Viscohipoplasticidad aplicada al sistema de cimentación placa pilotes

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(1)Viscohipoplasticidad aplicada al sistema de cimentación placa pilotes. Francisco J. García G. Candidato a M.Sc.. Asesor de tesis: Prof. Dr.-Ing. Arcesio Lizcano. Universidad de los Andes Facultad de Ingenieria Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental Magister en Ingeniería Civil Grupo de Investigación en Geotecnia 2005.

(2) Tabla de Contenidos. 1. Introducción. 1. 2. Modelos hipoplásticos. 5. 2.1. Modelos Constitutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Hiperelásticidad. 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.1.2. Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.1.3. Hipoelasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.1.4. Plasticidad perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.1.5. Hiperplasticidad (elastoplasticidad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.1.6. Hipoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.1.7. Visco-elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 2.1.8. Visco-plasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 2.1.9. Viscohipoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.2. Hipoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.2.1. Características del modelo Hipoplástico . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.2.1.1. Ecuaciones de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 2.2.1.2. Incremento no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 2.2.1.3. Homogeneidad en los esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2.2.2. Propiedades de los materiales granulares . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2.2.2.1. Barotropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.2.2.2. Picnotropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.2.2.3. Estado critico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 2.2.3. Ecuación Hipoplástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 2.2.3.1. Superficies de fluencia y de contorno . . . . . . . . . . . . .. 22. 2.2.3.2. Implementación del estado critico . . . . . . . . . . . . . .. 29. 2.2.3.3. Modelo de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. I.

(3) 2.2.3.4. Relación constitutiva hipoplástico para distintos casos de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 2.2.3.5. Determinación de las constantes del material . . . . . . . .. 43. 2.2.3.6. Ejemplo de calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 2.3. Deformación Intergranular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 2.3.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 2.3.2. Modelo Hipoplástico extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 2.3.3. Determinación de las nuevas constantes del material . . . . . . . . .. 63. 2.4. Viscohipoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 2.4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 2.4.2. Suposiciones preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 2.4.3. Version unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 2.4.4. De hipoplasticidad a viscohipoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 2.4.5. Barotropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 2.4.5.1. Calibración de fb de un ensayo edométrico . . . . . . . . .. 77. 2.4.5.2. Coeficiente de presión de tierras K0 . . . . . . . . . . . . .. 78. 2.4.6. Velocidad de creep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82. 2.4.6.1. Dependencia de la velocidad en los ensayos no drenados . .. 85. 2.4.6.2. Respuesta viscosa a trayectorias proporcionales . . . . . . .. 87. 2.4.7. Modificación a la forma de la superficie de fluencia . . . . . . . . . .. 87. 2.4.8. Deformación Intergranular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88. 2.4.9. Determinación de los parámetros viscohipoplasticos . . . . . . . . . .. 90. 2.4.9.1. Angulo de friccion critico ϕc . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90. 2.4.9.2. Índice de viscosidad Iv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90. 2.4.9.3. Forma de la superficie de fluencia βR . . . . . . . . . . . . .. 95. 2.4.9.4. Velocidad de referencia de creep Dr . . . . . . . . . . . . .. 95. 2.4.9.5. Índice de compresión λ e índice de recompresión κ . . . . .. 96. 2.4.9.6. Relación de vacíos de referencia e100 . . . . . . . . . . . . .. 97. 3. Estado del conocimiento. 99. 3.1. Definiciones y conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.1.1. Ventajas del Sistema de placa pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.2. Comportamiento del sistema placa pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.2.1. Influencia del estado de esfuerzos in situ en el comportamiento de los pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.2.2. Influencia de la interacción pilote-placa y pilote-pilote en el comportamiento del sistema placa pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.2.3. Limite de aplicación del sistema placa pilotes . . . . . . . . . . . . . 107. II.

(4) 3.3. Conceptos de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.4. Filosofías de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.5. Circunstancias favorables y desfavorables para placa pilotes . . . . . . . . . 110 3.6. Procesos de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.6.1. Etapa de diseño preliminar - Método de Poulos-Davis-Randolph (PDR)112 3.6.1.1. Rigidez de la placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.6.1.2. Rigidez del grupo de pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.6.2. Segunda etapa de diseño - Evaluación de los requerimientos de los pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.6.2.1. Criterio de momento máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.6.2.2. Criterio de esfuerzo máximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 133. 3.6.2.3. Criterio de presión de contacto máxima . . . . . . . . . . . 134 3.6.2.4. Criterio de asentamiento local . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.6.2.5. Valoración de los requerimientos de un pilote en la localización de la columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 3.6.3. Tercera etapa de diseño - Etapa de diseño detallada . . . . . . . . . 137 3.6.3.1. Método “strip on spring”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137. 3.6.3.2. Método “plate on spring” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 3.6.3.3. Método de elementos de contorno . . . . . . . . . . . . . . 140 3.6.3.4. Método de elementos de contorno y elementos finitos . . . . 143 3.6.3.5. Método de simplificado de elementos finitos . . . . . . . . . 145 3.6.3.6. Análisis tridimensional por elementos finitos . . . . . . . . 147 4. Caso histórico - Messeturm. 148. 4.1. Descripción del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.1.1. Arcilla de Frankfurt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.2. Historia de construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.3. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.3.1. Presión de agua en los poros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.3.2. Instrumentación de la placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.3.3. Deformación del suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.3.4. Instrumentación de los pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.4. Resultados de la instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.4.1. Mediciones del nivel freático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.4.2. Asentamientos en la placa de cimentación . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.4.3. Distribución de los asentamientos con la profundidad (Extensometros) 159 4.4.4. Resistencia de los pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.5. Modelo de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162. III.

(5) 5. Resultados modelación numérica. 166. 5.1. Asentamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.2. Carga en los pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.3. Placa pilotes vs. cimentación superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.4. Discusión de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6. Conclusiones. 177. A. Ensayos Arcilla de Frankfurt. 179. B. Implementación numérica. 213. B.1. Implementación numérica del modelo viscohipoplastico . . . . . . . . . . . . 213 B.2. Diagramas de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215. IV.

(6) Índice de figuras. 1.1. Interacción suelo estructura en el sistema placa pilotes (Katzenbach et al., 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 2.1. (a) Determinación de los parámetros c y ϕ de esfuerzos pico; (b) Envolvente curva para esfuerzos pico si mas de 3 ensayos son realizados . . . . . . . . . 2.2. Relación de vacíos hipoplástica limite. (Niemunis & Herle, 1997). . . . . . .. 9 15. 2.3. Trayectorias de deformaciones y de esfuerzos de acuerdo con el principio de Goldschider. (Lizcano & Kolymbas, 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 2.4. Rigideces diferentes en carga y descarga (Lizcano & Kolymbas, 1999) . . . .. 17. 2.5. Resultados de ensayos triaxiales variando la presión lateral (Kolymbas, 2000) 19 2.6. Resultados de ensayos triaxiales variando la relación de vacíos, σc es la presión lateral (Kolymbas, 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.7. Línea del estado critico. Relación de vacíos (arriba); Diagramas p − q y p − e (abajo) (Niemunis, 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 2.8. Envolventes de respuesta propuestas por Gudehus (1979) del modelo de referencia descrito en la sección 2.2.3.3. (Wollffesdorff, 1996; Niemunis, 2003) .. 24. 2.9. Trayectorias de esfuerzos experimentales que van mas allá de la superficie de fluencia. (Niemunis, 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 2.10. Dirección de Z para el estado de esfuerzos simétricos axialmente. (Niemunis, 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 2.11. Ángulo de Lode. (Wollffesdorff, 1996; Niemunis, 2003) . . . . . . . . . . . .. 33. 2.12. Efecto de deformaciones cíclicas en la altura de una muestra cilíndrica bajo presión constante. (Gudehus, 1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 2.13. Disminución de la relaciones de vacíos características ei , ec y ed con el esfuerzo efectivo p = − tr T/3 normalizado con la dureza granular hs . La función (B.9) es graficada en escala logarítmica (izquierda) y lineal (derecha). (Niemunis, 2003). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. V. 35.

(7) 2.14. Dependencia del factor fd de picnotropía con la relación de vacíos relativa re . (Bauer, 1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 2.15. Traslación de la envolvente de respuesta por fd . (Bauer, 1996) . . . . . . . .. 36. 2.16. Compresión cilíndrica con presión constante. Influencia de fe . (Gudehus, 1996) 37 2.17. Expansion y traslación de la envolvente de respuesta por fe . (Bauer, 1996) .. 37. 2.18. Obtención del ángulo de fricción critico ϕc del ángulo de respuesta. (Herle & Gudehus, 1999). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 2.19. Determinación de n de valores medidos. (Herle & Gudehus, 1999) . . . . . .. 45. 2.20. Influencia de n (a) y hs (b) en el calculo de curvas de compresión. (Herle & Gudehus, 1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 2.21. Relación de vacíos minima ed . (Herle & Gudehus, 1999) . . . . . . . . . . .. 47. 2.22. Dependencia de ed con Cu . (Herle & Gudehus, 1999) . . . . . . . . . . . . .. 47. 2.23. Casos idealizados de arreglos de esferas y cubos a densidad minima. (Herle & Gudehus, 1999). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 2.24. Dependencia de emax con Cu . (Herle & Gudehus, 1999) . . . . . . . . . . . .. 48. 2.25. Diferentes deformaciones intergranulares h relacionadas con diferentes historias de deformación (Niemunis, 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 2.26. (a) Acumulación excesiva de los esfuerzos. (b) Acumulación excesiva de los esfuerzos ‘ratcheting’ durante ciclos de carga. (Niemunis, 2003) . . . . . . .. 55. 2.27. Interpretación de la deformación intergranular en 1-D. (Niemunis, 2003) . .. 56. 2.28. Evolución de la deformación intergranular en 1-D. (Niemunis, 2003) . . . . .. 58. 2.29. Trayectorias de esfuerzos y correspondientes trayectorias de deformación intergranular. (Niemunis & Herle, 1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. 2.30. Cambio de la rigidez con mR y mT para ρ = 0 y para ρ = 1. (Niemunis, 2003) 60 2.31. Velocidad de la deformación intergranular para el caso especial de ρ = 1. De acuerdo a (2.128) la velocidad h̊ desaparece en el caso Da = ĥkDa k(ĥ : Da > 0), y h̊ = D en el caso que Db (ĥ : Db < 0). (Niemunis, 2003) . . . . .. 62. 2.32. Evolución de la deformación intergranular h. Después de un cambio de dirección de 180o en la velocidad de deformación se supone que D permanece constante. Al principio D ∼ −~h por lo tanto h̊ = D, entonces D ∼ ~h por lo tanto kh̊k de acuerdo a la Ecuación (2.128). (Niemunis, 2003) . . . . . . . .. 63. 2.33. Valores de la rigidez característicos para la calibración del modelo. (Niemunis, 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64. 2.34. Correlación de βr vs. εSOM /R para distintos valores de χ. (Niemunis, 2003). 65. 2.35. Evolución de h para deformaciones cíclicas con una amplitud baja εA . h tiende a una oscilación simétrica con el numero de ciclos.. (Niemunis, 2003). VI. 66.

(8) 2.36. Relación entre la doble amplitud de deformación normalizada 2||/R y la acumulación de esfuerzos en la mitad de un ciclo de deformación para diferentes χ; (a) βr = 0,05; (b) βr = 0,5. (Niemunis, 2003) . . . . . . . . . . . .. 67. 2.37. Ensayo edométrico que comienza con OCR = 1.24 pero con diferentes historias de deformacion/esfuezo. La velocidad de creep es prácticamente igual sin importar la historia reciente. (Niemunis, 2003) . . . . . . . . . . . . . . .. 73. 2.38. Líneas de compresión paralelas para tres trayectorias de esfuerzos distintas ~ (1) 6= D ~ (2) 6= D ~ (3) pero con el con velocidades de deformación distintas D mismo valor kD(1) k = kD(2) k = kD(3) k = cte. (Niemunis, 2003) . . . . . . . 2.39. Diferentes pendientes κ y 2.40. Valores de. K0up. κo. de lientas de descarga. (Niemunis, 2003) . . . .. 76 77. obtenidos de condiciones de creep uniaxial. La Ecuación. (2.175) sobreestima el valor de Jaky K0 = 1 − sin ϕc . (Niemunis, 2003) . . .. 80. 2.41. Valores de K0 y x = kDk/Dr dependientes del índice de recompresión isotrópico κ. (Niemunis, 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82. 2.42. Valores de K0 y x = kDk/Dr dependientes del índice de recompresión edométrico κo . (Niemunis, 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83. 2.43. Isotaca de referencia e isotacas paralelas para compresiones proporcionales. (Niemunis, 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84. 2.44. Dependiendo de la velocidad de deformación tres trayectorias de corte no drenadas alcanzan tres esfuerzos últimos diferentes A, B, C a pesar de que la relación de vacíos de los tres ensayos era igual. (Niemunis, 2003) . . . . .. 86. 2.45. Dependencia de la velocidad para ensayos triaxiales no drenado de compresión. (Niemunis, 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86. 2.46. Cambio en la superficie de fluencia del Cam Clay Modificado. (Niemunis, 2003) 88 2.47. Ensayo de compresión edométrico con creep y relajación. (Niemunis, 2003) .. 89. 2.48. Obtención de Iv de un ensayo de compresión isotrópica. (Niemunis, 2003) .. 91. 2.49. Indices de compresión y recompresión de acuerdo a la ley de Butterfield (1979) 96 2.50. Determinación del parámetro e100 a partir de un ensayo edométrico . . . . .. 97. 3.1. Influencia del esfuerzo residual en el comportamiento de un pilote individual, caso estudiado. (Katzenbach et al., 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.2. Influencia del esfuerzo residual en el comportamiento de un pilote individual, resultados. (Katzenbach et al., 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.3. Influencia de la interacciones pilote-placa y pilote-pilote. Estudio realizado. (Katezenbach & Moormann, 2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.4. Influencia de la interacciones pilote-placa y pilote-pilote en el comportamiento carga-asentamiento de pilotes. resultados. (Katezenbach & Moormann, 2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105. VII.

(9) 3.5. Geometría estudio Reul (2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.6. Influencia de la interacción entre los pilotes y la placa (Reul, 2004) . . . . . 106 3.7. Comportamiento de un sistema placa pilotes en un suelo estratificado. Geometría modelo numerico. (Katzenbach et al., 2000) . . . . . . . . . . . . . . 107 3.8. Comportamiento de un sistema placa pilotes en un suelo estratificado. Suelo homogéneo (Izquierda); suelo heterogéneo (derecha). (Katzenbach et al., 2000)107 3.9. Curvas carga asentamiento para distintas filosofías de diseño, Poulos (2001). 110. 3.10. Sistema de placa pilotes dividido en una placa pilote individual, Clancy & Randolph (1993) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.11. Representación Simplificada de un sistema placa-pilote, Poulos (2001) . . . 114 3.12. Variación hipotética del límite de influencia de un pilote, Randolph & Wroth (1978) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.13. Valores de αrp calculado para diferentes tamaños de grupos de pilotes, Clancy & Randolph (1996) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.14. Sistema de coordenadas normalizado para placas rectangulares, Clancy & Randolph (1993) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.15. Asentamiento diferencial normalizado como función de la rigidez de la placa, Randolph (1994) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.16. Curva carga-asentamiento, Poulos (2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.17. Factor de influencia IF . Efecto de la rigidez de la placa en el asentamiento central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.18. Factor de Influencia IG para placas circulares flexibles en un medio finito de Gibson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.19. Factor de influencia IE . Factor de corrección del desplazamiento para un cimentación superficial embebida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.20. Eficiencia de un grupo de pilotes, Fleming et al. (1992) . . . . . . . . . . . . 126 3.21. Coeficientes αp y αbp contra el numero de pilotes para sp /rp = 6 y sp /rp = 8, Shen & Teh (2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.22. Coeficientes αp y αbp contra el numero de pilotes para sp /rp = 10 y sp /rp = 12, Shen & Teh (2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.23. Definición del problema para una carga individual de una columna, Poulos (2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.24. Factores de Momento A y B, Poulos (2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.25. Factor de esfuerzo, Poulos (2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.26. Factor de presión de contacto, Poulos (2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.27. Factor de seguridad de asentamiento, ω, Poulos (2001) . . . . . . . . . . . . 135 3.28. Representación del problema de placa pilote por el análisis “strip on spring”, Poulos et al. (1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 VIII.

(10) 3.29. Representación numérica del sistema de placa pilotes, Clancy & Randolph (1993) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 3.30. Representación del problema del método de elementos de contorno, Butterfield & Banerjee (1971b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.31. Modelación de un sistema de placa pilotes, Franke et al. (1994) . . . . . . . 144 3.32. Malla de elementos finitos para la representación de un sistema de cimentación placa pilotes, Edificación Westund 1 en Frankfurt am Main, Alemania, Reul & Randolph (2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.1. Messeturm (a) Sección Transversal A-A. (b) Vista en planta de la placa. (Reul, 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.2. Limites de Atterberg; humedad natural; limite liquido, limite plástico . . . . 151 4.3. Variación de la carga con el tiempo - Torre Messeturm (Reul, 2000) . . . . . 152 4.4. Instrumentacion Sistema placa pilotes (Schmitt et al., 2002) . . . . . . . . . 155 4.5. Variación del nivel freático con el tiempo (Reul, 2000) . . . . . . . . . . . . 156 4.6. Variacion del asentamiento de la placa con el tiempo (Reul, 2000) . . . . . . 157 4.7. Líneas del contorno del asentamiento (Reul, 2000) . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.8. Corte de la distribución del asentamiento debajo de la placa (Reul, 2000) . . 159 4.9. Distribución del asentamiento a lo largo de la profundidad (Reul, 2000) . . . 160 4.10. Variación de la resistencia de los pilotes con el tiempo (Reul, 2000) . . . . . 161 4.11. Distribución de la resistencia de los pilotes a lo largo de la profundidad (Reul, 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.12. Variacion del coeficiente de placa pilotes αpr con el tiempo (Reul, 2000) . . 162 4.13. Elementos finitos de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.14. Modelo de elementos finitos del Messetuerm. (a) Modelo elementos finitos del suelo; (b) Modelo de elementos finitos del sistema placa pilotes (Reul, 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.1. Resultados de la modelación numérica. Asentamiento con la profundidad para diferentes estados en el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.2. Resultados de la modelación numérica. Corte de la distribución del asentamiento debajo de la placa al final de la construcción de la torre . . . . . . . 169 5.3. Resultados de la modelación numérica. Distribución de la carga a lo largo del fuste de los pilotes para diferentes estados en el tiempo. . . . . . . . . . 174 5.4. Resultados de la modelación numérica. Corte de la distribución del asentamiento debajo de la placa al final de la construcción de la torre. Sistema placa pilote vs cimentación superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 A.1. Ensayo edométrico arcilla de Frankfurt; h = 24,3 m . . . . . . . . . . . . . . 180 IX.

(11) A.2. Ensayo edométrico arcilla de Frankfurt; h = 48,0 m . . . . . . . . . . . . . . 181 A.3. Ensayo edométrico arcilla de Frankfurt; h = 54,0 m . . . . . . . . . . . . . . 182 A.4. Ensayo edométrico arcilla de Frankfurt; h = 63,7 m . . . . . . . . . . . . . . 183 A.5. Ensayo edométrico arcilla de Frankfurt; h = 37,3 m . . . . . . . . . . . . . . 184 A.6. Ensayo edométrico arcilla de Frankfurt; h = 21,5 m . . . . . . . . . . . . . . 185 A.7. Ensayo edométrico arcilla de Frankfurt; h = 21,3 m . . . . . . . . . . . . . . 186 A.8. Ensayo edométrico arcilla de Frankfurt; Esfuerzo de preconsolidación (hoja 1) h = 24,3 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 A.9. Ensayo edométrico arcilla de Frankfurt; Esfuerzo de preconsolidación (hoja 2) h = 24,3 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 A.10.Ensayo edométrico arcilla de Frankfurt; Esfuerzo de preconsolidación (hoja 1) h = 21,3 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 A.11.Ensayo edométrico arcilla de Frankfurt; Esfuerzo de preconsolidación (hoja 2) h = 21,3 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 A.12.Ensayo edométrico arcilla de Frankfurt; Esfuerzo de preconsolidación (hoja 1) h = 21,3 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 A.13.Ensayo edométrico arcilla de Frankfurt; Esfuerzo de preconsolidación (hoja 2) h = 21,3 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 A.14.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 24,3 m; σc = 280kN/m3 . . . . 193 A.15.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 24,3 m; σc = 350kN/m3 . . . . 194 A.16.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 24,3 m; σc = 420kN/m3 . . . . 195 A.17.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 37,7 m; σc = 240kN/m3 . . . . 196 A.18.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 48,0 m; σc = 300kN/m3 . . . . 197 A.19.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 54,0 m; σc = 360kN/m3 . . . . 198 A.20.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 37,3 m; σc = 300kN/m3 . . . . 199 A.21.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 50,2 m; σc = 360kN/m3 . . . . 200 A.22.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 21,5 m; σc = 240kN/m3 . . . . 201 A.23.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 21,5 m; σc = 300kN/m3 . . . . 202 A.24.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 21,5 m; σc = 360kN/m3 . . . . 203 A.25.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 36,3 m; σc = 300kN/m3 . . . . 204 A.26.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 50,0 m; σc = 360kN/m3 . . . . 205 A.27.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 34,3 m; σc = 360kN/m3 . . . . 206 A.28.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 41,3 m; σc = 300kN/m3 . . . . 207 A.29.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 A.30.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 21,3 m; σc = 200kN/m3 . . . . 209 A.31.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 21,3 m; σc = 165kN/m3 . . . . 210 A.32.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 21,3 m; σc = 165kN/m3 . . . . 211 A.33.Ensayo Triaxial CD arcilla de Frankfurt; h = 36,3 m . . . . . . . . . . . . . 212 X.

(12) B.1. Diagrama de flujo UMAT parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 B.2. Diagrama de flujo UMAT parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 B.3. Diagrama de flujo modelo viscohipoplastico parte 1 . . . . . . . . . . . . . . 218 B.4. Diagrama de flujo modelo viscohipoplastico parte 2 . . . . . . . . . . . . . . 219 B.5. Diagrama de flujo modelo hipoplástico parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 B.6. Diagrama de flujo modelo hipoplástico parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 B.7. Diagrama de flujo Subrutina UNZIP NAMES Parte 1 . . . . . . . . . . . . . 222 B.8. Diagrama de flujo Subrutina UNZIP NAMES Parte 2 . . . . . . . . . . . . . 223 B.9. Diagrama de flujo Subrutina STIFF parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 B.10.Diagrama de flujo Subrutina STIFF parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 B.11.Diagrama de flujo Subrutina STIFF parte 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 B.12.Diagrama de flujo Subrutina MSTIFF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 B.13.Diagrama de flujo Subrutina GET SDDT Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . 228 B.14.Diagrama de flujo Subrutina GET SDDT Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . 229 B.15.Diagrama de flujo Subrutina GET PEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230. XI.

(13) Indice de tablas. 2.1. Constantes hipoplásticas de la arena de Karlsruhe (Herle & Gudehus, 1999) 4.1. Parámetros arcilla de Frankfurt y limo de Frankfurt. 51. . . . . . . . . . . . . . 150. 4.2. Parámetros viscohipoplasticos de la arcilla de Frankfurt . . . . . . . . . . . 151 4.3. Proceso constructivo torre Messeturm (Reul, 2000) . . . . . . . . . . . . . . 153 4.4. Evaluación de la carga torre Messeturm (Reul, 2000) . . . . . . . . . . . . . 153 4.5. Parámetros utilizados en el análisis de elementos finitos. . . . . . . . . . . . 164. 4.6. Análisis del proceso constructivo en el análisis de elementos finitos . . . . . 165 5.1. Asentamiento total para diferentes tiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.2. Resultado modelación numérica. Distribución de los asentamientos para EX1 en 28.03.1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.3. Resultado modelación numérica. Distribución de los asentamientos para EX2 en 28.03.1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.4. Resultado modelación numérica. Distribución de los asentamientos para EX3 en 28.03.1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.5. Resultado modelación numérica. Distribución de los asentamientos para EX1 en 26.07.1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.6. Resultado modelación numérica. Distribución de los asentamientos para EX2 en 26.07.1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.7. Resultado modelación numérica. Distribución de los asentamientos para EX3 en 26.07.1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.8. Coeficiente placa pilotes αpr para distintos tiempos . . . . . . . . . . . . . . 170 5.9. Resultados modelación numérica. Distribución de la carga a lo largo del fuste. Anillo interior 30.07.1991. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171. 5.10. Resultados modelación numérica. Distribución de la carga a lo largo del fuste. Anillo medio 30.07.1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171. XII.

(14) 5.11. Resultados modelación numérica. Distribución de la carga a lo largo del fuste. Anillo exterior 30.07.1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.12. Resultados modelación numérica. Distribución de la carga a lo largo del fuste. Anillo interior 12.01.1995. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172. 5.13. Resultados modelación numérica. Distribución de la carga a lo largo del fuste. Anillo medio 12.01.1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.14. Resultados modelación numérica. Distribución de la carga a lo largo del fuste. Anillo exterior 12.01.1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.15. Resultados modelación numérica. Distribución de la carga a lo largo del fuste. Anillo interior 17.12.1998. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173. 5.16. Resultados modelación numérica. Distribución de la carga a lo largo del fuste. Anillo medio 17.12.1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.17. Resultados modelación numérica. Distribución de la carga a lo largo del fuste. Anillo exterior 17.12.1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173. XIII.

(15) Capítulo 1 Introducción El sistema de placa pilotes es la combinación entre la una cimentación superficial y una cimentación profunda con las mejores características de cada una. El sistema placa pilotes es una construcción compuesta que consiste en tres elementos, pilotes la placa y el subsuelo. A diferencia del diseño tradicional de cimentaciones donde la carga es movilizada por la placa o por lo pilotes, en el diseño del sistema placa pilotes la distribución de carga entre los pilotes y la placa es tenida en cuenta. En este tipo de cimentación por lo general los pilotes no son necesarios para garantizar la estabilidad de toda la cimentación pero si para reducir los asentamientos totales, los asentamientos diferenciales, los momentos flectores en la placa y de esta forma garantizar que el sistema de cimentación funcione satisfactoriamente. Un gran numero de estructuras, especialmente rascacielos, están siendo cimentadas en el sistema placa pilotes (O’Neil et al., 2001; Katzenbach et al., 2000; Poulos, 2001). Por esta razón es importante el desarrollo de una metodología para el estudio del comportamiento de este tipo de cimentaciones. El comportamiento de del sistema placa pilotes esta caracterizado por una compleja interacción suelo-estructura (Figura 1.1). La modelación de estas interacciones requiere una herramienta poderosa y confiable, como el método de Elementos finitos, junto a una ley constitutiva realista, como el modelo viscohipoplastico desarrollado por el grupo de geotecnía de la universidad de Karlsruhe en Alemania.. 1.

(16) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. MIC 2005-II-18. s(x,y). . q. . q s,. s,i. L. 1.Interaccion suelo-pilote 2.Interaccion pilote-pilote 3.Interaccion suelo-placa 4.Interaccion pilote-placa.  q.  b,. qb,i. S. S. Figura 1.1. Interacción suelo estructura en el sistema placa pilotes (Katzenbach et al., 2000). En los últimos 40 años diferentes investigadores con diferentes metodologías han desarrollado investigaciones sobre el sistema placa pilotes. La gran mayoría de las investigaciones realizadas caen dentro de alguno de los siguientes dos grupos: Modelación Física: La modelación física o modelación en centrífuga consiste en realizar modelaciones a escala reducida de los problemas geotécnicos. Los trabajos mas importantes en este tema en el sistema placa pilotes son: Cooke (1986); Hirokoshi & Randolph (1998, 1996) Modelación numérica: La modelación numérica consiste en solucionar el problema por medio de un método numérico, ya sea diferencias finitas, el método de elementos de borde, el método de los elementos finitos o un enfoque híbrido en donde combine dos o más métodos numéricos en la solución del problema. Dentro de la modelación numérica también se puede hacer la distinción en grupos dependiendo de la metodología que se utilice, los dos grandes grupos son: • El desarrollo de programas para estudiar el comportamiento del sistema de placa pilotes. Estos programas son limitados a leyes constitutivas elásticas, configura2.

(17) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. MIC 2005-II-18. ciones uniformes de los pilotes en el sistema placa pilotes, misma longitud y diametro para el grupo de pilotes, entre otros aspectos. Algunos trabajos que entran en esta categoría son: Clancy & Randolph (1993, 1996); Poulos (1991); Small & Zhang (2002) • El desarrollo de modelos numéricos valiéndose de las herramientas existentes, como los programas de elementos finitos PLAXIS (Prakoso & Kulhawy, 2001) y ABAQUS (Reul & Randolph, 2003; Katezenbach et al., 1994; Katzenbach et al., 2002). Dentro de este grupo también se puede hacer la distinción entre la modelación numérica en dos o tres dimensiones, el cual es un aspecto muy importante debido a las complejas interacciones suelo-estructura que existen en este tipo de cimentación.. Dentro del objetivo de las investigaciones esta:. El análisis cualitativo (Katzenbach et al., 1998) o el análisis cuantitativo (Reul, 2004; Reul & Randolph, 2004) del comportamiento del sistema placa pilotes Análisis comparativo entre la modelación numérica y mediciones in situ de un caso histórico del sistema placa pilotes (Katzenbach et al., 2002; Katezenbach et al., 1994; Reul & Randolph, 2003) Metodologías de Diseño simplificadas para el sistema placa pilotes (Reul, 2000; Prakoso & Kulhawy, 2001; Poulos, 2001). La gran mayoría de investigaciones realizadas son hechas con leyes constitutivas elásticas y en el mejor de los casos leyes elastoplásticas. Numerosos investigadores han demostrado que estas leyes constitutivas no reproducen bien el comportamiento dependiente de la velocidad (como proceso de creep y relajación) en suelos finos. Por eso es necesario utilizar un modelo constitutivo el cual se capaz de modelar los efectos viscosos en suelos finos y de esta manera obtener resultados mas realistas de la modelación numérica de un sistema de placa pilotes. Además, para arcillas sobreconsolidadas pequeñas deformaciones no-lineales pueden tener una gran influencia en el movimiento del suelo simulado (Atkinson, 2000). Por esta razón se utilizara un modelo constitutivo realista, como el modelo viscohipoplástico el cual es capaz de modelar la no-linealidad de pequeñas deformaciones y los efectos viscosos en suelos finos o arcillosos. En el presente trabajo se realizara una modelación numérica en tres dimensiones con el programa de elementos finitos ABAQUS de un caso histórico - Torre Messeturm en Frank3.

(18) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. MIC 2005-II-18. furt am Main, Alemania - con la ley constitutiva viscohipoplástica para verificar y validar el gran potencial de este modelo constitutivo. Se entiende por verificación los procesos realizados para concluir sobre la calidad de la aproximación numérica del modelo matemático utilizado como la base para la predicción y la validación que como el proceso dirigido a la fiabilidad del modelo matemático como una abstracción fiel a la realidad.. 4.

(19) Capítulo 2 Modelos hipoplásticos 2.1.. Modelos Constitutivos. Debido a la necesidad de conocer mejor el comportamiento de los materiales y en este caso en particular el comportamiento de los suelos, a través de los años se han venido desarrollando diferentes modelos constitutivos. Lizcano & Kolymbas (1999), Kolymbas (2000) y Niemunis (2003) presentan un breve resumen de los distintos tipos de modelos constitutivos en suelos. A continuación se presente una breve descripción de los grandes grupos de modelos constitutivos que existen en la actualidad.. 2.1.1.. Hiperelásticidad. Niemunis & Cudny (1998) describen el modelo hiperelástico de una manera detallada y a continuación se presenta un breve resumen de lo que presentan en su publicación. Bajo condiciones de elasticidad pura, un modelo constitutivo debe ser conservativo. Esto se puede lograr utilizando una relación esfuerzo-deformación hiperelástica derivada de un potencial elástico. En consecuencia, el modelo hiperelástico es mas restrictivo que el modelo elástico porque debe garantizar la conservación de la energía y la conservación del esfuerzo. H. Eijkl dεkl = 0, y. H. Tij dεij = 0.. Es de especial interés la relación entre el esfuerzo total y la deformación 5. (2.1).

(20) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. MIC 2005-II-18. T = Es : εe o εs = Cs : T,. (2.2). T̊ = Et : De o De = Ct : T.. (2.3). o la relación entre incrementos. Los tensores de cuarto orden Es , Cs = (Es )−1 y Et , Ct = Et. −1. son llamados la rigidez. secante, la flexibilidad secante, la rigidez tangencial y la flexibilidad tangencial respectivamente. Estas rigideces dependen del esfuerzo y la deformación. Para formular un verdadero modelo hiperelástico conservativo se debe comenzar formulando una expresión para el potencial elástico W (T). Las relaciones secantes (Ecuación 2.2) y las relaciones tangentes (Ecuación 2.3) se obtienen por medio de diferenciar el potencial elástico. La flexibilidad secante C s se puede obtener derivando el potencial elástico con respecto a los esfuerzos y escribiéndola en forma de un producto. εeij =. ∂W (T) = Csijkl Tkl , ∂Tij. (2.4). donde Csijkl es una función compleja de T. La flexibilidad tangente C t resulta de derivar la Ecuación (2.4) con respecto al tiempo. e Dij =. dεeij ∂ 2 W (T) dTkl = · = Ctijkl T̊ik . dt ∂Tij ∂Tkl dt. (2.5). Puede ser difícil encontrar un potencial W (T) que al ser diferenciado dos veces resulte en una flexibilidad realista Ct (T). Debido a la existencia del potencial elástico hay dos consecuencias fundamentales: la primera es que la energía es función solo de los esfuerzos, la trayectoria de esfuerzos es irrelevante; la segunda radica en que existe una relación unívoca entre el esfuerzo y la deformación, es decir los modelos hiperelásticos son independientes de la trayectoria de esfuerzos.. 6.

(21) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. 2.1.2.. MIC 2005-II-18. Elasticidad. La teoría de la elasticidad es muy aceptada en la practica de la Ingeniería Civil. Es fácil observar un comportamiento elástico para el acero o el concreto, pero es muy difícil observar este comportamiento en los suelos. El rango elástico esta limitado para deformaciones con magnitudes entre 0.001 % - 0.01 %, la cual es sobrepasada en la mayoría de los problemas prácticos. El modelo elástico es atractivo debido a su simplicidad y que solo tiene dos constantes del material que pueden ser expresadas de diferentes formas (constantes de Lame, modulo de Young, relación de Poisson, modulo de cortante, el modulo volumétrico). El modelo elástico presenta una variedad de presentaciones dependiendo de las simplificaciones que se le hayan realizado al modelo, entre ellas se encuentran el modelo elástico isotropico lineal, el elástico anisotropico lineal y el elástico no lineal. Estas suposiciones conllevan a que el comportamiento del suelo sea modelado de una forma incompleta al comportamiento observado experimentalmente. El modelo elástico mas simple es el modelo elástico lineal isotropico. La consecuencia de una formulación isotropica es que la rigidez del suelo es igual en todas las direcciones, es decir, la dirección de la carga es irrelevante para el comportamiento mecánico del suelo. El comportamiento lineal no es observado experimentalmente e implica que la rigidez es independiente de:. profundidad (nivel de esfuerzos) dirección de la deformación historia de la deformación. Las desventajas del modelo son muchas, incluyendo la incapacidad del modelo de considerar dilatancia, el esfuerzo desviador puede crecer infinitamente debido a la ausencia de un estado limite de esfuerzos, los esfuerzos cortantes no influencian el cambio volumétrico, el cambio de los esfuerzos principales no producen deformaciones cortantes. En el modelo elástico lineal anisotropico establece una relación entre seis esfuerzos y seis deformaciones y necesita una matriz de 6 × 6 para describir el comportamiento del material, debido a que la matriz debe ser simétrica (requerimiento del potencial elástico), las constantes se reducen a 21. Otra simplificación se logra si el comportamiento del material no depende del eje de rotación de simetría. Este caso es llamado isotropica transversal o ortotropia. 7.

(22) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS.    ε11      ε22     ε 33   ε12      ε13    ε 23.         =                             . 1 Eh νhv Eh νhh − Eh. νhv − Eh 1 Ev νhv − Eh. νhh − Eh νhv Eh 1 Eh. MIC 2005-II-18. . 1 Gvh. 1 Gvh.                          2 (1 + νhh ) Eh.  σ11      σ22     σ  33. σ12      σ13     σ  23. Ev es el modulo elástico en la dirección vertical, Eh es el modulo elástico en la dirección horizontal, Gvh es el modulo de corte. La relación de Poisson νhv tiene en cuenta los efectos de los esfuerzos horizontales en las deformaciones verticales y νhh los efectos de los esfuerzos horizontales en las deformaciones horizontales. Pero solo 3 constantes del material pueden ser obtenidas de un ensayo triaxial a lo largo del plano de simetría (Graham & Houlsby, 1983). Adicionales trayectoria de esfuerzos son necesarias para los otros parámetros. Analizando el modelo elastico desde el punto de vista energetico se tiene que los materiales elásticos de Cauchy hay conservación de los esfuerzos pero no hay conservación de la energía.. H. Eijkl dεkl = 0, y. H. Tij dεij 6= 0.. (2.6). Se postula una dependencia esfuerzo-deformación T(ε) uno a uno (invertible) de donde resulta una relación tangencial (luego de una diferenciación con respecto al tiempo) esfuerzo deformación T̊ = E : D, la cual también es invertible y diferenciable. La función T(ε) es tradicionalmente escrita en forma lineal como se muestra en la Ecuación (2.2) La existencia de la rigidez secante Es garantiza una correspondencia uno a uno entre los esfuerzos y la deformación, donde no existe acumulación de esfuerzos pero si puede existir acumulación de energía (Ecuación 2.6). En mecánica de suelos Es es altamente dependiente de los esfuerzos.. 2.1.3.. Hipoelasticidad. En la mecánica de suelos las relaciones esfuerzo-deformación elásticas diferenciables (incrementales) son muy populares y son usadas en modelos elásticos y elastoplásticos. El. 8.

(23) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. MIC 2005-II-18. incremento de esfuerzos y la tasa de deformación son relacionados por medio de una matriz de rigidez tangencial E. T̊ = E : D.. (2.7). La rigidez E es una función del esfuerzo, la relación de vacíos y otras variables de estado. En mecánica de suelos este acercamiento es llamado Hipoelasticidad o elasticidad tipo Trusdell. Los modelos descritos por (2.7) son llamados incrementales lineales porque por lo general no se puede garantizar una relación unívoca entre el esfuerzo y la deformación. En los modelos hipoelásticos tanto el esfuerzo como la energía no son recuperados y ambos son dependientes de la trayectoria de esfuerzos. En estos modelos el potencial elástico esta ausente.. H. 2.1.4.. Eijkl dεkl 6= 0, y. H. Tij dεij 6= 0.. (2.8). Plasticidad perfecta. para el análisis de estados limites, un comportamiento idealmente plástico de los suelos es supuesto comúnmente. Por lo tanto solo se consideran los esfuerzos y las deformaciones son despreciadas. Esto contribuye a la separación de las deformaciones y el problema de equilibrio limite en geotecnia. t. t. 1. c (a). tan j s. (b). s. Figura 2.1. (a) Determinación de los parámetros c y ϕ de esfuerzos pico; (b) Envolvente curva para esfuerzos pico si mas de 3 ensayos son realizados. Usando el criterio de Mohr-Coulomb, el máximo (fluencia) esfuerzo cortante a un determinado esfuerzo normal es calculado a partir del ángulo de fricción ϕ y la cohesion c. Estos dos parámetros son obtenidos de una serie de ensayos triaxiales o de corte directo con una 9.

(24) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. MIC 2005-II-18. regresión lineal de los esfuerzos picos (2.1(a)). Pero para la mayoría de los suelos investigaciones han mostrado que la envolvente es una curva que pasa por el origen. En este caso ϕ y c no son constantes (2.1(b)), por el contrario dependen del nivel de esfuerzos (barotropia) y de la densidad de material (picnotropia).. 2.1.5.. Hiperplasticidad (elastoplasticidad). En los modelos elastoplásticos para resolver el problema de la presencia de dos rigideces distintas en la etapa de carga y descarga, se introducen al menos dos relaciones distintas entre σ̇ y ε̇, una para la etapa de carga y una para la etapa de descarga. Pero debido a esto hay que tener una serie de precauciones. Primero hay que definir cuando es carga y cuando es descarga, esto se logra introduciendo la llamada superficie de fluencia, una superficie en el espacio de esfuerzos. Las teorías de elastoplasticidad requieren que dentro de la superficie de fluencia el comportamiento sea elástico, una suposición que no es realista en suelos. Otra precaución es que en la transición de carga a descarga debe ser continua. Esto se logra con la llamada condición de consistencia. Otro punto a tener en cuenta en la elastoplasticidad es como la superficie de fluencia cambia de forma y de posición durante la carga. Es típico en la teoría de la elastoplasticidad dividir la deformación en una deformación elástica y en una deformación plástica (Ecuación 2.9), lo cual no se puede distinguir en los experimentos. La relación esfuerzo-deformación en la etapa de carga esta determinada por la llamada regla de flujo, la cual determina que el incremento (o la variación) de la deformación plástica es siempre normal a la superficie de potencial plástico. Un caso especial es cuando la superficie de potencial plástico y la superficie de fluencia coinciden. Este caso especial es conocido como la condición de normalidad, pero la normalidad no es realista en suelos friccionantes ya que esto implica que el ángulo de dilatancia es igual al ángulo de fricción interna del suelo, lo cual no es el caso. El concepto de elastoplasticidad es expresado matemáticamente como sigue: comenzando por descomponer la deformación en una parte plástica y una parte elástica,. εij = εeij + εpij ,. (2.9). la función de fluencia f (σij , εpij ) es introducida tal que la ecuación f = 0 define la superficie de fluencia. Si f no depende de εpij se tiene el caso especial de la llamada plasticidad ideal, mientras que la dependencia de f de εpij es llamado endurecimiento. Por medio de la 10.

(25) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. MIC 2005-II-18. superficie de fluencia se puede definir la etapa de carga con las siguientes condiciones ∂f dσij > 0 ∂σij. f = 0 and. (2.10). y la etapa de descarga esta definida como. f <0 o f =0. El caso. ∂f ∂σij dσij. and. ∂f dσij < 0 ∂σij. (2.11). = 0 constituye la llamada carga neutral. En la etapa de carga εpij varia,. i.e. εpij 6= 0, y la condición. df =. ∂f ∂f dσij + p dεpij = 0 ∂σij ∂εij. (2.12). garantizan que la superficie de fluencia este por detrás del punto de esfuerzo en movimiento. La dirección de los incrementos de la deformación plástica εpij esta dada por una función adicional g(σij ), el potencial plástico, como se muestra a continuación:. dεpij = λ. ∂g ∂σij. (2.13). La Ecuación 2.14 es llamada la regla de flujo, λ se obtiene introduciendo la Ecuación 2.13 en la Ecuación 2.12 ∂f ∂σkl λ=− dσkl ∂f ∂g ∂εppq ∂σpq Finalmente se tiene para la etapa de carga. 11. (2.14).

(26) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. MIC 2005-II-18.  ∂f ∂g  ∂σkl ∂σij   dσ dεij =  E − ijkl  ∂f ∂g  kl ∂εppq ∂σpq. (2.15). dεij = Eijkl dσkl. (2.16). . y para descarga. El caso especial en donde f = g es llamado condición de normalidad o regla asociada de flujo.. 2.1.6.. Hipoplasticidad. Comenzando por una simple definición de la Hipoplasticidad hecha por Kolymbas (1991) y que se encuentra en Niemunis (1993, 2003). “Elastoplasticidad, o su equivalente, hiperplasticidad son la unión de un comportamiento elástico y plástico. La diferencia entre carga y descarga esta dada por la llamada superficie de fluencia y las deformaciones son divididas en una parte elástica y una parte plástica. La hipoplasticidad es aquí entendida como una alternativa a la teoría clásica de la elastoplasticidad (. . . ) Donde se incluyen todos los modelos constitutivos plásticos (i.e. dependientes de la trayectoria de esfuerzos y disipativos) que no utilizan una superficie de fluencia. Los modelos hipoplásticos utilizan las ecuación de tipo incremental de poseen la siguiente forma T̊ = H (T, D). (2.17). donde T̊ es el corrotacional de Zaremba-Jaumann del esfuerzo actual de (Cauchy) T y D es el tensor de deformación. La función tensorial H(T, D, . . .) debe ser no lineal con respecto a D para describir el comportamiento disipativo.”. Otra forma de definir la hipoplasticidad es basándose en su diferenciabilidad (Wu & Kolymbas, 1990; Niemunis, 1993, 2003). Esto consiste en los siguientes requerimientos:. 12.

(27) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. MIC 2005-II-18. El esfuerzo en el material en un punto X depende solamente de la historia de deformaciones de X. Esto también aplica para la elastoplasticidad El material es independiente de la tasa de deformación. Si T = T(F(t)) = T(F(s(t))) muestra que el esfuerzo es un funcional de la historia del gradiente de deformación. Si el tiempo t es reemplazado por cualquier función incremental monotónica s(t) el valor del funcional no debe cambiar. Debe existir una función H para que. T̊ = H (T, D, . . .) .. (2.18). La función T̊ = H(T, D) es continua y diferenciable con respecto a todo D 6= 0. 2.1.7.. Visco-elasticidad. El modelo constitutivo visco-elástico pertenece al grupo de modelos reológicos en los cuales la rigidez elastica esta acoplada con la viscosidad Newtoniana (un fluido viscoso con T∗ = ηD∗ ), donde diferentes acoplamientos son considerados. En este grupo de modelos la acumulación de los esfuerzos es dependiente del tiempo (relajación) y ocurre independientemente de la trayectoria de esfuerzos que sea aplicada. Bajo esfuerzo controlado deformaciones del tipo creep (acumulación de deformaciones) son obtenidas. El tiempo es una variable fundamental en el modelo, por lo tanto por lo menos una constante debe estar relacionada con el tiempo. Usualmente este parámetro es llamado el fluidez (velocidad de creep de referencia) o su valor recíproco llamado el tiempo característico. La dirección del creep se supone normalmente puramente desviatoria y paralela del actual esfuerzo desviador.. 2.1.8.. Visco-plasticidad. El modelo visco-plástico acopla los efectos plásticos con los efectos viscosos del material. Los efectos acumulativos plásticos y viscosos son superpuestos. La acumulación de esfuerzos puede ocurrir en ausencia de trayectorias de deformaciones cerradas (relajación dependiente del tiempo) pero a diferencia de la visco-elasticidad un ciclo cerrado de deformación puede influencias decisivamente este proceso. Las deformaciones plásticas y viscosas son tratadas colectivamente, i.e. la velocidad de deformación se descompone en dos partes. D = De + Dvis . 13. (2.19).

(28) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. MIC 2005-II-18. La principal diferencia entre los modelos visco-plásticos y visco-elásticos radica en el hecho de que en el presente modelo la intensidad de Dvis depende fuertemente del llamado overstress, i.e. la distancia entre el esfuerzo actual T y la superficie de fluencia f (T, . . .) = 0. No solo la superficie de fluencia sino la regla de flujo Dvis ∼ n~g son adoptados de la plasticidad, lo cual indica claramente los orígenes de este tipo de modelos. Si las tres componentes de la velocidad de deformación (elastica + plástica + viscosa) son tratadas separadamente. D = De + Dp + Dvis .. (2.20). se le llama al modelo visco-elasto-plástico.. 2.1.9.. Viscohipoplasticidad. El modelo viscohipoplastico es la combinación de los modelos viscosos e hipoplásticos. Este modelo híbrido usa la parte lineal de la hipoplasticidad y una regla de flujo hipoplástica (para la dirección del creep). Además utiliza la regla de Norton para la intensidad del creep con referencia a la superficie de fluencia del modelo Cam Clay. En el presente modelo no es necesario que la descomposición de la velocidad de deformación mencionadas anteriormente (D = De + Dvis oD = De + Dp + Dvis sean explícitas. Actualmente Dvis ) es una segunda variable de estado (función de T y e) introducida solamente para una explicación mas sencilla del modelo.. 2.2.. Hipoplasticidad. 2.2.1.. Características del modelo Hipoplástico. Las suposiciones o hipótesis básicas del modelo hipoplástico son: El estado de un elemento de suelo es definido únicamente por los esfuerzos y la relación de vacíos (no existe la dependencia de macro-poros, capilaridad o efectos de cementación); Los granos son permanentes (no existe ruptura en los granos o abrasion); La relación de vacíos no puede estar por fuera de cierto rango definido por un limite superior y un limite inferior dependientes de la presión (Figura 2.2); 14.

(29) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. MIC 2005-II-18. Figura 2.2. Relación de vacíos hipoplástica limite. (Niemunis & Herle, 1997) Trayectoria de deformación proporcionales siempre conllevan a trayectorias de esfuerzos asintóticas independientemente del estado inicial de esfuerzos (Swept out of memory, Figura 2.3);. Figura 2.3. Trayectorias de deformaciones y de esfuerzos de acuerdo con el principio de Goldschider. (Lizcano & Kolymbas, 2000) El comportamiento del esqueleto granular es independiente de la velocidad de deformación El principio de los esfuerzos efectivos se mantiene.. 15.

(30) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. MIC 2005-II-18. Además de las suposiciones descritas anteriormente, el modelo hipoplástico tiene varias características que lo diferencian de otros modelos constitutivos (Lizcano & Kolymbas, 1999; Kolymbas, 2000). Entre ellas se encuentran su dependencia a la velocidad de carga, poseer un comportamiento incremental no lineal de su rigidez y la homogeneidad en los esfuerzos. Estas características se describen a continuación.. 2.2.1.1.. Ecuaciones de cambio. Un modelo constitutivo (la ecuación constitutiva) debe representar los esfuerzos producidos por la historia de deformaciones a partir de un estado de referencia determinado. Al representar los esfuerzos en función de las deformaciones, se asume que los esfuerzos no dependen de la historia de deformación. Este caso especial es llamado por designación elasticidad, pero el suelo no se comporta elásticamente. Una forma general de introducir la dependencia de la trayectoria (la historia) es mediante el uso de formas diferenciables no integrables (o forma de PFAFF), las cuales son representadas por la siguiente ecuación diferencial. dy = a1 dx1 + a2 dx2 + . . . + an dxn .. (2.21). Esta ecuación conecta incrementos dx1 , dx2 , . . . con dy (o dy1 , dy2 , . . . si y es un vector) de tal manera que no existe una representación cerrada de y(x). Es decir la relación (la cual es llamada incremental porque relaciona incrementos) dy = f (dxi ) no es integrable. De esta manera se procede en mecánica de suelos cuando se quiere representar incrementos de esfuerzos como una función no integrable de los incrementos de las deformaciones:. dσ = f (dε). (2.22). Esta aproximación es común en las teorías de la plasticidad y de la hipoplasticidad. Ahora dividiendo todos los incrementos por dt se obtienen los cambios con el tiempo:. σ̇ = dσ/dt ε̇ = dε/dt etc.. (2.23). De esta manera, una ecuación entre incrementos también puede ser representada como una. 16.

(31) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. MIC 2005-II-18. ecuación entre cambios con el tiempo, cuando se haga referencia a materiales denominados independientes del tiempo. Una ecuación de la forma σ̇ = f (ε̇) es una ecuación de cambio, esto no implica la existencia de la ecuación σ = g(ε). En notación tensorial una modelo constitutivo con ecuación de cambio es de la forma T̊ = f (D). Además es razonable incluir T en la lista de argumentos, lo cual conlleva a T̊ = f (T, D). Cabe notar, que hablando estrictamente, D no es la tasa de cambio de ninguna medida de deformación, además T̊ 6= Ṫ. Solo para el caso especial de extensión rectilínea (W = 0) se tiene que T̊ = Ṫ y D es la tasa de cambio de la deformación logarítmica εij .. 2.2.1.2.. Incremento no lineal. La rigidez incremental del material mostrado en la Figura 2.4 es representada como dσ/dε = σ̇/ε̇. Puesto que en materiales plásticos la rigidez en mucho mayor en descarga que en carga, se supone que para dichos materiales la función dσ = f (dε) o σ̇ = f (ε̇) debe ser no lineal en ε̇. Esta linealidad no se conserva, sin importar que tan pequeño sea dε. Esta propiedad se denomina ‘no linealidad en pequeños incrementos’ o ‘incremento no lineal’. Cabe resaltar que el incremento no lineal no tiene nada que ver con la forma de la curva esfuerzo-deformación. Por lo anterior, las relaciones elastoplásticas e hipoplásticas son relaciones incrementales no lineales.. s. ds. -de de. e Figura 2.4. Rigideces diferentes en carga y descarga (Lizcano & Kolymbas, 1999). 17.

(32) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. 2.2.1.3.. MIC 2005-II-18. Homogeneidad en los esfuerzos. Asumiendo que la relación T̊ = H (T, D) es homogénea en T, es decir. H (λT, D) = λn H (T, D) .. (2.24). Ahora se investiga las consecuencias de esta suposición. Se considera el estado de esfuerzos T1 . Se determina la deformación de tal manera que T̊ = H (T1 , D1 ) = λT1 . Si D1 se aplica continuamente se obtiene una trayectoria de esfuerzos representada por una línea recta que pasa por el origen del espacio de esfuerzos. Esta es una consecuencia de la suposición porque. T̊ (t + dt) = H (T1 + λT1 dt, D1 ) = (1 + λdt)n H (T1 , D1 ) = (1 + λdt)n T̊ (t). (2.25). En otras palabras la suposición de la homogeneidad en T implica que trayectoria proporcionales de deformaciones (es decir, trayectoria con D constante) están conectadas con trayectoria proporcionales de esfuerzos (es decir, trayectorias rectas de esfuerzos pasando a través del origen del espacio de esfuerzos). Se debe tener en cuenta que las trayectoria proporcionales de esfuerzos deben limitarse dentro de un abanico, debido a que es conocido que existen estados de esfuerzos inaccesibles. Ahora se considera el grado de homogeneidad. Conociendo que dσ/dε = σ̇/ε̇ o Ṫ/D es la rigidez, se deduce que (Ṫ/D)|λT = λn (Ṫ/D)|T . En otras palabras, si se incrementa el factor λ, la rigidez se incrementa por el factor λn . Experimentalistas en mecánica de suelos recalcan que al normalizar las curvas de esfuerzo-deformación, dichas curvas coinciden unas con otras. La consecuencia de esto es que n = 1, esto implica que el ángulo de fricción en independiente del nivel de esfuerzos. Esto es aceptable como una primera aproximación. Pero si los cambios en el nivel de esfuerzos a una determinada relación de vacíos son considerables, entonces la correspondiente variación del ángulo de fricción (y la dilatancia) no pueden ser despreciadas.. 2.2.2.. Propiedades de los materiales granulares. Los materiales granulares tienen ciertas propiedades que un modelo constitutivo debe modelar correctamente. A continuación se describen estas propiedades. 18.

(33) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. 2.2.2.1.. MIC 2005-II-18. Barotropía. La influencia del nivel de esfuerzos es llamado barotropía. Tanto el ángulo de fricción interno ϕ como la rigidez del suelo granular es dependiente del estado de esfuerzos en el que se encuentra el suelo (ver Figura 2.5).. Figura 2.5. Resultados de ensayos triaxiales variando la presión lateral (Kolymbas, 2000). 2.2.2.2.. Picnotropía. Figura 2.6. Resultados de ensayos triaxiales variando la relación de vacíos, σc es la presión lateral (Kolymbas, 2000). 19.

(34) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. MIC 2005-II-18. Una de las propiedades mas interesantes de los materiales granulares es que se encuentran en numerosas densidades (diferentes arreglos de los granos). Materiales granulares densos tienen ángulos de fricción interna mas altos que muestras sueltas. Además tienen la tendencia de incrementar su volumen bajo esfuerzos cortantes, este efecto es llamado dilatancia. Por el contrario, los materiales granulares sueltos tienen la tendencia a disminuir su volumen (aumentar su densidad) bajo esfuerzos de corte, lo cual es llamado contractancia. Esta influencia de la densidad es llamada picnotropía (ver Figura 2.6).. 2.2.2.3.. Estado critico. Los cambios de volumen (densidad) antes mencionados bajo esfuerzos cortantes (contractancia y dilatancia) tienen un limite. Sus limites se encuentran en la densidad critica, la cual es obtenida asintóticamente con la aplicación de un esfuerzo cortante continuo. El estado critico de mecánica de suelos (CSSM, Critical State Soils Mechanics) postula que para un determinado nivel de esfuerzos p = − 13 trT existe únicamente una relación de q vacíos critica ec (p) y un único esfuerzo desviador q = 32 kT∗ k. Al dibujar estos estados de esfuerzos en el espacio p − q − e se obtiene la línea del estado critico (CSL, Critical State Line). La proyección de esta línea en los plano p − q y p − e también se refiere a la línea del estado critico. La relación de vacíos critica ec no es una constante del material, es función de los esfuerzos. Las arenas densas con e < ec tienden a dilatarse ė > 0 (ṗ > 0), y las arenas sueltas e > ec tienden a contractarse ė < 0 (ṗ < 0) durante cargas desviadoras y bajo condiciones isobáricas (p = constante). En ambos casos el estado inicial (p, q, e) tiende hacia CSL. Bajo condiciones isocóricas (e = constante) la relación de vacíos es constante, entonces el estado inicial (p, q, e) tiende hacia CSL al aumentar o disminuir el esfuerzo efectivo p tanto para arenas densas como para arenas sueltas (ver Figura 2.7). Los estados debajo de CSL son relativamente densos y tienden a dilatarse si hay corte. Los estados por encima de CSL son relativamente sueltos y tienden espontáneamente a compactarse. La trayectoria de esfuerzos no drenada de muestras sueltas muestra el fenómeno llamado estado quasi estable (QSS). Además el esfuerzo obtenido de un ensayo no drenado se dice que cae en la línea de estado estable (SS). Se ha mostrado experimentalmente que el estado critico (CS) y el estado estable (SS) coinciden entonces un único estado critico existe tanto para ensayos de corte drenados y no drenados.. 20.

(35) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. e. = Estado inicial(p,q,e). Muestra suelta. CSL = Linea del estado critico (Critical State Line). isocora isobara. ec. QSS = Estado cuasi estatico (Quasi Steady State) CS = Estado critico (Critical State). isocora. Muestra densa. SS = Estado estable (Steady State). e Muestra suelta. e. MIC 2005-II-18. Muestra densa. e. isocora. CS L. isobara. 1. isobara. QSS SS. CS. CS 1. L. isocora. SS. CS. ln(p/po). Muestra suelta. q. ln(p/po). Muestra densa. q. CS SS. SL. C. ra. o oc. CS. SL C. isobara. isobara. SS QSS. is. isocora. p. p. Figura 2.7. Línea del estado critico. Relación de vacíos (arriba); Diagramas p − q y p − e (abajo) (Niemunis, 2003). 2.2.3.. Ecuación Hipoplástica. En el marco general de la hipoplasticidad se requiere que la función H de la ecuación (2.17) sea no diferenciable únicamente para D = 0. Esto puede ser logrado descomponiendo H en dos partes (Bauer, 2000) 21.

(36) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. T̊ = A(T, e) : D + B(T, e)kDk. MIC 2005-II-18. (2.26). donde A(T, e) : D es lineal con respecto a D, mientras que el termino B(T, e)kDk es no lineal con respecto a D, esto permite modelar el comportamiento inelástico del suelo. Para tener una representación mas especifica del modelo hipoplástico y una calibración mas sencilla, el grupo de hipoplasticidad de Karlsruhe proponen una nueva forma para la ecuación hipoplástica (Gudehus, 1996; Bauer, 1996; Wollffesdorff, 1996). T̊ = L : D + NkDk. (2.27). donde L y N son los tensores hipoplásticos que dependen de los esfuerzos efectivos T y la relación de vacíos e. En el modelo hipoplástico la noción de carga y descarga no necesita ser explícita porque las modificaciones a la rigidez se deben a la no linealidad del termino NkDk. La etapa de carga y descarga se puede entender como avanzar hacia la superficie de fluencia o alejarse de ella. La parte no lineal NkDk esta activa tanto en la etapa de carga como en la etapa de descarga. También es necesario conocer como cambia la relación de vacíos conn respecto a la velocidad de carga, si el volumen de los granos es constante la velocidad de cambio de la relación de vacíos esta relacionada con la velocidad de deformación como. ė = (1 + e)tr D. (2.28). A continuación se realiza una breve introducción a la hipoplasticidad siempre teniendo en cuenta la forma a planteada en la ecuación (2.27). 2.2.3.1.. Superficies de fluencia y de contorno. Debido a que la calibración de los primeros modelos hipoplásticos se realizo por prueba y error de funciones candidatas, se hizo necesario establecer ciertos criterios analíticos con los cuales confrontar dichas funciones. Este tipo de análisis consistía en corroborar la existencia y la correcta forma de la superficie de fluencia y(T) y la superficie de contorno b(T).. 22.

(37) CAPÍTULO 2. MODELOS HIPOPLÁSTICOS. MIC 2005-II-18. Superficie de fluencia. La superficie de fluencia puede ser encontrada sustituyendo T̊ = 0 en la Ecuación (2.27). De L : D + L−1 : NkDk = 0 se ve que la condición T̊ = 0 es satisfecha con D = 0 y con. ~ = −L−1 : N. D. (2.29). La Ecuación (2.29) impone una condición a los esfuerzos, que se puede observar al eliminar ~ de (2.29). Tomando la norma en ambos lados de (2.29) se obtiene D. y(T) ≡ kL−1 : Nk − 1 = 0.. (2.30). Es conveniente introducir la función tensorial. B = L−1 : N.. (2.31). Ahora se escribe L : (D + BkDk) y y(T) = kBk − 1 = 0. Una especie de regla de flujo esta ~ = −B. La regla de flujo puede ser extendida en dada por la Ecuación (2.29), i.e. por D hipoplasticidad a esfuerzos dentro de la superficie de fluencia (con kBk < 1) escribiendo ~ = −B. ~ Si kBk = 1 y D ∼ −B entonces T̊ = 0 y ocurren deformaciones perfectamente D ~ es función plásticas. Cabe notar que la dirección de estas flujo perfectamente plástico −B únicamente de los esfuerzos.. Superficie de contorno. Un método para visualizar la rigidez tangencial fue propuesto por Gudehus (1979) y es llamado envolventes de respuesta (ver Figura 2.8). Hablando toscamente una envolvente de respuesta es un diagrama polar de la rigidez graficado para diferentes direcciones de la deformación. Es muy útil para estudios comparativos modelos independiente de la velocidad de deformación. Existen trayectorias de esfuerzos que pueden sobrepasar la superficie de fluencia. Esto puede concluirse de la Figura 2.8. donde fragmentos de las envolventes de respuesta se encuentran por fuera de la superficie de fluencia en las zonas sombreadas. Dichas trayectorias pueden ser construidas sistemáticamente maximizando el ángulo de fricción movilizado. Investigaciones numéricas de este problema demuestran que todas las funciones candidatas examinadas permiten que la trayectoria de esfuerzos sobrepasen la. 23.