Solución del problema de convección utilizando volumen finito y algoritmos paralelos

(1)

Luis Miguel de la Cruz Salas

DGSCA–UNAM

2 de junio de 2009

´Indice

1. Convecci´on 2

1.1. Ecuaci´on general de transporte . . . 2

1.2. Convecci´on natural . . . 3

1.3. Ecuaciones adimensionales . . . 4

1.4. Convecci´on natural turbulenta . . . 5

1.5. Funci´on de estructura selectiva . . . 8

2. Método numérico 9 2.1. Método de residuos pesados . . . 9

2.2. M´etodo de volumen finito . . . 10

2.3. Propiedades . . . 10

2.4. Difusi´on . . . 12

2.4.1. Difusi´on estacionaria en 1D . . . 12

2.4.2. Difusi´on estacionaria en 2D y 3D . . . 16

2.5. Linealizaci´on del t´ermino fuente . . . 18

2.6. Condiciones de frontera . . . 20

2.7. Consideraciones geom´etricas . . . 21

3. MVF : Advección–Difusión 22 3.1. Aproximación de los términos difusivos . . . 24

3.2. Aproximaci´on de los t´erminos advectivos . . . 25

3.2.1. Upwind . . . 25

3.2.2. Diferencias centrales (CDS) . . . 26

(2)

´INDICE 1

4. Acoplamiento presi´on-velocidad 28

4.1. Mallas desplazadas . . . 29

4.2. Ecuación de corrección a la presión . . . 30

4.3. SIMPLEC . . . 31

5. Soluci´on de los sistemas lineales 32 5.1. TDMA . . . 33

5.2. Aplicaci´on del TDMA en 2 y 3 dimensiones . . . 34

6. Problemas no estacionarios 36 6.1. Esquema Expl´ıcito: Forward Euler . . . 37

6.2. Esquema Impl´ıcito: Backward Euler . . . 37

6.3. Esquema Crank-Nicolson: Centred Differencing . . . 38

7. Paradigmas de programaci´on 39 7.1. Programaci´on Orientada a Objetos . . . 39

7.2. Programaci´on Gen´erica . . . 40

8. Programaci´on paralela 40 8.1. Organizaci´on de la memoria . . . 41

8.2. Modelos de programaci´on . . . 42

8.3. Comunicaciones . . . 42

8.4. Descomposici´on del problema . . . 43

8.5. M´etricas y otros factores . . . 44

8.6. Balance de carga . . . 44

8.7. M´etricas de rendimiento . . . 45

8.8. Sobreposición de la comunicación y los cálculos . . . 45

8.9. Ley de Amdahl . . . 45

8.10. Escalabilidad . . . 46

9. Descomposici´on de dominio y paralelismo 46 9.1. Algoritmo alternante de Schwarz . . . 47

9.2. Partici´on del dominio . . . 50

10.Casos de estudio 53 10.1. Convecci´on forzada . . . 53

10.2. Convecci´on Natural: r´egimen laminar . . . 54

10.2.1. Benchmark: de Vahl Davis . . . 54

10.3. Convecci´on Natural: r´egimen turbulento . . . 55

(3)

1. Convecci´

on

Considérese los siguientes eventos: el movimiento imperceptible de las placas conti-nentales de la corteza terrestre, las violentas tormentas magnéticas en la atmósfera solar, las sorprendentes y destructivas fuerzas que provoca un huracán tropical, el movimiento del aire en un horno de cocina, el crecimiento de cristales semiconductores usados en la construcción de microchips. Todos estos fenómenos involucran el movimiento de fluidos (l´ıquidos, gases, plasmas) a escalas muy diferentes. Este movimiento se conoce como convección: movimiento de part´ıculas individuales de fluidos el cual ocurre a través de procesos de difusión y advección.

Dado que el fenómeno de convección aparece en muchos procesos naturales e indus-triales, no es sorprendente que en las últimas décadas se haya puesto mucha atención en entender el movimiento de fluidos y el transporte de cantidades f´ısicas generado o alterado por la convección.

La convección se clasifica en natural (libre) y forzada. En la primera, el movimiento del fluido se debe a fuerzas naturales, como por ejemplo el efecto de flotación, el cual se manifiesta cuando existe una diferencia de temperaturas o densidades en presencia de la fuerza de gravedad. En la segunda, el fluido se obliga a fluir mediante el uso de fuerzas externas como un ventilador o el movimiento de una de las paredes que contenga al fluido. Es posible que exista convección natural y forzada en algunos procesos, en este caso se le suele llamar convección mixta.

El modelo matemático que describe la convección se basa en las ecuaciones de balance de masa, cantidad de movimiento y energ´ıa, as´ı como en las ecuaciones de estado del fluido. La obtención de estas ecuaciones se puede revisar por ejemplo en [7, 6].

En la secci´on que sigue, se describe el modelo matem´atico desde un punto de vista general y posteriormente se reduce a casos particulares.

1.1. Ecuaci´

on general de transporte

Las ecuaciones de la mecánica de fluidos representan leyes de conservación o balance de cantidades f´ısicas como la masa, cantidad de movimiento (momentum) y energ´ıa. Para obtener las ecuaciones se considera el fluido continuo y la conservación de una variable de flujo general φ (que puede ser por ejemplo la temperatura o una componente de la velocidad), dentro de un volumen de control puede ser representada como un balance entre varios procesos que tienden a incrementar o disminuir dicha variable, [3, 6]. En otras palabras se tiene que:

    Raz´on de cambio de φ en el volumen de control con respecto

al tiempo    =     Flujo neto de φ por advección en el volumen de control    +     Flujo neto de φ por difusión en el volumen de control    +     Razón neta de creación de φ en el volumen de control     Este balance se puede escribir en forma matemática, para un fluido Newtoniano [26, 37], como sigue,:

(4)

1.2 Convecci´on natural 3

∂(ρφ) ∂t + ∇ ·

ρφu= ∇ · (Γ∇φ) + S, (1) donde ρ representa la densidad, u es la velocidad del flujo, Γ es un coeficiente de difusi´on y S es el t´ermino fuente.

La ecuación (1) se conoce como la ecuación general de transporte para la propiedad φ. El primer término del lado derecho de esta ecuación es la razón de cambio de φ con respecto al tiempo, mientras que el segundo término es la componente advectiva que representa el transporte de φ debido a la velocidad del flujo. En el lado derecho se tiene el término debido al transporte por difusión y el último término es la contribución ocasionada por fuentes de φ dentro del campo. La ecuación general de transporte (1) es usada como punto de partida para desarrollar algunos métodos numéricos, especialmente el método de volumen finito.

En notaci´on tensorial estas ecuaciones se escriben como sigue: ∂(ρφ) ∂t + ∂ ∂xj ρujφ = ∂ ∂xj Γ∂φ ∂xj + S, para j = 1, 2, 3, (2) donde φ puede representar a la temperatura (T ), la densidad (ρ) o a alguna compo-nente de la velocidad ((u1, u2, u3) ≡ (u, v, w)). El t´ermino fuente contiene el gradiente

presiones y t´erminos provenientes de las fuerzas de cuerpo. En esta notaci´on xj

repre-senta coordenadas cartesianas para la posici´on, y se utiliza la convenci´on de Einstein en donde ´ındices repetidos se suman.

1.2. Convecci´

on natural

Las ecuaciones que gobiernan este fenómeno son: balance de masa, balance de can-tidad de movimiento y balance de energ´ıa. Estas ecuaciones se obtienen tomando en cuenta la aproximación de Boussinesq [6], es decir la densidad se considera constante excepto en el término de fuerzas de cuerpo, mientras que las propiedades f´ısicas restantes del material son consideradas constantes. Por lo tanto, para fluidos newtonianos e in-compresibles, estas ecuaciones se escriben como sigue:

∂uj ∂xj = 0, (3) ρ0 ∂ui ∂t + uj ∂ui ∂xj = −∂p ∂xi + µ ∂ 2_u i ∂xj∂xj + ρbi, (4) ∂T ∂t + uj ∂T ∂xj = α ∂ 2_T ∂xj∂xj , (5)

donde ρ es la densidad, ρ0 es una densidad de referencia, µ es la viscosidad din´amica y

α es la difusividad térmica. En la ecuación (5) se ha considerado que la energ´ıa interna se puede escribir como cVT , con cV el calor espec´ıfico a volumen constante. También

(5)

se utiliza la ley de conducci´on de calor de Fourier, es decir qj = −κ_∂x∂T_j, siendo κ el

coeficiente de conductividad t´ermica.

Las ecuaciones (3), (4) y (5), se deben complementar con una ecuaci´on de estado para poder ser resueltas. En general se considera la siguiente relaci´on:

ρ = ρ0[1 − β(T − T0)] ,

donde β es el coeficiente de expansi´on volum´etrica y T0 es el valor de la temperatura

cuando ρ = ρ0. β se define como:

β = − 1 ρ0 ∂ρ ∂T T =T0 .

Esta última ecuación describe satisfactoriamente la relación entre la densidad y la temperatura para un fluido incompresible.

1.3. Ecuaciones adimensionales

Las ecuaciones (3), (4) y (5) generalmente se utilizan en forma adimensional tanto para su discretización, como para su implementación. En la forma adimensional, apare-cen parámetros que permiten hacer estudios de flujos en diferentes estados: laminar o turbulento por ejemplo. Una manera de adimensionalizar las ecuaciones es usando el siguiente escalamiento: xj = x′ j H, t = t′ H2_/α, uj = u′ j α/H, p = p′ ανρ0/H2 , T = T ′_{− T} C ∆T − 1 2,

donde localmente se han utilizado variables primadas (′) para representar a las variables con dimensiones. En este escalamiento H es una longitud caracter´ıstica, ν la viscosidad cinem´atica (ν = µ/ρ0) y ∆T = TH − TC representa una diferencia de temperaturas.

Usando el escalamiento anterior tenemos que las ecuaciones, en forma adimensional se escriben como sigue:

∂uj ∂xj = 0, (6) ∂ui ∂t + uj ∂ui ∂xj = −∂p ∂xi + Pr ∂ 2_u i ∂xj∂xj + bi, (7) ∂T ∂t + uj ∂T ∂xj = ∂ 2_T ∂xj∂xj , (8)

donde la ecuación (6) se conoce como la ecuación de continuidad, las ecuaciones (7) son las ecuaciones de Navier-Stokes y la ecuación (8) es la ecuación de energ´ıa. bi es

(6)

1.4 Convecci´on natural turbulenta 5

problema, y en este caso s´olo se toma en cuenta el efecto de la gravedad apuntando en la direcci´on negativa del eje y. Por lo tanto: b1 = 0, b2 = Pr RaT y b3 = 0, donde Pr

y Ra son el número de Prandlt y el número de Rayleigh respectivamente que se definen como sigue: Pr = ν α, Ra = gβ∆T L 3 y αν , donde g es la magnitud de la aceleración de la gravedad.

Las ecuaciones (6), (7) y (8) se pueden poner en la forma de la ecuaci´on general (2) como sigue: ∂ρ ∂t + ∂ ∂xj ujρ = 0, (9) ∂ui ∂t + ∂ ∂xj (ujui) = − ∂p ∂xi + ∂ ∂xj Pr∂ui ∂xj + Si, (10) ∂T ∂t + ∂ ∂xj (ujT ) = ∂ ∂xj ∂T ∂xj . (11)

Lo anterior es posible dado que el fluido es incompresible y el n´umero de Prandtl se considera constante. En la forma antes escrita, es posible hacer una correspondencia entre las ecuaciones (9),(10) y (11) con la ecuaci´on general de transport (2), como se muestra en la siguiente tabla.

Ecuaci´on φ Γ Si

Masa ρ = cte. 0 0 N-S ui Pr −_∂x∂p_i + bi

Energ´ıa T 1 0

Cuadro 1: Correspondencia de las ecuaciones de balance en flujo laminar con la ecuaci´on general (2). El valor de i var´ıa de 1 a 3.

1.4. Convecci´

on natural turbulenta

Aunque no existe una definición exacta de turbulencia, se puede decir que un flujo es turbulento cuando es irregular, consiste de un amplio rango de escalas de movimien-to, se incrementa la difusividad, es completamente tridimensional, es muy disipativo y el número de Reynolds es relativamente grande. Una discusión amplia del tema se

(7)

encuentra en [32]. La simulaci´on directa de flujos turbulentos o DNS (Direct Numerical

Simulation), es posible s´olo en algunos casos simples, pero en la mayor´ıa de las ocasiones

se requieren recursos enormes de cómputo [18]. Algunas técnicas se han desarrollado para evitar este problema y una de las más conocidas es la Simulación de Vórtices Grandes o LES (Large-Eddy Simulation). Los detalles de esta técnica se pueden encontrar en libros de texto como en [11, 37] y en art´ıculos de revisión como [33]. Aqu´ı sólo describiremos las propiedades más importantes.

La técnica de LES ayuda a simular flujos turbulentos en mallas gruesas. La base de esta técnica consiste en la aplicación de un filtro de convolución espacial a las ecuaciones gobernantes. En este procedimiento se divide la variable turbulenta f (T , ui o p) en

una componente de escalas grandes ¯f , y en una componente de escalas pequeñas o de submalla f′_{. La descomposición y la convolución de f con una función de filtro g sobre}

el dominio del flujo Ω se escriben como:

f (xi, t) = ¯f (xi, t) + f′(xi, t), con ¯ f (xi, t) = Z Ω g(xi− x′i)f (x′i, t)dx′i.

donde la función del filtro g debe satisfacer la condición de normalización Z

Ω

g(xi− x′i)dx′i = 1.

La aplicación del filtro a las ecuaciones gobernantes del problema de convección natural, ecuaciones (6),(7) y (8), produce la siguiente descripción del movimiento de las escalas grandes: ∂ ¯uj ∂xj = 0, (12) ∂ ¯ui ∂t + ¯uj ∂ ¯ui ∂xj = −∂ ¯p ∂xi + Pr ∂ 2_u_¯ i ∂xj∂xj + ¯bi+ ∂τij ∂xj , (13) ∂ ¯T ∂t + ¯uj ∂ ¯T ∂xj = ∂ 2_T¯ ∂xj∂xj +∂hj ∂xj . (14)

los tensores de submalla τij y hj est´an dados por

τij = ¯uiu¯j − uiuj, (15)

y

hj = ¯ujT − u¯ jT . (16)

En la LES se requiere un modelo de submalla o SGM (Subgrid Model ) que parametrize ambos tensores adecuadamente, de tal manera que el flujo de escalas grandes pueda ser

(8)

1.4 Convecci´on natural turbulenta 7

calculado con exactitud. Las simulaciones con el modelo deben producir resultados con un significado f´ısico y con bajo esfuerzo computacional. El SGM más común supone una viscosidad turbulenta (hipótesis de Boussinesq) para modelar τij:

τij = 2νtS¯ij, (17) donde ¯ Sij = 1 2 ∂¯ui ∂xj + ∂ ¯uj ∂xi , (18)

es el tensor de deformaci´on del campo filtrado y νtes la viscosidad turbulenta. De igual

manera tenemos que

hj = κt

∂ ¯T ∂xj

, (19)

donde la raz´on entre la viscosidad turbulenta νty la difusividad turbulenta κtest´a

defini-da a trav´es del n´umero de Prandtl turbulento Prt=

νt

αt

. (20)

Cuando el número de Prandtl turbulento está dado, solamente la viscosidad turbu-lenta tiene que ser parametrizada en términos de las cantidades resueltas. Aunque el valor de Prt no está bien establecido [2], frecuentemente se considera que 1₃ < Prt < 1₂,

una discusi´on sobre este punto se encuentra en [10].

Aqu´ı se considera el SGM propuesto por M´etais y Lesieur [21], en donde la viscosidad turbulenta se define como

νt= 0.105Ck−3/2∆p ¯F2, (21)

con una funci´on de estructura filtrada definida como ¯ F2(~x, ∆c) = 1 6 3 X i=1 ¯ F₂(i) ∆c ∆xi 2/3 , (22) con ¯

F₂(i) =k~u(~x) − ~u(~x + ∆xi~ei)k2+ k~u(~x) − ~u(~x − ∆xi~ei)k2

, (23)

donde ~ei es el vector unitario en direcci´on xi y ∆c = (∆x1∆x2∆x3)1/3.

Sustituyendo (17) y (19) en las ecuaciones filtradas (13) y (14), y recordando que el fluido es incompresible, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

∂ ¯ui ∂t + ∂ ∂xj (¯uju¯i) = − ∂ ¯p ∂xi + ∂ ∂xj (Pr + νt) 2 ¯Sij + ¯bi, (24) ∂ ¯T ∂t + ∂ ∂xj ¯ ujT¯ = ∂ ∂xj 1 + νt Prt ∂ ¯T ∂xj . (25)

(9)

1.5. Funci´

on de estructura selectiva

En algunos casos el modelo de la función de estructura es muy disipativo. Para reducir esta dificultad, se han desarrollado varias técnicas entre las que se encuentra el modelo de función de estructura selectiva [21]. El objetivo es eliminar la viscosidad turbulenta cuando el flujo no es lo suficientemente tridimensional. El criterio que se utiliza es como sigue:

1. Se mide el ´angulo entre la vorticidad en un punto de la malla y el promedio de las vorticidades en los seis puntos vecinos.

2. Si este ´angulo excede 20o _{entonces se toma en cuenta la viscosidad turbulenta}

calculada mediante (21).

3. En otro caso, s´olo se toma en cuenta la viscosidad molecular.

El valor de 20o_{es el m´as probable de acuerdo a simulaciones de turbulencia isotr´opica}

a una resoluci´on de malla de 323 _{y 64}3 _[21].

De la misma manera en que las ecuaciones del caso laminar se escribieron en forma general, las ecuaciones (12), (24) y (25) tambien est´an escritas en la forma (2). En este caso la correspondencia con la ecuaci´on general de transporte (2) es como sigue:

Ecuaci´on φ Γ Si

Masa ρ = cte¯ 0 0 N-S u¯i Pr + νt −_∂x∂ ¯p_i + ¯bi

Energ´ıa T¯ 1 + νt

Prt 0

Cuadro 2: Correspondencia de las ecuaciones de balance en flujo turbulento con la ecuaci´on general. El valor de i var´ıa de 1 a 3.

(10)

2 M´etodo num´erico 9

2. M´

etodo num´

erico

Las ecuaciones presentadas en la sección anterior son bastante complejas y a pesar de que se conocen desde hace mucho tiempo, no existe hoy en d´ıa un método anal´ıtico para encontrar sus soluciones. Por esta razón, se han desarrollado muchos métodos numéricos con los que es posible encontrar soluciones numéricas aproximadas. Mediante el uso de las arquitecturas sofisticadas de cómputo y en especial de las arquitecturas multiprocesador, ha sido posible resolver numéricamente las ecuaciones gobernantes para diferentes tipos de flujos, con excelente exactitud y precisión.

2.1. M´

etodo de residuos pesados

Un método muy poderoso para obtener soluciones numéricas de ecuaciones difer-enciales parciales es conocido como método de residuos pesados. El concepto básico es simple: considérese una ecuación diferencial representada por

L(φ) = 0 y una soluci´on aproximada ¯φ definida por

¯

φ = a0+ a1x + a2x2+ · · · + amxm

La substituci´on de esta soluci´on aproximada en (26) produce un residuo R definido como

R = L( ¯φ)

Se desea que este residuo sea peque˜no en alg´un sentido. Se propone que Z

Ω

W Rdx = 0 (26)

donde W es un función de peso y la integración se realiza sobre el dominio de interés Ω. Seleccionando una sucesión de funciones de peso, se pueden generar tantas ecuaciones como se requiera para evaluar los parámetros de la ecuación (26). Estas ecuaciones algebraicas que contienen los parámetros como incógnitas son resueltas para obtener una solución aproximada.

Diferentes versiones del método resultan de la selección de diferentes tipos de fun-ciones de peso. La función de peso más simple es W = 1. De esta selección, un número de ecuaciones de residuos pesados se pueden generar dividiendo el dominio de cálculo en subdominios o volúmenes de control, y definiendo la funcion de peso igual a la unidad sobre un volumen de control en un tiempo dado y cero en cualquier otro lugar. Esta variante del método de residuos pesados es conocida como método de volumen de control o de volumen finito. Esta formulación implica que la integral del residuo sobre cada volumen de control debe ser cero.

(11)

2.2. M´

etodo de volumen finito

Como se mencionó anteriormente, el método de volumen finito (MVF) es una versión especial del método de residuos pesados. En esta formulación el dominio de cálculo se divide en un número de volúmenes de control que no se traslapan, de tal manera que hay un volumen rodeando a cada punto de la malla. Luego, la ecuación diferencial se integra sobre cada volumen de control. Se usan funciones continuas por tramos, las cuales expresan la variación de φ entre los puntos de la malla, para evaluar las integrales. El resultado es un conjunto de ecuaciones discretas que contienen los valores de φ para un grupo de puntos de la malla.

La integración sobre los volúmenes de control es lo que distingue al FVM de otros métodos. Las ecuaciones que resultan de la integración expresa el principio de con-servación para φ en cada volumen de control, de la misma forma en que la ecuación diferencial expresa esto mismo para un volumen de control infinitesimal. Esta carac-ter´ıstica es válida para cualquier número de puntos en la malla y no solo cuando este es muy grande. Por lo tanto, aún una solución en una malla gruesa exhibirá un balance

exacto (aunque para obtener buena precisión se requiere de un mayor n´umero de puntos o esquemas de alto orden). Esta clara relación entre el algoritmo numérico y el principio f´ısico de conservación es una de las mayores atracciones del MVF.

Las etapas que se pueden enumerar en el MVF son las siguientes:

1. Generación de la malla. El dominio de estudio se discretiza en un número de volúmenes de control no sobrepuestos, de tal manera que existe un volumen rodeando a cada punto de la malla, como se muestra en la figura 1.

2. Integraci´on. Se realiza una integraci´on de las ecuaciones gobernantes del prob-lema sobre cada volumen de control del dominio de estudio.

3. Discretización. Se discretiza cada uno de los diferentes términos resultantes de la integración usando diferentes esquemas numéricos. Esto produce un sistema algebraico de ecuaciones.

4. Soluci´on. Se utiliza alg´un algoritmo para resolver el sistema algebraico de ecua-ciones. Dado que las matrices son en general dispersas, se prefieren algortimos iterativos.

2.3. Propiedades

Existen tres conceptos matemáticos que son útiles para determinar el éxito de un algoritmo numérico: convergencia, consistencia y estabilidad. La convergencia es la propiedad de un método numérico de producir una solución que se aproxima a la solución exacta conforme la distancia entre los puntos de la malla tiende a cero. Un esquema numérico consistente produce sistemas de ecuaciones algebraicas equivalentes a las ecuaciones gobernantes originales conforme el espaciamiento de los nodos de la malla

(12)

2.3 Propiedades 11 Nodos de la malla Puntos en el interior Puntos en la frontera del dominio 00 00 00 11 11 11 00000 00000 00000 00000 00000 11111 11111 11111 11111 11111 Volumen de control Volúmenes de control

Figura 1: Dominio de estudio discretizado usando volúmenes de control en 2D. tiende a cero. La estabilidad está asociada con la amortiguación del error conforme el método numérico procede. Si el método no es estable, entonces aún errores de redondeo en los datos iniciales, pueden causar fuertes oscilaciones o divergencia de la solución.

La convergencia es muy dif´ıcil de establecer teóricamente y en la práctica se utiliza el teorema de equivalencia de Lax que dice que para problemas lineales una condición nece-saria y suficiente para obtener convergencia es que el método sea consistente y estable. Este teorema es limitado dado que las ecuaciones gobernantes de muchos fenómenos son no lineales.

En el MVF se pueden obtener esquemas num´ericos robustos si dicho esquema posee la propiedad de ser conservativo, es acotado y adem´as transporta adecuadamente las propiedades.

Conservativo : El MVF garantiza la conservación de las propiedades de un fluido en cada volumen de control. Los esquemas numéricos que poseen esta caracter´ıstica también aseguran conservación global para todo el dominio. Esta propiedad es f´ısicamente importante y se obtiene por medio de expresiones consistentes en los volúmenes de control.

Acotado : Esta propiedad es similar al requerimiento de estabilidad y requiere que en un problema lineal sin fuentes, la soluci´on debe estar acotada por los valores m´aximo y m´ınimo en las fronteras. Esta propiedad puede obtenerse imponiendo restricciones sobre la magnitud y los signos de los coeficientes de las ecuaciones algebraicas.

Transporte : En procesos donde hay flujo de fluidos, se tienen en general efectos ad-vectivos y difusivos. En fenómenos difusivos, tal como en conducción de calor, un cambio en la temperatura en un punto, afectará la temperatura más o menos de

(13)

igual manera en todas las direcciones alrededor de dicho punto. Un fenómeno ad-vectivo involucra influencia exclusivamente en la dirección del flujo. Los esquemas en MVF deben tomar en cuenta la dirección de influencia del flujo en términos de los efectos difusivos y los convectivos.

Cuando las propiedades antes mencionadas se utilizan en el diseño de todos los es-quemas del MVF, se obtienen producen buenas aproximaciones a muchos tipos de prob-lemas. En el MVF es común usar estas propiedades como alternativas a los conceptos matemáticos más rigurosos de convergencia, consistencia y estabilidad.

2.4. Difusi´

on

La ecuación gobernante para problemas de difusión se deriva de la ecuación general (1) para la propiedad φ eliminando el término transitorio y el convectivo:

∇ · (Γ∇φ) + S = 0. (27)

2.4.1. Difusi´on estacionaria en 1D

Supongamos que se desea resolver el problema de conducción de calor en una barra en el intervalo [a, b], en donde los valores de la temperatura en los extremos están dados. A partir de la ecuación (27) obtenemos una ecuación para difusión estacionaria en una dimensión: d dx Γdφ dx + S = 0. (28) y condiciones de frontera: φ(a) = Ta, y φ(b) = Tb

El proceso de aproximar una soluci´on num´erica del problema anterior usando MVF es como sigue:

Paso 1. Generaci´on de la malla.

Para aproximar una solución a la ecuación (28) primero se divide el dominio en un número finito de volúmenes. En la figura 2 se introduce una notación que se usará en los ejemplos que siguen. Se define P como un nodo general que tiene nodos vecinos a la derecha E (east) y a la izquierda W (west). Las caras del volumen que encierra al nodo P se nombran e y w a la derecha e izquierda respectivamente. Las distancias de P a W y de P a E se denotan como ∆xw y ∆xerespectivamente. La

distancia entre las caras e y w se define como ∆x. Cuando la malla es uniforme, se cumple que ∆xe = ∆xw = ∆x

(14)

2.4 Difusi´on 13 x ∆ e ∆x_w x ∆ W _w P _e E Volumen de control Nodos

Figura 2: Definición de los nodos y volúmenes de control en la malla. Paso 2. Integración.

Ahora se integra la ecuaci´on (28) sobre el volumen de control descrito en la figura 2 para obtener: Z ∆x d dx Γdφ dx dx + Z ∆x Sdx =ΓAdφ dx e− ΓAdφ dx w+ ¯Sdx = 0. (29)

donde ¯S es el promedio de S en el volumen de control y A es el ´area de las caras. En este caso se considera que A = Ae = Aw = 1. La ecuaci´on (29) dice que el

flujo difusivo que entra por la cara w menos el flujo difusivo que sale por la cara e es igual a la generaci´on de φ en el volumen de control, es decir, esto constituye una ecuaci´on de balance para φ sobre el volumen de control.

Paso 3. Discretizaci´on.

Para derivar formas discretas de la ecuación anterior, se requiere aproximar Γ y el gradiente dφ/dx en las caras e y w. La forma más simple es suponer que el integrando prevalece sobre todo el volumen de control, lo cual da un perfil tipo escalón como se muestra en la figura 3(a). Sin embargo, para esta aproximación, la derivada dφ/dx no está definida en las caras e y w. Un perfil lineal, como el que se muestra en figura 3(b), no sufre de esta desventaja por lo que es el que se usa en la mayor´ıa de los casos.

La aproximaci´on lineal es muy simple y se conoce como diferencias centrales. En una malla uniforme Γe y Γw est´an dados por:

Γw =

ΓW + ΓP

2 y Γe =

ΓP + ΓE

2

Usando el perfil lineal, los t´erminos difusivos se evaluan como sigue: Γdφ dx e = Γe φE − φP ∆xe (30) Γdφ dx w = Γw φP − φW ∆xw (31)

(15)

W w P e E φ x W w P e E φ x (a) (b)

Figura 3: Perfiles comunes: (a) escal´on; (b) lineal.

A menudo el término fuente está dado en función de la variable dependiente φ, y por lo tanto es deseable conocer esta dependencia en la construcción de las ecua-ciones discretas. Es posible tomar en cuenta solamente una dependencia lineal debido a que las ecuaciones se resolverán usando técnicas para ecuaciones alge-braicas lineales. El procedimiento consiste en linealizar el término fuente como sigue:

¯

Sdx = Su+ SPφP (32)

donde Su es la parte constante de ¯S, mientras que SP es el coeficiente de la parte

lineal (OJO: SP no significa el valor de S evaluado en el punto P ).

La aparici´on de φP supone que, cuando se expresa el promedio del valor de S, el

valor de φP prevalece en todo el volumen de control. En otras palabras, se utiliza

el perfil de tipo escalón para el término fuente como el mostrado en la figura 3(a). Sustituyendo las ecuaciones (30), (31) y (32) en la ecuación (29) se obtiene

Γe φE − φP ∆xe − Γw φP − φW ∆xw + (Su+ SPφP) = 0

que se puede arreglar en Γe ∆xe + Γw ∆xw − SP φP = Γw ∆xw φW + Γe ∆xe φE + Su. (33)

entonces podemos escribir la ecuacion (33) como sigue

(16)

2.4 Difusi´on 15

en donde los coeficientes aP, aE y aW se escriben de la siguiente manera

aW = Γw/∆xw; aE = Γe/∆xe y aP = aW + aP − SP

Los valores de Su y SP se pueden obtener de la ecuaci´on (32). La ecuaci´on (34)

junto con la definici´on de los coeficientes aW, aE y aP representan la forma discreta

de la ecuaci´on (28). Paso 4. Soluci´on.

Una ecuación de la forma (34) debe escribirse para cada volumen de control (nodo). Las ecuaciones discretas para los volúmenes de control que son adyancentes a la frontera deben modificarse para tomar en cuenta las condiciones de frontera. El sistema de ecuaciones resultante se resuelve para obtener una distribución de la propiedad φ en los centros de los volúmenes.

Ahora se tratará un ejemplo concreto. Supóngase que φ = T , Γ = k, S = 0 y 5 volúmenes de control como se muestra en la figura 4. Aqu´ı k es la conductividad térmica y se considera constante en todo el dominio.

x ∆ ∆x _∆_x x ∆ /2 ∆ /2x 2 1 3 4 5 Ta Tb

Figura 4: Ejemplo de discretizaci´on.

Las ecuaciones discretas y sus coeficientes para los nodos 2, 3 y 4 se escriben como sigue:

aPTP = aWTW + aETE.

aW = k/∆x; aE = k/∆x y aP = aW + aP

Su y SP son cero dado que no existen fuentes.

Los nodos 1 y 5 están en la frontera y por lo tanto requieren de un proceso especial. En el nodo 1, la integración de la ecuación (28) con S = 0 da lo siguiente

k TE − TP ∆x − k TP − Ta ∆x/2 = 0 que se puede rearreglar como sigue

k ∆x + k ∆x/2 TP = 0 × TW + k ∆x TE + k ∆x/2 Ta.

(17)

Entonces que para el nodo 1 la ecuaci´on discreta se escribe como aPTP = aWTW + aETE + Su.

donde

aW = 0; aE = k/∆x; aP = aW + aP − SP; SP = −2k/∆x; Su = (2k/∆x)Ta

Un tratamiento similar se hace para el nodo 5 y se obtiene la misma ecuaci´on que en el caso del nodo 1, con los siguientes coeficientes

aW = k/∆x; aE = 0; aP = aW + aP − SP; SP = −2k/∆x; Su = (2k/∆x)Tb

Juntando las ecuaciones para todos los nodos resulta un sistema lineal tridiagonal       aP aE 0 0 0 aW aP aE 0 0 0 aW aP aE 0 0 0 aW aP aE 0 0 0 aW aP             T1 T2 T3 T4 T5       =       Su 0 0 0 Su      

Cada renglón del sistema presentado arriba corresponde a un volumen de control de la malla, de tal manera que en principio los coeficients a’s son diferentes de renglón a renglón. Lo mismo sucede con Su.

2.4.2. Difusi´on estacionaria en 2D y 3D

La metodolog´ıa descrita en el ejemplo anterior se puede extender fácilmente a dos y tres dimensiones. Para ilustrar la técnica, considérese la ecuación de difusión estacionaria en dos dimensiones: ∂ ∂x Γ∂φ ∂x + ∂ ∂y Γ∂φ ∂y + S = 0 (35)

La figura 5 muestra un volumen de control en dos dimensiones. Integrando la ecuaci´on (35) sobre un volumen de control se obtiene:

Z ∆V ∂ ∂x Γ∂φ ∂x dV + Z ∆V ∂ ∂y Γ∂φ ∂y dV + Z ∆V SdV = (36) ΓeAe dφ dx e− ΓwAw dφ dx w + ΓnAn dφ dx n− ΓsAs dφ dx s + ¯ S∆V = 0.

(18)

2.4 Difusi´on 17 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 ∆y x ∆ x ∆ e ∆x_w ∆y_n y ∆_s N S W w P e E n s

Figura 5: Volumen de control en 2D.

Igual que antes, esta ecuación representa el balance entre la generación de φ en un volumen de control y los flujos a través de sus caras. Usando perfiles lineales es posible escribir expresiones para los flujos a través de las caras como sigue:

ΓeAe dφ dx e = ΓeAe φE − φP ∆xe ΓwAw dφ dx w = ΓwAw φP − φW ∆xw ΓnAn dφ dx n = ΓnAn φN − φP ∆xn ΓsAs dφ dx s = ΓsAs φP − φS ∆xs

Sustituyendo estas expresiones en la ecuaci´on (36) y usando la forma ¯S∆V = Su+

SPφP se llega a

aPφP = aWφW + aEφE + aSφS + aNφN + Su. (37)

donde los coeficientes est´an definidos como sigue:

aW = ΓwAw/∆xw; aE = ΓeAe/∆xe;

(19)

donde Ae = Aw = ∆y y An= As = ∆x .

En tres dimensiones el proceso es similar, solo que ahora se tiene la coordenada z, y por cada volumen de control se tienen seis vecinos W, E, S, N, B, F , v´ease figura 6.

∆z ∆x ∆y ∆x∆y∆z ∆V = e b P s n W F B E S N w f

Figura 6: Volumen de control en 3D. La ecuaci´on discreta correspondiente es:

aPφP = aWφW + aEφE + aSφS + aNφN + aBφF + aBφB + Su. (38)

con los siguientes coeficientes:

aW = ΓwAw/∆xw; aE = ΓeAe/∆xe; aS = ΓsAs/∆xs;

aN = ΓnAn/∆xn; aB = ΓbAb/∆xb; aF = ΓfAf/∆xf;

aP = aW + aE + aS + aN + aB + aF − SP

donde Ae = Aw = ∆x∆z, An= As = ∆y∆z y Af = Ab = ∆x∆y.

Los sistemas lineales que resultan para los casos de dos y tres dimensiones son pentadiagonales y heptadiagonales respectivamente.

2.5. Linealizaci´

on del t´

ermino fuente

Cuando el término fuente depende de φ, se expresa la realción en la forma lineal dada por la ecuación (32). Esto se hace por que la incorporación de una dependencia lineal es mejor que el tratamiento de S como una constante.

Cuando S es una funci´on no lineal de φ se debe linealizar especificando los valores de Su y SP, los cuales pueden depender a su vez de φ. Durante cada iteraci´on, Su y SP

(20)

2.5 Linealizaci´on del t´ermino fuente 19

podr´ıan ser recalculados a partir de los nuevos valores de φ. Una regla b´asica es que SP

debe ser negativo, [37].

En el siguiente ejemplo, φ∗

P representa el valor de φP en una iteraci´on previa.

Ejemplo Dado S = 4 − 5φ3 _{algunas posibles linealizaciones son:}

1. Su = 4 − 5φ∗ 3_P , SP = 0. Esta forma no saca ventaja de la dependencia de S

con respecto a φ 2. Su = 4, SP = −5φ

∗ 2

P . Aparentemente es la forma correcta, pero la curva S es

m´as pronunciada. 3. M´etodo recomendado: S = S∗+ dS dφ (φP − φ ∗ P) = 4 − 5φ ∗ 3 P − 15φ ∗ 2 P (φP − φ ∗ P). de esta manera Su = 4 + 10φ∗ 3_P , SP = −15φ ∗ 2

P . Esta linealizaci´on representa

la tangente a la curva S en el punto φ∗

P.

4. Su = 4 + 20φ∗ 3P , SP = −25φ

∗ 2

P . Esta linealizaci´on, que es m´as pronunciada

que la curva S y ocasiona un decremento en la raz´on de convergencia. Las cuatro linealizaciones se muestran en la figura 7, junto con la curva S. Cualquier l´ınea recta de pendiente positiva viola la regla de que SP debe ser negativa, [37]. De

entre las pendientes negativas, la tangente a la curva es usualmente la mejor elecci´on. L´ıneas con mayor pendiente que la tangente generalemente reducen la velocidad de convergencia. L´ıneas con menos pendiente no son deseables, pues no dan la correcta raz´on de ca´ıda de S con respecto a φ.

(21)

2.6. Condiciones de frontera

La discretización de las condiciones de frontera es importante dado que definen la solución que se obtiene en el interior del dominio de estudio. Para los problemas que se tratan en este estudio existen básicamente dos tipos de condiciones de frontera:

Dirichlet: en donde el valor del campo se define en la frontera, es decir: φ = φb.

Neumann: en donde el gradiente del campo normal a la frontera es especificado, es decir ∂φ/∂n = φ′

b.

En la figura 8, por ejemplo, el punto E cae fuera del dominio y la cara e del volumen que rodea a P cae justo en la frontera. Usando las técnicas de discretización descritas antes, una ecuación para el punto P en términos de sus vecinos se escribe de forma similar a la ecuación (38). Sin embargo, en este caso algunos de los coeficientes cambian su forma debido a que el punto E no está dentro del dominio.

∆x_e E P S y x z W N w e

Figura 8: Volumen de control en la frontera.

En el caso de la figura 8, la condici´on de frontera de tipo Dirichlet es impuesta de tal manera que φb = φe. El valor de la frontera se puede aproximar mediante una

interpolaci´on lineal simple:

φe= φb ≈

φP + φE

2 , (39)

de donde se obtiene:

φE = 2φb− φP. (40)

Sustituyendo esta última expresión en la ecuación (38) y factorizando se obtiene: a∗_PφP = a ∗ EφE + aWφW + aNφN + aSφS + aFφF + aBφB + S ∗ P, (41) donde

(22)

2.7 Consideraciones geom´etricas 21

a∗_P = aP + aE,

S_P∗ = SP + 2aEφb y

a∗_E = 0.

Para las condiciones de tipo Neumann, usando diferencias centrales para aproximar el gradiente normal a la superficie, se tiene que:

φ′_b = ∂φ ∂x e ≈ φE − φP ∆xe , (42) de donde se genera: φE = φP + ∆xeφ ′ b. (43)

Sustituyendo esta expresión en la ecuación (52) se obtiene una ecuación similar a (41), con los coeficientes definidos como sigue:

a∗_P = aP − aE,

S_P∗ = SP + aE∆xeφ

′ b y

a∗_E = 0.

De esta manera, las condiciones de frontera, Dirichlet y Neumann, se incorporan en el sistema de ecuaciones a resolver. Es posible utilizar diferentes aproximaciones para las condiciones de frontera, y esto depende del orden de aproximación del esquema numérico utilizado en los puntos interiores, véase [37].

2.7. Consideraciones geom´

etricas

En este documento solo se consideran geometr´ıas cartesianas, por lo que los volúmenes serán siempre rectangulares en 2D y paralelep´ıpedos en 3D. Aunque la discretización del dominio de estudio, generación de la malla, es trivial, resulta importante definir la ubicación de los volúmenes y de sus caras. En la figura 9 se muestran tres formas alternativas para ubicar los volúmenes.

Cuando las caras de los volúmenes se ubican a la mitad entre los puntos de la malla, figura 9(a), es posible calcular el flujo de la variable φ a través de las caras con mayor precisión cuando se usa una aproximación lineal, sin embargo el valor de esta aproximación no estará dado en el centro de la cara, sino por ejemplo en el punto e_{, veáse figura 9(a). Además, el hecho de que los nodos no estén en el centro de los} volúmenes representa una desventaja, pues el valor de cualquier variable en el nodo no será representativo para todo el volumen. Esto implica que la suposición de que el valor de φ prevalece en todo el volumen reduce la precisión.

(23)

En el caso de que los nodos de la malla sean colocados al centro de los volúmenes de control, figura 9(b), produce mejores aproximaciones pues el valor en el nodo si es representativo para todo el volumen y el calculo del flujo se hace en el centro de las caras. Por otro lado, este último cálculo no será preciso si se utiliza una aproximación lineal dado que las caras no están a la mitad entre los nodos.

Para mallas uniformes ambas distribuciones son equivalentes. También es posible que los elementos de la malla sean los volúmenes de control, figura 9(c). Es común llamar

Cell-Centered schemes(CC) a los dos primeros casos, figura 9 (a) y 9 (b) y Vertex-Centered scheme(VC) al 9 (c). En la literatura ambos esquemas son aplicados. En los

ejemplos mostrados en este documento se usa CC, pues es m´as simple de implementar.

P E W S N s n e w P E W S N s n e w

(a)

(b)

(c)

Figura 9: Diferentes ubicaciones de los vol´umenes de control.

3. MVF : Advecci´

on–Difusi´

on

La ecuación de convección–difusión estacionaria se deriva de la ecuación general de transporte (1) eliminando el término temporal:

∇ ·ρφu= ∇ · (Γ∇φ) + Sφ, (44)

Esta ecuaci´on se puede escribir como sigue:

∂ ∂x(ρuφ) + ∂ ∂y(ρvφ) + ∂ ∂z(ρwφ) = ∂ ∂x Γ∂φ ∂x + ∂ ∂y Γ∂φ ∂y + ∂ ∂z Γ∂φ ∂z + Sφ, (45) donde u = (u, v, w).

(24)

3 MVF : Advecci´on–Difusi´on 23 Z ∆V h ∂ ∂x(ρuφ) + ∂ ∂y(ρvφ) + ∂ ∂z(ρwφ) i = (46) Z ∆V h ∂ ∂x Γ∂φ ∂x + ∂ ∂y Γ∂φ ∂y + ∂ ∂z Γ∂φ ∂z + Sφ

Asumiendo que las velocidades en las caras w, e, s, n, b, f son conocidas y que este valor prevalece en toda la cara, se obtiene lo siguiente:

C = D + S, (47)

donde la forma general de los t´erminos C, D y S de la ecuaci´on anterior es como sigue:

C = (ceφe− cwφw) + (cnφn− csφs) + (cfφf − cbφb), (48) D = Γ ∂φ ∂x e − ∂φ ∂x w ∆y∆z + Γ ∂φ ∂y n − ∂φ ∂y s ∆x∆z (49) + Γ " ∂φ ∂z f − ∂φ ∂z b # ∆x∆y, S = SP∆V, (50)

donde los términos c de la ecuación (48) están definidos de la siguiente manera: ce = ue∆y∆z, cw = uw∆y∆z,

cn = vn∆x∆z, cs = vs∆x∆z,

cf = wf∆x∆y, cb = wb∆x∆y,

(51) Los términos advectivos y difusivos se pueden aproximar usando diferentes esquemas [37]. Independientemente de la aproximación usada, cuando se insertan estos esquemas en las ecuaciones (48) y (49), y éstos a su vez en la ecuación (47), se obtienen sistemas lineales como el siguiente:

aPφP = aEφE + aWφW + aNφN + aSφS + aFφF + aBφB + SP, (52)

donde los coeficientes contienen una parte difusiva y otra advectiva: aE = DE + CE, aW = DW + CW, aN = DN + CN, aS = DS + CS, aF = DF + CF, aB = DB + CB, aP = DP + CP + ∆V ∆t. (53)

(25)

3.1. Aproximaci´

on de los t´

erminos difusivos

Las derivadas parciales que aparecen en la ecuaci´on (49), se deben evaluar en las caras del volumen de control. Estas derivadas pueden aproximarse usando un perfil lineal entre puntos adyacentes de la malla (p. ej. entre P y E). De esta manera se tiene que:

∂φ ∂x e ≃ φE − φP ∆xe , ∂φ ∂x w ≃ φP − φW ∆xw , ∂φ ∂y n ≃ φN − φP ∆yn , ∂φ ∂y s ≃ φP − φS ∆ys , (54) ∂φ ∂z f ≃ φF − φP ∆zf , ∂φ ∂z b ≃ φP − φB ∆zb .

donde ∆xe, ∆xw, ∆yn, ∆ys, ∆zf y ∆zb, son definidos como se muestra en la figura 10.

0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 ∆y y x z y z −x ∆y_n y ∆_s ∆z_b _∆_z f z ∆ x ∆ x ∆ _e ∆x_w N S W w P e E n s N S P n s B b f F Corte en el plano Corte en el plano xy yz

Figura 10: Cortes del dominio discreto en los planos xy y yz.

Cuando la malla es uniforme (∆xe = ∆xw = ∆x, id´enticamente en las direcciones

(26)

3.2 Aproximaci´on de los t´erminos advectivos 25

φS, φF y φB, que las expresiones (54) producen una aproximaci´on de orden O(∆x

2_),

[37]. Con estas aproximaciones la parte difusiva de los coeficientes (53) es:

DE = Γ ∆y∆z ∆xe , DW = Γ ∆y∆z ∆xw , DN = Γ ∆x∆z ∆yn , DS = Γ ∆x∆z ∆ys , (55) DF = Γ ∆x∆y ∆zf , DB = Γ ∆x∆y ∆zb , DP = DE + DW + DN +DS + DF + DB.

en donde se consider´o Γ = cte.

3.2. Aproximaci´

on de los t´

erminos advectivos

Los términos advectivos son importantes dado que representan la parte no lineal de la ecuación general (1). En la ecuación (48) se observa que es necesario encontrar los valores de φ en las caras del volumen de control. Sin embargo, φ representa a una variable escalar definida en los centros de los volúmenes, como se muestra en la figura 10. A continuación se presentan tres diferentes esquemas para aproximar φ en las caras de los volúmenes: Upwind, diferencias centrales (CDS) y QUICK.

3.2.1. Upwind

Este es un esquema que proporciona una aproximaci´on de primer orden O(∆x), y consiste en tomar el valor de la variable escalar en la cara del volumen de control, igual al valor de φ en el punto de la malla de donde proviene el flujo (upstream). Por ejemplo, si ce> 0 =⇒ φe= φP y si cw> 0 =⇒ φw= φW, la figura 11 muestra este caso.

Las funciones que definen este esquema para φe y φw, son:

φe = ( φP si ce > 0, φE si ce ≤ 0, y φw = ( φW si cw > 0, φP si cw ≤ 0. (56) Funciones similares se definen para φn, φs, φf y φb. Ahora, si se define JA, BK como

el m´aximo entre A y B, entonces, los t´erminos advectivos en este esquema se expresan de la siguiente manera: ceφe = φPJce, 0K − φEJ−ce, 0K , cwφw= φWJcw, 0K − φPJ−cw, 0K , cnφn= φPJcn, 0K − φNJ−cn, 0K , csφs= φSJcs, 0K − φPJ−cs, 0K , (57) cfφf = φPJce, 0K − φFJ−ce, 0K , cbφb= φBJcb, 0K − φPJ−cb, 0K .

(27)

00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 ∆y ∆y_n y ∆_s x ∆ e ∆x_w y x z x ∆ N S W P E n s w e _EE WW ww ee Corte en el plano xy

Figura 11: Esquema Upwind para el caso: ce > 0 =⇒ φe = φP y cw > 0 =⇒ φw =

φW.

Sustituyendo estas definiciones en (48) se obtiene la siguiente forma para la parte advectiva de los coeficientes (53):

CE = J−ce, 0K, CW = Jcw, 0K, CN = J−cn, 0K,

CS = Jcs, 0K, CF = J−cf, 0K, CB = Jcb, 0K, (58)

CP = CE + CW+CN + CS + CF +CB + (ce− cw) + (cn− cs) + (cf− cb).

Como se verá más adelante, la expresión (ce− cw) + (cn− cs) + (cf− cb), es la versión

discreta de la ecuaci´on de continuidad. 3.2.2. Diferencias centrales (CDS)

Una manera simple de evaluar φ en las caras, es mediante una interpolaci´on lineal usando valores de puntos vecinos. Por ejemplo, en la cara e se tiene que:

φe = φEλe+ φP(1 − λe), (59)

(28)

3.2 Aproximaci´on de los t´erminos advectivos 27

λe =

xe− xP

xE− xP

. (60)

Cuando la malla es uniforme λe = 0.5. La precisi´on de la ecuaci´on (59) es de segundo

orden (O(∆x2_{)) como puede mostrase a trav´es de una expansi´on en series de Taylor de}

φE alrededor del punto P . Este es el esquema de segundo orden m´as simple y corresponde

a la aproximaci´on de diferencias centrales de la primera derivada en los m´etodos de diferencias finitas.

Con este esquema los coeficientes son de la forma:

CE = −ceλe, CW = ceλw, CN = −ceλn,

CS = ceλs, CF = −ceλf, CB = ceλb, (61)

CP = CE + CW+CN + CS + CF+CB + (ce− cw) + (cn− cs) + (cf − cb).

3.2.3. QUICK

El esquema QUICK (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics) desarrollado por Leonard [20] es un esquema tipo Upwind de tercer orden para interpolar flujos advectivos (convectivos)1 _{en las caras de los vol´}_{umenes de control. En este caso,}

se seleccionan tres puntos de la malla para construir un polinomio de segundo grado. La selecci´on de los puntos se hace de acuerdo con la direcci´on de la velocidad en la cara correspondiente del volumen de control.

La fórma cuadrática de interpolación de los términos advectivos ceφe y cwφw, en el

esquema QUICK, para mallas uniformes tiene la siguiente forma:

ceφe = ce φP + φE 2 − cep φ_W − 2φ_P + φ_E− cem φ_EE− 2φE + φP , (62) cwφw = cw φ_P + φ_W 2 − cwp φ_{W W} − 2φ_W + φ_P− cwm φ_E − 2φ_P + φ_W, (63)

en donde cep, cem, cwp y cwm son funciones que dependen de ce y cw. La forma de cep

y cem se muestra en la ecuaci´on (64) y en la figura 12; definiciones similares se hacen

para cwp y cwm. Los t´erminos cnφn, csφs, cfφf y cbφb se aproximan de igual manera.

cep= f 8 = ( ce 8 si ce > 0, 0 si ce ≤ 0, cem= g 8 = ( 0 si ce≥ 0, −ce 8 si ce< 0. (64)

Usando las definiciones anteriores, los coeficientes convectivos toman la forma sigu-iente:

1_{Se ha usado en este documento el t´ermino advecci´}_{on para denotar a los t´erminos que tienen que}

(29)

ce e 2 c + |c |e c =e f( ) 1 2 3 0 −1 1 f ce −1 −2 −3 e 2 e c =e c − |c | g( ) 1 0 −1 g

Figura 12: Definici´on de las funciones f y g.

CE = − ce 2 + cep− 2cem+ cwm, CW = cw 2 + 2cwp− cwm+ cep, CN = − cn 2 + cnp− 2cnm+ csm, CS = cs 2 + 2csp− csm+ cnp, CF = − cf 2 + cfp− 2cfm+ cbm, CB = cb 2 + 2cbp− cbm+ cfp, (65) CP =CE + CW + CN + CS + CF + CB +cem− cwp+ cnm− csp+ cfm− cbp+ (ce− cw) + (cn− cs) + (cf − cb).

El orden de aproximaci´on de este esquema es de O(∆x3_{), v´ease [20].}

4. Acoplamiento presi´

on-velocidad

La advección de una variable escalar φ depende de la magnitud y dirección de la ve-locidad. En general, la velocidad no se conoce y debe calcularse como parte del proceso de solución junto con las otras variables del flujo. Las ecuaciones para cada compo-nente de la velocidad — ecuaciones de cantidad de movimiento — pueden derivarse de la ecuación general (1). En el caso de flujos incompresibles, la velocidad debe satisfac-er la ecuación de continuidad. Para describir el método de solución, reescribimos las ecuaciones de cantidad de movimiento y de continuidad como sigue:

∂u ∂t + u ∂u ∂x + v ∂u ∂y + w ∂u ∂z = − ∂p ∂x + Γ ∂2_u ∂x2 + Γ ∂2_u ∂y2 + Γ ∂2_u ∂z2 + Su, ∂v ∂t + u ∂v ∂x + v ∂v ∂y + w ∂v ∂z = − ∂p ∂y + Γ ∂2_v ∂x2 + Γ ∂2_v ∂y2 + Γ ∂2_v ∂z2 + Sv, (66) ∂w ∂t + u ∂w ∂x + v ∂w ∂y + w ∂w ∂z = − ∂p ∂z + Γ ∂2_w ∂x2 + Γ ∂2_w ∂y2 + Γ ∂2_w ∂z2 + Sw.

(30)

4.1 Mallas desplazadas 29 ∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z = 0. (67)

La soluci´on de estas ecuaciones presenta algunos problemas:

Los t´erminos advectivos de las ecuaciones de cantidad de movimiento son canti-dades no lineales.

Las ecuaciones est´an fuertemente acopladas debido a que cada componente de la velocidad aparece en cada ecuaci´on de cantidad de movimiento.

El problema más complejo es resolver el papel que juega la presión: no existe expl´ıcitamente una ecuación para la presión.

Estos problemas, asociados con la no linealidad de las ecuaciones, pueden resolverse adoptando una estrategia de soluci´on iterativa. El m´etodo SIMPLEC (Semi-Implicit

Method for Pressure Linked Equations – Consistent) [9] es usado aqu´ı y se presenta m´as

adelante.

4.1. Mallas desplazadas

La forma más sencilla de aproximar el gradiente de presiones, que aparece en las ecuaciones (66), es mediante una interpolación lineal. Por ejemplo, para la ecuación en dirección x se tiene, de la figura 11, que:

∂p ∂x P ≈ pe− pw ∆x = _p E+pP 2 −pP+pW 2 ∆x = pE − pW ∆x . (68)

En la ecuación anterior se observa que el valor de la presión en el nodo central P , no aparece. Esto puede ocasionar campos de presiones con oscilaciones no realistas. Es claro entonces, que si las velocidades están definidas en los puntos centrales de la malla, la influencia de la presión no estará representada correctamente. Un remedio a este problema es utilizar mallas desplazadas (staggered grids) para las componentes de la velocidad. La idea es evaluar las variables escalares, tales como la presión y la temperatura en los centros de los volúmenes de control; mientras que las velocidades se evaluan en las caras de los mismos volúmenes. El arreglo para las tres componentes de la velocidad se muestra en la figura 13. Se observa que el punto central P , para la componente u de la velocidad, se desplaza a la cara w. Para las otras componentes se hace un desplazamiento similar. Con este arreglo, el gradiente de presiones, en la ecuación para u se calcula de la siguiente forma:

∂p ∂x w ≈ pP − pW ∆x . (69)

Una ventaja adicional de las mallas desplazadas es que genera velocidades en los lugares exactos donde se requiere para las ecuaciones escalares y por lo tanto no es necesario realizar interpolaciones.

(31)

000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 000 000 000 111 111 111 000000 000000 111111 111111 0000 0000 1111 1111 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 00000000000 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 11111111111 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 ∆y ∆y_n y ∆_s ∆z_b _∆_z f z ∆ x ∆ ∆x_w ∆x_e y x z y z −x

VC para u VC para v VC para w

N S W E N S B F Corte en el plano Corte en el plano xy yz s n e n f P P s w b

Figura 13: Malla y vol´umenes de control (VC) para las componentes de la velocidad.

4.2. Ecuaci´

on de correcci´

on a la presi´

on

Una relación para calcular la presión se puede obtener a partir de las ecuaciones (66) y (67). Aplicando el método de volumen finito a la ecuación de cantidad de movimiento para u en una malla desplazada como se muestra en la figura 13, se obtiene:

aPuP =

X

nb

anbunb + bu+ Au(pW − pP), (70)

donde se escribe expl´ıcitamente el gradiente de presiones. En esta ecuaci´onnb=E,W,N,S,F,B,

Au = ∆y∆z es el ´area de la cara w del volumen de control y bu es el t´ermino fuente.

Ahora, dado que no conocemos la presi´on, definimos p∗ _{como una presi´on}

aproxima-da. Esta presi´on produce una velocidad aproximada u∗_{. Por lo tanto se produce:}

aPu ∗ P = X nb anbu ∗ nb + bu+ Au(p ∗ W − p ∗ P). (71)

(32)

4.3 SIMPLEC 31

p = p∗_{+ p}′ _{y u = u}∗_{+ u}′_{. Una relaci´on entre p}′ _{y u}′ _{se obtiene restando las ecuaciones}

(70) y (71): aPu ′ P = X nb anbu ′ nb + Au(p ′ W − p ′ P). (72)

En los métodos del tipo SIMPLE se encuentra una ecuación discreta ya sea para la presión p o para la corrección a la presion p′ _{y se resuelve dentro del ciclo global del}

m´etodo.

4.3. SIMPLEC

En el SIMPLE se realiza una aproximación consistente que genera una expresión sencilla para p′_{. En este algoritmo se resta el término} P a

nbu

′

P en ambos lados de la

ecuaci´on (72), de tal forma que se tiene: (aP − X nb anb)u ′ P = X nb anb(u ′ nb − u ′ P) | {z } ≈0 +Au(p′_W − p′_P). (73) La diferencia (u′ nb−u ′

P) es aproximadamente igual a cero, para todonby para mallas

relativamente finas. Por lo tanto, es posible eliminar este término de la ecuación, de tal manera que la velocidad corregida estará dada por:

uP = u ∗ P + u ′ P = u ∗ P + du(p ′ W − p ′ P), (74) donde de = Ae/(aP − X anb). (75)

Las correciones para las componentes v y w se escriben como: vP = v ∗ P + v ′ P = v ∗ P + dv(p ′ S − p ′ P), (76) wP = w ∗ P + w ′ P = w ∗ P + dw(p ′ B − p ′ P), (77)

La ecuaci´on para p′ _{se obtiene sustituyendo las ecuaciones (74), (76) y (77) en la}

ecuaci´on (67) : aPp ′ P = aEp ′ E + aWp ′ W + aNp ′ N + aSp ′ S + aFp ′ F + aBp ′ B + bp, (78)

donde los coeficientes est´an definidos como sigue:

a′ E = duAu, a ′ W = duAu, a ′ N = dvAv, a′_S = dvAv, a′F = dwAw, a ′ B = dwAw, bp = −(u∗e− u ∗ w)∆y∆z − (v ∗ n − v ∗ s)∆x∆z − (w ∗ f − w ∗ b)∆x∆y (79)

(33)

De esta manera se tiene una ecuación para la corrección a la presión, con la que se completa el sistema de ecuaciones. La definición de bp es exactamente la forma discreta

de la ecuaci´on de continuidad para u∗_{, v}∗ _{y w}∗_{, que produce el m´etodo de volumen finito.}

Cuando este coeficiente es igual a cero, significa que dichas velocidades cumplen con la ecuaci´on de continuidad. Este es el criterio de convergencia que se usa en los ejemplos mostrados al final de este texto.

En problemas de convección natural la diferencia de temperaturas es la que promueve el movimiento, por lo tanto es importante resolver primero la ecuación de energ´ıa y luego las ecuaciones de cantidad de movimiento y la de corrección a la presión. Entonces, los pasos que sigue el método SIMPLEC, adaptado a problemas de convección natural son:

1. Se inicia con campos aproximados: T∗_{, p}∗_{, u}∗_{, v}∗ _{y w}∗

2. Se resuelve la ecuaci´on de energ´ıa para obtener T .

3. Se resuelven las ecuaciones de cantidad de movimiento usando los campos de pre-si´on y velocidad iniciales aproximados (p∗_{, u}∗_{, v}∗_{, w}∗ _{) y el campo de temperaturas}

T .

4. Se calculan los coeficientes de la ecuaci´on de presi´on pnb usando los coeficientes

de las ecuaciones de cantidad de movimiento. 5. Se resuelve la ecuación de corrección a la presión. 6. Se corrige la presión mediante p = p∗_{+ p}′_.

7. Se corrige la velocidad mediante ecuaciones (74), (76) y (77). 8. Se verifica el criterio de convergencia:

a) Si bp ≤ ǫs ir al paso 9. b) Si bp > ǫs regresar al paso 2

donde ǫs es la tolerancia especificada.

9. Fin

5. Soluci´

on de los sistemas lineales

La discretización de las ecuaciones gobernantes produce sistemas lineales como el mostrado en la ecuación (52). La complejidad y tamaño del conjunto de ecuaciones depende de la dimensión del problema, el número de puntos de la malla y la estrate-gia de discretización. Aunque es posible utilizar cualquier procedimiento válido para resolver el conjunto de ecuaciones algebraicas, los recursos de cómputo disponibles son una restricción muy fuerte. Existen dos familias de métodos para resolver los sistemas:

(34)

5.1 TDMA 33

directos e iterativos. Los métodos iterativos son generalmente mucho más económicos que los directos y por ello son preferidos cuando la matriz es dispersa. En este trabajo se ha usado un método iterativo que se basa en el algoritmo directo de Thomas o TDMA para matrices tridiagonales.

5.1. TDMA

El TDMA es un método directo para resolver de manera simple y eficiente sistemas tridiagonales. En una dimensión, la matriz del sistema es t´ıpicamente tridiagonal, por lo tanto el TDMA es aplicado directamente, véase figura 14.

W P E

Sistema lineal en 1D

x b

A

TDMA en 1D

Puntos en la frontera del dominio Puntos donde se resuelve

Figura 14: TDMA en 1D.

El TDMA puede resumirse como sigue: Consid´erese el siguiente sistema tridiagonal de N × N :          a1 b1 0 0 0 . . . c2 a2 b2 0 0 . . . 0 c3 a3 b3 0 . . . 0 0 c4 a4 b4 . . . 0 0 0 c5 a5 . . . .. . ... ... ... ... . ..                   x1 x2 x3 x4 x5 .. .          =          d1 d2 d3 d4 d5 .. .         

Para encontrar la soluci´on del sistema anterior se realizan los siguientes pasos:

1. Calcular P1 = b1/a1 y Q1 = d1/a1

2. Desde i = 2 hasta i = N, calcular lo siguiente: Pi = bi ai− ciPi−1 , Qi = di+ ciQi−1 ai− ciPi−1 . (80)

(35)

3. Hacer xN = QN

4. Desde i = N-1 hasta i = 1, hacer la sustituci´on hacia atr´as:

xi = Pixi+1+ Qi (81)

5.2. Aplicaci´

on del TDMA en 2 y 3 dimensiones

El TDMA puede ser aplicado iterativamente, l´ınea por l´ınea, para resolver problemas en 2 y 3 dimensiones y es ampliamente usado en problemas de CFD. Consid´erese la figura 15 y una ecuaci´on discreta que tiene la forma:

aPφP = aEφE + aWφW + aNφN + aSφS + SP. (82)

Puntos donde se resuelve Puntos en la frontera del dominio

Puntos donde los valores se consideran conocidos x y P W E N S Sistema lineal en 2D x A b TDMA en 2D j j+1 Figura 15: TDMA en 2D.

Para resolver el sistema, el TDMA es aplicado a lo largo de l´ıneas horizontales o verticales. Por ejemplo, en la direcci´on x la ecuaci´on (82) se rearregla de la siguiente forma:

− aWφW + aPφP − aEφE = aNφN + aSφS + SP. (83)

El lado derecho de esta ´ultima ecuaci´on se supone conocido, y los valores de φN y

φS se toman de la iteraci´on anterior. La ecuaci´on (83) representa un sistema tridiagonal

donde b = aE, c = aW, a = aP y d = aNφN + aSφS + SP. De esta manera el sistema

(36)

5.2 Aplicaci´on del TDMA en 2 y 3 dimensiones 35

j, se actualizan los valores de φ y se resuelve la l´ınea siguiente j + 1. La secuencia en que las l´ıneas se van resolviendo se conoce como la dirección de barrido, en este caso, dicha dirección es +x. El mismo procedimiento se realiza en la dirección y. El cálculo es repetido varias veces hasta obtener convergencia.

Para problemas tridimensionales el método se aplica l´ınea por l´ınea sobre un plano determinado y luego se pasa a un plano paralelo y se continúa el cálculo. Por ejemplo, para resolver a lo largo de la dirección x en un plano xz, véase figura 16, la ecuación discreta se escribe como sigue:

− aWφW + aPφP − aEφE = aNφN + aSφS + aFφF + aBφB + SP. (84)

Puntos donde los valores se consideran conocidos Puntos donde se resuelve del dominio Puntos en la frontera x z y F S N B E W P x b A Sistema lineal en 3D TDMA en 3D k+1 k j Figura 16: TDMA en 3D.

Los valores en N , S, F y B, del lado derecho, se consideran conocidos y son tomados de la iteración anterior. As´ı, los valores φ se calculan a lo largo de la dirección x mediante el TDMA. Luego, el cálculo se mueve de la l´ınea k a la k + 1 hasta cubrir todo el plano j. Después, se mueve el cálculo al plano j + 1 hasta cubrir todo el dominio.

En dos y tres dimensiones la convergencia puede ser acelerada alternando la direcci´on de barrido de tal manera que toda la informaci´on de las condiciones de frontera se

(37)

transporte efectivamente dentro del dominio de estudio.

6. Problemas no estacionarios

La ecuaci´on general de transporte (1) se puede escribir como sigue: ∂φ ∂t + ∂ ∂x(uφ) + ∂ ∂y(vφ) + ∂ ∂z(wφ) = ∂ ∂x Γ∂φ ∂x + ∂ ∂y Γ∂φ ∂y + ∂ ∂z Γ∂φ ∂z + Sφ

Integrando la ecuaci´on anterior en un volumen de control, ∆V , y en un intervalo de tiempo, ∆t, se obtiene Z ∆V Z k+1 k ∂φ ∂tdtdV + Z k+1 k Z ∆V h ∂ ∂x(uφ) + ∂ ∂y(vφ) + ∂ ∂z(wφ) i dV dt = Z k+1 k Z ∆V h ∂ ∂x Γ∂φ ∂x + ∂ ∂y Γ∂φ ∂y + ∂ ∂z Γ∂φ ∂z + Sφ i dV dt donde k ≡ t y k + 1 ≡ t + ∆t.

Considerando que el valor de φ prevalece sobre todo el volumen, entonces la primera integral del lado izquierdo se puede calcular f´acilmente de tal manera que es posible escribir: φk+1 P − φ k P ∆V + Z k+1 k Cdt = Z k+1 k [D + S] dt.

donde se han agrupado los t´erminos convectivos, difusivos y el fuente en C, D y S, respectivamente.

Para evaluar las integrales sobre el tiempo, es necesario hacer algunas suposiciones acerca de la variaci´on de φ en cada volumen de control con respecto al tiempo. Es posible usar el valor de φ en el tiempo t, en el tiempo t + ∆t o una combinaci´on de ambos.

Lo anterior se generaliza mediante el uso de un par´ametro de peso, θ, cuyo valor est´a en el intervalo [0, 1]. Esto se conoce como esquema θ y se escribe:

Z k+1 k f dt =θfk+1+ (1 − θ)fk∆t =⇒ Z k+1 k f dt =      fk_{∆t para θ = 0} fk+1_{∆t para θ = 1} fk+1_{+ f}k∆t 2 para θ = 1 2

Ahora, tomando en cuenta que el t´ermino fuente se linealiza mediante ¯S∆V = Su+ SPφ

k

(38)

6.1 Esquema Expl´ıcito: Forward Euler 37 φk+1_P − φk_P ∆V ∆t = θ D(φk+1_nb ) − C(φk+1_nb ) + Su+ SPφ k+1 P +(1 − θ)D(φknb) − C(φknb) + Su+ SPφ k P

Aqu´ı C y D son funciones de φnb evaluado en el instante k y/o k + 1, dependiendo

del valor de θ. La forma de dichas funciones depende de los esquemas numéricos que se usen en la aproximación de los diferentes términos. El sub´ındice nb = E, W , N , S, F , B indica en que punto vecino se evalúa φ.

6.1. Esquema Expl´ıcito: Forward Euler

En este esquema se toma θ = 0 φk+1_P − φk_P ∆V ∆t = D(φ k nb) − C(φ k nb) + Su+ SPφ k P De aqu´ı se obtiene: φk+1_P = φk_P + ∆t ∆V D(φknb) − C(φknb) + Su+ SPφ k P La ecuaci´on anterior es trivial, pues se obtiene el valor de φk+1

P mediante valores de φ

conocidos del tiempo anterior k. Este esquema es condicionalmente estable y en general no es muy recomendable.

6.2. Esquema Impl´ıcito: Backward Euler

En este esquema se toma θ = 1 φk+1_P − φk_P ∆V ∆t = D(φ k+1 nb ) − C(φ k+1 nb ) + Su+ SPφ k+1 P De aqu´ı se obtiene: φk+1 P ∆V ∆t + C(φ k+1 nb ) − D(φk+1nb ) − SPφ k+1 P = φ k P ∆V ∆t + Su

Como se puede observar, es necesario resolver un sistema de ecuaciones en cada paso de tiempo. Este esquema es incondicionalmente estable para cualquier paso de tiempo. Sinembargo, debido a que el esquema es de primer orden en el tiempo, es necesario usar pasos de tiempo pequeños para obtener buena precisión en la solución. Este esquema es recomendable para problemas no estacionarios.