Sistema de ejercicios para la solución de problemas que conducen a ecuaciones en sexto grado

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(1)UNIVERSIDAD DE CIENCIAS PEDAGÓGICAS "JOSÉ MARTÍ". Sistema de ejercicios para la solución de problemas que conducen a ecuaciones en sexto grado MATERIAL DOCENTE EN OPCIÓN AL TÍTULO ACADÉMICO DE MÁSTER EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CON MENCIÓN EN EDUCACIÓN PRIMARIA.. Autor: Lic. Guillermo Guillen Leyva. Tutora: MsC. Magdelis Zapata Suárez.. Santa Cruz del Sur Camagüey 2010.

(2) SÍNTESIS Este material docente propuesto para resolver las dificultades en la solución de problemas en la Escuela Primaria José Oquendo Díaz, contiene variados ejercicios relacionados con los contenidos de ecuaciones en sexto grado. Para la determinación del sistema de ejercicios se efectuó una revisión documental y se aplicaron métodos empíricos como: encuestas, entrevistas,. observaciones al proceso docente -. educativo. Estos ejercicios se realizaron tanto en el tiempo de máquina, al concluir el visionado de las teleclases, como en las actividades de tarea de los alumnos y aporte de los familiares en la solución de algunos de ellos orientados como olimpiada. La comparación del estado inicial y final evidencia un ascenso en la preparación de los alumnos con relación a la solución de problemas y al trabajo independiente, por lo que el sistema de ejercicios desarrollado favoreció la preparación también de los docentes para el desarrollo acertado de la dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje..

(3) ÍNDICE Pág. INTRODUCCIÓN……………………………………………………………... DESARROLLO……………………………………………………………….. 1. 7. Fundamentos teóricos conceptuales acerca de los problemas aritméticos en el proceso de enseñanza aprendizaje. Clasificación de los problemas matemáticos. Problemas algebraicos.. 22. La solución de problemas. Consideraciones en el proceso enseñanza aprendizaje en la matemática……………………... 23. Métodos para la solución de problemas aritméticos…………………… La solución de los problemas que conducen a ecuaciones………….... 25 29. Tratamiento metodológico de las ecuaciones en sexto grado………... 36. Análisis de los resultados y diagnóstico inicial………………………..… Fundamentos teóricos de la propuesta del sistema de ejercicios…… Sistemas de ejercicios. ……………................... ……………………..... Análisis de los resultados finales ……………………………………….… Validación y evaluación de la aplicación en la práctica…………………. 41 45 51 55 57. CONCLUSIONES……………………………………………………………. 59. RECOMENDACIONES…………………………………………………….... 60. BIBLIOGRAFIAS.

(4) ANEXOS.

(5) INTRODUCCIÓN En el Sistema Nacional de Educación se está llevando a cabo significativos cambios en el proceso de enseñanza aprendizaje dirigidas en primer orden a elevar el nivel de los conocimientos de los alumnos, para ello, conocer las habilidades y potencialidades de los alumnos posibilita al maestro conducir el proceso y transformar el aprendizaje. Nuestra Revolución ha puesto todos sus esfuerzos para que se le de cumplimiento a la finalidad de la educación, para facilitar su logro se ha creado dentro de la Batalla de Ideas una tercera Revolución Educacional, el propio Fidel con su extraordinaria visión nos ha definido que”Batalla de Ideas”, no significa solo principios, teoría, conocimientos, cultura, argumentos, réplicas, destruir mentiras y sembrar verdades, significa hechos y realizaciones concretas. La Enseñanza Primaria, en general la educación, tiene como fin lograr la formación integral de los alumnos: que estudien, que desarrollen el pensamiento lógico que tenga buena preparación para la defensa; dominio del idioma materno, del lenguaje matemático y de la historia. La sociedad actualmente demanda que se instaure un nuevo modelo basado en la capacidad de producir y utilizar conocimientos. La norma en el tercer milenio será la de una educación a lo largo de toda la vida que cultive el intelecto, valores y principios, y que conduzca a modelos mentales tales como el aprendizaje continuo, el trabajo en equipos y la capacidad de cambio, tomando como guía los cuatros pilares básicos que constituyen el fundamento de la educación en el siglo XXI. Estos cuatros pilares básicos determinados por la Organización de Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO) y que constituyen una excelente guía para el perfeccionamiento del proceso de enseñanza- aprendizaje en los momentos actuales son: aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a vivir juntos y aprender a ser. A partir de lo expresado anteriormente, se le concede gran importancia a la asignatura Matemática como ciencia que tiene la misión de preparar a los alumnos para la vida, es decir, para enfrentar los retos relacionados con los constantes cambios científicos y tecnológicos. Es por ello que desde la asignatura se enseña a pensar, de manera que el estudiante busque las relaciones entre las cosas e intervenga en ellas de manera creadora y estén en condiciones de emitir juicios y defender puntos de vista en determinadas situaciones de la vida desde un adecuado pensamiento y orden lógico. 1.

(6) En el aprendizaje de la Matemática los alumnos deben realizar actividades mentales que exigen mucho de ellos, tal es el caso: formar conceptos y sistematizarlos, buscar teoremas y demostrarlos, elaborar sucesiones de indicaciones con carácter algorítmico, realizar construcciones geométricas y resolver problemas entre otras. Para desarrollar el pensamiento en general, es necesario realizar una constante actividad intelectual que exija: analizar, sintetizar, generalizar, particularizar, abstraer y concretar. Estas formas de trabajo y pensamiento matemático requieren del ejercicio sistemático de estas operaciones; por ello la primaria concede especial significación al tratamiento de problemas en la enseñanza de la Matemática y prioriza la capacitación de los estudiantes para resolver problemas, por lo que se hace necesario analizar de manera especial la forma de guiar a los estudiantes en la comprensión de textos, organizar su actividad, eliminar la tendencia a la ejecución y puedan dar una respuesta lógica a lo que se le pide en el problema de acuerdo a las condiciones que se dan, aspecto aún no resuelto. La enseñanza de la resolución de problemas debe realizarse como continuación de los niveles de enseñanza precedentes para que su aprendizaje contribuya a la formación y desarrollo de capacidades mentales, se estudia en todos los grados de la Educación General Politécnica y Laboral, por lo que se deben desarrollar habilidades para garantizar la formación adecuada en grados posteriores. La enseñanza de los problemas tiene como objetivo general desarrollar el pensamiento lógico de los estudiantes, por tal razón se requiere que los profesores de este nivel profundicen en su preparación para estar plenamente capacitados y pongan todo su empeño en lograr el objetivo de esta área del saber matemático. Al proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. se le han señalado. dificultades producto de que los profesores continúan utilizando la enseñanza tradicional, como se ha podido apreciar en los controles realizados por diferentes instancias a las actividades docentes, donde el desempeño intelectual de los estudiantes para resolver problemas es limitado y no rebasa el plano reproductivo; esto ha sido plasmado en investigaciones relacionadas con respecto al desempeño intelectual de los alumnos dadas a conocer por los autores cubanos entre los que señalamos a Amelia Amador, Pilar Rico, Margarita Silvestre, Orlando Valera entre otros. Pérez de Landazábal plantea que: “Los estudiantes aplican los principios lógicos solamente en problemas similares a los utilizados durante el entrenamiento, pero. 2.

(7) esas - capacidades desaparecen con el tiempo o no se transfieren a problemas de diferente naturaleza” (Pérez de Landazábal, M., 1993, p.8). Las investigaciones realizadas a escala nacional e internacional han incursionado en el componente matemático referido a la resolución de problemas, evidenciando que la escuela no realiza, de manera óptima, la función de preparar al alumno para que se pueda enfrentar y solucionar problemas independientemente tanto dentro como fuera de ella. En nuestro país muchos profesores e investigadores se han dedicado al estudio de la resolución de problemas matemáticos, dentro de los cuales es meritorio señalar algunos como: Luís Campistrous Pérez y Celia Rizo Cabrera los que han profundizado en lo relacionado con procedimientos para la resolución de clases de problemas (problemas aritméticos). Alberto Labarrere Sarduy ha trabajado durante muchos años la resolución de problemas matemáticos, abordándolos desde el punto de vista psicológico y ha profundizado en la función de la meta cognición en la resolución de problemas matemáticos. Paúl Torres Fernández se ha dedicado a profundizar en el aspecto de los métodos problémicos en la enseñanza de la Matemática. Alfredo Rebollar ha trabajado lo relativo a la enseñanza de clases de problemas en la enseñanza de la Matemática. Raúl Delgado Rubí considera la resolución de problemas como una habilidad matemática. Por lo que en nuestra provincia, el trabajo con los problemas ha sido objeto de análisis en varias investigaciones en tesis de opción al título académico de Máster, entre las que citamos: la MSc Caridad Leiva García “Folleto de ejercicios para comprender el enunciado de. los problemas aritméticos y algebraicos en sexto. grado” (2008), la MSc Irma Valdés “Sistema de tareas para la comprensión de problemas aritméticos” (2008),. el MSc Roberto Hidalgo Mojena “Folleto de. problemas matemáticos en cuarto grado” (2008) la MSc María Aurelia Nápoles Duruthy “Sistema de ejercicios sobre la habilidad traducir del lenguaje común al algebraico y viceversa para los estudiantes de séptimo. grado” entre otras; sin. embargo, esta área del conocimiento de la Matemática, resolver problemas, todavía confronta serias insuficiencias en la escuela primaria “José Oquendo Díaz” las cuales citamos: Insuficiente lenguaje y simbología cojuntista relacionada con las ecuaciones. Pobre traducción del lenguaje común al algebraico y viceversa y su utilización en la interpretación y modelación de ejercicios con textos y problemas.. 3.

(8) Pobre solución de ejercicios con textos y problemas utilizando una vía algebraica. Exponen el resultado de forma mecánica sin transitar por los pasos lógicos del mismo. Existe consenso en que estas insuficiencias obedecen a un conjunto de factores entre los cuales pueden citarse entre otras: • Insuficiente preparación de los maestros y profesores para acometer con éxito el tratamiento de los problemas. • Poco trabajo con los problemas desde las otras asignaturas del plan de estudio. • Dificultades al establecer la relación entre las operaciones y su significado práctico por presentar escaso dominio de sinónimos y poca inferencia de significados. • La incapacidad para aplicar conceptos y modelos a situaciones dadas de traducir un problema de la realidad a uno matemático, en definitiva de poner los conocimientos y habilidades en acción. Una de sus causas radica fundamentalmente en la acumulación de insuficiencias en el resultado del aprendizaje de la resolución de problemas que se incrementa de grado en grado y que se manifiesta en el limitado desempeño de los alumnos en la asimilación y uso de los conocimientos que, en general, son débiles y no rebasan el nivel reproductivo, lo que no les permite utilizar lo aprendido en nuevas situaciones; por otra parte, la estimulación al desarrollo intelectual y la formación de habilidades para aprender a aprender se trabaja de forma limitada, en ocasiones de manera espontánea, y las acciones educativas para la formación de cualidades y valores en los estudiantes, no se asocian suficientemente al proceso de enseñanzaaprendizaje, desde la propia clase, al concebir tareas docentes que en su gran mayoría son reproductivas, sin tener significado para el alumno, lo que influye en que no se logre el principal objetivo de esta asignatura. Las reflexiones anteriores han servido de base para plantear como Problema científico: ¿Cómo contribuir a la solución de problemas que conducen a ecuaciones en los alumnos de 6to grado de la escuela primaria José Oquendo Díaz? Se determinó, entonces, circunscribir nuestro objeto de investigación a: La solución de problemas en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática en 6to grado. Se ha definido como campo de acción: La dirección del proceso de solución de problemas en la enseñanza-aprendizaje de la matemática.. 4.

(9) En correspondencia con lo anterior se formula el siguiente objetivo: Elaborar un sistema de ejercicios que conducen a ecuaciones en los alumnos de sexto grado de la escuela primaria “José Oquendo Díaz”. Lograr el objetivo de este trabajo presupone dar respuestas a las siguientes preguntas científicas: 1. ¿Cuáles son los fundamentos teóricos y metodológicos que sustentan el proceso de resolución de los problemas matemáticos y en particular los que conducen a ecuaciones? 2.. ¿Cuál es el estado actual que presentan los alumnos de sexto grado de la. escuela primaria “José Oquendo Díaz” para la resolución de problemas que conducen a ecuaciones? 3. ¿Cómo elaborar un sistema de ejercicios para la resolución de problemas que conducen a ecuaciones en los alumnos de sexto grado de la escuela primaria “José Oquendo Díaz”? 4. ¿Cómo aplicarlo y validarlo en la práctica escolar? Esta investigación tiene como idea a defender: Con la elaboración de un sistema de ejercicios relacionados con las ecuaciones, se logran mejores resultados en la resolución de problemas por los alumnos de sexto grado. Para dar cumplimiento al objetivo planteado y solucionar las preguntas científicas, se ejecutaron las siguientes tareas científicas: 1. Determinación de los elementos teóricos-metodológicos que sustentan el proceso de resolución de los problemas matemáticos y en particular los que conducen a ecuaciones. 2. Diagnóstico y caracterización del estado actual que presentan los alumnos del sexto grado de la escuela primaria “José Oquendo Díaz” para la resolución de problemas que conducen a ecuaciones. 3. Elaboración del sistema de ejercicios para la resolución de problemas que conducen a ecuaciones en los alumnos de sexto grado de la escuela primaria “José Oquendo Díaz”. 4. Valoración de la efectividad del sistema de ejercicios en la práctica escolar. Método y Técnicas empleados en la investigación. El aseguramiento metodológico está dado, en primer lugar, por el empleo de los métodos teóricos, tales como: Histórico - lógico, Análisis – Síntesis y el Enfoque sistémico. Se utilizaron, además, los métodos empíricos que se relacionan a continuación: la 5.

(10) observación, encuesta a los estudiantes y la prueba pedagógica. Métodos Matemáticos Estadísticos: Para el procesamiento de la información obtenida a través de los instrumentos del nivel empírico aplicados a la muestra y a las unidades de observación, se utilizó el análisis porcentual y la Estadística descriptiva para expresar a través de tablas y gráficos los resultados obtenidos en la constatación del problema y en la medición del impacto. La población está constituida por 15 escolares de sexto grado de la escuela primaria José Oquendo Díaz. La muestra intencional la forman 15 alumnos de sexto grado, los que representan el 100% de la población. El aporte práctico está dado por la contribución que brinda el sistema de problemas en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática de sexto grado para contribuir al desarrollo de la habilidad resolver problemas que conducen a ecuaciones en esta área del saber matemático del sexto grado de escuela primaria “José Oquendo Díaz”. La novedad científica radica en que por primera vez se pone a disposición de los maestros de la escuela primaria “José Oquendo Díaz” un sistema de ejercicios que conducen a ecuaciones para contribuir al desarrollo de esta habilidad, tiene en cuenta las características de los alumnos, constituye un elemento muy importante necesario para lograr el desarrollo intelectual, permitiendo su formación integral en correspondencia con el nuevo proyecto de modelo de escuela primaria para el desarrollo integral y enriquece el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática del sexto grado. El material docente está estructurado por introducción, desarrollo, conclusiones, recomendaciones, bibliografía y anexos.. 6.

(11) DESARROLLO Fundamentos teóricos conceptuales acerca de los problemas matemáticos en el proceso de enseñanza aprendizaje. El trabajo con problemas matemáticos en el proceso de enseñanza aprendizaje en educación primaria, debe favorecer el desarrollo en los escolares de tres capacidades básicas: la identificación, la formulación y la resolución de ellos. Desde el punto de vista epistemológico e histórico, estas tres capacidades han caracterizado el quehacer matemático y desde el pedagógico la identificación y la formulación son medios fundamentales para lograr el fin esencial que se persigue en la escuela, es decir, que los alumnos puedan resolverlos. Desde la década de los setenta ha sido una tendencia en la enseñanza de la Matemática el fortalecer la habilidad para plantear y resolver problemas, antecedido de un fuerte movimiento de innovación surgido en los años 60, con la introducción de la Matemática moderna que ubicó en un primer plano el estudio de estructuras algebraicas abstractas, lo que acentuó los aspectos lógicos sobre los aspectos prácticos, los ejercicios formales en detrimento de los problemas prácticos, lo que produjo un crecimiento en el estudio de las nociones algebraicas y de la teoría de conjuntos en deterioro de la geometría elemental y la intuición espacial. El objeto de la actividad matemática en esta etapa estuvo más encaminado a la comprensión de las estructuras matemáticas, el rigor en la fundamentación de proposiciones y en menor medida, a la resolución de problemas, lo que tuvo sus antecedentes en los auges del formalismo que presenta a la Matemática como un cuerpo estructurado de conocimientos que tiene como criterio de validación de los resultados el marco axiomático deductivo. Al trabajar exclusivamente con las formas y las relaciones entre los objetos matemáticos, el formalismo se inclina a ignorar el significado de esos objetos y, si bien se han reconocido los aportes en el desarrollo de la Ciencia Matemática en este siglo a partir de esta concepción, sus consecuencias, en la práctica educativa, no se han correspondido, según los estudios realizados por autores como M. De Guzmán, L. Moreno, G. Waldegg, A. Schoenfeld y otros. Todos aquellos que han tenido la experiencia de enseñar Matemática y la mayoría de aquellos que han tratado de aprenderla, deben coincidir seguramente en que resolver problemas en esta asignatura, es una traba para la mayoría de los alumnos. De ahí la necesidad de ocuparse de la Didáctica para el tratamiento de los mismos. 7.

(12) La enseñanza de esta ciencia afecta a millones de niños, jóvenes y adolescentes. Este carácter eminentemente social y cultural, junto a la complejidad y dificultades detectadas en el aprendizaje de la misma, han contribuido a despertar la preocupación por el estudio de los procesos de comunicación, transmisión y comprensión de la Matemática y a interesar al respecto, a una amplia comunidad científica, que viene investigando desde hace mucho tiempo en este campo. En diferentes épocas se ha planteado que “hacer matemáticas es por excelencia resolver problemas”, con lo cual se ha tratado de destacar la esencia del quehacer matemático. Sin embargo, según Pilar Rico (1988), no es hasta mediados de la década de los 70 cuando, coincidiendo con la búsqueda de una nueva visión global para el curriculum de Matemática en la enseñanza obligatoria, se plantea la resolución de problemas como un campo autónomo sobre el cual trabajar e investigar sistemáticamente. En lo referido a la resolución de problemas, según cita de M. del P. Pérez, (1993), autores como Schoenfeld (1983), Stanic y Kilpatrick (1988) o Wuebster (1979) han llegado a recopilar hasta 14 significados diferentes de dicho término. Por su parte Schoenfeld (1985), describe los cuatro enfoques que, en su opinión, han seguido los trabajos sobre resolución de problemas a nivel internacional: • Problemas presentados en forma escrita, a menudo problemas muy sencillos pero que colocan la Matemática en el contexto del “mundo real”. • Matemáticas aplicadas o modelos matemáticos, es decir, el uso de matemáticas sofisticadas para tratar los problemas que reflejan el “mundo real”. • Estudio de los procesos cognitivos de la mente, consistente en intentos de exploración detallada de aspectos del pensamiento matemático en relación con problemas más o menos complejos. • Determinación y enseñanza de los tipos de habilidades requeridas para resolver problemas matemáticos complejos. Enfoque con base, en gran medida, en la obra de Polya, G. (1945). Dentro de estos cuatro enfoques de la resolución de problemas, la aportada por Schoenfeld, A. (1985), es decir, el uso de problemas o proyectos difíciles por medio de los cuáles los alumnos aprenden a pensar matemáticamente. Entendiendo la calificación de “difícil” como una dificultad intelectual para el resolutor (persona, en este caso el alumno, enfrascado en la tarea de resolver un determinado problema), es decir, como una situación para la cual éste no conoce un procedimiento que lo lleve directamente a la solución. De esto se desprende que la 8.

(13) dificultad de un problema es relativa pues depende de los conocimientos y habilidades que posea el resolutor. De la misma forma, en esta década de los 80, se destacan los trabajos del profesor Allan Schoenfeld, quien estudia y critica el método heurístico de G. Polya, perfeccionándolo en buena medida, al derivar subestrategias más asequibles al trabajo con los alumnos. Este autor, que ha develado cuatro categorías del conocimiento y comportamiento necesarias para caracterizar adecuadamente las formas de solucionar problemas, publica en 1985 su obra más importante, “Mathematical Problem Solving”. (Schonefeld, A.1985.p.7). En esta etapa también se dan a conocer obras relevantes en la temática, de autores de la antigua Unión Soviética, ejemplo de ello son L. Fridman y E. Turetsk, quienes en 1989 publican su libro “Como aprender a resolver problemas” en el cual exponen elementos. teóricos. importantes. sobre. los. problemas. y. su. clasificación,. desarrollando algunas estrategias de resolución. Ya en los años 90 la resolución de problemas ha pasado a ser tema central de debate en Congresos, Simposios y reuniones entre educadores matemáticos; aparece continuamente en artículos, memorias y libros relacionados con el tema; es el motivo de un trabajo sistemático para la puesta en marcha y desarrollo de proyectos y centros de investigación en muchos países, llegando a constituirse casi en una disciplina autónoma dentro de la Educación Matemática. . En Cuba se han realizado algunas investigaciones en la temática, en este sentido cabe destacar las dirigidas por la Dra. H. Hernández, que ha trabajado en el nivel superior fundamentalmente; las que ha llevado a cabo el Dr. A. Labarrere (1988), en el nivel de enseñanza primario. En cuanto a las funciones de la resolución de problemas en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, el autor de esta investigación coincide con Maura Blanco Hernández (1980) cuando plantea que son tres las que se le atribuyen: objetivo, proceso y destreza básica. La resolución de problemas es un objetivo general en la enseñanza de la Matemática, ya que ésta se justifica por su aplicación y utilidad en la vida real. Es un proceso del pensamiento, pues al resolver un problema se aplican conocimientos previos a situaciones nuevas o poco conocidas y se intenta reorganizar datos y conocimientos previos en una nueva estructura mediante un proceso secuencial; en este sentido son tan importantes los procedimientos y métodos empleados como el resultado final. Por último, es una destreza básica cuando se consideran los 9.

(14) contenidos específicos, los tipos de problemas y sus métodos de solución, de este modo se pueden organizar el trabajo escolar de enseñanza de conceptos y aprendizaje de destrezas. Dentro de esta última función, y con el objetivo de promover la formación de ciertas habilidades inherentes al quehacer matemático, que facilitasen la resolución de problemas de diferente índole, surge el Sistema de Habilidades Matemáticas. Dicho sistema tuvo su origen en los trabajos de la doctora Hernández, H. (1993), quien tomando como base la teoría psicológica de la actividad, expuso un sistema básico de habilidades matemáticas para los niveles secundario y terciario de la educación, sobre la base del análisis de las tareas matemáticas que se ejecutan en esos niveles. El sistema en un principio fue compuesto por las habilidades básicas: interpretar, identificar,. recodificar,. calcular,. algoritmizar,. graficar,. definir. y. demostrar. (Hernández, H., 1984); las cuales fueron empleadas como guía en la elaboración de programas de asignaturas y en la labor formativa realizada por los profesores. Al resultar, más tarde, insuficientes para el trabajo de formación de los estudiantes; se continúa profundizando en esta dirección por otros investigadores, ampliándose dicho sistema con otras habilidades como: modelar Rodríguez, T. (1991), fundamentar Valverde, L, (1990), comparar Delgado, R, (1995), controlar, Hernández, H (1993.), resolver, aproximar y optimizar Delgado, R. (1999) y por último, representar Alonso, I.(2001), pasando a considerarse éste como Sistema de Habilidades Generales Matemáticas, contentivo del núcleo básico que le dio origen. Resumiendo, sobre la base de lo planteado por Santos Trigo (1994), las tendencias que han predominado en el enfoque de la enseñanza de la Matemática y la resolución de problemas incluyen: •. La existencia de un apartado, identificado al final de un tema o asignatura como. “resolución de problemas” y, en la cual se discuten de manera explícita algunas estrategias y su papel en la resolución de problemas. •. El uso de problemas seleccionados para aplicar los contenidos, después que. los mismos han sido presentados de forma abstracta a los estudiantes. Mediante estos problemas se discuten los pasos identificados en el modelo clásico de G. Polya. Frecuentemente, el proceso de seguir este modelo se vuelve rígido y rutinario para el estudiante. En ocasiones se le obliga a seguir las fases cuando puede resolver el problema directamente.. 10.

(15) •. El inicio del estudio de un determinado contenido matemático a través de la. resolución de algún problema, de donde la solución del mismo justifica la necesidad de estudiar dicho contenido. •. La resolución de problemas presentada, a través de todo el curso, como un arte. donde hay lugar para discutir una variedad de problemas, exponer ideas, hacer conjeturas, usar ejemplos y contraejemplos y proponer diversos métodos para resolver los problemas. En esta dirección, se coincide con lo planteado por Kilpatric (1998), que permite caracterizar el uso de la resolución de problemas, como vía para enseñar la Matemática en tres direcciones: • Análisis de problemas como vehículo para lograr algunas metas curriculares. Metas que pueden incluir aspectos relacionados con la motivación, recreación, justificación o práctica (resolución de problemas como contexto). • Resolución de problemas considerada como una de las tantas habilidades que se debe enseñar en el currículo. • Resolución de problemas vista como un arte en el sentido de simular la actividad matemática dentro del aula. Lo que Schoenfeld (1985) identifica como el desarrollo de un “microcosmos matemático” en el aula. La resolución de problemas promueve un aprendizaje desarrollador, motivo por el cual ha tomado un gran auge en los últimos tiempos, creciendo su inclusión en planes de estudio y constituyéndose casi en una disciplina autónoma dentro de la Educación Matemática. Un análisis histórico del desarrollo de la resolución de problemas permite caracterizar la misma como una vía eficaz para la enseñanza de la Matemática; de ahí el interés cada vez más creciente de didáctas e investigadores en el estudio y desarrollo de la resolución de problemas en sus tres funciones fundamentales, como objeto, método y destreza básica; aportando diferentes conceptos, paradigmas y modelos que permiten caracterizar didácticamente este complejo e importante proceso. Es imprescindible para este trabajo buscar una definición que aclare el significado de la expresión problema, puesto que a partir de su uso generalizado es cuando comienzan a surgir contradicciones acerca de lo que los diferentes autores quieren significar cuando la usan. Partamos para el análisis del significado de la expresión problema, de su uso en el lenguaje común, en su más amplia acepción, se utiliza para expresar aquello en lo que se expone una situación de la cual se busca un resultado a partir de ciertos datos. 11.

(16) Problema: Según los diccionarios “Aristos” y “Cervantes”, coinciden respectivamente y se plantea: • Cuestión o proposición dudosa que se trata de resolver. • Proposición encaminada a averiguar el modo de obtener un resultado cuando se conocen ciertos datos. • Cuestión que se trata de resolver por procedimientos científicos, • Proposición dirigida a averiguar el modo de obtener un resultado. Pero cuando se habla de problemas, para nosotros los dedicados a la enseñanza de las Matemáticas, encierra un significado más amplio; por lo tanto si pretendemos realizar un análisis profundo de la definición de problema, debemos investigar lo que se plantea desde la visión psicopedagógica y desde el punto de vista de la Didáctica de la Matemática. Se hará el análisis basado en las palabras de Hadamard cuando planteó: “... este asunto envuelve dos disciplinas, Psicología y Matemática, y requerirá, ser tratada adecuadamente en ese orden, por ambos, tanto por el Psicólogo como por el matemático. Por la falta de esta composición, el asunto ha sido investigado por los matemáticos por un lado y por los psicólogos por el otro...” (Hadamard, J. 1945, p. 1). Desde el punto de vista de la Psicología, se estudiaron las definiciones, a nuestro juicio, más representativas. Cabe mencionar las dadas por Rubinstein (1965), Leontiev (1979) y González (1995). Del análisis de las definiciones dadas por estos psicólogos podemos hacer notar dos características comunes: En todo verdadero problema el sujeto desconoce la vía de solución y que frente a él, adopta un carácter activo. Dentro del campo de la Didáctica de la Matemática existe diversidad de criterios en relación con lo que es un problema, al aparecer, en muchos casos, mezclado con el término de ejercicio y tarea. En tal sentido, para muchos autores los mismos se solapan. Investigaciones en este campo han puesto de relieve que los maestros y profesores identifican el concepto de problema con los de ejercicio y tarea, a la vez que confunden el problema en la enseñanza con el significado general que se le da al mismo. Estas deficiencias, en lo fundamental, han sido arrastradas debido a la mala interpretación que tuvo la enseñanza problémica, en especial sus conceptos en la escuela y algunos criterios desarrollados e introducidos en Cuba en la década de. 12.

(17) los ochenta por investigadores de la antigua República Democrática Alemana (RDA), tales como: situación problémica, método heurístico, etcétera. Para autores como Ballester (1992): “Un ejercicio es una exigencia que propicia la realización de acciones, solución de situaciones, deducción de relaciones, cálculo, etcétera. De cada acción debe precisarse el objetivo que nos mueve a transformar la premisa para obtener la tesis; el contenido que comprenden los tipos de acciones (identificar, comparar, clasificar, fundamentar etcétera), el objeto de las acciones (conceptos, proposiciones, procedimientos algorítmicos), la correspondencia entre situaciones extramatemáticas y matemáticas, los procedimientos heurísticos y los medios heurísticos auxiliares.” (Ballester, S. y otros. 1992, p. 406). La escuela de la antigua RDA y en especial Jungk (1985) elaboró una clasificación de los ejercicios tomando como base el grado de abstracción en el reflejo de los elementos y relaciones, así como el tipo de reflejo que se realiza. Como concepto superior tomó los ejercicios matemáticos planteados a los alumnos; a este se le subdividen dos conceptos subordinados: ejercicios de aplicación (los que tienen su origen en la práctica) y “ejercicios construidos” (aquellos que se conciben con fines didácticos; o sea para ejercitar, profundizar, aplicar, asegurar las condiciones previas, entre otras). Los ejercicios construidos sufren a su vez otra división. Por una parte aparecen los ejercicios formales dentro de ellos cabe mencionar: resolver una ecuación, etcétera. Por otra parte aparecen los ejercicios con textos conformados por aquellos cuyo texto es puramente matemático o bien se relaciona con la práctica. En relación con esta proposición el propio autor señala que las fronteras existentes entre los distintos grupos son movibles; en este sentido, pensamos que los ejercicios con textos matemáticos y los de textos relacionados con la práctica no son conceptos excluyentes, ya que los primeros son las bases de los segundos y en ambos casos se necesita encontrar el modelo matemático para abordar su solución. Pensamos que no se debe asumir de forma absoluta la identidad entre los ejercicios con texto y los de aplicación como problemas, puesto que aparecen en la bibliografía ejercicios con texto cuyos objetivos están en función de desarrollar una determinada habilidad o desarrollar un determinado algoritmo; en este sentido no coincidimos con la escuela alemana. Existen otros autores de relativa importancia dentro de este campo que denominan ejercicios: aquellas tareas que pretenden desarrollar algún tipo de algoritmo, de 13.

(18) ellos cabe mencionar: Carreras (1998), Borasi (1986), aunque el mismo no se puede identificar con la tarea, puesto que en la vida hay un sin número de tareas que para su solución se requiere solo de una actividad mecánica; no comprometiendo a la persona con la actividad y por ende no logrando ningún desarrollo en la personalidad del mismo. Este último relaciona problemas con texto a los textos formulados con precisión, donde aparecen todos los datos necesarios para obtener la solución. También trabaja los problemas para el entretenimiento y las pruebas de conjeturas refiriéndose a la demostración de teoremas o de una cierta propiedad. Uno de los problemas más serios a nuestro juicio es que no queda claro la base para la división de los conceptos. En Cuba, en los trabajos de M. González, aparece una definición de problema donde enfatiza fundamentalmente en la parte cuantitativa del mismo, planteando que: “problema es toda proposición (generalmente de carácter práctico) en que se pide la determinación de ciertas cantidades (numéricas, geométricas, físicas, etcétera) mediante las relaciones que existen entre ellas y otras conocidas” (González, M. 1968, p. 365). Para Kantowski un problema “es una situación que difiere de un ejercicio en que el resolutor de problemas no tiene un proceso algorítmico que lo conducirá con certeza, a la solución”. (Kantowski, M. 1981, p. 111). Para los doctores L. Campistrous y C. Rizo,(1996) relacionados también con la enseñanza de la resolución de problemas, en “Aprender a resolver problemas aritméticos”, plantea que en la resolución de problemas hay al menos dos condiciones que son necesarias: la vía tiene que ser desconocida y el individuo tiene que hacer las transformaciones, es decir, quiere resolver el problema, y define problema como “Toda situación en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a transformarla ¨. La vía para pasar de la situación o planteamiento inicial a la nueva situación exigida, tiene que ser desconocida; cuando es conocida deja de ser un problema. ¨ A partir del análisis de estas definiciones el autor asume esta última para este trabajo investigativo porque resume de una forma breve y concisa las características generales de un problema matemático para la enseñanza primaria. Desde el punto de vista didáctico, la anterior definición es muy importante, pues en la selección de los problemas a proponer a un grupo de estudiantes hay que tener en cuenta no solo la naturaleza de la tarea, sino también los conocimientos que la 14.

(19) persona requiere para su solución y las motivaciones para realizarla. En ambos casos, lo antes planteado significa que lo que puede ser un problema para una persona puede no serlo para otra, o bien porque ya conozca la vía de solución o porque no esté interesado en resolverlo. Otra definición que aparece como paradigma en un conjunto de investigaciones sobre el campo de la resolución de problemas, es la dada por Palacios y Zambrano que plantea: “El problema puede ser definido como cualquier situación, que produce por un lado un cierto grado de incertidumbre y, por otro lado, una conducta tendente a la búsqueda de su solución”. (Palacios, C. y Zambrano, E. 1993, p. 17). Aunque en la definición anterior y en la dada por Campistrous y Rizo (1996), se observa una cierta relación en el significado que se le atribuye a los términos utilizados, entendemos que la de estos últimos autores está más acabada, pues explican de una manera más directa los elementos esenciales de la definición. En este mismo sentido Labarrere ha señalado que “... un problema, es determinada situación en la cual existen nexos, relaciones, cualidades de y entre objetos que no son accesibles de forma directa e indirectamente a la persona; (...) es toda relación en la cual hay algo oculto para el sujeto, que este se esfuerza por hallar”. (Labarrere, A. F.1996, p.6). Al analizar estas definiciones encontramos elementos que son de suma importancia en nuestro propósito de encontrar una caracterización de problema escolar que nos permita poder acceder con mayor precisión a la elaboración de los problemas y que les permita a los docentes reconocer cuando están realmente en presencia de ellos. Estos elementos son: La vía de pasar de la situación inicial a la nueva situación debe de ser desconocida; estableciendo diferencias esenciales entre ejercicio y problema. Que la persona debe querer realizar esa transformación; poniendo bien en claro que lo que puede ser un problema para uno puede no serlo para otro. A modo de conclusión de esta parte, podemos plantear a raíz del análisis realizado que aunque existe una gran diversidad de criterios, los autores de manera general no se contradicen, situación esta que permitió dar una mayor precisión a los rasgos de la caracterización: • Debe existir una situación inicial y una situación final. • La vía de pasar de una situación a otra debe de ser desconocida o que no se pueda acceder a ella de forma inmediata. • Debe existir el alumno que quiera resolverlo. 15.

(20) • Que el alumno disponga de los elementos necesarios para realizar la transformación, Además desde posiciones psicopedagógicas se tiene presente, en primer lugar, el carácter activo del alumno frente al problema y su carácter relativo. Estos dos aspectos son muy importantes para la finalidad que se persigue, ya que establece la necesidad de tener en cuenta los conocimientos y la naturaleza de la actividad que realiza el alumno. Es bueno aclarar que para presentar un problema que resulte significativo para el alumno, debemos cerciorarnos que esté a su alcance en relación con el nivel de conocimientos, habilidades que este posee. La dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje para capacitar a los alumnos en la resolución de problemas, no es única. “...existen tantas maneras de enseñar eficazmente a pensar matemáticamente cómo existen profesores de talento.” (Schoenfeld, 1992, p.13). Numerosas investigaciones demuestran que existen muchas dificultades en los alumnos de la enseñanza primaria para resolver problemas en general, al profundizar en las causas se pudo comprobar que existen insuficiencias con la metodología de su tratamiento. El Dr. Luís Campistrous plantea que los procedimientos metodológicos que se dan, están dirigidos a acciones que debe realizar el maestro, es decir, es una metodología de enseñanza y no está dirigida a la búsqueda de procedimientos de actuación para el alumno. (Campistrous, 1996, p.X). Aclara que esto significa que: • La estimulación es indirecta, mediatizada o mezclada con la acción del maestro, que por lo general enseña cómo se encuentra la solución del problema específico. • No se logran formas de actuación generalizadas en el alumno que son muy necesarias, pues representan un desarrollo en sí mismas y son aplicables, en general, para la vida. • Los problemas se utilizan en función de desarrollar habilidades de cálculo y no como objeto de enseñanza en sí mismos. Por otra parte, no enseñan técnicas de trabajo que pueden ser muy útiles en la resolución. • Los parámetros de dificultad establecidos para los problemas son, por lo general, poco precisos, por lo que la graduación no es buena y no siempre posibilita, por ejemplo, reconocer analogías y establecer relaciones entre problemas ya resueltos. • En el caso particular de los problemas aritméticos hay que añadir que no se trabajan adecuadamente los significados prácticos de las operaciones aritméticas y en consecuencia, se abusa de la búsqueda de palabras claves en los textos de los problemas, logrando con esto que los alumnos traten mediante ellas de “adivinar” 16.

(21) qué operación u operaciones deben realizar y cometan muchos errores, unido al poco desarrollo que esta práctica provoca. En el curso de Matemática los estudiantes se enfrentan sistemáticamente a ejercicios y problemas que deben aprender a resolver con un mínimo de esfuerzo y la máxima probabilidad de éxitos, con un uso racional de su labor intelectual. (Ballester, 1992, p.34) La enseñanza de la Matemática debe preparar a los alumnos para trabajar de modo racional, planificado y orientado hacia el cumplimiento de objetivos específicos. Un trabajo de este tipo tiene como componentes esenciales: • El conocimiento seguro de conceptos, teoremas y procedimientos de trabajo matemáticos. • El empleo razonable de medios auxiliares de cálculo. • El dominio de los procedimientos de solución y formas de trabajo matemáticos. • El dominio de acciones para el control del proceso de solución. El logro de los objetivos de la asignatura Matemática exige que se estimule la actividad cognoscitiva del alumno en la búsqueda de los nuevos conocimientos, y en la resolución de problemas. Para ello se requiere la selección de métodos y procedimientos que propicien un nivel de asimilación productivo y la adecuada dirección de la actividad de los alumnos en el proceso. Una vía para lograr este propósito lo constituye el trabajo heurístico de los alumnos, lo que requiere de la preparación pedagógica adecuada de los profesores para dirigirlo, aspecto clave para lograr adiestrar a los alumnos en la aplicación consciente de los procedimientos y medios auxiliares heurísticos. La heurística, como disciplina científica, es aplicable a cualquier ciencia e incluye la elaboración de principios, reglas, estrategias y programas que faciliten la búsqueda de vías de solución a problemas, o sea, para resolver tareas de cualquier tipo para las que no se cuente con un algoritmo de solución. Si bien el método heurístico de enseñanza, ha sido utilizado desde la antigüedad, y es conocido hoy en día por gran parte de los profesores de Matemática, queremos destacar que existen diferencias entre método heurístico y enseñanza heurística, lo que aclaramos a continuación. Por método heurístico entendemos el método de enseñanza mediante el cual se les plantean a los alumnos preguntas, sugerencias, indicaciones, a modo de impulsos que facilitan la búsqueda independiente de problemas y de soluciones a estos.. 17.

(22) “Los procedimientos heurísticos son formas de trabajo y de pensamientos que apoyan la realización consciente de actividades mentales exigentes.” (Müller, 1987, p.1) La introducción de estos procedimientos en la clase y su aplicación por parte de los alumnos propicia la asimilación de los conocimientos, su capacidad para resolver problemas para los cuales no existen procedimientos algorítmicos y el desarrollo del pensamiento creador. En la escuela es imposible tratar tan detalladamente todos los problemas, pero si debemos lograr que los alumnos se apropien de un grupo de habilidades como: Localizar datos (observar, leer, preguntar, etc.). Interpretar la información (comprender e interpretar tablas, gráficos). Concretar y aplicar (planificar, argumentar, obtener, etc.). Recomponer (elaborar un modelo nuevo).Inventar, crear. Estas habilidades se pueden lograr planteando a los alumnos según sus posibilidades, tareas exigentes e interesantes, formulando impulsos precisos, exigentes y orientadores, que estimulen la búsqueda (tener en cuenta el principio de las exigencias decrecientes). Estos impulsos pueden ser elaborados en forma de preguntas, sugerencias u órdenes, de tal manera que cada vez sean menos, hasta lograr una independencia total en el trabajo de resolución de problemas por parte de los alumnos. Cuando esto se logra los alumnos han adquirido una instrucción heurística, que es la máxima aspiración. En la enseñanza de la resolución de problemas se ha comprobado que inciden varios elementos, tales como: el papel del maestro, características de los ejercicios seleccionados, los métodos de enseñanza utilizados, las formas de organización de la enseñanza, entre otros. Analizaremos algunos de ellos. El maestro juega un papel como modelo de comportamiento, pues al enseñar tiene que. concientizar. en. los. alumnos. las. técnicas. necesarias. para. pensar. matemáticamente, debe exponer los pasos que ha ejecutado al pensar, para que los alumnos puedan seguirlo. Existen tres maneras parecidas de hacer esto: • Siguiendo el proceso paso a paso (incluso cuando se sabe la respuesta), en este caso se hace necesario considerar dos momentos: la comprensión del problema y detenerse a reflexionar un tiempo, destacar los procesos de pensamiento que nos llevan al resultado, aunque el razonamiento parezca correcto. • Destacar cómo la estrategia empleada puede generalizarse y ser útil en otros casos. El aprender a usarlas ayuda a los alumnos a mejorar su capacidad de resolver problemas. 18.

(23) • Resolver el problema con el alumno, utilizando su idea, es decir, que la clase conjuntamente. solucione el problema, con el maestro como "moderador". El. maestro no está para dar soluciones, sino para ayudar a los alumnos a utilizar lo mejor posible los recursos de que disponen. (Schenfold1992, p.15) El maestro aprueba, resuelve problemas "sin preparación previa." Seguir un curso para aprender a resolver problemas es muy duro para los alumnos, ya que no existen "reglas"; justo cuando piensan que tienen las cosas claras, un nuevo problema les desborda. Para darles un descanso y que vean al maestro en una situación parecida a aquella en la que ellos se encuentran, les permite que le planteen algunos problemas de la misma manera que el maestro les pregunta a ellos. En ocasiones nos conformamos con la primera solución que aparezca de un problema planteado y cuando se ha resuelto ese problema pasamos al siguiente. Los alumnos se llevan la impresión de que hay una única forma correcta de llegar a la solución. Al asimilar la idea de que los problemas pueden resolverse de muchas formas diferentes, produce un efecto sobre la manera en que las personas los trabajan. Los alumnos que piensan que solamente hay una forma correcta de solucionar un problema, intentan resolverlo durante algún tiempo; si no avanzan en su resolución, puede que lo dejen y esperen a que se les muestre la técnica adecuada, (esto es, después de todo, el sistema que implícitamente han aprendido en la escuela). El alumno que cree que hay lugar para explorar las matemáticas y se beneficia de ello, está más inclinado a jugar con el problema, a buscar las soluciones pertinentes y quizás a tropezar con una solución inesperada. “A fin de enseñarse a resolver problemas se quiere trabajar mucho. Este trabajo, sin embargo, no se reduce a resolver una gran cantidad de problemas. Si quisiéramos expresar brevemente lo que se quiere hacer, podríamos decir: hay que acostumbrarse a enfocar los problemas de tal manera, que éstos se conviertan en objeto de estudio detallado, y su solución, en objeto de construcción y de inventiva.” (Fridman, 1993, p.4) En diferentes momentos del curso, debemos dedicar clases para profundizar los conocimientos en la resolución de problemas, a través de problemas resueltos por los alumnos, ejemplos construidos por ellos y aplicaciones descubiertas también por ellos. Este método enseña más y lo enseña mejor.. 19.

(24) Aprender matemática es un proceso activo el cual requiere de discusiones, de conjeturas y pruebas. Este proceso puede guiar a los alumnos al desarrollo de nuevas ideas matemáticas. Es decir, el planteamiento de preguntas, la búsqueda de respuestas y de justificaciones. Estas actividades se pueden practicar desde la enseñanza elemental y su práctica cotidiana puede producir resultados matemáticos nuevos. Entre las actividades que ayudan a los alumnos a explorar lo que ellos saben y usar sus conocimientos en forma efectiva, están las siguientes: • El resolver periódicamente (uno cada semana) problemas nuevos para el maestro en el salón de clases. Es importante que los estudiantes observen las diversas estrategias que se utilizan cuando uno se enfrenta a problemas no estudiados o resueltos antes de la clase. • Actuar como moderador mientras los alumnos resuelven problemas. El maestro puede sugerir algunas direcciones que sean de valor para la discusión. Discutir problemas que involucren el uso de varios métodos de solución o que incluyan varias soluciones. • Que los alumnos participen en el proceso de formular o de rediseñar problemas. • Los alumnos aprenden haciendo, no mirando. El maestro tiene que diseñar diferentes formas de organizar sus clases, para animar a los alumnos a participar. • Discusión de los problemas resueltos en casa. Los problemas que se indicaron de tarea en la última clase, se expone la solución por un alumno, el resto de los alumnos de la clase reflexionan sobre: Si es correcto o no la solución propuesta y por que debemos aceptarla, y de dónde se obtuvo la solución. Si el problema no fue resuelto, puede trabajarse de manera conjunta todo el grupo durante algún tiempo o puede orientarse que intenten resolverlo, haciendo o no alguna sugerencia. (S Trigo.1994, p. 69)Los resultados teóricos sobre la resolución de problemas que han sido obtenidos del análisis minucioso de las investigaciones realizadas por: Labarrere (Cuba), Müller (Alemania), Polya (USA) y Schöenfeld (USA), entre otros, utilizados convenientemente sin posiciones dogmáticas, han aportado criterios valiosos para lograr el propósito que se pretende lograr en esta investigación. Desde el punto de vista de los fundamentos, aceptamos (sin una dependencia rígida) las implicaciones de la teoría de la actividad, (en particular lo que significa para la resolución de problemas y muy en especial la necesidad de la motivación (interés), la orientación y el control Vigotsky, Leontiev); la interiorización de las 20.

(25) acciones mentales y sus implicaciones didácticas (Galperin); la importancia de la formación de procedimientos generalizados, de aprenderlos y por tanto de enseñarnos y, en particular, la trascendencia de este reconocimiento para la resolución de problemas (Talizina); las funciones instructiva, educativa y de desarrollo generalmente reconocidas al trabajo con problemas en la escuela; las fases en la resolución de un problema y su relación con los momentos de la actividad (Polya, Müller, Labarrere) así como la caracterización del comportamiento de solución de problemas y lo que en ella interviene: los recursos, la heurística, el control y el sistema de creencias (Schöenfeld). Las formas fundamentales de trabajo y pensamiento de la Matemática son: variación de condiciones, búsqueda de relaciones y consideraciones de analogía. A la actividad racional pertenecen también las acciones para el control del proceso de solución. Para esto no basta controlar el resultado final, es necesario controlar todo el proceso de solución para evitar arrastrar un error de principio a fin del trabajo en la solución. Constantemente hay que verificar si el proceso real de solución coincide con el plan de solución concebido durante el análisis. Se comparte los criterios de Campistrous que se debe hacer consciente al alumno sobre las posibilidades para el control que están dadas en la propia Matemática y educarlos en una actitud crítica ante los resultados de su trabajo y equiparlos con medios para el control efectivo de los mismos. Como puede apreciarse, el aprender a resolver problemas no ha figurado como una de esas razones durante un largo período de tiempo. Realmente hay que decir que la creencia predominante durante siglos fue el que se aprende a resolver problemas por imitación, es decir, viendo resolver problemas e imitando las actitudes y el proceder del que resuelve. No puede negarse que esta vía y también la de ensayo y error puede servir a algunas personas para aprender, pero la escuela no está hecha para que algunos aprendan, sino para que todos aprendan y, obviamente, con estos procedimientos no puede lograrse que todos aprendan. Se asumieron y contextualizaron las dimensiones e indicadores: propuestos por la MSc Adnaloy de la Torre González en su tesis en opción al título académico de Máster en Ciencia de la Educación “Estrategia Metodológica para desarrollar la habilidad resolver problemas matemáticos”. (2008) Los indicadores fueron evaluados teniendo en cuenta una escala valorativa de Bien, Regular y Mal, a la que posteriormente se le hizo corresponder con las categorías de Adecuada, Poco Adecuada e Inadecuada reflejándose en el (Anexo1). 21.

(26) Clasificación de los problemas matemáticos. Problemas algebraicos. En este tópico, se realiza un estudio de las posiciones asumidas por los diferentes autores, a la hora de establecer las clasificaciones de los problemas matemáticos. Todos los autores parecen estar de acuerdo en que un elemento fundamental para dirigir el proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas, es que tanto el maestro como el alumno sepan en presencia de qué clase de problemas se encuentran; en este sentido han aparecido en los últimos años muchos tipos de clasificaciones. Sobre la base de la significación semántica de problema como una tarea que debe ser resuelta e investigada. Para Majmutov (1983), todos los problemas se pueden clasificar de acuerdo con diferentes bases. Por ejemplo, partiendo de la significación del término “problema”, como cuestión que debe ser realizada, y como interrogante que debe ser resuelta. Todos los problemas, por su contenido se pueden dividir en: Cotidianos, Técnico-prácticos, Jurídicos, Pedagógicos, etcétera. Evidentemente, todos nuestros esfuerzos están dirigidos al trabajo con los problemas escolares, especialmente los relacionados con el proceso de enseñanzaaprendizaje de las Matemáticas. Para adentrarnos en su estudio, empecemos por la clasificación de los problemas en relación con el carácter de la incógnita, los cuales se pueden dividir en tres grandes grupos: Problemas prácticos, Problemas científicos, Problemas del reflejo artístico de la realidad. Dentro de los problemas más conocidos por nuestros maestros están los que se clasifican, de manera general, atendiendo a la naturaleza de la asignatura Matemática, de razonamiento lógico y recreativos. Ya en los trabajos de Polya (1976) aparece la clasificación de problemas por resolver y problemas por demostrar; también González (1968) los clasifica en particulares y generales. Además, en los trabajos de Bertoglia (1990) aparece una clasificación que a nuestra consideración es la más acabada, ya que el mismo hace énfasis no solo en el proceso de solución, sino que además, pone al descubierto la utilización de la lógica dentro del proceso, planteando que: “Problemas Cerrados: La solución se deduce de forma lógica a partir de la información que aparece en el planteamiento del problema y que resulta suficiente para encontrar la respuesta correcta. El resolutor dispone de toda la información, solo necesita integrarla aplicando los recursos de la lógica; por ello suelen llamarse “problemas de inferencias lógicas”.. 22.

(27) “Problemas abiertos: El resolutor necesita ir más allá de la información recibida, utilizándola de manera y/o modificando los significados atribuidos a los elementos del problema”. (Bertoglia, L. 1990, p. 111). Está en boga, también clasificar los problemas dentro de tres grandes campos, los mismos son: Según el campo del conocimiento implicado: Está dado por la diferencia entre los problemas que se plantean en la enseñanza de la ciencia y aquellos que tienen lugar en la vida cotidiana. En el primer caso lo importante no es la obtención de la solución sino más bien el proceso para llegar a ellas. En cambio, ocurre lo contrario en los problemas cotidianos. Por ejemplo es posible hablar de problemas de Geometría, de tanques, de mezcla, etcétera. Según el tipo de tarea: Según la naturaleza del enunciado y características del proceso de solución: Se pueden dividir según Palacios, en cerrados y abiertos. “Los problemas cerrados: son enfocados como aquellas tareas que contienen toda la información precisa y son resolubles mediante el empleo de un cierto algoritmo por parte del solucionador. Los problemas abiertos, por el contrario, implican la existencia de una o varias etapas en su resolución que deben ser aportadas por el solucionador mediante la acción de pensamiento productivo. Bajo este criterio, los problemas cualitativos pueden ser considerados en la mayoría de los casos como problemas abiertos y los cuantitativos como cerrados” (Palacios, C. y Zambrano, E. 1993, p. 19). Como se puede apreciar esta clasificación es mucho más estrecha que la dada por Bertoglia al no contemplar los elementos de la lógica. En el trabajo de Blanco (1991); la resolución de problemas juega un papel importante en cuatro direcciones: como objetivo de aprendizaje (saber resolver problemas), como actividad docente (clase dedicada a la solución de problemas), como instrumento de aprendizaje (aprender resolviendo problemas) y como elemento evaluador (los problemas en los exámenes). La solución de problemas. Consideraciones en el proceso enseñanza aprendizaje en la matemática. Rizo y Campistrous en su libro ¨ Aprender a resolver problemas aritméticos ¨ plantean que para establecer el significado práctico de las operaciones aritméticas es muy conveniente utilizar la relación parte todo. Esta relación es muy elemental, relaciona al conjunto completo o todo con sus subconjuntos o partes, la cual admite 23.

(28) modelos lineales simples que son un magnífico apoyo para la solución de problemas aritméticos; además, establecidas entre números o cantidades, tienen algunas propiedades como: . La descomposición del todo da lugar a dos o más partes.. . La reunión de todas las partes da como resultado el todo.. . Cada parte es menor que el todo. Los problemas se utilizan en función de desarrollar habilidades de cálculo y no como objeto de enseñanza en sí mismo. Por otra parte, los maestros no enseñan técnicas de trabajo que pueden ser muy útiles en la resolución de problemas aritméticos. Teniendo en cuenta estas dificultades se hace del todo necesario realizar un análisis exhaustivo de las técnicas de resolución de problemas aritméticos que permita preparar a los docentes no especializados en la asignatura propiciando elevar el nivel de desempeño de los estudiantes. Técnicas para resolver problemas. 1. Técnica de modelación: reproducir las relaciones fundamentales que se establecen en el enunciado del problema, despejadas de elementos innecesarios o términos no matemáticos que hacen difícil la comprensión, es una capacidad muy importante en la resolución de problemas. Tipos de modelos: los modelos mas utilizados son los lineales, los tabulares, los conjuntistas y los ramificados. Forma de modelar los problemas: mediante gráficos. 2. Técnica de la lectura analítica y la reformulación: esta técnica se trata de conjunto, mediante la lectura analítica se hace un estudio del texto del problema de modo que se separen claramente sus partes y se distingan las relaciones esenciales que se dan explícita e implícitamente en él, con el propósito de ayudar a la comprensión del problema o también en la búsqueda de la idea de la solución 3. Técnica de la determinación de problemas auxiliares: responder la pregunta o las preguntas a partir de la consideración de los datos dados, es necesario encontrar primero problemas auxiliares o subproblemas de cuyas soluciones depende el resultado final del problema. 4. Técnica de tanteo inteligente: en la prueba sistemática debe analizarse cada vez lo obtenido y compararlo con los resultados anteriores para ver si existen alguna regularidad que disminuya la cantidad de cálculos. a realizar o permita. concluir que no se ha dejado soluciones sin considerar, y tiene como función. 24.

(29) contribuir a la búsqueda de la idea de la solución en aquellos problemas que por sus características admitan su utilización. 5. Técnica de la comprobación: propicia el autocontrol, que es una de las formas de control del aprendizaje más importante a lograr en ellos. Clasificación. de. los. problemas. algebraicos. atendiendo. a. diferentes. parámetros de dificultad. Paso del texto al modelo intuitivo: se refiere a la interpretación del texto y su tránsito al modelo pictográfico, esquema, etc. Se distinguen tres niveles de complejidad: • No hace falta modelar, • Sale mediante un modelo inmediato y cálculo, • El modelo es complejo. Estructural: la dificultad depende de la estructura aritmética del problema, que se analizará a partir de la cantidad de subproblemas y operaciones que intervienen en su solución. Pueden distinguirse como niveles de dificultad: •. Problemas simples, no hay problemas auxiliares; se resuelven directamente. mediante la interpretación inmediata de los significados de las operaciones. •. Problemas compuestos, se necesitan para su solución la realización previa de. subproblemas o problemas auxiliares y la interpretación de uno o varios significados de las operaciones. Dificultades de lenguaje: depende de la forma idiomática en que están planteadas las relaciones así como de las condiciones del problema. Niveles de complejidad: •. Directo, el texto se presenta de una forma directa sin términos a interpretar o. relaciones que pueden resultar poco familiares o comprensibles. •. Indirecto o complejo, en el texto se presentan términos que hay que interpretar. su significado, dan relaciones o condiciones poco claras. Métodos para la solución de problemas. Existen criterios en cuanto al concepto de solución de problemas, de los cuales los más relevantes son los siguientes: Solucionar un problema es obtener la respuesta correcta que satisfaga las condiciones del problema. Por resolución de problemas debe comprenderse determinado proceso en el curso del cual se arriba a una respuesta determinada.. 25.

(30) Como puede verse enfatizan aspectos diferentes en la actividad de resolución de problemas: •. El primero al destacar la respuesta correcta como criterio de lo que es. solucionar, pone en primer plano el momento final en el cual el objetivo que se plantea en el problema ha sido alcanzado. •. El otro punto de vista hace hincapié, sobre todo, en la solución que conducen al. alcance del objetivo planteado. De modo general, puede decirse que el primer criterio predomina, por lo común, en el ámbito de las ciencias y en la Metodología de la Enseñanza de las distintas asignaturas, y de la Matemática entre ellas. En estos contextos se suele considerar que un problema ha sido solucionado cuando el alumno llega a la respuesta correcta. Los problemas hay que enfrentarlos mediante estrategias, es decir, una planificación consciente de los pasos o fases (orientación, ejecución y control) que pueden seguirse teniendo en cuenta el programa heurístico general:. PROGRAMA HEURíSTICO GENERAL Fases fundamentales. Tareas principales. 1.. Orientar hacia el problema.. - Comprensión del problema.. 2.. Trabajo en el problema.. - Búsqueda de la vía de solución.. 3.. Solución del problema.. - Ejecución del plan.. 4. Evaluación de la vía de solución.. - Reflexión sobre los métodos aplicados.. Análisis de cada una de las tareas principales. Comprensión del problema: Aquí, en primer lugar, surge la pregunta ¿qué significa comprender el enunciado del problema? A esta pregunta se puede responder en términos psicológicos, que el alumno comprende el enunciado del problema cuando es capaz de reproducirlo con sus propias palabras y analizar cuáles son sus componentes esenciales: ¿qué datos. dan?, ¿qué se quiere. obtener? En otras palabras, debe ser capaz de interpretar cuáles son los datos y qué representan. Para comprender el enunciado del problema es necesario responder una serie de preguntas: ¿De qué se trata el problema?, ¿Qué datos dan?, ¿Qué se busca?, ¿Determinan los datos la solución del problema, no son suficientes o sobran?,. 26.