1-1- Una población se distribuye normalmente con una media igual aUna población se distribuye normalmente con una media igual a μμ y una desviación estándary una desviación estándarσσ igualigual a 43. Si se extrae una m
a 43. Si se extrae una muestra de tamaño N = 36 y uestra de tamaño N = 36 y se quiere contrastar se quiere contrastar HHoo:: μμ = 260 contra H = 260 contra HAA : : μμ < < 260 y el criterio de decisión es
260 y el criterio de decisión es rechazar Hrechazar Hoo si si X < 250 , X < 250 , ¿ Cuánto vale el ¿ Cuánto vale el nivel de signinivel de significación ?ficación ?
Solucion Solucion zcrit = zcrit = N N X X z z =(250 =(250 – – 260)* 260)* 3636/(43)= -1,39/(43)= -1,39 Luego el area a
Luego el area a la derecha de z=-1,39 la derecha de z=-1,39 es el nivel es el nivel de significación. de significación. Esta Esta area area es 0,5es 0,5 – – 0,4177= 0,4177= 0,0823.0,0823.
2-2- Una población se distribuye normalmente con una media igual aUna población se distribuye normalmente con una media igual a μμ y una desviación estándary una desviación estándarσσ igualigual a 43. Si con una muestra de tamaño N = 36 se desea contrastar H
a 43. Si con una muestra de tamaño N = 36 se desea contrastar Hoo:: μμ = 260 contra H = 260 contra HAA : : μμ < 260 ,con < 260 ,con un nivel de significación del 5
un nivel de significación del 5 %.%.
-- Hallar el valor crítico de la media muestral.Hallar el valor crítico de la media muestral.
-- Suponiendo que la hipótesis alternativaSuponiendo que la hipótesis alternativa específica H1 : μ = 240específica H1 : μ = 240 es verdadera, calcular la probabilidad es verdadera, calcular la probabilidad de cometer el error tipo II (
de cometer el error tipo II ( ßß ).).
Zcrit (p / nivel signif 0,05) = -1,645 Zcrit (p / nivel signif 0,05) = -1,645 zcrit = zcrit = N N X X z z de de dondedonde 260260 248248,,2121 36 36 43 43 * * 645 645 ,, 1 1 X X z z N N
El valor critico de la media muestral es 248,21 El valor critico de la media muestral es 248,21
Suponiendo que la hipótesis alternativa específica H1 :
Suponiendo que la hipótesis alternativa específica H1 : μ = 240, calcular la probabilidad de cometer el error tipo II (μ = 240, calcular la probabilidad de cometer el error tipo II ( ßß ).).
14 14 ,, 1 1 36 36 43 43 240 240 21 21 ,, 248 248 N N X X z z Para z=1,14 el area es 0,3729 Para z=1,14 el area es 0,3729 Luego el error tipo II es = 0,5
Luego el error tipo II es = 0,5 – – 0,3729 = 0,1271 0,3729 = 0,1271
Aceptación hipótesis nula Aceptación hipótesis nula Nivel
Nivel si
si ninifificacaciciónón
260 260 250
250
Aceptación hipótesis nula Aceptación hipótesis nula Nivel significación = Nivel significación = 0 0 0055 260 260 Z=-1,645 Z=-1,645 240 240 248,21248,21 Error tpo 2 Error tpo 2 260 260
3-3- De una muestra elegida al azar de 400 adultos extraída de una población grande, resulto que 240De una muestra elegida al azar de 400 adultos extraída de una población grande, resulto que 240 dieron una respuesta afirmativa a la pregunta:
dieron una respuesta afirmativa a la pregunta:
¿Está usted de acuerdo con el proyecto de bajar en 520 guaraníes por litro, el precio de las naftas, ¿Está usted de acuerdo con el proyecto de bajar en 520 guaraníes por litro, el precio de las naftas, disminuyendo la carga impositiva?
disminuyendo la carga impositiva?
-- Construir un intervalo de confianza del 85% para la proporción real de los que opina negativamente.Construir un intervalo de confianza del 85% para la proporción real de los que opina negativamente. -- ¿Qué tamaño de muestra se debería elegir para cometer un error de hasta el 3% a un nivel de¿Qué tamaño de muestra se debería elegir para cometer un error de hasta el 3% a un nivel de
confianza del 95%? confianza del 95%?
Sol Solucuciónión::
Sea:
Sea: p = p = proporción proporción de personde personas as que responque responden negden negativamente. Entonces ativamente. Entonces p = p = 160/400 = 160/400 = 0.4 0.4 ; ; q = q = 0.60.6 Fórmula para estimación de intervalos de confianza:
Fórmula para estimación de intervalos de confianza:
N N pq pq z z p p cc a)
a) los valores los valores de de z z que limitan que limitan un área un área del 85% del 85% bajo la bajo la curva curva son z son z == 1.4395. Luego, el intervalo está dado por: 1.4395. Luego, el intervalo está dado por:
40 4000 6 6 .. 0 0 4 4 .. 0 0 4395 4395 .. 1 1 4 4 .. 0 0 0.4 0.4 0.035 0.035 R
Reespuespuestasta: se puede afirmar, con una confianza del 85%, que la proporción real de las personas que opinan negativamente se: se puede afirmar, con una confianza del 85%, que la proporción real de las personas que opinan negativamente se encuentra
encuentra entre 36.5% y entre 36.5% y 43.5%.43.5%. b) b) En la fórmulaEn la fórmula N N pq pq z z p
p cc , el error está limitado por, el error está limitado por
N N pq pq z
zcc . Si el error es de hasta 3%, tenemos:. Si el error es de hasta 3%, tenemos:
N N 6 6 .. 0 0 4 4 .. 0 0 96 96 .. 1 1 03 03 .. 0
0 . Despejando . Despejando N, tenemos: N, tenemos: N = 1024.43N = 1024.43 R
Reespuespuestasta: el tamaño de muestra que se debería elegir para cometer un error de hasta el 3%, a un nivel de significación del: el tamaño de muestra que se debería elegir para cometer un error de hasta el 3%, a un nivel de significación del 95%, es de al menos 1025 personas.
95%, es de al menos 1025 personas.
4-4- La estatura La estatura media de media de 50 50 estudiantes de estudiantes de un colegio que tomaban un colegio que tomaban parte de las parte de las pruebas atléticas pruebas atléticas fue defue de 68,2
68,2 pulgadas pulgadas con con una una desviación desviación típica típica de de 2,5 2,5 pulgadas; pulgadas; mientras mientras que que 50 50 estudiantes estudiantes que que nono mostraban
mostraban interés interés en en tal tal participación participación tenían tenían una una estatura estatura media media de de 67,5 67,5 pulgadas pulgadas con con unauna desviación
desviación típica típica de de 2,8 2,8 pulgadas.pulgadas. a)
a) Ensayar la hipótesis de que los estudiantes que participan en las pruebas atléticas son más altosEnsayar la hipótesis de que los estudiantes que participan en las pruebas atléticas son más altos que los otros.
que los otros. b)
b) En cuánto deberían incrementarse los tamaños de las muestras de cada uno de estos grupos paraEn cuánto deberían incrementarse los tamaños de las muestras de cada uno de estos grupos para que la diferencia observada de
que la diferencia observada de 0,7 pulgadas en las estaturas 0,7 pulgadas en las estaturas medias sea significativa al medias sea significativa al nivel denivel de significación b
5- Para determinar si en realidad existe una relación entre el aprovechamiento de un empleado en el programa de capacitación y su rendimiento real en el trabajo, consideramos una muestra de 400 casos
y obtenemos los resultados que se advierten en la siguiente tabla:
Con el nivel de significación 0,01 pruébese la hipótesis nula de que el aprovechamiento en el programa de capacitación y el éxito en el trabajo son independientes.
Solución:
Hipótesis nula: el aprovechamiento en el programa de capacitación y el éxito en el trabajo son independientes. Hipótesis alternativa: el aprovechamiento en el programa de capacitación y el éxito en el trabajo no son independientes.
Nivel de significación = 0,01
Nro de grados de libertad: (h-1)(k-1)=(3-1)(3-1)=2x2=4
Criterio: se rechaza la hipótesis nula si 2 13,277, o sea el valor de 0,992para 4 grados de libertad, donde
2
esta dado por la formula:
j j j j e e o 2 2 ( ) k o : frecuencia observada k e : frecuencia esperada Cálculos:Hallando primero las frecuencias esperadas para las primeras dos celdas de los primeros dos reglones, y, por sustracción, las frecuencias de las otras celdas se encuentra que:
Debajo del promedio Promedio Sobre el promedio Total
Deficiente 112*60/400 112*188/400 42,6 112 Promedio 167*60/400 167*188/400 63,5 167 Muy buena 18,1 56,9 45,9 121 Total 60 188 152 400 É x it o e n e l tr a b a jo Aplicando la formula: 9 , 59 ) 9 , 45 63 ( 9 , 56 ) 9 , 56 49 ( 2 , 18 ) 2 , 18 9 ( 5 , 63 ) 5 , 63 60 ( 5 , 78 ) 5 , 78 79 ( 25 ) 0 , 25 28 ( 6 , 42 ) 6 , 42 29 ( 6 , 52 ) 6 , 52 60 ( 8 , 16 ) 8 , 16 23 ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 j j j j e e o 34 , 20 2
Decisión: Dado que 2 20,34sobrepasa 13,277, la hipótesis nula debe rechazarse; se concluye que existe dependencia entre el aprovechamiento de un empleado en el programa de capacitación y su éxito en el trabajo.
Debajo del promedio Promedio Sobre el promedio
Deficiente 23 60 29 Promedio 28 79 60 Muybuena 9 49 63 É x i t o e n e l t r a b a j o
6- Una moneda da 6 caras en 6 tiradas. ¿Podemos concluir al nivel de significación a) 0.05 b) 0.01 de que la moneda está trucada? Ref.: Estadística Schaum Ejer. 10.27
Solución:
Contraste a dos colas
Hay que decidir entre dos hipótesis: H0: p = 0,5 y la moneda es buena
HA: p 0,5 y la moneda no es buena
La probabilidad de obtener 6 caras en 6 tiradas, con p = 0,5 utilizando la distribución binomial está dada por:
015625 , 0 64 1 2 1 2 1 C ) 6 X ( p 0 6 6 6
las demás posibilidades están dadas por: 0,015625
64 1 ) 6 X ( p ) 0 X ( p 64 20 ) 3 X ( p ; 64 15 ) 4 X ( p ) 2 X ( p ; 64 6 ) 5 X ( p ) 1 X ( p
la distribución de probabilidades es como se indica:
Contraste a una sola cola:
como 1/64 = 0,015625 > 0,01 y 1/64 = 0,015625 < 0,05 rechazamos H0 al nivel 0,05 pero
no al nivel 0,01
Contraste a dos colas:
como 1/64 + 1/64 = 1/32 > 0,01 y 1/64 + 1/64 < 0,05 rechazamos H0 al nivel 0,05 pero no al nivel 0,01
64 1 64 1 64 6 64 6 64 15 64 15 64 20 X ) X ( p
7- Se lanzan tres monedas 240 veces, los resultados obtenidos se recogen en la siguiente tabla. Contrastar la hipótesis de que las monedas son bue nas al nivel de significación 0,01.
3 caras 0 cruz 2 caras 1 cruz 1 cara 2 cruces 0 cara 3 cruces Frecuencia Observada 24 98 95 23 Solución
Hipótesis nula: p1 = p2 = p3 = 0,5 y las monedas son buenas Hipótesis alternativa: las monedas no son buenas
Nivel de significación = 0,01
Nro de grados de libertad: h-1 = 4 – 1 = 3
Criterio: se rechaza la hipótesis nula si 11,3
2 , o sea el valor de 2 99 , 0
para 3 grados de libertad, donde
2
esta dado por
la formula:
j j j j e e o 2 2 ( ) k o : frecuencia observada k e : frecuencia esperada 3 caras 0 cruz 2 caras 1 cruz 1 cara 2 cruces 0 cara 3 cruces Frecuencia Observada 24 98 95 23 Frecuencia esperada 0,53x240= 30 3x0,52x0,5x240= 90 3x0,5x0,52x240= 90 0,53x240= 30 Aplicando la formula: 8221 , 3 63333 , 1 27777 , 0 71111 , 0 2 , 1 30 ) 30 23 ( 90 ) 90 95 ( 90 ) 90 98 ( 30 ) 30 24 ( ) ( 2 2 2 2 2 2 j j j j e e o Decisión: Dado que 3,8221
2
es menor que 11,3, la hipótesis nula no puede r echazarse y se concluye que las monedas
8- En un examen de ortografía, la nota media de 32 niños ha sido 72 con desviación típica de 8, mientras que la nota media de 36 niñas ha sido 75 con una desviación típica de 6. Contrastar la hipótesis de que al nivel de significación 0,05 las niñas superan a los niños en ortografía.
a) Hay que decidir entre dos hipótesis:
H0 : niñas = niños, y no hay diferencia entre las niñas y los niños en ortografia
H1 : niñas niños, y las niñas superan a los varones en ortografia.
Bajo la hipótesis H0, 732 , 1 32 8 36 6 0 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 N N y x x x x
donde hemos usado las desviaciones típicas muestrales como estimaciones de 1 y 2. Luego:
73 , 1 73 , 1 72 75 2 1 2 1 x x X X z
Con un contraste a una sola cola al nivel de significación 0.05 rechazaríamos H0 si z fuera mayor que 1.645 (valor de z
para nivel 0.05), la aceptaríamos en caso contrario
Conclusión: podemos afirmar con un nivel de significación 0.05 que las niñas superan a los niños en ortografía.
9- Los siguientes datos se refieren a las concentraciones de rayos cósmicos medidas a varias alturas medidas sobre el nivel del mar. Sabiendo que la curva de Gompertz tiene la forma
e x e y , se pide
ajustar una curva de este tipo a los datos dados. ¿Cuál sería la concentración de rayos cósmicos al nivel del mar?
Altura (pies) Concentración de rayos cósmicos 50 28 250 30 450 39 650 51
10- Dos tipos de soluciones químicas A y B, han sido probados para ver su Ph (grado de acidez de la solución). El análisis de 6 muestras de A arroja un pH medio 7.52 con desviación típica 0.024, mientras que 5 muestras de B dan un pH medio 7.49 con desviación típica 0.032. Usando nivel de significación 0.05, determinar si los dos tipos de soluciones tienen distinto Ph. Ref.: Estadistica Schaum Ejer. 11.34.
11- Los siguientes datos son el número de ventas que una muestra de nueve vendedores de vehículos en Asunción y una muestra de seis vendedores en Encarnación realizaron en cierto periodo fijo:
Asunción 59 68 44 71 63 46 69 54 48 Encarnacion 50 36 62 52 70 41
Utilícese un ensayo bilateral con nivel de significación del 0,01 para probar si la diferencia entre la media de las dos muestras es significativa.
Solución:
Hipótesis nula: 1 2 0 y la diferencia no es significativa.
Hipótesis alternativa: 1 2 y la diferencia es significativa. Nivel de significación = 0,01
Grados de libertad N 1N 2 2= 9 + 6
– 2 = 13
Criterio: Utilizando un ensayo a dos colas se acepta la hipótesis nula si 3,01t 3,01, de lo contrario se
acepta la hipótesis alternativa. El estadístico t se obtiene de la formula:
2 1 2 1 1 1 N N X X t donde 2 2 1 2 2 2 2 1 1 N N s N s N 2 1, X
X : Media muestral de población 1 y 2
2 1, s
s : Desviación típica muestral de 1 y 2
2 1, N
N : tamaño de la muestra de la población 1 y 2
Cálculos: 58 9 522 9 48 54 69 46 63 71 44 68 59 1 1
N X X N j j 9 872 9 58 48 9 58 54 9 58 69 9 58 46 9 58 63 9 58 71 9 58 44 9 58 68 9 58 59 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ___ 1
N X X S N j j 833 , 51 6 311 6 41 70 52 62 36 50 1 2
N X X N j j 3 4829 6 833 , 51 41 6 833 , 51 70 6 833 , 51 52 6 833 , 51 62 6 833 , 51 36 6 833 , 51 50 2 2 2 2 2 2 1 2 ___ 2
N X X S N j j 9 1 N N 2 6 luego calculando t: 030 , 1 98579 , 5 1667 , 6 82977 , 35 1667 , 6 18 5 13 6 4829 872 1667 , 6 6 1 9 1 2 6 9 36 4829 6 9 872 9 833 , 51 58 x x x x t Conclusión:Como t = 1,030 esta en el intervalo 3,01t 3,01; Se acepta la hipótesis nula de que la diferencia entre las
12- La Cátedra de Probabilidad y Estadística quiere contrastar tres tipos distintos de enseñanza: I, II, III. Para ello, escoge al azar tres grupos de 5 estudiantes cada uno, y aplica a cada grupo un método distinto. Tras proponer, al final del semestre, el mismo examen a todos ellos, se obtienen las notas que indica la siguiente tabla:
Método I 75 62 71 58 73
Método II 81 85 68 92 90
Método III 73 79 60 75 81
Determinar si hay diferencia significativa entre los tres métodos al nivel de significación (a) 0,05 y (b) 0,01.
13- Como parte de la investigación del derrumbe del techo de un edificio, un laboratorio prueba todos los pernos disponibles que conectaban la estructura de acero en tres distintas posiciones del techo. Las
fuerzas requeridas para “cortar” cada uno de los pernos (valores codificados) son las siguientes: Posición 1: 90 ; 82 ; 79 ; 98 ; 83 ; 91
Posición 2: 105 ; 89 ; 93 ; 104 ; 89 ; 95 ; 86 Posición 3: 83 ; 89 ; 80 ; 94
Efectuar una análisis al nivel de significación 0,05 para verificar si las diferencias entre las medias son o no significativas.
14- Con el fin de probar un fertilizante, se tomaron 24 parcelas de igual área, de las que la mitad se trataron con ese fertilizante y las otras no ( el grupo de control ); por lo demás, las condiciones fueron idénticas para todas ellas. La producción media de trigo en las parcelas sin tratar fue de 4.8 bushels con desviación típica de 0.4 bushels, y en las tratadas fue de 5.1 bushels con desviación típica de 0.36 bushels. ¿ Se puede concluir que se produjo la mejora a causa del nuevo fertilizante?. Ref.: Estadística Schaum. Ejer. 11.9
15- Se analiza la fracción de productos defectuosos producidos por dos líneas de producción. Una muestra aleatoria de 100 unidades provenientes de la línea 1 contiene 10 que son defectuosas, mientras que una muestra aleatoria de 120 unidades de la línea 2 tiene 25 que son defectuosas. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia en fracciones de productos defectuosos producidos por las dos líneas.
Solución:
Línea 1: N = 100 ; p1 = fracción de defectuosos = 10/100 = 0.1
Línea 2: N = 120 ; p2 = fracción de defectuosos = 25/120 = 0.21
Fórmula para el intervalo de diferencias:
1 1 1 2 2 1 p p c 1 2 N q p N q p con z p p
Luego, como para un nivel de confianza del 99% el valor de zc = 2.58, el intervalo está dado por:
12 . 0 11 . 0 ; 100 9 . 0 1 . 0 120 79 . 0 21 . 0 58 . 2 1 . 0 21 . 0
Luego, el intervalo de confianza del 99% para la diferencia en fracciones de productos defectuosos
producidos por las dos líneas está dado por: – 0.014 –
1.4% p1 – p2 23.4%
1104 , 4899 92 , 0 08 , 0 01 , 0 58 , 2 ; ; 2 2
pq N e z N N pq z e c c 16641 5 , 0 5 , 0 01 , 0 58 , 2 N ; pq e z N ; N pq z e 2 2 c c
16- Un artículo publicado en la revista The Enginer ( junio 1999), notificó los resultados de una investigación sobre los errores en el cableado en aeroplanos comerciales que pueden producir información falsa a la tripulación. Es posible que tales tipos de errores de cableado hayan sido responsables del desastre de la British Airways en enero de 1989 al provocar que el piloto apagara el motor equivocado. De 1600 aeroplanos seleccionados al azar, se encontró que el 8% tenían errores en el cableado que podían mostrar información falsa a la tripulación.
a) Encontrar un intervalo de confianza del 99% para la proporción de aeroplanos que tienen este tipo de cableado. Interpretar la respuesta.
b) Suponiendo que se utiliza este ejemplo para proporcionar una estimación preliminar de p, ¿ de qué tamaño debe se la muestra para producir una estimación de p que difiera, con una confianza de 99% del verdadero valor a lo más en 1%?. Interpretar.
c) ¿ De que tamaño debe ser la muestra si se desea tener una confianza de al menos 99% de que la proporción muestral difiera de la proporción verdadera a lo más en 1%, sin importar cual sea el
valor verdadero de p? Interpretar.
Solución:
a) N = 1600 aeroplanos ; p(error) = 0.08 ; p/ 99% de confianza: zc = 2,58
Respuesta: Con un 99% de confianza, podemos afirmar que la proporción de aeroplanos que tienen este tipo de error se encuentran entre el 6,3% y 9,7%.
b)
Respuesta: El tamaño de la muestra debe ser de al menos 4900 aeroplanos, para que la proporción muestral no difiera del verdadero a lo más en 1%.
c) Si no conocemos el valor de p tomamos p = 0,5 y q = 0,5 ya que estos son los valores que pueden producir el mayor error posible:
Respuesta: Si no conocemos el valor de p, y tomamos p = 0,5, entonces el tamaño de la muestra debe ser de al menos 16641 aeroplanos. Esto es aproximadamente 3 veces mayor que si conocemos el valor de p.
017 , 0 08 , 0 ; 1600 92 , 0 08 , 0 58 , 2 08 , 0 ; N pq z p c
17- Un científico de la computación ha desarrollado un algoritmo para generar números enteros seudoaleatorios en el intervalo 0 – 9. El científico codifica el algoritmo y genera 1000 dígitos seudoaleatorios. La siguiente tabla contiene los datos de las frecuencias observadas. ¿Existe evidencia de que el generador funciona de manera correcta al nivel de significación 0.05? Ref. Estadística Schaum. Ejer. 12.5
Solución:
Calculamos las frecuencias esperadas:
Números aleatorios 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 total
Frec. Observadas 94 93 112 101 104 95 100 99 108 94 1000 Frec. Esperadas 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1000 Formulamos las hipótesis:
H0: El generador de números aleatorios funciona de manera correcta.
HA: El generador de números aleatorios funciona de manera incorrecta.
Cálculo de 2: 72 , 3 36 , 0 59 , 0 01 , 0 0 26 , 0 15 , 0 01 , 0 29 , 1 49 , 0 36 , 0 ) ( 2 2 e e o Como 2 < 2 16,9 95 . , entonces caemos en zona de aceptación.
Conclusión: Al nivel 0,05 no hay razón para rechazar la hipótesis nula, con lo que se concluye que el generador de números aleatorios funciona de manera correcta.
Números aleatorios 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Frecuencia 94 93 112 101 104 95 100 99 108 94 05 , 0 9 , 16 2 95 .
18- Dado los siguientes datos: a) Ajustar una curva de la forma
bx m
1 y
y graficar los datos y la curva.
b) Calcular e interpretar el coeficiente de correlación.
X 1 2 3 4 5 6 7 Y 1.58 1.42 1.24 1.10 1.05 0.95 0.81 Solución: bx m y 1 ; bx m 1 y X 1 2 3 4 5 6 7 28 Y 1.58 1.42 1.24 1.10 1.05 0.95 0.81 Z=1/Y 0,633 0,704 0,806 0,909 0,952 1,053 1,235 6,292 X2 1 4 9 16 25 36 49 140 ZX 0,633 0,704 0,806 0,909 0,952 1,053 1,235 27,818 Yest 1,63 1,41 1,24 1,11 1,01 0,92 0,84 (Yest-Ymed)2 0,221 0,063 0,0064 0,0025 0,0225 0,0576 0,1024 0,469 (Y-Ymed)2 0,1764 0,0676 0,0064 0,0036 0,0121 0,0441 0,1225 0,4835 094 , 0 28 140 7 292 , 6 28 818 , 27 7 ) X ( X N X Z ZX N b 52 , 0 28 140 7 818 , 27 28 140 292 , 6 ) X ( X N X ZX X Z m 2 2 2 2 2 2 2
Con m = 0,52 y b = 0,09 la ecuación pedida es:
x 0,09 0,52 1 y
El coeficiente de correlación está dado por:
99 , 0 4835 , 0 469 , 0 ) Y Y ( ) Y Y ( r 2 2 est
. Con este valor de r = 0,99 podemos afirmar que la correlación entre los datos
19- A una muestra aleatoria de 30 empleados de nivel secretarial de una organización grande, el departamento de selección de personal le aplica una prueba estándar de mecanografía. Los resultados muestrales son: X= 63 p.p.m. (palabras por minuto) y S = 5 p.p.m. Pruebe la hipótesis de las secretarias exceden la velocidad de mecanografía de 60 p.p.m., utilizando = 1%.
Considerando que si la velocidad promedio de mecanografía es de 64 p.p.m. se tiene una diferencia considerable con respecto al valor hipotético de 60 p.p.m., determinar:
a) Error tipo I (). Interpretar. b) Error tipo II (). Interpretar.
c) Encontrar la potencia de la prueba (1 - ) e interpretar lo que ello significa.
Solución:
N = 30 ; X =63 ppm ; S = 5 ppm
H0 : m = 60 ppm, y no hay diferencia entre las velocidades en mecanografía con el valor hipotético
H1 > m = 60 ppm, y hay diferencia entre las velocidades en mecanografía con el valor hipotético
De la tabla, para a = 1% z = 2.33 Cálculo de z: 28 . 3 30 5 60 63 N X zc
Como zc > z rechazamos H0 y aceptamos A1
Conclusión
: las secretarias exceden en velocidad mecanográfica al valor hipotético 60 ppm. a) a = 1%Conclusión
: La probabilidad de rechazar una hipótesis verdadera es de 1%b) 60 62.13 30 5 33 . 2 X 05 . 2 9128 . 0 87 . 1 30 5 64 13 . 62 N X zc b = 0.5 – ( Area entre z = 0 y z = -2.05 = 0.5 – 0.4798 = 0.0202
Conclusión
: La probabilidad de aceptar una hipótesis falsa es de 2.02% c) Potencia = 1 – b = 0.979820- El número de pulgadas que una estructura recién construida se hunde en el suelo está dado por: y = 3 (1 – e- x), donde x es el número de meses que lleva construido.
Con los siguientes valores de x e y en mediciones hechas, calcular:
x 2 4 6 12 18 24
y 1,04 1,88 2,26 2,78 2,97 2,99 a) la ecuación que ajusta los datos
b) el coeficiente de correlación
c) estimar el hundimiento de una estructura a los 3 años de haberse construido.
Solución:
Y = 3 ( 1 – e-ax) ; y = 3 – 3 e-ax ; 3 e-ax = 3 – y ; tomando logaritmos miembro a miembro: ln (3 e-x) = ln (3 – y) ; ln 3 + ln e-x = ln (3 – y) ; ln 3 – x = ln ( 3 – y). Haciendo ln 3 = A, x = X, = – B, y ln (3 – y) = Y, tenemos: Y = A + B X x y Y = ln ( 3 - x ) Y X y x y e s t ( y e s t- y m e d ) ( y - y m e d ) 2 1 .0 4 0 .6 7 0 .4 5 1 .3 5 4 1 .1 4 1 .3 8 3 8 1 .6 3 8 4 4 1 .8 8 0 .1 1 0 .0 1 0 .4 5 1 6 1 .8 5 0 .2 1 9 7 1 .1 9 3 6 6 2 .2 6 - 0 .3 0 0 .0 9 - 1 .8 1 3 6 2 .2 9 0 .0 0 0 9 0 .0 0 3 6 y m e d = 2 .3 2 1 2 2 .7 8 - 1 .5 1 2 .2 9 - 1 8 .1 7 1 4 4 2 .8 3 0 .2 6 1 7 0 .2 1 1 6 1 8 2 .9 7 - 3 .5 1 1 2 .3 0 - 6 3 .1 2 3 2 4 2 .9 6 0 .4 0 9 7 0 .4 2 2 5 2 4 2 . 9 9 - 4 . 6 1 2 1 . 2 1 - 1 1 0 . 5 2 5 7 6 2 . 9 9 0 . 4 4 9 6 0 . 4 4 8 9 6 6 . 0 0 1 3 . 9 2 - 9 . 1 5 3 6 . 3 5 - 1 9 0 . 0 1 1 1 0 0 . 0 0 2 . 7 2 5 4 2 . 9 1 8 6
6 1100 66 1.10 ) 01 . 190 ( 66 1100 15 . 9 X X N XY X X Y A 2 2 2 2
6 1100 66 0.24 ) 15 . 9 ( 66 ) 01 . 190 ( 6 X X N Y X XY N B 2 2 2 Como = – B, tenemos que = 0.24 Verificación para el valor de A: de la ecuación: ln 3 = 1.10
de los datos: A = 1.10. Entonces se verifica que ln3 A
a) Con esto, la ecuación que ajusta los datos es: y = 3 (1 – e- 0.24 X)
b) 0.97 9186 . 2 7254 . 2 ) y y ( ) y y ( r 2 med 2 med est
Conclusión
: la correlación entre los datos y la curva de ajuste es perfectac) Para 3 años, o sea 36 meses, tenemos: y = 3 (1 – e- 0.24 36) = 3
Conclusión
: se estima que el hundimiento de la estructura a los 3 años de haberse construido es de 3 pulgadas.21- Una compañía de productos para el consumidor está desarrollando un nuevo shampú y está interesada en la altura de la espuma ( en mm ). La altura de la espuma tiene una distribución normal con desviación típica de 20 mm. La compañía desea probar:
HO: = 175 mm, contra HA: > 175 mm, utilizando resultados obtenidas con 10 muestras.
a) encontrar la probabilidad del error tipo I si la región crítica es X > 185 mm
b) ¿cuál es la probabilidad de error tipo II si la verdadera altura promedio de la espuma es de 195 mm? c) Si el tamaño de la muestra fuese 16, ¿donde debe colocarse la frontera de la región crítica si se desea
que la probabilidad del error tipo I siga siendo la misma que cuando el tamaño de la muestra era de 10 ? Solución: a) 58 , 1 10 20 175 185 10 20 x z
del apéndice II, para z = 1,58: A = 0,0571
Respuesta: el error tipo I, o sea la probabilidad de rechazar una hipótesis verdadera, es del 5,71 % b) 58 , 1 10 20 195 185 10 20 x z
del apéndice II, para z = 1,58: = 0,0571
Respuesta: el error tipo II, o sea la probabilidad de aceptar una hipótesis falsa, es del 5,71 %
c) 9 , 182 175 16 20 58 , 1 N z X
Respuesta: Para tamaño de la muestra 16, y si se desea que la probabilidad del error tipo I siga siendo la misma que cuando el tamaño de la muestra era de 10, la frontera de la región crítica debe colocarse en X= 182,9 mm.
18 5 X z 17 5 0 z A 175 X18 5 195 ? X 58 , 1 z 17 5 0 z A
22- Cuando muestreamos de una población infinita, ¿ qué sucede con el error estándar promedio si el tamaño de la muestra: b1) aumenta de 100 a 200 b2) aumenta de 200 a 300 b3) disminuye de 360 a 90 ?
el error está dado por :
N z e b1) N1 = 100 ; N2 = 200 2 e e 100 200 e e ) ( 200 z e 100 z e 1 2 2 1 2 1
Respuesta: Cuando muestreamos de una población infinita, el error estándar promedio si el tamaño de la muestra aumenta de 100 a 200 queda dividido por 2.
b2) N1 = 200 ; N2 = 300 1 2 2 1 2 1 e 3 2 e 200 300 e e ) ( 300 z e 200 z e
Respuesta: Cuando muestreamos de una población infinita, el error estándar promedio si el tamaño de la
muestra aumenta de 200 a 300 queda multiplicado por
3 2 . b3) N1 = 360 ; N2 = 90 1 2 2 1 2 1 e 2 e 90 360 e e ) ( 90 z e 360 z e
Respuesta: Cuando muestreamos de una población infinita, el error estándar promedio si el tamaño de la muestra disminuye de 360 a 90 queda multiplicado por 2
23- Dado una tabla de contingencia, se calcula 2. Luego, cada número se multiplica por una constante “k”. ¿ Cuánto valdría la nueva 2 ?
Solución
Sea 2 el valor ji-cuadrado para los datos iniciales y ’2 el valor ji-cuadrado para los datos multiplicados por una constante “k”.
Por definición: e ) e o ( 2 2 . También:
2 2 2 2 2 2 k e ) e o ( k ke ) e o ( k ke ) ke ko ( ' Conclusión: Si de una tabla de contingencia, se calcula 2. Luego, cada número se multiplica por una constante “k”, entonces el nuevo valor de2. queda multiplicado por la constante “k”.
24- Se tiene interés en estudiar la rapidez de combustión de un agente propulsor sólido. Suponiendo que la desviación estándar de combustión es de = 2,5 cm/s y que la rapidez de combustión sigue una distribución normal.
Se realiza una prueba sobre una muestra de 9 especímenes y se observa que el promedio de rapidez de combustión es de 48, 9 cm/s.
El interés recae en decidir si la rapidez de combustión promedio es o no de 50 cm/s.
a) Cuál sería la hipótesis alternativa y cual la hipótesis nula? Explicar el significado de cada una de ellas. b) Usaría un contraste a una o dos colas? ¿por qué?
c) Qué regla de decisión adoptaría para un nivel de significación del 5%? d) Cuál es la probabilidad de cometer error tipo I?
e) Suponiendo que la hipótesis alternativa específica verdade ra es = 52 cm/s, ¿cuál es el error tipo II? f) Calcular e interpretar la potencia de la prueba.
Solución:
a) H0: = 50 cm/s y el promedio de combustión es de 50 cm/s
H1: 50 cm/s y el promedio de combustión no es de 50 cm/s
b) Se usaría un contraste a dos colas, porque interesa saber si la rapidez de combustión promedio mayor o menor de 50 cm/s c) Para un nivel = 0,05: z = 1,96
Regla de decisión: a) Aceptar H0 si zc ( z calculada con los datos ) se encuentra entre – 1,96 y 1,96.
b) Rechazar H0 en caso contrario.
a) la probabilidad de cometer error tipo I es del 5%. b) 44 , 0 9 5 , 2 52 63 , 51 z
: del apéndice II, para = 32,99%
Respuesta: la probabilidad de cometer error tipo II es del 32,99%.
c) la potencia de la prueba está dado por 1 – = 1 – 0,3299 = 0,6701
Respuesta: la probabilidad de rechazar correctamente una hipótesis nula falsa es del 67,01%.
50 51,63 52 96 , 1 1 z 96 , 1 2 z aceptación de zona 50 0 z
25- La presión P de un gas correspondiente a varios volúmenes V se registró de la siguiente manera:
La ley de los gases ideales está dado por la fórmula P V = C, donde y C son constantes.
Determinar la ecuación de la curva P V = C de regresión que ajuste a los datos. Solución:
Para verificar cual de las dos curvas ajusta mejor a los datos, calculamos el coeficiente de correlación de ambas curvas. Para P V = C:
Tomando logaritmos: ln (P V) = ln C ; ln P + ln V = ln C ; para ln P = y ; ln V = x; ln C = b ; – = a ; tenemos: y =
a x + b ( ecuación de una recta )
V(cm3) P(kg/cm2) x = ln V y = ln P x2 xy y2 50 64,7 3,91202 4,16976 15,30392 16,31220 17,38691 60 51,3 4,09434 3,93769 16,76366 16,12226 15,50541 70 40,5 4,24850 3,70130 18,04971 15,72496 13,69964 90 25,9 4,49981 3,25424 20,24829 14,64347 10,59001 100 7,8 4,60517 2,05412 21,20759 9,45959 4,21942 = 370 190,2 21,35984 17,11714 91,57317 72,26248 61,40139 y = a N + b x 17,11714 = a 5 + b 21,35984 a = 14,7594 xy = a x + b x2 72,26248 = a 21,35984 + b 91,57317 b = – 2,65357
Con estos resultados, la recta auxiliar es: y = 5,32437 + 0,307411 x C = ln-1 14,7594 = 2569957,706 ; = 2,65357
Con estos resultados, la ecuación pedida es: P V 2,65357 = 2568863,128
26- Una compañía produce sogas cuya tensión de ruptura tiene media de 300 libras y desviación típica de 24 libras. Se espera que un nuevo proceso de fabricación haga crecer la media.
a- diseñar una regla de decisión para rechazar el proceso antiguo al nivel de significación 0,01 con una muestra de 64 sogas.
b- Con esa regla de decisión, ¿cuál es la probabilidad de aceptar el antiguo procedimiento cuando de hecho el nuevo ha aumentado la tensión media de las sogas a 310 libras?. Suponer que no hay variación en la desviación típica. Ref. Estadística Schaum. Ejerc. 10.13
V(cm3) 50 60 70 90 100
27- El calor emanado, en calorías por gramo, de una mezcla de cemento tiene una distribución normal. Se piensa que la media es 100 y que la desviación estándar es 2.
Se desea probar H0: = 100 HA: 100 con una muestra de n = 9 especimenes.
a) Si se tiene la región de aceptación como 98.5 X 101.5, encuentre la probabilidad del error tipo I e interpretar.
b) Encuentre ; error tipo II si la hipótesis alternativa especifica = 103 es verdadera
Solución: Datos: = 100, = 2, N = 9 H0: = 100 HA: 100 a) error tipo I = ? 98.5 100 101.5
El error tipo I está dado por el área A sombreado
Del apéndice II: A = área = 1 – ( 0.4875 + 0.4875 ) = 0.025
Rta.: el error tipo I es de 0.025; esto significa que la probabilidad de rechazar una hipótesis verdadera y que debería ser aceptada es del 2.5%.
b) error tipo II = ?
=100 101.5 =103
A -2.24 El error tipo II está dado por el área A sombreado
Del apéndice II: A = área = 0.5 – 0.4875 = 0.0125 ; = error tipo II = 1.25%
Rta.: el error tipo II es de 0.0125; esto significa que la probabilidad de aceptar una hipótesis falsa y que debería ser rechazada es del 1.25%.
28- Las siguientes muestras aleatorias son mediciones de la capacidad de producción de calor ( en millones de calorías por tonelada) de especímenes de carbón de dos minas:
Mina 1: 8,260 8,130 8,350 8,070 8,340
Mina 2: 7,950 7,980 7,900 8,140 7,920 7,840
Utilícese el nivel de significancia 0,01 para probar si la diferencia entre la media de las dos muestras es 24 . 2 9 2 100 5 . 101 N X z 24 . 2 9 2 100 5 . 98 N X z 2 1 5 . 101 100 9 2 24 . 2 N z X N X z 24 . 2 z 4875 . 0 A para 1 24 . 2 67 . 0 103 5 . 101 z
29- Si la distribución del peso de los soldados (incluidos armas y equipamientos) que viajan en avión a Irak y Afganistán tiene una media de 163 kilos y una desviación estándar de 18 kilos (suponer distribución normal):
a- ¿cuál es la probabilidad de que el peso total combinado de 36 de esos soldados sea mayor que 6000 kilos?
b- Si de ahora en adelante se decide transportar solo a los soldados, sin armas ni equipamientos (estas armas y equipamientos tienen un peso exacto de 90 kilos), ¿cuál es la probabilidad de que el peso combinado de 36 de esos soldados sea menor que 2750 kilos?
Solución: 3 36 18 N ; 18 ; 163 muestral
Si el peso total combinado de 36 soldados es de 6000 kilos, cada uno de ellos pesará en pr omedio
3 500 36 6000 . Este peso estandarizado es: 22 , 1 3 163 3 500 z El área A a la derecha de z = 1,22 es A = 0,1112
Respuesta: la probabilidad de que el peso total combinado de 36 de esos soldados sea mayor que 6000 kilos es del 11,12 %. b) Si de ahora en adelante se decide transportar solo a los soldados, sin armas ni equipamientos (estas armas y equipamientos
tienen un peso exacto de 90 kilos), la media será de 163 – 90 = 73 kilos, ya que si a un conjunto de datos se suma o se r esta una cantidad constante, la media queda aumentada o restada en esa misma cantidad. La desviación típica será igual a 3, ya que si a un conjunto de datos se suma o se resta una cantidad constante, la desviación típica no varía.
2750 en unidades tipificadas es: 1,13
3 73 36 2750 z El área A a la izquierda de z = 1,13 es A = 0,8708
Respuesta: si de ahora en adelante se decide transportar solo a los soldados, sin armas ni equipamientos la probabilidad de que el peso combinado de 36 de esos soldados sea menor que 2750 kilos es del 87,08 %.
163 0 z z1,22 A 73 0 z z1,13 A
30- El siguiente cuadro muestra los datos sobre el porcentaje de las llantas radiales producidas por cierto fabricante que aún pueden usarse después de recorrer cierto número de millas:
Millas recorridas x (miles)
1 2 5 10 20 30 40 50
Porcentaje útil
y 98,2 91,7 81,3 64,0 36,4 32,6 17,1 11,3
a) Ajustar una curva exponencial del tipo y = x, por el método de mínimos cuadrados.
b) Graficar los datos y la curva.
c) Calcular e interpretar el coeficiente de correlación.
d) Estimar qué porcentaje de las llantas radiales del fabricante duraran al menos 25000 millas. Solución:
Sea y = x la ecuación de la curva pedida. Tomando logaritmos tenemos:
log y = log + x log y haciendo: z = log y ; a0= log ; a1= log calculamos la ecuación de una recta auxiliar del tipo z =
a0 + a1 x
x y z = log y x2 zx yest (yest-ymed)
2 (y-ymed) 2 1 98,2 1,99 1 2,0 96,0 1757,7 1947,0 2 91,7 1,96 4 3,9 92,1 1445,9 1415,6 5 81,3 1,91 25 9,6 81,5 752,1 741,2 10 64,0 1,81 100 18,1 66,5 154,4 98,5 20 36,4 1,56 400 31,2 44,2 97,5 312,4 30 32,6 1,51 900 45,4 29,4 608,9 461,2 40 17,1 1,23 1600 49,3 19,5 1195,4 1367,2 50 11,3 1,05 2500 52,7 13,0 1687,2 1829,7 158 432,6 13,03 5530 212,1 7699,1 8172,8 con estos resultados: = ln-1 a
0 =ln-12 = 100 ; = ln-1 a1 = ln-1 ( – 0,018) = 0,96
a) Rta: la curva exponencial del tipo y = x que ajusta los datos es y = 100
b)
porcentaje útil (y)
018 , 0 158 5530 8 03 , 13 158 1 , 212 8 a x x N z x xz N a 2 158 5530 8 1 , 212 158 5530 13 a x x N xz x x z a 2 1 2 2 1 2 0 2 2 2 0 10 20 40 50 60 70 90 30 100 80 0,96x31- Los datos siguientes datos se refieren a la cantidad de hidrógeno presente (y, en partes por millón) en muestras de sondaje taladradas en intervalos de un pie de longitud de un molde de fundición al vacío (x, localización de la muestra de sondaje en pies desde la base):
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 1,28 1,53 1,03 0,81 0,74 0,65 0,87 0,81 1,10 1,03 a) Ajustar una parábola por el método de mínimos cuadrados.
b) Graficar los datos y la parábola.
c) Calcular e interpretar el coeficiente de correlación. d) Estimar la cantidad de hidrógeno presente en x = 7. Solución:
a) sea Y = a0 + a1 X + a2 X2 la ecuación de la parábola pedida. Formamos el sistema:
Σ y = a0 N + a1Σ x + a2Σ x2 Σ xy = a0Σ x + a1Σ x2 + a2Σ x3 Σ x2y = a 0Σ x2 + a1Σ x3 + a2Σ x4 9,85 = 10 a0+ 55 a1 + 385 a2 51,04 = 55 a0 + 385 a1 + 3025 a2 358,1 = 385 a0 + 3025 a1 + 25333 a2
Resolviendo el sistema se obtiene: a0 = 1,751 ; a1 = – 0,316 ; a2 = 0,025
Rta: la parábola de mínimos cuadrados que ajusta los datos es Y = 1,751 – 0,316 X + 0,025 X2 b) y (p.p.m.) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c) ) (Y Y 2
x y xy x y x x x yest (yest-ymed)
2 (y-ymed) 2 1 1.28 1.28 1.28 1 1 1 1.46 0.225625 0.087025 2 1.53 3.06 6.12 4 8 16 1.22 0.055225 0.297025 3 1.03 3.09 9.27 9 27 81 1.03 0.002025 0.002025 4 0.81 3.24 12.96 16 64 256 0.89 0.009025 0.030625 5 0.74 3.7 18.5 25 125 625 0.8 0.034225 0.060025 6 0.65 3.9 23.4 36 216 1296 0.76 0.050625 0.112225 7 0.87 6.09 42.63 49 343 2401 0.76 0.050625 0.013225 8 0.81 6.48 51.84 64 512 4096 0.82 0.027225 0.030625 9 1.1 9.9 89.1 81 729 6561 0.93 0.003025 0.013225 10 1.03 10.3 103 100 1000 10000 1.1 0.013225 0.002025 55 9.85 51.04 358.1 385 3025 25333 0.47085 0.64805 0.2 0.4 0.8 1.0 1.2 1.4 0.6 1.6
32- Los siguientes datos representan el volumen mensual de ventas (Y) en millones de guaraníes y los meses de experiencia en ventas de 6 vendedores profesionales de una fábrica de productora de alimentos.
a) ajustar una curva de la forma de fórmula Y = A + B X – 1 + C X – 2 + D X – 3 por el método de mínimos cuadrados.
b) graficar los puntos y la curva de ajuste.
meses 1 3 4 6 10 20
ventas 3 8 11 12 10 9
Solución:
Hagamos el cambio de variable Z = X – 1
La ecuación de ajuste está dada por: Y = a0 + a1 Z + a2 Z2 + a3 Z3
Donde a0 , a1 y a2 se obtienen resolviendo el sistema:
Y = n A + B Z + C Z2 + D Z3
ZY = A Z + B Z2 + C Z3 + D Z4
Z2 Y = A Z2 + B Z3 + C Z4 + D Z5
Z3 Y = A Z3 + B Z4 + C Z5 + D Z6
Y(ventas) X(meses) Z=1/Y Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 ZY Z2Y Z3Y
3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 8 3 1/3 1/9 1/27 1/81 1/243 1/729 8/3 8/9 8/27 11 4 1/4 1/16 1/64 1/256 1/1024 1/4096 11/4 11/16 11/64 12 6 1/6 1/36 1/216 1/1296 1/7776 1/46656 2 1/3 1/18 10 10 1/10 1/100 1/1000 1/10000 1/100000 1/1000000 1 1/10 1/1000 9 20 1/20 1/400 1/8000 1/16000 1/3200000 1/64000000 9/20 9/400 9/8000 53 44 19/10 360 437 12000 12701 12960000 13182731 1,00523 1,00164 15 178 900 4529 27000 95441 53 = 6 A + 1,9 B + 437/360 C + 12701/12000 D 178/15 = 1,9 A + 437/360 B + 12701/12000 C + 13182731/12960000 D 4529/900 = 437/360 A + 12701/12000 B + 13182731/12960000 C + 1,00523 D 95441/27000 = 12701/12000 A + 13182731/12960000 B + 1,00523 C + 1,00164 D de donde resulta: A = 7,46464 ; B = 45,032 ; C = – 160,424 ; D = 110,909
con estos valores, la ecuación de la curva pedida es : Y = 7,46464 + 45,032 X – 1 – 160,424 X – 2 + 110,909 X – 3 53 = 6 A + 1,9 B + 1,21389 C + 1,05842 D 11,86667 = 1,9 A + 1,21389 B + 1,05842 C + 1,01719 D 5,03222 = 1,21389 A + 1,05842 B + 1,01719 C + 1,00523 D 3,53485 = 1,05842 A + 1,01719 B + 1,00523 C + 1,00164 D de donde resulta: A = 7,51733 ; B = 44,1612 ; C = – 157,383 ; D = 108,686 con estos valores, la ecuación de la curva pedida es :
Y = 7,51733 + 44,1612 X – 1
33- La siguiente tabla muestra la capacidad media anual de ganancias, en intervalos de 5 años, de un grupo de profesionales. Calcular y graficar la parábola de mínimos cuadrados que ajusta estos datos y calcular el coeficiente de correlación
Grupos de edad 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 Capacidad de ganancia 0,56 0,71 0,84 0,92 0,97 0,98 0,93 0,86 0,76 0,66 0,56 0,46 Solucion Grupos de edad x Capacidad de ganancia x 2 x3 x4 xy x2y (y
est – ymed)2 (y – ymed)2
15 – 19 17 0,56 289 4913 83521 9,52 161,84 0,03114 0,04306 20 – 24 22 0,71 484 10648 234256 15,62 343,64 0,00209 0,00223 25 – 29 27 0,84 729 19683 531441 22,68 612,36 0,00307 0,00526 30 – 34 32 0,92 1024 32768 1048576 29,44 942,08 0,01616 0,02326 35 – 39 37 0,97 1369 50653 1874161 35,89 1327,93 0,02867 0,04101 40 – 44 42 0,98 1764 74088 3111696 41,16 1728,72 0,03313 0,04516 45 – 49 47 0,93 2209 103823 4879681 43,71 2054,37 0,02730 0,02641 50 – 54 52 0,86 2704 140608 7311616 44,72 2325,44 0,01414 0,00856 55 – 59 57 0,76 3249 185193 10556001 43,32 2469,24 0,00186 0,00001 60 – 64 62 0,66 3844 238328 14776336 40,92 2537,04 0,00387 0,01156 65 – 69 67 0,56 4489 300763 20151121 37,52 2513,84 0,03880 0,04306 70 – 74 72 0,46 5184 373248 26873856 33,12 2384,64 0,13052 0,09456 534 9,21 27338 1534716 91432262 397,62 19401,14 0,33075 0,34414 Sea y = a0 + a1 x + a1 x2 la ecuación de la parábola pedida.
Con los resultados obtenidos en la tabla formamos el siguiente sistema de ecuaciones: Σ y = a0 N + a1Σ x + a2Σ x2 Σ xy = a0Σ x + a1Σ x2 + a2Σ x3 Σ x2y = a 0Σ x2 + a1Σ x3 + a2Σ x4 9,21 = 12 a0 + 534 a1 + 27338 a2 397,62 = 534 a0+ 27338 a1 + 1534716 a2 19401,14 = 27338 a0 + 1534716 a1 + 91432262 a2 con resultados: a0 = – 0,07401 ; a1= 0,04915 ; a2 = – 0,00059
La ecuación de la parábola es: y = – 0,07401 + 0,04915 x – 0,00059 x 2 .
Calculo del coeficiente de correlación r:
98 , 0 34414 , 0 33075 , 0 ) y y ( ) y y ( r 2 2 est
