L
T
L
S
2
x
0
+ h
1
x
0
+ h
n
f (x
0
+ h
n
)
f (x
0
)
x
0
θ
1
θ
n
DERIVADA DE FUNCIÓN REAL DE
VARIABLE REAL
AUTOR:
Índi e General
1. Derivada de una fun ión real de variable real 3
La derivada . . . 3
Fórmula de la derivada . . . 11
Fun iones implí itas y paramétri as . . . 21
Derivada de orden
n
. . . 25Apli a ión de la derivada . . . 29
Re tas tangentes . . . 29
Máximos y mínimos . . . 32
Teorema de valor medio . . . 48
Regla de
L
p
Hospital . . . 52Diferen iales omo una aproxima ión . . . 55
Ejer i ios de derivadas . . . 55
Cap´ıtulo
1
Derivada de una fun ión real de
variable real
La derivada
Deni ión: Se llama rezón de ambio promedio del valor de una
fun ión
f
on respe toa su variablex
,parax
en elintervalo[x
0
, x
0
+ h]
onh =
△
x = x − x
0
jo, al o iente.△
y
△
x
=
f (x
0
+ h) − f(x)
h
=
f (x) − f(x
0
)
x − x
0
Deni ión: Se llama razón de ambio instantáneo al límite del
o- iente
△
y
△
x
uando
△
x → 0
, esto es:l´ım
△
x→0
△
y
△
x
= l´ım
h→0
f (x
0
+ h) − f(x)
h
= l´ım
x→x
0
f (x) − f(x
0
)
x − x
0
Deni ión: Se dene la derivada de una fun ión
f
en el puntox
0
denotado pordf
dx
(x
0
)
(of
p
(x
0
)
,Df (x
0
)
) a la razón instantánea; esto quiere de ir qued
d x
f (x
0
) = l´ım
h→0
f (x
0
+ h) − f(x)
h
= l´ım
x→x
0
f (x) − f(x
0
)
x − x
0
L
T
L
S
2
L
S
x
0
+ h
1
f (x
0
+ h
1
)
x
0
+ h
n
f (x
0
+ h
n
)
f (x
0
)
x
0
θ
1
θ
n
En la gura estamos viendo que:
tan θ
1
=
f (x + h
1
) − f(x)
h
1
,
de manera análogo podemos ha er para el ángulo
θ
2
: quiero de ir que,tan θ
2
=
f (x + h
2
) − f(x)
h
2
y
Ha iendo el mismo pro eso
n
-ve es se tendría la siguiente expresióntan θ
n
=
f (x + h
n
) − f(x)
h
n
.
es fá il ver que si
n → ∞
enton esh
n
→ 0
. Apli ando límites se tienel´ım
n→∞
tan θ
n
= l´ım
h
n
→0
f (x + h
n
) − f(x)
h
n
(1.1)
la e ua ión (1.1) oin ide on la deni ión de la derivada.
Esto on quiere de ir que la derivada es la pendiente de ualquier
re ta tangente que pasa por la grá a de alguna fun ión
f
, esto es, Si(x
0
, y
0
) ∈ L
T
yf
una fun ión, enton es la e ua ión de la re ta tan-gente esL
T
: y − y
0
= m(x − x
0
)
ond
d x
f (x
0
) = m
.Apli andolapropiedaddelare tanormal(si
m
1
ym
2
sonlaspendientes de las re tasL
1
yL
2
respe tivamente, enton es para quem
1
m
2
= −1
es ne esario y su iente que
L
1
⊥ L
2
), enton es se ve que la e ua ión de la re ta normal (o perpendi ular) a la re ta tangenteL
T
es:L
N
: y − y
0
= −
1
m
(x − x
0
)
Sea
f : Dom(f ) →
R
. Si existe la derivadad
d x
f (x
0
)
para algunos puntos del dominio de la fun iónf
(puede umplir para todo punto deldominio de
f
), enton es se dene la nueva fun iónd f
d x
:
R
→
R
tenien-dopor dominio atodos lospuntos donde existe laderivada delafun iónf
y será denotado porDom(f
p
)
. Ahora veamos la deni ión Deni ión: Six ∈ Dom(f
p
)
, enton es se dirá quef
es diferen ia-ble enelpuntox
.O sea, existela derivada dela fun iónf
enel puntox
.Deni ión: Se di e que la fun ión
f
es diferen iable sobre un inter-valoI
si la fun ión restringida enf
I
es diferen iable en ada punto deI
. Esto es, para ualquierx ∈ I
existed f
dx
(x)
Observa ión:
1. Si
I
es un intervalo abierto se tiene la deni ión equivalente; es, la fun iónf
es diferen iable sobre el intervalo abiertoI
sef
es diferen iable en ada punto deI
.2. Si
I
es un intervalo errado[a, b]
ona < b
, se tiene la deni- ión equivalente; es, la fun iónf
es diferen iable sobre el intervalo errado[a, b]
.a) Si
f
es diferen iable sobre el intervalo erradoha, bi
.b) Siexistenamboslímiteslaterales;
f
p
+
(a) = l´ım
h→0
+
f (a + h) − f(a)
h
yf
p
−
(a) = l´ım
h→0
−
f (b + h) − f(b)
h
donde ada límitelateral serán llamadas derivadas a la dere ha del
punto
a
y a la izquierda del puntob
, respe tivamente.Ejemplo: Hallar las derivada por deni ión de las siguientes fun iones:
1.
f (x) = x
n
paran ∈
Z
+
− {1}
Solu ión:R
d
d x
f (x) = l´ım
h→0
f (x + h) − f(x)
h
= l´ım
h→0
(x + h)
n
− x
n
h
= l´ım
h→0
h[(x + h)
n−1
+ (x + h)
n−2
x + . . . + (x + h)x
n−2
+ x
n−1
]
h
= l´ım
h→0
[(x + h)
n−1
+ (x + h)
n−2
x + . . . + +(x + h)x
n−2
+ x
n−1
]
= nx
n
2.f (x) =
n
√
x
para adax ∈
Z
+
Solu ión: Re ordemos que:
b
n
−a
n
= (b−a)(b
n−1
+b
n−2
a+b
n−3
a
2
+. . .+b
2
a
n−3
+ba
n−2
+a
n−1
)
d
d x
f (x) = l´ım
h→0
f (x + h) − f(x)
h
= l´ım
h→0
n
√
x + h −
√
n
x
h
= l´ım
h→0
h
h[(x + h)
n
−1
n
+ (x + h)
n
−2
n
x
1
n
+ . . . + x
n
−1
n
]
= l´ım
h→0
1
(x + h)
n
−1
n
+ (x + h)
n
−2
n
x
1
n
+ . . . + (x + h)
1
n
x
n
−2
n
+ x
n
−1
n
=
1
n
√
n
x
n−1
3.f (x) = sen x
Solu ión:d
d x
f (x) = l´ım
h→0
f (x + h) − f(x)
h
= l´ım
h→0
sen(x + h) − sen(x)
h
= l´ım
h→0
sen x cos h + sen h cos x − sen(x)
h
= cos x l´ım
h→0
sen h
h
− sen x
1 − cos h
h
¾?= cos x
4.f (x) = sec x
Solu ión:
d
d x
f (x) = l´ım
h→0
f (x + h) − f(x)
h
= l´ım
h→0
sec(x + h) − sec(x)
h
= l´ım
h→0
cos x − cos(x + h)
h cos x cos(x + h)
=
sen x
cos x cos x
Teorema: Sean
f, g :
R
→
R
dos fun iones derivables en el puntox
0
enton es se umple: 1. la fun iónf ± g
es derivable y[f ± g]
p
(x
0
) = f
p
(x
0
) ± g
p
(x
0
)
2. lafun iónf ×g
esderivabley[f ×g]
p
(x
0
) = f
p
(x
0
)g(x
0
)+f (x
0
)g
p
(x
0
)
3. la fun ión1
g
es derivable y1
g
p
(x
0
) = −
1
[g(x)]
2
d
d x
g(x)
4. la fun iónf
g
es derivable yf
g
p
(x
0
) =
f
p
(x
0
)g(x
0
) − f(x
0
)g
p
(x
0
)
[g(x)]
2
Demostra ión:1. la derivada de la suma de fun iones
d
d x
[f + g](x) = l´ım
h→0
[f + g](x + h) − [f + g](x)
h
= l´ım
h→0
f (x + h) − f(x)
h
+
g(x + h) − g(x)
h
=
d
d x
f (x) +
d
d x
g(x)
2. La derivada de la multipli a ión de fun iones
d
d x
[f g](x) = l´ım
h→0
f (x + h)g(x + h) − f(x)g(x)
h
= l´ım
h→0
f (x + h)g(x + h) − f(x)g(x) + f(x)g(x + h) − f(x)g(x + h)
h
= l´ım
h→0
g(x + h)
f (x + h) − f(x)
h
+ l´ım
h→0
f (x)
g(x + h) − g(x)
h
=
d
d x
f (x
0
)g(x
0
) + f (x
0
)
d
d x
g(x
0
)
R
3. parademostrar la ter erapartedel teorema,primerodemostremos:
d
d x
1
g(x)
= l´ım
h→0
1
g(x + h)
−
1
g(x)
h
= l´ım
h→0
g(x) − g(x + h)
hg(x)g(x + h)
= −
1
[g(x)]
2
d
d x
g(x)
4. Para demostrar la parte uatro se utiliza la parte
2
y3
.Ejemplo: (Derivada de la fun ión logarítmi a)
Demuestre que si
f (x) = log
a
x
enton esdf (x)
dx
=
1
x
log
a
e
Solu ión:d
d x
log
a
x = l´ım
h→0
log
a
(x + h) − log
a
x
h
= l´ım
h→0
1
h
log
a
1 +
h
x
= l´ım
h→0
1
x
log
a
1 +
h
x
x
h
=
1
x
log
a
h→0
l´ım
1 +
h
x
x
h
¾?=
1
x
log
a
e
Ejemplo: (la diferen iabilidad impli a ontinuidad)
Sea
f
una fun ión,x
0
∈ Dom(f)
, enton es se umple que: Sif
es diferen iable enx
0
enton esf
es ontinua enx
0
.Solu ión: Por hipótesis tenemos que
d
d x
f (x
0
)
existe,enton es tenemosl´ım
h→0
[f (x
0
+ h) − f(x
0
)] = l´ım
h→0
h
h
[f (x
0
+ h) − f(x
0
)]
=
d
d x
f (x
0
) × 0
= 0
Tomando extremo, se tiene que
l´ım
h→0
f (x
0
+ h) = f (x
0
)
. Si
x = x
0
+ h
yh → 0
enton esx → x
0
, reemplazando en ontramosl´ım
x→x
0
f (x) = f (x
0
)
Ejemplo: Si
f
es diferen iable enx
0
∈ Dom(f)
, enton es existe una fun iónθ = θ(h)
tal quef (x
0
+ h) = f (x
0
) + hf
p
(x
0
) + hθ(h)
donde
l´ım
h→0
θ(h) = 0
Solu ión: Por hipótesis tenemos que
d
d x
f (x
0
)
existe, enton es deni-mos la fun iónθ(h) =
f (x
0
+ h) − f(x
0
)
h
−
d
d x
f (x
0
)
, apli ando límitesl´ım
h→0
θ(h) = l´ım
h→0
f (x
0
+ h) − f(x
0
)
h
−
d
d x
f (x
0
) = 0
. También se ve quef (x
0
+ h) = f (x
0
) + hf
p
(x
0
) + hθ(h)
.Teorema: (Regla de la adena)
Si
g
es diferen iable sobre un intervaloI
yf
es diferen iable sobre un intervaloJ ⊃ g(I)
1
, enton es
f ◦ g
es diferen iable sobreJ
. Además se umple:d[f ◦ g](x)
d x
=
d f (u)
d u
×
d u
d x
onu = g(x)
Podemos visualizar en forma geométri o.x
g(x) = u
[f ◦ g](x) = f(u)
d g(x)
d x
d f (u)
d u
d g(x)
d x
×
d f (u)
d u
Demostra ión: Sea
x
0
∈ g(I) ⊂ J
, omog
es diferen iable sobreI
enton esg
es ontinua sobreI
. Debemos demostrar quel´ım
h→0
f (g(x
0
+ h)) − f(g(x
0
))
h
=
d
d u
f (u)
d
d x
u
, onu = g(x).
1g(I) = {g(x)/x ∈ I}
esel onjuntodeimagendelafun ióng
Se dene la fun ión
k(h) = g(x
o
+ h) − g(x
0
)
ontinuaEn efe to: demostremos que umple la deni ión de ontinuidad
1.
k(0) = 0
2.l´ım
h→0
k(h) = 0
¾? 3.l´ım
h→0
k(h) = k(0)
por lo tanto
k
es ontinua en el punto 0.Porotro lado
f
esdiferen iableeng(x
0
)
,enton esporelejemploanterior existe una fun iónφ(k)
tal quef [g(x
0
) + k] = f [g(x
0
)] + k
d
d x
f (u
0
) + kφ(k)
onu
0
= g(x
0
)
(1.2) onl´ım
k→0
φ(k) = 0
(es fá il demostrar que
φ(k)
es ontinua en el punto 0) de la e ua ión (1.2) se tiene.f [g(x
0
) + k] − f[g(x
0
)] = k
d
d x
f (u
0
) + φ(k)
f [g(x
0
) + k(h)] − f[g(x
0
)] = k(h)
d
d x
f (u
0
) + φ(k)
f [g(x
0
) + k(h)] − f[g(x
0
)] = [g(x
0
+ h) − g(x
0
)]
d
d x
f (u
0
) + φ(k)
f [g(x
0
) + k] − f[g(x
0
)]
h
=
g(x
0
+ h) − g(x
0
)
h
d
d x
f (u
0
) + φ
(1.3)apli ando límite a la e ua ión (1.3)
d
d x
[f ◦ g](x
0
) =
d
d u
f (u
0
)
d
d x
g(x
0
)
, onu = g(x)
Ejemplo: (derivada de las fun iones inversas)
Sea
f
unafun ióninye tivaytiene unafun ióninversa;esto es,y = f (x)
parax ∈ Dom(f)
enton es existex = ϕ(y)
, tal que existed
d y
ϕ(y)
dis-tinto de 0, enton es la fun iónf
en el punto orrespondientex
tiene la derivadad
d x
f (x)
igual a1
ϕ
p
(y)
, es de ird
d x
f (x) =
1
ϕ
p
(y)
, ony = f (x)
Demostra ión: Trabajo para el estudiante.
Ejemplo: Cal ular las derivadas de las siguientes fun iones.
1.
f (x) =
r
x +
q
x +
√
x
Solu ión: se utiliza la regla de la adena.
2.
f (x) = arcsen x
Solu ión: Si
y = arcsen x
, enton esx = sen y
; luego, apli ando la derivada on respe toay
, se tiened
d y
x =
d
d y
sen y = cos y
. Por el ejemplo de la derivada de las fun iones inversas, en ontramos qued
d x
arcsen x =
1
cos y
se sabe que
cos y =
p
1 − sen
2
y =
p
1 − x
2
, reemplazando ten-emosd
d x
arcsen x =
1
p
1 − x
2
3.f (x) = arc cos x
Solu ión: Si
y = arc cos x
, enton esx = cos y
; luego, apli ando la derivada on respe to ay
, se tiened
d y
x =
d
d y
cos y = − sen y
. Por el ejemplo de la derivada de las fun iones inversas, en ontramosque
d
d x
arc cos x = −
1
sen y
se sabe que
sen y =
p
1 − cos
2
y =
p
1 − x
2
, reemplazando ten-emosd
d x
arc cos x = −
1
p
1 − x
2
Fórmula de la derivada
Sea
u :
R
→
R
una fun ión diferen iable, enton es las siguientes expresiones son validas.1. Fórmulas ono idas:
a)
d
d x
c = 0
, para ualquierc ∈
R
b)
d
d x
u
α
= αu
α−1
d u
d x
, paraα ∈
R
− {−1}
)d
d x
n
√
u =
1
n
√
n
u
n−1
d u
d x
, paran ∈
Z
+
d)d
d x
1
u
n
= −
n
u
n−1
d u
d x
2. Fórmulas de fun iones trigonométri as
a)
d
d x
sen u = cos u
d u
d x
b)d
d x
cos u = − sen
d u
d x
)d
d x
tan u = sec
2
u
d u
d x
d)d
d x
cot u = − csc
2
u
d u
d x
e)d
d x
sec u = sec u tan u
d u
d x
f)d
d x
csc u = − csc u cot u
d u
d x
3. Fórmula de fun iones trigonométri as inversas.
a)
d
d x
arcsen u =
1
p
1 − u
2
d u
d x
, para−
π
2
< arcsen u <
π
2
b)d
d x
arc cos u = −
1
p
1 − u
2
d u
d x
, para0 < arc cos u < π
)d
d x
arctan u =
1
1 − u
2
d u
d x
, para−
π
2
< arctan u <
π
2
d)d
d x
arccot u = −
1
1 − u
2
d u
d x
, para0 < arccot u < π
e)d
d x
arcsec u =
|1|
u
p
u
2
− 1
d u
d x
,para
+
;0 < arcsec u <
π
2
−
;π
2
< arcsec u < π
f)d
d x
arccsc u =
|1|
u
p
u
2
− 1
d u
d x
,para
−
;0 < arccsc u <
π
2
+
;π
2
< arccsc u < π
a)
d
d x
log
a
u =
1
u
log
a
e
d u
d x
, paraa 6= 0, 1
b)d
d x
ln u =
1
u
d u
d x
)d
d x
a
u
= a
u
ln a
d u
d x
d)d
d x
e
u
= e
u
d u
d x
e)d
d x
u
v
= vu
v−1
d u
d x
+ u
v
ln u
d v
d x
Trabajo: Demostrar ada uno de las propiedades (sug: utilizar omo
valida los ejemplos y teoremas ya demostrados)
Ejemplos: Utilizando las formulas ono idas, en uentre la derivada de
las siguientes fun iones dadas
1.
f (x) =
√
tan x
2
Solu ión:d
d x
f (x) =
d
d x
[tan x
2
]
1
2
=
1
2
[tan x
2
]
−
1
2
d
d x
tan x
2
=
1
2
[tan x
2
]
−
1
2
sec
2
(x
2
)
d
d x
x
2
= x[tan x
2
]
−
1
2
sec
2
x
2
2.f (x) = sen
2
(cos
7
x)
Solu ión:d
d x
f (x) =
d
d x
(sen(cos
7
x))
2
= 2 sen(cos
7
x)
d
d x
sen(cos
7
x)
= 2 sen(cos
7
x) cos(cos
7
x)
d
d x
cos
7
x
= 14 sen(cos
7
x) cos(cos
7
x) cos
6
(x)
d
d x
cos x
= −14 sen(cos
7
x) cos(cos
7
x) cos
6
(x) sen x
3.
f (x) =
q
sen
2
x + (x
2
− 1)
5
Solu ión:d
d x
f (x) =
d
d x
(sen
2
x + (x
2
− 1)
5
)
1
2
=
1
2
(sen
2
x + (x
2
− 1)
5
)
−
1
2
d
d x
(sen
2
x + (x
2
− 1)
5
)
=
1
2
(sen
2
x + (x
2
− 1)
5
)
−
1
2
[2 sen x cos x + 10(x
2
− 1)
4
]
=
2 sen x cos x + 10(x
2
− 1)
4
2
q
sen
2
x + (x
2
− 1)
5
4.f (x) = arcsen
√
x + 1
Solu ión:d
d x
f (x) =
d
d x
arcsen
√
x + 1
=
√
1
x
d
d x
√
x + 1
=
1
2
√
x
√
x + 1
5.f (x) = cos(5x
2
− 3x + 2)
Solu ión:d
d x
f (x) =
d
d x
cos(5x
2
− 3x + 2)
= − sen(5x
2
− 3x + 2)
d
d x
(5x
2
− 3x + 2)
= −(10x − 3) sen(5x
2
− 3x + 2)
6.f (x) = e
4x
Solu ión:d
d x
f (x) =
d
d x
e
4x
= e
4x
d
d x
(4x)
= 4 e
4x
7.f (x) = (x + 1)
x
2
tiene:
ln f (x) = x
2
ln(x + 1)
.
Luego apli amos la derivada a ambos miembros
d
d x
ln f (x) =
d
d x
x
2
ln(x + 1)
1
f (x)
d
d x
f (x) = ln(x + 1)
d
d x
x
2
+ x
2
d
d x
ln(x + 1)
1
f (x)
d
d x
f (x) = 2x ln(x + 1) +
x
2
x + 1
d
d x
(x + 1)
1
f (x)
d
d x
f (x) =
2x(x + 1) ln(x + 1) + x
2
x + 1
Finalmente se tiened
d x
f (x) =
2x(x + 1) ln(x + 1) + x
2
x + 1
(x + 1)
x
2
8.f (x) = (ln x)
x
Solu ión: Apli ando logaritmo neperiano a ambos miembros se
tiene:
ln f (x) = x ln(ln x)
.Luego apli amos la derivada a ambos miembros
d
d x
ln f (x) =
d
d x
x ln(ln x)
1
f (x)
d
d x
f (x) = ln(ln x)
d
d x
x + x
d
d x
ln(ln x)
1
f (x)
d
d x
f (x) = ln(ln x) +
x
ln x
d
d x
ln x
1
f (x)
d
d x
f (x) = ln(ln x) +
x
x ln x
Finalmente se tiened
d x
f (x) = (ln x)
x
h
ln(ln x) +
x
x ln x
i
9.f (x) =
1 +
1
x
x
Solu ión: Apli ando logaritmo neperiano a ambos miembros se
tiene:
ln f (x) = x ln
1 +
1
x
.Luego apli amos la derivada a ambos miembros
d
d x
ln f (x) =
d
d x
x ln
1 +
1
x
1
f (x)
d
d x
f (x) = ln
1 +
1
x
d
d x
x + x
d
d x
1 +
1
x
1
f (x)
d
d x
f (x) = ln
1 +
1
x
+
x
1 + x
−1
d
d x
(1 + x
−1
)
1
f (x)
d
d x
f (x) = ln
1 +
1
x
−
x
2
(x + 1)x
2
Finalmente se tiened
d x
f (x) =
1 +
1
x
x
ln
1 +
1
x
−
x + 1
1
10.f (x) = ln
5
(1 + 2
cos x
)
Solu ión:d
d x
f (x) =
d
d x
ln
5
(1 + 2
cos x
)
= 5 ln
4
(1 + 2
cos x
)
d
d x
ln(1 + 2
cos x
)
=
5 ln
4
(1 + 2
cos x
)
1 + 2
cos x
d
d x
(1 + 2
cos x
)
=
5 ln
4
(1 + 2
cos x
)
1 + 2
cos x
2
cos x
ln 2
d
d x
cos x
¾?= −
5 ln
4
(1 + 2
cos x
)2
cos x
ln 2 sen x
1 + 2
cos x
11.
f (x) =
(x + 2)
2
(x + 1)
3
(x + 3)
4
Solu ión: Apli ando logaritmo neperiano y las propiedades a
am-bosmiembrossetiene:
ln f (x) = 2 ln(x+2)−3 ln(x+1)−4 ln(x+3)
. Luego apli amos la derivada a ambos miembrosd
d x
ln f (x) =
d
d x
[2 ln(x + 2) − 3 ln(x + 1) − 4 ln(x + 3)]
1
f (x)
d
d x
f (x) =
2
x + 2
−
3
x + 1
−
4
x − 3
Finalmente se tiened
d x
f (x) =
(x + 2)
2
(x + 1)
3
(x + 3)
4
2
x + 2
−
3
x + 1
−
4
x − 3
12.
f (x) =
s
x(x − 1)
x − 2
13.f (x) =
1
(x + a)
m
(x + b)
n
Solu ión:d
d x
f (x) =
d
d x
1
(x + a)
m
(x + b)
n
=
d
d x
(x + a)
−m
(x + b)
−n
= −
(x + b)
n
(x + a)
m
m+1
−
(x + b)
n+1
n
(x + a)
m
14.f (x) =
n+m
q
(1 − x)
m
(1 + x)
n
Solu ión: Para poder en ontrar la derivada se utilizara los
sigu-ientes propiedades, primero
√
x = x
1
2
, luego la derivada del pro-du to (página 7). nalmente utilizar la fórmula ono ida (página11). Nota: ada derivada se esta utilizando la regla de la adena
(página 9). 15.
f (x) = cos
2
1 −
√
x
1 +
√
x
Solu ión: Pasos paraderivar: primeroutilizar lasformulas
ono i-das (página 11), luegoformula trigonométri a (página 12),después
la derivada de la división (página 7) paraterminar se utilizala
for-mula ono idas. Nota: ada derivada se esta utilizando la regla de
la adena (página 9). 16.
f (x) = arctan
√
1 − cos x
√
1 + cos x
Solu ión: Es fá il utilizando las propiedades de trigonometría
el-emental. 17.
f (x) =
1
4
ln
1 + x
1 − x
−
1
2
arctan x
Solu ión: Pasos para resolverlo: primero la derivada de la suma
(página 7), segundo la derivada del logaritmo neperiano (página
12) y la derivada inversa trigonométri a (página 12). y ter ero la
derivada de la división (página 7). Nota: ada derivada se esta
utilizando la regla de la adena (página 9).
18.
f (x) = sen
2
(sen
2
(sen x))
Solu ión: Las úni as fórmulas que se utiliza son la regla de la
adena (página 9), la derivada de la fun ión seno (página 12) y
fórmulas ono idas (página 11).
19.
f (x) =
3
s
ln
sen
x + 3
4
Solu ión: primero utilizar la fórmula ono ida (página 11),
se-gundo la derivada del logaritmo neperiano (página 12), ter ero la
derivada del seno (página 12). Nota: ada derivada se esta
uti-lizando la regla de la adena (página 9).
Ejemplo: Determinar ualesde las fun ionesdadas sonderivable enlos
puntos dados
x
0
. 1.f (x) =
√
x
;x ≤ 4
2(x − 8)
;x > 4
parax
0
= 4
Solu ión:Utilizaremoslasderivadaslaterales:por propiedad
sabe-mos que
d
d x
f (x)
sid
d x
f
−
(x)
,d
d x
f
+
(x)
existen y son iguales. Enton es veamos las derivadas laterales.d
d x
f
+
(4) = l´ım
h→0
+
f (4 + h) − f(4)
h
= −∞
Por lo tanto la derivada por la dere ha no existe.
2.
f (x) =
(
q
|x|
;x < 1
2(x − 8)
;x ≥ 1
, para
x
0
= 1
Solu ión: Hallando las derivadas lateralesd
d x
f
+
(1) = l´ım
h→0
+
f (x + h) − f(x)
h
yd
d x
f
−
(1) = l´ım
h→0
−
f (x + h) − f(x)
h
veamos estas derivadas
a) Para
x
0
= 1
, la derivada lateral por la dere ha esd
d x
f
+
(1) = 2
b) Para
x
0
= 1
, la derivada lateral por la izquierda esd
d x
f
−
(1) =
1
2
Por lo tanto no existe la derivada. 3.
f (x) = |x − 3|
3
(x − 3) + x
3
s
x −
3
2
{
, parax
0
= 3
Solu ión: redeniendo la fun ión seríaf (x) =
−(x − 3)
4
+ x
3
s
x −
3
2
{
;x < 3
(x − 3)
4
+ x
3
s
x −
3
2
{
;x ≥ 3
parax
0
= 3
Comox ≥ 3
enton esx −
3
2
≥
3
2
, de dondes
x −
3
2
{
= 1
. Y Comox < 3
enton esx −
3
2
<
3
2
, de dondes
x −
3
2
{
= 1
(¾?), enton es la fun ión esf (x) =
−(x − 3)
4
+ x
3
;x < 3
(x − 3)
4
+ x
3
;x ≥ 3
parax
0
= 3
enton espara
x
0
= 3
,lasderivadas lateraleses27
.Porloque existe la derivada en el puntox
0
= 3
. Ejemplo: Seanf (x) = 3x + |x|
,g(x) =
3
4
x −
3
4
|x|
, Pruebe qued
d x
f (0)
yd
d x
g(0)
no existen, perod
d x
[f ◦ g](0)
existe.Solu ión: Esfá il demostrarque las derivadaslaterales delasfun iones
f
yg
son distintos. Por lo que no existen las derivadas de las dos fun- iones.Hallamos la fun ión ompuesta:
f (g(x)) = 3g(x) + |g(x)|
=
4g(x)
;g(x) ≥ 0
2g(x)
;g(x) < 0
Primero hallemos los valores dex
en dos asos:1. Si
g(x) ≥ 0
a) Six ≥ 0
, enton esg(x) ≥ 0
, luegox ≥ 0
b) Six < 0
, enton esg(x) ≥ 0
, luegox > 0
2. Sig(x) < 0
a) Six ≥ 0
, enton esg(x) < 0
, luegox > 0
R
b) Si
x < 0
, enton esg(x) < 0
, luegox < 0
enton es la fun ióng
esf (g(x)) =
4g(x)
;x ≥ 0
2g(x)
;x < 0
= 2x
Por lo que tiene derivada.
Ejemplo: Sean
f
yg
dos fun iones tales queDom(f ) = Dom(g) =
R
. Si 1.g(x) = xf (x) + 1
para adax ∈
R
2.g(x + y) = g(x)g(y)
, parax, y ∈
R
3.l´ım
x→0
f (x) = 1
enton esd
d x
g(x) = g(x)
Solu ión:d
d x
g(x) = l´ım
h→0
g(x + h) − g(x)
h
= l´ım
h→0
g(x)g(h) − g(x)
h
= g(x)l´ım
h→0
g(h) − 1
h
= g(x)l´ım
h→0
hf (x) + 1 − 1
h
= g(x)
Ejemplo: Si
f
es diferen iable enx = 0
, demuestre quel´ım
x→a
xf (a) − af(x)
x − a
= f (a) − a
d
d x
f (a)
Solu ión: Si
h = x − a
, enton esx = x − a
, y reemplazando al límite se tienel´ım
x→a
xf (a) − af(x)
x − a
= l´ım
h→0
(h + a)f (a) − af(h + a)
h
= l´ım
h→0
hf (a) + af (a) − af(h + a)
h
= f (a) − l´ım
h→0
af (h + a) − af(a)
h
= f (a) −
d x
d
f (x)
Ejemplo: Determined
d x
g(0)
sig(x) = (x
2
+ 2x + 3)f (x)
, dondef (0) = 5
yl´ım
x→0
f (x) − 5
x
= 4
Solu ión: Primero hallemos
d
d x
f (0)
.d
d x
f (0) = l´ım
h→0
f (h + 0) − f(0)
h
= 4
¾? Enton esd
d x
g(x) = 3xf (x) + (x
2
+ 2x + 3)
d
d x
f (x)
. Parax = 0
, en ontramosd
d x
g(x) = 12
.Fun iones implí itas y paramétri as
1. Una fun ión
f :
R
→
R
(f (x) = y
) es es rito en forma implí ita si no se puede expresary
en términos dex
.2. Si los puntos
(x, y)
de una urva (fun ión)C
en el plano están representados por la e ua ión del tipox = f (t)
y = g(t)
t ∈ Dom(g) ∩ Dom(f)
(1.4) enton es se di e que la urvaC
es la representado paramétri a-mente.Donde:
t
se llama parámetro,La e ua ión (1.4) se llama e ua ión paramétri a de la urva
C
.Para derivar estos tipos de e ua iones se ha e de la siguiente manera.
1. Para derivarlasfun ionesimplí itas,primeroseapli aladeriva ión
en ambos miembros y luego se apli a la regla de la adena.
2. Para derivaruna urva
C
expresadaenformaparamétri aseutiliza: Sea la urvaC
denido por la e ua iónx = f (t)
y = h(t)
, t ∈ I
enton es la derivada es, denotado por
d
d x
y
, omod
d x
y =
d
d t
g(t)
d
d t
f (t)
Ejemplo: Cal ular las derivadas
d
d x
y
. 1.e
y
= x + y
Solu ión: Apli andoladerivada a ambosmiembros onrespe toa
x
: Luegose utiliza laregla dela adena(página 9), la propiedadde la suma (página 7) y la derivada exponen ial (página 12), enton esd
d x
e
y
=
d
d x
(x + y)
e
y
d
d x
y = 1 +
d
d x
y
Operando se tienee
y
d
d x
y =
1
e
y
−1
2.arctan
y
x
=
1
2
ln(x
2
+ y
2
)
Solu ión: Apli ando la derivada de ambos miembros, on
respe -to a
x
. Luego utilizar la derivada de la trigonométri a inversa (ver página 12), la derivada de logaritmo (página 12). después utilizarFi-nalmente utilizar las fórmulas ono idas (página 11). Esto es
d
d x
arctan
y
x
=
1
2
d
d x
ln(x
2
+ y
2
)
x
2
x
2
+ y
2
d
d x
y
x
=
1
2(x
2
+ y
2
)
d
d x
(x
2
+ y
2
)
x
d
d x
y − y = x + y
d
d x
y
operando se tiened
d x
y =
x + y
x − y
3.x − y = arcsen x − arcsen y
Solu ión: Derivando ambos miembros, on respe to a
x
. Luego utilizar la derivada de la diferen ia (página 7). después la derivadatrigonométri a inversa (página 12).
d
d x
(x − y) =
d
d x
(arcsen x − arcsen y)
1 −
d
d x
y =
1
p
1 − x
2
−
1
p
1 − y
2
d
d x
y
Operando se tiened
d x
y =
p
1 − y
2
(1 −
p
1 − x
2
)
p
1 − x
2
(1 −
p
1 − y
2
)
4.√
y +
√
3
y +
√
4
y = x
Solu ión: Derivando a ambos miembros, on respe to a
x
. Luego se utiliza derivada de la suma (página 7). Después utilizar una delas fórmulas ono idas (página 11). Quiero de ir que:
d
d x
(
√
y +
√
3
y +
√
4
y) =
d
d x
x
1
2
y
−
1
2
d
d x
y +
1
3
y
−
2
3
d
d x
y +
3
4
y
−
1
4
d
d x
y = 1
Operando se tiened
d x
y =
1
1
2
y
−
1
2
+
1
3
y
−
2
3
+
3
4
y
−
1
4
5.x
y
= y
x
Solu ión: Primeroapli amos logaritmoneperiano. después
deriva-mos a ambos miembros on respe to a
x
. Segundo apli amos la derivadadel produ to (página 7) yter erola derivadadelogaritmoneperiano (página 12). Por lo tanto se tiene
d
d x
y =
y(x ln y − y)
x(y ln x − x)
6.
y
3
=
q
3
5x
3
+ 3x
3
2
y
2
3
Solu ión: Trabajo 7.x =
arctan t
y = ln(t
2
+ 1)
Solu ión: Apli aremos la fórmula de la derivada de urvas
implí -itas. Utilizar la derivada de logaritmo neperiano (página 12) y la
derivada de la trigonometria inversa (página 12). Por lo tanto
d y
d x
=
d
d t
y
d
d t
x
=
d
d t
ln(t
2
+ 1)
d
d t
arctan t
= 2t
8.(
x = a(ln tan
t
2
+ cos t − sen t)
y =
a(sen t + cos t)
Solu ión: a) Para hallard
d t
x
: Utilizaremos la derivada de la suma
(pági-na 7), luego la derivada de logaritmo neperiano (página 12),
nalmente la derivada trigonométri a (página 12).Esto es:
d
d t
x =
d
d t
a(ln tan
t
2
+ cos t − sen t)
= a
1
tan(
2
t
)
d
d t
tan
t
2
− sen t − cos t
!
= a
sec
t
2
tan(
2
t
)
− sen t − cos t
!
b) Para hallar
d
d t
y
: Utilizaremos la derivada de la suma (página
7), luego la derivada trigonométri a (página 12).Esto es:
d
d t
y =
d
d t
a(sen t + cos t)
= a(cos t − sen t)
Por lo tanto
d y
d x
=
cos t − sen t
sec
2
t
tan(
2
t
)
− sen t − cos t
!
9.
x = a(sen t + cos t)
y = a(sen t − cos t)
Solu ión: Para poder hallar lasderivadas
d
d t
y
yd
d t
x
,sólo seuti-lizalasderivadasdelasuma(página7)yladerivadatrigonométri a
(página 12). Por lo tanto se tiene
d y
d x
= tan t
. 10.
x =
2at
1 + t
2
y =
a(1 − t
2
)
1 + t
2
Solu ión: Para poder hallar las derivadas
d
d t
y
yd
d t
x
, primeroapli aremos logaritmo neperiano a
x =
2at
1 + t
2
y ay =
a(1 − t
2
)
1 + t
2
, luegoderivamosaambosmiembros onrespe toat
,despuésapli ar la derivada dela suma(página 7),apli aremos laderivada delloga-ritmo(página 12)ynalmente laderivadadelas fórmula ono idas
(página 11)
utilizaremos las derivadas de la fun ión implí ita. nalmente
d y
d x
=
−4at
2
(1 − a)(1 − t
2
)
(1 + t
2
)
3
. 11.x = a cos
3
t
y = a sen
3
t
Solu ión: Trabajo Derivada de ordenn
Sea
f :
R
→
R
denimos porf (x) = cos x
, enton esd
d x
f (x) = − sen x
para todox ∈ Dom(f)
Enton es denimos la nueva fun ión
g =
d
d x
f :
R
→
R
on regla de orresponden iag(x) =
d
d x
f (x) = − sen x
y derivando la nueva fun ión
d
d x
g(x) =
d
d x
d
d x
f (x)
= − cos x
enton es se nota que
d
d x
d
d x
f (x)
= − cos x
La ual denotaremos por
d
d x
d
d x
f (x)
=
d
2
d x
2
f (x)
que será llamado segunda derivada de
f
Deni ión: Sea
f
una fun ión derivable y ontinua, se dene lasegun-da derivada de la fun ión
f
,denotado pord
2
d x
2
f (x)
(of
pp
(x)
,D
xx
f (x)
), a la derivada de la derivada de la fun iónf
.Deni ión: Sea
f
unafun iónderivabley ontinua,sedene lan
-ésima derivada de la fun iónf
, denotado pord
n
d x
n
f (x)
(of
(n)
(x)
,
D
n
f (x)
),a la derivada de la (n-1)-ésima derivada de la fun iónf
.Nota ión: Llamaremos a
C
k
el onjunto de todas las fun iones
on-tinuas tal que tienes las
k
-ésima derivadas y son ontinuas. Esto es, sif ∈ C
k
enton esd
k
d x
k
f (x)
existeEjemplo:Demuestre que si la urva
C
es es rita en forma paramétri af (x) =
x = h(x)
y = g(t)
t ∈ Dom(h) ∩ Dom(g)
, enton es se umpled
2
d x
2
f (x) =
d
d t
x ×
d
2
d t
2
y −
d
d t
y ×
d
2
d t
2
x
d
d t
x
3
(1.5)solu ión: Hallemos lo que nos piden.
d
2
d x
2
y =
d
d x
d
d x
y
=
d
d x
d
d t
y
d
d t
x
=
d
d t
x ×
d
d x
d
d t
y
−
d
d t
y ×
d
d x
d
d x
y
d
d t
x
2
=
d
d t
x ×
d
2
d t
2
y ×
d
d x
t −
d
d t
y ×
d
2
d t
2
x ×
d
d x
t
d
d t
x
2
=
d
d t
x ×
d
2
d t
2
y −
d
d t
y ×
d
2
d t
2
x
d
d t
x
3
Ejemplo: 1. Sif (x) =
1
1 − x
, hallard
n
d x
n
f (x)
Solu ión: Nos piden la
n
-ésima derivada, para esto sólo tenemos que en ontrar una regla de orresponden ia, para que umpla adaderivada que se desea ono er.
f (x) =
1
1 − x
enton esd
d x
f (x) = 1(1 − x)
−2
enton esd
2
d x
2
f (x) = 2 × 1(1 − x)
−3
enton esd
3
d x
3
f (x) = 3 × 2 × 1(1 − x)
−4
. . . enton esd
n
d x
n
f (x) = n!(1 − x)
−(n+1)
Por lo tanto la derivada es:
d
n
d x
n
f (x) = n!(1 − x)
−(n+1)
.2. Si
f (x) =
1
1 + x
, hallard
n
d x
n
f (x)
Solu ión: Nos piden la
n
-ésima derivada, para esto sólo tenemos que en ontrar una regla de orresponden ia, para que umpla adaderivada que se desea ono er.
f (x) =
1
1 + x
enton esd
d x
f (x) = −1(1 + x)
−2
enton esd
2
d x
2
f (x) = 2 × 1(1 + x)
−3
enton esd
3
d x
3
f (x) = −3 × 2 × 1(1 + x)
−4
. . . enton esd
n
d x
n
f (x) = (−1)
n
n!(1 − x)
−(n+1)
Por lo tanto la derivada es:
d
n
d x
n
f (x) = (−1)
n
n!(1 + x)
−(n+1)
. 3. Hallard
2
d x
2
f (x)
sif (x) =
x = a cos
3
t
y = a sen
3
t
Solu ión: Primero hallaremos la primero y segunda derivada de
x(t)
ey(t)
.x = a cos
3
t
enton esd
d t
x = −3a cos
2
t sen t
;1
ra
derivada enton esd
2
d t
2
x = 3a(2 sen
2
t − cos
2
t) cos t
;2
da
derivada yy = a sen
3
t
enton esd
d t
y = −3a cos t sen
2
t
;1
ra
derivada enton esd
2
d t
2
y = 3a(2 cos
2
t − sen
2
t) sen t
;2
da
derivadaUtilizando la e ua ión (1.5), en ontramos
d
2
d x
2
f (x) =
d
d t
x ×
d
2
d t
2
y −
d
d t
y ×
d
2
d t
2
x
d
d t
x
3
=
1
3a
2
cos
4
t sen t
(1.6)4. Demuestre que
d
2
d x
2
f (x) = 9t
3
sif (x) =
x = ln t
y =
t
3
Solu ión: Primero hallaremos la primero y segunda derivada de
x(t)
ey(t)
.x = ln t
enton esd
d t
x =
1
t
;1
ra
derivada enton esd
2
d t
2
x = −
1
t
2
;2
da
derivada yy = t
3
enton esd
d t
y = 3t
2
;1
ra
derivada enton esd
2
d t
2
y = 6t
;2
da
derivadaUtilizando la e ua ión (1.5), en ontramos
d
2
d x
2
f (x) =
d
d t
x ×
d
2
d t
2
y −
d
d t
y ×
d
2
d t
2
x
d
d t
x
3
= 9t
3
(1.7)Apli a ión de la derivada
Re tas tangentes
Re ordemos que;si
(x
0
, y
0
) ∈ L
T
yf
una fun iónderivable, enton es la e ua ión de la re ta tangente esL
T
: y − y
0
= m(x − x
0
)
, ond
d x
f (x
0
) = m
Y lae ua ión delare ta normal(operpendi ular)a lare ta tangente
L
T
esL
N
: y − y
0
= −
1
m
(x − x
0
)
Donde:
(x
0
, y
0
)
son punto de paso y punto de onta to entre las re tas y la fun ión.L
T
L
N
f
x
0
f (x
0
)
Ejemplo:1. Hallar la e ua ión dela re ta tangente
x
2
(x + y) = a
2
(x − y)
en el
origen de oordenadas
Solu ión: Sabemos que la e ua ión de la re ta tangente es
L
T
:
y − y
0
= m(x − x
0
)
, omopor hipótesis, sabemos que la re ta pasa por el origen enton es se tiene queL
T
: y = mx
.Hallemos
m =
d
d x
y
Como la urva esx
2
(x + y) = a
2
(x − y)
, apli ando la derivadade fun iones implí itas se tiene
d
d x
y =
a
2
− 2(x + y)x
x
2
+ a
2
, de dondem = 1
. Por lo tanto la e ua ión dela re ta tangente esL
T
: y = x
. 2. Halle una e ua ión de la re ta tangente a la urvay = x
4
− 6x
, y
que es perpendi ular a la re ta
L : x − 2y + 6 = 0
Solu ión: Re ordemosquela e ua ióndela re ta es:
L
T
: y −y
0
=
m
T
(x − x
0
)
, enton es debemos en ontrarx
0
,y
ym
. Hallandom
: ComoL
T
⊥ L
y omom =
1
2
, enton esm
T
= −2
Luego, hallemosx
0
: Comod
d x
f (x
0
) = 4x
3
0
− 6
, yd
d x
f (x
0
) = −2
, enton esx
0
= 1
, de esto se tieney
0
= −5
. Por lo tanto la e ua ión dela re ta tangente esL
T
: y + 2x − 8 = 0
3. Trazar la e ua ión normal a la linea
y = x ln x
que es paralela a la re taL : 2x − 2y + 3
(sug: sim
1
ym
2
son las pendientes de las re tasL
1
yL
2
respe tivamente, enton es para quem
1
= m
2
es ne esario y su iente queL
1
//L
2
)Solu ión: Nos piden hallar
L
N
: y − y
0
=
−1
m
(x − x
0
)
, enton es debemos en ontrar quex
0
,y
ym
.Hallando
m
N
: omoL
N
//L
ym = 1
, enton esm
N
= 1
de estom
T
= −1
En ontremosx
0
: Comom =
d
d x
f (x
0
)
yd
d x
f (x
0
) = ln x
0
+ 1
enton esx
0
= e
−2
yy
0
= −2 e
−2
. FinalmenteL
N
: y − x + 3 e
−2
= 0
.4. En que punto de la urva
x +
√
xy + y = 1
, la re ta tangente es paralelo al EjeX
.5. Demostrar que el área del triángulo formado por los ejes
oordena-dos y la re ta tangente en ualquier punto a la urva
xy = b
onb > 0
es siempre una onstante.Solu ión: Hallando las re tas tangente
L
T
: y − y
0
= m(x − x
0
)
parax
0
∈ Dom(y)
.La pendiente de la re ta tangente a la urva
xy = b
esm = −
b
x
2
0
. Por lo tanto la e ua ión de la re ta tangente es:L
T
: y − y
0
= −
b
x
2
0
(x − x
0
)
.Hallando las interse iones on los ejes oordenados
a) Cuando
y = 0
enton es esx =
(b + y
0
x
0
)x
0
b
y b) Cuandox = 0
enton es esy =
y
0
x
0
+ b
x
0
Finalmente el área esA =
xy
2
=
(b + y
0
x
0
)
2
2b
= 2b
. Por lo tanto elA
es una onstante.6. Halle la e ua ión de la re ta tangente de la fun ión
f
denido por:f (x) =
r
5 + x
2
q
5 + x
2
√
5 + x
2
. . .
, enelpunto deabs isax = 2
. Solu ión: Sif (x) = y
yf (x) =
r
5 + x
2
q
5 + x
2
√
5 + x
2
. . .
R
enton es
y
2
= 5 + x
2
y
, de donde en ontramos
y = 5
oy = −1
parax = 2
, omoy
es positivo, tomamosy = 5
. por lo tanto el punto(2, 5)
pertene eL
T
. Ahora en ontremos la pendientem
T
=
d
d x
y
. Comoy
2
= 5 + x
2
y
apli ando la derivada de la fun ión implí ita
en ontramos
d
d x
y =
2xy
2y − x
2
. Sabemos quem
T
=
d
d x
y
, y además(2, 5) ∈ L
T
,de donde tenemos quem
T
=
10
3
.Por lo que la re ta tangente es
L
T
: y − 5 =
10
3
(x − 2)
y la re ta normal esL
N
: y − 5 = −
3
10
(x − 2)
Máximos y mínimosFun ión monótona: Sea
f : S →
R
,S
un sub onjunto de los números realesR
, y una fun ión.1. Una fun ión
f
se di e que es no de re iente en el onjuntoS
si (y sólo si) para adax
1
, x
2
∈ S
se umplef (x
1
) ≤ f(x
2
)
siemprequex
1
< x
2
.2. Una fun ión
f
se di e que es re iente en el onjuntoS
si (y sólo si) para adax
1
, x
2
∈ S
se umplef (x
1
) < f (x
2
)
siempre quex
1
< x
2
.3. Una fun ión
f
se di e que es no re iente en el onjuntoS
si (y sólo si) para adax
1
, x
2
∈ S
se umplef (x
1
) ≥ f(x
2
)
siemprequex
1
< x
2
.4. Una fun ión
f
se di e que es de re iente en el onjuntoS
si (y sólo si) para adax
1
, x
2
∈ S
se umplef (x
1
) > f (x
2
)
siemprequex
1
< x
2
.5. La fun ión
f
es monótona en el onjuntoS
si (y sólo si) es uno de los uatro deni iones anteriores.Extremos relativos:Sea
f : S →
R
,S
un sub onjunto delosnúmeros realesR
, una fun ión.1.
f
tiene un máximo relativo en el onjuntoS
si existe un puntoc ∈ S
que umplaf (c) ≥ f(x)
uandox ∈ S ∩ Dom(f)
.2.
f
tiene un mínimo relativo en el onjuntoS
si existe un puntod ∈ S
que umplaf (d) ≤ f(x)
uandox ∈ S ∩ Dom(f)
.Cón ava y onvexo: Una fun ión
f : S →
R
, y denotaremos porC
a la grá a de la fun iónf
.1. La urva
C
es onvexa en el onjuntoS
si ualquier re ta tangente a la urva está por en ima deC
.2. La urva
C
es ón ava en el onjuntoS
si ualquier re ta tangente a la urva está por debajo deC
.3. Un punto
x
0
∈ S
es un punto de inexión si uando separa de la onvexa a la ón ava o vi eversa.Punto ríti o: Sea
f : S →
R
yc ∈ Dom(f)
. El puntoc
se llama punto ríti o si1.
d
d x
f (c) = 0
2.
f (c)
no existe3.
c
es uno de los extremos deS
Máximo
m
T
= 0
Mínimom
T
= 0
Punto de inexiónm
T
< 0
De re ientem
T
> 0
Cre ientem
T
> 0
Cre iente Convexa Cón avaf
c
x
0
d
teorema: (Criterio de la primera derivada:)
Sea
c
un punto ríti o dela fun iónf
enel intervalo[a, b]
y ontinuaenha, bi
, enton es 1.
d
d x
f (x) > 0
parax ∈ ha, ci
d
d x
f (x) < 0
parax ∈ hc, bi
enton es
f (c)
es un máximo relativo de la fun iónf
.2.
d
d x
f (x) < 0
parax ∈ ha, ci
d
d x
f (x) > 0
parax ∈ hc, bi
enton es
f (c)
es un mínimo relativo de la fun iónf
.3.
d
d x
f (x) < 0
parax ∈ ha, ci
d
d x
f (x) < 0
parax ∈ hc, bi
enton es
f (c)
noes unmínimoni unmáximorelativo delafun ión4.
d
d x
f (x) > 0
parax ∈ ha, ci
d
d x
f (x) > 0
parax ∈ hc, bi
enton es
f (c)
noes unmínimoni unmáximorelativo delafun iónf
.d
d x
f (x) < 0
d
d x
f (x) > 0
d
d x
f (x) > 0
d
d x
f (x) < 0
d
d x
f (c
1
) = 0
d
d x
f (c
2
) = 0
c
1
c
2
Teorema:(Criteriodelasegundaderivadaparamáximosymínimos)
Sea
f
una fun ión derivable en todo su dominio yc
un punto ríti o yexiste
d
2
d x
2
f (c) 6= 0
, enton es 1. sid
2
d x
2
f (c) < 0
, enton es es un máximo relativo de la fun iónf
. 2. sid
2
d x
2
f (c) > 0
, enton es es un mínimo relativo de la fun iónf
.Máximo Mínimo
f
d
2
d x
2
f (c) < 0
d
2
d x
2
f (c) > 0
c
1
c
2
Teorema: (Criterio de la segunda derivada para on avidad y
onvexi-dad)
Sea