Examen Temas 8 y 9

EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Temas 8 y 9

1. (2,2 puntos) Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) (0,4 puntos)

2

2 ( )

4

x f x

x + =

+ ; b) (0,4 puntos) 2

3 1

( )

2 4

x g x

x x − =

− ;

c) (0,3 puntos) h x( )=log 4

(

x+17

)

; d) (0,3 puntos) p x( )=32 2− x;

e) (0,8 puntos) Indica, si es que existe, el valor de x en el que cada una de las funciones anteriores vale 0.

2. (1,5 puntos) Dada la función ( ) 2 4 4

x f x

x + =

− , se pide:

a) (0,3 puntos) Su dominio y recorrido.

b) (0,3 puntos) Los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.

b) (0,9 puntos) Un esbozo de su gráfica, indicando las asíntotas y algunos de sus puntos.

3. (1,5 puntos) A partir de la gráfica de f x( )= − +x2 3 (0,3 puntos) haz las gráficas de las funciones: a) (0,6 puntos) g x( )= f x( ) 4− .

b) (0,6 puntos) h x( )= f x( ).

Justifica el resultado.

4. (1,5 puntos) Una población de conejos aumenta anualmente en un 50 %. Si en el momento inicial hay 100 conejos:

a) (0,5 puntos) ¿Cuál es la función que da su número al cabo de t años? b) (0,3 puntos) ¿Cuántos conejos habrá dentro de 8 años?

c) (0,7 puntos) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 30.000?

5. (1,5 puntos) La función que da el valor de un automóvil a partir del momento de su adquisición es P t( )=25000·1, 2−t, t en años y P en euros.

a) (0,3 puntos) ¿Cuánto costó nuevo?

b) (0,2 puntos) ¿Cuánto valdrá a los 2 años de su adquisición?

c) (1 punto) Representa gráficamente la función P t( ) en el intervalo [0, 10]. (En el eje vertical puedes adaptar la escala de manera que 1 = 5000 €).

6. (0,8 puntos) Indica las características fundamentales de las funciones ( )f x =ax y f x( )=a−x, para a > 1. (Puedes apoyar tu respuesta teniendo en cuenta las funciones estudiadas en los dos

Soluciones

1. (2,2 puntos) Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) (0,4 puntos) ( ) ₂ 2 4 x f x x + =

+ ; b) (0,4 puntos) 2

3 1 ( ) 2 4 x g x x x − = − ; c) (0,3 puntos) h x( )=log 4

(

x+17

)

; d) (0,3 puntos) p x( )=32 2− x;

e) (0,8 puntos) Indica, si es que existe, el valor de x en el que cada una de las funciones anteriores vale 0.

Solución:

a) ( ) ₂ 2

4 x f x x + =

+ → El radicando debe ser no negativo: 2

2 0 4 x x + 

+ x ≥ –2. → Dom(f) =



−2, + 

)

.

b)

(

)

2

3 1 3 1

( ) 2 2 2 4 x x g x x x x x − − = = −

− → Dom(g) = R – {0, 2}. El denominador se anula cuando x = 0 o x = 2.

c) h x( )=log 4

(

x+17

)

→ Dom(h) = 17, + 4

_{− }

 

 . Es necesario que 4x + 17 > 0 

17 4

x − .

d) p x( )=32 2− x → Dom(p) = R. El exponente siempre está definido.

e) ( ) ₂ 2 0 2 0 2

4

x

f x x x

x +

= =  + =  = −

+ ; 2

3 1 1

( ) 0 3 1 0

3

2 4

x

g x x x

x x

−

= =  − =  =

− ;

(

)

( ) log 4 17 0 4 17 1 4

h x = x+ =  x+ =  = −x ; p x( )=32 2− x nunca vale 0.

2. (1,5 puntos) Dada la función ( ) 2 4 4 x f x x + =

− , se pide:

a) (0,3 puntos) Su dominio y recorrido.

b) (0,3 puntos) Los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.

c) (0,9 puntos) Un esbozo de su gráfica, indicando las asíntotas y algunos de sus puntos. Solución:

a) Dom(f) = R – {4}.

La función nunca toma el valor 2; se deduce al observar que y = 2 es una asíntota horizontal.

b) Para x = 0, y = –1 → punto (0, –1). →

También tiene una asíntota horizontal: la recta y = 2. Hacia – la función toma valores menores que 2. Hacía + toma valores mayores que 2.

Algunos de sus puntos son:

(–8, 1); (–2, 0); (0, –1); (2, –4); (6, 8); (8, 5); (10, 4); (14, 3,2).

3. (1,5 puntos) A partir de la gráfica de f x( )= − +x2 3 (0,3 puntos) haz las gráficas de las funciones: a) (0,6 puntos) g x( )= f x( ) 4− .

b) (0,6 puntos) h x( )= f x( ).

Justifica el resultado. Solución:

Para hacer la gráfica de 2

( ) 3

f x = − +x basta con dar uno pocos puntos:

(0, 3);

(

− 3, 0

)

;

( )

3, 0 ; (–1, 2); (1, 2); (–2, –1); (2, –1).

a) La función g x( )= f x( ) 4− traslada todos los puntos de f 4 unidades hacia abajo. (0, 3) → (0, –1); (–1, 2) → (–1, –2); (–1, 2) → (1, –2).

b) La función valor absoluto, h x( )= f x( ), siempre toma valores positivos (convierte todas las

4. (1,5 puntos) Una población de conejos aumenta anualmente en un 50 %. Si en el momento inicial hay 100 conejos:

a) (0,5 puntos) ¿Cuál es la función que da su número al cabo de t años? b) (0,3 puntos) ¿Cuántos conejos habrá dentro de 8 años?

c) (0,7 puntos) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 30.000? Solución:

a) f t( ) 100· 1 0,5=

(

+

)

t  f t( ) 100· 1,5=

( )

t, t = tiempo en años.

b) f(8) 100· 1,5=

( )

8  2563 conejos.

c) Debe cumplirse que 30000 100· 1,5=

( )

t 300=

( )

1,5 t. Aplicando logaritmos:

( )

log 300=log 1,5 t  log 300 ·log1,5 log 300 14, 07 log1,5

t t

=  =  años.

5. (1,5 puntos) La función que da el valor de un automóvil a partir del momento de su adquisición es P t( )=25000·1, 2−t, t en años y P en euros.

a) (0,3 puntos) ¿Cuánto costó nuevo?

b) (0,2 puntos) ¿Cuánto valdrá a los 2 años de su adquisición?

c) (1 punto) Representa gráficamente la función P t( ) en el intervalo [0, 10]. (En el eje vertical puedes adaptar la escala de manera que 1 = 5000 €).

Solución:

a) Nuevo: t = 0 → P(0)=25000·1, 20 =25000 euros.

b) A los 2 años: t = 2 → P(2)=25000·1, 2−2 =25000·0, 694... 17362,1...=

6. (0,8 puntos) Indica las características fundamentales de las funciones ( )f x =ax y f x( )=a−x, para a > 1. (Puedes apoyar tu respuesta teniendo en cuenta las funciones estudiadas en los dos ejercicios anteriores).

Solución:

Ambas funciones están definidas en todo R. Siempre toman valores positivos: ( )f x =ax > 0 para todo x; f x( )=a−x> 0, para todo x. Cortan al eje OY en el punto (0, 1).

La recta y = 0, ele eje OX, es asíntota horizontal: de ( )f x =ax hacía –; de f x( )=a−xhacia + . → ( )f x =ax es estrictamente creciente; f x( )=a−x es estrictamente decreciente.

Un ejemplo de ( )f x =ax es la evolución de la población de conejos vista en el ejercicio 5.

El valor de un automóvil en función del tiempo es un buen ejemplo de la

función f x( )=a−x.

Puede trazarse un dibujo como el adjunto.

7. (0,8 puntos) Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

a) 2cosx= −1 b) sin 3

( )

3 2

x =

(La respuesta completa vale 1 punto). Solución:

a) 2cosx= −1 cos 1 2

x= − 

2 2 120º ·360º

1 3

arccos

240º ·360º 4

2 2 3 k k x k k   _{+ }  +     = _− _=_ _ +     _{ + }  .

b) sin 3

( )

3 2

x =  3 arcsin 3 60º ·360º

120º ·360º 2 k x k    + = _  _= ₊     20º ·120º 40º ·120º k x k +  =  ₊  .