UNIDAD DIDÁCTICA 0. REPASO DE PRIMERO DE BACHILLERATO 1. EXPRESIÓN DE UN VECTOR SUS COMPONENTES
Cualquier vector
a
r
puede expresarse como la suma de dos vectores arx,arb si trabajamos en el plano, o de tres
vectores arx,arb,arzsi trabajamos en el espacio, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes de coordenadas.
j
a
i
a
a
x yr
r
r
+
=
donde ax=a cosα, ay=a sen α e i j
r r
, son los vectores unitarios en la dirección de los ejes x e y.
k a j a i a
a x y z
r r r r + + =
donde i j k r r r
,
, son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes x,y y z.
El módulo del vector
a
r
es: 2 2 2 2
z y
x a a
a
a= + +
Si α, β y γ son los ángulos que el vector
a
r
forma con los ejes de coordenadas, los componentes son: ax = a.cos α ay = a.cos β az = a.cos γ
Y se denominan cosenos directores.
Ejercicio 1: Dado el vector a i j k r r r r 4 2
3 − +
= , deducir su módulo y el valor de sus cosenos
directores.
2. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES a b r r
, El producto escalar de dos vectores a y b
r r
es un escalar definido por la expresión:
b
a
r
r
.
= a.b. cos α con α el ángulo que forman los dos vectores El producto escalar de vectores unitarios:i.i = j.j =k.k =1r r r r r r
y i.j = j.k =i.k =0 r r r r r r .
A partir de los productos escalares de los vectores unitarios se obtiene el producto escalar en función de las componentes de dichos vectores:
z z y y x
xb a b a b
a b
a. = . + . + .
El producto escalar de dos vectores es un número y cumple la propiedad conmutativa del producto. De la definición del producto escalar se deduce que cuando dos vectores son perpendiculares su producto escalar es cero.
Ejercicio 2: Dados los vectoresa i j k r r r r
5
2 + −
= y b i j k
r r r r 3 6
2 − +
= . Calcular:
a) El producto escalar. b) El valor del módulo de a y b r r
. c) ¿Qué ángulo forman entre sí los vectores a y b
r r
?.
4. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES a∧∧∧∧b El producto vectorial de dos vectores
a
b
r
r
.
Λ
es otro vector cr perpendicular al plano quedeterminan los vectores a y b r r
de sentido indicado por la regla del tornillo, -figura 1.3-, que gira del vector ar al vector b
v
siguiendo el camino más corto y de módulo:
α
sen
b
a
b
a
c
=
Λ
.
=
.
.
r
r
r
con α el ángulo que delimitan los vectores
El producto vectorial de dos vectores no cumple la propiedad conmutativa –figura 1.3- del producto, pues
a
b
b
a
r
r
r
r
Λ
−
=
Λ
.
.Los productos vectoriales i j k r r r
,
, , cumplen:
k i j i j k k i k i k j k j i k k j j i i r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r − = Λ − = Λ − = Λ = Λ = Λ = Λ = Λ = Λ 0
A la expresión analítica del producto vectorial se puede llegar fácilmente por los determinantes. Consideremos los vectoresa axi ayj azk
r r r r + +
= y b bxi byj bzk
r r r r + + = i r j r
k
r
b
a
r
r
.
Λ
= ax ay az = (aybz - azby) ir
+ (azbx - axbz) j
r
+ (axby - aybx)
k
r
bx by bz
Ejercicio 3: Dados los vectores ar (1,-2,5) y b v
(2,-1,3). Hallar el producto vectorial
a
b
r
r
.
5. DINÁMICA
A) MASA Y MOMENTO LINEAL
Desde el punto de vista cinético, el movimiento de un cochecito de juguete que se mueve a 2 m/s es idéntico al de una apisonadora que se moviera con la misma velocidad. Pero si deseamos modificar ambos movimientos, entonces revelan ser muy distintos. La razón de esta diferencia radica en su diferente inercia o tendencia a mantener el estado de movimiento. Dicha inercia es caracterizada mediante la masa (inercial), de modo que:
“La masa es la medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo”
Esto nos indica que el estado de movimiento de un cuerpo debe definirse no sólo por su velocidad, sino también por su masa. Existen dos magnitudes que combinan masa y velocidad: la energía cinética y el momento lineal o cantidad de movimiento.
“El momento lineal o cantidad de movimiento es la magnitud que caracteriza el estado de
movimiento de un cuerpo”
pr =m.vr
Como se deduce de la expresión, la dirección y sentido de pr son los mismos que los de vr. B) LEYES DE LA DINÁMICA DE NEWTON
Vamos a recordar los enunciados de las leyes de la Dinámica de Newton que enunció en 1684.
Primera ley o ley de inercia.
“Un cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento uniforme si no actúa
ninguna fuerza sobre él, o si la resultante de las fuerzas que actúan es nula”
- Sobre un cuerpo siempre actúa una fuerza (su peso, el rozamiento…). No obstante, si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es nula, la situación equivale a que no actúe ninguna fuerza sobe él.
- Para que un cuerpo se mantenga en MRU debe actuar sobre él una fuerza que se oponga a la de rozamiento y la neutralice.
Ejemplo 1. Calcula la fuerza que debe comunicarse a un cuerpo de 300 Kg de masa para que se deslice por el suelo con velocidad constante si el coeficiente de rozamiento cinético es de 0,3. Solución: 882 N.
Segunda ley o ley fundamental de la dinámica
“Si sobre un cuerpo actúa una fuerza F
r
, éste adquiere una aceleración,av,
directamente proporcional a la fuerza aplicada, siendo la masa, m, del cuerpo la
constante de proporcionalidad.”
a
m
F
v
r
.
- Si la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, su aceleración también es cero y éste permanecerá en reposo o en MRU como afirma la primera ley.
- Si la fuerza resultante es diferente de cero, la aceleración tiene la misma dirección y sentido que la fuerza resultante.
Ejemplo 2. Calcule la aceleración de un paquete de 2 kg que asciende verticalmente atado a una cuerda cuya tensión es de 30 N. 5,2 m/s2.
Tercera ley o ley de acción y reacción
“Si un cuerpo ejerce una fuerza F12
r
sobre otro cuerpo, éste a su vez ejerce sobre el primero
una fuerza F21
r
con el mismo módulo y dirección, pero de sentido contrario”
21 12 F
F v r
=
- Las dos fuerzas F12
r
y F21
r
, llamadas de acción y reacción, son simultáneas.
- Aunque ambos fuerzas son opuestas, no se anulan mutuamente, debido a que ejercen sobre cuerpos distintos.
Ejemplo 3. Dibuja la fuerza peso de un objeto y su fuerza de reacción e indica sobre qué cuerpos están aplicadas.
c) EL IMPULSO MECÁNICO
La velocidad final que alcanza un cuerpo sobre el que actúa una fuerza no depende sólo de la propia fuerza, sino también del intervalo de tiempo durante el cuál ésta incide sobre aquél. Así, el efecto de una fuerza de gran intensidad que actúe durante un breve intervalo de tiempo puede ser el mismo que el de una fuerza de poca intensidad que se prolongue durante más tiempo.
“Se denomina impulso mecánico a la magnitud que combina la fuerza aplicada y el tiempo
que dura su aplicación”. Según se desprende de la segunda ley:
p I v v m t F t
v v m F a m
F f i
i
f r r r r
r r
r r
∆ = → − =
→ − =
→
= . ( ) . ( )
suponiendo que el tiempo inicial es cero. El impulso mecánico I es igual a la variación de la cantidad de movimiento ∆prde un cuerpo.
En el caso más simple de que dos partículas totalmente aisladas interaccionen entre sí, por ejemplo que choquen como las bolas de dos péndulos, y según la tercera ley de Newton:
21
12 F
F
v r
−
= →I =0; por tanto, ∆pr =0 pi pf r v
= →
Ejemplo 4. Una roca inicialmente en reposo, tras ser dinamitada explota dividiéndose en tres trozos iguales. Dos de ellos salen con velocidades de 80 m/s y 60 m/s hacia el Norte y el Este, respectivamente. Calcula la velocidad y la dirección del tercer fragmento.
Solución: 100 m/s; 53,1º.
Ejemplo 5. Dos bolas de 2 kg y 5 kg se mueven en la misma dirección y sentidos contrarios con velocidades respectivas de 3 m/s y 4m/s, chocan y quedan unidas. Calcula la velocidad del sistema después del choque. Solución: 2 m/s.
d) TRABAJO MECÁNICO
“El trabajo mecánico realizado por una fuerza constante F
r
que actúa sobre un cuerpo que realiza un desplazamiento ∆rr es igual al producto escalar entre la fuerza y el desplazamiento”. Es decir:
α
cos
.
r
F
r
F
W
=
∆
r
=
∆
r
Esta definición tiene las siguientes consecuencias:
- Si la fuerza que actúa es perpendicular al desplazamiento, no realiza ningún trabajo. La razón es que en este caso
cos
α
= cos 90º=0, por lo que W=0.- Si la fuerza actúa en la misma dirección y sentido del desplazamiento, el trabajo que realiza es máximo. En este caso,
cos
α
= cos 0=1, y, en consecuencia, W =F∆r. - Si la dirección de la fuerza forma cierto ángulo con la dirección del desplazamiento,sólo realiza trabajo la componente de la fuerza que actúa en la dirección del desplazamiento. Por la definición del producto escalar, vemos que Fcos
α
es justamente la componente de Fr
en la dirección del desplazamiento.
- Si el sentido de actuación de la fuerza o de su componente en la dirección del desplazamiento es contrario a éste, entonces el trabajo realizado por dicha fuerza es negativo, pues se opone al desplazamiento. Esto ocurre cuando el ángulo que forma la fuerza y el desplazamiento tiene un valor comprendido entre 0º y 180º. El coseno de cualquier ángulo comprendido entre esos valores es negativo.
Ejemplo 6. Un cuerpo de 1 kg se desliza por un plano inclinado de 10 m y de inclinación 30º. Calcula el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo si se sabe que el coeficiente de rozamiento cinético es 0,1.
e) TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA. TEOREMAS DE LAS FUERZAS VIVAS
La energía cinética es la energía que puede intercambiar un objeto por el hecho de estar en movimiento respecto a un sistema de referencia. Supongamos un cuerpo que se desplaza por una trayectoria cualquiera bajo la acción de una fuerza,F
r
desplazamiento, que llamamos fuerza tangencial. Así pues, el trabajo realizado por la fuerza cuando el cuerpo se traslada una distancia entre dos puntos A y B es:
2 2
2 1 2
1 . . .
. .
.
. B B A
A B
A B
A B
A
B
A t dt mvdv mv mv
dr dv m dr dt dv m dr F r
d F
W =
∫
r =∫
=∫
=∫
=∫
= −r
Suponiendo que la masa permanece constante durante el desplazamiento. Por consiguiente sea cual sea el tipo de fuerza que actúa, el trabajo realizado equivale a la diferencia de dos términos idénticos relacionados con la masa del cuerpo y su velocidad en cada punto.
El término ½ mv2 se denomina energía cinética. Así pues:
“Sea cual sea la naturaleza de la fuerza o fuerzas que actúen sobre un cuerpo, el trabajo
total realizado al trasladarlo entre dos puntos es igual a la variación de la energía cinética”
f) TRABAJO Y ENERGÍA POTENCIAL: FUERZAS CONSERVATIVAS
Supongamos que dejamos caer un cuerpo desde una posición A hasta otra B. El trabajo realizadazo por la fuerza peso vendrá dado:
∫
∫
=
∫
−
=
−
=
−
−
=
−
∆
=
BA
p B
A B
A
B
A
mg
dy
mg
dy
mg
y
y
E
r
d
F
W
.
r
.(
)
(
)
r
donde mgy es la energía potencial gravitatoria en un punto a una altura y.
En este desarrollo suponemos que g es constante en el descenso, lo cual únicamente es cierto para alturas pequeñas en comparación con el radio terrestre. De la expresión anterior se deduce que:
“El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre los cuerpos es igual a la variación
negativa de la energía potencial gravitatoria.”
Al mismo resultado habríamos llegado si se trata de un cuerpo que cae, después de haber sido lanzado horizontalmente, baja la acción de la fuerza gravitatoria y describir una trayectoria parabólica. A la hora de calcular el trabajo, sólo habría interesado conocer las posiciones inicial y final del cuerpo. Este hecho es cierto únicamente para un determinado tipo de fuerzas, que se denomina fuerzas conservativas.
“Una fuerza es conservativa si el trabajo realizado sobre un objeto (sistema), cuando
describe una trayectoria cerrada, es cero; es decir, el trabajo realizado por una fuerza
conservativa depende únicamente de las posiciones inicial y final del objeto; es
independiente de la trayectoria”. Ejemplos de fuerza conservativa: la fuerza gravitatoria,
g) CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
Supongamos un sistema en el que solamente obran fuerzas conservativas. Según vimos al estudiar el trabajo y la energía, el trabajo realizado por las fuerzas de cualquier tipo es igual a la variación de la energía cinética del sistema:
C E W =∆
Pero hemos comprobado que si las fuerzas son conservativas, el trabajo realizado por ellas también equivale a la variación negativa de la energía potencial.
Ep W =−∆
Dado que estamos hablando en los dos casos del mismo trabajo, entonces:
p
C E
E =−∆ ∆
Y por tanto: ∆EC +∆Ep =0⇒∆(Ec +Ep)=0
Por consiguiente, si sobre un sistema solamente actúan fuerzas conservativas, entonces la suma de la energía cinética más la potencial no varía (permanece constante). La expresión anterior, también, se puede escribir:
final p c inicial p c inicial
p c final p
c E E E E E E E
E ) ( ) 0 ( ) ( )
( + − + = ⇒ + = +
si a la suma de la energía cinética más a la potencial la denominamos energía mecánica del sistema, podemos enunciar el llamado principio de conservación de la energía mecánica del siguiente modo:
“La energía mecánica de un sistema permanece constante si las fuerzas que actúan sobre
él son conservativas”.
h) CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA EN PRESENCIA DE FUERZAS NO CONSERVATIVAS (DISIPATIVAS)
Estas fuerzas se denominan así porque disipan la energía mecánica de un sistema. Un ejemplo es el rozamiento que hace que un cuerpo acabe perdiendo su energía cinética hasta que se para por completo.
El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía mecánica del sistema. Este trabajo es negativo, por lo que producirá siempre una disminución de la energía mecánica del sistema. Así;
“Las fuerzas disipativas realizan un trabajo que se emplea en disminuir o disipar la energía
mecánica del sistema”.
0 )
( )
( + ⇒∆ + + =
∆ =
−Q Ec Ep Ec Ep Q
expresión que constituye una formulación más general del principio de conservación de la energía.
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD: APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON Y DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
1. Un trineo de 100 kg parte del reposo y desliza hacia abajo por la ladera de una colina de 30º de inclinación respecto a la horizontal.
a) Haga un análisis energético del desplazamiento del trineo suponiendo que no existe rozamiento y determine, para un desplazamiento de 20 m, la variación de sus energías cinética, potencial y mecánica, así como el trabajo realizado por el campo gravitatorio. b) Explique, sin necesidad de cálculos, cuáles de los resultados del apartado a) se modificarían y cuáles no, si existiera rozamiento.
2. Un bloque de 10 kg desliza hacia abajo por un plano inclinado 30º sobre la horizontal y de longitud 2 m El bloque parte del reposo y experimenta una fuerza de rozamiento con el plano de 15 N.
a) Analice las variaciones de energía que tiene lugar durante el descenso del bloque. b) Calcule la velocidad del bloque al llegar al extremo inferior del plano inclinado.
3. Un automóvil arranca sobre una carretera recta y horizontal, alcanza una cierta velocidad que mantiene constante durante un cierto tiempo y, finalmente, disminuye su velocidad hasta detenerse.
a) Explique los cambios de energía que tienen lugar a lo largo del recorrido.
b) El automóvil circula después por un tramo pendiente hacia abajo con el freno accionado y mantiene constante su velocidad. Razone los cambios energéticos que se producen. 4. Comente las siguientes afirmaciones:
a) Un móvil mantiene constante su energía cinética mientras actúa sobre él: i) una fuerza; ii) varias fuerzas.
b) Un móvil aumenta su energía potencial mientras actúa sobre él una fuerza.
5. Se deja caer un cuerpo de 10 kg de masa por un plano inclinado 30º con respecto a la horizontal desde 30 m de altura. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es igual a 0,2, calcula: a) La energía mecánica del cuerpo en el instante inicial. b) La energía perdida en el descenso a causa del rozamiento. c) La velocidad del cuerpo al llegar al final del plano.
a) Dibuja en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el bloque y explica el balance trabajo-energía en un desplazamiento del bloque de 0,5 m. Solución: Se disipa en forma de calor.
b) Dibuja en un esquema todas las fuerzas que actuarían sobre el bloque si la fuerza que se le aplica fuera de 30 N en una dirección que forma 60º con la horizontal, e indica el valor de cada fuerza. Calcula la variación de energía cinética del bloque en un desplazamiento de 0,5 m. Dato: g = 10 m/s2.
7. Un trineo de 100 kg desliza por una pista horizontal al tirar de él con una fuerza F, cuya dirección forma un ángulo de 30º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento es 0,1. a) Dibuje en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el trineo y calcule el valor de F para que el trineo deslice con movimiento uniforme.
b) Haga un análisis energético del problema y calcule el trabajo realizado por la fuerza F en un desplazamiento de 200 m del trineo. g = 10 m/s2
8. Un bloque de 50 kg de masa asciende una distancia de 6 m por un plano inclinado 37º con la horizontal y que presenta un coeficiente de rozamiento de 0,2, aplicándole una fuerza constante de 490 N paralela al plano. Calcula: a) El trabajo realizado por la fuerza aplicada; b) el incremento de energía cinética del bloque; c) el aumento de energía potencial del bloque; d) el trabajo realizado contra la fuerza de rozamiento; e) ¿a qué equivale la suma de los términos calculados en la segunda, tercera y cuarta pregunta?.
9. (Selectividad 2008). a) Conservación de la energía mecánica.
b) Un cuerpo desliza hacia arriba por un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. Razone qué trabajo realiza la fuerza peso del cuerpo al desplazarse éste una distancia d sobre el plano.
10. (Selectividad 2010).Por un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal se lanza hacia arriba un bloque de 10 Kg con una velocidad inicial de 5 m/s. Tras su ascenso por el plano inclinado, el bloque desciende y regreso al punto de partida con una cierta velocidad. El coeficiente de rozamiento entre el plano y el bloque es 0,1.
a) Dibuje en dos esquemas distintos las fuerzas que actúan sobre el bloque durante el ascenso y durante el descenso e indique sus respectivos valores. Razone si se verifica el principio de conservación de la energía en este proceso.
