Significados asociados al punto de inflexión

754  SIGNIFICADOSASOCIADOSALPUNTODEINFLEXIÓN AlbertoCamachoRíos InstitutoTecnológicodeChihuahuaII México camachoalberto@hotmail.com Campodeinvestigación: Epistemología,Pensamientomatemático avanzado Nivel: Superior 

Resumen. Se dice comúnmente que el punto en el que una curva continua separa la parte cóncavadelaconvexa,sellama“puntodeinflexión”.Elpuntodevistaesllevadomásalláa travésdelteoremaenelqueseestablecencondicionessuficientesparaqueelpuntocrítico,

 

0 cc a

f , de la segunda derivada, efectivamente lo sea: “Si f cc a

 

0 o f cc

 

a  no existe,yladerivada f cc

 

x cambiadesignoalpasarporelvalorx=a,entonces,elpuntodela curva en x=a es un punto de inflexión”. No obstante, en el análisis de los valores extremos para la graficación de funciones el argumento mencionado es poco usado. Visto así, el objetivo del presente trabajo es dotar al concepto de significados que permitan un acercamiento, en principio algorítmico, a la definición formal que se presenta inicialmente, haciendousodelrecursodela3ªderivada.

Palabrasclave:significado,puntodeinflexión



Introducción

Enloscursosdecálculodiferencial,alosestudianteslesessuficientecondeterminar,las más de las veces, los valores críticos de la segunda derivada, f cc a

 

0, para así considerarlespuntosdeinflexióndelacurva,pasandoporaltoelteoremaarribacitado. Esta afectación es del todo algorítmica, sin interesarse tanto por la comprensión del argumentoysudemostración.Elproblemasecentraenevitarunareglaquedasuficiencia teórica a la existencia del punto de inflexión, pero que además resulta poco útil en el proceso de graficación de funciones, haciendo uso del criterio de las dos primeras derivadas.Asumiremosenseguidauncriterioquesintetizalaproposiciónanterioryque permiteunusomáseficientedelmismo.Paraesteefecto,hicimosunanálisisdetextosde cálculoantiguosquepermitieronidentificarunargumentoasociadoalpuntodeinflexión apartirdelautilidaddelaterceraderivadaenelprocesoalgorítmicodelagraficación,por hoyendesusoenlaenseñanza.Condichoargumentoelpropósitofueelde“reconstruirel

755 conocimientomatemático”,debidoaquesuinsercióneneldiscursoafectaaesteúltimo

cambiandosuorganizacióninterna.

Marcoteórico

Sehaconsideradoútilinvolucrarnuevossignificadosalosyaexistenteseneldiscursode enseñanza matemática, a partir de integrar “bases de significados”, semejantes al siguiente emplazamiento: E0oE1oE2o...oE_k o...oE_n. En este último:

n

E E

E₁, ₂,...,  simulan los conocimientos que aparecen cotidianos en el discurso matemáticoescolar(DME),enelcualE  es el conocimiento final, también llamado por_n loseruditos“conocimientodereferencia”,quesedesealosestudiantesaprendan,yE el_k nuevoconocimiento.Lasbasesoriginanunprimerpasoenlacuestióndelacoherenciadel nuevosignificadoE ,respectodelrestodelosconocimientoscolocadosenlacadena.En_k ese caso, E  es “potencialmente” útil para el entendimiento del “conocimiento de_k referencia” E , y da mayor significado a_n E₁,E₂,...,etc., es decir, para el caso, a los significadosasociadosalpuntodeinflexión,locualhabladelcompromisodeincorporarle enlabasedesignificados.LadeterminacióndeE esposibledesdediferentesopciones_k deinvestigación,unadeellas,elanálisisepistemológicoqueseplanteaenseguida.  Análisisepistemológico DesdefinalesdelsigloXVIII,yalolargodelXIX,seprivilegióenlaenseñanzamatemática, para la determinación de los valores extremos de una función, dos proposiciones complementarias que tienen que ver con las derivadas sucesivas de la función que se trate. Ambos argumentos fueron ampliamente estudiados en el Traité élementaire de LacroixyenlaThéoriédesfonctionsanalytiquesdeLagrange,encontrándosecoyunturas dedichasreglas,todavía,entextosqueseusaronalolargodelsigloXX(Granville,Smith, Longley,1963,220;Santaló _{Carbonell,1980,183Ͳ184).Cabedestacarqueamediados}

756 del siglo XIX ambas proposiciones se encontraban en una escala de utilidad en la

enseñanza. Planteamos enseguida ambas proposiciones en la forma concisa como les escribieron y utilizaron en sus respectivos textos y cursos de cálculo en la escuela politécnicafrancesa,losprofesoresReygnaudͲHadamard,asícomoelpropioGranville.La primeradeestasserefierealareglaparaladeterminacióndemáximosymínimos,reza así:“Paraencontrarlosmáximosymínimosdeunafunción f

 

x ,iguálesesuderivadacon cero, los valores de x que convienen son aquellos que hacen nulas un número impar cualquiera de derivadas sucesivas. Habrá un máximo si la primera derivada que no se anula deviene negativa al ser sustituida; habrá un mínimo si ella deviene positiva” (ReygnaudͲHadamard,1823,32).Otrareglaquesededucedelaanterior,eslasiguiente: “Sidelasderivadasde f

 

x laprimeraquenoseanulaparax esdeordenimpar,a entonces f

 

a  no será ni máximo ni mínimo”. (Granville, 1963, 221). En ningún caso aparecendemostraciones.Podemosescribirlacontrapartedelaprimerareglacomoun “criterio” más, de la siguiente manera: “Si f cc a

 

0, x=a es un punto crítico de la segundaderivada,esteserápuntodeinflexiónsialsustituirloenlaúltimaderivadaimpar, quenoseanula,elresultadoesdistintodecero: f ccc a

 

z0o fv

 

a z0_o,etc.”

Conestecriterioessuficientequelaterceraderivadanoseanulaparaladeterminación delpuntodeinflexión,estointentaremosdemostrarmásadelante.Eneltextodecálculo deSantaló _{Carbonell(1980),sehizounampliousodeesterecurso,sindemostración} alguna.  Reconstruccióndelconocimientomatemático

El siguiente es un intento de modelo didáctico del punto de inflexión basado en argumentos algebraicos y variacionales que amplían sus significados ya conocidos. Se prevéqueenelmodeloseinteractuéconlosargumentosasociadosalpuntodeinflexión, comosonaquellosdeconcavidad,curvatura,segundaderivadaetc.Encuantoalautilidad

757 de los significados vistos como objetos matemáticos, hemos recurrido a aquellos de

función, derivada, derivadas sucesivas, teorema del valor medio, serie de Taylor, etc. Otros significados asociados útiles fueron el uso de representaciones gráficas. No obstante,pretendemosquelaincorporacióndelcriteriodelaterceraderivadaseavistoa partirdesuutilidadenlagraficacióndefunciones,ynotantoporlasdemostracionesque realizamos para dar sentido al modelo, lo cual es fundamental desde el punto de vista teórico. Pocosautoresdetextosdecálculollaman“puntodetorcedura”alosvalorescríticosdela funciónfdondeestacambiadecurvatura,esdecirlacurvase“tuerce”dandoungirode 180ºalpasarporelpuntocríticoparasalirdeesteconlaconcavidadinvertida.Parala funciónfla“concavidad”significaqueellatieneun“hueco”. Enelcasodelafunción

 

36 2 11 6 x x x x f ,estacuentaconunpuntodetorcedura enx=2quenoconsignalainformacióndelaprimeraderivadaalserigualadaconcero.Por logeneral,estosvaloressonllamados“puntosdeinflexión”yaparecenaligualaracerola segunda derivada. Para el ejemplo citado, f cc

 

x 6x12, o bien6x12 0o x 2, resultaciertalaafirmaciónpara f cc 0,véaselafigura1.Sibienelcriteriode f cc 0es “necesario”, este no es “suficiente” para cualquier función, puesto que existen casos dondeellonosecumple,locualesaclaradoeficientementeenlostextosdecálculo.Por ejemplo, en f

 

x x4x, la primera derivada fc

 

x 4x31, consigna un mínimo

en 3 0.62 4 1 x ,demaneraquelasegundaderivadaigualadaconcero cc

 

12 2 0 x x f , precisaríaqueenx=0hubieraunpuntodeinflexión,locualnoocurre,véaselafigura2. No obstante, la concavidad es asociada a la segunda derivada de f, recordemos los criterios expuestos enlos textos de cálculo para la verificación de puntos críticos, estos dejan ver que si en x=a se tiene un máximo, entonces f cc x

 

0, lo cual debe ser relacionadaalaconcavidad“haciaabajo”delacurva,enelcasodelmínimolaconcavidad

758 delacurvaes“haciaarriba”,con f cc x

 

!0.Enestesentido,lospuntosdeinflexiónson

“límites” de las concavidades de la curva. Si observamos el caso de la figura 1, la concavidadhaciaabajodefseencuentraenloslímitesdemenosinfinitoa2,cambiandoa ser cóncava hacia arriba entre 2 e infinito. Ello significa que el punto de inflexión se encuentra entre los cambios de concavidad de la curva, quedando, en otras palabras, entre f cc0 yf cc!0, en el caso de cambiar de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arribayviceversadecóncavahaciaarribaacóncavahaciaabajo,entre f cc!0y f cc0. Deelloresultaquelarectatangenteenelpuntodeinflexióncruzalacurvade“arriba” hacia“abajo”oviceversa,véasemásadelantelafigura3.        torcedura de Punto  Figura1          Figura2  Loanteriornospermitiráestablecerlasiguienteproposición:“Si f cc esmenorqueceroen

 

a,b ,entoncesfescóncavahaciaabajoeneseintervalo.Encasodeque f cc seamayor que cero en

 

a,b , entonces f será cóncava hacia arriba en el intervalo.” Puesto que suponemosquelafunciónfseencuentraporencimadelarectasecantey,entrex=ay x=b,estaúltimaseencuentrapordebajode f

 

x .Parademostrarlaproposiciónanterior, construyamosunafunciónauxiliarF

 

x y f

 

x ,cumpliéndoseque f

 

x ! .Luegosey pretendedemostrarque:y xf

 

0.

759 Demostración: Siendo la ecuación de la recta secante:

     

x a



a x a f b f a f y     , al

hacer la diferencia entre f

 

x  e y, se tiene la relación:

       

x a

  

f x a b a f b f a f x f y       …(1) Aplicandodosveceselteoremadelvalormediocomo:

     

a b a f b f c f   c ,queda:

 



   



  

   

 



x a



a b a f b f a f x f x f y c f a x e f        c  c       Suponiendocentreayx,asícomoeentrecyx,seguardalarelación: b x e c a     0 …(2) Deaquíque:y f

 

x fc

 

e xa

  

 fcc xa



>

fc

   

c  fce

@

xa



 Aplicandodenuevoelteoremadelvalormedioaestaúltimaexpresión,queda:

 

x f

  

d c e x a



f y cc   …(2) Deseamosprobarque:y xf

 

0.Ellotambiénocurrirási: f cc

 

d ca



xa



0…(3) Paraprobarladesigualdad(3)hagamosusodelaspropiedadesdelasdesigualdades.El resultadodeladesigualdaddebeserdesigno–o 0_{,dehechotenemosdosopciones,} estasson:

A):Paraelcasoenquex! :a x a!0,cone c!0,ypuestoque f cc d

 

0,quedael esquema_!˜!˜.Deaquíquey xf

 

0.

B): Para cuando x ,a x a0, conc e0, para f cc d

 

0, es decir,˜˜ . Luegoy xf

 

0.

A)yB)muestranquelacurvaestásituadaporencimadelarectasecantey,cualesquiera que sean c, d, e y x en

 

a,b , lo cual significa que la curva es cóncava hacia abajo. La concavidadhaciaarribasedemuestrademanerasemejante.

760 A partir de los argumentos vistos anteriormente, podemos establecer la conocida

“condiciónsuficiente”paralaexistenciadeunpuntodeinflexión,como: “Si f cc a

 

0o f cc noexiste,yladerivada

 

a f cc cambiade

 

x

signoalpasarporelvalorx=a,entonces,elpuntodelacurva enx=aesunpuntodeinflexión”.

En los textos, la demostración se realiza comúnmente por “reducciónalabsurdo”,delasiguientemanera:

“Siendo f cc0parax<a,y f cc!0parax>a.Entoncesenx<a la curva es cóncava hacia abajo, y para x>a cóncava hacia arriba.Portantoenx=a,ftieneunpuntodeinflexión,siendo enestepunto fcc a

 

0”.   x f x y a x _{x b} Figura3

Finalmente, asumiremos el criterio mencionado en el resumen el cual sintetiza la proposiciónanterior,éstenospermitiráunusoprácticodelamisma,osea:“Si f cc a

 

0, x=aesunpuntocríticodelasegundaderivada,esteserápuntodeinflexiónsialsustituirlo enlaúltimaderivadaimpar,quenoseanula,elresultadoesdistintodecero: f ccc a

 

z0o

 

a z0

fv _{ o, etc.” El criterio es válido para funciones continuas en}

 

a

f cc ,yaccionade inmediato en expresiones en las que el grado impar es “aislado” como por ejemplo

1

7 

x

y ,y x8 9 10.Noobstante,parapolinomiosqueinvolucrandiversosgradosy otrotipodefuncionestrascendentes,essuficientemostrarquelaterceraderivadanose anula al sustituir el valor crítico, candidato a punto de inflexión, para que este último efectivamente lo sea. La demostración aparece más adelante. Antes veamos algunos ejemplos.

Ejemplo1Verifiquelaexistenciadepuntodeinflexiónenlacurva 5

x y . Solución:Lasderivadassucesivashastalaúltimaderivadaimparnonula,son:

761 6 7x yc , ycc 42x5, yccc 210x4, yiv 840x3, yv 2520x2, yvi 5040x, yvii 5040, 0 viii y ,etc.

Al igualar con cero la segunda derivada obtenemos el punto crítico 42x5 0o x 0. Sustituyendoestevalorenlaúltimaderivadaimparnonula,esdecir yvii

 

0 5040z0, elloaseguraqueenx 0lafuncióntengaunpuntodeinflexión.Sisedesea,estoúltimo puede revisarse dando valores antes y después de x=0 a la segunda derivada, para observar que efectivamente haya cambio de signo, más ello es precisamente lo que se desea evitar con el uso de la tercera derivada. Por ejemplo ycc



0.1



0.00042 y

 

0.1 0.00042 cc

y .

Ejemplo 2 Verifique si la función y x5 6x4 10x3 11x6, cuenta con puntos de inflexión. Solución:Siendolasprimerastresderivadasdelafunción: 11 60 24 5 4  3  2  c x x x y ,ycc 20x3 72x2 60x,yccc 60x2142x60

Igualando con cero la segunda derivada, obtenemos:



20x272x60



0ox 0, 20x2 72x60 0

x 

Usando la fórmula general en la segunda expresión,quedanlosvalorescríticos: 0 x ,x 1.32,x 2.27 Sustituyendoenlaterceraderivadacadaunode estos,queda:

 

0 60z0 ccc y , yccc

 

1.32 22.896z0,

 

2.27 46.83z0 ccc y 

En los tres casos la evaluación en la tercera derivada resulta distinta de cero. Ello nos da

                   P.I P.I P.I 32 . 1 x 27 . 2 x Figura4

762 paraconcluirque:x 0,x 1.32,x 2.27,

son puntos de inflexión de la función, lo cual hace innecesaria su verificación antes y despuésdelosmismos.Lagráficacorrespondienteapareceenlafigura4. Enlahipótesisde f cc x

 

0,lademostracióndelaproposicióneslasiguiente: Demostración:HagamosusodelaseriedeTaylorhastalaterceraderivada,como:



    

 

_2!2

 

_3!3 h x f h x f h x f x f h x f   c  cc  ccc …(1)

En (1) consideremos b xh y a . No obstante que:x 0axb, con 0 !  a b ….(2) Demodoque(1)quedecomo:

     



 



 



! 3 ! 2 3 2 a b a f a b a f a b a f a f b f  c   cc   ccc   Enseguidahagamos:

   

 

 



 



! 3 ! 2 2 a b a f a b a f a f a b a f b f _ccc    cc  c   _ Aplicandoaestaúltimaexpresiónelteoremadelvalormedio,resultaque:

 

 

 

_2!



 

b _3!a



2 a f a b a f a f c fc c  cc   ccc   Paracentreayb.Además:

   

 



 



! 3 ! 2 2 a b a f a b a f a f c fc  c cc   ccc   Aplicandodenuevo,enelmiembroizquierdo,elteoremadelvalormedio,resulta:

 



 

_2!



 

b _3!a



2 a f a b a f a c d f cc  cc   ccc   Paradentrecya,con:c a!0…(3) Puestoquede(2)y(3):b a!0,c a!0yporhipótesispartimosdeque f cc a

 

0, queda:

 



 



! 3 2 a b a f a c d f cc  ccc  …(4)

763 De 4) se desprende quef cc

 

d !0 o f cc

 

d 0, y puesto quec a!0 además de que

0 !  a

b , resulta que el miembro izquierdo de (4) es diferente de cero, consecuentementeparaelmiembroderecho: f ccc a

 

z0,locualsedeseabademostrar. Noobstante,elcriterioesrestringidoafuncionescuyasderivadasimparesnoseanulen másalládelaterceraderivada,encasocontrarioesnecesario,comoseejemplificó,usar laproposicióntalycomoseplantea.  Conclusiones Enlabasedesignificadosplanteadaanteriormente:E₀ oE₁oE₂ o...oE_k o...oE_n, nosesforzamosporconservaraquelloqueChevallard(2004)hallamado,un“principiode simetría” entre los significados ya conocidos: E₁,E₂,...,E_n, y el nuevo conocimiento involucrado, E . La simetría entre los significados contiguos a_k E , en este casok

representadoporelcriteriodelaterceraderivada,comoaqueldeconcavidad,sepreserva porlacoherenciayunificaciónqueadquiereelpropiodiscursoquehemosesbozado.En su conjunto, los elementos E0,E1,E2,...,Ek,...,En, que integran la base, establecen un

discurso que se consolida en reconstrucción del conocimiento matemático, mismo que sirvedefundamentoparaeldiseñodesituacionesdidácticas,consecuentesparaelsalón declase.

En pocas palabras, hemos utilizado por varios años, en la práctica de la enseñanza del punto de inflexión, esta forma expuesta del discurso, unificando así el criterio de la “terceraderivada”conlospropiosargumentosqueseconocendeestesaber.

764

Referenciasbibliográficas

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Granville, W., Smith, P., Longley, W (1963). Elements of the differential calculus and integralcalculus.U.S.A.:GinnandCompany,Boston

ReygnaudͲHadamard (1823). Probléms et dèveloppmens (sur diverses parties des mathématiques).Paris:Bachelier.