Construcciones Fundamentales. Ángulos en la circunferencia, arco capaz. Potencia, eje y centro radical..pdf

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CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTALES.

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA, ARCO CAPAZ.

POTENCIA, EJE Y CENTRO RADICAL

..

1. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES, DEFINICIÓN:

Punto, línea y plano son los elementos geométricos básicos con los que podemos todas Punto, línea y plano son los elementos geométricos básicos con los que podemos todas las figuras geométricas, se denominan propios si pertenecen a un espacio finito e impropios si las figuras geométricas, se denominan propios si pertenecen a un espacio finito e impropios si no

no ..

Los límites de un cuerpo son las superficies, de las superficies las líneas y de las líneas los Los límites de un cuerpo son las superficies, de las superficies las líneas y de las líneas los puntos.

puntos.

Los planos tienen dos dimensiones, una dimensión las líneas y ninguna dimensión los Los planos tienen dos dimensiones, una dimensión las líneas y ninguna dimensión los puntos, que únicamente determinan un lugar.

puntos, que únicamente determinan un lugar.

PUNTO: Queda definido por la intersección de dos líneas, se designa x, +, ., o (A). PUNTO: Queda definido por la intersección de dos líneas, se designa x, +, ., o (A). RECTA:

RECTA:

- Línea recta. Sucesión de puntos sin principio ni final, se designa: - Línea recta. Sucesión de puntos sin principio ni final, se designa:

s

s ..

-

- Se Se denomina sedenomina semirrecta mirrecta cuando tiene cuando tiene un un origen origen concreto concreto en en un un espacio espacio finito finito ( ( A. A. SS .)

.) -

- Se Se denomina denomina segmento segmento cuando cuando está está limitada limitada por por ambos ambos lados. lados. ( ( A A B B ).). - Línea curva: Es una sucesión de puntos que no están en la misma dirección. - Línea curva: Es una sucesión de puntos que no están en la misma dirección.

PLANO: Está formado por infinitas rectas, no tiene límites, se designa con mayúscula y se PLANO: Está formado por infinitas rectas, no tiene límites, se designa con mayúscula y se lo determinan dos rectas que se cortan, un punto y una recta no alineados, tres puntos o dos lo determinan dos rectas que se cortan, un punto y una recta no alineados, tres puntos o dos rectas paralelas.

rectas paralelas.

2. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTALES.

A. PERPENDICULA

A. PERPENDICULA RIDAD.RIDAD.

- DEFINICIÓN: Dos rectas o dos planos son perpendiculares entre sí cuando se - DEFINICIÓN: Dos rectas o dos planos son perpendiculares entre sí cuando se cortan (o cruzan) formando ángulo recto. También se denominan ortogonales o normales. cortan (o cruzan) formando ángulo recto. También se denominan ortogonales o normales.

- SÍMBOLOS:

- SÍMBOLOS: , , L, L, .. - AXIOMAS:

- AXIOMAS:

- Por un punto de una recta pasa una sola perpendicular. - Por un punto de una recta pasa una sola perpendicular.

- Por un punto exterior a una recta solo pasa una perpendicular a dicha recta. - Por un punto exterior a una recta solo pasa una perpendicular a dicha recta.

- TEOREMAS: - TEOREMAS:

- Recta perpendicular a un plano:

- Recta perpendicular a un plano: Una recta perpendicular a un plano lo es a todas las Una recta perpendicular a un plano lo es a todas las

rectas contenidas en dicho plano, pasen o no por la intersección recta-plano o pié de la rectas contenidas en dicho plano, pasen o no por la intersección recta-plano o pié de la perpendicular.

perpendicular. FIG. 1.FIG. 1.

- Teorema de las tres perpendiculares:

- Teorema de las tres perpendiculares: Si dos rectas son perpendiculares entre sí y una de Si dos rectas son perpendiculares entre sí y una de

ellas es paralela a un plano, sus proyecciones ortogonales sobre dicho plano, son también ellas es paralela a un plano, sus proyecciones ortogonales sobre dicho plano, son también ortogonales.

ortogonales. FIG. 2.FIG. 2.

- Perpendicularidad entre planos:

- Perpendicularidad entre planos: Para que dos planos sean perpendiculares entre sí, es Para que dos planos sean perpendiculares entre sí, es

preciso que uno de ellos contenga una recta perpendicular al otro.

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MEDIATRIZ MEDIATRIZ

Mediatriz de un segmento, es el lugar geométrico

Mediatriz de un segmento, es el lugar geométrico11 de los puntos de un plano que de los puntos de un plano que equidistan de los extremos de dicho segmento.

equidistan de los extremos de dicho segmento.

Divide al segmento en dos partes iguales y es perpendicular a éste. Divide al segmento en dos partes iguales y es perpendicular a éste.

Se dibuja trazando por los extremos del segmento dos arcos de radio arbitrario pero mayor Se dibuja trazando por los extremos del segmento dos arcos de radio arbitrario pero mayor que

que la la mitad mitad del del segmento, segmento, unidos unidos los pulos puntos C ntos C y D y D en donde en donde los arcos segmento clos arcos segmento cortan, ortan, sese obtiene la mediatriz

obtiene la mediatriz22.. FIG. 4. FIG. 4. TRAZADO DE

TRAZADO DE PERPENDICULARES:PERPENDICULARES:

1. P

1. Perpendicular a una recta por erpendicular a una recta por un puntun punt o de ella:o de ella:

Con centro en P trazamos un arco de radio arbitrario que corta a la recta en A y B, definido Con centro en P trazamos un arco de radio arbitrario que corta a la recta en A y B, definido el segmento AB trazamos su mediatriz.

el segmento AB trazamos su mediatriz. FIG. 5FIG. 5 2. P

2. Perpendicular a una recta por un punerpendicular a una recta por un pun to exterior:to exterior:

Con centro en P trazamos un arco de radio arbitrario que corte a la recta en A y B, definido Con centro en P trazamos un arco de radio arbitrario que corte a la recta en A y B, definido el segmento AB trazamos su mediatriz.

el segmento AB trazamos su mediatriz. FIG. 6FIG. 6

3. Perpendicular a una semirrecta en su extremo: 3. Perpendicular a una semirrecta en su extremo:

11erer _{método: Basado en el teorema}_{método: Basado en el teorema}

de Pitágoras. En todo triángulo de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Si los catetos cuadrados de los catetos. Si los catetos son de 3 y 4 unidades y la hipotenusa son de 3 y 4 unidades y la hipotenusa de 5, tenemos que 3

de 5, tenemos que 322 + + 4422 = = 5522, luego si, luego si trazamos desde el extremo de la trazamos desde el extremo de la semirrecta un arco de radio 4 cm, y a 3 semirrecta un arco de radio 4 cm, y a 3 cm de dicho extremo, en C otro arco de cm de dicho extremo, en C otro arco de 5 cm, obtenemos el punto A de corte de 5 cm, obtenemos el punto A de corte de ambos arcos que unido con el extremo P de la semirrecta nos proporciona la perpendicular ambos arcos que unido con el extremo P de la semirrecta nos proporciona la perpendicular buscada. Podemos observar que el triángulo ACP es efectivamente rectángulo.

buscada. Podemos observar que el triángulo ACP es efectivamente rectángulo. FIG. 7FIG. 7

2º método: Basado en la construcción del triángulo equilátero

2º método: Basado en la construcción del triángulo equilátero33_{. Con radio arbitrario pero}_{. Con radio arbitrario pero}

fijo, trazamos arcos sucesivos, comenzando por P obtenemos A en r, con centro en A fijo, trazamos arcos sucesivos, comenzando por P obtenemos A en r, con centro en A obtenemos B, desde B, C y desde B y C, D. Uniendo D y P obtenemos la perpendicular obtenemos B, desde B, C y desde B y C, D. Uniendo D y P obtenemos la perpendicular buscada.

buscada. FIG. 8FIG. 8

11_{Lugar geométrico es el conjunto de}_{Lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una determinada condición común.}_{puntos que cumplen una determinada condición común.}

22

Por la construcción realizada, C y D equidistan de A y B luego la recta que definen S, también equidista de A y B, pasa por Por la construcción realizada, C y D equidistan de A y B luego la recta que definen S, también equidista de A y B, pasa por tanto por su punto medio y es perpendicular a R.

tanto por su punto medio y es perpendicular a R.

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33er er método: Basado en el arco capaz método: Basado en el arco capaz44. Desde un punto exterior C cualquiera, trazamos. Desde un punto exterior C cualquiera, trazamos una circunferencia que pase por P, extremo de la semirrecta que corta a r en A, uniendo A y C una circunferencia que pase por P, extremo de la semirrecta que corta a r en A, uniendo A y C obtenemos B en la circunferencia, unimos B y P, perpendicular buscada.

obtenemos B en la circunferencia, unimos B y P, perpendicular buscada. FIG. 9FIG. 9

APLI

APLICACIOCACIONES:NES:

- Las aplicaciones son numerosas, podemos poner como ejemplo: - Las aplicaciones son numerosas, podemos poner como ejemplo: - División de un segmento en dos partes iguales.

- División de un segmento en dos partes iguales.

- Trazado de una circunferencia que pase por dos puntos. - Trazado de una circunferencia que pase por dos puntos.

- Trazado de una circunferencia que pase por tres puntos no alineados. - Trazado de una circunferencia que pase por tres puntos no alineados.

- Distancias mínimas, entre punto y recta, punto y plano, rectas, recta y plano, planos.. - Distancias mínimas, entre punto y recta, punto y plano, rectas, recta y plano, planos.. - Tangentes a la circunferencia (perpendiculares al radio).

- Tangentes a la circunferencia (perpendiculares al radio). - Trazado de ejes radicales.

- Trazado de ejes radicales.

- Medias proporcionales entre segmentos. - Medias proporcionales entre segmentos.

- Construcción de paralelogramos y triángulos rectángulos. - Construcción de paralelogramos y triángulos rectángulos. - Etc... - Etc... B. PARALELISMO. B. PARALELISMO. DEFINICIÓN. DEFINICIÓN.

Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano, no se cortan en un Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano, no se cortan en un espacio finito, o se cortan en el infinito. Permanecen equidistantes.

espacio finito, o se cortan en el infinito. Permanecen equidistantes. Se designan //.

Se designan //.

AXIO AXIO MAS.MAS.

Postulado de Euclides: Por un punto exterior a una recta, sólo puede trazarse una paralela Postulado de Euclides: Por un punto exterior a una recta, sólo puede trazarse una paralela a dicha recta. ( Euclides fue un geómetra del Siglo tercero antes de Cristo.)

a dicha recta. ( Euclides fue un geómetra del Siglo tercero antes de Cristo.) -Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.

-Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí. -Una recta perpendicular a otra, lo es a todas sus paralelas. -Una recta perpendicular a otra, lo es a todas sus paralelas.

TRAZADO. TRAZADO.

1. T

1. Trazarazar unr un a paralea paralela a una recta por la a una recta por un punun pun to exteriorto exterior ..

11er er método: Desde un punto M cualquiera de la recta dada r, trazamos haciendo método: Desde un punto M cualquiera de la recta dada r, trazamos haciendo centro en él, un arco que pase por P y corte a la recta en dos puntos A y B. Transportamos la centro en él, un arco que pase por P y corte a la recta en dos puntos A y B. Transportamos la cuerda BP desde A y obtenemos C en el arco que unido con P nos proporciona la paralela cuerda BP desde A y obtenemos C en el arco que unido con P nos proporciona la paralela pedida

pedida55_..

FIG.10 FIG.10

2º método: Trazamos una perpendicular a R dada que pase por P dado, trazando 2º método: Trazamos una perpendicular a R dada que pase por P dado, trazando otra perpendicular a la anterior por P tenemos la paralela buscada.

otra perpendicular a la anterior por P tenemos la paralela buscada. FIG. 11 FIG. 11 2. Paralela a una recta a una distancia dada.

2. Paralela a una recta a una distancia dada.

Por un punto cualquiera de r trazamos una perpendicular sobre la que llevamos la distancia Por un punto cualquiera de r trazamos una perpendicular sobre la que llevamos la distancia dada obteniendo el punto A por donde trazamos una perpendicular r que será la paralela a la dada obteniendo el punto A por donde trazamos una perpendicular r que será la paralela a la recta dada.

recta dada. FIG.12FIG.12

44

B y A definen un diámetro de la circunferencia, el arco ACB es capaz de 90º, todos los ángulos con su vértice en él y B y A definen un diámetro de la circunferencia, el arco ACB es capaz de 90º, todos los ángulos con su vértice en él y extremos coincidentes con A y

extremos coincidentes con A y B son de 90º, APB cB son de 90º, APB cumple esta condición, luego los umple esta condición, luego los segmentos segmentos PB y PB y PA son PA son perpendiculares perpendiculares entreentre sí.

sí.

55

Siendo iguales los arcos PB y CA dichas cuerdas también lo serán luego la recta CP equidista de A y B, es decir de r. Siendo iguales los arcos PB y CA dichas cuerdas también lo serán luego la recta CP equidista de A y B, es decir de r.

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APLI

APLICACIOCACIONES.NES.

- División de un segmento en un número cualquiera de partes iguales. - División de un segmento en un número cualquiera de partes iguales.

- División de un segmento en un número cualquiera de partes proporcionales. - División de un segmento en un número cualquiera de partes proporcionales. - Trazado de escalas gráficas.

- Trazado de escalas gráficas. - Paralelogramos. - Paralelogramos. - Traslación de figuras. - Traslación de figuras. - Etc.. - Etc.. C. ÁNGULOS: C. ÁNGULOS: DEFINICIÓN. DEFINICIÓN.

Si sobre un plano se consideran dos semirrectas de origen común, el plano queda dividido Si sobre un plano se consideran dos semirrectas de origen común, el plano queda dividido en dos regiones denominadas ángulos. Ángulo es por tanto la parte del plano comprendida en dos regiones denominadas ángulos. Ángulo es por tanto la parte del plano comprendida entre dos semirrectas de origen común.

entre dos semirrectas de origen común.

Los lados del ángulo son las dos semirrectas, el vértice, el origen común de ambas. Los lados del ángulo son las dos semirrectas, el vértice, el origen común de ambas. Se designan de tres formas:

Se designan de tres formas:

- Por sus lados y vértice, coronados por un sombrerete, en forma de acento circunflejo - Por sus lados y vértice, coronados por un sombrerete, en forma de acento circunflejo AÔB.

AÔB.

- Por su vértice, con el sombrerete ô. - Por su vértice, con el sombrerete ô. - Por letras griegas

- Por letras griegas ,, ,, .. FIG. 13FIG. 13

UNIDADES. UNIDADES.

Los ángulos se miden por los arcos que abarcan. Los ángulos se miden por los arcos que abarcan.

Para establecer la unidad de medida, denominada grado, se divide un cuarto de Para establecer la unidad de medida, denominada grado, se divide un cuarto de circunferencia en un número determinado de partes iguales:

circunferencia en un número determinado de partes iguales:

1º. Sistema Sexagesimal. 1º. Sistema Sexagesimal.

Si dividimos este cuarto de circunferencia en 90 partes. Si dividimos este cuarto de circunferencia en 90 partes.

Es el sistema más usual. La circunferencia completa tiene 360º. Es el sistema más usual. La circunferencia completa tiene 360º.

Un grado se divide a su vez en 60 minutos (60’), y estos en 60 segundos (60‘’) por lo que Un grado se divide a su vez en 60 minutos (60’), y estos en 60 segundos (60‘’) por lo que un grado tiene 3600’’.

un grado tiene 3600’’.

2º. Sistema Centesimal. 2º. Sistema Centesimal.

Si dividimos el cuarto de circunferencia en 100 partes. Si dividimos el cuarto de circunferencia en 100 partes. Un grado (1

Un grado (1gg) se divide a su vez, en este sistema, en 100 minutos (100) se divide a su vez, en este sistema, en 100 minutos (100mm) y estos en 100) y estos en 100 segundos (100

segundos (100ss) por lo que un grado tiene 10000) por lo que un grado tiene 10000ss.. La circunferencia tiene 400

La circunferencia tiene 400gg_{y el ángulo recto 100}_{y el ángulo recto 100}gg_..

TIPOS DE ÁNGULOS: TIPOS DE ÁNGULOS:

Los ángulos pueden ser: Los ángulos pueden ser:

1. Llanos

1. Llanos_{: Si sus lados son dos semirrectas opuestas. Miden 180º.}_{: Si sus lados son dos semirrectas opuestas. Miden 180º.} FIG. 14.FIG. 14.

2. Convexos

2. Convexos_{: Si son menores que un llano, se dividen en:}_{: Si son menores que un llano, se dividen en:}

2a. Recto: Formado por dos rectas perpendiculares, mide 90º. 2a. Recto: Formado por dos rectas perpendiculares, mide 90º. 2b. Agudo: Si es menor que un ángulo recto.

2b. Agudo: Si es menor que un ángulo recto.

2c. Obtuso: Si es menor que un llano y mayor que un ángulo recto.

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3. Cóncavos

3. Cóncavos: Si son mayores que un ángulo llano.: Si son mayores que un ángulo llano. FIG. 16.FIG. 16. RELACIONES ENTRE ÁNGULOS.

RELACIONES ENTRE ÁNGULOS.

Según la relación existente entre los ángulos, se pueden establecer los siguientes tipos de Según la relación existente entre los ángulos, se pueden establecer los siguientes tipos de ángulos:

ángulos:

A.

A. En En fufu ncnc ióió n n de de la la susu ma ma de de ángáng ulul osos ..

A1.

A1. ComplementariosComplementarios: Dos ángulos: Dos ángulos son complementarios entre sí cuando son complementarios entre sí cuando entre los dos suman 90º o forman un entre los dos suman 90º o forman un ángulo recto.

ángulo recto. A2.

A2. SuplementariosSuplementarios: Dos ángulos son: Dos ángulos son suplementarios entre sí cuando entre los suplementarios entre sí cuando entre los dos suman 180º o forman un ángulo dos suman 180º o forman un ángulo llano.

llano. FIG. 17 FIG. 17

B. En función de la posición de sus B. En función de la posición de sus lados.

lados.

B1.

B1. ConsecutivosConsecutivos: Dos ángulos son: Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado común. consecutivos cuando tienen un lado común.

B2.

B2. Ady Adyaceacententess: Dos ángulos son: Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y sus adyacentes cuando son consecutivos y sus lados no comunes forman un ángulo llano. lados no comunes forman un ángulo llano. Son adyacentes todos los suplementarios. Son adyacentes todos los suplementarios.

FIG. 18 FIG. 18

C. Ángulos opuestos por

C. Ángulos opuestos por el vértice:el vértice:

Formados por dos rectas al cortarse, son iguales dos a dos.

Formados por dos rectas al cortarse, son iguales dos a dos. FIG. 19.FIG. 19. CONSTRUCCIONES.

CONSTRUCCIONES. 1. C

1. Construcción onstrucción de un ángulo igde un ángulo ig ual a otro:ual a otro:

Trazamos un arco de radio Trazamos un arco de radio arbitrario y centro en el vértice O, arbitrario y centro en el vértice O,

obtenemos A y B. Colocamos donde queramos transportar el ángulo una de las dos obtenemos A y B. Colocamos donde queramos transportar el ángulo una de las dos semirrectas, por ejemplo la OB y trazamos un arco de centro O y radio OB, sobre el arco y semirrectas, por ejemplo la OB y trazamos un arco de centro O y radio OB, sobre el arco y desde B trasladamos la distancia AB obteniendo A que uniremos con O.

desde B trasladamos la distancia AB obteniendo A que uniremos con O. FIG.20FIG.20 2. Suma de ángulos:

2. Suma de ángulos:

Dados dos ángulos, trazamos arcos de igual radio en ambos y construimos uno sobre otro Dados dos ángulos, trazamos arcos de igual radio en ambos y construimos uno sobre otro según hemos visto.

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3. Diferencia de ángulos. FIG. 22 3. Diferencia de ángulos. FIG. 22

BISECTRIZ. BISECTRIZ.

Bisectriz de un ángulo. Es la recta que divide al ángulo en dos mitades o el lugar Bisectriz de un ángulo. Es la recta que divide al ángulo en dos mitades o el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo. Construcciones:

geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo. Construcciones:

1

1erermétodo:método:

Trazamos un arco con centro en el vértice del ángulo y obtenemos A y B, calculando la Trazamos un arco con centro en el vértice del ángulo y obtenemos A y B, calculando la mediatriz del segmento AB obtenemos la bisectriz buscada.

mediatriz del segmento AB obtenemos la bisectriz buscada. FIG. 23FIG. 23.. 2º método:

2º método:

Trazamos dos arcos de diferente radio y centro en el vértice del ángulo dado Trazamos dos arcos de diferente radio y centro en el vértice del ángulo dado (concéntricos), obtenemos AB y CD. Unimos A con D y B con C, cortándose AD y BC en P, (concéntricos), obtenemos AB y CD. Unimos A con D y B con C, cortándose AD y BC en P, unimos P con O y obtenemos la bisectriz buscada.

unimos P con O y obtenemos la bisectriz buscada. FIG. 24.FIG. 24.

P equidista de los lados del ángulo pues los segmentos AD y BC se cortan formando dos P equidista de los lados del ángulo pues los segmentos AD y BC se cortan formando dos triángulos iguales (APC y BPD)

triángulos iguales (APC y BPD)

3º

3º. Tra. Trazazado de la bisdo de la bis ectriz de un ángulo ectriz de un ángulo de vértice desconocde vértice desconoc ido:ido:

Trazamos paralelas r y s a los lados del ángulo hacia adentro y a igual distancia, la bisectriz Trazamos paralelas r y s a los lados del ángulo hacia adentro y a igual distancia, la bisectriz de r y s de vértice conocido es la misma que la del ángulo dado.

de r y s de vértice conocido es la misma que la del ángulo dado. FIG. 25FIG. 25..

4º. Bisectriz de un ángulo mixtilíneo. 4º. Bisectriz de un ángulo mixtilíneo.

Un ángulo mixtilíneo es el formado entre un arco y una semirrecta. Un ángulo mixtilíneo es el formado entre un arco y una semirrecta.

Para calcular su bisectriz, trazamos primero varios arcos concéntricos y a igual distancia del Para calcular su bisectriz, trazamos primero varios arcos concéntricos y a igual distancia del arco dado trazando posteriormente rectas paralelas a la semirrecta del ángulo con distancias arco dado trazando posteriormente rectas paralelas a la semirrecta del ángulo con distancias entre ellas iguales a las tomadas para los arcos. Se localizan los puntos de intersección de los entre ellas iguales a las tomadas para los arcos. Se localizan los puntos de intersección de los arcos concéntricos y rectas paralelas correspondientes (el primer arco concéntrico con la arcos concéntricos y rectas paralelas correspondientes (el primer arco concéntrico con la primera recta paralela a la semirrecta y así sucesivamente), obteniendo la bisectriz que es una primera recta paralela a la semirrecta y así sucesivamente), obteniendo la bisectriz que es una curva equidistante al arco y semirrecta originales simultáneamente.

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DIVISIÓN DE ÁNGULOS. DIVISIÓN DE ÁNGULOS.

1. D

1. Divisivis ión del ángulo ión del ángulo en un número par de partes iguen un número par de partes igu aleales.s.

Se trazan sucesivas bisectrices. Se trazan sucesivas bisectrices.

2. División del ángulo recto en tres partes iguales. 2. División del ángulo recto en tres partes iguales.

Con centro en el vértice O del ángulo dado, se traza un arco de radio arbitrario obteniendo Con centro en el vértice O del ángulo dado, se traza un arco de radio arbitrario obteniendo A y B. Con cen

A y B. Con centro en A y B traztro en A y B trazamos dos arcos amos dos arcos de igual radio, obteniendde igual radio, obteniend o o sobre sobre el primero losel primero los puntos C y D que unidos con O dividen en tres partes al ángulo

puntos C y D que unidos con O dividen en tres partes al ángulo66_..

FIG. 27 FIG. 27 3. División de un ángulo cualquiera en tres partes iguales.

3. División de un ángulo cualquiera en tres partes iguales.

Este problema no tiene

solución geométrica exacta,

podemos resolverlo de un modo podemos resolverlo de un modo aproximado de la siguiente forma. aproximado de la siguiente forma. Por el vértice B del ángulo dado Por el vértice B del ángulo dado trazamos un arco de radio r trazamos un arco de radio r arbitrario que determina A y C en arbitrario que determina A y C en los lados del ángulo y N en la los lados del ángulo y N en la

prolongación del lado BA.

Situamos una recta pasando por Situamos una recta pasando por C que corte a D en el arco y a E en la recta BA de tal forma que la distancia DE sea igual al C que corte a D en el arco y a E en la recta BA de tal forma que la distancia DE sea igual al radio del arco trazado r. La paralela a la recta CE, trazada por B, define en el arco el punto F y radio del arco trazado r. La paralela a la recta CE, trazada por B, define en el arco el punto F y este la tercera parte aproximada del ángulo, trazamos la bisectriz de CBF y quedará dividido este la tercera parte aproximada del ángulo, trazamos la bisectriz de CBF y quedará dividido en tres partes.

en tres partes. FIG. 28FIG. 28 4.

4. División dDivisión d e un áe un ángulo ngulo en un número cualquiera en un número cualquiera de pade partes iguales:rtes iguales:

Para dividir el ángulo Para dividir el ángulo en un número de partes en un número de partes iguales n, con centro en iguales n, con centro en el vértice trazamos un el vértice trazamos un arco de radio arbitrario y arco de radio arbitrario y dividimos su rectificación dividimos su rectificación

(segmento recto de

longitud igual a la del longitud igual a la del arco dado) en el mismo arco dado) en el mismo número de partes. número de partes. Dado el ángulo de Dado el ángulo de vértice O, trazamos el vértice O, trazamos el arco y obtenemos A y B, arco y obtenemos A y B, lo rectificamos llevando lo rectificamos llevando sobre la semirrecta sobre la semirrecta opuesta a BO y a partir opuesta a BO y a partir 66

AOC y BOD son triángulos equiláteros y por tanto sus ángulos de 60º. Restados al triángulo BOA nos quedan los ángulos AOC y BOD son triángulos equiláteros y por tanto sus ángulos de 60º. Restados al triángulo BOA nos quedan los ángulos BOC de 30º y DOA de 30º también, el restante, COD es por tanto de 30º también.

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de W, punto de corte de la prolongación del arco con dicha semirrecta, _ partes del radio del de W, punto de corte de la prolongación del arco con dicha semirrecta, _ partes del radio del arco, obteniendo C. Unimos C con A y prolongamos hasta cortar en D a la perpendicular arco, obteniendo C. Unimos C con A y prolongamos hasta cortar en D a la perpendicular trazada por B al segmento OB. El segmento BD es la rectificación del arco

trazada por B al segmento OB. El segmento BD es la rectificación del arco77_..

Dividimos

Dividimos BD BD en n en n partes iguales (ej: partes iguales (ej: 5) 5) que que unimos con unimos con C obteniendC obteniendo o las divisiones las divisiones deldel arco y por tanto del ángulo.

arco y por tanto del ángulo. FIG. 29FIG. 29.. RECTIFICACIÓN DEL ARCO.

RECTIFICACIÓN DEL ARCO.

Para

Para poder poder dividir cualquier dividir cualquier ángulo ángulo en en un número un número cualquiera de parcualquiera de partes iguales, tes iguales, es precisoes preciso saber rectificar arcos, se emplean diversos métodos en función del ángulo del arco dado:

saber rectificar arcos, se emplean diversos métodos en función del ángulo del arco dado:

1. Para ángulos iguales o menores de 90º. 1. Para ángulos iguales o menores de 90º.

Es el método visto en la FIG. 29. Es el método visto en la FIG. 29.

2. Rectificación de la circunferencia completa: 2. Rectificación de la circunferencia completa:

Sabemos que la longitud de la circunferencia de radio r es L = 2

Sabemos que la longitud de la circunferencia de radio r es L = 2r,r,  = 3.14 y 2r = = 3.14 y 2r =

diámetro, luego L = 3.14D = 3D + 0.14D

diámetro, luego L = 3.14D = 3D + 0.14D == 3D + D/7 3D + D/7 pues 0.14 = 1/7, para rectificarla pues 0.14 = 1/7, para rectificarla

colocaremos sobre una recta tres veces + 1/7 su diámetro.

colocaremos sobre una recta tres veces + 1/7 su diámetro. FIG. 30.FIG. 30.

3. Rectificación de ángulos mayores de 90º y menores de 180º: 3. Rectificación de ángulos mayores de 90º y menores de 180º:

Dividimos en dos partes el ángulo y rectificamos una de ellas que multiplicada por dos será Dividimos en dos partes el ángulo y rectificamos una de ellas que multiplicada por dos será la rectificación del arco dado.

la rectificación del arco dado. FIG. 31. FIG. 31.

Para dividir un ángulo Para dividir un ángulo



 dividimos primero la dividimos primero la

mitad rectificada en la mitad rectificada en la mitad de las partes mitad de las partes exigidas (su arco

exigidas (su arco /2) y/2) y

trasladamos sobre el arco trasladamos sobre el arco dado dicha división. Si el dado dicha división. Si el número de partes es número de partes es impar, dividimos en ese impar, dividimos en ese número de partes la número de partes la mitad rectificada y su mitad rectificada y su arco y las vamos arco y las vamos trasladando al arco dado trasladando al arco dado de dos en dos. de dos en dos. 4. Rectificación de 4. Rectificación de ángulos mayores de ángulos mayores de 180º: 180º: Dado el ángulo Dado el ángulo obtuso

obtuso , calculamos la, calculamos la

rectificación del ángulo rectificación del ángulo 

diferencia entre

diferencia entre  y el de la circunferencia completa (360º), la rectificación de y el de la circunferencia completa (360º), la rectificación de  es la diferencia es la diferencia

de las dos rectificaciones calculadas.

(9)

5. Rectificación inversa. 5. Rectificación inversa.

La rectificación inversa consiste en situar sobre una circunferencia definida, la longitud de La rectificación inversa consiste en situar sobre una circunferencia definida, la longitud de un segmento dado y comprobar que ángulo queda así abarcado.

un segmento dado y comprobar que ángulo queda así abarcado.

Dado el segmento AB lo rectificaremos sobre la circunferencia dada de radio r. Dado el segmento AB lo rectificaremos sobre la circunferencia dada de radio r.

Para ello trazaremos una semirrecta normal al segmento dado por uno de sus extremos Para ello trazaremos una semirrecta normal al segmento dado por uno de sus extremos llevando sobre esta y a partir de su origen la magnitud del radio dado. Obtenemos de este llevando sobre esta y a partir de su origen la magnitud del radio dado. Obtenemos de este modo el punto O, centro de la circunferencia dada que trazamos.

modo el punto O, centro de la circunferencia dada que trazamos.

La circunferencia corta a la semirrecta en el punto E desde donde trasladamos sobre la La circunferencia corta a la semirrecta en el punto E desde donde trasladamos sobre la mencionada semirrecta _ partes del radio de la circunferencia y obtenemos el punto C.

mencionada semirrecta _ partes del radio de la circunferencia y obtenemos el punto C.

Unimos C con el extremo libre del segmento y obtenemos como consecuencia de la Unimos C con el extremo libre del segmento y obtenemos como consecuencia de la intersección de este segmento con la circunferencia el punto W.

intersección de este segmento con la circunferencia el punto W.

Si el punto Y está situado dentro del cuadrante de la circunferencia más cercano al Si el punto Y está situado dentro del cuadrante de la circunferencia más cercano al segmento AB dado, el arco AY es la rectificación inversa buscada pero si corta fuera de este segmento AB dado, el arco AY es la rectificación inversa buscada pero si corta fuera de este cuadrante, como sucede en la ilustración, el método empleado no es válido por lo que cuadrante, como sucede en la ilustración, el método empleado no es válido por lo que tendremos que realizar la misma operación desde la mitad del segmento AB. Obtendremos de tendremos que realizar la misma operación desde la mitad del segmento AB. Obtendremos de este modo otro punto de intersección, en el ejemplo el punto W, quedando definida la este modo otro punto de intersección, en el ejemplo el punto W, quedando definida la rectificación inversa por el arco AY, doble del AW obtenido y que abarca al ángulo AOY.

rectificación inversa por el arco AY, doble del AW obtenido y que abarca al ángulo AOY.

Si, por lo dicho, el punto W no resultase válido, dividiríamos el segmento AB en más partes, Si, por lo dicho, el punto W no resultase válido, dividiríamos el segmento AB en más partes, multiplicando por ese mismo número de partes la magnitud del arco que obtengamos. Fig. 33 multiplicando por ese mismo número de partes la magnitud del arco que obtengamos. Fig. 33

3. ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA. ARCO CAPAZ.

Se pueden sistematizar varios tipos de ángulos en base a la posición relativa que éstos Se pueden sistematizar varios tipos de ángulos en base a la posición relativa que éstos adopten respecto de una circunferencia:

adopten respecto de una circunferencia:

TIPOS DE ÁNGULOS DE L

(10)

CENTRAL. CENTRAL.

Este ángulo tiene su vértice en el centro de la circunferencia, su medida es la del arco de Este ángulo tiene su vértice en el centro de la circunferencia, su medida es la del arco de circunferencia que sus lados abarcan. AOB.

circunferencia que sus lados abarcan. AOB. FIG. 34.FIG. 34. PERIFÉRICOS.

PERIFÉRICOS.

Son los que tienen su vértice en la circunferencia, se pueden distinguir: Son los que tienen su vértice en la circunferencia, se pueden distinguir:

Inscrito: Inscrito:

Vértice A en la circunferencia y ambos lados secantes a la misma, BAC. Su valor es igual a Vértice A en la circunferencia y ambos lados secantes a la misma, BAC. Su valor es igual a la mitad del central comprendido entre sus lados BOC. (BAC = BOC/2).

la mitad del central comprendido entre sus lados BOC. (BAC = BOC/2). FIG. 35.FIG. 35. Seminscrito:

Seminscrito:

Vértice A en

Vértice A en la circunferencia, un la circunferencia, un lado secante lado secante y el y el otro totro tangente, angente, BAC. Su BAC. Su valor es igual valor es igual aa la mitad del arco de circunferencia comprendido entre sus lados

la mitad del arco de circunferencia comprendido entre sus lados88 ( central AOC). (BAC = ( central AOC). (BAC = AOC/2).

AOC/2). FIG. 36.FIG. 36. Exinscrito: Exinscrito:

Vértice A en la circunferencia y formado por una cuerda y la prolongación de la otra, BAC. Vértice A en la circunferencia y formado por una cuerda y la prolongación de la otra, BAC. (Ambos lados secantes, uno interior o inscrito y el otro exterior). Su valor es 180º menos el (Ambos lados secantes, uno interior o inscrito y el otro exterior). Su valor es 180º menos el valor del inscrito CAD. (BAC = 180º-CAD).

valor del inscrito CAD. (BAC = 180º-CAD). FIG. 37.FIG. 37. INTERIOR.

INTERIOR.

Vértice A en el interior de la circunferencia y lados secantes BAC. Su valor es la semisuma Vértice A en el interior de la circunferencia y lados secantes BAC. Su valor es la semisuma de los ángulos centrales comprendidos entre sus lados, BOC y DAE. ( BAC = BOC/ 2 + de los ángulos centrales comprendidos entre sus lados, BOC y DAE. ( BAC = BOC/ 2 + DOE/2).

DOE/2). FIG. 38.FIG. 38. EXTERIOR. EXTERIOR.

Vértice A fuera de la circunferencia, lados secantes, CAE. Su valor es la semidiferencia de Vértice A fuera de la circunferencia, lados secantes, CAE. Su valor es la semidiferencia de los centrales comprendidos entre sus lados, BOD y ECO. (CAE = BOD/2-ECO/2).

los centrales comprendidos entre sus lados, BOD y ECO. (CAE = BOD/2-ECO/2). FIG. 39.FIG. 39.

APLI

APLICACIOCACIONES.NES.

La aplicación más extendida de los ángulos de la circunferencia es el arco capaz: La aplicación más extendida de los ángulos de la circunferencia es el arco capaz:

ARCO CAPAZ. ARCO CAPAZ.

Arco capaz de un ángulo dado respecto de un segmento conocido, es el lugar geométrico Arco capaz de un ángulo dado respecto de un segmento conocido, es el lugar geométrico de las posiciones del vértice del ángulo para que en cualquier momento quede el segmento de las posiciones del vértice del ángulo para que en cualquier momento quede el segmento sustendido entre sus lados.

sustendido entre sus lados.

Por ejemplo, dibujemos el arco capaz de 60º para un segmento dado AB. Por ejemplo, dibujemos el arco capaz de 60º para un segmento dado AB.

Dibujamos el segmento dado y en un extremo, extremo A por ejemplo, dibujamos una Dibujamos el segmento dado y en un extremo, extremo A por ejemplo, dibujamos una semirrecta que forme con el segmento el ángulo dado (60º en el ejemplo).

semirrecta que forme con el segmento el ángulo dado (60º en el ejemplo).

88

Existe cierta indeterminación, se resolverá del siguiente modo: Existe cierta indeterminación, se resolverá del siguiente modo:

Entenderemos como CENTRAL a dividir por 2, el que sea menor de 180º cuando trabajemos con el seminscrito menor de 90º. Entenderemos como CENTRAL a dividir por 2, el que sea menor de 180º cuando trabajemos con el seminscrito menor de 90º.

(11)

El arco capaz contiene siempre a los extremos del segmento dado y por tanto su centro El arco capaz contiene siempre a los extremos del segmento dado y por tanto su centro debe estar sobre la mediatriz de AB, trazamos la mediatriz del segmento y una perpendicular a debe estar sobre la mediatriz de AB, trazamos la mediatriz del segmento y una perpendicular a la semirrecta trazada. El centro del arco está, como comprobaremos, donde ambas se corten. la semirrecta trazada. El centro del arco está, como comprobaremos, donde ambas se corten.

Los ángulos dibujados con su vértice en el arco capaz y cuyos lados pasen por A y B, Los ángulos dibujados con su vértice en el arco capaz y cuyos lados pasen por A y B, medirán siempre 60º.

medirán siempre 60º. FIG. 40FIG. 40..

JUSTIFICACIÓN. JUSTIFICACIÓN.

El arco capaz surge de la relación entre un ángulo seminscrito<180º, un ángulo inscrito y el El arco capaz surge de la relación entre un ángulo seminscrito<180º, un ángulo inscrito y el central de dicho arco.

central de dicho arco.

El ángulo trazado en el extremo del segmento AB (de 60º en el ejemplo) es un ángulo El ángulo trazado en el extremo del segmento AB (de 60º en el ejemplo) es un ángulo seminscrito (BAE) tangente uno de sus lados a la circunferencia en A y el otro secante. Su seminscrito (BAE) tangente uno de sus lados a la circunferencia en A y el otro secante. Su valor es la mitad del central comprendido entre sus lados AOB (120º) como vimos. El lado valor es la mitad del central comprendido entre sus lados AOB (120º) como vimos. El lado secante es el segmento dado AB en el ejemplo.

secante es el segmento dado AB en el ejemplo.

Por otra parte, un ángulo inscrito ACB (con su vértice en la circunferencia y de lados Por otra parte, un ángulo inscrito ACB (con su vértice en la circunferencia y de lados secantes), mide la mitad que el central comprendido entre sus lados, de modo que todos los secantes), mide la mitad que el central comprendido entre sus lados, de modo que todos los ángulos de vértice en el arco capaz y cuyos lados contengan a los puntos A y B (extremos del ángulos de vértice en el arco capaz y cuyos lados contengan a los puntos A y B (extremos del central que nos ocupa y del segmento dado), miden la mitad de dicho central (120/2 = 60º) y central que nos ocupa y del segmento dado), miden la mitad de dicho central (120/2 = 60º) y por tanto lo mismo que el seminscrito dado.

por tanto lo mismo que el seminscrito dado.

El centro del arco capaz queda localizado pues sabemos que debe estar en la mediatriz El centro del arco capaz queda localizado pues sabemos que debe estar en la mediatriz del segmento para que contenga a los puntos A y B a un tiempo por un lado, y sobre la recta del segmento para que contenga a los puntos A y B a un tiempo por un lado, y sobre la recta perpendicular a la semirrecta AE, tangente a la circunferencia en el punto A y por tanto es perpendicular a la semirrecta AE, tangente a la circunferencia en el punto A y por tanto es perpendicular al radio de la misma en ese punto. Donde éste radio y la mediatriz se corten perpendicular al radio de la misma en ese punto. Donde éste radio y la mediatriz se corten estará el centro del arco capaz.

estará el centro del arco capaz. FIG.41FIG.41..

4. POTEN

4. POTENCIA. EJCIA. EJE Y CENTRO RADICAL.E Y CENTRO RADICAL.

POTENCIA. POTENCIA.

Potencia de un punto P respecto de una circunferencia dada: Las rectas tangentes o Potencia de un punto P respecto de una circunferencia dada: Las rectas tangentes o secantes trazadas a una circunferencia desde un punto P exterior, quedan interceptadas por secantes trazadas a una circunferencia desde un punto P exterior, quedan interceptadas por la circunferencia según segmentos en los que siempre se verifica que:

la circunferencia según segmentos en los que siempre se verifica que: PA x PB = PC x PD = PT x PT = PT

PA x PB = PC x PD = PT x PT = PT22_{= cte.}_{= cte.}

A este producto constante se le denomina POTENCIA del punto P respecto a la A este producto constante se le denomina POTENCIA del punto P respecto a la circunferencia. Cuando el punto es interior la potencia es negativa.

circunferencia. Cuando el punto es interior la potencia es negativa. FIG. 42.FIG. 42. EJE RADICAL.

EJE RADICAL.

Se llama eje radical al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia Se llama eje radical al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto a dos circunferencias. (Cada punto tendrá diferente potencia que el contiguo pero respecto a dos circunferencias. (Cada punto tendrá diferente potencia que el contiguo pero igual respecto a las dos circunferencias)

igual respecto a las dos circunferencias)

El eje radical es siempre perpendicular al segmento que une los centros de las El eje radical es siempre perpendicular al segmento que une los centros de las circunferencias.

circunferencias.

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS SECANTES. EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS SECANTES.

Los puntos comunes X e Y de las dos circunferencias secantes tienen igual potencia Los puntos comunes X e Y de las dos circunferencias secantes tienen igual potencia respecto a las mismas, por tratarse de puntos comunes, luego pertenecen al eje radical. respecto a las mismas, por tratarse de puntos comunes, luego pertenecen al eje radical. Uniendo X e Y obtenemos dicho eje, eje que es efectivamente perpendicular al segmento Uniendo X e Y obtenemos dicho eje, eje que es efectivamente perpendicular al segmento O

O11OO22.. FIG. 43FIG. 43..

La potencia de X e Y respecto de las circunferencias es 0. Podemos comprobar como La potencia de X e Y respecto de las circunferencias es 0. Podemos comprobar como desde un punto P del eje radical se cumple:

desde un punto P del eje radical se cumple:

PA x PB = PC x PD. PA x PB = PC x PD.

(12)

EJE RADICAL

EJE RADICAL DE DOS DE DOS CIRCUNFERCIRCUNFERENCIAS TANGENTES.ENCIAS TANGENTES.

La tangente común es el eje radical de las dos circunferencias, como vemos, perpendicular La tangente común es el eje radical de las dos circunferencias, como vemos, perpendicular a

a OO11OO22.. FIG. 44.FIG. 44.

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES. EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.

Para calcularlo trazamos una Para calcularlo trazamos una circunferencia auxiliar O

circunferencia auxiliar O33 que corte a que corte a

ambas. Los ejes radicales de cada una de ambas. Los ejes radicales de cada una de las circunferencias dadas con la auxiliar se las circunferencias dadas con la auxiliar se cortan en X, el cual pertenece al eje radical cortan en X, el cual pertenece al eje radical de las dos circunferencias dadas O de las dos circunferencias dadas O1,1,OO22

desde donde trazamos una perpendicular al desde donde trazamos una perpendicular al segmento O

segmento O11OO22.. FIG. 45.FIG. 45.

CENTRO RADICAL DE TRES

CIRCU

CIRCUNFERENFERENCIAS NCIAS DADAS.DADAS.

Se llama centro radical de tres Se llama centro radical de tres circunferencias dadas al punto de circunferencias dadas al punto de intersección de sus ejes radicales. Basta intersección de sus ejes radicales. Basta para obtenerlo trazar dos de los ejes para obtenerlo trazar dos de los ejes radicales de las tres circunferencias que se radicales de las tres circunferencias que se obtienen según los métodos descritos. obtienen según los métodos descritos. FIG.FIG. 4

4 66

5. OPERA

(13)

índice índice 1. EL

1. ELEMEEMENTOS NTOS GEOMGEOMÉTRÉTRICOS ICOS FUNFUNDAMEDAMENTANTALESLES, DEF, DEFINIINICIÓCIÓN:.N:... ... ... ... ... ... ... .. 11

2. 2. CONSCONSTRUTRUCCICCIONES ONES GEOGEOMÉTMÉTRICRICAS AS FUNFUNDAMDAMENTENTALEALES...S... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 11

A. PERPENDICULARIDAD. ... 1

MEDIATRIZ... MEDIATRIZ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . 2. 2 TRA TRAZAZADO DE PEDO DE PERPRPENENDIDICUCULARLARESES:...:... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2... 2

1. Perpendicular a una recta por un punto de ella:...2

2. Perpendicular a una recta por un punto exterior:...2

3. Perpendicular a una semirrecta en su extremo:...2

APLICACIONES:.. APLICACIONES:... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . 3. 3 B. PARALELISMO. ... 3 B. PARALELISMO. ... 3 DEFINICIÓN. DEFINICIÓN... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . 3. 3 AXIOMAS.. AXIOMAS.. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . 3. 3 TR TRAZAZADADO...O... ... 33 1. Trazar una paralela a una recta por un punto exterior...3

1. Trazar una paralela a una recta por un punto exterior...3

2. 2. ParalParalela ela a a una una recta recta a a una una distadistancia ncia dadadada...3...3

APLICACIONES.. APLICACIONES.. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 4.. 4 C. ÁNGULOS:... 4 C. ÁNGULOS:... 4 DEFINICIÓN. DEFINICIÓN... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . 4. 4 1º. Sistema Sexagesimal...4 1º. Sistema Sexagesimal...4 2º. Sistema Centesimal...4 2º. Sistema Centesimal...4 TIP TIPOS OS DE DE ÁNÁNGUGULOLOS:S: ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. 44 RELACIONES RELACIONES ENTRE ENTRE ÁNGULOS...ÁNGULOS... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . 5. 5 A. A. En En funcfunción ión de de la la suma suma de de ánguángulos.los. ...5..5

B. B. En En funcfunción ión de de la la posiposición ción de de sus sus ladolados...s...5...5

C. C. ÁngÁngulos ulos opuopuestoestos s por por el el vértvérticeice:...:...5....5

CONSTRUCCIONES... 5

1. Construcción de un ángulo igual a otro:...5

2. Suma de ángulos:...5

3. 3. DifeDiferencrencia ia de de ánguángulos. los. FIG. FIG. 2222 ...6...6

BISECTRI BISECTRIZ...Z... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 6 .. 6

11erermémé toto dodo :: ...6...6

2º 2º mémétotododo:: ...6...6

3º. Trazado de la bisectriz de un ángulo de vértice desconocido:...6

4º. 4º. BiseBisectrictriz z de de un un ángángulo ulo mixmixtilítilíneoneo...6.6 DIVISIÓN DE ÁNGULOS... DIVISIÓN DE ÁNGULOS... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . 7 . 7 1. División del ángulo en un número par de partes iguales...7

1. División del ángulo en un número par de partes iguales...7

2. División del ángulo recto en tres partes iguales...7

3. División de un ángulo cualquiera en tres partes iguales...7

...7

4. Divis 4. División de un ángulo ión de un ángulo en un número cuaen un número cualquilquiera de parteera de partes iguales iguales:s: ...7...7

RECTIFICACIÓN RECTIFICACIÓN DEL ARCO.DEL ARCO. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 8 .. 8

1. 1. Para Para ánguángulos los iguaiguales les o o menomenores res de de 90º.90º...8..8

2. Rectificación de la circunferencia completa:...8

3. Rectificación de ángulos mayores de 90º y menores de 180º:...8

4. Rectificación de ángulos mayores de 180º:...8

5. 5. RecRectifitificaccación ión inveinversa.rsa. ...9...9

3. 3. ÁNGÁNGULOULOS S DE DE LA LA CIRCIRCUNCUNFERFERENCENCIA. IA. ARCARCO O CAPCAPAZ....AZ.... ... ... ... ... ... ... .. 99

TIP TIPOS DE ÁNGOS DE ÁNGULULOS DE LA OS DE LA CICIRCRCUNUNFERFERENENCICIA...A... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 99

CEN CENTRATRAL...L...1...100 PE PERIRIFÉFÉRIRICOCOS.S. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....10....10

Inscrito:...10 Inscrito:...10 Seminscrito:...10 Seminscrito:...10 Exinscrito:...10 Exinscrito:...10 INTERIOR. INTERIOR. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 1010 EXTERIOR. EXTERIOR. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .10.10 APLICACIONES.. APLICACIONES.. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .10.10

(14)

ARCO

ARCO CAPAZ...CAPAZ... ... ... ... ... 11 00

4. PO

4. POTETENCNCIAIA. EJE Y C. EJE Y CENENTRTRO RADO RADICICALAL.. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....11....11

POTENCIA...11

EJE RADICAL...11

EJE RADICAL EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERDE DOS CIRCUNFER ENCIAS SECANTES.ENCIAS SECANTES. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 1111 EJE RADICAL EJE RADICAL DE DOS CIRDE DOS CIR CUNFERENCIAS TANGENTECUNFERENCIAS TANGENTE S...S... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... 1212 EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS EX EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS EX TERIORES.TERIORES. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .12.12 CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS DADAS...12

CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS DADAS...12

6. OP 6. OPERAERACIOCIONES CNES CON SEON SEGMEGMENTONTOS...S... ... ... ... ... ... ... ... ... ..12..12