Taller 2 Intervalo de Confianza y Tama

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INTERVALOS DE CONFIANZA: Taller

GUÍA PARA TRABAJO AUTÓNOMO PROCESUAL

Crear intervalos de confianza, aplicando los diferentes casos analizados en clase tato

para media, varianza y proporciones.

Estimar tamaños de muestra para medias y proporciones

PROBLEMAS

1. Ingenieros químicos de la Universidad de Murcia (España) realizaron una serie de experimentos

para determinar cuál es la membrana más efectiva para usarse en un muestreador pasivo (Environmental Science & Technology, vol. 27, 1993). La efectividad de un muestreador pasivo se midió en términos de la tasa de muestreo, registrada en centímetros cúbicos por minuto. En un experimento se colocaron 6 muestreadores pasivos con sus caras paralelas al flujo de aire, el cual tuvo una velocidad de 90 centímetros por segundo. Después de seis horas se determinó la tasa de muestreo de cada muestreador. Con base en los resultados, se calculó un intervalo de confianza de 95% de (49.66, 51.48) para la tasa de muestreo media.

a. ¿Cuál es el coeficiente de confianza para este intervalo?

b. Haga una interpretación teórica del coeficiente de confianza del inciso a c. Haga una interpretación práctica del intervalo de confianza.

d. ¿Qué supuestos, si acaso, son necesarios para que el intervalo produzca inferencias

válidas?

2. En Environmental Science & Technology (Diciembre de 1985) se informó de una evaluación de

la química y el reciclaje de metales traza en un lago ácido de los Adirondack. Se tomaron 24 muestras de agua del Lago Darts, Nueva York, y se analizaron para determinar la concentración de particulados tanto de plomo como de aluminio.

a. Las mediciones de concentración de plomo tuvieron una media de 9.9 nmol/l. Calcule un

intervalo de confianza de 99% para la verdadera concentración media de plomo en las muestras de agua tomadas del Lago Darts.

b. Las mediciones de concentración de aluminio tuvieron una media de 6.7 nmol/l y una

desviación estándar de 10.8nmol/l. Calcule un intervalo de confianza de 99% para la verdadera concentración media de aluminio en las muestras de agua tomadas del Lago Darts.

c. ¿Qué supuestos son necesarios para que los intervalos de los incisos a y b sean válidos? 3. Algunos epidemiólogos han sugerido que el riesgo de enfermedad cardíaca de las coronarias se

puede reducir incrementando el consumo de pescado. Un estudio, iniciado en 1960, vigiló la dieta y la salud de una muestra aleatorio de holandeses de mediana edad (New England Journal of Medicine, mayo de 1985). Los hombres se dividieron en grupos según los gramos de pescado que consumen al día. Veinte años después se registró el nivel de colesterol en la dieta (uno de los factores de riesgo para enfermedad de las coronarias) de cada uno. Los resultados de dos grupos de sujetos, el grupo con “ningún consumo de pescado” (0 gramos al día) y el grupo de “alto consumo de pescado” (más de 45 gramos al día), se resumen en la tabla. (El colesterol en la dieta se mide en miligramos por 1000 calorías.)

Ningún consumo de pescado 0 gramos/día

Alto consumo de pescado 45 gramos/día OBJETIVO ESPECÍFICO

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Tamaño de la muestra 159 79

Media 146 158

Desviación estándar 66 75

Fuente: Kromhout, D., Bosschieter, E.B. Y Coulander, C.L., “The inverse relationship between fish consumption and

20-year mortality from coronary heart disease”, New England Journal of Medicine, 9 de mayo de 1985, vol. 312, núm. 19, págs. 1205-1209. Reimpreso con autorización.

4. A fin de investigar el posible vínculo entre el contenido de fluoruro del agua potable y el cáncer,

Yiamouyiannis y Burk (1977) registraron las tasas de deceso por cáncer (número de fallecimientos por 100000 habitantes) desde 1952 hasta 1969 en 20 ciudades estadounidenses seleccionadas: Las 10 ciudades más grandes con agua fluorurada y las 10 más grandes sin agua fluorada para 1969. Martiz y Jarret (Applied Statistics, febrero de 1983) utilizaron los datos recabados por Yiamouyiannis y Burk para calcular, para cada ciudad, la tasa anual de incremento en la tasa de decesos por cáncer durante este periodo 18 años para cada uno de cuatro grupos de edades: menores de 25, 25-44, 45-64 y 65 o mayores. Los datos para el grupo de edades de 45 a 64 años se reproducen en la siguiente tabla, seguidos de un análisis de los datos realizados con MINITAB.

Fluorurada

Ciudad Incremento anual en

la tasa de decesos por cáncer Chicago 1.0640 Filadelfia 1.4118 Baltimore 2.1115 Cleveland 1.9401 Washington 3.8772 Milwaukee -0.4561 San Luis 4.8359 San Francisco 1.8875 Pittsburgh 4.4964 Buffalo 1.4045

Fuente: Martiz, J. S. y Jarrett, R. G., “The use of statistics to examine the association between fluoride in

drinking water and cancer death rates”, Applied Statistics, vol.32, núm 2, 1983, págs. 97-101.

a. Establezca un intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre los incrementos anuales

medios en las tasas de decesos por cáncer en ciudades con agua fluorurada y no fluorurada.

b. Interprete el intervalo obtenido en el inciso a

c. ¿Qué supuestos son necesarios para que sea válido el procedimiento de estimación del intervalo

y cualquier inferencias que se deriven de él?¿Cree usted que se satisfacen esos supuestos?

No Fluorurada

Ciudad Incremento anual en

la tasa de decesos por cáncer Los Ángeles 0.8875 Boston 1.7358 Nueva Orleans 1.0165 Seattle 0.4923 Cincinnati 4.0155 Atlanta -1.1744 Kansas City 2.8132 Columbus 1.7451 Newark -0.5676 Portland 2.4471

TWOSAMPLE T FOR fluorat VS nonflrat

N MEAN STDEV SE MEAN

flourat 10 2.26 1.66 0.52

nonflrat 10 1.34 1.56 0.49

95 PCT CI FOR MU fluorat - MU nonflrat (-0.60, 2.43)

TTEST MU fluorat = MU nonflrat (VS NE) : T= 1.27 P= 0.22 DF= 18 POOLED STDEV= 1.61

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5. La aplicación de plaguicidas a cultivos extensivos puede producir inadvertidamente

contaminación del aire en un área amplia. En Environmental Science & Technology (octubre de 1993) se informó de la deposición de residuos aéreos del insecticida diazinon empleado en huertos latentes del Valle de San Joaquín, California. Se tomaron y analizaron muestras de aire en un huerto durante 11 días del periodo de rociado más intenso. En la siguiente tabla están asentados los niveles de residuos de diazinon (en ) durante el día y durante la noche. Los investigadores quieren saber si los niveles medios de residuos de diazinon difieren entre el día y la noche.

Residuos de Diazinon

Fecha Día Noche

Ene. 11 5.4 24.3 Ene. 12 2.7 16.5 Ene. 13 34.2 47.2 Ene. 14 19.9 12.4 Ene. 15 2.4 24.0 Ene. 16 7.0 21.6 Ene. 17 6.1 104.3 Ene. 18 7.7 96.9 Ene. 19 18.4 105.3 Ene. 20 27.1 78.7 Ene. 21 16.9 44.6

Fuente: Selber, J. N. et al., “Air and fog deposition residues for organophosphate insecticides use don

dormant orchards in the San Joaquin Valley, California”, Environmental Science & Technology, vol. 27, núm. 10, octubre de 1993, pág. 2240 (tabla IV)

a. Analice los datos empleando un intervalo de confianza de 90%

b. ¿Qué supuestos son necesarios para que sea válido el procedimiento de estimación de

intervalos del inciso a?

c. Utilice el intervalo del inciso a para contestar la pregunta de los investigadores.

6. Algunos investigadores médicos creen que la exposición al polvo de brácteas de algodón induce

enfermedades respiratorias en trabajadores de campo susceptibles a este irritante. Se realizó un experimento con el fin de determinar el efecto de un extracto de brácteas de algodón verde (GBE, Green bract extract) secadas con aire sobre las células de trabajadores de una procesadora que no están expuesto al polvo (Environmental Research, febrero de 1986). Muestras de sangre tomadas de 8 trabajadores se incubaron con diferentes concentraciones de GBE. Después de un periodo corto se midió el nivel de AMP cíclico (una medida de la actividad celular expresada en picomoles por millón de células) en cada muestra de sangre. En la tabla se reproducen los datos para las dos concentraciones de GBE, 0 mg/ml (solución salina amortiguadora, control) y 0.2 mg/ml. [Observe que se tomó una muestra de sangre de cada trabajador; una alícuota se expuso a la disolución salina amortiguadora y la otra al GBE.]

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Concentración de GBE, mg/ml Trabajador 0 0.2 A 8.8 4.4 B 13.0 5.7 C 9.2 4.4 D 6.5 4.1 F 9.1 4.4 H 17.0 7.9

Fuente: Butcher, B. T., Reed, M. A. y O’Neil, C. E., “Biochemical and immunologic characterization of

cotton bract extract and its effect on in vitro cyclic AMP production”, Environmental Research, vol. 39, núm. 1, febrero de 1986, pág. 119.

a. Establezca un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de media entre los niveles de

AMP cíclico en las muestras de sangre expuestas a las dos concentraciones de GBE.

b. Con base en el intervalo obtenido en el inciso a. ¿Hay indicios de que la exposición al GBE

bloquee la actividad celular?

7. La encuesta del “Agujero Negro”, patrocinada por el Consejo de Investigación sobre Empleo

Profesional, informa cuáles son los puestos más difíciles de llenar en las listas de los reclutadores. En la encuesta más reciente, 95 de 285 reclutadores consideraron los puestos de ingeniería como los “más difíciles de llenar” (Industrial Engieering, agosto de 1990=. Estime el verdadero porcentaje de reclutadores que consideran que los puestos más difíciles de llenar son los de ingeniería. Utilice un intervalo de confianza de 99%.

8. Los astronautas a menudo informan de episodios de desorientación al moverse dentro de

vehículos espaciales en ausencia de gravedad. A fin de compensar esto. Los miembros de la tripulación se apoyan en gran medida en la información visual para establecer una orientación vertical arriba-abajo. Se realizó un estudio empírico para evaluar las posibilidades de utilizar la brillantez del color como indicio para la orientación corporal (Human Factors, diciembre de 1988). Noventa estudiantes universitarios, reclinados boca arriba en la oscuridad, se sometieron a desorientación colocándolos en una plataforma rotatoria bajo un disco que giraba lentamente y ocupada todo su campo de visión. La mitad del disco estaba pintada con un color que la otra. Se pidió a los estudiantes que dijeran “alto” cuando creyeran estar boca arriba, y se registró el nivel de brillantez del disco. De los 90 estudiantes, 58 escogieron el nivel de color más brillante.

a. Utilice esta información para estimar la verdadera proporción de sujetos que utilizan el nivel

de color brillante como indicio de que están boca arriba. Construya un intervalo de confianza de 95% para la proporción verdadera.

b. ¿Puede usted inferir del resultado del inciso a que la mayoría de los sujetos seleccionara los

niveles de color brillantes en lugar de los más oscuros como indicio de que están boca arriba? Explique.

9. Investigadores en genética del Centro Médico de la Duke University han identificado el factor de

transcripción E2F1 como un componente importante del control de proliferación de las células (Nature, 23 de febrero de 1993). Los investigadores indujeron la síntesis de DNA en dos lotes de células privadas de suero. Cada una de los células de un lote se microineyctó con el gen E2F1 mientras que las células del segundo lote (los controles) no se expusieron a E2F1. Después de 30 horas se determinó el número de células en cada lote que exhibieron un crecimiento alterado. Los resultados del experimento se resumen en la tabla.

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Control Células tratadas con E2F1

Número total de células 158 92

Número de células con crecimiento alterado 15 41

Fuente: Johnson, D. G. et al., “Expression of transcription factor E2F1 induces quiescent to enter S

phase”, Nature, vol. 365, núm.6444, 23 de septiembre de 1993, pág. 351 (Tabla 1)

a. Compare los porcentajes de células que exhiben crecimiento alterado en los dos lotes con un

intervalo de confianza de 90%

b. Utilice el intervalo del inciso a para hacer una inferencia de la capacidad del factor de

transcripción E2F1 para inducir el crecimiento en las células.

10. En el Journal of Fish Biology (agosto de 1990) se informó de un estudio comparativo de las

frecuencia de parásitos (solitarias) hallados en especies de peces del Mediterráneo y del Atlántico. En el Mar Mediterráneo se capturaron y disectaron 588 robadillos, encontrándose el parasito en 211 de ellos. En el océano atlántico se capturaron y disectaron 123 robadillos, encontrándose infección en 26 de ellos. Compara las proporciones de robadillos infectados en los dos puntos de captura empleando un intervalo de confianza de 90%. Interprete los resultados.

11. Se utiliza el término jitter o perturbación oscilatoria para describir las variaciones en el tiempo de

conducción de un sistema de energía modular de agua pulsada. Es indispensable que el jitter de transferencia sea bajo para que una tecnología de línea de agua tenga éxito. Una investigación del jitter de transferencia en el interruptor de abertura de plasma de un sistema prototipo (Journal of Applied Physics, septiembre de 1993) produjo las siguientes estadísticas descriptivas para el tiempo de conducción en pruebas.

(El tiempo de conducción se define como el lapso necesario para que la corriente flujo abajo sea igual a 10% de la corriente flujo arriba.)

a. Establezca un intervalo de confianza de 95% para la verdadera desviación estándar de los

tiempos de conducción del sistema prototipo.

b. Se considera que un sistema tiene jitter de transferencia bajo si la verdadera desviación estándar

del tiempo de conducción es menor que 7 nanosegundos. ¿El sistema satisface este requisito? Explique

12. Se efectuó un estudio interlaboratorios para determinar la variación en el nivel medido de

bifenidos policlorados (PCB) en sedimentos de ambientes contaminados (Analytical Chemistry, noviembre de 1985). Se recolectaron muestras de sedimentos de la Bahía de New Bedford (Massachusetts) que se sabía estaban contaminados con PCB, y se prepararon soluciones alícuotas. En una parte del estudio, la concentración de PCV en cada alícuota de una muestra aleatoria de cinco alícuotas fue medida por un solo laboratorio empleando el procedimiento Webb-McCall. El análisis arrojó una concentración media de PCB de 56mg/kg y una desviación estándar de 0.45mg/kg. Establezca un intervalo de confianza de 90% para la varianza de los niveles de PCB en sedimentos contaminados determinados por el procedimiento Webb-McCall.

13. Ciertos científicos informaron en Environmental Science & Technology (octubre de 1993) de un

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incineradores de desechos sólidos, vehículos de motor, fábricas de acero y producción de metales. Se tomaron muestras de aire durante varios días en dos lugares de Suecia: Rörvik (11 días) y Gothenburg (3días). Aquí se presenta los niveles de PCDD (medidos en ) detectados en cada espécimen. Utilice la estimación de intervalo para comparar la variación en los niveles de PCDD en los dos lugares. Haga una inferencia a partir del análisis.

Rörvik Gothenberg 2.38 0.5 3.03 0.61 1.44 0.9 0.47 0.5 0.22 0.26 0.31 0.46 1.09 2.14

Fuente: Tysklind, M. et al., “Atmospheric and transformation of polychlorinated dibenzo-p-dioxins and

dibenzofurans”, Environmental Science and Technology, vol. 27, núm. 10, octubre de 1993, pág. 2193 (Tabla III)

14. Algunas plantas de electricidad están situadas cerca de ríos u océanos con objeto de que el

agua disponible pueda utilizarse para enfriar los condensadores. Suponga que, como parte de un estudio sobre impacto ambiental, una compañía de electricidad desea estimar la diferencia en la temperatura media del agua entre la descarga de su planta y las aguas de la plataforma continental. ¿Cuántas determinaciones de muestra deberán realizarse en cada sitio para estimar la verdadera diferencia entre las medias con una exactitud de 2ºC y una confianza de 95%? Suponga que el intervalo de la lectura es de unos 4ºC en cada sitio y se toma el mismo número de lecturas en cada sitio.

15. Según un informe del cirujano general de Estados Unidos, los ingenieros eléctricos tienen la tasa

de uso de tabaco más baja de entre todos los trabajadores encuestados (IEEE Spectrum, abril de 1986). Sólo 16% de los ingenieros eléctricos de sexo masculino de la muestra fumaban cigarrillos con regularidad. ¿Cuántos ingenieros eléctricos de sexo masculino es necesario muestrear para estimar la proporción de todos los ingenieros eléctricos de sexo masculino que fuman con regularidad con una exactitud de 3% respecto a su valor verdadero y una confianza de 95%?

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