Ecuaciones diferenciales aplicadas al área de
la Ingeniería Civil
Fundación Universitaria del Área Andina
Ecuaciones Diferenciales
Valledupar-Cesar
2014-1
RESUMEN
Sabemos que desde el inicio de la historia del hombre, ha existido la ingeniería
como conjunto de conocimientos y técnicas aplicadas al desarrollo de estructuras,
ésta ha dependido en lo absoluto de las matemáticas, en la búsqueda de la
perfección e implementación de dichos conocimientos para su desarrollo con éxito,
así que surge la pregunta ¿podríamos practicar la ingeniería civil sin la aplicación
de las matemáticas avanzadas? Sería imposible de responder puesto que las
matemáticas desde la antigüedad han sido fuente fundamental en el sostenimiento
de las estructuras, así como en la actualidad (y a futuro), tenemos fantásticas
obras que el hombre ha realizado en áreas de la naturaleza donde se pensó
imposible habitar. Partiendo de esta idea, disciplinas como la física han logrado
éxitos importantes desarrollando modelos matemáticos basados en ecuaciones
diferenciales. Actualmente, las matemáticas aportan herramientas y modelos
matemáticos de ecuaciones diferenciales como apoyo a estudios específicos para
la aplicación en obras civiles. En esta revisión se tomarán en cuenta nociones
básicas sobre cálculo diferencial e integral de una variable, teoría básica sobre
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer grado y métodos de solución por:
separación de variables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones exactas y factores
integrantes. Esto con la finalidad de incluir modelos matemáticos en este artículo.
Palabras Clave. Ecuación diferencial ordinaria de primer grado, separación de
ABSTRACT
We know that from the beginning of human history , there has been engineering as
a body of knowledge and techniques applied to the development of structures , it
has depended at all of mathematics, in the pursuit of perfection and
implementation of such knowledge for successful development , so the question
arises: could practice civil engineering without the application of advanced
mathematics ? It would be impossible to answer since mathematics since antiquity
have been vital source in sustaining structures , as well as at present ( and future) ,
we have fantastic works that man has made in nature areas where it was thought
impossible to live . With this in mind, disciplines like physics have achieved
significant success developing mathematical models based on differential
equations. Currently , mathematics and mathematical models provide tools to
support differential specific studies for application in civil engineering equations. In
this review we will consider basic notions of differential and integral calculus of one
variable, basic theory of ordinary differential equations of the first degree and
methods of solution by separation of variables, homogeneous equations , exact
equations and integrating factors . This was done to include mathematical models
in this article.
Keywords. Ordinary differential equation of the first degree, separation of
variables.
INTRODUCCIÓN
El lenguaje matemático es utilizado, en muchos casos, para describir y explicar las leyes del universo; los modelos matemáticos empleados permiten comprender los cambios que implican innumerables fenómenos físicos. Dichos cambios sólo pueden explicarse por medio de ecuaciones que relacionan cantidades que cambian, estas se denominan ecuaciones diferenciales; con lo cual: ¿qué es una ecuación diferencial?
“Una ecuación que relaciona una función desconocida y una ó más de sus derivadas”, con esto decimos que una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación en la cual aparecen derivadas o diferenciales de una variable, que denominamos dependiente, la cual es función de otra única variable, llamada independiente. Con lo cual, encontrar la solución de una ecuación diferencial implica encontrar una función que reemplazada en la ecuación original, junto con sus derivadas permita llegar a una identidad.
ANTECEDENTES
En la última década del siglo xvii, los hermanos James y Johan Bernoulli introdujeron términos como el de “integrar” una ecuación diferencial, así como el proceso de separación (separatio indeterminatarum) de una ecuación diferencial. Johan Bernoulli i (1692) encontró otro método, utilizando en una serie de problemas, la multiplicación por un “factor integrante”, sobre todo para resolver ecuaciones en los cuales el método anterior no se podía aplicar, método también usado por su sobrino Daniel Bernoulli (1720). Sin embargo, los métodos eran incompletos y la teoría general de las ecuaciones diferenciales a comienzos del siglo xviii no podía ser propuesta. Es a Euler (1770) a quien le correspondió la primera sistematización de los trabajos anteriores en su obra: Institutiones Calculi Integralis, Ediderunt Friendrich Engel et Ludwing Schlesinger, la cual contiene una buena parte (y mucho más) del material que encontraríamos en un libro de texto actual, como el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden y su correspondiente clasificación en: lineales, separables, homogéneas y exactas; las de segundo orden y su generalización a las de orden superior; asimismo, encontramos el método de series de potencias para resolver ecuaciones como
Este trabajo marca el fin de la etapa algebraica-algorítmica en la historia de las ecuaciones diferenciales ordinarias, y comienza la segunda etapa hasta finales del siglo xix la cual es llamada “fundamentos”, en atención a que en ésta, las principales cuestiones de fundamentación recibirán tratamiento y solución. Los logros más importantes de esta etapa fueron los de D´Alambert (1776), quien encontró que la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea es igual a la suma de una cierta solución particular y la solución general de la correspondiente solución homogénea, y Lagrange (1774), quien demostró que la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n con coeficientes constantes, es de la forma:
Donde son un conjunto de soluciones linealmente independiente y son constantes arbitrarias. Esto es conocido como el “Principio de superposición”. Este mismo autor, en 1774, descubrió en su forma general el método de “Variación de parámetros”.
MODELOS MATEMÁTICOS
Como dijimos en los comienzos de este artículo las ecuaciones diferenciales son excelentes herramientas matemáticas para describir fenómenos naturales, es aquí donde aparece el concepto de modelo matemático y lo definimos como una lista de variables que pretenden traducir una situación dada, junto con una o más ecuaciones que relacionan dichas variables que son conocidas o se suponen válidas. El análisis matemático consiste en la solución de dichas ecuaciones y en la aplicación de los resultados para interpretar el interrogante inicial; con lo cual el proceso del modelado implica:
1- Formular el problema en términos matemáticos
2- Analizar o bien, si es posible, resolver el problema matemático resultante 3- Interpretar el resultado en el contexto en el que fue planteado.
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y
SIMPLES DE ORDEN SUPERIOR
-El cable colgante (utilizado en cables de puentes)
Considere un cable o una cuerda que cuelga de dos puntos A y B (según la
figura), no necesariamente al mismo nivel. Suponiendo que el cable es flexible de
modo que debido a su carga (la cual puede ser debida a su propio peso, o a
fuerzas externas actuantes, o a una combinación de éstas) toma la forma como en
la figura. Siendo C la posición más baja del cable, escogiendo los ejes x e y como
en la figura, donde el eje y pasa por C.
y A P C B (x,y) x
T P Ø (x,y) Q H C W (x)
Considere aquella parte del cable entre el punto más bajo y cualquier punto P en el cable con coordenadas (x, y). Esta parte estará en equilibrio debido a la tensión T en P (según la figura siguiente), la fuerza horizontal H en C, y la carga vertical total en el segmento CP del cable denotada por W(x), la cual asumimos que actúa en algún punto Q, no necesariamente en el centro del arco CP. Para el equilibrio, la suma algebraica de las fuerzas en la dirección x (u horizontal) debe ser igual a cero, y la suma algebraica de fuerzas en el eje y (o vertical) debe ser igual a cero. Otra forma de indicar lo mismo es que la suma de fuerzas hacia la derecha debe ser igual a la suma de las fuerzas hacia la izquierda, y la suma de fuerzas hacia arriba debe ser igual a la suma de fuerzas hacia abajo.
Descomponemos la tensión T en dos componentes (líneas punteadas en la figura), la componente horizontal con magnitud TcosØ, y la componente vertical con magnitud
TsenØ.
Las fuerzas en la dirección x son H hacia la izquierda y TcosØ hacia la derecha, mientras que las fuerzas en la dirección y son W hacia abajo y TsenØ hacia arriba. De donde, haciendo
equilibrio de acciones o fuerzas en las direcciones de los ejes tenemos:
TsenØ = W, TcosØ = H
Dividiendo, y usando el hecho de que la tangente = dy/dx = pendiente en P, tenemos
En esta ecuación, H es una constante, puesto que es la tensión en el punto más bajo, pero W puede depender de x. Derivando esta última ecuación con respecto a x, tenemos:
Ahora dW/dx representa el incremento en W por unidad de incremento en x; esto es, la carga por unidad de distancia en la dirección horizontal. La ecuación diferencial anterior es fundamental.
Ejemplo aclaratorio:
Un cable flexible de poco peso (despreciable) soporta un puente uniforme.
Determine la forma del cable. (Este es el problema de determinar la forma del cable en un puente colgante, el cual es de gran uso en la construcción de puentes).
y
Formulación matemática:
La ecuaciónd
2
y
=
1 dW
se cumple aquí y nos resta determinar dW/dx, la carga por
dx
2H dx
unidad de incremento en la dirección horizontal. En este caso dW/dx es una constante,
llamada el peso por unidad de longitud del puente. Llamando a esta constante W, tenemos
que
d
y
2=W
dx
2H
Denotando por b la distancia del punto más bajo del cable desde el puente, tenemos y = b
donde x = 0 ,
=0donde x = 0, la segunda condición debido a que el punto donde x = 0
es un punto mínimo.
Integrando dos veces la ecuación
y haciendo uso de las condiciones dadas,
encontramos que
, siendo esta la ecuación de una parábola.
LA DEFLEXIÓN DE VIGAS.
Se entiende por deflexión aquella deformación que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas.
Para determinar la deflexión se aplican las leyes que relacionan las fuerzas y
desplazamientos utilizando dos tipos de métodos de cálculo: los geométricos y los de energía.
; Métodos geométricos: aplicación directa de ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y leyes constitutivas del material (elástico-lineal). ; Métodos de energía: en estos métodos las ecuaciones de equilibrio o de
compatibilidad se reemplazan por un principio de energía y se combinan con las leyes constitutivas del material.
Considere una viga horizontal AB según la figura. Se supone que la viga es uniforme en su sección transversal y de material homogéneo. El eje de simetría se encuentra en el plano medio indica por la zona sombreada.
Cuando está sometida a fuerzas, las cuales suponemos que están en un plano que contiene el eje de simetría, la viga, debido a su elasticidad, puede distorsionarse en su forma como se muestra en la siguiente figura.
Estas fuerzas pueden ser debidas al peso de la viga, a cargas aplicadas externamente, o a una combinación de ambas. El eje de simetría distorsionado resultante, situado en el plano medio distorsionado de la segunda figura, se llama la curva elástica. La determinación de esta curva es de importancia en la teoría de elasticidad.
Hay muchas maneras de apoyar vigas.
Vigas en voladizo: una viga en la cual el extremo A está rígidamente fijo, mientras que el extremo B está libre, para moverse.
Viga simplemente apoyada: la viga está apoyada en los dos extremos A y B.
Hay más formas y más condiciones para la deflexión que serán aplicadas a cada tipo de problema.
Así como hay diferentes maneras de apoyar vigas, también hay diferentes maneras de aplicar fuerzas de carga externa.
Carga uniformemente distribuida sobre toda la viga.
Carga variable sobre toda la viga o sólo en una parte de ella. Carga puntual o concentrada.
Considere la viga horizontal OB de la figura siguiente. Colocando el eje de simetría (línea punteada) en el eje X tomado como positivo a la derecha y con origen en 0. Escoja el eje Y como positivo hacia abajo.
Debido a la acción de las fuerzas externas F1 y F2 (y si es apreciable el peso de la viga) el eje de simetría se distorsiona en la curva elástica que se muestra punteada en la figura de abajo donde hemos tomado la viga como fija en 0. El desplazamiento y de la curva elástica desde el eje X se llama la deflexión o flecha de la viga en la posición x.
Así, si determinamos la ecuación de la curva elástica, se conocerá la deflexión de la viga. Para poder formular la ecuación debemos saber:
Sea M(x) el momento flector en una sección transversal vertical de la viga en x. Este momento flector se define como la suma algebraica de los momentos de esas fuerzas que actúan sobre un lado de x, los momentos se toman sobre una línea horizontal en la sección transversal en x. Al calcular los momentos adoptaremos la convención de que fuerzas hacia arriba producen momentos negativos y fuerzas hacia abajo producen momentos positivos, asumiendo por supuesto que el eje y se toma hacia abajo como se mencionó antes. No importa cuál lado de x se tome puesto que los momentos flectores calculados desde cualquier lado son iguales. El momento flector en x está simplemente relacionado con el radio de curvatura de la curva elástica en x, siendo la relación:
Donde E es el módulo de elasticidad de Young y depende del material usado en el diseño de la viga, e I es el momento de inercia de la sección transversal de la viga en x con respecto a una línea horizontal que pasa por el centro de gravedad de esta sección transversal. El producto EI se llama la rigidez y se considerará como una constante. Si asumimos que la viga se dobla sólo levemente, lo cual es válido para muchos propósitos prácticos, la pendiente y’ de la curva elástica es tan pequeña que su cuadrado es despreciable comparado con 1, y la ecuación se puede remplazar por la buena aproximación:
Ejemplo aclaratorio:
Una viga horizontal, simplemente apoyada, de longitud L se dobla bajo su propio peso, el cual es w por unidad de longitud. Encuentre la ecuación de su curva elástica.
Formulación matemática:
En la figura se muestra la curva elástica de la viga (línea punteada) relativa a un conjunto de ejes coordenados con origen en 0 y direcciones positivas indicadas; puesto
que la viga está simplemente soportada en 0 y en B, cada uno de estos soportes lleva la mitad del peso de la viga, o sea wL/2.
El momento flector M(x) es la suma algebraica de los momentos de estas fuerzas actuando a un lado del punto P.
Escogiendo el lado derecho de P, actuarían dos fuerzas:
1. La fuerza hacia abajo w (L - x), a una distancia (L -x)/2 de P, produciendo un momento positivo.
2. La fuerza hacia arriba wL/2, a una distancia L-x de P, produciendo un momento negativo.
En este caso el momento flector es:
Con el valor de M(x), la ecuación fundamental es:
Dos condiciones son necesarias para determinar y. Estas son, y = 0 en x = 0, y en x = L, puesto que la viga no tiene deformación en los extremos o apoyos.
Solución:
Integrando dos veces se obtiene Puesto que y = 0 cuando x = 0, tenemos c2 = 0. De donde Puesto que y = 0 cuando x = L, y tenemos, finalmente:
Como la ecuación requerida de la curva elástica. Es de interés práctico usar la solución Final para hallar la máxima deflexión. De la simetría o por el cálculo, el máximo ocurre en x = L/2, de donde la flecha máxima será:
CONCLUSIONES
La revisión de los modelos matemáticos existentes nos da la pauta para llevar a
cabo la elaboración de nuevos modelos de ecuaciones diferenciales ordinarias
que apoyen la resolución de problemas específicos en el área de la ingeniería
civil en el momento de los cálculos de resistencia, deflexión entre otros
fenómenos físicos de la naturaleza. Con su utilidad nos podemos ser más
concretos y con aciertos oportunos en cumplir las necesidades de la sociedad,
de las cuales nos beneficiamos como ingenieros y como ciudadanos. Finalmente
con la herramienta matemática y los conocimientos en la ciencia podremos
combinarlos en función de ciencias en beneficio de la comunidad.
BIBLIOGRAFÍA
-Nápoles-Valdés JE, Negrón-Segura C. La historia de las ecuaciones diferenciales ordinarias contadas por su libro de texto, Octubre 2002; 3(2)
-Las Ecuaciones Diferenciales y sus aplicaciones en la ingeniería. http://campus.usal.es/~modelosmatematicos/ModelosMatematicos/index_files/Trabajo %20Ec%20Diferenciales%20en%20Ingenieria.pdf
