Modelación del Río Magdalena tramo Puerto Berrío - Puerto Wilches por medio del modelo hidráulico e hidrológico MDLC

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MODELACIÓN DEL RÍO MAGDALENA TRAMO PUERTO BERRÍO – PUERTO WILCHES POR MEDIO DEL MODELO HIDRÁULICO E HIDROLÓGICO MDLC

Miguel Andrés Mauricio Daza Gómez Código: 201017431

BOGOTÁ

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL 2016

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2 MODELACIÓN DEL RÍO MAGDALENA TRAMO PUERTO BERRÍO – PUERTO WILCHES POR MEDIO

DEL MODELO HIDRÁULICO E HIDROLÓGICO MDLC

Miguel Andrés Mauricio Daza Gómez Código: 201017431

Proyecto de grado presentado como requisito para optar al título de

Ingeniero Ambiental

Asesor:

Luis Alejandro Camacho Botero, M.Sc., PhD.

BOGOTÁ

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL 2016

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3 A mi familia por la paciencia y dedicación a lo largo de este proceso de formación, por sus múltiples enseñanzas y su amor.

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AGRADECIMIENTOS

Quiero darle las gracias al profesor Luis Alejandro por guiarme en el proceso de realización de este proyecto de grado. Sus enseñanzas fueron muy valiosas para mí como persona y como profesional en proceso, que se va a enfrentar a la realidad de este país. Gracias por ser esa persona que inspira a sus estudiantes a trabajar o desempeñarse en áreas de modelación y de calidad de agua porque por él sabemos que hay mucho por hacer y mejorar.

A mis padres por la confianza, el amor, la paciencia y la motivación que me dieron durante este largo periodo de estudio. A mis hermanos por su apoyo incondicional y a mis amigos por estar siempre presentes. Quiero además dedicarle este trabajo a un amigo muy especial que falleció justo cuando iba a arrancar a trabajar en el, siempre creyó en mi para sacar las dos carreras adelante, muchas gracias, Mauro.

A las personas que trabajaron junto a mí, mi asesor de maestría Oscar Galindo y mi compañero de pregrado Rafael Uribe y demás personas que me apoyaron durante este proceso.

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Resumen

En este trabajo se presenta la implementación del modelo hidráulico e hidrológico MDLC para un tramo del río Magdalena el cual comprende los municipios de Puerto Berrío – Puerto Wilches. El río Magdalena es de gran importancia por las múltiples ciudades que recorre y debido a su función como medio de transporte, fuente económica y proveedor de agua. Por lo tanto, la predicción de inundaciones y crecientes en este río es tema de gran importancia por las graves consecuencias que puedan llegar a tener. La implementación del modelo MDLC se realizó con información de los valores de caudales medios diarios suministrados por el IDEAM. Esta información fue procesada e implementada en MATLAB®. La implementación se llevó a cabo por medio de 3 etapas, la primera fue la implementación por medio de varias rutinas y subrutinas creadas por Camacho (1999) en MATLAB®, la segunda fue calibración del modelo y la tercera la validación de la calibración. Para la calibración se utilizó la metodología GLUE junto con la herramienta MCATTool®. Al finalizar las tres etapas se obtuvieron los siguientes resultados, se obtiene un buen ajuste y se logra simular de manera correcta la hidrógrafa aguas abajo del tramo de estudio. Asimismo, se realizó un análisis de identificabilidad y sensibilidad para los parámetros que fueron calibrados: coeficiente de fricción de Manning (n), la pendiente del río (𝑆0) y el ancho del río (𝑊0). En este se llegó a la conclusión que el parámetro más influyente es el coeficiente de rugosidad y este contribuirá con una mejor respuesta del modelo. Otro resultado importante fue el ajuste que tuvo el modelo en los dos tramos principales. El primer tramo tuvo un ajuste de 0.9456 en la calibración (3 parámetros) y en la validación de 0.8031 según el coeficiente de correlación. Mientras que el segundo tramo tuvo un ajuste de 0.8476 para la calibración (9 parámetros) y 0.8760 para la validación.

Palabras clave: implementación, modelo MDLC, IDEAM, parsimonioso, caudales medios diarios, calibración, validación.

Abstract

The implementation of the hydraulic and hydrological model MDLC for a section of the Magdalena river that comprehends the municipalities of Puerto Berrío to Puerto WIlches is presented in this work. The Magdalena river has a great importance for the multiple cities that travels and because of its function as a transport mean, economic source, and water provider. Henceforth, the predictions of flooding and crescents is a subject of great importance due to the consequences that they may have. The implementation of the MDLC was accomplished with data of the mean daily flow that was supplied by IDEAM. This information was processed and implemented in MATLAB®. The implementation was made following three stages, the first one is the implementation in MATLAB® by the means of routines and subroutines created by Camacho (1999), the second stage is the calibration of the model and the third and last is the validation of the calibration. For the calibration, the methodology that was followed was GLUE (Generalized Likelihood Uncertainty Estimation) with a tool called MCATTool®. After the three stages the obtained results were the good adjustment and the correct simulation of the outflow hydrograph of the river’s section. Likewise, an identifiability and sensibility analysis was executed for the calibrated parameters: Manning’s coefficient (n), river’s slope (𝑆0) and river’s width (𝑊0). In this analysis, the main conclusion was that most influential parameter was the Manning’s coefficient because of its contribution with a better response of the model. Another important result was the adjustment of the two main stretches in which the river section was divided. The first section had and adjustment of 0.9456 in the calibration (3 parameters) and in

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6 the validation 0.8031 according to the correlation coefficient. While the second section had an adjustment of 0.8476 for the calibration (9 parameters) and 0.8760 for the validation.

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Tabla de contenido

1. Introducción ... 13

1.1 Antecedentes ... 13

1.2 Justificación ... 13

1.3 Objetivos ... 13

1.3.1 Objetivo general ... 14

1.3.2 Objetivos específicos ... 14

1.4 Metodología ... 14

1.5 Resultados principales ... 14

1.6 Resumen del contenido ... 15

2. Revisión del estado del arte de tránsito distribuido de crecientes ... 16

2.1 Método de Muskingum ... 16

2.2 Ecuaciones de Saint – Venant ... 18

2.2.1 Ecuación de continuidad ... 19

2.2.2. Ecuación de Momento ... 21

2.4 Modelo MDLC ... 23

2.5 Método Muskingum – Cunge ... 26

2.6 Técnicas de calibración ... 28

2.6.1 Generalized Likelihood Uncertainty Estimation (GLUE) ... 28

3. Descripción del tramo de estudio ... 30

3.1 Tramo de estudio ... 30

3.2 Datos caudales medios diarios ... 33

4. Implementación del modelo ... 35

4.1 Implementación ... 35

4.2 Calibración ... 36

4.3 Validación ... 36

5. Resultados y análisis de resultados ... 37

5.1 Resultados de la calibración ... 37

5.1.1 Calibración primer sub tramo ... 37

5.1.2 Calibración segundo sub tramo ... 43

5.2 Resultados y análisis de la identificabilidad y sensibilidad ... 48

5.2.1 Sub tramo 1 ... 49

5.2.2 Sub tramo 2 ... 57

5.3 Resultados de la validación ... 65

5.3.1 Validación primer sub tramo ... 65

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8 6. Conclusiones y recomendaciones ... 67 7. Referencias ... 69

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Listado de tablas

Tabla 1. Resumen de las ecuaciones de Saint Venant*. ... 23

Tabla 2. Resumen de la información general de las diferentes estaciones del IDEAM [20]. ... 32

Tabla 3. Segmentación final del tramo de estudio. ... 33

Tabla 4. Estaciones del IDEAM correspondientes a cada río. ... 33

Tabla 5. Años escogidos para la calibración del modelo. ... 34

Tabla 6. Años escogidos para la validación del modelo. ... 34

Tabla 7. Resultados de la calibración del tramo 1 con 3 parámetros. ... 38

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Listado de figuras

Figura 1. Imágen ilustrativo de los almacenamientos cuña y prima. Adaptado de [9]. ... 17

Figura 2. Ejemplo del volumen de control: (a) Vista de elevación, (b) Vista en planta. Adaptado de [9]. ... 20

Figura 3. Estructura del modelo. [10] ... 24

Figura 4. Caja de diferencias finitas para la solución de la ecuación lineal de onda cinemática mostrando las ecuaciones de diferencias finitas [9]. ... 27

Figura 5. Mapa del río Magdalena. Tomado de [18] ... 31

Figura 6. Ubicación de las estaciones del IDEAM en el río Magdalena y sus principales afluentes. ... 32

Figura 7. Calibración tramo 1: tres parámetros. Años 1995-1999. ... 38

Figura 8. Calibración tramo 1: cuatro parámetros. Años 1995-1999. ... 38

Figura 9. Calibración tramo 1: cinco parámetros. Años 1995-1999. ... 39

Figura 10. Calibración tramo 1: seis parámetros. Años 1995-1999. ... 40

Figura 12. Calibración tramo 1: ocho parámetros. Años 1995-1999. ... 42

Figura 13. Calibración tramo 1: nueve parámetros. Años 1995-1999. ... 42

Figura 14. Calibración tramo 2: tres parámetros. Años 1995-1999... 43

Figura 15. Calibración tramo 2: cuatro parámetros. Años 1995-1999. ... 44

Figura 16. Calibración tramo 2: cinco parámetros. Años 1995-1999. ... 45

Figura 18. Calibración tramo 2: siete parámetros. Años 1995-1999. ... 46

Figura 19. Calibración tramo 2: ocho parámetros. Años 1995-1999. ... 47

Figura 20. Calibración tramo 2: nueve parámetros. Años 1995-1999. ... 48

Figura 21. Identificabilidad de los 3 parámetros calibrados para el primer tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01 y ancho del río 𝑊01. ... 49

Figura 22. Sensibilidad de los 3 parámetros calibrados para el primer tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01 y ancho del río 𝑊01. ... 50

Figura 23. Identificabilidad de los 4 parámetros calibrados para el primer tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01, ancho del río 𝑊01 y ancho del río 𝑊02. ... 50

Figura 24. Sensibilidad de los 4 parámetros calibrados para el primer tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01, ancho del río 𝑊01 y ancho del río 𝑊02. ... 51

Figura 25. Identificabilidad de los 5 parámetros calibrados para el primer tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01, pendiente del río 𝑆02, ancho del río 𝑊01 y ancho del río 𝑊02. ... 52

Figura 26. Sensibilidad de los 5 parámetros calibrados para el primer tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01, pendiente del río 𝑆02, ancho del río 𝑊01 y ancho del río 𝑊02. ... 52

Figura 27. Identificabilidad de los 6 parámetros calibrados para el primer tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01, pendiente del río 𝑆02, ancho del río 𝑊01, ancho del río 𝑊02 y ancho del río 𝑊03. ... 53

Figura 28. Sensibilidad de los 6 parámetros calibrados para el primer tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01, pendiente del río 𝑆02, ancho del río 𝑊01 , ancho del río 𝑊02 y ancho del río 𝑊03. ... 53

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Figura 29. Identificabilidad de los 7 parámetros calibrados para el primer tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01, pendiente del río 𝑆02,pendiente del río

𝑆03, ancho del río 𝑊01, ancho del río 𝑊02 y ancho del río 𝑊03. ... 54

Figura 30. Sensibilidad de los 7 parámetros calibrados para el primer tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01, pendiente del río 𝑆02, pendiente del río

𝑆03, ancho del río 𝑊01 , ancho del río 𝑊02 y ancho del río 𝑊03. ... 54

Figura 31. Identificabilidad de los 8 parámetros calibrados para el primer tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01), coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛02), pendiente del río

𝑆01, pendiente del río 𝑆02,pendiente del río 𝑆03, ancho del río 𝑊01, ancho del río 𝑊02 y ancho del río 𝑊03. ... 55

Figura 32. Sensibilidad de los 8 parámetros calibrados para el primer tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛02), pendiente del río

𝑆01, pendiente del río 𝑆02, pendiente del río 𝑆03, ancho del río 𝑊01 , ancho del río 𝑊02 y ancho del río 𝑊03. ... 55

Figura 33. Identificabilidad de los 9 parámetros calibrados para el primer tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01), coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛02), coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛03), pendiente del río 𝑆01, pendiente del río 𝑆02,pendiente del río

Figura 34. Sensibilidad de los 9 parámetros calibrados para el primer tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛02), coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛03), pendiente del río 𝑆01, pendiente del río 𝑆02, pendiente del río

Figura 35. Identificabilidad de los 3 parámetros calibrados para el segundo tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01 y ancho del río 𝑊01. ... 57

Figura 36. Sensibilidad de los 3 parámetros calibrados para el segundo tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01 y ancho del río 𝑊01. ... 58

Figura 37. Identificabilidad de los 4 parámetros calibrados para el segundo tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01, ancho del río 𝑊01 y ancho del río

𝑊02. ... 59

Figura 38. Sensibilidad de los 4 parámetros calibrados para el segundo tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01, ancho del río 𝑊01 y ancho del río 𝑊02. ... 59

Figura 39. Identificabilidad de los 5 parámetros calibrados para el segundo tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01, pendiente del río 𝑆02, ancho del río

𝑊01 y ancho del río 𝑊02. ... 60

Figura 40. Sensibilidad de los 5 parámetros calibrados para el segundo tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01, pendiente del río 𝑆02, ancho del río 𝑊01 y ancho del río 𝑊02. ... 60

Figura 41. Identificabilidad de los 6 parámetros calibrados para el segundo tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01, pendiente del río 𝑆02, ancho del río

𝑊01, ancho del río 𝑊02 y ancho del río 𝑊03. ... 61

Figura 42. Sensibilidad de los 6 parámetros calibrados para el segundo tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01, pendiente del río 𝑆02, ancho del río 𝑊01 , ancho del río 𝑊02 y ancho del río 𝑊03. ... 61

Figura 43. Identificabilidad de los 7 parámetros calibrados para el segundo tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01, pendiente del río 𝑆02,pendiente del río 𝑆03, ancho del río 𝑊01, ancho del río 𝑊02 y ancho del río 𝑊03. ... 62

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Figura 44. Sensibilidad de los 7 parámetros calibrados para el segundo tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , pendiente del río 𝑆01, pendiente del río 𝑆02, pendiente del río

Figura 45. Identificabilidad de los 8 parámetros calibrados para el segundo tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01), coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛02), pendiente del río

𝑆01, pendiente del río 𝑆02,pendiente del río 𝑆03, ancho del río 𝑊01, ancho del río 𝑊02 y ancho del río 𝑊03. ... 63

Figura 46. Sensibilidad de los 8 parámetros calibrados para el segundo tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛02), pendiente del río

𝑆01, pendiente del río 𝑆02, pendiente del río 𝑆03, ancho del río 𝑊01 , ancho del río 𝑊02 y ancho del río 𝑊03. ... 63

Figura 47. Identificabilidad de los 9 parámetros calibrados para el segundo tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01), coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛02), coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛03), pendiente del río 𝑆01, pendiente del río 𝑆02,pendiente del río

Figura 48. Sensibilidad de los 9 parámetros calibrados para el segundo tramo: coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛01) , coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛02), coeficiente de rugosidad de Manning (𝑛03), pendiente del río 𝑆01, pendiente del río 𝑆02, pendiente del río

Figura 49. Resultado de la validación para el primer sub tramo modelado. ... 65

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1. Introducción

En este documento se presenta el modelos hidráulico e hidrológico MDLC en la evaluación de un tramo del río Magdalena comprendido entre los municipios Puerto Berrío y Puerto Wilches.

1.1 Antecedentes

Los modelos matemáticos y físicos han sido una herramienta bastante utilizada en los últimos tiempos dada su gran capacidad de predecir y de resolver problemas. Estos modelos tienen gran aplicación en la ingeniería especialmente modelos hidrológicos e hidráulicos, con los cuales se busca interpretar y entender distintos fenómenos que afectan las cuencas hidrológicas. No obstante, se debe tener en cuenta que estos modelos cuentan con un compromiso entre los aspectos eficiencia, seguridad y costo [1]. Uno de los modelos que se utilizan frecuentemente es el modelo hidrológico, con el cual se busca predecir y simular los diferentes fenómenos hidráulicos e hidrológicos que se presentan en la naturaleza, más específicamente en la cuenca o cuencas en las que se tiene algún interés. El interés por las cuencas es gracias a que es la unidad de respuesta hidrológica básica dentro de los ciclos hidrológicos y geomorfológicos [2]. Por esto uno de los objetivos que se tienen al estudiar las cuencas es la predicción de la respuesta hidrológica de la misma a partir de parámetros físicos medibles [2]. Sin embargo, la predicción de la respuesta es compleja dado su variación tanto en espacio como tiempo [3]. Por esto se hace uso de modelos en los cuales se simplifica la realidad y se da gran importancia a los parámetros más significativos que puedan representar el fenómeno de interés [1]. Por lo tanto, la estimación y predicción del comportamiento es esencial para evaluar el rendimiento potencial del agua con la finalidad de planificar las medidas a tomar, en caso de presentarse crecientes que conlleven a inundaciones y/o eventos de emergencias aguas abajo del sitio de interés [4].

1.2 Justificación

El río Magdalena es uno de los ríos más importantes del país gracias a su gran importancia para las comunidades aledañas, debido a su función como medio de transporte, fuente económica y proveedor de agua. La predicción de inundaciones y de crecientes en este río es tema de gran importancia por las graves consecuencias que pueden llegar a tener. Se pueden ver afectados poblaciones, cultivos, vida animal e inmuebles. Por lo tanto, predecir de manera correcta este comportamiento se hace vital para las poblaciones aledañas y el ecosistema que lo rodea. Para esto varios modelos hidrológicos han sido desarrollados y se encuentran en el ámbito de investigación y comercial. Estos modelos han sido desarrollados de manera concreta para el estudio de estos fenómenos, entre los cuales se encuentran los modelos HEC-HMS, HEC-RAS, MDLC y SWMM. De igual manera se tienen sistemas de alerta que fueron desarrollados por estudiantes de la Universidad de los Andes, tales como: “Estudio de factibilidad técnica de un modelo hidrológico de alarma de transito de caudales en el Río Magdalena tramo Palermo-Puerto Berrio” [5]; “Modelo de alarma integrado de flujo y transporte de contaminantes. Aplicación al tramo Palermo –Puerto Berrio en el río Magdalena” [6]; “Desarrollo y aplicación de un modelo hidrológico de niveles en el río Magdalena. Tramo Girardot-Puerto Berrio” [7]; entre otros.

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14 A continuación, se presentan los objetivos propuestos para este proyecto y el alcance de los mismos en la evaluación del tramo del río Magdalena Puerto Berrío – Puerto Wilches.

1.3.1 Objetivo general

Realizar la modelación de un tramo del río Magdalena por medio del modelo MDLC.

1.3.2 Objetivos específicos

 Revisar la literatura existente de los modelos propuestos para realizar un entendimiento de los mismos.

 Calibrar el modelo de tal manera que generen indicadores e información que permita realizar una evaluación del funcionamiento del mismo.

 Realizar la validación de la calibración de cada uno de los modelos.

1.4 Metodología

La metodología que se pretende utilizar se basa en la metodología para la obtención de un modelo predictivo de transporte de solutos y calidad de agua [8]. Esta metodología tiene propuesta 11 etapas, pero debido a la información disponible y al alcance del proyecto se realizarán 6 de las 11 etapas. Estas etapas son las siguientes: investigación preliminar, investigación hidráulica preliminar y ensayos con trazadores, análisis de datos, calibración de los modelos, verificación de los modelos y por último la evaluación del modelo.

La primera etapa se trata de recopilar datos hidrológicos del IDEAM para el tramo Puerto Berrío – Puerto Wilches ubicados sobre el río Magdalena para un periodo de 20 años comprendido entre 1990-2010. Los datos que serán pedidos al IDEAM (Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudio Ambientales) corresponden a los caudales medios diarios reportados por las estaciones disponibles. La segunda etapa consiste en utilizar los datos de la anterior etapa (ya procesados y ajustados). La tercera etapa es analizar la información recolectada para realizar una segmentación de la misma y determinar los datos que efectivamente serán utilizados en la calibración y verificación de los modelos. En la siguiente etapa se utilizarán los datos segmentados anteriormente para ajustar los parámetros del modelo MDLC. Este proceso se realizará por medio de simulaciones de Monte Carlo. A continuación, se toman los segundos datos segmentados para introducirlos en el modelo y así poder realizar la verificación y validación. La última etapa recopila la información del modelo: indicadores de eficiencia y eficacia y realizar la respectiva evaluación.

1.5 Resultados principales

El modelo MDLC fue calibrado para los años 1995 – 1999 con la información hidráulica e hidrológica que entregó el IDEAM. Esta información fue procesada y ajustada para ser implementada en el modelo. Después de esta calibración, se validó el modelo para los años 2000 – 2004 nuevamente con información hidráulica e hidrológica correspondiente a estos años. Este proceso se realizó para el tramo de río Magdalena en la sección Puerto Berrío – Puerto Wilches. Se llegó a la conclusión que este modelo tiene un buen ajuste y logra simular de manera correcta la hidrógrafa aguas abajo del tramo de estudio.

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15 Asimismo, se realizó un análisis de identificabilidad y sensibilidad para los parámetros que fueron calibrados: coeficiente de fricción de Manning (n), la pendiente del río (𝑆0) y el ancho del río (𝑊0). En este se llegó a la conclusión que el parámetro más influyente es el coeficiente de rugosidad y este contribuirá con una mejor respuesta del modelo.

1.6 Resumen del contenido

Este trabajo se encuentra divido en 7 capítulos, los cuales se presentan a continuación.

Capítulo 1 tiene como objetivo realizar una introducción al trabajo, en la cual, se muestran la importancia del modelo que se va a utilizar, se plantean los objetivos, se describe la metodología y se reportan los principales resultados de este trabajo.

Capítulo 2, se realiza una revisión del estado del arte al revisar los componentes teóricos que son utilizados en este proyecto, en los cuales se hace énfasis en el tránsito distribuido de crecientes, el modelo que se utiliza y la técnica de calibración usada.

Capítulo 3, comprende la caracterización del tramo de estudio (Puerto Berrío – Puerto Wilches) sobre el río Magdalena. Esta se realiza por medio de los datos de caudal medio diario suministrados por el IDEAM. Se muestra, además, como fueron procesados estos datos. Capítulo 4, presenta la implementación del modelo al igual que la técnica de calibración que se usó en este trabajo. A su vez, se realiza la validación de la calibración por medio de los parámetros seleccionados y las rutinas que fueron utilizadas en MATLAB®.

Capítulo 5, contiene la presentación de los resultados y análisis de los resultados obtenido en el capítulo anterior. En este se evalúa la identificabilidad y sensibilidad de los parámetros que fueron calibrados.

Capítulo 6, presenta las conclusiones del trabajo.

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2. Revisión del estado del arte de tránsito distribuido de

crecientes

Para determinar el tránsito distribuido de crecientes se debe entender que este es un proceso para determinar el tiempo y la magnitud de un flujo en un punto de interés con hidrógrafas conocidas o asumidas en uno o más puntos aguas arriba [9]. Existen dos tipos de modelos con los cuales se puede realizar el tránsito: el modelo agregado o hidrológico y el modelo distribuido o hidráulico.

Estos dos modelos se diferencian en el cálculo del flujo, es decir, el primero calcula el flujo por medio de una función que es dependiente del tiempo en una locación particular, mientras que el segundo calcula el flujo por medio una función que depende del espacio y del tiempo a través del sistema [9]. El primero de ellos utiliza la ecuación de continuidad (1) para describir la relación entre el caudal y el almacenamiento variable.

Donde:

 𝑆 (𝑡): almacenamiento del sistema hidrológico.

 𝐼 (𝑡): entrada al sistema hidrológico.

 𝑄 (𝑡): salida del sistema hidrológico.

Por otro lado, el método distribuido utiliza ecuaciones que describen la cantidad de movimiento y continuidad las cuales calculan las características en el desplazamiento de la onda. Estas ecuaciones fueron desarrolladas por Barre de Saint-Venant en 1871 y se denominan ecuaciones de Saint-Venant para flujo unidimensional las cuales se basan en ecuaciones diferenciales parciales.

A continuación, se presentan un breve resumen de los métodos que son más utilizados en el cálculo de tránsito de caudales.

2.1 Método de Muskingum

Este método es utilizado usualmente en tránsito hidrológico el cual utiliza la relación descarga – almacenamiento como su principal variable [9]. Este método modela el volumen de almacenamiento de inundación en un canal de río por medio del almacenaje en cuña y prisma. En la Figura 1 se puede ver de una manera más explícita estos dos tipos de almacenamiento. El almacenamiento de cuña se debe a un exceso de flujo de entrada durante el avance de una onda de inundación. Por otra parte, un almacenamiento de cuña negativo es producido cuando existe un exceso de salida de flujo en comparación con la entrada de este. Adicionalmente, el almacenamiento prisma se forma por un volumen constante en el canal prismático.

𝑑𝑆

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17 Figura 1. Imágen ilustrativo de los almacenamientos cuña y prima. Adaptado de [9].

Por medio de la anterior figura se puede identificar que el almacenamiento prisma es igual 𝐾𝑄 donde 𝐾 es el coeficiente de proporcionalidad y 𝑄 el flujo de salida, mientras que el almacenamiento de cuña es descrito por 𝐾𝑋(𝐼 − 𝑄), donde 𝐼 es el flujo de entrada y 𝑋 un factor de peso que tiene valores entre 0 y 0.5. El almacenamiento total es entonces la suma de los dos componentes.

La ecuación (2) puede ser arreglada para llegar a la función conocida de Muskingum, la cual representa un modelo lineal para el tránsito de caudales.

El valor de 𝑋 depende de la forma de la cuña que se esté modelando. Cuando 𝑋 = 0 no existe cuña y por lo tanto no hay remanso, este valor se ve comúnmente en un embalse (piscina nivelada). Para corrientes naturales este valor se encuentra entre 0 y 0.3 pero la estimación correcta y precisa de este parámetro no es tan necesaria, debido a que el método es relativamente insensible a 𝑋. El parámetro 𝐾 es el tiempo de viaje de la onda de inundación a través del canal. Para encontrar los parámetros 𝐾 y 𝑋 basados en las características y razón de flujo del canal se utiliza un método llamado Muskingum – Cunge. Para el tránsito hidrológico, los valores de 𝐾 y 𝑋 se asumen específicos y constantes a través de todo el rango de flujo.

Los valores de almacenamiento en un tiempo 𝑗 y 𝑗 + 1 pueden ser escritos como se muestra en la ecuación (4) y (5).

Usando las ecuaciones (4) y (5) se puede describir el cambio con almacenaje como:

𝑆 = 𝐾𝑄 + 𝐾𝑋(𝐼 − 𝑄) (2)

𝑆 = 𝐾[𝑋𝐼 + (1 − 𝑋)𝑄] (3)

𝑆_𝑗 = 𝐾[𝑋𝐼𝑗+ (1 − 𝑋)𝑄𝑗] (4)

𝑆𝑗+1= 𝐾[𝑋𝐼𝑗+1+ (1 − 𝑋)𝑄𝑗+1] (5)

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18 La ecuación (6) también puede escribirse de la siguiente forma con un intervalo de tiempo ∆𝑡.

Al combinar las ecuaciones (6) y (7) y simplificando se obtiene:

La cual describe la ecuación de tránsito del método de Muskingum donde:

Teniendo en cuenta que 𝐶1+ 𝐶2+ 𝐶3= 1.

Es posible determinar el valor de 𝐾 y 𝑋 si se tienen hidrógrafas para el tramo del río en estudio. Con las ecuaciones (6) y (7) se obtiene la siguiente expresión para el parámetro 𝐾.

2.2 Ecuaciones de Saint

–

Venant

La derivación de las ecuaciones de Saint – Venant tienen en cuentas las siguientes suposiciones [9]:

1. El flujo es unidimensional; profundidad y velocidad varían únicamente en la dirección longitudinal del canal. Esto implica que la velocidad es constante y la superficie del agua es horizontal a través de cualquier sección perpendicular al eje longitudinal.

2. Se asume que el flujo varía gradualmente a lo largo del canal para que la presión hidrostática prevalezca y las aceleraciones verticales puedan ser descartadas.

3. El eje longitudinal del canal es aproximadamente una línea recta.

4. La pendiente baja del canal es pequeña y el lecho del mismo es fijo; esto quiere decir que los efectos de remoción y deposición de los sedimentos son insignificantes.

𝑆_𝑗+1− 𝑆_𝑗=(𝐼𝑗+ 𝐼𝑗+1)

2 ∆𝑡 −

(𝑄_𝑗− 𝑄_𝑗+1)

2 ∆𝑡 (7)

𝑄_𝑗+1= 𝐶₁𝐼_𝑗+1+ 𝐶₂𝐼_𝑗+ 𝐶₃𝑄_𝑗 (8)

𝐶₁= ∆𝑡 − 2𝐾𝑋

2𝐾(1 − 𝑋) + ∆𝑡 (9)

𝐶₂ = ∆𝑡 + 2𝐾𝑋

2𝐾(1 − 𝑋) + ∆𝑡 (10)

𝐶3 =

2𝐾(1 − 𝑋) − ∆𝑡

2𝐾(1 − 𝑋) + ∆𝑡 (11)

𝐾 = 0.5 ∆𝑡[(𝐼𝑗+1+ 𝐼𝑗) − (𝑄𝑗+1+ 𝑄𝑗)]

(19)

19 5. Los coeficientes de resistencia para flujo turbulento uniforme estable son aplicables, así pues, las relaciones como la ecuación de Manning puede ser usadas para describir los efectos de resistencia.

6. El fluido es incompresible y tiene densidad constante a través del flujo.

Con estas suposiciones en mente se puede continuar con la derivación de las ecuaciones, las cuales tienen 2 componentes: el componente de continuidad y el componente de momento. El primero describe la conservación del flujo de masa a lo largo del canal y el segundo describe la conservación del momento a través nuevamente del canal. Estas dos ecuaciones serán descritas en las siguientes secciones.

2.2.1 Ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad se describe de la siguiente manera:

Esta ecuación representa el balance de agua en un volumen de control. En la Figura 2 se puede identificar un ejemplo del volumen de control.

(a)

(b)

0 = 𝑑

𝑑𝑡∭ 𝜌 𝑑∀

𝑣.𝑐.

+ ∭ 𝜌𝐕 ∙ 𝐝𝐀

𝑣.𝑐.

(20)

20 Figura 2. Ejemplo del volumen de control: (a) Vista de elevación, (b) Vista en planta. Adaptado de [9].

El balance lo realiza a través de la suma de los flujos de entrada 𝑄 (entrada aguas arriba del volumen de control) y 𝑞 (entrada lateral al volumen de control). Esto se representa en la ecuación (5) y esta es negativa por notación debido a las ecuaciones de Reynolds donde las entradas se describen de esta manera.

Por su parte, el balance del flujo de masa de salida se puede visualizar por medio de la ecuación (6).

Donde 𝜕𝑄/𝜕𝑞 es el cambio en la razón del flujo en el canal con la distancia. Por lo tanto, la razón del cambio de la masa almacenada en el volumen de control por medio del volumen del canal (𝐴 𝑑𝑥) donde 𝐴 es el promedio de la sección transversal puede ser descrita por una derivada parcial debido a que el volumen de control está definido para que sea de un tamaño fijo.

El flujo neto de salida del volumen de control se halla al utilizar las ecuaciones (5) a (7).

Al suponer que el fluido tiene densidad constante y simplificando la ecuación (8) se llega a la forma conservativa de la ecuación de continuidad.

∬ 𝜌𝐕 ∙ 𝐝𝐀

𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

= −𝜌(𝑄 + 𝑞 𝑑𝑥) (14)

∬ 𝜌𝐕 ∙ 𝐝𝐀

𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

= 𝜌 (𝑄 +𝜕𝑄

𝜕𝑞𝑑𝑥) (15)

𝑑

𝑑𝑡∭ 𝜌𝑑∀

𝑣.𝑐.

=𝜕(𝜌𝐴𝑑𝑥)

𝜕𝑡 (16)

𝜕(𝜌𝐴𝑑𝑥)

𝜕𝑡 − 𝜌(𝑄 + 𝑞 𝑑𝑥) + 𝜌 (𝑄 + 𝜕𝑄

(21)

21

2.2.2. Ecuación de Momento

Esta ecuación parte de la escritura de la ecuación de Newton en términos del teorema de transporte de Reynolds, el cual establece que la suma de las fuerzas aplicadas es igual al cambio de la razón del momento almacenado dentro del volumen de control más el flujo neto de salida de momento a través de la superficie de control.

El flujo neto de salida de momento se describe por medio de la multiplicación de los flujos de

entrada al volumen de control (tanto lateral como el flujo del canal) y sus correspondientes velocidades, y un factor de corrección 𝛽.

Donde 𝜌𝛽𝑉𝑄 es el momento que entra agua arriba del canal y 𝜌𝛽𝑣𝑥𝑞 𝑑𝑥 es el momento que entra al canal principal por medio del flujo lateral, la cual tiene una velocidad 𝑣𝑥 en la dirección

𝑥. El término 𝛽 se conoce como el coeficiente de momento o coeficiente de Boussinesq y contribuye a la distribución no – uniforme de la velocidad en la sección transversal de un canal cuando se realiza el cálculo del momento. El valor de 𝛽 está dado por la siguiente ecuación.

El rango de valores de 𝛽 varia de 1.01 para un canal recto prismático a 1.33 para ríos de planicies con planicies de inundación. El momento que sale del volumen de control se describe en la ecuación (13).

El flujo neto de momento que sale de la superficie de control es la suma de las ecuaciones (20) y (22).

𝜕𝑄 𝜕𝑥+

𝜕𝐴

𝜕𝑡 − 𝑞 = 0 (18)

∑ 𝑭 = 𝑑

𝑑𝑡∭ 𝑽𝜌𝑑∀

𝑣.𝑐.

+ ∬ 𝑽𝜌𝑽 ∙ 𝒅𝑨

𝑠.𝑐

(19)

∬ 𝑽𝜌𝑽 ∙ 𝒅𝑨

= −𝜌(𝛽𝑉𝑄 + 𝛽𝑣_𝑥𝑞𝑑𝑥) (20)

𝛽 = 1

𝑉2_𝐴∬ 𝑣2𝑑𝐴 (21)

= 𝜌 [𝛽𝑉𝑄 +𝜕(𝛽𝑉𝑄)

𝜕𝑥 𝑑𝑥] (22)

= −𝜌(𝛽𝑉𝑄 + 𝛽𝑣_𝑥𝑞𝑑𝑥) + 𝜌 [𝛽𝑉𝑄 +𝜕(𝛽𝑉𝑄) 𝜕𝑥 𝑑𝑥]

= −𝜌 [𝛽𝑉𝑄 −𝜕(𝛽𝑉𝑄) 𝜕𝑥 𝑑𝑥]

(22)

22 El almacenamiento de momento en el volumen de control es encontrado usando el hecho que el volumen del canal es 𝐴 𝑑𝑥, por lo que se conoce que el momento es 𝜌𝐴 𝑑𝑥 𝑉 y, por lo tanto:

Al sustituir los términos de fuerza que se tienen en cuenta (gravedad, fricción, contracción/expansión, cizallamiento del viento y presión) y los términos de momento y realizar algunas operaciones algebraicas y de sustitución se llega a la ecuación de conservación de momento.

En donde 𝑄 es el caudal; 𝐴 es el área de la sección transversal; 𝑔 es la gravedad; 𝑦 es la profundidad de la superficie de agua; 𝑆0 es la pendiente del fondo del canal;𝑆𝑓 es la pendiente de fricción del canal; 𝑆𝑒 es la pendiente de pérdidas de energía de Eddy; 𝛽 es el coeficiente de momento o coeficiente de Boussinesq; 𝑞 flujo lateral que entra al canal; 𝑣𝑥 velocidad del flujo lateral; 𝑊𝑓𝐵 factor de cizallamiento del viento; 𝑡 es el tiempo y 𝑥 es la distancia del canal. El término 𝑆𝑓 y 𝑆𝑒 los cuales representan la razón de la energía que se pierde cuando el flujo pasa a través del canal, representan la cercana relación que existe entre las consideraciones de energía y de momento al describir el flujo.

Donde 𝐾𝑒 es el coeficiente de expansión o contracción no – dimensional, negativo cuando existe una expansión en el canal y positivo cuando hay una contracción. Por su parte 𝑆𝑓 se deriva de ecuaciones de resistencias, como por ejemplo la ecuación de Manning.

Las ecuaciones de Saint Venant se resumen en la siguiente tabla, en ella se muestra las formas conservativas y no conservativas tanto de la ecuación de continuidad como la ecuación de momento.

𝑑

𝑑𝑡∭ 𝑽𝜌𝑑∀

𝑣.𝑐.

= 𝜌𝜕𝑄

𝜕𝑡 𝑑𝑥 (24)

𝜕𝑄 𝜕𝑡 +

𝜕 (𝛽𝑄_{𝐴 )}2

𝜕𝑥 + 𝑔𝐴 ( 𝜕𝑦

𝜕𝑥− 𝑆0− 𝑆𝑓+ 𝑆𝑒) − 𝛽𝑞𝑣𝑥+ 𝑊𝑓𝐵 = 0

(25)

𝑆_𝑒= 𝐾𝑒 2𝑔

𝜕(𝑄 𝐴⁄ )2

(23)

23 Tabla 1. Resumen de las ecuaciones de Saint Venant*.

Como se puede observar las ecuaciones de Saint Venant tratan con diferencias parciales, por lo que se conoce que estas deben ser resueltas por medio de métodos numéricos. En este tipo de soluciones se encuentran métodos explícitos e implícitos. Por lo tanto, se desarrollaron numerosas alternativas para encontrar solución a las mismas.

2.4 Modelo MDLC

Dada la descripción teórica que se expuso en la anterior sección es posible describir el modelo MDLC (Multilinear discrete lag-cascade model) desarrollado por Camacho et al. 1999 [10]. Este modelo es una extensión al modelo conocido como: Modelo de cascada multi – lineal.

La aproximación que presentan los autores es idéntica al método de Perumal en términos del esquema de distribución de tiempos [11], pero el sub – modelo lineal es definido por un modelo de tres parámetros que combinan una cascada discreta con un canal lineal discreto. Este concepto se puede identificar en la Figura 3. El efecto del componente del canal lineal es retrasar la hidrógrafa transitada por un intervalo de tiempo explícito especificado por el parámetro llamado tiempo de retraso advectivo. Este parámetro se puede relacionar con el tiempo que le toma de más al flujo de agua para moverse de un punto a otro debido a las interacciones que tiene con el medio que lo rodea. Los autores también explican que al incluir este parámetro se pueda llegar a representar de una mejor manera la solución de las ecuaciones no lineales de Saint Venant. No obstante, reconocen que la parsimonia del modelo de cascada discreta de dos parámetros se ve reducido, pero justifican que la inclusión tiene beneficios en cuanto al nivel de precisión sin sacrificar la simplicidad de la solución. Además, esta inclusión puede ser justificada si el parámetro tiene un significado físico. Por lo tanto, ya que el parámetro de tiempo de retraso

(24)

24 es la causa de un componente grande del tiempo de retraso que se observa en la propagación del flujo de inundación aguas abajo, este efectivamente reemplaza la gran cantidad de embalses en cascada que se utiliza para simular de manera precisa el tiempo de retraso en canales extensos o en canales caracterizados por condiciones hidráulicas de onda cinemática. Su última justificación es que este parámetro mejora la predicción del proceso de propagación de inundación.

Figura 3. Estructura del modelo. [10]

Los autores hacen mención a una posible limitación que puede tener el modelo la cual es las irregularidades en regiones de pico de las hidrógrafas modeladas debido a la selección inapropiada de los pasos de tiempo. Por esto, explican que el método de solución puede ser computacionalmente demandante, pero esto no es un problema en la actualidad por los avances tecnológicos que se ha desarrollado del poder computacional.

La estimación que realizaron Camacho et al. de los parámetros, la hicieron a partir del procedimiento de los momentos. Este método relaciona los parámetros del modelo con las propiedades del canal y las condiciones hidráulicas para que de este modo se produzca un modelo predictivo del proceso de propagación de la inundación. Los autores contemplan tres momentos temporales los cuales son idénticos a los utilizados por Nash 1960 [12] con la adición del término de retraso en el primer momento.

Estos tres momentos se encuentran definidos en función de los parámetros temporales 𝐾 y 𝜏 y del número de embalses 𝑛. Se debe tener en cuenta que 𝐾 es un parámetro que tiene un efecto de atenuación, lo cual lo hace análogo a un parámetro del modelo ADZ llamado tiempo de residencia. El objetivo de este parámetro es generar que la hidrógrafa transitada se traslade en un intervalo de tiempo específico. Por otro lado, también se debe tener en cuenta que el primer momento se calculó con el origen, mientras que los otros dos con el centroide.

𝑘₁= 𝑛𝐾 + 𝜏 (27)

𝑘₂= 𝑛𝐾2 ₍₂₈₎

(25)

25 Los parámetros del modelo se pueden relacionar con los parámetros del modelo linealizado de Saint Venant y por lo tanto a las condiciones de flujo y características del canal a través del método de momento. Al aplicar la transformada de Laplace los tres momentos que se encuentran para la respuesta generalizada del canal aguas abajo son [10]:

donde 𝐹0 es el número de Froude; 𝑦0 es la profundad de flujo en referencia a una descarga constante 𝑄0; 𝑆0 es la pendiente del piso del canal; 𝑋 es la distancia longitudinal a la cual la hidrógrafa es calculada y 𝑚 denota la razón de la velocidad de la onda cinemática 𝑐0 con la velocidad promedio del flujo a la condición de referencia 𝑢0.

Se debe identificar que para canales rectangulares anchos con Chezy como ley de fricción 𝑚 =

1.5 y con Manning como ley de fricción 𝑚 = 5/3.

Al combinar los tres momentos se puede obtener:

𝑘1=

𝑋

𝑚𝑢0 (30)

𝑘₂ = 1

𝑚(1 − (𝑚 − 1)2𝐹02) ( 𝑦0

𝑆₀𝑋) ( 𝑋 𝑚𝑢₀)

2

(31)

𝑘3=

3

𝑚3(1 − (𝑚 − 1)2𝐹02)(1 + (𝑚 − 1)2𝐹02) (32)

𝑚 = 𝑐0 𝑢₀ =

(𝑑𝑄_𝑑𝐴|

𝐴=𝐴0

(𝑄0

𝐴₀)

(33)

𝐾 = 3

2𝑚(1 + (𝑚 − 1)𝐹02) ( 𝑦0

𝑆₀𝑋) ( 𝑋

𝑚𝑢₀) (34)

𝑛 = 4𝑚

9 (1 − (𝑚 − 1)2𝐹02)

(1 + (𝑚 − 1)𝐹₀2_{) ( 𝑦}0

𝑆₀𝑋)

(35)

𝜏 = ( 𝑋

𝑚𝑢₀) (1 − 2

3 (1 − (𝑚 − 1)2𝐹02)

(26)

26 Los parámetros del sub modelo discreto pueden relacionarse con los parámetros continuos descritos en las ecuaciones (56) – (58) para pasos de tiempo ∆𝑡 donde ∆𝑡 ≤ 𝐾 por:

Cuando ∆𝑡 > 𝐾 (un caso que se puede dar cuando se simula ondas cinemáticas de inundación) se deben usar las ecuaciones (56) – (58) en cambio de las ecuaciones (59) – (61). Sin embargo, los autores recomiendan que el coeficiente de almacenamiento debe ser corregido adecuadamente para mantener el tiempo de viaje correcto cuando se tienen pasos de tiempo más largos.

donde (𝜏𝑑 mod ∆𝑡) es el recordatorio de dividir 𝜏𝑑 entre ∆𝑡.

De igual modo, los autores comentan que la descarga de referencia en la cual está basada la linealización debe ser recalculada para mantener la consistencia de las suposiciones del método y de los conceptos multilineales.

donde 𝐼𝑏 es el caudal inicial en el canal antes de la llegada de la onda creciente (𝐼𝑏 = 𝐼𝑡=0 y 𝑎 es un coeficiente pequeño con límites empíricos 0 < 𝑎 < 0.5. Este parámetro empírico es una medida de la dispersión producida en el tránsito hidrológico y es, además, una forma de indicar que tipo de onda se está modelando [3].

2.5 Método Muskingum

–

Cunge

Este método fue propuesto por Cunge (1969) [13] como una variación del método de tránsito de ondas cinemáticas. Este método está basado en el método de Muskingum el cual se revisó en el numeral 2.1. La ecuación de tránsito de Muskingum puede estar escrita para la descarga en 𝑥 = (𝑖 + 1)∆𝑥 y 𝑡 = (𝑗 + 1)∆𝑡 de la siguiente manera (basado en la XXX):

𝐾_𝑑= 𝐾 − ∆𝑡 (37)

𝑛_𝑑= 𝑛𝐾 − ∆𝑡

(𝐾 − ∆𝑡) (38)

𝜏_𝑑 = 𝜏 − ∆𝑡 (39)

𝐾_𝑑= 𝐾_𝑑+ (𝜏_𝑑 mod ∆𝑡)/𝑛_𝑑 (40)

(27)

27 Figura 4. Caja de diferencias finitas para la solución de la ecuación lineal de onda cinemática mostrando las

ecuaciones de diferencias finitas [9].

en donde 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 están definidas por las ecuaciones (9) – (11). En esas ecuaciones, 𝐾 es una constante de almacenamiento que tiene dimensiones de tiempo y 𝑋 es un factor que expresa la relativa influencia del flujo de entrada con los niveles de almacenamiento. Cunge demostró que cuando 𝐾 y ∆𝑡 se toman como constante el resultado aproximado de la solución a las ecuaciones de onda cinemática es la ecuación (64). También logró demostrar que la ecuación (64) puede ser considerada una solución aproximada de la ecuación de difusión modificada (se referencia la Tabla 1) si:

y

𝑄_𝑖+1𝑗+1= 𝐶1𝑄𝑖𝑗+1+ 𝐶2𝑄𝑖𝑗+ 𝐶3𝑄𝑖+1𝑗 (42)

𝐾 =∆𝑥 𝑐𝑘 =

∆𝑥

𝑑𝑄/𝑑𝐴 (43)

𝑋 =1 2(1 −

𝑄

(28)

28 donde 𝑐𝑘 es la celeridad correspondiente a 𝑄 y 𝐵, y 𝐵 es el ancho de la superficie de agua. La parte derecha de la ecuación (65) representa el tiempo de propagación de una descarga dada a lo largo de la longitud ∆𝑥. Además, Cunge (1969) [13] demostró que para tener estabilidad numérica se requiere que 0 ≤ 𝑋 ≤ 1/2.

Este método se lleva a cabo resolviendo la ecuación (64). Los coeficientes en esta ecuación se computan por medio de las ecuaciones (65) y (66) en conjunto con las ecuaciones (9) a (11), para cada tiempo y punto en el espacio de computación, dado que 𝐾 y 𝑋 cambian con respecto al tiempo y al espacio.

El método Muskingum – Cunge ofrece dos ventajas con respecto a los métodos estándares de onda cinemática. Primero, la solución que se obtiene a través de la ecuación (64) y no a través de una diferencia finita o una aproximación a la ecuación diferencial parcial, lo cual permite que toda la hidrógrafa se obtenga en una sección específica y no sobre toda la longitud del canal para cada paso de tiempo. Por otra parte, la solución de la ecuación (64) va a tender a mostrar una atenuación menor de la onda, permitiendo así una flexibilidad a la hora de escoger el tiempo y los incrementos de espacio para la computación.

Algunas desventajas del método son la incapacidad de manejar perturbaciones aguas abajo que se propaguen aguas arriba y no predice de forma exacta la descarga de la hidrógrafa a una condición de frontera aguas abajo donde haya grandes variaciones de la velocidad cinemática de onda.

2.6 Técnicas de calibración

El modelo que fue escogido después de la revisión que se realizó es el modelo MDLC, el cual después de ser implementado se le debe aplicar alguna técnica de calibración para así llegar a obtener los parámetros óptimos que logren maximizar su exactitud y la eficiencia. Para este proyecto se hizo uso de la metodología GLUE, la cual fue implementada en la herramienta de análisis de resultados de Monte Carlo [14].

2.6.1 Generalized Likelihood Uncertainty Estimation (GLUE)

La metodología GLUE se basa en la premisa que previo a la introducción de cualquier información cuantitativa o cualitativa a un ejercicio de modelación, cualquier conjunto de combinaciones de modelos/parámetros que predicen la variable o variable de interés deben considerarse igualmente probables como simulador del sistema [15]. Beven & Binley (1992) sugieren que solo es posible realizar una evaluación de la probabilidad o posibilidad de que un conjunto de parámetros particular sea un aceptable simulador del sistema.

El procedimiento de este método reconoce la equivalencia o equivalencia cercana de los diferentes conjuntos de parámetros en la calibración de los modelos distribuidos. Se basa en la realización de una gran cantidad de simulaciones de un modelo dado con diferentes valores de conjuntos de parámetros, escogidos al azar de la distribución específica de los parámetros [15]. Al comparar los datos que fueron predichos y los observados, a cada conjunto de parámetros se le asigna un valor de probabilidad de ser el simulador del sistema. Se debe tener en cuenta que

(29)

29 la interacción entre los parámetros no logra ser un problema debido a que estas serán tenidas en cuenta en la asignación del valor de probabilidad [15].

Los requerimientos de la metodología GLUE se muestran a continuación [15]:

1. Definición formal de la medida de probabilidad o del conjunto de medidas de probabilidad.

2. Se requiere una definición apropiada de los rangos iniciales o de la distribución de los parámetros que van a ser considerados para una estructura de modelo particular.

3. Un procedimiento para los pesos de probabilidad en la estimación de la incertidumbre.

4. Un procedimiento para actualizar los pesos de probabilidad.

5. Un procedimiento para la evaluación de la incertidumbre de tal manera que se puede evaluar los valores de data adicional.

Para la implementación de esta metodología en este trabajo se siguió los pasos descritos por Céspedes & Camacho 2012 [16].

1. Especificar los rangos de muestreo para cada parámetro que se quiere calibrar.

2. Basado en la herramienta de simulación de Monte Carlo, se generan miles de valores para cada uno de los parámetros, así se puede asegurar el cubrimiento del rango muestral y los límites de confianza.

3. Definir un criterio que acepte o rechace los parámetros según el desempeño que hayan obtenido. En este caso se utiliza el coeficiente de determinación de Nash – Sutcliffe, debido a que este permite la comparación entre los datos simulados y los datos observados.

𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑁𝑎𝑠ℎ = 𝑅2_{= 1 −}

1

𝑛 ∑ (𝑄𝑜𝑏𝑠𝑖− 𝑄𝑠𝑖𝑚𝑖)

2 𝑛

𝑖=1

∑𝑛 (𝑄_{𝑜𝑏𝑠𝑖}− 𝑄̅̅̅̅̅̅) _𝑠𝑖𝑚 2 𝑖=1

(30)

30

3. Descripción del tramo de estudio

En esta sección se hace la descripción del tramo que se va a estudiar, el cual se encuentra sobre el río Magdalena entre los municipios de Puerto Berrio y Puerto Wilches.

3.1 Tramo de estudio

El río Magdalena es reconocido por ser el río más importante del país, debido a que se encuentran varias ciudades principales gracias a que recorre los departamentos de Huila, Tolima, Cundinamarca, Boyacá, Caldas, Antioquia, Santander, Cesar, Bolivar, Magdalena y Atlántico [17]. Su nacimiento es en el páramo de las Papas ubicado sobre el Macizo Colombia y su desembocadura en el mar Caribe. Esta cuenca concentra más del 80% de la población nacional y genera cerca del 90% del producto interno bruto del país [17].

El río Magdalena posee una longitud total de 1530 km y una cuenca hidrográfica que ocupa 256622 km2_{[17]. La cuenca del río Magdalena se divide en tres: Alto, Medio y Bajo, en la Figura} 5 se muestra un mapa del mismo con sus respectivas divisiones. El tramo de estudio se encuentra sobre la cuenca media del Magdalena, que comprende desde el municipio de Honda (Tolima) hasta la población de Tamalameque (Cesar) y tiene como principales tributarios los ríos Guarinó, La Miel, Cocorná, Samaná Norte, San Bartolomé, Ité y Cimitarra provenientes de la cordillera Central y los ríos Negro, Ermitaño, Carare, Opón, Sogamoso y Lebrija de la Oriental [17].

(31)

31 Figura 5. Mapa del río Magdalena. Tomado de [18]

El tramo de estudio se encuentra ubicado sobre el río Magdalena, limitado por los municipios de Puerto Berrio y Puerto Wilches, y tiene una longitud aproximada de 186 km. Sus principales afluentes son los ríos Regla, Carare, Opón, La Colorada y Sogamoso. Además, este tramo está caracterizado por las múltiples ciénagas que se encuentran a ambos costados del río.

La información que se utilizó en este trabajo fue proporcionada por el IDEAM el cual tiene estaciones que operan en la zona. El IDEAM es el Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios Ambientales del país y proporciona la información de varias variables que se pueden medir en el río Magdalena. En esta zona el IDEAM cuenta con 19 estaciones hidrológicas, limnigráficas y limnimétricas, un resumen de la información general de estas se encuentra en la Tabla 2. Como se puede ver algunas de estas se encuentran suspendidas o fuera de servicio por lo que se descartaron, además unas estaciones activas fueron descartadas porque no tenían información de caudales sino de niveles. Por lo tanto, se escogieron 8 de las estaciones activas, las cuales se encuentran resaltadas en color azul. Estas estaciones se encuentran sobre el río Magdalena, así como sobre los principales afluentes ya mencionados.

(32)

32 Tabla 2. Resumen de la información general de las diferentes estaciones del IDEAM [19].

Figura 6. Ubicación de las estaciones del IDEAM en el río Magdalena y sus principales afluentes.

En la Figura 6 se puede visualizar las estaciones que fueron escogidas y los principales afluentes del río Magdalena. El tramos seleccionado se encuentra desde la estación # 63 hasta la estación #75.

Nombre de la estación Código Categoria Latitud Longitud Elevación

(m.s.n.m) Municipio Estado

Pto Berrio Automatica 23097030 Hidrológica automática:

NV (Ran) + PT 6.485139 -74.4011657 111 Puerto Berrío Activa

Bodega La 23107020 Limnigráfica 6.732194 -74.406944 149 Yondó Activa

Rio Nuevo 23117010 Limnimétrica 6.63333 -74.3333 121 Cimitarra Suspendida

El Tagual Automática 23117030 Limnigráfica 6.733056 -74.15975 105 Cimitarra Fuera de servicio

Pto Araujo Automática 23127020 Hidrológica automática:

NV (Ran) + PT 6.525556 -74.085833 92 Cimitarra Activa

Barredero Fca 23127050 Limnimétrica 6.645556 -74.065278 90 Puerto Parra Activa

Pto Gaitán 23137020 Limnimétrica 6.8 -74.1 94 Puerto Parra Suspendida

Peñas Blancas 23167010 Limnimétrica 6.954722 -73.950833 80 Yondó Activa

Pte Ferrocarril 23147020 Limnigráfica 6.773611 -73.935 90 Simacota Activa

Ayacucho 23147040 Limnimétrica 6.855806 -73.769333 101 Barrancabermeja Activa

Galán 23157070 Limnimétrica 7.05 -73.866667 76 Barrancabermeja Suspendida

Barrancabermeja

Automática 23157030

Hidrológica automática:

NV (Ran) + PT 7.060194 -73.876 75 Barrancabermeja Activa

Maldonado 23157080 Limnimétrica 7.204722 -73.926667 86 Barrancabermeja Suspendida

Pte Sogamoso 24067020 Limnimétrica 7.244167 -73.7875 90 Puerto Wilches Activa

Coquera La 23187110 Limnimétrica 7.25 -73.916667 70 Puerto Wilches Suspendida

Pto Wilches 23187010 Limnimétrica 7.344389 -73.905056 66 Puerto Wilches Activa

San Pablito 23187170 Limnimétrica 7.383333 -73.916667 62 Cantagallo Suspendida

San Pablo Rio

Magdalena Autom 23207040

Hidrológica automática:

NV (Ran) + PT 7.480333 -73.918556 62 San Pablo Activa

(33)

33 De acuerdo con las estaciones seleccionadas se realizó la división del tramo en 2 partes. Esta división se hizo con el fin de poder modelar de una mejor manera. Además, las estaciones que dividen el tramo son las que se encuentran sobre el río Magdalena y son fundamentales en el desarrollo de la modelación, calibración y validación. Cada uno de los tramos tiene sus propios afluentes, se debe tener en cuenta que en varias ocasiones las estaciones de los afluentes quedan lejos del río Magdalena. Además de la subdivisión del tramo, los sub - tramos también fueron divididos por cuestiones nuevamente de la modelación. En la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. se muestra la segmentación final con la que se trabajará posteriormente.

Tabla 3. Segmentación final del tramo de estudio.

Se debe aclarar un aspecto de la Tabla 3, punto común es el sitio donde hace la entrada el afluente que corresponde a la unión del río Opón y el río La Colorada. Dado que la estaciones que quedan sobre estos ríos quedan muy lejanas al río Magdalena se decidió tratarlos como sub - tramos. Para poder identificar las estaciones que corresponden a cada uno de los afluentes o al río Magdalena se presenta la Tabla 4.

Tabla 4. Estaciones del IDEAM correspondientes a cada río.

3.2 Datos caudales medios diarios

La información que fue solicitada al IDEAM es el registro de los caudales medios diarios de cada una de las estaciones. Esta información fue entregada por este ente en archivos que podían ser abierto en el block de notas de cualquier computador. De igual modo, se solicitaron los registros de niveles, aforo líquidos y sólidos, y secciones transversales. Esta información fue revisada posteriormente. Los años para los cuales se pidieron estos registros fue de la fecha de operación

Punto de inicio Punto final

Puerto Berrío Río Regla Río Regla Río Carare Río Carare Peñas Blancas Peñas Blancas Punto común

Río Opón Punto Común

Río La Colorada Punto Común Punto Común Río Sogamoso Río Sogamoso Puerto Wilches Puerto Berrío -

Peñas Blancas

Peñas Blancas - Sitio Nuevo

Subtramo Tramo

Ríos Estación

Magdalena Pto Berrio Automatica

Regla Bodega La

Carare Pto Araujo Automática Magdalena Peñas Blancas

Opón Pte Ferrocarril

La Colorada Ayacucho

Sogamoso Pte Sogamoso

(34)

34 de la estación hasta la fecha actual. Este fue un factor de selección de las estaciones debido a que algunas que se encuentran activas según el IDEAM no presentan registros de estas variables. Puesto que algunas estaciones se encuentran activas desde hace varias décadas se escogió un periodo más corto de tiempo. El periodo de tiempo que fue seleccionado fue de 10 años, esto debido a que es necesario calibrar y validar el modelo. Por lo tanto, se escogió el periodo 1995 a 2004, debido a que en estos años se presentaba un mayor número de datos no faltantes, es decir anualmente los registros estaban más completos y se quería seguir con la implementación que realizó Méndez 2015 [3].

Con el periodo seleccionado, se decidió filtrar la información de los archivos del IDEAM para ponerlos en archivos de extensión .txt. En este proceso se eliminaron los rótulos y convenciones que traían y se pusieron en un archivo de extensión .xlsx. Para cada una de las estaciones se realizó este proceso. Al observar los datos se encontraron algunos caudales faltantes por lo que se decidió completarlos. La metodología que se usó fue la regresión lineal, esta funciona de la siguiente manera: se escoge una estación aguas arriba de la seleccionada y se realiza una gráfica donde se los datos que se grafican son los caudales de ambas estaciones. A continuación, se realiza la línea de tendencia lineal, se obtiene la ecuación de la misma y el coeficiente de determinación (R2_{). Se busca que la regresión tenga un R}2_{lo más cercano posible. Con la} información de los caudales completa se procede a poner en un archivo de extensión .txt los años escogidos. En la Tabla 5 y la Tabla 6 se muestran los años con los cuales se implementará la calibración y en la validación.

Tabla 5. Años escogidos para la calibración del modelo.

Tabla 6. Años escogidos para la validación del modelo.

Año

1995 1996 1997 1998 2000

Año

2001 2002 2003 2004 2005

(35)

35

4. Implementación del modelo

En esta sección se presenta la implementación del modelo MDLC. Se divide en 3 subsecciones las cuales se describe la Implementación, la Calibración y la Validación.

4.1 Implementación

La implementación del modelo se realizó por medio de las rutinas y subrutinas creadas por Camacho (1999) en Matlab® [20] en conjunto con 2 funciones ya implementadas: route.m y extractfl.m. La primera función se utilizó para crear otra en la cual se implementa el modelo MDLC llamada trans_tramo1.m. En esta se hace el transito del sub tramo 1 que fue explicado en la sección 3. De igual manera se implementó una función para el sub tramo 2 (trans_tramo2.m). Estas dos funciones tienen como parámetros de entrada:

1. Los años en los cuales se extraerán los datos hidrológicos (ano).

2. El día inicial (inday) y día final (finday) que comprenden el periodo de la modelación. 3. El periodo de tiempo comprendido entre estos días (dt).

Por su parte, la función extractfl.m carga las hidrógrafas del tramo correspondiente que se esté modelando con base en los parámetros previamente mencionados (ano, inday, finday, dt). Más información de estas funciones pueden ser encontradas en Lombana (2003) [6].

La función extractfl.m en un principio comprendía la extracción de los datos en un periodo de 1998 hasta 2002, sin embargo, se realizaron algunas modificaciones. Estas modificaciones consistieron en extraer los años de calibración o modelación en conjunto y no uno por uno. Así pues, se utilizó el número 1 para la extracción de los datos de calibración (periodo 1995-1999) y el número 2 para la extracción de datos de la validación (periodo 2000-2004). Esta función se dividió en 2 para poder modelar cada uno de los subtramos (1 y 2), por lo tanto, se crearon las funciones extraccion.m y extraccion2.m respectivamente.

En cuanto a la calibración por la metodología GLUE se creó una rutina donde se desarrollan las simulaciones Monte Carlo y se utiliza la herramienta MCATTool® [14] para el análisis de las mismas. Esta rutina fue llamada simulaMC.m y simulaMC2.m que corresponden a cada uno de los tramos a modelar. En esta rutina se crean matrices con las siguientes variables:

 Pars: matriz que contiene los valores de los parámetros que fueron simulados por tramo.

 R2: vector que contiene el valor del coeficiente de Nash – Sutcliffe para el número de simulaciones que se simulen.

 Mcsim: matriz que contiene los valores de caudales simulados por el modelo MDLC.

 Qobs: vector que contiene los caudales observados extraídos de las funciones de extracción.

 tt: vector que contiene el número de días que fueron simulados.

Estas variables sirven para que la herramienta MCATTool® en la cual se generan las gráficas de sensibilidad con las cuales se realizan los análisis de los resultados arrojados por la calibración. En esta se puede visualizar el número de parámetros que se estén simulando y el mejor valor y/o combinaciones de valores que arrojo el coeficiente.

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36 Por último, se crearon las funciones para validar la calibración, estas funciones fueron llamadas: valid_tramo1.m y valid_tramo2.m. En estas se define el rango de años que se va a calibrar por medio del número 2 y tienen sus propios structs (arreglos con valores de los parámetros que necesita la función route.m), los cuales contienen la información seleccionada por la calibración que fue realizada. En estas funciones se grafica la hidrógrafa modelada y la observadas y también se encuentra el coeficiente de Nash para dar una estimación del resultado de la validación.

4.2 Calibración

El conjunto de años que fue utilizado para la calibración fue 1995 – 1999 como se explicó anteriormente. Las funciones desarrolladas se pueden explicar de la siguiente manera: se le introduce el conjunto de años que se va a calibrar (ano), el día inicial (inday) y día final (finday), el periodo de tiempo comprendido entre estos días (dt) y el número de simulaciones que se quiere realizar (Nsim). Después, se generan los números aleatorios de distribución uniforme (3 parámetros por cada división de subtramo). Los parámetros que se escogieron para ser calibrados fueron el coeficiente de fricción de Manning (n), la pendiente del río (𝑆0) y el ancho del río (𝑊0). Para estos se crean unos rangos con los cuales se va a simular, estos son escogidos por medio de una revisión bibliográfica como los resultados que fueron obtenidos por Lombana (2003).

A continuación, se realiza la extracción de las hidrógrafas por medio de las funciones explicadas anteriormente. Se crean por otro lado las variables 𝐻𝑀, 𝑅2, 𝑚𝑠𝑐𝑠𝑖𝑚 y 𝑝𝑎𝑟𝑠 las cuáles serán introducidas en un ciclo. Este ciclo se realiza para llevar a cabo las simulaciones de Monte Carlo y se crean los valores que va a tomar cada parámetro, el valor del parámetro será utilizado en un struct (el cual es una matriz que puede tener campos con números, caracteres y demás) el cual está conectado con la función route.m. En este struct se encuentran parámetros característicos del tramo y son utilizados por esta función. Acto seguido se colocan las hidrógrafas que van a ser transitadas por medio de la función route.m, los valores de estas hidrógrafas se guardan en la matriz 𝐻𝑀 y con las hidrógrafas observadas se calcula el valor del coeficiente.

Al terminar el ciclo (el cual tiene longitud el número de simulaciones que se consideren necesarias) se hace uso de la herramienta MCATTool®. Se debe tener en cuenta que cada uno de los tramos se calibra primero con los mismos parámetros ya que se busca la combinación que resulte en el modelo más parsimonioso. Esto quiere decir que utilice el menor número de parámetros y estime de manera correcta las hidrógrafas, obteniendo un valor del coeficiente de determinación lo más cercano a 1.

4.3 Validación

Los años con los cuales se realizará la validación del modelo son (como se mencionó anteriormente) 2000 – 2004. La validación se hace con las hidrógrafas correspondientes a estos años y las funciones valid_tramo1 y valid_tramo2. Estas funciones tienen los parámetros que resultaron en la mejor calibración para cada uno de los sub tramos. Estas funciones modelan la hidrógrafa y la comparan con la observada, que da como resultado el coeficiente de Nash – Sutcliffe y por ende la exactitud del modelo. Este proceso se realiza para cada sub tramo para los 5 años propuestos.