CAPÍTULO VI INTEGRACIÓN. f(x)dx = F(x)+C

CAPÍTULO VI

INTEGRACIÓN

6.1 INTEGRAL INDEFINIDA

La integral indefinida de f(x) denota la familia de primitivas de f(x). Es decir si F'(x) = f(x) para todo x, entonces

donde f(x) se llama integrando y C constante de integración, dicha constante hace que la integral sea indefinida.

La diferencial dx en la integral indefinida identifica la variable de integración, es decir el símbolo ∫ f(x) dx denota la primitiva de f respecto a x, de modo similar a cómo dy/dx denota la derivada de y respecto a x.

La naturaleza inversa de las operaciones de integración y derivación puede simbolizarse del siguiente modo: La derivación es la inversa de la integración:

la integración es la inversa de la derivación:

6.2 REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

C

x

dx

)

1

dx

x

f

k

dx

x

f

k

(

)

(

)

)

2

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

(

)

(

)

(

)

(

)

)

3

f(x)dx = F(x)+C d f(x)dx = f(x) dx f (x)dx = f(x)+C

1 1 ) 4 1 n C n x dx x n n

Ejemplo 1. Calcule la integral indefinida

Ejemplo 2. Halle

Ejemplo 3. Encuentre

6.3 REGLA GENERAL DE LAS POTENCIAS PARA LA INTEGRACIÓN

Si u es una función diferenciable de x, entonces

donde n ╪ -1 y C es una constante

3 2/3 ( x + 2x - 3x )dx 1/ 2 3 2 / 3 2 3 3/2 4 5/3 3/2 4 5/3 x x x (x + x - x )dx = + 2 - 3 + C = 3 4 5 2 3 2 1 9 = x + x - x + C 3 2 5 C + x 2 5 -x 5 3 + x 2 = )dx x 10 + x + x ( = )dx x 10 + x + x ( 4 -5/3 1/2 5 -2/3 1/2 -5 3 2 1/2

-C

+

x

7

3

-x

3

-x

5

36

-x

6

-=

=

)dx

x

3

-x

18

-x

36

-x

(-24

=

=

)dx

x

+

x

2x

*

3

+

x

x

4

*

3

+

x

-3(8

=

dx

)

x

+

3(2x

-7 6 5 4 6 5 4 3 6 4 2 2 3 3 2 n+1 n

u

u u dx =

+ C

n +1

Demostración: Utilizando la regla de las potencias en la derivación, se tiene

donde n ╪ -1

Ejemplo 1. Encontrar la integral

Ejemplo 2. Evaluar la siguiente integral indefinida

Ejemplo 3. Hallar n+1 n n+1 n n+1 n n+1 n d ₍u _{+ C ) = (}n + 1_{) u + 0} u dx n + 1 n + 1 u d ( + C ) = u dxu n + 1 u d + C = u u dx n + 1 u _{+ C = u u dx} n + 1 4 2 3 3 2 5 5 3 3 4 2 3 ( - 1 dx) x x sea, u = - 1 x u = 3x 1 _{3 ( - 1 dx = )} 1 (x - 1) _{+ C =} (x - 1) _{+ C} x x 3 3 5 15 2 2 2 ( ) 2 2 1/2 2 1/2 4x dx 1 + x sea, u = 1 + x u = 2x 4x dx = 2 (1 + x ) 2xdx = 1 + x 2 2 (1 + x ) + C = 4 1 + x + C 2 3 8x + 10 dx (2x + 5x + 2 )

2 2 2 2 2 2 2 -3 sea, u = 2x + 5x + 2 u = 4x + 5 4x + 5 (2x + 5x + 2 ) = 2 dx = 2 + C -(2x + 5x + 2 ) 1 = + C (2x + 5x + 2 ) 6.3.1 PROBLEMAS VARIOS

El estudiante deberá familiarizarse con las fórmulas de integración, de manera que le resulte fácil transformar una integral a otra que permita su integración a través de una de las 19 fórmulas básicas.

Ejemplo 1. dx x x dx x dx x x 4 2 2 1 4 3 4 3 2 2 2 Fórmulas 15 y 3 C x x Arctg ln 4 2 1 2 2 3 2 Ejemplo 2. dx x x 2 2 3 C x x dx x x x dx x x 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 2 3 Ejemplo 3. dx x x x 4 4 2 2

Fórmulas 3 y 1

C

x

x

x

dx

x

x

x

dx

x

x

dx

x

x

x

dx

x

x

x

1

)

2

(

4

4

4

ln

)

2

(

1

4

4

4

ln

4

4

1

4

4

4

4

2

4

4

4

4

2

1 2 2 2 2 2 2

C

x

x

x

2

4

4

4

ln

2 Ejemplo 4.

xdx

tg

2

C

x

tgx

dx

x

1

)

(sec

2 Ejemplo 5. dx x cos 1 1 dx x sen x dx x x dx x x x ( ) cos 1 ) cos 1 ( cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 1 2 2

C

ecx

x

dx

x

ecx

x

ec

cos

.

cot

)

cot

cos

(cos

2 Ejemplo 6. 3 2 1 1 1 dt t t 2 3 2 2 3 4 5 3 3 1 1 1 3 3 1 1 dt dt t t t t t t t t 1 2 3 4 2 3 4 5 3 3 3 3 1 2 3 4 t t t t t t t t dt C 2 3 4 1 3 1 1 2 4 C t t t t

Este problema puede ser resuelto de manera más sencilla del siguiente modo:

3 2 1 1 1 dt t t C t 4 1 1 4 1

Ejemplo 7. 3 2x 3dx 1 2 2 3 3 2 3 1 2 2 3 2 ₂ x dx C x 3 2x 3 C

NOTA. Es importante que el estudiante resuelva los ejercicios 1 al 14 del trabajo práctico No. 5. páginas 253 y 254

6.4 CÁLCULO DE INTEGRALES UTILIZANDO DERIVE El formato para hallar integrales indefinidas es el siguiente: INT(u,x)

Ejemplo 1 Si se desea hallar la integral

dx x x x 2 2 5 6 5 2

Ingrese en la barra de entrada de expresiones

INT((5x - 6)/(5x^2 - 2x - 1),x) luego de introducir y simplificar derive mostrará: #1 dx x x x 2 2 5 6 5 2 #2

22

1

11

5

1

11

5

ln

11

7

2

)

2

2

5

ln(

2

x

x

x

x

Ejemplo 2 #3

dx

x

x

2 2

9

#4 2 9 2 3 arcsin 9 ₂ x x x

#5

dx

x

x

2 2

sin

1

sin

#6 2 2 1 2 3 2 2 ) 2 cos( ) 2 sin( arctan 2 x x x #7 dx x x x x ) 2 2 ( ) 1 ( 2 2 #8 ) 1 ( 5 1 25 ) 1 ln( 50 ) 2 2 ln( 25 ) 1 arctan( 7 2 x x x x x #9

dx

x

x

1

6 #10

12

)

1

(

1

ln

6

3

3

3

3

2

arctan

3

_{2 2} 2 4 2

x

x

x

x

#11

sin(

x

)

ln(

tan(

x

)

)

dx

#12

2

tan

ln

2

))

(

ln(cot

)

cos(

x

2

x

x

#13

x

3

ln

3

x

dx

#14 128 3 64 ) (ln( 3 64 )) (ln( 3 32 )) (ln( 2 3 4 2 2 4 2 4 4 x x x x x x x

6.5 ÁREA E INTEGRAL DEFINIDA

y y

f(Mi)

f(mi)

x x

a x b a x b

s(Δ) Área de rectángulos inscritos S(Δ) Área de rectángulos circunscritos menor que el área real A mayor que el área real A

s(Δ) < A < S(Δ) lim ( ) lim ( ) n s A n S Por tanto 0 0 1 1 lim ( ) lim ( ) n n i i i i x x i i f m x A f M x 0 1 lim ( ) n x i A f x x

Esto nos permite definir la integral definida con las siguientes consideraciones;

Sea f definida en un intervalo cerrado [ , ]a b y sea ci un punto del subintervalo [

existe, denotaremos este limite por

y lo llamaremos INTEGRAL DEFINIDA de f entre a y b

Donde a y b son los límites superior e inferior de la integral, respectivamente, f(x) es el integrando, dx el diferencial de x

Una propiedad importante de las integrales es que; si f es continua en [ , ]a b , entonces también es integrable en [ , ]a b .

6.6 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si una función f es continua en el intervalo [ , ]a b , entonces

Donde F es cualquier función tal que F'(x) = f(x) para todo x en [ , ]a b . Nótese la desaparición de la constante de integración C.

Este teorema ofrece el método para calcular la integral definida, que permite calcular el área debajo de la curva desde a hasta b, donde a < b. La aparición de un signo negativo como resultado de la integral significa que; a) los límites de integración fueron cambiados hallándose la curva por encima del eje x. b) la curva tiene su gráfica por debajo del eje x.

La integral definida goza de las mismas propiedades de la integral indefinida además de: x ) c f( i i n 1 = i x 0 lim

x

)

c

f(

f(x)dx

i i n 1 = i x b a 0

lim

F(a) -F(b) = f(x)dx b a b c b a a c f(x)dx f(x)dx + f(x)dx

Ejemplo 1. Determinar el área comprendida entre y = 3x² + 1; x = 0; x = 2; y=0 x y 0 1 1 4 2 13

Ejemplo 2. Hallar el área comprendida entre y = -x² + 2x + 3 ; y = 0

-x² + 2x + 3 = 0 x² - 2x - 3 = 0 (x - 3) (x + 1) =0 3 1 2 3 3 1 2 3 3 ) 3 2 ( x x dx x x x

66

,

10

3

1

11

2

3

1

9

3

)

1

(

3

)

1

(

9

3

3

3

2 3 2 3

10

=

(0)

-2)

+

2

(

=

x

+

x

[

=

1)dx

+

(3x

3 2 0 3 2 0

]

2 dx

Ejemplo 3. Evaluar

Ejemplo 4 Graficar la función y hallar la integral 1 2 3 1 ( 1) x x dx

3,619

=

)

)

(4

-(16

8

3

=

]

)

(4

-)

[(8

8

3

=

)

(4

-)

2

+

[(4

8

3

=

)

x

+

[(4

4

3

2

1

=

dx

x

+

4

2x

2

1

=

dx

x

+

4

x

4/3 4/3 4/3 4/3 4/3 2 0 4/3 3 2 0 3 2 0

]

2 2 2 2 dx dx

Como la curva tiene dos partes, se hace necesaria la división de la integral en dos partes de la forma

0 1 2 3 2 3 1 0 ( 1) ( 1) x x dx x x dx

Como la gráfica es simétrica al origen puede evaluarse una de las integrales y multiplicarse por dos para tener el área total

0 4 2 0 2 3 1 1 1 1 2 2 ( 1) 2 4 x x x dx 0 4 ₄ 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 x 4 4

Ejemplo 5. Hallar el área comprendida entre

(3 ) 0

y x x y

Graficando tenemos

dx

Las raíces de la ecuación (3 x) x 0 son x 0 ; x 3 por tanto, se debe evaluar la integral

3 0 (3 x) x dx 3 3 5 3 _{3 2 2} 1 2 2 0 0 3 3 3 5 2 2 x x x x dx 3 5 5 2 2 3 3 2 2 0 3 12 3 2 2 3 4,1569 5 5 5 x x

NOTA. Resulta necesario que se refuerce el conocimiento adquirido resolviendo los problemas15 al 24 de la práctica No. 5 página 254

6.7 ÁREA DE UNA REGIÓN COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS

Si f y g son funciones continuas en [a , b] y g(x) < f(x) para todo x en [a , b], entonces el área de la región limitada por y = f(x); y = g(x); x = a ; x = b es

y

f(x)

g(x)

dx

a b

Ejemplo 1. Hallar el área de la región comprendida entre y = x3 ; y = x en el intervalo [0 , 1], haga un gráfico del problema.

g(x)]dx

-[f(x)

=

A

b a

4

1

=

=

)]

0

(

-)

4

1

-2

1

[(

=

=

4

x

-2

x

[

=

)dx

x

-(x

=

A

]

1 o 4 3 1 o 2 dx

Ejemplo 2. Hallar el área entre las curvas y = 2 - x² ; y = - x Igualando tenemos: 2 - x² = - x x² - x - 2 = 0 (x - 2) (x + 1) = 0 ===> x = 2 ; x = - 1 y

2

2 2 2

9

=

2

1

-3

-8

=

A

=

)

3

1

+

2

1

+

(-2

-)

3

8

-2

+

(4

=

3

x

-2

x

+

[2x

=

=

dx

)]

x

-x

+

[(2

=

dx

x)]

(

-)

x

-[(2

=

A

]

2 1 -3 2 1 -2 1 -dx

Ejemplo 3. Hallar el área comprendida entre x = y² - 2 ; x = 6 - y²

El gráfico de este ejemplo muestra claramente que hallar el área correspondiente utilizando dx se torna dificultosa siendo más conveniente utilizar dy, por tanto:

y² - 2 = 6 - y² 2y² = 8 y = ± 2

3

64

3

32

32

16

3

16

16

3

16

8

3

2

)

8

2

(

)

2

(

)

6

(

2 2 3 2 2 2 2 2 2 2

y

y

dy

y

dy

y

y

Ejemplo 4. Mediante integración encontrar el área del triángulo cuyos vértices son (0,0) ; (0,5) ; (6,0) Sabemos que: A = bh/2 =6*5/2 A = 15 dy dx

La ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,5) ; (6,0) es: 0 30 6 5 5 30 6 6 5 0 5 y x x y x y Despejando y tenemos: x x y 6 5 5 6 5 30

La integral que nos dará el área será:

6 0 6 0 2 15 12 180 30 12 5 5 ) 6 5 5 ( x dx x x

Ejemplo 5 Hallar el área comprendida entre

2 2

( ) 2 4 1 ; ( ) 4 3

f x x x g x x x

La intersección de las parábolas permitirá hallar los límites de integración. Igualando las ecuaciones tenemos

2 2 2 2 4 1 4 3 2 2 x x x x x x

Los correspondientes valores de y son

2 ( 2) 2 2 4 2 1 0.6568 2, 0.66 f 2 ( 2) 2 4 2 3 10.6568 2, 10.66 g

Note que los valores de y pueden hallarse a partir de cualquiera de las ecuaciones

Por tanto la integral que debe resolverse es 2 2 2 2 2 2 ( ( )g x f x dx( )) (x 4x 3) (2x 4x 1) dx 2 2 3 2 2 2 2 2 3 x x dx x 3 3 2 2 8 2 2 2 2 2 3.77 3 3 3

Ejemplo 6. Hallar el área comprendida entre:

x

x

x

x

g

x

x

x

x

f

3

2

)

(

9

3

2

)

(

2 3 2 3 dx

0

)

2

)(

3

(

0

6

3

2

9

3

2

2 3 2 3 2 3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Los límites de integración son -2 , 0 para el primer tramo A1 donde f(x) > g(x)

y; 0 , 3 para el segundo A2 donde g(x) > f(x), por tanto:

0 2 2 3 0 2 2 3 2 3 1 2x 3x 9x x 2x 3x dx x x 6xdx A

3

16

3

8

8

)

12

3

8

4

(

)

2

(

3

3

2

4

2

)

0

(

3

3

0

4

0

2

6

3

4

1 2 3 4 2 3 4 0 2 2 3 4 1

A

x

x

x

A

3 0 2 3 3 0 2 3 2 3 2

x

2

x

3

x

2

x

3

x

9

x

dx

x

x

6

x

dx

A

4 63 4 81 36 27 9 4 81 ) 0 ( 3 3 0 4 0 ) 3 ( 3 3 3 4 3 2 6 3 4 2 2 3 4 2 3 4 3 0 2 3 4 2 A x x x A 08 , 21 12 253 12 189 64 4 63 3 16 2 1 A A A

NOTA. Resuelva problemas 1 al 12 de la práctica 6, página 255 Igualando las ecuaciones se tiene:

A

1

6.8 CÁLCULO DE ÁREAS CON DERIVE

Las integrales definidas pueden hallarse con INT(u,x,a,b) donde u es la función que se desea integrar, x especifica la variable respecto a la cual se integra, a es el límite inferior y b el límite superior.

Las siguientes ordenes del derive permiten dibujar las gráficas de las áreas buscadas:

AreaUnderCurve(u, x, a, b, y) sombrea el área bajo la gráfica de la función y=u(x) hasta el eje OX en el intervalo [a,b] (a < b). Por ejemplo, para la función y = x + cos(x) en [0,3], represente la expresión

AreaUnderCurve(x + COS(x), x, 0, 3)

AreaOverCurve(u, x, a, b, y) sombrea el área sobre la gráfica de la función y=u(x) hasta el eje OX en el intervalo [a,b] (a < b). Por ejemplo, para la función y = sin(x) - x en [1,3] hasta 3, represente la expresión

AreaOverCurve(SIN(x) - x, x, 1, 3)

AreaBetweenCurves(u, v, x, a, b, y) sombrea el área comprendida entre las gráficas de las funciones y=u(x) y y=v(x) desde x = a hasta b (a < b). Por ejemplo, para representar el área comprendida entre y = sin(2x) y v(x) = cos(3x) desde x = -p a p, represente

AreaBetweenCurves(SIN(2x), COS(3x), x, -pi, pi)

Haciendo v = 0, AreaBetweenCurves puede usarse para representar el área asociada con la integral de y=u(x) en [a,b] con un único color. Por ejemplo, para representar la integral de y = sin(2x) + cos(3x) desde x = -p a p, represente

AreaBetweenCurves(SIN(2x) + COS(3x), 0, x, -pi, pi)

PlotInt(u, x, a ,b, y) representa el área asociada con la integral de y= en [a,b]. Para que PlotInt trabaje correctamente, la opción Simplificar antes de Representar debe estar activada. Por ejemplo, para representar la integral de u(x) = x + sin(2x) desde x = -3 hasta 3, represente

PlotInt(x + SIN(2x), x, -3, 3)

Ejemplo HALLAR EL AREA COMPRENDIDA ENTRE 3 0 0 , 1 3 1 2 x hasta x desde x x #1 AreaUnderCurve x 1,x,0,3,y 3 1 2 #2 3 0 2

1

3

1

dx

x

#3 6

LA MISMA GRÁFICA PUEDE OBTENERSE MEDIANTE

#4 PlotInt x 1,x,0,3,y 3 1 2 #5

3

0

0

1

3

,

3

0

0

1

3

,

1

3

2 2 2

x

y

y

x

x

y

x

y

x

dx

Ejemplo HALLAR EL ÁREA COMPRENDIDA ENTRE 0 , 3 2 2 x x x y #6 SOLVE( -x2 + 2 x + 3, x, y ) #7 x = 3 o x = -1 #8 3 1 2

)

3

2

(

x

x

dx

#9 3 32 #10 AreaUnderCurve( - x2 + 2 x + 3, x, -1, 3, y) #11 [ - x2 + 2 x + 3, y < - x2 + 2 x + 3 ^ 0 < y ^ -1 ≤ x ≤ 3 ] dx

EJEMPLO. ENCONTRAR EL ÁREA COMPRENDIDA ENTRE

0

2

0

4

3 2

x

hasta

x

desde

x

x

x

y

LA GRÁFICA PUEDE SER OBTENIDA DE CUALQUIERA DE LAS SIGUIENTES DOS FORMAS:

#12 PlotInt( x ( 4 + x2 )1/3, x, -2, 0, y) #13 [x(x2+ 4)1/3, y < x(x2+ 4)1/3 ^ 0 < y ^ -2 ≤ x ≤0, x(x2+ 4)1/3<y^ y<0^-2≤x≤0] #14 AreaOverCurve( x ( 4 + x2 )1/3, x, -2, 0, y) #15 [x(x2+ 4)1/3, x(x2+ 4)1/3< y ^ y < 0 ^ -2 ≤ x ≤ 0] dx

#16 0 2 3 / 1 2

)

4

(

x

dx

x

#17 6 2 2 3 2/3 #18 -3.618898422

EJEMPLO. HALLAR EL ÁREA ENTRE LAS CURVAS

1 0 , 3 x hasta x desde x y x y #19 AreaBetweenCurves( x3 ,x , x, 0, 1, y) #20 [x3, x, x ≤ 1 ^ 0 ≤ x ^ (x3 – y) (y – x) > 0] dx dx

#21 1 0 3

)

(

x

x

dx

#22 4 1

EJEMPLO. HALLAR EL ÁREA COMPRENDIDA ENTRE LAS CURVAS

1 0 , 2 2 x hasta x desde x y x y #23 AreaBetweenCurves( 2 – x2, -x, x, 0, 1, y) #24 [ 2 – x2, -x, x ≤ 1 ^ 0 ≤ x ^ - (x + y) (x2+ y – 2) > 0] #25 1 0 2

)

2

(

x

x

dx

#26 6 13 #27 2.166666666 dx

FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

C

u

dx

u

u

u

.

cot

)

'

csc

(csc

)

9

10

)

(tan

u

)

u

'

dx

ln

cos

u

C

C

u

u

u

)

'

ln

sin

(cot

)

11

12

)

(sec

u

)

u

'

dx

ln

sec

u

tan

u

C

C

u

u

dx

u

u

)

'

ln

csc

cot

(csc

)

13

C a u dx u a u arcsin ' ) 14 2 2 _a C u a dx u a u arctan 1 ' ) 15 _{2 2} C a u u dx a u u 2 2 2 2 ln ' ) 16 C a u a u a dx a u u ln 2 1 ' ) 17 _{2 2}

C

a

u

arc

a

a

u

u

dx

u

sec

1

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