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Sistema de ejercicios para sistematizar los conceptos de ángulos entre paralelas en los escolares del destacamento 7mo 2.

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Academic year: 2020

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(1)Universidad de Ciencias Pedagógicas “José Martí” Camagüey. Sistema de ejercicios para sistematizar los conceptos de ángulos entre paralelas en los escolares del destacamento 7mo 2.. Material Docente en opción al Título Académico de Máster en Ciencias de la Educación Mención: Educación Secundaria Básica.. Autora: Lic. Yadisleisi Socarrás Forcelledo. Tutor: MSc. José Luis Mendoza Bermúdez.. Mayo, 2011. Guáimaro..

(2) Agradecimientos. • Mi hijo, la razón de mi existencia. • Mi esposo, compañero de siempre. • Mi familia, por su apoyo incondicional. • Mi tutor, por su esmerada dedicación, su optimismo, sus excelentes recomendaciones, y su preciosísimo tiempo. • Mis alumnos, porque sin ellos esta tarea no hubiese sido posible. • Los que me dieron aliento para seguir adelante en momentos de flaqueza. • Todos aquellos que de una forma u otra colaboraron con este empeño. • La Revolución y Fidel por existir • Dedicatoria.. A mi hijo que es mi universo.. ideas y.

(3) Resumen. El material que se presenta se desarrolló en la escuela 5 de septiembre del municipio Guáimaro. Está estructurada de la forma siguiente: Introducción, Desarrollo, Conclusiones,. Bibliografía. y. Anexos.. En. el. desarrollo. se. ofrecen. algunas. consideraciones teóricas acerca de los elementos teóricos de la Matemática, para favorecer el tratamiento al trabajo de la asignatura, en la escuela, así como una fundamentación de la Geometría y el desarrollo de habilidades para el tratamiento al trabajo con ángulos entre paralelas. En la segunda parte se exponen los fundamentos del sistema de ejercicios dirigidos al tratamiento de los mismos en correspondencia con los niveles cognitivos. Se utilizaron métodos empíricos, teóricos y matemáticos, que posibilitaron la constatación de dificultades en el nivel de conocimientos que poseen los escolares de 7mo grado para influir en ellos en el logro de la solución de los ejercicios. Para contribuir a la solución del problema, la autora propone un sistema de ejercicios que parten del diagnóstico de los escolares. Se validaron los resultados y se ratifica la efectividad en la solución de dichos ejercicios, lo que permitió elevar la calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje..

(4) Índice. INTRODUCCIÓN.. 1. DESARROLLO.. 7. 1.1 La enseñanza de la Matemática en el nivel medio básico.. 7. 1.2.- Fundamentos teóricos de la Geometría en la escuela.. 18. 1.3 La sistematización en la enseñanza de la Matemática.. 29. 1.4 Consideraciones sobre la solución de ejercicios en el proceso de enseñanza- aprendizaje de la Matemática.. 35. 1.5 Estado actual del problema.. 45. 2.1 Sistema de ejercicios.. 48. 2.2 Valoración de la efectividad del sistema de ejercicios.. 57. Conclusiones.. 59. Recomendaciones.. 60. Bibliografía. Anexos..

(5) Introducción La escuela se encuentra inmersa en un proceso de cambios hacia estudios superiores en la calidad de la labor educativa que abarca muchas de las esferas de su quehacer educativo, desde la concepción e instrumentación del trabajo metodológico de las diferentes estructuras de dirección, la acción y las interrelaciones comunitarias y en especial en los fundamentos mismos de la formación patriótica y ciudadana. La escuela no puede proporcionar toda la información científica, ni todo el nivel de conocimientos que posteriormente utilizará en su actividad laboral. Esto significa que, incluso después de terminada la escuela, el individuo debe continuar estudiando y aprendiendo, por lo que resulta necesario durante el proceso de enseñanzaaprendizaje, dotar a los estudiantes de procedimientos generales, estrategias que les permitan apropiarse de ellos de forma lógica e independiente. La Matemática no es la única ciencia que desarrolla el pensamiento lógico, porque existen otras que ayudan en este aspecto en el nivel medio superior, pero es esta quien tiene potenciales significativos en este propósito, utilizando las vías más adecuadas para lograr resultados favorables. De lo que se trata es de prestar atención a los procedimientos lógicos y a enseñar a los alumnos a emplearlos adecuadamente. La enseñanza de la Matemática escolar juega un papel importante en la formación de los individuos que sean capaces de asumir los retos científicos y técnicos que demanda el desarrollo social, por lo que se hace necesario que los de esta asignatura, mediante sus clases contribuyan a que los estudiantes en la escuela aprendan a aprender. En la investigación didáctica sobre la formación de los conceptos matemáticos en Cuba, se ha dedicado mayor tiempo y esfuerzo a la enseñanza que al aprendizaje para su estudio y perfeccionamiento. En el campo de la metodología de la enseñanza, se ha realizado un valioso aporte; pero no se ha indagado en cómo se lleva a cabo el proceso de aprendizaje por el estudiante, qué procedimientos utilizan para aprender los conceptos y poderlos usar en la explicación de un hecho o de la solución de una tarea o un problema. Desde hace algún tiempo los docentes se han visto influenciados por dificultades que les impiden enseñar los conceptos matemáticos en la Secundaria Básica de una forma fácil y práctica. Desde el punto de vista práctico resulta de vital importancia que los profesores conozcan con precisión las características del aprendizaje de sus estudiantes, si son 1.

(6) estratégicos o no y sobre esa base perfeccionar el proceso de enseñanza-aprendizaje de los conceptos. Al estudio del proceso de formación de los conceptos se le ha dedicado numerosas investigaciones, entre las que se encuentran: Vigotsky, L.S (1982); Talísina, N. (1988); López M. (1990); entre otros, por solo mencionar algunas los que han realizado aportes a la enseñanza-aprendizaje de los conceptos, tales como la formación por etapas de las acciones mentales, el desarrollo de habilidades, el empleo de ejercicios y tareas para su formación entre otras. Con relación a esto, Vigotsky expresó: ”Mas, si la generalización enriquece la percepción directa de la realidad, es evidente que ello no puede suceder por otra vía psicológica que no sea la de establecer nexos, dependencias y relaciones complejas entre los objetos representados en el concepto y la realidad circundante”. (Silvestre, 1999, 55) A pesar de estos resultados y el trabajo desplegado por el Ministerio de Educación de Cuba (MINED) y del personal especializado en la Metodología de la enseñanza de la Matemática; aún se manifiestan dificultades en la calidad del aprendizaje de los estudiantes, dado fundamentalmente por la poca solidez y aplicabilidad de los conocimientos y las habilidades alcanzadas; esto ha sido constatado mediante comprobaciones de conocimientos, en los operativos de la calidad de la docencia efectuados por el MINED, observaciones a clases, resultados de las evaluaciones finales y en los exámenes de ingresos a la educación superior. Al analizar el cumplimiento del fin de la educación, se considera que persiste un grupo significativo de deficiencias en la Matemática en el dominio de la Geometría que obstaculiza. el cabal cumplimiento de este. Varios autores se han referido al. tratamiento de ángulos entre paralelas, entre los que se desatacan Robert Barcia Martínez, Arturo Miyares y J. M. Escalona, Horst Müller, Arnaldo Bueno Agüero, A. V. Pogorélov y la MSc. Raquel Téllez Cadalso, entre otros, y se ha detectado que: • Los conceptos geométricos que se abordan se adquieren mediante la abstracción de objetos y de representaciones del medio que rodea a los escolares. • Los escolares no logran adquirir las habilidades geométricas necesarias para enfrentar los ejercicios de cálculo de ángulos y su sistematización. • Los escolares no logran, en las clases de Geometría, fundamentar, explicar y describir los procedimientos y relaciones durante la resolución de ejercicios de 2.

(7) cálculo con amplitudes de ángulo entre paralelas. • El nivel del desarrollo lógico reflexivo alcanzado por el escolar no le permite aplicar de forma independiente y creadora, los conocimientos sobre ángulos entre paralelas y sus relaciones a situaciones nuevas. Todas estas dificultades inciden, en general en el aprendizaje de la Geometría en la escuela y en particular en el aprendizaje de los ángulos que se forman por dos rectas paralelas cortadas por una secante. Del análisis de las insuficiencias anteriormente señaladas se obtiene la siguiente contradicción: a pesar del trabajo que se lleva a cabo durante el desarrollo de las clases y de las orientaciones que se ofrecen para el tratamiento de ángulos entre paralelas se ha podido comprobar que aún existen insuficiencias, falta de sistematicidad y rigor técnico en las tareas que se plantean a los alumnos en el proceso de consolidación de los contenidos de la asignatura Matemática y el nivel de desarrollo intelectual alcanzado para realizarlas con éxito. Como consecuencia de este estudio surge el siguiente problema científico: ¿Cómo contribuir a sistematizar los conceptos de ángulos entre paralelas en los escolares del destacamento 7mo 2? Objetivo: Elaborar un sistema de ejercicios que contribuya a sistematizar los conceptos de ángulos entre paralelas en los escolares del destacamento 7mo 2 de la ESBU “5 de Septiembre”. El objeto de estudio de la investigación: La enseñanza- aprendizaje de la Geometría en séptimo grado. Campo de acción: La sistematización de los conceptos de ángulos entre paralelas en séptimo grado. En esta investigación constituyen una guía imprescindible las siguientes preguntas científicas: 1. ¿Cuáles son los fundamentos teóricos metodológicos de la sistematización de los conceptos de ángulos entre paralelas? 2. ¿Cuál es la situación actual de los escolares del destacamento 7mo 2 de la ESBU “5 de Septiembre” en cuanto a la sistematización de los conceptos de ángulos entre paralelas? 3. ¿Qué sistema de ejercicios contribuye a sistematizar los conceptos de ángulos entre paralelas en los escolares del destacamento 7mo 2 de la ESBU “5 de 3.

(8) Septiembre”? 4. ¿Es efectivo el sistema de ejercicios propuesto para contribuir a sistematizar los conceptos de ángulos entre paralelas en los escolares del destacamento 7mo 2 de la ESBU “5 de Septiembre”? Para valorar la efectividad del sistema de ejercicios se tienen en cuenta las dimensiones e indicadores adecuadamente utilizados por el MSc. Juan Bautista Mengana Castillo y se adaptaron los indicadores a las circunstancias que se investigan. Dimensión I.- Cognitiva (Sobre el dominio que poseen los estudiantes acerca de la Geometría). Indicadores: 1.- Dominio de los contenidos teóricos relacionados con ángulos entre paralelas. 2.- Habilidad para identificar pares de ángulos a partir de figuras geométricas planas compuestas. Dimensión II.- De la práctica educativa (Desempeño de los escolares para la solución de ejercicios de ángulos entre paralelas). Indicadores: 3.- Motivación de los alumnos para resolver los ejercicios. 4.- Grado de independencia alcanzado en la resolución de los ejercicios. Tareas científicas: 1. Determinación de los fundamentos teóricos metodológicos de la sistematización de los conceptos de ángulos entre paralelas. 2. Diagnóstico de los escolares del destacamento 7mo 2 de la ESBU “5 de Septiembre” en cuanto a la sistematización de los conceptos de ángulos entre paralelas. 3. Elaboración de un sistema de ejercicios que contribuya a sistematizar los conceptos de ángulos entre paralelas en los escolares del destacamento 7mo 2 de la ESBU “5 de Septiembre”. 4. Valoración de la efectividad del sistema de ejercicios propuesto para contribuir a sistematizar los conceptos de ángulos entre paralelas en los escolares del destacamento 7mo 2 de la ESBU “5 de Septiembre”.. 4.

(9) Para la realización de esta investigación se utilizaron los siguientes métodos: Del nivel teórico: Análisis y síntesis: Se empleó en particular para la búsqueda de lo nuevo y de sus nexos lógicos mediante la desintegración e integración en sus partes componentes, cualidades y relaciones. Inducción. y. deducción:. Permitió. obtener. las. características. generales. psicopedagógicas del grupo seleccionado (diagnóstico general), así como las características individuales. Histórico-lógico: Se utilizó para la selección de diferentes temas relacionados con la Matemática. Enfoque de sistema: Posibilitó argumentar el carácter de sistema del sistema de ejercicios que se propone. Métodos empíricos: Observación: Facilitó constatar el reconocimiento de los ángulos y ángulos entre paralelas alcanzado por los escolares. Entrevistas: Arrojó la información sobre el tratamiento a los contenidos y la solución de ejercicios de ángulos y ángulos entre paralelas. Encuestas: Permitió conocer el nivel de conocimientos y habilidades que presentan acerca de los ángulos entre paralelas. Prueba pedagógica: Facilitó comprobar el dominio de los contenidos relacionados con los ángulos entre paralelas. Revisión documental: Posibilitó analizar y estudiar documentos, artículos, resúmenes de investigaciones, tesis doctorales y de maestrías y literatura científica en general, relacionados con el tema de investigación. Además permitió la revisión detallada de otros documentos de gran importancia, entre los que se encuentran las libretas de los escolares, controles sistemáticos, pruebas de la calidad, programas de estudio, Programa Director de la Matemática, entre otros, que constituyen elementos imprescindibles para diagnosticar el estado actual sobre los conceptos de ángulos entre paralelas que es una regularidad en el destacamento 7mo 2 de la ESBU “5 de Septiembre”. Métodos matemáticos: Cálculo porcentual: Se tuvo en cuenta para procesar la información recopilada y arribar así a una generalización de los resultados. 5.

(10) La tabulación: Permitió tabular la información obtenida de la aplicación de los instrumentos. Histograma: Se utilizó para graficar y visualizar los resultados de los instrumentos y con ello determinar la evolución de los escolares en el dominio de los conceptos de ángulos entre paralelas y arribar a conclusiones. Para valorar la efectividad del sistema de ejercicios se utilizaron pruebas y encuestas antes y después de su aplicación. Sus resultados permitieron la evaluación de las dimensiones e indicadores. Aporte práctico: Está dado por la disponibilidad de un sistema de ejercicios con el que se contribuye al proceso de sistematización en el tratamiento de los conceptos de ángulos entre paralelas en los escolares del destacamento 7mo 2. Novedad científica: Consiste en la estructuración de la sistematización de los conceptos de ángulos entre paralelas, integrando todos los componentes de la asignatura, los niveles de desempeño cognitivo y la propuesta de ejercicios del libro de texto organizada en sistema. La población estuvo conformada por los 15 escolares del destacamento 7mo 2 de la ESBU “5 de Septiembre” que a la vez constituye la muestra, que fue seleccionada de forma intencional. El trabajo está estructurado en introducción, desarrollo con epígrafes, conclusiones, recomendaciones, bibliografía y anexos.. 6.

(11) Desarrollo 1.1 La enseñanza de la Matemática en el nivel medio básico. La educación constituye para el Estado cubano uno de sus pilares fundamentales y un compromiso ineludible con la sociedad, teniendo a su favor la estrecha coordinación que existe entre las políticas y estrategias que se trazan para el desarrollo educacional y el avance económico y social que demanda el país, junto con la amplia conciliación con la sociedad y la conciencia lograda de que la educación es tarea y responsabilidad de todos. Hoy se trabaja en el perfeccionamiento del sistema partiendo de ideas y conceptos nuevos, buscando lo que debe ser y será, un sistema educacional que se corresponda cada vez más con la igualdad, la justicia plena, la autoestima y con la satisfacción de las necesidades morales y sociales de los ciudadanos, para lograr el modelo de sociedad culta que se ha propuesto crear, haciendo realidad la máxima martiana de que, “no hay igualdad social posible sin igualdad de cultura”. Con el perfeccionamiento del sistema nacional de educación cubana se ha abogado por ubicar en el centro del proceso docente-educativo al estudiante, que en este proceso tenga la necesidad de ejercitar las operaciones de pensamientos, de manera que se evite el mecanicismo en el aprendizaje; aspecto este que fue criticado por los grandes pedagogos como Félix Varela y José de la Luz y Caballero. Al respecto este último expresó: "Yo ni aún siquiera comprendo cómo pueden enseñar de memoria ciertas ciencias sin que el mismo que las enseña se horrorice de los resultados que alcanza, y muy pobre idea debe tener de la naturaleza maravillas". (Luz, 1958,166) La enseñanza de la Matemática, está dirigida fundamentalmente a que los estudiantes adquieran una concepción científica del mundo, una cultura general integral, y actitudes necesarias para ser personas plenas, útiles a la sociedad, sensibles y responsables, ante los problemas sociales, científicos-tecnológicos y ambientales. El propósito de la enseñanza de la Matemática es desarrollar el pensamiento lógico de los estudiantes, mediante la sistematización de los conocimientos. En esta dirección se destaca la participación activa de los escolares en el proceso de apropiación de los conocimientos para su posterior aplicación tanto en los problemas de la asignatura como en los de la vida.. 7.

(12) La enseñanza de la Matemática tiene la tarea de contribuir a la preparación de los escolares para la vida laboral, económica y social, de manera que puedan interpretar los avances de la ciencia y la técnica; operen con ellos con rapidez, rigor y exactitud, de modo consciente; y de que puedan aplicarlos de manera creadora a la solución de los problemas en las diferentes esferas de la vida, y el potencialidades que esta asignatura ofrece para. aprovechamiento de las. contribuir al desarrollo de las. capacidades intelectuales, habilidades y la educación político- ideológica. La enseñanza aprendizaje de la Matemática presenta insuficiencias relacionadas con ideas de la enseñanza conductivista; así como, en la tendencia a fijar procedimientos específicos en una asignatura que requiere un número excesivamente elevado de conocimientos necesarios. En el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática es imprescindible seguir desde los primeros grados una formación básica sistemática, orientada hacia la asimilación sólida de los conocimientos y habilidades fundamentales, con el uso de procedimientos comunes que elevan sustancialmente el desarrollo del pensamiento teórico. El desarrollo de habilidades y la adquisición de conocimientos constituyen la base para la formación futura y un arma para vencer los múltiples problemas de la vida, incluyendo, los relacionados con la formación profesional. Esto es posible con una enseñanza sistemática de la Matemática, caracterizada por la ampliación sistemática y continua de los conocimientos, capacidades y habilidades de los alumnos. El proceso de enseñanza- aprendizaje debe dirigirse de modo que los alumnos sean entes activos del desarrollo de habilidades y capacidades, enfrentándose a contradicciones que deben ser resueltas a través de su aprendizaje. Son precisamente estas contradicciones que surgen en el proceso de enseñanza de la Matemática las que se erigen en fuerzas impulsoras del desarrollo de los alumnos para lograr conocimientos cualitativamente superiores. En la clase de Matemática hay que velar por la distribución de la carga de trabajo de los escolares de modo que se evite el cansancio y la monotonía (algunas causas de la distracción), la ubicación de los alumnos, tomando en cuenta la visibilidad de la pizarra y la iluminación del local. La estructuración del proceso de apropiación de conocimientos matemáticos depende en gran medida de factores pedagógicos y psicológicos que lo condicionan. 8.

(13) En los diferentes seminarios al personal docente a partir del año 2000 hasta la fecha se han señalado las siguientes dificultades que presenta la escuela cubana: • El predominio de la expresión mecánica externa del hecho matemático sobre el contenido de este hecho en la memoria y conciencia de los alumnos. • El estímulo a la formación de los procesos de análisis, síntesis y otros en función de que se pueda “operar con conceptos” y buscar las características del objeto, hecho o proceso. • La falta de una comprensión conceptual, lo que se refleja al operar con entes cuyos significados se desconoce o con algoritmos que se aplican sin saber de dónde provienen. • La incapacidad para aplicar conceptos y modelos a situaciones dadas, de traducir un problema de la realidad a uno matemático. • Las limitaciones para aplicar procedimientos lógicos y comunicar ideas matemáticas de forma oral y escrita. • El desconocimiento de la utilidad y el carácter instrumental de los conocimientos matemáticos. El análisis de esta situación apunta a tres razones fundamentales: 1. El diagnóstico se ha limitado a la determinación de los errores que cometen los alumnos, sin profundizar en sus causas ni en los aspectos afectivos que inciden en el aprendizaje y no se tienen en cuenta los estilos de aprendizaje, de orientación motivacional del alumno. 2. Las exigencias de los programas se han reducido a un mínimo, ejercitando el cálculo una y otra vez e insistiendo en la fijación de conceptos elementales, sin trabajar para producir el tránsito gradual desde niveles inferiores a niveles superiores de desarrollo. De este modo los objetivos se adecuan al nivel de los alumnos con más dificultades y no se aspira a que se realicen tareas que exijan la aplicación de los conceptos matemáticos. 3. En las clases no siempre se propicia la comprensión conceptual, la búsqueda de significado, ni se hace el análisis de qué métodos son adecuados y la búsqueda de los mejores, al no brindar posibilidades para que los alumnos elaboren sus propias estrategias, procedimientos, mediante la comunicación que se logre crear en el aula a lo largo de todas las clases. 9.

(14) La tarea del maestro es actuar como estimulante, a través de diferentes medios y métodos, durante el proceso de formación de dicho concepto en la conciencia de los alumnos para ayudarlos a entender, a conocer su contenido y su extensión. En la revisión de diferentes textos de Metodología y Enseñanza de la Matemática se precisan las funciones principales en la Escuela Cubana, que insiste en proveer a los alumnos de sólidos conocimientos acerca de aquellos conceptos y procedimientos matemáticos que son fundamentales y que poseen una importancia relativamente general y que, desde el punto de vista histórico, son generalmente estables. A partir de ello se plantea como exigencia para el desarrollo de la línea directriz “definir “ en la escuela: • Que los alumnos puedan comprender conceptos, definiciones y el papel que estos desempeñan en el pensamiento matemático y lógico en general. • Que estén en condiciones de formular por sí mismos las definiciones de los conceptos fundamentales incluidos en el curso de Matemática elemental. • Que se familiaricen con el conocimiento de las propiedades esenciales de los objetos matemáticos y la formulación independiente de definiciones. También deben llegar a comprender que existen conceptos que no pueden ser definidos. Para poder cumplir con estas exigencias se desarrolla en la escuela una labor a largo plazo y se prevé un aumento gradual del desarrollo de la capacidad para definir aprovechando las potencialidades del contenido matemático y según las peculiaridades del desarrollo intelectual de los alumnos. En 1890 el gran pedagogo Enrique José Varona, planteó que había que sustituir la forma en que se enseñaba, por una enseñanza objetiva y experimental, que obligara al escolar a investigar y trabajar por sí solo. En el perfeccionamiento de la educación media se plantea la necesidad de lograr una enseñanza desarrolladora, que permita utilizar la inteligencia y las habilidades para la obtención de nuevos conocimientos, de esta forma se da respuesta a las pretensiones de Enrique José Varona, de modificar la forma en que se enseñaba. La parte teórica de la Matemática tiene sus orígenes en las escuelas científicas y filosóficas de la Grecia Antigua y su contribución al desarrollo de las ciencias es tan significativa que incluso en nuestra época “Las ciencias si quieren seguir la historia del surgimiento y desarrollo de sus tesis generales actuales, están obligadas a dirigirse a los griegos”. (Engels, 1970, 178) 10.

(15) El Comandante en Jefe Fidel Castro Ruz en su discurso pronunciado en la Universidad Estadual de Río de Janeiro señaló: “... el gran caudal hacia el futuro de la mente humana consiste en el enorme potencial de inteligencia genéticamente recibido que no somos capaces de utilizar. Ahí está lo que disponemos, ahí está el porvenir”. (Castro, 1999, 2) De lo anterior se deduce que el gran reto que tienen los docentes cubanos es el de elevar y mantener la calidad de la educación con el propósito de que en los primeros diez años de este siglo todo el pueblo alcance una cultura general integral: ahí están los grandes desafíos de la educación. Uno de los aspectos fundamentales a los que el Partido Comunista de Cuba y el Estado Cubano consideran que se debe prestar especial atención para el presente y futuro de la sociedad es a la educación y dentro de ella el proceso de enseñanzaaprendizaje desarrollador, con el objetivo de elevar la calidad del aprendizaje en los escolares que se forman en las escuelas medias, cuyos esfuerzos están orientados hacia el desarrollo de un nuevo tipo de hombre integral, capaz de pensar y actuar como transformador creativo de su realidad, al tiempo que participa en calidad de sujeto activo en la construcción de la nueva sociedad y la defensa de sus conquistas. La Secundaria tiene como fin la formación básica e integral del adolescente cubano, sobre la base de una cultura general que le permita estar plenamente identificado con su nacionalidad y patriotismo. El conocer y entender su pasado, le permitirá enfrentar su presente y su preparación futura, para adoptar de manera consciente la opción del socialismo, que garantice la defensa de las conquistas sociales y la continuidad de la obra de la Revolución, en sus formas de sentir, de pensar y de actuar. Los objetivos formativos de cada grado y del nivel tienen como sustento esencial, la formación de valores en los alumnos, con énfasis en la responsabilidad, la honestidad, la honradez y el patriotismo, dentro del sistema de valores a los que se aspira. Para esto deben cumplirse tres requisitos que son imprescindibles: • La ejemplaridad del profesor, que debe estar presente en cada momento de su actuación. • La organización escolar, la cual debe propiciar un ambiente educativo donde prime la disciplina, el orden, la belleza, la organización y la tranquilidad. • La clase, con intencionalidad y un enfoque ideo-político adecuado. 11.

(16) A partir de la definición de los Objetivos Formativos Generales y por grados para el nivel de Secundaria Básica es necesario precisar el papel de la Matemática como asignatura priorizada, para lograr su vínculo con la vida y su responsabilidad en el desarrollo del pensamiento lógico de los alumnos, como base y parte esencial de la formación comunista, integral y armónica de su personalidad. Este grado como una etapa de tránsito desde la escuela primaria y de adaptación en el nivel de secundaría básica, exige a la asignatura concentrar su programa del grado en el proceso de consolidación y sistematización de los conocimientos y habilidades matemáticas previos, pero en el nivel de complejidad superior que le imprimen las transformaciones en enfoque y métodos de la asignatura en su conjunto. Los contenidos del programa incluyen los aspectos políticos-ideológicos, económicos laborales y científico-ambientalistas que se plantean en los objetivos formativos del grado. Los contenidos propiamente matemáticos, aunque se asemejan a los del nivel primario se tratan con un enfoque integrador y de generalización. Las transformaciones a realizar pueden agruparse en dos dimensiones fundamentales: el enfoque metodológico general de la asignatura, y los métodos y procedimientos para la dirección del proceso docente-educativo. Constituyen transformaciones en el enfoque metodológico general de la asignatura, las siguientes: • La presentación y tratamiento de los nuevos contenidos a partir del planteamiento y solución de problemas prácticos de carácter político-ideológico, económico- laboral y científico- ambiental, y no solo desde la propia lógica de la asignatura. Los problemas no pueden seguir empleándose solamente como las nuevas situaciones en. las que los alumnos aplican los conocimientos aprendidos y las habilidades. correspondientes. Significa que los problemas se tratarán como una situación del medio natural o social en que se desenvuelve el alumno, del que conoce cierta información y descubre interrogantes no resueltas, que necesita explicar o responder, para lo cual, entonces, requiere un pensamiento heurístico y aplicar su conocimientos y habilidades matemáticas. • El tratamiento de los contenidos logra la sistematización de estos dentro de cada unidad y a lo largo del nivel y la integración de las diferentes áreas matemáticas (Aritmética, Álgebra y Geometría), como el sistema de recursos que le sirve a los 12.

(17) alumnos para resolver los problemas prácticos antes señalados, y no como objetos matemáticos independientes entre sí. Como culminación del nivel básico de la Educación General, la asignatura tiene que asegurar la comprensión y la utilización sistemática de los contenidos dentro de cada área matemática; es decir, las relaciones entre los distintos dominios numéricos y entre las operaciones aritméticas, los fundamentos de las funciones lineales desde el trabajo con variables, la solución de ecuaciones y las relaciones de posición entre figuras y cuerpos, sus magnitudes y trasformaciones en el plano. Además, la comprensión y empleo por los alumnos de los contenidos de un área matemática determinada debe apoyarse en la representación de los mismos en otras áreas, como expresión de la interrelación de las líneas directrices del saber (dominios numéricos, trabajo con variables,. ecuaciones, correspondencias, funciones y. geometría). Es decir, la apropiación, fijación y aplicación de un concepto aritmético o algebraico debe apoyarse en el empleo de recursos de la geometría, y viceversa. Lo mismo debe hacerse durante el tratamiento de las proposiciones y los procedimientos matemáticos. • La incorporación de habilidades matemáticas que amplíen los procedimientos lógicos para el planteamiento y solución de los problemas prácticos, específicamente en el procesamiento de información, la estimación y el esbozo de figuras y modelos geométricos sencillos. La necesidad de analizar y extraer conclusiones, sobre todo de carácter ideológico y político, de la información sistemática acerca de la situación actual de Cuba y del mundo, exige desarrollar en los alumnos habilidades en el procesamiento selectivo de la información cuantitativa que aparece en la prensa, intervenciones de dirigentes e informes económicos y sociales de su territorio. Por otro lado, la necesidad de transferir los conceptos y procedimientos matemáticos al modo común de interpretar y orientarse ante los problemas prácticos a solucionar, exige no limitarse al trabajo con procedimientos exactos, sino desarrollar también, en los modos de pensar, la estimación de cantidades, magnitudes y resultados de cálculos y ecuaciones. En los métodos y procedimientos para la dirección del proceso docente educativo, las transformaciones se refieren a:. 13.

(18) • La necesidad de asegurar la comprensión del significado de los contenidos por todos los alumnos antes de proceder a la ejercitación para su fijación, y no sobredimensionar el trabajo con ejercicios como vía metodológica para el tratamiento de los contenidos. • El empleo predominante del. método de elaboración conjunta, mediante el. procedimiento de preguntas heurísticas, que muevan el pensamiento de los alumnos, que despierten su interés por la solución de los referidos problemas prácticos y les enseñen a razonar lógicamente. Sobre esa premisa, orientar actividades en la clase a resolver por equipos de alumnos de modo que se organice la cooperación y la atención a los ritmos diferenciados del aprendizaje. • La planificación, orientación y control del trabajo independiente extractase de los alumnos como una forma organizativa más del proceso docente educativo; no solo para hacer ejercicios, sino para cumplir fases necesarias de búsqueda de información, comprensión de los contenidos, elaboración de posibles soluciones a problemas y la propia ejercitación o autocontrol del aprendizaje. • La planificación de la evaluación en correspondencia con los objetivos de los grados y unidades, y como proceso continuo que promueva la discusión de alternativas y procedimientos para la solución de las tareas docentes, con el empleo de la crítica y la autocrítica como método habitual para la evaluación de los compañeros y la propia autoevaluación. El concepto es una forma de reflejar la realidad en la conciencia del hombre. Es el conocimiento de las propiedades y aspectos esenciales de los objetos y fenómenos de la realidad objetiva. En ello se expresa el enlace de las relaciones fundamentales de las cosas como señalaba V. I. Lenin en Cuadernos Filosóficos:”Es la esencia del objeto”. (Docunget, 1980, 100) El contenido del concepto es objetivo si refleja los rasgos y aspectos realmente existentes en la naturaleza, es importante entonces educar a los escolares en este aspecto a través de la descripción como habilidad que pueden desarrollar, donde se busca enumerar los rasgos distintivos (objetivos) de los objetos y fenómenos, aunque en este proceso se utilice la abstracción (aislar) para llegar a la esencia. El concepto entra como una poderosa herramienta del conocimiento. V. I. Lenin en la obra mencionada anteriormente expresó:”Los conceptos son los productos más elevados del 14.

(19) cerebro, el producto más elevado de la materia“. Más adelante señala: “El conocimiento es el reflejo de la naturaleza por el hombre”, pero no es un reflejo simple, inmediato, completo, sino el proceso de una serie de abstracciones, la formación y el desarrollo de conceptos y leyes. Da importancia V. I. Lenin a la abstracción como procedimiento que el hombre utiliza en su forma de pensar, para llegar a una parte de la naturaleza inmediata a él, ya que el hombre no puede captar la naturaleza como un todo. Es entonces la tarea del docente enseñar a utilizar la abstracción y concreción para llegar a formar el concepto. Lenin en esta obra expresa: “El hombre no puede captar, reflejar, reproducir la naturaleza como un todo, en su totalidad, solo puede acercarse eternamente a ella, creando abstracciones, conceptos, leyes, una imagen científica del mundo”. Más adelante puntualiza: “...se encuentran en eterno movimiento, pasan de uno a otro, fluyen uno en el otro, o de lo contrario no reflejan la vida viviente. El análisis de los conceptos, su estudio y el arte de operar con ellos, exige siempre el estudio del movimiento de los conceptos, de su interconexión, de sus transiciones mutuas...”. Algo muy importante para el estudio de los conceptos de la Matemática tendrá como base esta expresión de Lenin, se procede primeramente por el camino de la abstracción con el objetivo de que el alumno descubra el concepto en su contenido y con sus. representantes, luego es importante darle vida al. concepto, sus. interconexiones, sus transiciones mutuas, para que el conocimiento no quede solo en concepto y adquiera el significado que necesita este para aplicarse a nuevas situaciones. Los conceptos constituyen la forma fundamental con la que opera el pensamiento. En ellos se expresa el conocimiento de lo esencial y general en los objetos, hechos y fenómenos de la realidad, se penetra en la esencia de las regularidades del mundo objetivo. Relacionando estos conceptos es que se llega a las formas más complejas del pensamiento, como son los juicios y razonamientos. En el Seminario Nacional, Cuarta parte de febrero de 1980 se hace referencia a que el concepto es la reflexión en la conciencia de una clase de individuos, de una clase de clases o de relaciones entre individuos o clases sobre la base de características esenciales comunes. Según la Dra. Arango, citada por Sergio Ballester en su libro Metodología de la Enseñanza de la Matemática. Tomo II: “Por concepto se entiende el reflejo mental de 15.

(20) una clase de individuos, procesos, relaciones de la realidad objetiva o de la conciencia (o el reflejo de una clase de clases), sobre la base de sus características invariantes. (Ballester, 1992, 281). Esta definición de concepto es acogida por la autora de la presente investigación. Todo concepto se caracteriza por su contenido y su extensión. El primero abarca todas las características esenciales comunes a los objetos considerados y que han sido tomados para la formación de clases. La extensión de un concepto comprende a todos los objetos que pertenecen a él de acuerdo con su contenido. El concepto es una de las formas de pensamiento abstracto. A los conceptos se arriba por abstracciones a partir del análisis de objetos o fenómeno concreto (o concretopensado), de sus propiedades o de las relaciones entre ellos. La formación de conceptos se basa en una serie de operaciones y procedimientos lógicos, entre los que se destacan el análisis, la síntesis, la comparación, la abstracción y la generalización. Fases para la elaboración de un concepto: 1. Trabajo propedéutico. 2. Formación del concepto. 3. Fijación del concepto. La fase propedéutica se inicia antes de introducir el concepto y consiste en exploraciones, tareas, o ejercicios preparatorios para asegurar el nivel de partida. En la formación de conceptos se utilizan dos vías esenciales que son los caminos clásicos de obtención de conocimientos: partir de lo general a lo particular y viceversa. La tercera fase del proceso para la elaboración del concepto está dirigida a la fijación, se alcanza a través del repaso, de la sistematización, la ejercitación, la profundización y la aplicación de los conceptos que son las cinco funciones didácticas asociadas a la fijación. La orientación de tareas diferenciadas, que se correspondan con el nivel de asimilación alcanzado y promuevan la colaboración de estos entre sí, es un camino efectivo para que los escolares desarrollen habilidades encaminadas en el trabajo independiente, a la comprensión del significado de los conceptos y a su aplicación a problemas concretos. En Matemática en general y en Geometría en particular, el trabajo con los conceptos, definiciones y propiedades se desarrolla regularmente de la siguiente manera: • El concepto no es generado por otro. Se determinan los elementos que tiene el concepto; se forman las relaciones entre sus elementos; a través del análisis de las 16.

(21) relaciones se fijan aquellas que lo determinan de manera única; con una o varias de ellas se formula una definición; se comprueba que las demás relaciones son consecuencia de la definición establecida y se analizan, en caso que existan, los casos particulares del concepto a partir de nuevas características distintivas. • El concepto es generado de otro. Se establecen las relaciones entre sus elementos, que constituyen características distintivas dentro del concepto genérico; se determinan las relaciones que lo determinan de manera única; se formula una definición del concepto; se comprueba que las demás relaciones son consecuencias de la definición y se analizan, en caso que existan, los casos particulares del concepto a partir de nuevas características distintivas. Los conceptos son una categoría especial en la enseñanza de la Matemática, pues constituyen la forma fundamental con que opera el pensamiento matemático. Con su formación se contribuye a la consecución del importante objetivo de la Matemática: representar la relación entre la Matemática y la realidad objetiva, por lo que habría que reflexionar sobre, cómo lograr que los alumnos conozcan que los conceptos al igual que la forma de trabajo matemático, tienen su origen en la necesidad de la práctica. En todos los niveles de formación de conceptos y sus definiciones ofrece buenas posibilidades para el adiestramiento lógico y la motivación de los alumnos, planteándole requerimientos adecuados a su edad para que expresen correctamente con ayuda de las terminologías matemáticas, sus observaciones, sus descripciones, sus conducciones y reproduzcan en forma coherente sus ideas sobre las respectivas actividades. Entre los procedimientos lógicos mas trascendentales asociados a los conceptos se encuentran los que se relacionan con las propiedades de los objetos, para lo que se hace necesario ya aislar propiedades de los objetos. En este procedimiento intervienen las apariciones racionales del procedimiento: Análisis,. síntesis,. comparación,. abstracción,. concreción,. generalización. y. particularización. Otro procedimiento lógico elemental asociado a las propiedades es: asociar las propiedades a un objeto. Para asociar propiedades a un objeto se escoge un rasgo con respecto al que se quiere establecer las propiedades, se compara (puede ser mentalmente) el objeto con. 17.

(22) otros que poseen y otros que no poseen las propiedades y finalmente si el objeto se asemeja, en ese rasgo a los que la poseen, se asocian las propiedades del objeto. Estos procedimientos son elementos y se asocian a propiedades elementales, a medida que aumenta la complejidad de los objetos y el grado de abstracción de las propiedades se hace necesario recurrir a otros. En condiciones de distinguir por sí mismo lo necesario de lo casual, de comprender la esencia de los fenómenos que él observa y establecer una relación entre ellos, para que en la conciencia de los alumnos se formen conceptos claros y correctos, se necesita un trabajo adecuado del maestro, que orienta y dirige correctamente el proceso de formación de los conceptos en los escolares. 1.2.- Fundamentos teóricos de la Geometría en la escuela. Hoy se considera una necesidad ineludible, desde el punto de vista didáctico, científico e histórico, volver a recuperar el contenido espacial e intuitivo en toda la Matemática, no ya sólo en lo que se refiere a la Geometría. La enseñanza de los contenidos geométricos enseña a pensar a los docentes y a razonar sobre el mundo tridimensional con el cual está en contacto desde que se enfrenta al proceso de enseñanza aprendizaje de la Geometría y al que debe conocer y transformar. La Geometría, no es una ciencia nueva, se estudia desde mucho antes de nuestra era. En sus inicios fue empírica, pues surge de las necesidades de medición de las parcelas al ser destruidas por las desbordaduras de los ríos, de ahí que la palabra geometría esté compuesta por geo que significa tierra y metría que significa medida. Con el tiempo se fue perfeccionando y posteriormente adquirió el carácter de ciencia con los trabajos de Euclides de Alejandría, quien escribió la obra "Los Elementos" en el siglo IV a.n.e, donde recogió los contenidos matemáticos existentes hasta la época y les dio orden y estructura. La enseñanza de la Geometría no se ha desarrollado de forma lineal, ha sufrido modificaciones con el decursar del tiempo, pues como se sabe,”Los Elementos” constituyó el texto para la enseñanza de la Geometría hasta el siglo XIX a nivel mundial. En este propio siglo se comprobó que los axiomas que brindó Euclides no eran suficientes y el aparato conceptual presentaba el inconveniente de no haber declarado conceptos básicos. Hilbert en 1899 perfeccionó la estructura dándole la forma que tiene en la actualidad. A partir de aquí se revoluciona su estudio y es cuando aparecen 18.

(23) diferentes tipos de geometrías a partir del intento frustrado de querer demostrar la no independencia del V postulado de Euclides. Las reformas en la enseñanza de la Geometría estuvieron centradas en la década de los 60 del siglo pasado en la conservación de la "Geometría de Euclides". Es a partir de esta década que comienzan nuevas reformas dirigidas esencialmente a modernizar las Matemáticas, apareciendo así las denominadas "Matemáticas Modernas", las cuales tenían una gran tendencia a relegar el estudio de la Geometría Elemental a un segundo plano, provocando un pobre desarrollo de la Geometría y de la intuición espacial. La influencia de Euclides es la que más ha perdurado haciéndose sentir hasta nuestros días, aunque realmente desde el siglo pasado no se ha trabajado por el texto original sino con sus adaptaciones, que conservan la esencia del contenido. El aprendizaje de las Matemáticas y en particular de la Geometría se ven limitados debido a los cambios producidos en los programas de estudio. Según Estrada: “Estos cambios en los programas de estudio provocaron el “empobrecimiento” en el aprendizaje de la Matemática y en particular el de la Geometría. A pesar de los esfuerzos realizados, las repercusiones negativas en el aprendizaje no se han logrado controlar, al extremo que para detener ese movimiento mundial hubo necesidad de crear los Institutos de Investigación sobre la Enseñanza de la Matemática”. (Estrada, 1997, 11) Cuba no ha estado exenta del influjo de estos cambios en la enseñanza de la Matemática y es así que se iniciaron los mismos con la introducción del estilo francés en la primera mitad de la década de los 70, en la cual había una gran tendencia al empobrecimiento de la Geometría ya que se tendía a algebrizarla. En la segunda mitad de esta década, se implementan los planes de estudio de la República Democrática Alemana y también se produce un cambio radical en la concepción del aprendizaje de la Matemática, cuyas concepciones psicopedagógicas se fundamentan en la escuela Histórico-Cultural de Vigotski y específicamente, en los trabajos de Galperin sobre la teoría de la formación por etapas de las acciones mentales. A inicio del siglo XXI, el Comandante en Jefe Fidel Castro estudió las posibilidades de introducir cambios en la enseñanza Secundaria Básica, en lo fundamental buscando mayor atención individual a los alumnos, a partir de reducir la cantidad de docentes del colectivo pedagógico que incidía sobre el estudiante, y que en definitiva nadie se hacía responsable de su educación e instrucción. 19.

(24) Los elementos más significativos de las transformaciones aplicadas son: • Surge como una nueva concepción del maestro, el Profesor General Integral, en capacidad de desplegar actividades en cualquier área del trabajo educativo con quince alumnos e impartir todas las asignaturas, excepto Inglés y Educación Física. • Aparecen las clases por videos, con el nivel científico necesario para que el contenido de las asignaturas del plan de estudios le llegue a todos por igual. • Se instrumentan teleclases por canales de la Televisión Cubana destinados a la Educación. • Aparece la merienda escolar que garantiza la doble sesión en todos los centros de Secundaria Básica. • Se generaliza la informática como soporte al proceso de enseñanza- aprendizaje con colecciones de software en apoyo a la docencia. • Se modifica el sistema de evaluación con nuevos componentes. • Se introducen los ejes transversales dirigidos a la salud, sexualidad y la formación de valores. • El trabajo educativo se fortalece con nuevos contenidos en las relaciones escuelafamilia- comunidad. ¿Qué ha sucedido a raíz de las transformaciones con la enseñanza de la Geometría? Según las orientaciones metodológicas anteriores a las transformaciones, en séptimo grado se introducían las propiedades como consecuencias inmediatas de la definición de las figuras planas, seguidamente se enunciaban algunas de ellas en forma de teoremas y se fundamentaban con rigor. Otro grupo de esas propiedades se introducían a través de ejercicios portadores de información o con la aplicación de los contenidos que se van introduciendo, como es el caso de los ángulos entre paralelas y la igualdad de triángulos. A medida que se descargaron los programas, la mayoría de las demostraciones quedaron opcionales o simplemente, se hacía un breve comentario sobre su obtención pero sin ningún tipo de rigor matemático. Con la nuevas transformaciones de Secundaria Básica y la asimilación de los docentes de la condición de Profesores Generales Integrales, aparecen en la enseñanza muchas dificultades en el dominio de la metodología y del contenido matemático, con especial. 20.

(25) acentuación en Geometría en lo relativo al dominio de las propiedades de los entes geométricos del plano y su aplicación a la resolución de ejercicios y problemas. El objetivo general de la enseñanza de la Geometría es contribuir al desarrollo del pensamiento geométrico espacial del hombre de manera que este pueda interpretar y transformar el espacio físico que le rodea. En la enseñanza media se contribuye con el desarrollo de este pensamiento mediante la formación de conceptos de figuras, y cuerpos geométricos, así como el reconocimiento de relaciones esenciales que se puedan establecer entre ellos. Existen maestros e investigadores que se han detenido en el estudio de la compresión y razonamiento de la Geometría, entre estos se destacan los holandeses Pierre Marie Van Hiele y Dina Van Hiele – Gildof, quienes plantearon un modelo de aprendizaje que pretende describir la evolución en el nivel de razonamiento de los escolares, desde las formas intuitivas iniciales del pensamiento, hasta las deductivas. Por otra parte Hoffer ha planteado una tabla en la que aparece la descripción de las habilidades básicas en cada nivel de razonamiento para la comprensión de la Geometría. Este autor plantea el reconocimiento como la habilidad básica para el logro de la comprensión y razonamiento de la Geometría. Según el criterio del autor Federico Engels en su obra Didáctica de la Naturaleza se plantea que: “La Geometría es el modelo matemático del espacio físico”. ( Engels, 1970 ,229) Es necesario que la Geometría se imparta desde los primeros grados ya que hay que aplicar algunos conceptos que se necesitan en Educación Laboral y conocimiento de la patria así como para la observación y descripción del medio ambiente. En los primeros grados la enseñanza de la Geometría tiene como objetivo y tarea crear las bases para la enseñanza futura en enfrentamiento del niño con su medio ambiente, los escolares conocen figuras lineales, simples, planas cuerpos geométricos y la relaciones entre ellas, se capacitan para aplicar estos conocimientos en otras asignaturas y en las más diversas situaciones, incluso fuera del aula, además se desarrolla continuamente la imaginación espacial de los escolares. Aprenden a comprender el medio ambiente de forma más exacta y diferenciada y además a describirlo. En segundo grado se sigue profundizando en los conocimientos adquiridos en grados anteriores. En este grado comienzan a identificar las relaciones entre puntos y rectas, 21.

(26) así como aplicar el concepto de congruencia o igualdad geométrica en el análisis, descripción y representación de figuras. Además de diferenciar las figuras y los cuerpos geométricos, nombrarlos correctamente e identificarlos en objetos del medio. En tercer grado se sigue profundizando en los conocimientos adquiridos en grados anteriores. Además de analizar y describir figuras y cuerpos geométricos, se inicia el conocimiento de nuevas figuras y cuerpos como son: las circunferencias, el prisma y el cilindro. También en este grado se comienzan a preparar las condiciones para la introducción de los ángulos con el desarrollo de habilidades en el trazado de rectas, segmentos paralelos y perpendiculares con ayuda de las reglas y el cartabón además de utilizar con seguridad el compás para trazar circunferencias. Se introducen los contenidos siguientes: lados consecutivos, las características del rectángulo (cuadrado) por ser todos consecutivos perpendiculares; el prisma y el reconocimiento de algunas de sus propiedades, reconocen el cubo y el ortoedro como prismas; la circunferencia y centro de la circunferencia, así como el concepto de radio, reconocen que todos los radios de una circunferencia son iguales; el cilindro y algunas de sus propiedades. En el cuarto grado se continúa profundizando los conocimientos adquiridos en grados anteriores en el trabajo con figuras y cuerpos geométricos sistematizando algunas de sus características esenciales, así como el reconocimiento de figuras contenidas unas en otras, desarrollan habilidades en su trazado. y construcción utilizando los. instrumentos correspondientes. Se introducen los conocimientos relacionados con la escala y su utilización en mapas y planos, los conceptos de plano y semiplano, así como sus relaciones de posición; los conceptos de paralelogramos, trapecio y rombos como figuras geométricas y el de pirámide como cuerpo geométrico. En quinto grado se continúa con el repaso y profundización de las figuras y cuerpos geométricos elementales, plano, semiplano, rectas, semirrectas y segmentos. Se introducen los ángulos y su medida con su semicírculo graduado, así como el concepto de sistema coordenado. También se introduce el concepto de figura simétrica,. ejemplos de figuras que. mediante doblado, recorte y calcado se pueden descomponer en partes iguales, el concepto de movimiento como correspondencia entre los puntos del plano y sus 22.

(27) propiedades, los distintos tipos de movimientos (Traslación y reflexión); la simetría con respecto a un punto y la simetría central como ejemplo de movimiento. En el sexto grado se continúa trabajando en contenidos de grados anteriores, se amplía la definición de ángulos, clasificación según su amplitud, relaciones entre ángulos, ángulos consecutivos al lado de una recta y alrededor de un punto, ángulos adyacentes, conceptos y teoremas y recíproco de un teorema, teoremas sobre ángulos adyacentes. Se inicia el estudio de ángulos entre paralelas así como los teoremas que. los. sustentan, teoremas de ángulos alternos entre paralelas, teoremas de ángulos conjugados y teoremas de ángulos correspondientes entre paralelas llegando a las soluciones de ejercicios de reconocimientos cálculo y fundamentación. También se comienza el trabajo con los triángulos, concepto de teorema, de elementos, así como su clasificación, relaciones y además el concepto de volumen. En 7mo grado se comienza con la identificación de las figuras planas fundamentales, la clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos y la clasificación de los cuadriláteros; relación de posición entre un punto y una recta y entre dos rectas; estudio de los ángulos que determinan dos rectas que se cortan; relación entre dos rectas y una secante a ellas dos; relación entre los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante; la mediatriz como relación entre una recta y un segmento; la bisectriz como relación entre una semirrecta y un ángulo. En la resolución de problemas se introduce la relación entre ángulos de un triángulo, relación entre los lados de un triángulo, relación entre segmentos y rectas notables de un triángulo; su construcción y propiedades, las propiedades de los cuadriláteros convexos y paralelogramos especiales. Se trabaja con el reconocimiento e interpretación del tipo de unidades de magnitud en que se expresan longitudes, áreas y masas., estimación y medición de amplitudes de ángulos y longitudes de segmentos; estimación y cálculo del perímetro y área; conversión de unidades de medidas. Estos objetivos y tareas sólo se pueden realizar si se tiene en cuenta la didáctica entre apropiación de los conocimientos y el desarrollo de capacidades intelectuales. En la dirección del proceso para la obtención de conceptos y conocimientos geométricos la comparación desempeña un papel esencial. Los escolares se capacitan para determinar las características y problemas comunes y diferentes de las figuras 23.

(28) dadas así como las relaciones. entre ellas y llegar así a las proporciones. correspondientes. Este trabajo tiene como propósito, en primer lugar el de incentivar el interés por el estudio de la Geometría y en segundo lugar elevar la preparación de los docentes para que puedan desarrollar con éxito el curso de Geometría de la escuela media. El Comandante en Jefe, Fidel Castro alertando sobre la necesidad de organizar el trabajo educacional señaló: "El esfuerzo educacional de los próximos años tiene que estar encaminado a elevar la eficiencia y la calidad de la enseñanza y la educación". (Castro,. 1981, 17) Con el pensamiento geométrico se deben desarrollar tres capacidades muy bien delimitadas: vista espacial, representación espacial e imaginación espacial todas íntimamente relacionadas entre sí. El pensamiento geométrico, ocupa el centro de la capacidad de imaginación espacial, pues permite analizar el plano, las relaciones en el espacio y viceversa; es decir, es la capacidad de estudiar el plano y el espacio a través de sus conceptos, leyes y derivar razonamientos; por lo que va más allá de la Geometría para erigirse como un pensamiento dialéctico de la Matemática. La existencia de niveles del pensamiento matemático caracterizados en aritmética y geometría, responden al grado de desarrollo físico y psíquico de los escolares y en resumen señalan: • Relaciones que se establecen entre los ángulos. • Se reconocen teoremas y demostraciones sobre ángulos. • Identifican, reconocen y argumentan sobre ángulos. • Calculan ángulos después de haberlos reconocido. • Realizan algunas demostraciones sencillas sobre los teoremas de ángulos. El pensamiento geométrico, para la autora, es una forma de pensamiento matemático, pero no exclusivo de ella y se basa en el conocimiento de un modelo del espacio físico tridimensional. El objetivo general de la enseñanza de la Geometría es contribuir al desarrollo del pensamiento geométrico espacial del escolar de manera que este pueda interpretar y transformar el espacio físico que le rodea.. 24.

(29) En la enseñanza media contribuye al desarrollo de este pensamiento mediante la formación de conceptos de figuras, y cuerpos geométricos, así como el reconocimiento de relaciones esenciales que se puedan establecer entre ellos. Existen maestros e investigadores que se han detenido en el estudio de la compresión y razonamiento de la Geometría, entre estos se destacan los holandeses Pierre Marie Van Hiele y Dina Van Hiele – Gildof, quienes plantearon un modelo de aprendizaje que pretende describir la evolución en el nivel de razonamiento de los escolares, desde las formas intuitivas iniciales del pensamiento, hasta las deductivas. Según el criterio del autor Federico Engels en su obra Didáctica de la Naturaleza, citado por Robert Barcia Martínez en Geometría para maestros primarios. I Parte se plantea que: “La Geometría es el modelo matemático del espacio físico “La Geometría tiene como objetivo analizar, organizar y sistematizar los conocimientos espaciales. Estudia la extensión, forma, relaciones de posición de los cuerpos y de los elementos que lo constituyen, así como sus propiedades” (Barcia, 2002,1) ”Geometría: F. Mat. Parte de las Matemáticas, que trata de las propiedades y medidas de la extensión. Geometría. f. Estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o en el espacio. || ~ algorítmica. f. Mat. Aplicación del álgebra a la Geometría para resolver por medio del cálculo ciertos problemas de la extensión. || ~ analítica. f. Mat. Estudio de figuras que utiliza un sistema de coordenadas y los métodos del análisis matemático. || ~ del espacio. f. Mat. Parte de la Geometría que considera las figuras cuyos puntos no están todos en un mismo plano. || ~ descriptiva. f. Mat. Parte de las Matemáticas que tiene por objeto resolver los problemas de la Geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano y representar en él las figuras de los sólidos. || ~ plana. f. Mat. Parte de la Geometría que considera las figuras cuyos puntos están todos en un plano. || ~ proyectiva. f. Rama de la Geometría que trata de las proyecciones de las figuras sobre un plano”. (Aristos, 1980, 300) Cuba ha estado en el centro de las discusiones sobre la importancia de la Geometría. La Dra. Dulce M. Escalona desde 1944 declaró como objetivos del aprendizaje de la Geometría los siguientes: • Dominio de los teoremas esenciales y de sus aplicaciones prácticas. • Comprensión clara a la prueba geométrica y del significado matemático. 25.

(30) • Creación de hábitos de expresión suscita del pensamiento y de organización lógica de las ideas. • Transferencia de los hábitos adquiridos a situaciones no geométricas, de modo que el escolar adquiera la capacidad del pensamiento cuidadoso e independiente. La elección de problemas tanto abiertos como la demostración para ejercitar al escolar en el razonamiento formal pueden aportar distintas estrategias o modos de razonamiento: generalización, inducción y analogía. La percepción, la deducción, la imaginación y la intuición son ejemplos de procedimientos y habilidades y entre estas últimas se encuentran: reconocer ángulos entre paralelas, calcular ángulos, demostrar teoremas relacionados con ángulos y argumentar los resultados obtenidos. Para la concepción del proceso de enseñanza- aprendizaje de los contenidos geométricos no basta con tener una concepción clara de la evolución histórica de la ciencia y de la disciplina escolar, se necesita poseer presupuestos pedagógicos y psicológicos que fundamenten científicamente el proceso pedagógico. Desde el punto de vista psicológico se asume el enfoque histórico cultural de Vigotski porque este constituye el paradigma en relación a que la enseñanza conduce y dirige el desarrollo psíquico de la personalidad, lo que tiene como punto de partida el dominio de las habilidades y los conocimientos que posee “la distancia entre un nivel real de desarrollo determinado por la capacidad de resolver un problema y el nivel de desarrollo potencial determinado a través. de la resolución de un problema bajo la. guía de un adulto o en colaboración con otro compañero más capaz, definida como zona de desarrollo próximo. Los preceptos psicológicos del enfoque histórico- cultural de Vigotski. sirven de. sustento a las concepciones a partir del cual la preparación del alumno se inicia y desarrolla en la práctica desde la óptica de las condiciones históricas, naturales y socio- culturales que la condicionan. Desde el punto de vista pedagógico se tienen en cuenta los principios didácticos de la enseñanza como: • Principio de la unidad del carácter científico e ideológico del proceso pedagógico porque el sistema de ejercicios se basa en los conocimientos más avanzados sobre la Geometría, en su uso humanista y responde a la ideología marxistaleninista. 26.

(31) • Principio de la vinculación de la educación con la vida, el medio social y el trabajo. Los conocimientos geométricos parten de una interpretación de la realidad y su utilidad práctica. • Principio del carácter colectivo e individual de la educación de la personalidad. El sistema de ejercicios colectivo. para. se elabora partiendo de un diagnóstico. individual y. resolver los problemas individuales de cada alumno en la. Geometría y a la vez del colectivo. • Principio de la unidad de lo instructivo y lo educativo. En el sistema el alumno adquiere conocimientos sobre los ángulos entre paralelas, pero a la vez los educa y las características de los ejercicios conllevan a ese aprendizaje desarrollador. • Principio de la unidad de lo afectivo y lo cognitivo. En el sistema se tuvo en consideración tanto la esfera de la regulación inductora es decir lo afectivo- volitivo y la regulación ejecutora (cognitivo- instrumental) La enseñanza de los contenidos geométricos permite a los escolares a razonar sobre el mundo tridimensional con el cual está en contacto desde que se enfrenta al proceso de enseñanza aprendizaje de la Geometría y al que debe conocer y transformar. A través de los contenidos geométricos se debe fomentar el desarrollo de capacidades y habilidades específicas que son muy útiles para transformar la sociedad, a partir de la labor del tornero, el carpintero, el constructor, el pintor, con la capacidad de imaginación espacial y las habilidades de construcciones geométricas que deben desarrollar. Para que el maestro logre que los escolares dominen los objetivos de la asignatura y específicamente los de este complejo de materias, (Geometría), debe profundizar en su preparación y superación, de modo que desarrolle con la calidad requerida el proceso de enseñanza-aprendizaje. En los libros de Geometría y en otros textos que contienen temas de la enseñanza de la Matemática, se encuentran diferentes conceptos de ángulos. Este hecho tiene su razón en las diferentes posibilidades de aplicar los ángulos en la Matemática y también en las insuficiencias y ventaja de cada concepto de ángulo dado por diferentes autores, entre ellos Arturo Miyares y J. M. Escalona los cuales apuntan:. 27.

(32) "Dos semirrectas del mismo origen que no sean opuestas ni coincidentes dividen al plano en dos regiones llamadas ángulo convexo y ángulo cóncavo. El convexo es la región que no contiene las semirrectas consideradas y el cóncavo a la otra región”. (Miyares, 1964, 208) Según Horst Müller: “…ángulo es la unión o la intersección de dos semiplanos cuyos bordes se cortan o se intersecan..."(M. Horst. 2000,46). Puede apreciarse que se considera la unión de dos semiplanos, es decir, tanto como la parte común o ambos semiplanos, como las dos partes no comunes. Arnaldo Bueno Agüero plantea: "Ángulo es el desplazamiento o abertura entre dos semirrectas que tienen un origen común..." (Bueno, 2000,5) A. V. Pagorelov al definir ángulo plantea que es: “Una figura formada por semirrectas distintas con un punto de origen común. Este punto se denomina vértice del ángulo y las semirrectas reciben el nombre de lados del ángulo”. (Pogorelov, 1998, 22) Según Jachen Kruesch y Rudolf Fritz: “Ángulo, sea el rayo (b) la imagen de un rayo (a) por una rotación de centro en su origen (0) el rayo (a) y el rayo (b) forman el ángulo (a, b).” (Kreusch, 2002,88) “Ángulo es la unión o la intersección de dos semiplanos cuyos bordes tocan o se intersecan”. (Rizo, 1990, 161) Después de analizados cada uno de los conceptos de ángulo dado por diferentes autores se llega a la conclusión que la autora está de acuerdo con la definición dada por Celia Rizo Cabrera. Se utilizan además otros conceptos y definiciones como: ángulos consecutivos que son aquellos que tienen en común el vértice y un lado, estos pueden determinarse a un lado de una recta formando un ángulo llano luego suman 180 grados y alrededor de un punto formando un ángulo completo y luego 360 grados. Dos ángulos consecutivos a un lado de una recta se llaman ángulos adyacentes por lo que sus amplitudes suman 1800. Cuando dos rectas se cortan en un punto forman cuatro ángulos, se llaman ángulos opuestos por el vértice, pues tienen el mismo vértice y sus lados son semirrectas opuestas, por lo que son iguales. Ángulos opuestos por el vértice: tiene un vértice común y sus lados son semirrectas opuestas.. 28.

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