TEMA 5: MODELOS DE REPARTO MODAL - LOGIT BINARIO
Datos de Agresti (pp.305) relativas a accidentes en el estado de Maine (EEUU) durante 1991. Son un total de 68694
accidentes de coche, los datos se clasifican según el Género del conductor, Entorno del accidente y el Uso de Cinturón. Las categorias de la Respuesta son : 1- Sin Heridos 2- Heridos Leves Sin Traslado al hospital 3- Heridos leves con Traslado a hospital, no hospitalizados 4 – Heridos con hospitalitación 5 – Heridos y muerte posterior.
Respuesta
Género Entorno Cinturón 1 2 3 4 5
Dona Urbà No 7287 175 720 91 10 Dona Urbà Si 11587 126 577 48 8 Dona No-Urbà No 3246 73 710 159 31 Dona No-Urbà Si 6134 94 564 82 17 Home Urbà No 10381 136 566 96 14 Home Urbà Si 10969 83 259 37 1 Home No-Urbà No 6123 141 710 188 45 Home No-Urbà Si 6693 74 353 74 12 Jerárquico (Nivel 1) 1 - G -20872.724 E -20633.777 C -20609.566 G+E+C -20041.088 G+E*C -20039.151 E+G*C -20041.047 La tabla que sigue a continuación muestra el valor de la función
logaritmo de la verosimilitud en el óptimo para la estimación de modelo jerárquico donde en primer lugar se discrimina si ha hab heridos (referencia no ha habido) y en caso afirmativo un segun modelo discrimina de qué tipo (2 a 5) tomando como referencia segundo nivel 5.
Determinar la tabla de datos agregados necesaria para la estimación del modelo de respuesta binaria para la primera jerarquía con el único efecto del Uso del Cinturón.
Cinturó Amb Ferits (resposta positiva) Sense Ferits Si (ref) 2409 35383 37792 No 3865 27037 30902 6274 62420 68694
P(‘Accident amb Ferits’)=6274/68694=0.0913
1. Estimad manualmente a partir de la tabla del punto anterior y empleando la transformación logit cual es el estimador del término constante en el modelo nulo.
30 . 2 0913 . 0 1 0913 . 0 ln 62420 6274 ln ˆ 1 log ) logit( =− − = = → = − = η η π π i i i π
2. Estimad manualmente a partir de la tabla del punto anterior y empleando la transformación probit cual es el estimador del término constante en el modelo nulo.
(
,0,1)
ˆ(
0.0913,0,1)
1.33 )probit(πi = qnorm πi =η →η = qnorm = −
> qnorm(0.0913,0,1) [1] -1.332792
3. Estimad manualmente a partir de la tabla del punto anterior y empleando la transformación logit cuáles son los
estimadores de la constante y del coeficiente de la dummy para el efecto aditivo de NO utilizar Cinturón en el modelo que incluye exclusivamente el factor Uso de Cinturón (nivel de referencia i=1 SI).
→
=
=
+
=
−
1
,
2
≡0
1
log
SI i ii
1 ια
α
η
π
π
75 . 0 95 . 1 69 . 2 35383 2409 log 27037 3865 log ˆ 69 . 2 35383 2409 log ˆ = + − = − = − = = ≡NO 2 α η4. Interpretar en la escala del predictor lineal y en la escala de los odds el efecto del Uso de Cinturón.
L’efecte de No usar cinturó en el logit de la incidència de ferits en accidents de trànsit és un increment de 0.75 unitats respecte el grup de referència (Si usar cinturó). L’efecte en la escala dels odds de l’incidència de ferits quan No s’usa cinturó és un increment del 112% respecte el grup de referència (Si Usar Cinturó) o bé, els odds de ferits quan no s’usa Cinturó es multipliquen per 2.12 respecte els odds de ferits en el grup de referència (Si Usar Cinturó).
5. Calcular el odds-ratio del Uso de Cinturón sobre la incidencia de heridos en los accidentes de tráfico.
=
=
=
−
e
e
No
S
e
i i2
1
2ι
ι
1
ι
π
π
α η η
odds
−
ratio
No
vs
Si
=
e
α2=
exp(
0
.
75
)
=
2
.
12
o equivalentment, odd(‘No usa’)/odd(‘Si usa’)= (3865/27037)/(2409/35383)=2.12, és a dir els odds de resposta positiva (patir algun ferit) quan no s’usa cinturó es multipliquen per 2.12 respecte els odds quan s’usa cinturó.
6. Estimad manualmente a partir de la tabla del punto anterior y empleando la transformación probit cuáles son los
estimadores de la constante y del coeficiente de la dummy para el efecto aditivo de no utilizar Cinturón en el modelo que incluye exclusivamente el factor Uso de Cinturón (nivel de referencia i=1 SI).
( )
ΝΟ 2 1 ι α η α α η ,0,1) π π ≡ → = = + = = ˆ ˆ 0 2 , 1 ( i qnorm probit i i ( ) (0.1251,0,1) 1524115 1149864 1524115 03742512 1 , 0 , 37792 2409 1 , 0 , 30902 3865 ˆ 524115 1 1 , 0 , 06374 . 0 1 , 0 , 37792 2409 ˆ . = . + . − = . α . − η 2 = + − = = = =≡ qnorm qnorm qnorm
qnorm qnorm
NO
7. ¿Hay alguna evidencia estadística para afirmar que el efecto del Uso de Cinturón de seguridad esté relacionado con el Entorno en que sucedió el accidente ? ¿Cuántos son los grados de libertad del estadístico de referencia para la realización del contraste?
Cal comparar per deviança els models G+E+C i G+E*C: D(G+E+C)-D(G+E*C)=2LogV(G+E*C)- 2LogV(G+E+C)=2(-20039.151+20041.088)=5.458, amb p valor segons l’estadístic de referència shi-quadrat amb 1 grau de llibertat i a la vista del p valor la hipótesi nula de manca d’interacció entre Entorn i Us de Cinturó es rebutja (no hi ha evidència estadística per acceptar-la):
> 1-pchisq(5.458,1) [1] 0.01947893
8. ¿Hay alguna evidencia estadística para afirmar que el efecto del Uso de Cinturón de seguridad esté relacionado con el Género del Conductor ? ¿Cuántos son los grados de libertad del estadístico de referencia para la realización del contraste? Cal comparar per deviança els models G+E+C i E+G*C: D(G+E+C)-D(E+G*C)=2LogV(E+G*C)- 2LogV(G+E+C)=2(-20041.047+20041.088)=0.082, amb p valor segons l’estadístic de referència shi-quadrat amb 1 grau de llibertat i a la vista del p valor la hipótesi nula de manca d’interacció entre Gènere i Us de Cinturó s’accepta (no hi ha evidència estadística per rebutjar-la):
> 1-pchisq(0.082,1) [1] 0.7746051
9. Identificar cuál es la devianza residual del modelo aditivo para la primera jerarquía y su distribución de referencia. Justificar si según el criterio de bondad del ajuste el modelo aditivo es estadísticamente satisfactorio.
El llistat indica directament que D(E+G*C)=7.46448 i la seva distribució de referència és una shi quadrat amb n-p=8-4=4 graus de llibertat. La probabilitat que una shi quadrat amb 4 g.ll. prengui un valor superior a 7.46448 és 0.113, superior al llindar habitual del 5% i per tant s’accepta que el model ajusta satisfactòriament les dades (no hi ha evidència estadística per rebutjar la bondat de l’ajust).
Deviance 7,46448 4 0,113
10. Determinar cual es el AIC del modelo aditivo para la primera jerarquía.
Només es disposa del primer nivell de la jerarquia, el criteri d’Akaike defineix un índex de
(
)
(
ˆ( ),y) (
2 20041.088 4)
40090.1762 − + + + = + =
= G E C p
AIC l µ .
11. Interpretar el estimador de la dummy per hombres en el model aditivo del primer nivel.
L’efecte d’un incident amb conductor Home és en l’escala lineal (logit) d’un increment de 0.5448 unitats, el que implica un increment dels odds de no haver-hi ferits de cap mena sobre haver-hi alguna tipologia de ferits del 72%
(exp(0.5448)=1.7243), o bé en altres termes l’odd de tenir algun tipus de ferit sobre no tenir-ne es redueix en un 42% dins del mateix grup d’ús de cinturó i entorn.
12. Estimad la probabilidad de sufrir daños físicos en accidentes urbanos cuando no se usa cinturón y el conductor es un hombre con el model aditivo.
No baseline k Rural baseline j Dona baseline i amb k j i ijk ijk ≡ = = ≡ = + + + = − 1 1 1 2 1 2 1 log 1 1 η α β γ π π
(
)
(
)
2211 2211 2211 1 2 2 2211 2211 0.9255 exp 1 exp 5193 . 2 1 log π η η γ β α η π π = = + → = + + + = −Binary Logistic Regression: 1; M versus Gènere; Entorn; Cinturó Link Function: Logit
Response Information Variable Value Count 1 Success 62420 Failure 6274 M Total 68694 Logistic Regression Table
Odds 95% CI Predictor Coef SE Coef Z P Ratio Lower Upper Constant 1,21640 0,0264908 45,92 0,000 Gènere Home 0,544829 0,0272662 19,98 0,000 1,72 1,63 1,82 Entorn Urbà 0,758058 0,0269722 28,11 0,000 2,13 2,02 2,25 Cinturó Si 0,817097 0,0276503 29,55 0,000 2,26 2,14 2,39 Log-Likelihood = -20041,088
Test that all slopes are zero: G = 1904,989, DF = 3, P-Value = 0,000 Goodness-of-Fit Tests
Method Chi-Square DF P Pearson 7,48738 4 0,112 Deviance 7,46448 4 0,113 Hosmer-Lemeshow 7,33935 5 0,197
