Alfredo repartió 4 paquetes de folletos, Luis 5 paquetes y Carlos 3 paquetes. ¿Cuánto dinero cobrará cada uno?

Cobraron 720 € Alfredo repartió 4 paqs.(a) ; Luis, 5 paqs. (b) y Carlos, 3 paqs. (c) ¿Dinero de cada uno?

Se tienen que repartir la cantidad total de dinero, C (720 €) proporcionalmente a la cantidad de paquetes repartidos por cada uno. Se trata de un reparto proporcional directo. Se puede resolver aplicando una regla de tres directa formulando las siguientes proporciones.

= ⇒ = + + + + = ⇒ = + + + + = ⇒ = + + + + C x _x C· a a b c a a b c C y _y C· b a b c b a b c C z _z C· c a b c c a b c

Siendo x, y, z las cantidades que cobrarán cada uno.

Substituyendo C, a, b y c por sus valores se obtendrá la solución. Así, Carlos. recibió € 180 12 2160 12 3 720 z 3 z 12 720 Luís recibió € 300 12 3600 12 5 720 y 5 y 12 720 Alfredo. recibió € 240 12 2880 12 4 720 x 4 x 3 4 5 720 = = = ⇒ = = = = ⇒ = = = = ⇒ = + + · · ·

Alfredo cobrará 240 euros, Luís cobrará 300 euros y Carlos cobrará 180 euros.

7.2.- REPARTO PROPORCIONAL INVERSO

Se trata de repartir una cantidad de manera inversamente proporcional a otras dadas. Es decir, a la cantidad mayor dada le corresponde la menor parte y a la cantidad menor dada le

Si C es la cantidad a repartir de manera inversamente proporcional a las cantidades a, b,c

(a>b>c), siendo x, y, z (x<y<z) las cantidades correspondientes en el reparto inverso a a, b, c respectivamente. Y siendo k la constante de proporcionalidad inversa, entonces se cumple que: c k c k z k z · c b k b k y k y b a k a k x k x a = = ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = : : · : ·

La suma de las cantidades que tocan en el reparto (x, y, z) debe ser igual a la cantidad C que se reparte. c 1 b 1 a 1 C k c 1 b 1 a 1 C k C c 1 b 1 a 1 k C c 1 k b 1 k a 1 k C c k b k a k C z y x + + = ⇒ ⇒       _{+ +} = ⇒ =       _{+ +} ⇒ ⇒ = + + ⇒ = + + ⇒ = + + : · · · · PROBLEMA RESUELTO 11

Un equipo de futbol reparte una prima de 120.000 € entre sus dos porteros en partes inversamente proporcionales a los goles encajados por cada uno de ellos durante toda la temporada. Si el portero titular encajó 16 goles y el portero suplente encajó 24, ¿Qué cantidad de dinero cobrará cada uno?

Prima de 120.000 € (C). El titular encajó 16 goles (a) y el suplente 24 goles (b). ¿Cantidad cobrada por cada portero?

Llamando x e y a las cantidades que cobrarán los porteros y al tratarse de un reparto inversamente proporcional a la cantidad de goles encajados:

X = k : a y = k : b z = k : c

Y siendo k la constante de proporcionalidad inversa que se halla con la fórmula:

      _{+ +} = c 1 b 1 a 1 k C:

Así, suplente. el cobrará € 48.000 24 1.152.000 y titular el cobra €, 72.000 16 1.152.000 x 1.152.000 5 5760.000 5 48 120.000 48 5 120.000 48 2 48 3 120.000 24 1 16 1 120.000 k = = = = ⇒ = = = = =       ₊ =       ₊ = : : · : : :

El portero titular cobrará 72.000 euros y el suplente 48.000 euros.

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ACTIVIDADES

Lee detenidamente en las páginas 152 y 153 del libro la cuestión 4, “Repartos

proporcionales”, reflexiona y estudia lo destacado. Completa el estudio con los

apuntes anteriores y consulta tus dudas con el profesor. Cuándo pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades.

50.- Página 154, actividad 22. 51.- Página 154, actividad 23. 52.- Página 154, actividad 24. 53.- Página 154, actividad 25. ========================================================================

ACTIVIDADES FINALES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN

Repasa todo lo estudiado en la lección y resuelve las siguientes actividades. Consulta tus dudas con el profesor.

54.- Página 158, actividad 38. 55.- Página 158, actividad 39. 56.- Página 158, actividad 40. 57.- Página 158, actividad 41. 58.- Página 158, actividad 42. 59.- Página 158, actividad 43. 60.- Página 159, actividad 52. 61.- Página 159, actividad 53. 62.- Página 159, actividad 54. 63.- Página 159, actividad 55. 64.- Página 159, actividad 56. 65.- Página 159, actividad 57. 66.- Página 161, actividad 74. 67.- Página 161, actividad 87. 68.- Página 161, actividad 88. 69.- Página 161, actividad 89.

70.- Página 161, actividad 90. 71.- Página 162, actividad 91. 72.- Página 162, actividad 92. 73.- Página 162, actividad 93. 74.- Página 162, actividad 94. 75.- Página 162, actividad 95.