Función por Tramos
Una función definida por tramos es una función con distinto comportamiento según el intervalo de su variable independiente considerado. A cada uno de estos intervalos se les conoce con el nombre de tramos. Observa el siguiente ejemplo:
El primer tramo, definido por la ecuación 1+0.5·x es el que nos da el valor de f(x) cuando consideramos una variable independiente x tal que x ∈ (0, 5].
Así, ∄ f (0), f (2) =1+0.5·2=2 y f (5) =1+0.5·5=3.5.
El segundo tramo, definido por la ecuación 0.7·x es el que nos da el valor de f(x) cuando
consideramos una variable independiente x tal que x ∈ [5, ∞). Así, f (5.01) =0.7·5.01=3.507 y f (10) =7.
Una función definida por tramos, también llamada función a tramos, función segmentada o función
seccionada, es aquella que se define con una expresión analítica diferente para distintos intervalos de
su dominio. Tienen la forma general:
Donde:
Expr1, Expr2, … Expr n : Son las relaciones o ecuaciones con las que se obtiene el valor de la función f(x) (variable dependiente y). Se utiliza una u otra según el intervalo del dominio en el que esté la variable independiente x.
Subconjunto1, Subconjunto2, … Subconjunto n : Son los intervalos de números reales para los cuales está definida esa relación o ecuación. Deben expresar un rango de valores disjuntos de la variable independiente x. Dicho de otra manera, un valor de x no puede estar en dos ramas distintas.
Las funciones por tramos son muy importantes para modelar el comportamiento de fenómenos reales de tu día a día.
Una compañía telefónica establece el precio de una llamada con un valor base de 1€. Además, los primeros 5 minutos de llamada se pagan a 0.5€. a partir de entonces el costo del minuto es de 0.7€. A partir de esta situación podemos encontrar una función f(x) que nos permita conocer el importe de una llamada a partir de los minutos x que dura la misma. Es claro que el valor de x debe ser mayor que 0, para que pueda existir una llamada, y por tanto nos cobren por ella. Además, existen dos tramos claramente diferenciados:
El primer tramo, en los primeros 5 minutos de llamada: 0<x⩽5⇒1+0.5x
El segundo tramo, a partir del minuto 5 de la llamada, en el que el coste será el coste completo de los 5 primeros minutos de llamada, más 0.7€ por minuto: x>5⇒3.5+0.7(x−5) =0.7x
Así pues, nos queda como resultado la función con la que abríamos el apartado:
Gráfica
Para realizar la gráfica de una función definida a trozos, simplemente hay que tener en cuenta que cada tramo corresponde con una relación o ecuación distinta y, por tanto, también con una forma gráfica distinta.
Procederemos elaborando una tabla de valores para cada rama, teniendo en cuenta que los valores de x que escojamos deben pertenecer a dicho tramo. Posteriormente representaremos la rama en el rango de valores para el que es válido. Para ello debes prestar especial atención a los extremos de cada tramo, que han de estar incluidos en la tabla. Así mismo, debes tener claro el significado de los signos <, ≤, ≥ y >.
En la ilustración, proceso de elaboración de la gráfica de una función definida a trozos. Partiendo de la expresión analítica, elaboramos una tabla de valores y finalmente representamos dichos valores sobre los ejes cartesianos. Hemos utilizado el verde para representar el primer tramo y el rojo para representar el segundo.
Observa los extremos de los tramos, representados con puntos sólidos, si están incluidos, o transparentes, si no lo están. De manera general podemos decir que el punto sólido correspondería con los símbolos ≥ y ≤ y el punto transparente con los símbolos > y < de la expresión analítica de la función.
Aunque dos ramas distintas pueden estar definidas para subconjuntos en los que aparezca el mismo valor en su extremo, solo uno de ellos como máximo tendrá un signo igual (≤ o ≥). El valor de la función en un cambio de rama se obtiene justamente sustituyendo el valor de x en la rama que tiene el signo igual.
Cambio de tramo
En la función de la ilustración el valor x=0 es el extremo en el que se produce el cambio de tramo. Por tanto, cuando elaboremos las tablas de valores debemos incluirlo en ambas, para saber dónde termina un tramo y donde comienza el otro. Así, el primer tramo termina en el (0,0) y el segundo comienza en el (0,1).
Sin embargo, el signo igual, y por consiguiente el punto sólido de la gráfica, está sólo en una de ellas: el primer tramo (x≤0). Esto implica que f (0) = 02=0. Por otro lado, el punto transparente indica el valor
de la función cuando escogemos una x muy próxima a 0, pero un poquito mayor. Por ejemplo, f (0.00001) ≈ 1.
Continuidad en cambios de tramo Representación gráfica de la función
Observa que, en x=5 ambos tramos tienen igual valor, con lo que el punto sólido se superpondría al transparente, quedando finalmente como un trazo continuo.
EJERCICIOS
5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
