EL INGRESO PER CÁPITA DE LOS MEXICANOS

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EL INGRESO PER CÁPITA DE LOS MEXICANOS

Ana María Islas Cortes

Instituto Politécnico Nacional, ESIT

amislas@ipn.mx

Yolanda Montoya Vargas

Instituto Politécnico Nacional, ESIT

yolanda_mvarg@hotmail.com

Gabriel Guillén Buendia

Instituto Politécnico Nacional, ESIME-Azcapotzalco

gguillen@ipn.mx

Resumen

En el presente estudio se ajustaron dos modelos logísticos, el primero de base exponencial y, el segundo de base cuadrática, a los datos del ingreso per cápita de los mexicanos durante el periodo de 1845 a 2015 y a la dinámica de crecimiento poblacional de 1810 a 2015 respectivamente. La determinación numérica de ambos modelos se realizó a través de su correspondiente transformación lineal y cuadrática, conduciendo a valores de correlación y chi cuadrada significativos al 95% de confianza estadística.

Palabras clave:Ingreso per cápita, crecimiento de población, modelo logístico.

El análisis de regresión es una técnica estadística para modelar la relación entre variables. Son numerosas las aplicaciones de la regresión, y las hay en cualquier campo, ingeniería, ciencias físicas y químicas, economía, administración, ciencias biológicas y de la vida y en ciencias sociales (Montgomery, 2002). En la figura 1 se ilustran los datos del peso (lb) de personas del sexo masculino con la misma edad y su correspondiente tensión arterial (mmHg).

Figura 1.- Gráfica del peso de personas (lb) del sexo masculino con la misma edad y su tensión arterial (mmHg). Peso personas (lb) Pr e s n s a n g u ín e a (m m H g ) 140 160 180 200 220 240 120 130 140 150 160 170

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En la figura 2 aparece el tiempo de entrega (min) por parte de una persona de un cierto número de productos.

Figura 2.- Gráfica del tiempo de entrega (min) por parte de una persona de un cierto número de productos.

En la figura 3 se muestra la relación entre el porcentaje de pulpa de madera (%) de un producto y la resistencia a la tensión (psi).

Figura 3.- Gráfica del porcentaje de pulpa de madera y la resistencia a la tensión (psi).

En todos los casos anteriores es posible ajustar una curva que nos indique la tendencia de dicha relación.

En el presente estudio, se relacionó una variable independiente y una respuesta mediante la expresión logística [Larson, 2014]:

 

1          y y 1 y k dt dy

Al resolverla usando fracciones parciales, y reduciendo conduce a:

 

2 t k 1e C 1 y y  

Una modificación del modelo anterior, es:

 

3 0 1 2 2t at a a e 1 y y     

Datos econométricos de la República Mexicana

En el presente documento se ajustó el modelo logístico de base exponencial (2), a los datos del ingreso per cápita de los mexicanos, en dólares americanos, durante el periodo de 1845 a 2015, ilustrados en la figura siguiente:

Figura 4.- Datos del ingreso per cápita (dólares americanos) de los mexicanos durante el periodo de 1845 a 2015.

Como se observa en la figura anterior, los datos evolucionan en forma sigmoidal, es decir, una primera fase aproximadamente constante, seguido de fase de crecimiento notable en un pequeño intervalo de tiempo y, finalmente una asíntota al final del mismo. Por lo anterior, el modelo logístico de base exponencial representó una buena opción.

La tabla 1 contiene los datos numéricos codificados de la figura que da pie a éste documento, es decir:

1845 fecha

tcodificada 

.

Tiempo de entrega (min)

C a n ti d a d d e c a ja s (N o .) 0 20 40 60 80 0 5 10 15 20 25 30 Pulpa de madera (%) R e s is te n c ia a l a te n s n (p s i) 0 3 6 9 12 15 0 10 20 30 40 50 60

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Tabla 1.- Datos del ingreso per cápita en dólares americanos de los mexicanos durante el periodo de 1845 al año 2015. 1845) (fechacodificada t  (dólares USA) y 0 56.00 65 101.9 75 186.7 85 132.9 95 77.70 105 189.0 115 342.0 125 683.0 135 3520.0 145 3070.0 155 6650.0 165 8860.0 170 9010.0

Para realizar el ajuste numérico del modelo logístico de base exponencial (2) a los datos de la tabla anterior, es necesario determinar previamente el valor numérico de la asíntota máxima mediante progresión geométrica, en este caso:

 

4

9012.0 y 

Ahora, a través de algebra se obtiene la transformación lineal del modelo logístico (2), esto es:

 

5 t k C LN 1 y y LN       

Al aplicar regresión lineal a la columna t versus columna de transformación lineal de la expresión (5), usando los datos de la tabla 1, se obtiene:

 

6 8036 . 8 0662 . 0 * t y

En la figura 5 ilustrada, aparece la transformación lineal del modelo logístico, significativa al 90% de confianza estadística.

Figura 5.- Transformación lineal del modelo logístico base exponencial usando los datos de la tabla 1.

De los valores de la pendiente y de la intersección al eje de la correspondiente transformación lineal (5), se obtiene:

 

7 170 . 6658 , 0662 . 0   C k

Sustituyendo los valores numéricos (4) y (7) en el modelo exponencial (2), se tiene la ecuación numérico-funcional siguiente:

 

8 1845 t 0.0662 e 6658.17033 1 9012.0 dólares y  

La figura 6 muestra la bondad de ajuste numérico del modelo logístico arriba señalado.

Figura 6.- Bondad de ajuste numérico del modelo logístico base exponencial, sobre los datos del ingreso per cápita de los mexicanos del periodo de 1845 a 2015.

De acuerdo con los valores del coeficiente de correlación y chi cuadrada (9), la bondad de ajuste no es significativa.

(4)

 

9 8 2 1,R 0.18993, χ 62287.04 0.4358 r22

Con la intención de incrementar el nivel de ajuste numérico del modelo anterior, se procedió a determinar el modelo logístico modificado, con base cuadrática como se indica en la expresión (3) del documento. La asíntota máxima ya fue determinada en (4). Con ello, es posible la transformación cuadrática [Islas, 2013] del modelo logístico modificado, como indica la expresión:

 

10 0 1 2 2t a t a a 1 y y LN        

Entonces, aplicando mínimos cuadrados [Wackerly, 2013] a la expresión anterior usando los datos que da origen al documento, conduce a:

 

11 2273 . 4 0722 . 0 0008 . 0 2 * t t y

En la figura 7, aparece la gráfica correspondiente a la transformación cuadrática del modelo logístico, significativa al 95% de confianza estadística.

Figura 7.- Transformación cuadrática del modelo logístico usando los datos de la tabla 1.

Sustituyendo los valores numéricos (4) y (11) en el modelo logístico (3), se obtiene la ecuación numérico-funcional siguiente:

t 18450.0722t 18454.2273

 

12 0.0008 2 e 1 9012.0 y       

En la figura siguiente se ilustra la excelente bondad de ajuste numérico del modelo

logístico de base cuadrática sobre los datos en estudio.

Figura 8- Bondad de ajuste del modelo logístico de base cuadrática a datos del ingreso per cápita de los mexicanos durante el periodo de 1845 a 2015.

De acuerdo con los valores del coeficiente de correlación y chi cuadrada, señalados a continuación, la bondad de ajuste es significativa al 99% de confianza estadística.

 

13 5 7,R 0.717979,χ 7484.62 0.84733

r22

Por otra parte, en el presente se estudió también el crecimiento de la población humana en la República Mexicana, durante el periodo comprendido de 1810 a 2015; mismo que se ilustró en la figura siguiente.

Figura 9.- Crecimiento de la población humana en la República Mexicana correspondiente al periodo de 1810 a 2015.

Los datos de la dinámica de crecimiento anterior, aparecen codificados en la tabla 2, donde:

(5)

1810 fecha tcodificada 

Tabla 2.- Datos de crecimiento de la población en la República Mexicana (1810-2015). 1810) (t codificada t  (milloneshab.) y 0 6.1 10 6.2 100 15.2 111 14.3 160 48.2 180 81.2 190 97.5 200 112.3 205 119.5

A los datos de la tabla de arriba, se ajustó el modelo logístico de base exponencial (2), previa determinación de la asíntota máxima a través de progresión geométrica:

 

14 119.6

y 

Posteriormente, se aplicó regresión lineal a

la columna t versus columna de

transformación lineal indicada en la expresión (5), usando los datos de la tabla 2, por ello:

 

15 06 . 4 0333 . 0 * t y

De los valores de la pendiente y de la intersección al eje de la relación (5), se obtiene:

 

16 9743 . 57 , 0333 . 0   C k

Sustituyendo los valores numéricos (14) y (15) en el modelo logístico de base exponencial (2), se tiene la ecuación numérico-funcional siguiente:

106

 

17 1810 t 0.0333 e 57.9743 1 119.6 hab. y  

En la figura 10 se ilustró la bondad de ajuste numérico del modelo (17) usando los datos de

crecimiento de la población correspondiente al periodo indicado.

Figura 10.- Bondad de ajuste numérico del modelo logístico base exponencial a datos de crecimiento poblacional de la República Mexicana del periodo de 1810 a 2015.

La bondad de ajuste numérico anterior es significativo al 90% de confianza estadística, de acuerdo al coeficiente de correlación y chi cuadrada.

 

18 76.8615 χ 0.7475438, R 0.864545, r22

Para incrementar la bondad de ajuste numérico del modelo (17) se usó el modelo logístico modificado (3). La asíntota máxima está definida en (14). Ahora, aplicando mínimos cuadrados a la transformación cuadrática (10) usando los datos de la tabla 2, conduce a:

 

19 6159 . 2 0359 . 0 0003 . 0 2 * t t y

Sustituyendo los valores numéricos (14) y (19) en el modelo logístico de base cuadrática (3), se obtiene la ecuación numérico-funcional:

10

 

20 6 6 6 2.61 1810 t 0.03 1810 t 0.003 2 e 1 119.6 hab. y       

Finalmente, en la última figura se ilustra la bondad de ajuste numérico del modelo

logístico de base cuadrática sobre los datos de crecimiento de la población en la República Mexicana en el periodo señalado.

(6)

Figura 11.- Bondad de ajuste numérico del modelo logístico base cuadrática a datos de crecimiento poblacional de la República Mexicana del periodo de 1810 a 2015.

La bondad de ajuste es significativa al 99% de confianza estadística, de acuerdo al coeficiente de correlación y chi cuadrada.

 

21 9 3, R 0.981145,χ 37.392 0.9905 r22

Conclusiones

El ajuste numérico del modelo logístico de base cuadrática a datos del ingreso per cápita e incremento del número de habitantes en la República Mexicana, durante el periodo de

1810 a 2015, resultó significativo al 99% de confianza estadística. El modelo señalado fue resuelto a través de su transformación cuadrática.

Referencias

Montgomery, D. C. et al., (2002), Introducción al

análisis de regresión lineal, Primera edición en

español, CECSA, p. 1.

Larson, R. & Edwards, B. (2014). Cálculo, tomo I, CENGAGE Learning, Décima Edición, p. 419. Islas, A. M., et al. (2013). Análisis entre regresión

no lineal y técnicas de transformación lineal en una parábola, Tecnología humanística, ESIQIE IPN.

Wackerly, D. C. et al. (2013), Estadística

matemática con aplicaciones, Séptima Edición,

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