S Matematica I 2012 1

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(1)S oluci o n a r i o Examen de admisión UNI 2012-I. Matemática. Tema P. PREGUNTA N.o 1. Luego tenemos que. Al multiplicar un número de cinco cifras por 101 se obtiene un nuevo número cuyas últimas cifras son 8513. Se sabe también que el número inicial tiene todas sus cifras distintas. Indique la cantidad de números que cumplen la condición descrita. A) B) C) D) E). abcde=a7213 4 5 6 8. 2 3 5 7 8. existen 5 valores para la cifra a.. 9 Por lo tanto, existen 5 números que cumplen con la condición dada.. Respuesta. Resolución. 5. Tema: Cuatro operaciones. Alternativa. Análisis y procedimiento. C. Sea abcde un numeral de 5 cifras diferentes.. PREGUNTA N.o 2. Entonces por dato. Expresemos en forma vertical. abcde× 1 0 1 abcde 0 0 0 0 0 abcde ....8513. 5 , la 4 suma de los términos es 45 y la diferencia de los consecuentes es 4. Halle el mayor de los términos de la proporción. En una proporción geométrica de razón. abcde×101=...8513. Observemos que • e=3; d=1 • c+e=...5 y b+d=...8 2 3. 7 1. A) B) C) D) E). 12 15 16 18 20. 1.

(2) UNI MATEMÁTICA. PREGUNTA N.o 3. Resolución Tema: Proporciones. Determine los litros de agua que contiene un recipiente de 17 litros de leche adulterada con agua y que pesa 17,32 kg, si un litro de leche pura pesa 1,032 kg y un litro de agua pesa 1 kg.. Análisis y procedimiento Sea la proporción. A) 5 B) 6 D) 8 . a c 5 = = b d 4. C) 7 E) 9. Resolución. razón. Tema: Regla de mezcla. La proposición anterior se puede escribir como. Análisis y procedimiento Por dato tenemos. 5m 5n 5 = = 4m 4n 4 Por dato. agua. a litros. leche. (17 – a) litros. c/litro pesa 1 kg. suma de términos. •. 5m + 4m + 5n + 4n = 45 → m+n=5 . . (I). volumen =17 litros total. diferencia de consecuentes. •. c/litro pesa 1,032 kg. Luego en la mezcla tenemos a(1)+(17 – a)(1,032)=17,32 → a=7. 4m − 4n = 4 → m – n=1 . (II). Respuesta 7. De (I) y (II) se obtiene que. Alternativa. m=3. C. n=2 Finalmente, el mayor de los términos es 5m=15.. PREGUNTA N.o 4. Respuesta. Mi padre que nació en la primera mitad del siglo 20 x afirma que en el año x2 cumplió años. Determine 4 la edad que tuvo en el año 2008.. 15. Alternativa. B. A) 83 B) 86 D) 90 . C) 88 E) 92. 2.

(3) UNI MATEMÁTICA. PREGUNTA N.o 5. Resolución Tema: Potenciación Tenga en cuenta que. Determine cuántos de los siguientes números 157 786 253 2519 racionales pertenecen al , , , 125 625 200 2000. año de nacimiento+edad=año actual. intervalo. Análisis y procedimiento A) B) C) D) E). Sea 19ab el año de nacimiento. Por dato tenemos lo siguiente: •. El año de nacimiento se encuentra en la primera mitad del siglo 20. → 1900 < 19ab < 1950 . •. 19ab +. Ningún número Solo un número Solo dos números Solo tres números Todos los números. Resolución. (I). Tema: Números racionales. x = x2 4. Análisis y procedimiento. x → 19ab = x 2 − 4. Se tienen los siguientes números racionales. (II). Reemplazando (II) en (I) tenemos x 1900 < x − < 1950 4 2. ∈. •. 157 =1,256 125. (I). •. 786 =1,2576 625. (II). •. 253 =1,265 200. (III). •. 2519 =1,2595 2000. (IV). o. Observe que x = 4, entonces, el único valor de x que verifica la desigualdad es 44.. Además, el intervalo es. Luego, en (II) se tiene que 19ab = 44 2 −. 503 3  ; 2 .  400. 44 = 1925 (año de nacimiento) 11. 503 ; 400. 3. 2. 1,2575 1,2599.... Por lo tanto, la edad que tuvo en el 2008 es 2008 – 1925=83 años.. Observe que (II) y (IV) pertenecen al intervalo dado.. Respuesta. Respuesta. 83. Solo dos números. Alternativa. A. Alternativa. C. 3.

(4) UNI MATEMÁTICA. PREGUNTA N.o 06. El dueño de un concesionario automotriz desea vender todos los autos que le quedan, los cuales son de diferentes modelos, pero en el salón de exhibición entran sólo 3 autos, el dueño calcula que existen 210 maneras diferentes de ordenar la exhibición. ¿Cuántos autos le quedan por vender?. Calcule la cantidad mínima de trabajadores que debe contratar la municipalidad de Lince para este trabajo. A) 320 B) 330 D) 365 . C) 345 E) 380. Resolución Tema: MCD - MCM. A) 4 B) 5 D) 7 . C) 6 E) 8. Análisis y procedimiento Sea d la distancia que existe entre dos murales. Gráficamente se tendría. Resolución Tema: Análisis combinatorio. Para colocar un mural se necesita 3 trabajadores como mínimo.. Análisis y procedimiento d. Supongamos que son n autos los que quedan, pero se exhiben de 3 en 3 (interesa el orden).. d. d. d. d. d. .... n. Luego: 7. × (n – 1) × (n – 2) =210. ×. 6. ×. maneras de ordenar la exhibición. 5. ∴ n =7. Respuesta 7. Alternativa. D. d .... avenida A. avenida B. 2520 m Dato:. d. 2000 m. Como se desea la cantidad mínima de trabajadores, entonces la distancia d entre murales debe ser máxima; además, es el divisor común de 2520 y 2000. Entonces d=MCD(2520; 2000) d=40 m Luego. . cantidad de murales. cantidad de trabajadores. Avenida A: 2520 +1=64 → 64×3=192 40. PREGUNTA N.o 07 La municipalidad de Lince busca mejorar la ornamentación de sus dos avenidas principales, de 2520 m y 2000 m, colocando murales equidistantes entre sí de tal forma que haya un mural al inicio y otro al final de cada avenida. Se sabe que para la colocación de cada mural se necesitan al menos 3 trabajadores, quienes percibirán S/.50 cada uno.. Avenida B:. 2000 +1=51 → 40. 51×3=153. Por tanto, el total de trabajadores es 192+153=345.. Respuesta 345. Alternativa. C. 4.

(5) UNI MATEMÁTICA. PREGUNTA N.o 08. PREGUNTA N.o 09. o. Determine la cantidad de números abc=12 tal que a+b+c=12. A) 12 B) 13 D) 16 . Dada la sucesión definida por  (−1)n , n impar  2 1 + n an =    1 , n par 1 + n 3. C) 14 E) 17. Resolución Tema: Divisibilidad. Entonces podemos afirmar que. Análisis y procedimiento. A) La sucesión no converge.. Buscamos números que cumplan las condiciones. B) La sucesión converge a cero.. o. C) La sucesión tiene dos puntos límites.. abc=12 ∧ a+b+c=12. D) La sucesión tiene tres puntos límites.. Entonces. E) No podemos afirmar nada acerca de su. o. convergencia.. abc 4 = o. bc = 4 ∧ ↓ par: 0; 2; 4; 6; 8 . a+b+c=12 ↓ ↓ ↓ 8 4 0 6 6 4 8 9 7 5 3 1. 1 2 3 5 7 9. 8 6 4 2. 0 4 2 4 6. Resolución Tema: Sucesiones numéricas reales Recuerde que una sucesión {an} es convergente si lím an existe, es único y es finito.. n→∞. ∴ abc toma 17 valores. Análisis y procedimiento Como  (−1)n ; n impar  2 1 + n an    1 ; n par 1 + n 3. 5 1 6 3 3 1 5 4 0 8 2 2. Entonces. Respuesta. •. 17. Alternativa. E. Para n impar. . lím an = lím. n →∞. (−1)n. n →∞ 1 + n 2. =0. 5.

(6) UNI MATEMÁTICA. •. Para n par. . lím an = lím. n →∞. 1. n →∞ 1 + n 3. Resolución. =0. Tema: Matrices. Recuerde qué son matrices elementales.. Por lo tanto, lím an = 0. n →∞. Análisis y procedimiento  a b c Se tiene la matriz A = d e f     g h i . Respuesta La sucesión converge a cero.. Alternativa. PREGUNTA N.o 10 Dada la matriz a b c  A = d e f   g h i  a c b determine la matriz P; tal que PAP =  g i h   d f e  1 0  −a A)  0 −b 1  1 0 − c   1 0 0 B) 0 0 1   0 1 0   −1 1 0  C)  1 −1 0     0 0 1 0 1 0  D) 0 −1 0     1 0 1  1 0 0 E) 0 0 1    1 1 0 . B.  a c b Para obtener la matriz PAP =  g i h   d f e  se han realizado dos operaciones elementales (una por filas y otra por columnas) 1.a operación Se ha intercambiado la fila 2 y la fila 3. 1 0 0  a b c   a b c  F1 A =  0 0 1   d e f  =  g h i  = B      0 1 0  g h i  d e f  matriz elemental a. 2. operación Se ha intercambiado la columna 2 y la columna 3.  a b c  1 0 0  a c b BC1 =  g h i   0 0 1  =  g i h       d e f  0 1 0 d f e  matriz elemental. Es decir, PAP=F1AC1. . 1 0 0 1 0 0 = 0 0 1 A 0 0 1     0 1 0 0 1 0 P. P. Respuesta 1 0 0 0 0 1   0 1 0 . Alternativa. B. 6.

(7) UNI MATEMÁTICA. PREGUNTA N.o 11. La solución del problema de minimizar Z=5x+6y.  2 x + 3y ≤ 12  sujeto a  x + y ≤ 5  x, y ≥ 0  es el punto (xº; yº). Si se añade la nueva restricción x – y ≤ 3, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son correctas? I. La solución (xº, yº) es solución del nuevo problema. II. El nuevo problema no tiene solución. III. La nueva región admisible contiene a la anterior. A) solo I B) solo II D) I y II . C) solo III E) I, II y III. Evaluamos los vértices en la función objetivo. Z(0; 0) = 5(0)+6(0)=0 (valor mínimo) Z(0; 4) = 5(0)+6(4)=24 Z(5; 0) = 5(5)+6(0)=25 Z(3; 2) = 5(3)+6(2)=27 Luego, la solución del problema (P1) es (0; 0) Por otro lado, sea el problema nuevo (P2) → mín Z = 5x + 6y  2 x + 3y ≤ 12  x+y≤5   sujeto a  x − y ≤ 3  x; y ≥ 0. (nueva restricción). La gráfica de la nueva región admisible (Ω2) es Y. Resolución Tema: Programación lineal. (0; 4). En todo problema de programación lineal cuya región admisible es acotada y cerrada, su función objetivo siempre tiene máximo y mínimo valor.. (4; 1) (0; 0). X. (3; 0). L 1: x+y=5. Sea el problema inicial (P1) mín Z = 5x + 6y  2 x + 3y ≤ 12  sujeto a  x + y ≤ 5  x; y ≥ 0  cuya gráfica de su región admisible (Ω1) es Y. Evaluamos los vértices en la función objetivo. Z(0; 0) = 5(0)+6(0) = 0 (valor mínimo) Z(0; 4) = 5(0)+6(4) = 24 Z(3; 0) = 5(3)+6(0) = 15 Z(3; 2) = 5(3)+6(2) = 27 Z(4; 1) = 5(4)+6(1) = 26 La solución del problema (P2) es (0; 0).. (3; 2) X. (0; 0). (3; 2). L 2: 2x – 3y=12. Análisis y procedimiento. (0; 4). L 3: x – y=3. (5; 0). L 2: 2x – 3y=12 L 1: x+y=5. Luego I. Verdadera La solución (x 0; y 0) es solución del nuevo problema. (x0; y0) = (0; 0) es solución de (P1) y (P2). II. Falsa El nuevo problema no tiene solución. La solución del nuevo problema (P2) es (0; 0).. 7.

(8) UNI MATEMÁTICA. III. Falsa La nueva región admisible contiene a la anterior. Pues Ω2 ⊂ Ω1.. del dato tenemos. 2c c c 5b 3b = − 4 a b + 5c b + d b + 3c. La única proposición correcta es I.. Respuesta solo I. Alternativa. 0 0 c 2b a − 6b 3b = − 4 C 2 + (−2)C 3 2c d − b − 6c b + 3c C 1 + (−1)C 3 . A. C 2 + (3)C 1 . PREGUNTA N.o 12 Si. 2c c c 5b 3b = − 4 a b + 5c b + d b + 3c. C 0 c 3 + (−3)C 1 0 b a 0 = −2 c d−b b. c 0 c Halle a b 0 d c b. C 2 + (1)C 3 0 c c b a 0 = −2 c d b. donde a, c, d ∈ ⟨0; ∞⟩ y b ∈ ⟨– ∞; 0⟩ A) – 4 B) – 2 D) 4 . 0 0 c 2· b a 3b = − 4 c d − b b + 3c. C) 2 E) 6. Intercambiando C2 con C1, tenemos. Resolución. c 0 c − a b 0 = −2 d c b. Tema: Determinantes Propiedades de determinantes 1. Si en una matriz, a una columna cualquiera se le suma otra columna multiplicada por un escalar, el determinante de la matriz no se altera. 2. Si en una matriz se intercambian dos columnas consecutivas, el determinante cambia de signo.. c 0 c ∴ a b 0 =2 d c b. Análisis y procedimiento. Respuesta. c 0 c Nos piden: a b 0 d c b. 2. Alternativa. C. 8.

(9) UNI MATEMÁTICA. PREGUNTA N.o 13. Respuesta. Sea la inecuación:. S\[–1; 4] ≠ f. x + 1 2x ≤ x −1 x. Alternativa. B. Si S es el conjunto solución, se puede afirmar: A) B) C) D) E). ⟨– 1; 1⟩ ⊂ S S \ [– 1; 4] ≠ ∅ S \ ⟨– 1; 1⟩=∅ [0; 2] ⊂ S ⟨– 2; 0⟩ ⊂ S. PREGUNTA N.o 14 Sea f(x)=|5 – logx|+|1+logx|, halle el rango de f. A) [6; ∞⟩. Resolución. B) [8; ∞⟩. Tema: Inecuación con valor absoluto. C) ⟨0; ∞⟩. Recuerde que: |f(x)| ≥ g(x) ↔ f(x) ≥ g(x) ∨ f(x) ≤ – g(x). D) [0; ∞⟩. Análisis y procedimiento. E) ⟨0; 6⟩ ∪ ⟨6; ∞⟩. Resolución. x + 1 2x ≤ x −1 x. Tema: Valor absoluto Desigualdad triangular. Dando sentido lógico: x>0, además x ≠ 1. Luego en la ecuación se obtiene que. |a+b| ≤ |a|+|b|; ∀ a; b ∈ R. x +1 ≤2 x −1. Análisis y procedimiento En el problema, f(x)=|5 – logx|+|1+logx|. |2x – 2|≥ x+1 2x – 2 ≥ x+1 x ≥ 3 . . Calculamos ∨. Domf={x ∈ R / x > 0}=⟨0; +∞⟩.. 2x – 2 ≤ – x –1. ∨ . x≤. 5 − log x + 1 + log x ; ∀ x ∈ R+ (5− log x ) + (1 + log x ) ≤ . 1 3. 6. Luego. ∴. ≤. f(x). Ranf=[6; +∞⟩. Respuesta +∞ 0 →. CS=S= 0;. 1/3 1 ∪ [ 3; + ∞ 3 . 3. +∞. [6; ∞⟩. Alternativa. A. 9.

(10) UNI MATEMÁTICA. PREGUNTA N.o 15. PREGUNTA N.o 16. Halle la suma de todos los valores reales que puede tomar λ en la siguiente expresión:. Si x1=2 y x2=– 1 son raíces de x4 – ax2+b=0, halle a – b..  x1   1 2  x 1   2 1   x  = λ  x  donde x1 ≠ 0 y x2 ≠ 0    2  2 A) – 1 B) 0 D) 2 . A) – 1. C) 1 E) 3. B) 0. C) 1. D) 2 . E) 3. Resolución. Resolución. Tema: Ecuaciones. Tema: Matrices. Para resolver el problema usaremos y aplicaremos. Para resolver este problema vamos a transformar la ecuación matricial  x1   1 2  x 1   2 1  x  = λ  x     2  2. el concepto de solución o raíz de una ecuación. es un sistema de ecuaciones lineales homogéneas.. Como x1=2 y x2=– 1 son raíces (o soluciones) entonces verifican la ecuación..  x1   1 2  x 1   2 1   x  = λ  x  con x1x2 ≠0    2  2 x1+2x2=λx1 2x1+x2=λx2. →. (1 – λ)x1+2x2=0 2x1+(1 – λ)x2=0. Análisis y procedimiento de la ecuación bicuadrada x4 – ax2+b=0,. Análisis y procedimiento. →. polinomial.. En particular, para x2=– 1 tenemos (– 1)4 – a(– 1)2+b=0. →. 1 – a+b=0. → a – b=1. Respuesta. Este sistema homogéneo tiene soluciones distintas. 1. de la solución trivial (0; 0). Luego, tiene infinitas 1− λ 2 soluciones, para ello debe cumplirse que = 2 1− λ. Alternativa. C. → (1 – λ)2=4 → 1 – 2λ+λ2=4 → λ2 – 2λ – 3=0 (Nótese que T=16 > 0). PREGUNTA N.o 17. Raíces reales: λ1; λ2 → λ1+λ2=2. Sea  (1 + i )  − 2 +  2 E=  2 6  i  −  2 2 . La suma de los valores de λ es 2.. Respuesta 2. Alternativa. D. 6  i  ( 2i ) 2  2 6  i + 2 2 . Indique cuál de las siguientes proposiciones es verdadera.. 10.

(11) UNI MATEMÁTICA. I.. Re ( E ) =. 1− 3 2. II.. lm ( E ) =. 1+ 3 2. III.. E = 2e. −. Efectuando tenemos E=. 7 πi 12. A) solo I. (1 −. 3). 2. → Re(E) =. B) solo II. D) I y III .  3 + 1 − i  2 . 1− 3 2.  3 + 1 Im(E) = −   2 . C) solo III E) I, II y III. Expresando (*) en su forma polar. π. Resolución. E=. Tema: Números complejos. 7π i 6. 2 · e 2πi. Recuerde que ∴. i. 2e 4 · 2 e. E = 2 ·e. −.  π 7π  − 2π  i  +  6. = 2 ·e  4. 7 πi 12. Respuesta. Im. I y III z=a+bi. Alternativa. | z|. D. θ a. Re. Calcule. z=a+bi. S=. =|z|· eqi. Análisis y procedimiento.  2 + (1 + i)·  −  2 E=  2 6i   −   2 2 . E=. PREGUNTA N.o 18. 6  i  ( 2i ) 2  2 6i  +  2 2 . (1 + i ) ( − 3 − i ) 2. diferencia de cuadrados. (*). 7 25 91 337 + + + + ... 12 144 1728 20736. A). 1 3. B). 1 2. C). 7 11. D). 5 6. E). 11 12. 11.

(12) UNI MATEMÁTICA. Resolución. A) B) C) D) E). Tema: Series numéricas reales. Recuerde que si r ∈ ⟨– 1; 1⟩, entonces r r+r2+r3+r4+...= 1− r. Resolución. Análisis y procedimiento S=. 5 6 7 8 9. 7 25 91 337 + + + + ... 12 144 1728 20736. Tema: Conjuntos Tenga en cuenta que. 1  1 2  1 1 1 1   1 =  + + + + + + + + ...  3 4   9 16   27 64   81 256 . •. A – B=A \ B={x / x ∈ A ∧ x ∉ B}. •. n(A×B)=n(A)×n(B). 1 1 1 1 1 1  1 1  = + + + + ... + + + + + ...   3 9 27 81   4 16 64 256. Análisis y procedimiento. =. 1 3. 1 1− 3. =. 1 1 + 2 3. =. 5 6. +. 1 4. 1 1− 4. Por dato tenemos: •. Nº subconjuntos de (P ∩ Q)=2n(P ∩ Q)=128=27. •. Nº subconjuntos de (P  Q)=2n(P \ Q)=64=26 →. → n(P ∩ Q)=7 n(P \ Q)=6 •. n(P×Q)=n(P) · n(Q)=182. Gráficamente P. Respuesta. Q 6. 5 6. Alternativa. D. x. 7. Del gráfico se observa que n( )=13. Como n(P )· n(Q) = 182 → n (Q) = 14   13. PREGUNTA N.o 19 Se sabe que un conjunto de n elementos tiene 2n subconjuntos, la intersección de P y Q tiene 128 subconjuntos, la diferencia de P respecto de Q tiene 64 subconjuntos. El producto cartesiano P×Q presenta 182 pares. Luego podemos afirmar que el número de elementos de Q P es:. 7+ x. → x=7 ∴ n(Q \ P)=7. Respuesta 7. Alternativa. C. 12.

(13) UNI MATEMÁTICA. PREGUNTA N.o 20. Resolución. Sea f(x)=|x – 1| y g(x)=|x+1|, halle la expresión de F(x)=f(x)+g(x).. Tema: Álgebra de funciones. A) F(x)=. 2x, x≥1 1, – 1 < x < 1 –2x, x ≤ –1. B) F(x)=. – 2x, x≥1 2, – 1 < x < 1 2x, x ≤ –1. 2x, x≥1 C) F(x)= 2, – 1 < x < 1 –2x, x ≤ –1. D) F(x)=. 2x, x ≤ –1 1, – 1 < x < 1 –2x, x≥1. Recuerde que Dom(f+g)=Domf ∩ Domg.. Análisis y procedimiento f(x)=|x – 1|=. x – 1; si x ≥ 1 – x+1; si x < 1. g(x)=|x+1|=. x+1; si x ≥ – 1 – x – 1; si x < – 1. Piden F(x)=f(x)+g(x) 2x, x≥1 F(x)= 2, – 1 < x < 1 –2x, x ≤ –1. Respuesta F(x)=. x, E) F(x)= 2, –x,. x ≤ –1 –1 < x < 1 x≥1. 2x, x≥1 2, – 1 < x < 1 –2x, x ≤ –1. Alternativa. C. 13.

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