Derivadas de Funciones

(1)

L

T

L

S

2 x

0 + h

1 x

0 + h

n

f (x

0 + h

n

)

f (x

0 )

x

0 θ

1 θ

n

DERIVADA DE FUNCIÓN REAL DE

VARIABLE REAL

AUTOR:

(2)

Índi e General

1. Derivada de una fun ión real de variable real 3

La derivada . . . 3

Fórmula de la derivada . . . 11

Fun iones implí itas y paramétri as . . . 21

Derivada de orden

n

. . . 25

Apli a ión de la derivada . . . 29

Re tas tangentes . . . 29

Máximos y mínimos . . . 32

Teorema de valor medio . . . 48

Regla de

L

p

Hospital . . . 52

Diferen iales omo una aproxima ión . . . 55

Ejer i ios de derivadas . . . 55

(3)

Cap´ıtulo

1

Derivada de una fun ión real de

variable real

La derivada

Deni ión: Se llama rezón de ambio promedio del valor de una

fun ión

f

on respe toa su variable

x

,para

x

en elintervalo

[x

0 , x

0 + h]

on

h =

△

x = x − x

0

jo, al o iente.

△

y

△

x

=

f (x

0 + h) − f(x)

h

=

f (x) − f(x

0 )

x − x

0

Deni ión: Se llama razón de ambio instantáneo al límite del

o- iente

△

y

△

x

uando

△

x → 0

, esto es:

l´ım

△

x→0

△

y

△

x

= l´ım

_h→0

f (x

0 + h) − f(x)

h

= l´ım

x→x

0 f (x) − f(x

0 )

x − x

0

Deni ión: Se dene la derivada de una fun ión

f

en el punto

x

0

denotado por

df

dx

(x

0 )

(o

f

p

(x

0 )

,

Df (x

0 )

) a la razón instantánea; esto quiere de ir que

d

d x

f (x

0 ) = l´ım

h→0

f (x

0 + h) − f(x)

h

= l´ım

x→x

0 f (x) − f(x

0 )

x − x

0

(4)

L

T

L

S

2 L

S

x

0 + h

1 f (x

0 + h

1 )

x

0 + h

n

f (x

0 + h

n

)

f (x

0 )

x

0 θ

1 θ

n

En la gura estamos viendo que:

tan θ

1 =

f (x + h

1 ) − f(x)

h

1

,

de manera análogo podemos ha er para el ángulo

θ

2

: quiero de ir que,

tan θ

2 =

f (x + h

2 ) − f(x)

h

2

y

Ha iendo el mismo pro eso

n

-ve es se tendría la siguiente expresión

tan θ

n

=

f (x + h

n

) − f(x)

h

n

.

es fá il ver que si

n → ∞

enton es

h

n

→ 0

. Apli ando límites se tiene

l´ım

n→∞

tan θ

n

= l´ım

h

n

→0

f (x + h

n

) − f(x)

h

n

(1.1)

la e ua ión (1.1) oin ide on la deni ión de la derivada.

Esto on quiere de ir que la derivada es la pendiente de ualquier

re ta tangente que pasa por la grá a de alguna fun ión

f

, esto es, Si

(x

0 , y

0 ) ∈ L

T

y

f

una fun ión, enton es la e ua ión de la re ta tan-gente es

L

T

: y − y

0 = m(x − x

0 )

on

d

d x

f (x

0 ) = m

.

Apli andolapropiedaddelare tanormal(si

m

1

y

m

2

sonlaspendientes de las re tas

L

1

y

L

2

respe tivamente, enton es para que

m

1 m

2 = −1

(5)

es ne esario y su iente que

L

1 ⊥ L

2

), enton es se ve que la e ua ión de la re ta normal (o perpendi ular) a la re ta tangente

L

T

es:

L

N

: y − y

0 = −

1 m

(x − x

0 )

Sea

f : Dom(f ) →

R

. Si existe la derivada

d

d x

f (x

0 )

para algunos puntos del dominio de la fun ión

f

(puede umplir para todo punto del

dominio de

f

), enton es se dene la nueva fun ión

d f

d x

:

R

→

R

tenien-dopor dominio atodos lospuntos donde existe laderivada delafun ión

f

y será denotado por

Dom(f

p

)

. Ahora veamos la deni ión Deni ión: Si

x ∈ Dom(f

p

)

, enton es se dirá que

f

es diferen ia-ble enelpunto

x

.O sea, existela derivada dela fun ión

f

enel punto

x

.

Deni ión: Se di e que la fun ión

f

es diferen iable sobre un inter-valo

I

si la fun ión restringida en

f

I

es diferen iable en ada punto de

I

. Esto es, para ualquier

x ∈ I

existe

d f

dx

(x)

Observa ión:

1. Si

I

es un intervalo abierto se tiene la deni ión equivalente; es, la fun ión

f

es diferen iable sobre el intervalo abierto

I

se

f

es diferen iable en ada punto de

I

.

2. Si

I

es un intervalo errado

[a, b]

on

a < b

, se tiene la deni- ión equivalente; es, la fun ión

f

es diferen iable sobre el intervalo errado

[a, b]

.

a) Si

f

es diferen iable sobre el intervalo errado

ha, bi

.

b) Siexistenamboslímiteslaterales;

f

p

+

(a) = l´ım

h→0

+

f (a + h) − f(a)

h

y

f

p

−

(a) = l´ım

h→0

−

f (b + h) − f(b)

h

donde ada límitelateral serán llamadas derivadas a la dere ha del

punto

a

y a la izquierda del punto

b

, respe tivamente.

Ejemplo: Hallar las derivada por deni ión de las siguientes fun iones:

1.

f (x) = x

n

para

n ∈

Z

+

_{− {1}}

Solu ión:

R

(6)

d

d x

f (x) = l´ım

h→0

f (x + h) − f(x)

h

= l´ım

h→0

(x + h)

n

_{− x}

n

h

= l´ım

h→0

h[(x + h)

n−1

+ (x + h)

n−2

x + . . . + (x + h)x

n−2

+ x

n−1

]

h

= l´ım

h→0

[(x + h)

n−1

_{+ (x + h)}

n−2

_{x + . . . + +(x + h)x}

n−2

_{+ x}

n−1

_]

= nx

n

2.

f (x) =

n

√

x

para ada

x ∈

Z

+

Solu ión: Re ordemos que:

b

n

_−a

n

_{= (b−a)(b}

n−1

+b

n−2

a+b

n−3

a

2 +. . .+b

2 a

n−3

+ba

n−2

+a

n−1

)

d

d x

f (x) = l´ım

h→0

f (x + h) − f(x)

h

= l´ım

h→0

n

√

x + h −

√

n

x

h

= l´ım

h→0

h

h[(x + h)

n

−1

n

+ (x + h)

n

₋₂

n

x

1 n

+ . . . + x

n

₋₁

n

]

= l´ım

h→0

1 (x + h)

n

−1

n

+ (x + h)

n

₋₂

n

x

1 n

+ . . . + (x + h)

1 n

x

n

₋₂

n

+ x

n

₋₁

n

=

1 n

√

n

x

n−1

3.

f (x) = sen x

Solu ión:

d

d x

f (x) = l´ım

h→0

f (x + h) − f(x)

h

= l´ım

h→0

sen(x + h) − sen(x)

h

= l´ım

h→0

sen x cos h + sen h cos x − sen(x)

h

= cos x l´ım

h→0

sen h

h

− sen x

1 − cos h

h

¾?

= cos x

4.

f (x) = sec x

(7)

Solu ión:

d

d x

f (x) = l´ım

h→0

f (x + h) − f(x)

h

= l´ım

h→0

sec(x + h) − sec(x)

h

= l´ım

h→0

cos x − cos(x + h)

h cos x cos(x + h)

=

sen x

cos x cos x

Teorema: Sean

f, g :

R

→

R

dos fun iones derivables en el punto

x

0

enton es se umple: 1. la fun ión

f ± g

es derivable y

[f ± g]

p

(x

0 ) = f

p

(x

0 ) ± g

p

(x

0 )

2. lafun ión

f ×g

esderivabley

[f ×g]

p

(x

0 ) = f

p

(x

0 )g(x

0 )+f (x

0 )g

p

(x

0 )

3. la fun ión

1 g

es derivable y

1 g

p

(x

0 ) = −

1 [g(x)]

2 d

d x

g(x)

4. la fun ión

f

g

es derivable y

f

g

p

(x

0 ) =

f

p

(x

0 )g(x

0 ) − f(x

0 )g

p

(x

0 )

[g(x)]

2

Demostra ión:

1. la derivada de la suma de fun iones

d

d x

[f + g](x) = l´ım

h→0

[f + g](x + h) − [f + g](x)

h

= l´ım

h→0

f (x + h) − f(x)

h

+

g(x + h) − g(x)

h

=

d

d x

f (x) +

d

d x

g(x)

2. La derivada de la multipli a ión de fun iones

d

d x

[f g](x) = l´ım

h→0

f (x + h)g(x + h) − f(x)g(x)

h

= l´ım

h→0

f (x + h)g(x + h) − f(x)g(x) + f(x)g(x + h) − f(x)g(x + h)

h

= l´ım

h→0

g(x + h)

f (x + h) − f(x)

h

+ l´ım

h→0

f (x)

g(x + h) − g(x)

h

=

d

d x

f (x

0 )g(x

0 ) + f (x

0 )

d

d x

g(x

0 )

R

(8)

3. parademostrar la ter erapartedel teorema,primerodemostremos:

d

d x

1 g(x)

= l´ım

h→0

1 g(x + h)

−

1 g(x)

h

= l´ım

h→0

g(x) − g(x + h)

hg(x)g(x + h)

= −

1 [g(x)]

2 d

d x

g(x)

4. Para demostrar la parte uatro se utiliza la parte

2

y

3

.

Ejemplo: (Derivada de la fun ión logarítmi a)

Demuestre que si

f (x) = log

a

x

enton es

df (x)

dx

=

1 x

log

a

e

Solu ión:

d

d x

log

a

x = l´ım

h→0

log

a

(x + h) − log

a

x

h

= l´ım

h→0

1 h

log

a

1 +

h

x

= l´ım

h→0

1 x

log

a

1 +

h

x

h

=

1 x

log

a

h→0

l´ım

1 +

h

x

h

¾?

=

1 x

log

a

e

Ejemplo: (la diferen iabilidad impli a ontinuidad)

Sea

f

una fun ión,

x

0 ∈ Dom(f)

, enton es se umple que: Si

f

es diferen iable en

x

0

enton es

f

es ontinua en

x

0

.

Solu ión: Por hipótesis tenemos que

d

d x

f (x

0 )

existe,enton es tenemos

l´ım

h→0

[f (x

0 + h) − f(x

0 )] = l´ım

h→0

h

[f (x

0 + h) − f(x

0 )]

=

d

d x

f (x

0 ) × 0

= 0

(9)

Tomando extremo, se tiene que

l´ım

h→0

f (x

0 + h) = f (x

0 )

. Si

x = x

0 + h

y

h → 0

enton es

x → x

0

, reemplazando en ontramos

l´ım

x→x

0 f (x) = f (x

0 )

Ejemplo: Si

f

es diferen iable en

x

0 ∈ Dom(f)

, enton es existe una fun ión

θ = θ(h)

tal que

f (x

0 + h) = f (x

0 ) + hf

p

(x

0 ) + hθ(h)

donde

l´ım

h→0

θ(h) = 0

Solu ión: Por hipótesis tenemos que

d

d x

f (x

0 )

existe, enton es deni-mos la fun ión

θ(h) =

f (x

0 + h) − f(x

0 )

h

−

d

d x

f (x

0 )

, apli ando límites

l´ım

h→0

θ(h) = l´ım

h→0

f (x

0 + h) − f(x

0 )

h

−

d

d x

f (x

0 ) = 0

. También se ve que

f (x

0 + h) = f (x

0 ) + hf

p

(x

0 ) + hθ(h)

.

Teorema: (Regla de la adena)

Si

g

es diferen iable sobre un intervalo

I

y

f

es diferen iable sobre un intervalo

J ⊃ g(I)

1

, enton es

f ◦ g

es diferen iable sobre

J

. Además se umple:

d[f ◦ g](x)

d x

=

d f (u)

d u

×

d u

d x

on

u = g(x)

Podemos visualizar en forma geométri o.

x

g(x) = u

[f ◦ g](x) = f(u)

d g(x)

d x

d f (u)

d u

d g(x)

d x

×

d f (u)

d u

Demostra ión: Sea

x

0 ∈ g(I) ⊂ J

, omo

g

es diferen iable sobre

I

enton es

g

es ontinua sobre

I

. Debemos demostrar que

l´ım

h→0

f (g(x

0 + h)) − f(g(x

0 ))

h

=

d

d u

f (u)

d

d x

u

, on

u = g(x).

1

g(I) = {g(x)/x ∈ I}

esel onjuntodeimagendelafun ión

g

(10)

Se dene la fun ión

k(h) = g(x

o

+ h) − g(x

0 )

ontinua

En efe to: demostremos que umple la deni ión de ontinuidad

1.

k(0) = 0

2.

l´ım

h→0

k(h) = 0

¾? 3.

l´ım

h→0

k(h) = k(0)

por lo tanto

k

es ontinua en el punto 0.

Porotro lado

f

esdiferen iableen

g(x

0 )

,enton esporelejemploanterior existe una fun ión

φ(k)

tal que

f [g(x

0 ) + k] = f [g(x

0 )] + k

d

d x

f (u

0 ) + kφ(k)

on

u

0 = g(x

0 )

(1.2) on

l´ım

k→0

φ(k) = 0

(es fá il demostrar que

φ(k)

es ontinua en el punto 0) de la e ua ión (1.2) se tiene.

f [g(x

0 ) + k] − f[g(x

0 )] = k

d

d x

f (u

0 ) + φ(k)

f [g(x

0 ) + k(h)] − f[g(x

0 )] = k(h)

d

d x

f (u

0 ) + φ(k)

f [g(x

0 ) + k(h)] − f[g(x

0 )] = [g(x

0 + h) − g(x

0 )]

d

d x

f (u

0 ) + φ(k)

f [g(x

0 ) + k] − f[g(x

0 )]

h

=

g(x

0 + h) − g(x

0 )

h

d

d x

f (u

0 ) + φ

(1.3)

apli ando límite a la e ua ión (1.3)

d

d x

[f ◦ g](x

0 ) =

d

d u

f (u

0 )

d

d x

g(x

0 )

, on

u = g(x)

Ejemplo: (derivada de las fun iones inversas)

Sea

f

unafun ióninye tivaytiene unafun ióninversa;esto es,

y = f (x)

para

x ∈ Dom(f)

enton es existe

x = ϕ(y)

, tal que existe

d

d y

ϕ(y)

dis-tinto de 0, enton es la fun ión

f

en el punto orrespondiente

x

tiene la derivada

d

d x

f (x)

igual a

1 ϕ

p

(y)

, es de ir

d

d x

f (x) =

1 ϕ

p

(y)

, on

y = f (x)

(11)

Demostra ión: Trabajo para el estudiante.

Ejemplo: Cal ular las derivadas de las siguientes fun iones.

1.

f (x) =

r

x +

q

x +

√

x

Solu ión: se utiliza la regla de la adena.

2.

f (x) = arcsen x

Solu ión: Si

y = arcsen x

, enton es

x = sen y

; luego, apli ando la derivada on respe toa

y

, se tiene

d

d y

x =

d

d y

sen y = cos y

. Por el ejemplo de la derivada de las fun iones inversas, en ontramos que

d

d x

arcsen x =

1 cos y

se sabe que

cos y =

p

1 − sen

2 _{y =}

p

_{1 − x}

2

, reemplazando ten-emos

d

d x

arcsen x =

1 p

1 − x

2

3.

f (x) = arc cos x

Solu ión: Si

y = arc cos x

, enton es

x = cos y

; luego, apli ando la derivada on respe to a

y

, se tiene

d

d y

x =

d

d y

cos y = − sen y

. Por el ejemplo de la derivada de las fun iones inversas, en ontramos

que

d

d x

arc cos x = −

1 sen y

se sabe que

sen y =

p

1 − cos

2 _{y =}

p

_{1 − x}

2

, reemplazando ten-emos

d

d x

arc cos x = −

1 p

1 − x

2

Fórmula de la derivada

Sea

u :

R

→

R

una fun ión diferen iable, enton es las siguientes expresiones son validas.

1. Fórmulas ono idas:

a)

d

d x

c = 0

, para ualquier

c ∈

R

(12)

b)

d

d x

u

α

_{= αu}

α−1

d u

d x

, para

α ∈

R

− {−1}

)

d

d x

n

√

u =

1 n

√

n

u

n−1

d u

d x

, para

n ∈

Z

+

d)

d

d x

1 u

n

= −

n

u

n−1

d u

d x

2. Fórmulas de fun iones trigonométri as

a)

d

d x

sen u = cos u

d u

d x

b)

d

d x

cos u = − sen

d u

d x

)

d

d x

tan u = sec

2 _u

d u

d x

d)

d

d x

cot u = − csc

2 _u

d u

d x

e)

d

d x

sec u = sec u tan u

d u

d x

f)

d

d x

csc u = − csc u cot u

d u

d x

3. Fórmula de fun iones trigonométri as inversas.

a)

d

d x

arcsen u =

1 p

1 − u

2 d u

d x

, para

−

π

2 < arcsen u <

π

2

b)

d

d x

arc cos u = −

1 p

1 − u

2 d u

d x

, para

0 < arc cos u < π

)

d

d x

arctan u =

1 1 − u

2 d u

d x

, para

−

π

2 < arctan u <

π

2

d)

d

d x

arccot u = −

1 1 − u

2 d u

d x

, para

0 < arccot u < π

e)

d

d x

arcsec u =

|1|

u

p

u

2 _{− 1}

d u

d x

,para







+

;

0 < arcsec u <

π

2 −

;

π

2 < arcsec u < π

f)

d

d x

arccsc u =

|1|

u

p

u

2 _{− 1}

d u

d x

,para







−

;

0 < arccsc u <

π

2 +

;

π

2 < arccsc u < π

(13)

a)

d

d x

log

a

u =

1 u

log

a

e

d u

d x

, para

a 6= 0, 1

b)

d

d x

ln u =

1 u

d u

d x

)

d

d x

a

u

_{= a}

u

_{ln a}

d u

d x

d)

d

d x

e

u

_{= e}

u

d u

d x

e)

d

d x

u

v

_{= vu}

v−1

d u

d x

+ u

v

_{ln u}

d v

d x

Trabajo: Demostrar ada uno de las propiedades (sug: utilizar omo

valida los ejemplos y teoremas ya demostrados)

Ejemplos: Utilizando las formulas ono idas, en uentre la derivada de

las siguientes fun iones dadas

1.

f (x) =

√

tan x

2

Solu ión:

d

d x

f (x) =

d

d x

[tan x

2 _]

1

2 =

1

2 [tan x

2 _]

−

1

2 d

d x

tan x

2 =

1

2 [tan x

2 _]

−

1

2 sec

2 (x

2 )

d

d x

x

2 = x[tan x

2 ]

−

1

2 sec

2 x

2

2.

f (x) = sen

2 _(cos

7 _x)

Solu ión:

d

d x

f (x) =

d

d x

(sen(cos

7 _x))

2 = 2 sen(cos

7 x)

d

d x

sen(cos

7 _x)

= 2 sen(cos

7 x) cos(cos

7 x)

d

d x

cos

7 _x

= 14 sen(cos

7 x) cos(cos

7 x) cos

6 (x)

d

d x

cos x

= −14 sen(cos

7 x) cos(cos

7 x) cos

6 (x) sen x

(14)

3.

f (x) =

q

sen

2 _{x + (x}

2 _{− 1)}

5

Solu ión:

d

d x

f (x) =

d

d x

(sen

2 _{x + (x}

2 − 1)

5 )

1

2 =

1

2 (sen

2 _{x + (x}

2 − 1)

5 )

−

1

2 d

d x

(sen

2 _{x + (x}

2 − 1)

5 )

=

1

2 (sen

2 _{x + (x}

2 _{− 1)}

5 ₎

−

1

2 [2 sen x cos x + 10(x

2 − 1)

4 ]

=

2 sen x cos x + 10(x

2 _{− 1)}

4

2 q

sen

2 _{x + (x}

2 _{− 1)}

5

4.

f (x) = arcsen

√

x + 1

Solu ión:

d

d x

f (x) =

d

d x

arcsen

√

x + 1

=

√

1 x

d

d x

√

x + 1

=

1

2 √

x

√

x + 1

5.

f (x) = cos(5x

2 _{− 3x + 2)}

Solu ión:

d

d x

f (x) =

d

d x

cos(5x

2 − 3x + 2)

= − sen(5x

2 − 3x + 2)

d

d x

(5x

2 − 3x + 2)

= −(10x − 3) sen(5x

2 − 3x + 2)

6.

f (x) = e

4x

Solu ión:

d

d x

f (x) =

d

d x

e

4x

= e

4x

d

d x

(4x)

= 4 e

4x

7.

f (x) = (x + 1)

x

2

(15)

tiene:

ln f (x) = x

2 _{ln(x + 1)}

.

Luego apli amos la derivada a ambos miembros

d

d x

ln f (x) =

d

d x

x

2 _{ln(x + 1)}

1 f (x)

d

d x

f (x) = ln(x + 1)

d

d x

x

2 _{+ x}

2 d

d x

ln(x + 1)

1 f (x)

d

d x

f (x) = 2x ln(x + 1) +

x

2 x + 1

d

d x

(x + 1)

1 f (x)

d

d x

f (x) =

2x(x + 1) ln(x + 1) + x

2 x + 1

Finalmente se tiene

d

d x

f (x) =

2x(x + 1) ln(x + 1) + x

2 x + 1

(x + 1)

x

2

8.

f (x) = (ln x)

x

Solu ión: Apli ando logaritmo neperiano a ambos miembros se

tiene:

ln f (x) = x ln(ln x)

.

d

d x

ln f (x) =

d

d x

x ln(ln x)

1 f (x)

d

d x

f (x) = ln(ln x)

d

d x

x + x

d

d x

ln(ln x)

1 f (x)

d

d x

f (x) = ln(ln x) +

x

ln x

d

d x

ln x

1 f (x)

d

d x

f (x) = ln(ln x) +

x

x ln x

Finalmente se tiene

d

d x

f (x) = (ln x)

x

h

_{ln(ln x) +}

x

x ln x

i

9.

f (x) =

1 +

1 x

x

Solu ión: Apli ando logaritmo neperiano a ambos miembros se

tiene:

ln f (x) = x ln

1 +

1 x

.

(16)

d

d x

ln f (x) =

d

d x

x ln

1 +

1 x

1 f (x)

d

d x

f (x) = ln

1 +

1 x

d

d x

x + x

d

d x

1 +

1 x

1 f (x)

d

d x

f (x) = ln

1 +

1 x

+

x

1 + x

−1

d

d x

(1 + x

−1

₎

1 f (x)

d

d x

f (x) = ln

1 +

1 x

−

x

2 (x + 1)x

2

Finalmente se tiene

d

d x

f (x) =

1 +

1 x

x

ln

1 +

1 x

−

_{x + 1}

1

10.

f (x) = ln

5 _{(1 + 2}

cos x

₎

Solu ión:

d

d x

f (x) =

d

d x

ln

5 _{(1 + 2}

cos x

₎

= 5 ln

4 (1 + 2

cos x

)

d

d x

ln(1 + 2

cos x

₎

=

5 ln

4 _{(1 + 2}

cos x

₎

1 + 2

cos x

d

d x

(1 + 2

cos x

₎

=

5 ln

4 (1 + 2

cos x

)

1 + 2

cos x

2 cos x

_{ln 2}

d

d x

cos x

¾?

= −

5 ln

4 _{(1 + 2}

cos x

₎₂

cos x

_{ln 2 sen x}

1 + 2

cos x

11.

f (x) =

(x + 2)

2 (x + 1)

3 _{(x + 3)}

4

Solu ión: Apli ando logaritmo neperiano y las propiedades a

am-bosmiembrossetiene:

ln f (x) = 2 ln(x+2)−3 ln(x+1)−4 ln(x+3)

. Luego apli amos la derivada a ambos miembros

d

d x

ln f (x) =

d

d x

[2 ln(x + 2) − 3 ln(x + 1) − 4 ln(x + 3)]

1 f (x)

d

d x

f (x) =

2 x + 2

−

3 x + 1

−

4 x − 3

Finalmente se tiene

d

d x

f (x) =

(x + 2)

2 (x + 1)

3 _{(x + 3)}

4

2 x + 2

−

3 x + 1

−

4 x − 3

(17)

12.

f (x) =

s

x(x − 1)

x − 2

13.

f (x) =

1 (x + a)

m

_{(x + b)}

n

Solu ión:

d

d x

f (x) =

d

d x

1 (x + a)

m

_{(x + b)}

n

=

d

d x

(x + a)

−m

_{(x + b)}

−n

= −

_{(x + b)}

_n

_{(x + a)}

m

_m+1

−

_{(x + b)}

_n+1

n

_{(x + a)}

_m

14.

f (x) =

n+m

q

(1 − x)

m

_{(1 + x)}

n

Solu ión: Para poder en ontrar la derivada se utilizara los

sigu-ientes propiedades, primero

√

x = x

1

2

, luego la derivada del pro-du to (página 7). nalmente utilizar la fórmula ono ida (página

11). Nota: ada derivada se esta utilizando la regla de la adena

(página 9). 15.

f (x) = cos

2 1 −

√

x

1 +

√

x

Solu ión: Pasos paraderivar: primeroutilizar lasformulas

ono i-das (página 11), luegoformula trigonométri a (página 12),después

la derivada de la división (página 7) paraterminar se utilizala

for-mula ono idas. Nota: ada derivada se esta utilizando la regla de

la adena (página 9). 16.

f (x) = arctan

√

1 − cos x

√

1 + cos x

Solu ión: Es fá il utilizando las propiedades de trigonometría

el-emental. 17.

f (x) =

1

4 ln

1 + x

1 − x

−

1

2 arctan x

Solu ión: Pasos para resolverlo: primero la derivada de la suma

(página 7), segundo la derivada del logaritmo neperiano (página

12) y la derivada inversa trigonométri a (página 12). y ter ero la

derivada de la división (página 7). Nota: ada derivada se esta

utilizando la regla de la adena (página 9).

(18)

18.

f (x) = sen

2 _(sen

2 _{(sen x))}

Solu ión: Las úni as fórmulas que se utiliza son la regla de la

adena (página 9), la derivada de la fun ión seno (página 12) y

fórmulas ono idas (página 11).

19.

f (x) =

3 s

ln

sen

x + 3

4

Solu ión: primero utilizar la fórmula ono ida (página 11),

se-gundo la derivada del logaritmo neperiano (página 12), ter ero la

derivada del seno (página 12). Nota: ada derivada se esta

uti-lizando la regla de la adena (página 9).

Ejemplo: Determinar ualesde las fun ionesdadas sonderivable enlos

puntos dados

x

0

. 1.

f (x) =

√

x

;

x ≤ 4

2(x − 8)

;

x > 4

para

x

0 = 4

Solu ión:Utilizaremoslasderivadaslaterales:por propiedad

sabe-mos que

d

d x

f (x)

si

d

d x

f

−

(x)

,

d

d x

f

+

(x)

existen y son iguales. Enton es veamos las derivadas laterales.

d

d x

f

+

(4) = l´ım

h→0

+

f (4 + h) − f(4)

h

= −∞

Por lo tanto la derivada por la dere ha no existe.

2.

f (x) =

(

q

|x|

;

x < 1

2(x − 8)

;

x ≥ 1

, para

x

0 = 1

Solu ión: Hallando las derivadas laterales

d

d x

f

+

(1) = l´ım

h→0

+

f (x + h) − f(x)

h

y

d

d x

f

−

(1) = l´ım

h→0

−

f (x + h) − f(x)

h

veamos estas derivadas

a) Para

x

0 = 1

, la derivada lateral por la dere ha es

d

d x

f

+

(1) = 2

b) Para

x

0 = 1

, la derivada lateral por la izquierda es

d

d x

f

−

(1) =

1

2

(19)

Por lo tanto no existe la derivada. 3.

f (x) = |x − 3|

3 _{(x − 3) + x}

3 s

x −

3 ₂

{

, para

x

0 = 3

Solu ión: redeniendo la fun ión sería

f (x) =











−(x − 3)

4 + x

3 s

x −

3

2 {

;

x < 3

(x − 3)

4 + x

3 s

x −

3

2 {

;

x ≥ 3

para

x

0 = 3

Como

x ≥ 3

enton es

x −

3

2 ≥

3

2

, de donde

s

x −

3

2 {

= 1

. Y Como

x < 3

enton es

x −

3

2 <

3

2

, de donde

s

x −

3

2 {

= 1

(¾?), enton es la fun ión es

f (x) =

−(x − 3)

4 + x

3

;

x < 3

(x − 3)

4 + x

3

;

x ≥ 3

para

x

0 = 3

enton espara

x

0 = 3

,lasderivadas lateraleses

27

.Porloque existe la derivada en el punto

x

0 = 3

. Ejemplo: Sean

f (x) = 3x + |x|

,

g(x) =

3

4 x −

3

4 |x|

, Pruebe que

d

d x

f (0)

y

d

d x

g(0)

no existen, pero

d

d x

[f ◦ g](0)

existe.

Solu ión: Esfá il demostrarque las derivadaslaterales delasfun iones

f

y

g

son distintos. Por lo que no existen las derivadas de las dos fun- iones.

Hallamos la fun ión ompuesta:

f (g(x)) = 3g(x) + |g(x)|

=

4g(x)

;

g(x) ≥ 0

2g(x)

;

g(x) < 0

Primero hallemos los valores de

x

en dos asos:

1. Si

g(x) ≥ 0

a) Si

x ≥ 0

, enton es

g(x) ≥ 0

, luego

x ≥ 0

b) Si

x < 0

, enton es

g(x) ≥ 0

, luego

x > 0

2. Si

g(x) < 0

a) Si

x ≥ 0

, enton es

g(x) < 0

, luego

x > 0

R

(20)

b) Si

x < 0

, enton es

g(x) < 0

, luego

x < 0

enton es la fun ión

g

es

f (g(x)) =

4g(x)

;

x ≥ 0

2g(x)

;

x < 0

= 2x

Por lo que tiene derivada.

Ejemplo: Sean

f

y

g

dos fun iones tales que

Dom(f ) = Dom(g) =

R

. Si 1.

g(x) = xf (x) + 1

para ada

x ∈

R

2.

g(x + y) = g(x)g(y)

, para

x, y ∈

R

3.

l´ım

x→0

f (x) = 1

enton es

d

d x

g(x) = g(x)

Solu ión:

d

d x

g(x) = l´ım

h→0

g(x + h) − g(x)

h

= l´ım

h→0

g(x)g(h) − g(x)

h

= g(x)l´ım

h→0

g(h) − 1

h

= g(x)l´ım

h→0

hf (x) + 1 − 1

h

= g(x)

Ejemplo: Si

f

es diferen iable en

x = 0

, demuestre que

l´ım

x→a

xf (a) − af(x)

x − a

= f (a) − a

d

d x

f (a)

(21)

Solu ión: Si

h = x − a

, enton es

x = x − a

, y reemplazando al límite se tiene

l´ım

x→a

xf (a) − af(x)

x − a

= l´ım

h→0

(h + a)f (a) − af(h + a)

h

= l´ım

h→0

hf (a) + af (a) − af(h + a)

h

= f (a) − l´ım

h→0

af (h + a) − af(a)

h

= f (a) −

_{d x}

d

f (x)

Ejemplo: Determine

d

d x

g(0)

si

g(x) = (x

2 _{+ 2x + 3)f (x)}

, donde

f (0) = 5

y

l´ım

x→0

f (x) − 5

x

= 4

Solu ión: Primero hallemos

d

d x

f (0)

.

d

d x

f (0) = l´ım

h→0

f (h + 0) − f(0)

h

= 4

¾? Enton es

d

d x

g(x) = 3xf (x) + (x

2 _{+ 2x + 3)}

d

d x

f (x)

. Para

x = 0

, en ontramos

d

d x

g(x) = 12

.

Fun iones implí itas y paramétri as

1. Una fun ión

f :

R

→

R

(

f (x) = y

) es es rito en forma implí ita si no se puede expresar

y

en términos de

x

.

2. Si los puntos

(x, y)

de una urva (fun ión)

C

en el plano están representados por la e ua ión del tipo

x = f (t)

y = g(t)

t ∈ Dom(g) ∩ Dom(f)

(1.4) enton es se di e que la urva

C

es la representado paramétri a-mente.

Donde:

t

se llama parámetro,

La e ua ión (1.4) se llama e ua ión paramétri a de la urva

C

.

(22)

Para derivar estos tipos de e ua iones se ha e de la siguiente manera.

1. Para derivarlasfun ionesimplí itas,primeroseapli aladeriva ión

en ambos miembros y luego se apli a la regla de la adena.

2. Para derivaruna urva

C

expresadaenformaparamétri aseutiliza: Sea la urva

C

denido por la e ua ión

x = f (t)

y = h(t)

, t ∈ I

enton es la derivada es, denotado por

d

d x

y

, omo

d

d x

y =

d

d t

g(t)

d

d t

f (t)

Ejemplo: Cal ular las derivadas

d

d x

y

. 1.

e

y

_{= x + y}

Solu ión: Apli andoladerivada a ambosmiembros onrespe toa

x

: Luegose utiliza laregla dela adena(página 9), la propiedadde la suma (página 7) y la derivada exponen ial (página 12), enton es

d

d x

e

y

₌

d

d x

(x + y)

e

y

d

d x

y = 1 +

d

d x

y

Operando se tiene

e

y

d

d x

y =

1 e

y

₋₁

2.

arctan

y

x

=

1

2 ln(x

2 _{+ y}

2 ₎

Solu ión: Apli ando la derivada de ambos miembros, on

respe -to a

x

. Luego utilizar la derivada de la trigonométri a inversa (ver página 12), la derivada de logaritmo (página 12). después utilizar

(23)

Fi-nalmente utilizar las fórmulas ono idas (página 11). Esto es

d

d x

arctan

y

x

=

1

2 d

d x

ln(x

2 _{+ y}

2 ₎

x

2 x

2 _{+ y}

2 d

d x

y

x

=

1 2(x

2 _{+ y}

2 ₎

d

d x

(x

2 _{+ y}

2 ₎

x

d

d x

y − y = x + y

d

d x

y

operando se tiene

d

d x

y =

x + y

x − y

3.

x − y = arcsen x − arcsen y

Solu ión: Derivando ambos miembros, on respe to a

x

. Luego utilizar la derivada de la diferen ia (página 7). después la derivada

trigonométri a inversa (página 12).

d

d x

(x − y) =

d

d x

(arcsen x − arcsen y)

1 −

d

d x

y =

1 p

1 − x

2 −

1 p

1 − y

2 d

d x

y

Operando se tiene

d

d x

y =

p

1 − y

2 _{(1 −}

p

_{1 − x}

2 ₎

p

1 − x

2 _{(1 −}

p

_{1 − y}

2 ₎

4.

√

_{y +}

√

3 y +

√

4 y = x

Solu ión: Derivando a ambos miembros, on respe to a

x

. Luego se utiliza derivada de la suma (página 7). Después utilizar una de

las fórmulas ono idas (página 11). Quiero de ir que:

d

d x

(

√

_{y +}

√

3 y +

√

4 y) =

d

d x

x

1

2 y

−

1

2 d

d x

y +

1

3 y

−

2

3 d

d x

y +

3

4 y

−

1

4 d

d x

y = 1

Operando se tiene

d

d x

y =

1

2 y

−

1

2 +

1

3 y

−

2

3 +

3

4 y

−

1

4

5.

x

y

_{= y}

x

Solu ión: Primeroapli amos logaritmoneperiano. después

deriva-mos a ambos miembros on respe to a

x

. Segundo apli amos la derivadadel produ to (página 7) yter erola derivadadelogaritmo

neperiano (página 12). Por lo tanto se tiene

d

d x

y =

y(x ln y − y)

x(y ln x − x)

(24)

6.

y

3 ₌

q

3 5x

3 _{+ 3x}

3

2 y

2

3

Solu ión: Trabajo 7.

x =

arctan t

y = ln(t

2 + 1)

Solu ión: Apli aremos la fórmula de la derivada de urvas

implí -itas. Utilizar la derivada de logaritmo neperiano (página 12) y la

derivada de la trigonometria inversa (página 12). Por lo tanto

d y

d x

=

d

d t

y

d

d t

x

=

d

d t

ln(t

2 _{+ 1)}

d

d t

arctan t

= 2t

8.

(

x = a(ln tan

t

2 + cos t − sen t)

y =

a(sen t + cos t)

Solu ión: a) Para hallar

d

d t

x

: Utilizaremos la derivada de la suma

(pági-na 7), luego la derivada de logaritmo neperiano (página 12),

nalmente la derivada trigonométri a (página 12).Esto es:

d

d t

x =

d

d t

a(ln tan

t

2 + cos t − sen t)

= a

1 tan(

₂

t

)

d

d t

tan

t

2 − sen t − cos t

!

= a

sec

t

2 tan(

₂

t

)

− sen t − cos t

!

b) Para hallar

d

d t

y

: Utilizaremos la derivada de la suma (página

7), luego la derivada trigonométri a (página 12).Esto es:

d

d t

y =

d

d t

a(sen t + cos t)

= a(cos t − sen t)

(25)

Por lo tanto

d y

d x

=

cos t − sen t

sec

₂

t

tan(

₂

t

)

− sen t − cos t

!

9.

x = a(sen t + cos t)

y = a(sen t − cos t)

Solu ión: Para poder hallar lasderivadas

d

d t

y

d

d t

x

,sólo se

uti-lizalasderivadasdelasuma(página7)yladerivadatrigonométri a

(página 12). Por lo tanto se tiene

d y

d x

= tan t

. 10.











x =

2at

1 + t

2 y =

a(1 − t

2 ₎

1 + t

2

Solu ión: Para poder hallar las derivadas

d

d t

y

d

d t

x

, primero

apli aremos logaritmo neperiano a

x =

2at

1 + t

2

y a

y =

a(1 − t

2 )

1 + t

2

, luegoderivamosaambosmiembros onrespe toa

t

,despuésapli ar la derivada dela suma(página 7),apli aremos laderivada del

loga-ritmo(página 12)ynalmente laderivadadelas fórmula ono idas

(página 11)

utilizaremos las derivadas de la fun ión implí ita. nalmente

d y

d x

=

−4at

2 (1 − a)(1 − t

2 )

(1 + t

2 ₎

3

. 11.

x = a cos

3 t

y = a sen

3 _t

Solu ión: Trabajo Derivada de orden

n

Sea

f :

R

→

R

denimos por

f (x) = cos x

, enton es

d

d x

f (x) = − sen x

para todo

x ∈ Dom(f)

(26)

Enton es denimos la nueva fun ión

g =

d

d x

f :

R

→

R

on regla de orresponden ia

g(x) =

d

d x

f (x) = − sen x

y derivando la nueva fun ión

d

d x

g(x) =

d

d x

d

d x

f (x)

= − cos x

enton es se nota que

d

d x

d

d x

f (x)

= − cos x

La ual denotaremos por

d

d x

d

d x

f (x)

=

d

2 d x

2 f (x)

que será llamado segunda derivada de

f

Deni ión: Sea

f

una fun ión derivable y ontinua, se dene la

segun-da derivada de la fun ión

f

,denotado por

d

2 d x

2 f (x)

(o

f

pp

(x)

,

D

xx

f (x)

), a la derivada de la derivada de la fun ión

f

.

Deni ión: Sea

f

unafun iónderivabley ontinua,sedene la

n

-ésima derivada de la fun ión

f

, denotado por

d

n

d x

n

f (x)

(o

f

(n)

_(x)

,

D

n

f (x)

),a la derivada de la (n-1)-ésima derivada de la fun ión

f

.

Nota ión: Llamaremos a

C

k

el onjunto de todas las fun iones

on-tinuas tal que tienes las

k

-ésima derivadas y son ontinuas. Esto es, si

f ∈ C

k

enton es

d

k

d x

k

f (x)

existe

Ejemplo:Demuestre que si la urva

C

es es rita en forma paramétri a

f (x) =

x = h(x)

y = g(t)

t ∈ Dom(h) ∩ Dom(g)

, enton es se umple

d

2 d x

2 f (x) =

d

d t

x ×

d

2 d t

2 y −

d

d t

y ×

d

2 d t

2 x

d

d t

x

3

(1.5)

(27)

solu ión: Hallemos lo que nos piden.

d

2 d x

2 y =

d

d x

d

d x

y

=

d

d x







d

d t

y

d

d t

x







=

d

d t

x ×

d

d x

d

d t

y

−

d

d t

y ×

d

d x

d

d x

y

d

d t

x

2 =

d

d t

x ×

d

2 d t

2 y ×

d

d x

t −

d

d t

y ×

d

2 d t

2 x ×

d

d x

t

d

d t

x

2 =

d

d t

x ×

d

2 d t

2 y −

d

d t

y ×

d

2 d t

2 x

d

d t

x

3

Ejemplo: 1. Si

f (x) =

1 1 − x

, hallar

d

n

d x

n

f (x)

Solu ión: Nos piden la

n

-ésima derivada, para esto sólo tenemos que en ontrar una regla de orresponden ia, para que umpla ada

derivada que se desea ono er.

f (x) =

1 1 − x

enton es

d

d x

f (x) = 1(1 − x)

−2

enton es

d

2 d x

2 f (x) = 2 × 1(1 − x)

−3

enton es

d

3 d x

3 f (x) = 3 × 2 × 1(1 − x)

−4

. . . enton es

d

n

d x

n

f (x) = n!(1 − x)

−(n+1)

Por lo tanto la derivada es:

d

n

d x

n

f (x) = n!(1 − x)

−(n+1)

.

(28)

2. Si

f (x) =

1 1 + x

, hallar

d

n

d x

n

f (x)

Solu ión: Nos piden la

n

-ésima derivada, para esto sólo tenemos que en ontrar una regla de orresponden ia, para que umpla ada

derivada que se desea ono er.

f (x) =

1 1 + x

enton es

d

d x

f (x) = −1(1 + x)

−2

enton es

d

2 d x

2 f (x) = 2 × 1(1 + x)

−3

enton es

d

3 d x

3 f (x) = −3 × 2 × 1(1 + x)

−4

. . . enton es

d

n

d x

n

f (x) = (−1)

n

n!(1 − x)

−(n+1)

Por lo tanto la derivada es:

d

n

d x

n

f (x) = (−1)

n

_{n!(1 + x)}

−(n+1)

. 3. Hallar

d

2 d x

2 f (x)

si

f (x) =

x = a cos

3 t

y = a sen

3 t

Solu ión: Primero hallaremos la primero y segunda derivada de

x(t)

e

y(t)

.

x = a cos

3 t

enton es

d

d t

x = −3a cos

2 _{t sen t}

;

1 ra

derivada enton es

d

2 d t

2 x = 3a(2 sen

2 t − cos

2 t) cos t

;

2 da

derivada y

y = a sen

3 t

enton es

d

d t

y = −3a cos t sen

2 _t

;

1 ra

derivada enton es

d

2 d t

2 y = 3a(2 cos

2 t − sen

2 t) sen t

;

2 da

derivada

Utilizando la e ua ión (1.5), en ontramos

d

2 d x

2 f (x) =

d

d t

x ×

d

2 d t

2 y −

d

d t

y ×

d

2 d t

2 x

d

d t

x

3 =

1 3a

2 _cos

4 _{t sen t}

(1.6)

(29)

4. Demuestre que

d

2 d x

2 f (x) = 9t

3

si

f (x) =

x = ln t

y =

t

3

Solu ión: Primero hallaremos la primero y segunda derivada de

x(t)

e

y(t)

.

x = ln t

enton es

d

d t

x =

1 t

;

1 ra

derivada enton es

d

2 d t

2 x = −

1 t

2

;

2 da

derivada y

y = t

3

enton es

d

d t

y = 3t

2

;

1 ra

derivada enton es

d

2 d t

2 y = 6t

;

2 da

derivada

Utilizando la e ua ión (1.5), en ontramos

d

2 d x

2 f (x) =

d

d t

x ×

d

2 d t

2 y −

d

d t

y ×

d

2 d t

2 x

d

d t

x

3 = 9t

3

(1.7)

Apli a ión de la derivada

Re tas tangentes

Re ordemos que;si

(x

0 , y

0 ) ∈ L

T

y

f

una fun iónderivable, enton es la e ua ión de la re ta tangente es

L

T

: y − y

0 = m(x − x

0 )

, on

d

d x

f (x

0 ) = m

Y lae ua ión delare ta normal(operpendi ular)a lare ta tangente

L

T

es

L

N

: y − y

0 = −

1 m

(x − x

0 )

Donde:

(x

0 , y

0 )

son punto de paso y punto de onta to entre las re tas y la fun ión.

(30)

L

T

L

N

f

x

0 f (x

0 )

Ejemplo:

1. Hallar la e ua ión dela re ta tangente

x

2 _{(x + y) = a}

2 _{(x − y)}

en el

origen de oordenadas

Solu ión: Sabemos que la e ua ión de la re ta tangente es

L

T

:

y − y

0 = m(x − x

0 )

, omopor hipótesis, sabemos que la re ta pasa por el origen enton es se tiene que

L

T

: y = mx

.

Hallemos

m =

d

d x

y

Como la urva es

x

2 _{(x + y) = a}

2 _{(x − y)}

, apli ando la derivada

de fun iones implí itas se tiene

d

d x

y =

a

2 _{− 2(x + y)x}

x

2 _{+ a}

2

, de donde

m = 1

. Por lo tanto la e ua ión dela re ta tangente es

L

T

: y = x

. 2. Halle una e ua ión de la re ta tangente a la urva

y = x

4 _{− 6x}

, y

que es perpendi ular a la re ta

L : x − 2y + 6 = 0

Solu ión: Re ordemosquela e ua ióndela re ta es:

L

T

: y −y

0 =

m

T

(x − x

0 )

, enton es debemos en ontrar

x

0

,

y

m

. Hallando

m

: Como

L

T

⊥ L

y omo

m =

1

2

, enton es

m

T

= −2

Luego, hallemos

x

0

: Como

d

d x

f (x

0 ) = 4x

3

0 − 6

, y

d

d x

f (x

0 ) = −2

, enton es

x

0 = 1

, de esto se tiene

y

0 = −5

. Por lo tanto la e ua ión dela re ta tangente es

L

T

: y + 2x − 8 = 0

(31)

3. Trazar la e ua ión normal a la linea

y = x ln x

que es paralela a la re ta

L : 2x − 2y + 3

(sug: si

m

1

y

m

2

son las pendientes de las re tas

L

1

y

L

2

respe tivamente, enton es para que

m

1 = m

2

es ne esario y su iente que

L

1 //L

2

)

Solu ión: Nos piden hallar

L

N

: y − y

0 =

−1

m

(x − x

0 )

, enton es debemos en ontrar que

x

0

,

y

m

.

Hallando

m

N

: omo

L

N

//L

y

m = 1

, enton es

m

N

= 1

de esto

m

T

= −1

En ontremos

x

0

: Como

m =

d

d x

f (x

0 )

y

d

d x

f (x

0 ) = ln x

0 + 1

enton es

x

0 = e

−2

y

0 = −2 e

−2

. Finalmente

L

N

: y − x + 3 e

−2

_{= 0}

.

4. En que punto de la urva

x +

√

xy + y = 1

, la re ta tangente es paralelo al Eje

X

.

5. Demostrar que el área del triángulo formado por los ejes

oordena-dos y la re ta tangente en ualquier punto a la urva

xy = b

on

b > 0

es siempre una onstante.

Solu ión: Hallando las re tas tangente

L

T

: y − y

0 = m(x − x

0 )

para

x

0 ∈ Dom(y)

.

La pendiente de la re ta tangente a la urva

xy = b

es

m = −

b

x

2 ₀

. Por lo tanto la e ua ión de la re ta tangente es:

L

T

: y − y

0 = −

b

x

2 ₀

(x − x

0 )

.

Hallando las interse iones on los ejes oordenados

a) Cuando

y = 0

enton es es

x =

(b + y

0 x

0 )x

0 b

y b) Cuando

x = 0

enton es es

y =

y

0 x

0 + b

x

0

Finalmente el área es

A =

xy

2 =

(b + y

0 x

0 )

2 2b

= 2b

. Por lo tanto el

A

es una onstante.

6. Halle la e ua ión de la re ta tangente de la fun ión

f

denido por:

f (x) =

r

5 + x

2 q

5 + x

2 √

_{5 + x}

2 _{. . .}

, enelpunto deabs isa

x = 2

. Solu ión: Si

f (x) = y

y

f (x) =

r

5 + x

2 q

5 + x

2 √

_{5 + x}

2 _{. . .}

R

(32)

enton es

y

2 _{= 5 + x}

2 _y

, de donde en ontramos

y = 5

o

y = −1

para

x = 2

, omo

y

es positivo, tomamos

y = 5

. por lo tanto el punto

(2, 5)

pertene e

L

T

. Ahora en ontremos la pendiente

m

T

=

d

d x

y

. Como

y

2 _{= 5 + x}

2 _y

apli ando la derivada de la fun ión implí ita

en ontramos

d

d x

y =

2xy

2y − x

2

. Sabemos que

m

T

=

d

d x

y

, y además

(2, 5) ∈ L

T

,de donde tenemos que

m

T

=

10

3

.

Por lo que la re ta tangente es

L

T

: y − 5 =

10

3 (x − 2)

y la re ta normal es

L

N

: y − 5 = −

3

10 (x − 2)

Máximos y mínimos

Fun ión monótona: Sea

f : S →

R

,

S

un sub onjunto de los números reales

R

, y una fun ión.

1. Una fun ión

f

se di e que es no de re iente en el onjunto

S

si (y sólo si) para ada

x

1 , x

2 ∈ S

se umple

f (x

1 ) ≤ f(x

2 )

siempreque

x

1 < x

2

.

2. Una fun ión

f

se di e que es re iente en el onjunto

S

x

1 , x

2 ∈ S

se umple

f (x

1 ) < f (x

2 )

siempre que

x

1 < x

2

.

3. Una fun ión

f

se di e que es no re iente en el onjunto

S

x

1 , x

2 ∈ S

se umple

f (x

1 ) ≥ f(x

2 )

siempreque

x

1 < x

2

.

4. Una fun ión

f

se di e que es de re iente en el onjunto

S

x

1 , x

2 ∈ S

se umple

f (x

1 ) > f (x

2 )

siempreque

x

1 < x

2

.

5. La fun ión

f

es monótona en el onjunto

S

si (y sólo si) es uno de los uatro deni iones anteriores.

Extremos relativos:Sea

f : S →

R

,

S

un sub onjunto delosnúmeros reales

R

, una fun ión.

(33)

1.

f

tiene un máximo relativo en el onjunto

S

si existe un punto

c ∈ S

que umpla

f (c) ≥ f(x)

uando

x ∈ S ∩ Dom(f)

.

2.

f

tiene un mínimo relativo en el onjunto

S

si existe un punto

d ∈ S

que umpla

f (d) ≤ f(x)

uando

x ∈ S ∩ Dom(f)

.

Cón ava y onvexo: Una fun ión

f : S →

R

, y denotaremos por

C

a la grá a de la fun ión

f

.

1. La urva

C

es onvexa en el onjunto

S

si ualquier re ta tangente a la urva está por en ima de

C

.

2. La urva

C

es ón ava en el onjunto

S

si ualquier re ta tangente a la urva está por debajo de

C

.

3. Un punto

x

0 ∈ S

es un punto de inexión si uando separa de la onvexa a la ón ava o vi eversa.

Punto ríti o: Sea

f : S →

R

y

c ∈ Dom(f)

. El punto

c

se llama punto ríti o si

1.

d

d x

f (c) = 0

2.

f (c)

no existe

3.

c

es uno de los extremos de

S

(34)

Máximo

m

T

= 0

Mínimo

m

T

= 0

Punto de inexión

m

T

< 0

De re iente

m

T

> 0

Cre iente

m

T

> 0

Cre iente Convexa Cón ava

f

c

x

0 d

teorema: (Criterio de la primera derivada:)

Sea

c

un punto ríti o dela fun ión

f

enel intervalo

[a, b]

y ontinuaen

ha, bi

, enton es 1.











d

d x

f (x) > 0

para

x ∈ ha, ci

d

d x

f (x) < 0

para

x ∈ hc, bi

enton es

f (c)

es un máximo relativo de la fun ión

f

.

2.











d

d x

f (x) < 0

para

x ∈ ha, ci

d

d x

f (x) > 0

para

x ∈ hc, bi

enton es

f (c)

es un mínimo relativo de la fun ión

f

.

3.











d

d x

f (x) < 0

para

x ∈ ha, ci

d

d x

f (x) < 0

para

x ∈ hc, bi

enton es

f (c)

noes unmínimoni unmáximorelativo delafun ión

(35)

4.











d

d x

f (x) > 0

para

x ∈ ha, ci

d

d x

f (x) > 0

para

x ∈ hc, bi

enton es

f (c)

noes unmínimoni unmáximorelativo delafun ión

f

.

d

d x

f (x) < 0

d

d x

f (x) > 0

d

d x

f (x) > 0

d

d x

f (x) < 0

d

d x

f (c

1 ) = 0

d

d x

f (c

2 ) = 0

c

1 c

2

Teorema:(Criteriodelasegundaderivadaparamáximosymínimos)

Sea

f

una fun ión derivable en todo su dominio y

c

un punto ríti o y

existe

d

2 d x

2 f (c) 6= 0

, enton es 1. si

d

2 d x

2 f (c) < 0

, enton es es un máximo relativo de la fun ión

f

. 2. si

d

2 d x

2 f (c) > 0

, enton es es un mínimo relativo de la fun ión

f

.

(36)

Máximo Mínimo

f

d

2 d x

2 f (c) < 0

d

2 d x

2 f (c) > 0

c

1 c

2

Teorema: (Criterio de la segunda derivada para on avidad y

onvexi-dad)

Sea

f

una fun ión dos ve es derivable en

[a, b]

y

x

0 ∈ ha, bi

tal que

d

2 d x

2 f (x

0 ) = 0

, enton es 1. si

d

2 d x

2 f (x) < 0

para

x ∈ ha, x

0 i

, enton es la urva es onvexa. 2. si

d

2 d x

2 f (x) > 0

para

x ∈ hx

0 , bi

, enton es la urva es ón ava. 3. Si umple las dos anteriores o vi eversa, enton es

x

0

es un punto