TEMA 1: Cinemática de la partícula

TEMA 1:

Cinemática de la partícula

1.- Magnitudes cinemáticas: posición, velocidad y

aceleración

2.- Algunos casos de especial interés: movimiento

rectilíneo, circular y parabólico

(1) Magnitudes cinemáticas: posición,

velocidad y aceleración

– Sistemas de referencia

– Posición, velocidad, aceleración

– Componentes intrínsecas de la aceleración

Cinemática: descripción del movimiento sin tener en cuenta las causas que los producen

Dinámica: estudio de las relaciones existentes entre las fuerzas y los movimientos que éstas producen (tema 2)

Elementos básicos de la cinemática:

• Espacio: Se admite la existencia de un espacio absoluto, donde ocurren los fenómenos físicos. Todas las leyes se cumplen rigurosamente en todas las regiones del espacio

• Tiempo: Se admite la existencia de un tiempo absoluto, que trascurre del mismo modo en todas las regiones del Universo

• Móvil. El más simple va a ser el punto material o partícula (es una idealización de los cuerpos de la naturaleza)

Sistemas de referencia

Un sistema de referencia o referencial va a quedar definido por: • Un origen O, un punto en el espacio físico

• Una base vectorial del espacio asociado a dicho espacio físico

► Una partícula se encuentra en movimiento respecto a un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo ► Si la posición no cambia con respecto al referencial, el cuerpo está en reposo en dicho referencial

► Pueden existir diferentes sistemas de referencia → movimiento relativo

http://www.educaplus.org/movi/2_8movrelativo.html

Eliminando el tiempo de las ecuaciones paramétricas: r(t) : vector posición (Intersección de superficies, pérdida de información) x= x(t) y= y(t) z= z(t) r(t)= x(t)i + y(t)j +z(t)k Ecuaciones paramétricas del movimiento

s = O_OP  trayectoria (curva indicatriz de r(t))

Ecuación vectorial del movimiento s =s(t) Ecuación intrínseca del _movimiento

Ecuación geométrica de la trayectoria f₁(x, z) = 0

f₂(y, z) = 0

Cuestión 1.1

Una partícula se mueve recorriendo una circunferencia

de radio r (movimiento en 2 dimensiones), de forma que

el ángulo que recorre varía en función del tiempo (t)

como θ=ωt, siendo ω constante. Describir el movimiento

de la partícula a través de la ecuación vectorial del

movimiento,

ecuaciones

paramétricas,

ecuación

intrínseca y ecuación geométrica.

- Velocidad

_____________∆t___________ PQ = ∆s  arco

PQ = ∆r  desplazamiento OQ = r + ∆r

• Dirección y sentido secante a la trayectoria • Depende de ∆t: poca información

Velocidad media Δt Δr v → → = > < X Y Z O s P r r(t+∆t)=r+∆r Q ∆_r ∆s

t t 0 Δt 0 Δs 0 Δt e v e dt ds v Δt Δs lím Δs r Δ lím Δs Δs Δt r Δ lím v       = = = = → → →

e_t  vector unitario tangente a la trayectoria Celeridad: módulo de la velocidad

• → → → → → = = = _r dt dr Δt Δr lim v 0 Δt http://www.educaplus.org/movi/2_5velocidad.html

Notemos que v es un vector tangente a la trayectoria

t

e

v

v

 =



En coordenadas cartesianas (vectores unitarios constantes)

+

+

=

=

+

+

=

+

+

=

=

+

+

=

2 z 2 y 2 x z y x

v

v

v

dt

ds

v

k

v

j

v

i

v

k

dt

dz

j

dt

dy

i

dt

dx

dt

r

d

v

k

z

j

y

i

x

r

























Componentes cartesianas del vector velocidad

- Aceleración

Aceleración instantánea

La aceleración tiene la misma dirección que el cambio instantáneo

de velocidad  apunta hacia la

concavidad de la curva 2 2 0 Δt dt r d dt v d Δt v Δ lím a     = = = → Aceleración media

Δt

v

Δ

a





=

v a v v a a http://www.physicsclassroom.com/mmedia/kinema/avd.cfm

2 z 2 y 2 x 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x z y x a a a a k dt z d j dt y d i dt x d dt r d a k a j a i a k dt dv j dt dv i dt dv dt v d a + + = + + = = + + = + + = =             

En coordenadas cartesianas (vectores unitarios constantes):

v₁ v₂ v₃ v₄ a₁ a₂ a₄ a3 Indicatriz de la velocidad (también llamada hodógrafa) X Y Z O r₁ r_{2 r3} r₄ v₁ v_{2 v} 3 v₄ Indicatriz de la

posición  trayectoria vectorial: curva resultante de unir _{los extremos de dicha función}

Cuestión 1.2

Un punto material que se mueve a lo largo de una línea recta

tiene una velocidad en cm/s dada por v=12-3t

2

_{, donde t}

está expresada en segundos. Calcula la distancia total s

recorrida durante el intervalo desde t=0 hasta t=3 s y el

desplazamiento ∆x del punto material durante el mismo

intervalo.

Componentes intrínsecas de la aceleración

→ →

=

_v

_e

_t

v

Derivando la expresión de la velocidad:

dt de v e dt dv ) e (v dt d dt dv a _{t t} t → → → → → + = = = Trayectoria rectilínea: Trayectoria curvilínea: cte e→_t = ₀ dt de→_{t =} → → t e // a 0 dt de→_{t ≠ necesariamente} Aceleración: no paralela a la velocidad

e_{t ≡}versor de módulo cte

dirección: la normal principal sentido: el de la concavidad Tenemos: ds = ρdθ ds 1 de_t ρ = → θ = → → d e de_{t t} ρ = ρ = → v dt ds 1 dt de_t → _→ ρ = _n t _e dt de v 1 e . e→_t →_t = 2et.de_dtt = 0 → → dt de e_t t → → ⊥ dt de→_t → → n t _//e dt de

(arco = radio . ángulo)

→ → → + = _t 2 _en ρ v e dt dv a → → → → = = n 2 n t t e ρ v a e dt dv a ρ v a dt dv a 2 n t = = 2 n 2 t a a a = + Finalmente: aceleración tangencial aceleración normal

Cambio del módulo (celeridad) Cambio de la dirección 2 n 2 n a a a = − n a 2 v = ρ

Apéndice: Componentes polares planas

En ciertos problemas de movimiento plano de la partícula, a veces interesa trabajar con nuevo sistema de referencia: Coordenadas Polares Planas (r y θ). Las componentes de cualquier vector en estas coordenadas se conocen como componentes radial y transversal.

La relación entre las componentes cartesianas y polares de un vector viene dada por: x y arctg y x r rsen y cos r x 2 2 = θ + = θ = θ =

Los vectores base son los vectores unitarios e_r y eθ

→ →

=

r

e

_r

r

( )

dt e d r e dt dr dt e r d _r r r     + = = v

Componentes polares planas

 “Componentes intrínsecas de la

velocidad”

Derivamos para obtener las expresiones de la velocidad y la aceleración:

) e r ( dt d dt r d r → → → = = v

Necesitamos conocer las derivadas de los vectores unitarios e_r y eθ :

? dt e d ¿ ? dt e d ¿ r → θ → ) e r ( dt d dt r d dt v d a 2 ₂ 2₂ →_r → → → = = =

Siguiendo el mismo modo de razonar que con las componentes intrínsecas, tendremos: θ = → → d e de_{r r} de_dtr = _dtdθ → → θ → θ = e dt dt de_r d → → θ _{= −} θ r e dt dt de d De la misma forma: → → → θ → → → θ + θ − = θ + θ = j cos i sen e j i e_r cos sen → θ • → → • → → → → → θ =       θ + θ − θ =       θ + θ − θ = θ θ + θ θ − = e j cos i sen j cos i sen j cos i sen dt e d _r dt d dt d dt d → • → θ _{= =−θ} r e ... dt e d

• • •• • •• + = − = θ r 2 θ r a θ r r a θ 2 r • • = = θ r v r v θ r Finalmente: → • → • • → → • → → + = + = = r _{rer rer rer rθeθ} dt ) e d(r v → • • •• → • •• • → • → •• → • • • → • → •• → → + + − = = + + + + = = θ r 2 θ θ θ r r e ) θ r 2 θ (r e ) θ r r ( e θ r e θ r e θ r e r e r dt v d a

Es importante notar que la descripción de la velocidad y aceleración no pueden depender, obviamente, del sistema de referencia elegido, y que elijamos uno y otro, los vectores que describimos son iguales.

Consideremos, por ejemplo, el siguiente mecanismo, que obliga al pasador P a moverse como se muestra en la figura.

La velocidad que tiene el pasador P debe ser la misma hagamos la descripción con un sistema de referencia u otro:

P

De la misma forma, la aceleración tienen que ser la misma, hagamos su descripción con un sistema de referencia u otro:

Cuestión 1.3

Las coordenadas de un cuerpo en movimiento son:

x = t

2

y = (t-1)

2

Calcular las aceleraciones tangencial y normal en

cualquier instante. Dar los valores de estas

componentes cuando t = 1 s.

- coordenadas cartesianas

- coordenadas intrínsecas

- coordenadas polares planas

Cuestión 1.4

Considérese el ejemplo de la cuestión 1 (partícula que se

mueve recorriendo una circunferencia de radio r, donde el

ángulo varía en función del tiempo como θ=ωt, siendo ω

constante). Describir los vectores velocidad (v) y

aceleración (a) usando los tres sistemas de referencia

mencionados y comprobar que los resultados son idénticos:

(

2) Algunos casos de especial interés:

movimiento rectilíneo, circular y parabólico

– Movimiento rectilíneo

• Movimiento rectilíneo uniforme

• Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

– Movimiento circular

• Movimiento circular uniforme

• Movimiento circular uniformemente acelerado

- Movimiento rectilíneo

En esta situación, la trayectoria queda determinada por un vector unitario contenido en dicha recta: u

- Movimiento curvilíneo

Los vectores a y v no son colineales. (La trayectoria ya no es una línea recta)

La idea de la cinemática es que si conocemos la aceleración y la velocidad inicial de la

partícula podremos conocer el movimiento subsiguiente de la misma (integrando).

Distinguiremos genéricamente entre dos situaciones: movimiento rectilíneo o curvilíneo Vectores a y v colineales  la trayectoria es una

• Si v y a tienen el mismo sentido  movimiento rectilíneo acelerado • Si v y a tienen sentido opuesto  movimiento rectilíneo retardado Podemos también escribir:

→ → = u dt ds v → → → = = i dt dx i v v

De cara a hacer la integración, se suele hacer coincidir la dirección del movimiento con el eje X

2 2 dt x d dt dv a dt dx v = = = http://www.educaplus.org/movi/2_6aceleracion.html

Veamos como resolver un problema cinemáticamente si sabemos que el movimiento es rectilíneo. Como hemos dicho, la dirección de v y a es común en este caso y viene dada por un vector unitario u:

● Movimiento rectilíneo uniforme

“Movimiento rectilíneo con aceleración nula (a=0)” Integrando las ecuaciones:

0 dt x d dt dv a dt dx v 2 2 = = = = v =cte = v0 t v x x = ₀ + ₀ 0 a dt dv _tt v v_o = ∫ _o = ∫ ∫ = ∫ = ∫_xx _tt _{t 0}t o o odx v dt v dt (tomaremos t₀ = 0)

● Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

“Movimiento rectilíneo con aceleración constante no nula (a=cte)” Integrando las ecuaciones (de la misma forma que antes):

cte dt dv a dt dx v = = = ∫dv = ∫adt = a∫dt v = v0 +a.t 2 0 0 v t ₂1 a.t x x = + + ∫ + ∫ = = ∫ + = ∫ = ∫ tdt a dt v a.t)dt (v vdt x d 0 0 http://www.educaplus.org/movi/3_3et1.html http://www.educaplus.org/movi/3_4vt1.html

● Movimiento rectilíneo uniforme 0 v cte v = = t v x x = ₀ + ₀

● Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

at v v = ₀ + at 2 1 t v x x = ₀ + ₀ + 2 a t v t e t a t v t e t

Cuestión 1.5

¿Cuál de las curvas velocidad-tiempo de la figura describe

mejor el movimiento de un objeto sometido a una aceleración

constante y positiva?

Situación particular del movimiento curvilíneo en el que la trayectoria es una circunferencia (radio R=cte). Se trata pues de un movimiento en un plano.

θ = _R s v = _dtds = Rdθ_dt • θ = θ = ω dt d R v ω=

Definimos la velocidad angular como:

Así:

γ

ω

=

_{r sen}

v

→ → → ω = _{x r} v

La velocidad angular se puede expresar como una cantidad vectorial:

γ = _{r sen} R Así: (unidades de ω: radianes/s) Movimiento circular

Podemos escribir en este caso:

Cuando la velocidad angular cambia con el tiempo, la partícula posee

aceleración angular:

Si el movimiento es circular, la dirección de ω no varía (es perpendicular al plano que contiene el círculo), y α tiene esa misma dirección

•• •

θ

=

ω

=

ω

=

α

dt

d

Como va a ocurrir siempre, podemos describir un movimiento en los distintos sistemas de coordenadas. El movimiento circular en coordenadas intrínsecas tendrá por componentes de la aceleración:

α = ω = = R dt d R dt dv a_t R R v a_n = 2 = ω2

● Movimiento circular uniforme Movimiento circular con ω=cte Puesto que ω=cte:

cte dt dθ ₌ = ω ∫ ω = ∫ ω = θ ∫d dt dt θ = θ0 + ω t Integrando:

El movimiento se repite (la partícula pasa por cada punto del círculo a intervalos iguales de tiempo)  movimiento periódico

• T=periodo≡tiempo requerido para realizar una vuelta completa o revolución

(ν=frecuencia≡número de revoluciones por unidad de tiempo) ν = ω π = 2 1 T http://perso.wanadoo.es/cpalacio/mcu2.htm

0

a

_t

=

Notemos que, en el caso de movimiento circular uniforme (α=0):

0 R a_n = ω2 ≠ En este caso: → → → → → → → → ω = ω =       ω = = x v dt r d x r x dt d dt v d a      _ω ω = → → → → r x x a

Cuestión 1.6

La Tierra (R

_T

= 6371 km) rota una vez cada 24 h, de forma

que los cuerpos que están sobre su superficie describen un

movimiento circular uniforme respecto a su eje cuyo

periodo es 24 h. ¿Cuál es el módulo de la velocidad y de la

aceleración de una persona que está sobre el ecuador?

● Movimiento circular uniformemente acelerado Movimiento circular con α=cte:

Integrando:

cte

dt

d

ω

₌

=

α

dt

dθ

=

ω

∫

α

=

∫ α

=

ω

∫

d

dt

dt

ω = ω0 + α t ∫ α + ∫ ω = ∫ ω + α = ∫ ω = θ ∫d dt ( ₀ t)dt ₀ dt tdt θ = θ₀ + ω₀ t + ₂1 αt2 http://perso.wanadoo.es/cpalacio/mcu2.htm

Movimiento parabólico

El movimiento curvilíneo genérico puede ser muy complejo. Una situación sencilla de interés se da cuando la aceleración es cte. En este caso, las ecuaciones cinemáticas son:

dt r d v cte dt v d a → → → → = = = Integrando: t a v v →0 → → + = 2 0 0 v t ₂1 a t r r → → → → + + = ∫ ∫d→v = ∫→adt =→a dt ∫ ∫ + = ∫ _      + = ∫d→r = ∫→v dt v→₀ →at dt v→₀ dt →a tdt

El movimiento tiene lugar en un plano (dado por los vectores v_o y a)

Se trata de una situación particular de un movimiento curvilíneo en el que la aceleración es constante e igual a la de la gravedad.

2 y 0 x 0 gt 2 1 t v y t v x − = =

En el caso particular en el que la aceleración que actúa sobre la partícula es la de la gravedad (g) tenemos el movimiento parabólico.

En coordenadas cartesianas escribiremos:

→ → → → → + = + = v i v j v cosα i v senα j v_{0 0x 0y 0 0} cte j -g g a = → = → = → t a v v →0 → → + = _{0 0} a t2 2 1 t v r r → → → → + + =

Así, las ecuaciones genéricas vistas antes: se expresan ahora como:

→ → → → → → −       + = + = v i v j v i v j gt j (t) v _{x y 0x 0y} gt v v v v y 0 y x 0 x − = = → → → → → → −       + = + = gt j 2 1 t j v i v j y i x (t) r _{0x 0y} 2 Ecuaciones paramétricas del movimiento

Cuestión 1.7

Se dispara un proyectil horizontalmente con una velocidad

inicial v

₀

; despreciando la resistencia del aire, ¿cuál de las

siguientes gráficas es representativa del movimiento del

proyectil?

a) velocidad con que partió el balón

b) altura máxima alcanzada

Cuestión 1.8

Un futbolista golpea el balón con un ángulo de 50º

respecto a la horizontal. Si el balón alcanza el suelo a 20

m del lugar del golpe, determinar:

(3) Movimiento relativo

– Posición, velocidad y aceleración relativas

– Movimiento relativo de traslación uniforme:

transformación galileana

El movimiento de una partícula depende del S.R. elegido. Así, dos observadores (S.R. diferentes) no tienen por qué observar lo mismo  el movimiento es relativo

Vista desde el Sol Vista desde la Tierra

http://www.iesnestoralmendros.es/departam/fisica/4esofq/mov%20relativos/movimiento%20relativo.htm#TAREA

Tratemos entonces de compatibilizar las observaciones hechas por dos (o más) observadores distintos.

Ejemplo: Movimiento de la Luna

Posición, velocidad y aceleración relativas

¿Cuál es la relación de medidas tomadas entre diferentes observadores? Consideremos un sistema de referencia {O; X, Y, Z} para describir dos partículas A y B, así como los vectores posición relativos entre ambas.

→ → → → − = = _{B A} BA AB r r r       − = = → → → → A B B/A AB r r r → → → → − = = _{A B} AB BA r r r → → − = _BA AB r r → → → + = _{A BA} B r r r → → → + = _{B AB} A r r r - Posición relativa

→ → → → → → → → − = − =       ₋ = = AB _{A B} A B _{A B} AB d_dtr _dtd r r d_dtr d_dtr v v v → → → → → → → → − = − =       ₋ = = BA _{B A} B A _{B A} BA d_dtr _dtd r r d_dtr d_dtr v v v

Si derivamos las expresiones anteriores tendremos los denominados “vectores velocidad relativos”: - Aceleración relativa → → → → → → → → − = − =       ₋ = = AB _{A B} A B _{A B} AB d_dtv _dtd v v d_dtv d_dtv a a a → → → → → → → → − = − =       − = = BA _{B A} B A _{B A} BA d_dtv _dtd v v d_dtv d_dtv a a a

Derivando de nuevo en las expresiones anteriores tendremos los “vectores aceleración relativos”:

Consideremos dos observadores (dos referenciales) que se mueven uno respecto a otro con movimiento de traslación uniforme:

 Observador fijo: {O; X, Y, Z} {i, j, k}

 Observador móvil: {O’; X’, Y’, Z’} {i’, j’, k’}

Sea X ≡ X’ la recta del movimiento de traslación X ≡ X´ Y // Y´ Z // Z´

Movimiento relativo de traslación uniforme: transformación galileana

O´ se mueve con velocidad +V respecto a O O se mueve con velocidad –V respecto a O´

Consideremos que en t=0 los orígenes de los dos referenciales coinciden: O ≡ O´

t V

OO´→ = → →V =V→i

Para una partícula P:

→ → → → → → + = + = r´ OO´ r O´P OO´ OP _{→ → →} − = r OO´ r´ r´→ = →r−→Vt x´= x-Vt y´= y z´= z t´= t Transformación Galileana Postulado del tiempo absoluto

Puesto que: → → → → → + + = = _k dt dz j dt dy i dt dx dt r d v → → → → → + + = = _k´ dt dz´ j´ dt dy´ i´ dt dx´ dt´ r´ d v´ (Respecto a O) (Respecto a O’) Derivando la expresión vista anteriormente: r´→ = →r−V→t

→ → → − = V dt r d dt r´ d → → → − = v V v´ v_x´= v_x-V v_y´= v_y v_z´= v_z Transformación galileana de las velocidades

Transformación galileana de las velocidades

Derivando de nuevo:

a_x´= a_x a_y´= a_y a_z´= a_z

Transformación galileana de las aceleraciones:

Transformación galileana de las aceleraciones dt v d dt v´ d→ ₌ → → → = _a a´

La aceleración de una partícula es la misma para todos los

observadores en movimiento relativo de traslación uniforme (vemos que existe una Invariante bajo una transformación)

Cuestión 1.9

Un bote se mueve en dirección N 60

o

_{O a 4 km/h respecto}

al agua. La corriente tiene tal dirección que el movimiento

del barco respecto a Tierra es hacia el Oeste a 5 km/h.

Calcular la velocidad y dirección de la corriente con

respecto a Tierra.

Movimiento absoluto, relativo y de arrastre

Los vectores unitarios (i, j, k) del sistema de referencia

móvil cambian con el tiempo

Consideremos ahora la situación más general en la que tengamos dos sistemas de referencia, uno fijo y otro móvil, con un movimiento tanto de traslación como de rotación:

 Observador fijo: {O; X, Y, Z}  Observador móvil: {O’; X, Y, Z}

Trayectoria absoluta

Trayectoria de arrastre _{Trayectoria relativa}

→ → → → → → → + + + = + = _{r r r x i y j zk} r_{p O´ O´} } , , {→i →j →k

dt k d z k dt dz dt j d y j dt dy dt i d x i dt dx dt r d       + + + + + =

Derivemos la expresión anterior para obtener las expresiones de las velocidades:

dt k d z dt j d y dt i d x k dt dz j dt dy i dt dx dt r d       + + + + + = → rel v

Velocidad absoluta, relativa y de arrastre

dt r d v dt r d dt r d dt r d v_p p O´ _O´ → → → → → → + = + = = Variación de los vectores unitarios ?? dt k d , dt j d , dt i d ¿¿   

Ya vimos que la derivada de un vector unitario es un vector perpendicular al mismo. Así: _i dt i d  ⊥ j c i c k c dt k d i b k b j b dt j d k a j a i a dt i d x y z x y z                − = × = − = × = − = × = De la misma forma:

Notemos que no aparecen en estas ecuaciones a_x, b_y y c_z.

Por lo tanto, no hay restricciones sobre estas

componentes 0 i. k k . j j. i  =   =   = 0 dt i d . k i. dt k d dt k d . j k . dt j d dt j d . i j. dt i d  ₊  ₌   ₊   ₌   ₊   ₌ i a dt i d _  × =

Recordando las propiedades del producto vectorial, podemos poner:

Por otra parte, aun cuando i, j y k pueden cambiar en función de t, la terna de vectores debe ser siempre ortogonal:

0 ) j b .( i j ). i a (×  +  ×  = _(azj − _ayk_).j + _i_.(bxk −_bzi₎ = ₀ z z b a = 0 a c 0 c b y y x x = − = − y y x x a c c b = = ω =      = = ⇒      = = = = = = c b a c b a c b a c b a z z z y y y x x x _{  } De esta forma: Por lo tanto: 0 b a_z − _z =

De la misma forma, las otras dos ecuaciones llevan a que:

Teniendo presente que no teníamos ninguna restricción sobre a_x, b_y y c_z, podemos elegirlas libremente, de forma que podemos elegirlas de tal forma que:

k dt k d j dt j d i dt i d       × ω = × ω = × ω = Así, tenemos:

Notemos que ω verifica:

 Es perpendicular al plano de giro instantáneo

(si giramos en el plano {x,y}  k no gira  dk/dt = ω x k = 0  ω // k)

dt i d x  i dt i d  × ω =

 Tiene la dirección del giro del sacacorchos (regla de la mano derecha)

 Dimensiones:

velocidad ≡ m/s

dt i

d _s-1

( )

i y

( )

j z

( )

k

(

xi

)

(

yj

)

(

zk

)

r x dt k d z dt j d y dt i d x                  × ω = × ω + × ω + × ω = × ω + × ω + × ω = + + Así: r dt r d rel    × ω + = v→

Por tanto, finalmente:

Así, tenemos:

Velocidad absoluta

Velocidad de arrastre

Velocidad relativa

Velocidad de arrastre de traslación Velocidad de arrastre de rotación

→ → → → → × ω + + = _{v v r} v_{p O´ rel} → → → → → + × ω + = _{O´ rel} p v r v v → O´ v → → × ω r

Derivemos de nuevo en la expresión de las velocidades para obtener las expresiones de las aceleraciones:

→ rel a ) r x ( dt d dt v d dt v d dt v d a_p p O´ rel → → → → → → ω + + = = dt v d (*) rel → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → ω + =       + + ω + = =       ω +       ω +       ω +         + + = + + + + + = =       + + = rel rel rel 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 rel v x a k dt dz j dt dy i dt dx x a k x dt dz j x dt dy i x dt dx k dt z d j dt y d i dt x d dt k d dt dz k dt z d dt j d dt dy j dt y d dt i d dt dx i dt x d k dt dz j dt dy i dt dx dt d dt v d → rel v

     →_ω → r x dt d (*) → → → → → → • → → → → → → → → → → → → → ω ω + ω + ω =       _{+ ω} ω + ω = = ω + ω =      _ω r x x v x r x r x v x r x dt d dt r d x r x dt d r x dt d rel rel Finalmente: → → → → • → → → → → → ω ω + ω + ω + + = a a 2 xv x r x xr a_{p O´ rel rel}

Aceleración absoluta Aceleración de arrastre Aceleración relativa r x x r x a a_{p O´} → → → → • → → → ω ω + ω + = 0 a 0; v→_rel = →_rel = Aceleración de Coriolis Notemos que:

 Si la partícula está en reposo en el sistema de referencia móvil:

 Si ω=0 (si el sistema móvil no gira):

Término de arrastre a a a→_p = →_O´+ →_rel a a→_p = →_rel

Si además el movimiento es uniforme ( ): a→_O´ =0

Traslación pura a v x r x x r x a

a _{p O´} → → → → → → _rel → _rel

• → → → + ω + ω ω + ω + = 2

Término absoluto v r x v v→_p = →_O´+→ω → + →_rel a v x 2 r x x r x a

a_{p O´} → → → → → →_rel →_rel

• → → → + ω + ω ω + ω + = r r r→_p = →_O´ + → Término de

arrastre de Coriolis Término Término relativo

Cuestión 1.10

Un disco gira con velocidad angular constante ω alrededor

del eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del

disco. Un punto M se desplaza por la cuerda AB a partir de

su punto medio D con una velocidad relativa constante u. La

distancia entre la cuerda y el centro del disco es igual a c.

Hallar la velocidad y la aceleración absolutas del punto M en

función de la distancia DM=x.

v r x v v→_B = →_A+→ω _BA→ + →_BA a v x 2 r x x r x a a_{B A BA}→ → → _BA→ → →_BA →_BA • → → → + ω + ω ω + ω + = → → → = ≡r_B/A r_BA r → → → → → ω − − = _{B A BA} BA v v xr v → → → → → → • → → → → ω − ω ω − ω − − = _{B A BA BA BA} BA a a xr x xr 2 xv a

Recordando los vectores relativos (B relativo a A), en el caso de que A gire, tendremos que incluir los términos de giro. Así: