Construcción de lugares geométricos en un ambiente de Geometría Dinámica

Construcci´on de lugares geom´etricos en un

ambiente de Geometr´ıa Din´amica

Mariano Gonz´alez Ulloa [email protected]

Pontificia Universidad Cat´olica del Per´u Av. Universitaria 1801, San Miguel, Lima 32 - Per´u

Resumen

En el curso se trata de mostrar las ventajas y limitaciones de la Geometr´ıa Din´amica en la resoluci´on de problemas de geometr´ıa, en el plano y en el espacio tridimensional, cuya soluci´on requiere de la construcci´on de lugares geom´etricos. Estos hechos se mostrar´an a trav´es de la resoluci´on de varios ejemplos.

Palabras claves: Lugar Geom´etrico, geometr´ıa din´amica, res-oluci´on de problemas.

Introducci´on

Cualquier actividad que se desee realizar se convierte en un problema. Para desarrollarla se debe buscar una estrategia, disponer de informaci´on complementaria que ayude a compren-derla y relacionar los diferentes aspectos que involucran tal

ac-tividad.

En Matem´aticas, una manera de introducir conceptos y re-sultados es a trav´es de la resoluci´on de problemas ([3]). Te-niendo como punto de partida esta premisa, me he permitido proponer este curso y est´a dirigido a profesores de matem´aticas de nivel secundario y superior, considerando, adem´as, que en los programas curriculares del Ministerio de Educaci´on no se incluye actividades relacionadas con problemas que puedan re-solverse mediante la construcci´on de lugares geom´etricos, con lo cual se est´a negando a los estudiantes la posibilidad de dis-frutar de un m´etodo “experimental” que favorece el desarrollo de su capacidad visual, intuitiva y relacional.

El curso est´a orientado al planteamiento y resoluci´on de al-gunos problemas de geometr´ıa que requieren de la construcci´on de lugares geom´etricos. Para ello se usar´a un software de Ge-ometr´ıa Din´amica (GD). Se ha elegido el software Cabri II Plus y Cabri 3D, tanto por la funcionalidad y did´actica de su manejo como tambi´en por la cantidad de opciones de las que dispone, lo cual permite realizar construcciones apropiadas para introducir conceptos y resultados de geometr´ıa que es uno de los objetivos del curso.

La construcci´on de lugares geom´etricos en un ambiente de geometr´ıa din´amica permite, al estudiante, hacer conjeturas

so-bre la o las soluciones de un determinado problema, incluso es posible modificar las condiciones iniciales del problema y vi-sualizar los cambios en tiempo real, hechos que contribuyen al desarrollo de diferentes aspectos de su capacidad intelectual.

Objetivos

Los principales objetivos del curso son

Introducir conceptos y resultados de geometr´ıa a trav´es de la resoluci´on de algunos problemas de geometr´ıa plana y tridimensional mediante la construcci´on de lugares ge-om´etricos.

Conocer el manejo y uso de un programa de Geometr´ıa Din´amica para realizar construcciones tanto en el plano como en el espacio tridimensional.

Usar geometr´ıa din´amica para conjeturar la soluci´on de determinados problemas de construcciones geom´etricas.

Desarrollo

A trav´es de la resoluci´on de algunos problemas podremos ver la utilidad de la GD en la construcci´on de lugares geom´etri-cos.

Definici´on.- Un lugar geom´etrico (LG) es el conjunto de todos los puntos que satisfacen una determinada propiedad. Si el lugar geom´etrico es definido por la propiedad P, entonces

Todo punto del LG satisface la propiedad P.

Todo punto que satisface la propiedad P pertenece al LG. Por ejemplo, una circunferencia es el lugar geom´etrico de los puntos, contenidos en un plano, que se encuentran a la mis-ma distancia de un punto fijo llamis-mado centro.

A continuaci´on se presenta los problemas a desarrollar en el curso.

Problema 1 Dada una recta L y un punto F ubicados en un mis-mo plano, identificar el conjunto de puntos de dicho plano que equidistan de la recta L y del punto F.

Soluci´on. Para identificar el conjunto mencionado, desarrol-laremos el siguiente procedimiento: elija un punto M en la recta

L (use la opci´on Punto sobre objeto) y trace la recta L0_, perpen-dicular a L, por el punto M . Trace el segmento F M y construya su mediatriz. Llame P a la intersecci´on de la mediatriz del seg-mento F M con L0 _{(Figura 1). El punto P equidista del punto}

L

F

M P

L'

Figura 1: Perpendicular a L y mediatriz de F M

Generar el lugar geom´etrico del punto P usando la opci´on

Lugar cuando el punto M se desplaza en la recta L. De esta

manera se obtiene la par´abola con foco F y directriz L como se muestra en la (Figura 2). L F M P L'

Figura 2: LG de los puntos que equidistan de F y L Problema 2 Dados dos puntos A y B y una recta L contenidos en el mismo plano, construir una circunferencia que pase por A

y B y sea tangente a la recta L.

Soluci´on. Para construir una circunferencia que pase por A y

B y sea tangente a la recta L se debe encontrar un punto O que

equidiste de A, B y L. Este punto ser´a el centro de tal circun-ferencia.

Como primer paso se ver´a la ubicaci´on de los puntos A y B respecto a la recta L con la finalidad de averiguar si existe o no soluci´on del problema.

Observar que el problema no siempre tiene soluci´on. Es evi-dente que no tiene soluci´on si los puntos A y B est´an a uno y otro lado de la recta L.

La construcci´on de una circunferencia requiere de tres puntos no colineales, entonces para que el problema planteado tenga soluci´on bastar´a que los puntos A y B est´en ubicados en uno de los semiplanos originados por la recta L.

Considerar los puntos A y B y la recta L como se muestra en la figura 3.

L

A B

Figura 3: Puntos A y B y la recta L Una manera de hallar un punto O es la siguiente:

construir el lugar geom´etrico de los puntos que equidistan de A y L (la par´abola con foco A y directriz L) (Fgura 4).

L

A B

M P

Figura 4: Puntos A y B y la recta L

Luego construir la mediatriz del segmento AB (Figura 5). Los puntos de intersecci´on de la par´abola y la mediatriz del segmento AB son puntos que equidistan de los puntos A y B y de la recta L, en consecuencia dichos puntos son el centro de circunferencias que pasan por A y B y son tangentes a L (Figura 6).

Ubicando los puntos A y B en el otro semiplano, se ten-dr´a otras soluciones. De esta manera se observa que el proble-ma tiene cuatro soluciones.

Problema 3 Dadas tres rectas paralelas, construir un tri´angulo equil´atero de manera que cada v´ertice se encuentre en una de

L

A B

M P

Figura 5: Mediatriz del segmento AB

L A B M P O

Figura 6: LG de los puntos que equidistan de A, B y L las rectas.

L3, respectivamente (Figura 7).

Con la finalidad de explorar si el problema tiene soluci´on,

us-L1 L2 L3

Figura 7: Rectas paralelas

ando la opci´on Punto sobre un objeto elija un punto M en la recta L1 y un punto B en la recta L2 (Figura 8).

Tomando como lado el segmento MB construya un tri´angulo

L1 L2 L3 M B Figura 8: Puntos M y B

equil´atero. Para ello con la opci´on Circunferencia construya la circunferencia CM con centro en M que pasa por B y la circun-ferencia CB con centro en B que pasa por M. A continuaci´on con la opci´on Punto(s) de intersecci´on marque el punto de

in-tersecci´on de CM y CB m´as cercano a la recta L3 y n´ombrele P (Figura 9). El tri´angulo MBP es equil´atero.

L1 L2 L3 M B P Figura 9: Circunferencias CM y CB

Usando la herramienta de desplazamiento (Animaci´on) mue-va el punto M en la recta L1 y observe que para una cierta posi-ci´on (M’) de M en la recta L1 el punto P estar´a en la recta L3, con lo cual se tendr´a el tri´angulo equil´atero M’PB. Este hecho muestra que el problema tiene soluci´on.

Para determinar la ubicaci´on del punto P en la recta L3 con-struya el lugar geom´etrico que genera el punto P cuando el pun-to M se desplaza en la recta L1 y ll´amele L (Figura 10).

L1 L2 L3 M B P L

Figura 10: Lugar geom´etrico del punto P

L1 L2 L3 M B P L C

Figura 11: Ubicaci´on del v´ertice C

Tomando el segmento BC como lado, construya el tri´angulo equil´atero M’BC siendo M’ un punto de L1 (Figura 12).

C L1 L2 L3 M B M'

Figura 12: Ubicaci´on del punto M’

al problema. Esto es, el tri´angulo equil´atero ABC (Figura 13).

A B C L1 L2 L3

Figura 13: Tri´angulo ABC

Observar que para obtener esta soluci´on (4ABC) se ini-ci´o fijando el punto B en L2 y desplazando el punto M en L1.

Si se repite el proceso, pero esta vez fijando el punto A en L1 y desplazando un punto N elegido en L2, se obtendr´a otra solu-ci´on del problema. ¿Son las ´unicas soluciones ? Justifique. Problema 4 Dados un punto P, una circunferencia C y una recta L. Construir una circunferencia que pase por P y sea tangente tanto a C como a L.

Soluci´on. Sea O el centro de la circunferencia C. Elija un punto Q en C, trace la semirrecta OQ y luego trace la mediatriz M del segmento OP.

Construya el LG del punto de intrsecci´on de la semirrecta OP con la recta M.

Por otro lado, construya el LG de los puntos que equidistan de P y L.

La intersecci´on de ambos LGs es el centro de la circunfer-encia que pasa por P y es tangente a C y a L.

Problema 5 Dadas tres circunferencias con el mismo centro y diferentes radios, construir un tri´angulo equil´atero de manera que cada v´ertice del tri´angulo se encuentre en cada una de las circunferencias.

Soluci´on. Fije un punto O y construya tres circunferencias con centro en O y radios distintos 0 < r1 < r2 < r3 y n´ombrelas

con C1, C2, C3, respectivamente. Elija un punto M en C1y un

punto B en C3. Teniendo como lado el segmento MB construya

un tri´angulo equil´atero llamando P al tercer v´ertice.

Construya el lugar geom´etrico generado por P cuando M se desplaza en C₁y ll´amele G a dicho lugar geom´etrico.

A partir de aqu´ı puede conjeturar si el problema tiene o no tiene soluci´on, haci´endose las siguientes interrogantes:

¿El problema siempre tiene soluci´on?

Si el problema tiene soluci´on, construir una de ellas. ¿Cu´antas soluciones tiene?

¿Cu´al es la condici´on para el problema siempre tenga soluci´on?

¿Si existe tal condici´on, ´esta es una condici´on necesaria y suficiente?

Ejercicios

1. Construya el tri´angulo ABC conociendo los siguientes datos: ∠A = 30◦, AB = 6cm, AC + CB = 13cm.

2. Dados dos puntos F1 y F2 fijos en un plano π y d un

n´umero positivo mayor que la distancia entre F1 y F2.

Identificar el conjunto de puntos P del plano π tales la suma de la distancia de P a F1 m´as la distancia de P a

F₂ sea igual a d.

3. Dadas una circunferencia C y dos rectas paralelas L1 y L2, tangentes a C en P1 y P2 , respectivamente, y A un punto de C, trazar la recta L3 que pasa por P1 y A. La recta L3 corta a L2 en el punto M. Por M trace la recta L4, perpendicular a L1, y por A trace la recta L5, paralela a L1. Construir el LG de que genera el punto P, intersecci´on de L4 y L5 cuando A se desplaza en C.

4. En una recta L elegir cuatro puntos A, B, C y D, en ese orden. Encontrar un punto P de manera que ∠AP B = ∠BP C = ∠CP D.

5. Hallar el valor m´aximo de la funci´on f (x, y, z) = x y z sujeta a las restricciones x + y + z = 3, x ≥ 0, y ≥ 0

z ≥ 0.

Conclusiones

1. Podemos observar que los problemas que se resuelven recurriendo a la construcci´on de alg´un lugar geom´etrico

permiten al estudiante indagar si el problema tiene solu-ci´on y en caso la tenga, permite conjeturar si existe m´as de una soluci´on.

2. Al hacer las construcciones para la soluci´on de un deter-minado problema, permite al estudiante revisar propiedades y conceptos propios de la geometr´ıa, lo cual ayuda a la reafirmaci´on de los mismos.

Referencias

[1] Bulajich R., G´omez J. A., Valdez R. Inequalities. Cuader-nos de Olimpiadas Matem´aticas. Instituto de Matem´aticas. Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico. 2005.

[2] Kazarinoff Nicholas D. Geometry Inequalities. The L. W. Singer Company. Yale University. United States of Ameri-ca. 1961

[3] Polya G. C´omo planterar y resolver problemas. Editorial Trillas, Vig´esimoprimera reimpresi´on. M´exico. 1997. [4] Cabri G´eom`etre II Plus. Manual de usuario.

http://www.cabri.com/download-cabri-2-plus.html#manuals [5] Cabri 3D. Manual de usuario.

[6] Gonz´alez U., Mariano