Sesión 12 (2018-1)

(1)

Se˜

nales y Sistemas 1

Sesi´

on 12

Jan Bacca R. Ana Mar´ıa Reyes.

Universidad Nacional de Colombia Sede Bogot´a

(2)

Agenda

1 Propiedades de las transformadas de Laplace y Z

2 An´alisis y caracterizaci´on de LTIs usando la Transformada de Laplace

3 An´alisis y caracterizaci´on de LTIs usando la Transformada z

4 La Transformada unilateral de Laplace

5 La Transformada unilateral Z

(3)

Linealidad

Transformada de Laplace

Si

x1(t)

L

↔X1(s)

con una región de convergencia que se señalará comoR1

y

x2(t)↔L X2(s)

entonces

ax1(t) +bx2(t)↔L aX1(s) +bX2(s)

con la ROC conteniendo R1∩R2

(4)

Linealidad

Si

x1(t)

L

↔X1(s)

y

x2(t)↔L X2(s)

entonces

(5)

Linealidad

Si

x1(t)

L

↔X1(s)

y

x2(t)↔L X2(s)

entonces

con la ROC conteniendoR1∩R2

(6)

Linealidad

Transformada Z

Si

x1[n]↔Z X1(z), con ROC =R1

y

entonces

(7)

Linealidad

Transformada Z

Si

y

entonces

ax1[n] +bx2[n]↔Z aX1(z) +bX2(z),con la ROC conteniendo a R1∩R2

(8)

Desplazamiento en el tiempo

Si

x(t)↔L X(s), con ROC = R

entonces

(9)

Desplazamiento en el tiempo

Si

entonces

x(t−t0)↔L e−st0_X_(s) _{con ROC} ₌ _R

(10)

Desplazamiento en el tiempo

Transformada Z

Si

x[n]↔Z X(z), con ROC =R

entonces

x[n−n0]↔Z z−n0_X_(z)

con ROC=R, excepto para la posible adici´on o eliminaci´on del origen

(11)

Desplazamiento en el tiempo

Transformada Z

Si

entonces

x[n−n0]↔Z z−n0_X_(z)

con ROC=R, excepto para la posible adici´on o eliminaci´on del origen

o del infinito.

(12)

Desplazamiento en el dominio de

s

Si

entonces

(13)

Desplazamiento en el dominio de

s

Si

entonces

es0t_x(t₎_↔L _X_(s₋_s

0) con ROC = R+Re{s0}

(14)

Derivaci´

on en el dominio del tiempo

Si

entonces

dx(t) dt

L

↔sX(s), con ROC = R

Esta propiedad se puede deducir de la transformada inversa de Laplace

x(t) = 1

2πj

Z σ+jω σ−jω

X(s)estds

Entonces

dx(t)

dt =

1 2πj

Z σ+jω σ−jω

(15)

Derivaci´

on en el dominio del tiempo

Si

entonces

dx(t) dt

L

x(t) = 1

2πj

Z σ+jω σ−jω

X(s)estds

Entonces

dx(t)

dt =

1 2πj

Z σ+jω σ−jω

sX(s)estds

(16)

Derivaci´

on en el dominio del tiempo

Si

entonces

dx(t) dt

L

x(t) = 1

2πj

Z σ+jω σ−jω

X(s)estds

Entonces

dx(t)

dt =

1 2πj

Z σ+jω σ−jω

(17)

Derivaci´

on en el dominio del tiempo

Si

entonces

dx(t) dt

L

x(t) = 1

2πj

Z σ+jω σ−jω

X(s)estds

Entonces

dx(t)

dt =

1 2πj

Z σ+jω σ−jω

sX(s)estds

(18)

Diferenciaci´

on en el dominio del tiempo

Transformada Z

Si

x[n]↔Z X(z), con ROC = Rx

entonces para la primera diferencia

y[n] =x[n]−x[n−1]↔Z Y(z) = (1−z−1)X(z)

con ROC

(19)

Diferenciaci´

on en el dominio del tiempo

Transformada Z

Si

y[n] =x[n]−x[n−1]↔Z Y(z) = (1−z−1)X(z)

con ROC

ROCy ⊇ Rx ∩ |z|>0

(20)

Diferenciaci´

on en el dominio del tiempo

Transformada Z

Si

y[n] =x[n]−x[n−1]↔Z Y(z) = (1−z−1)X(z)

con ROC

(21)

Integraci´

on en el dominio del tiempo

Si

x(t)↔L X(s) con ROC =R

entonces

Z t

−∞

x(τ)dτ ↔L 1 s,

con la ROC contenido R∩ {Re(s)>0}

Se puede deducir de la propiedad de convoluci´on,

Z t

−∞

x(τ)dτ =u(t)∗x(t)

Con x(t) =e−atu(t) y a= 0

u(t)↔L 1

s, Re{s}>0

(22)

Integraci´

on en el dominio del tiempo

Si

entonces

Z t

−∞

x(τ)dτ ↔L 1 s,

Z t

−∞

u(t)↔L 1

(23)

Integraci´

on en el dominio del tiempo

Si

entonces

Z t

−∞

x(τ)dτ ↔L 1 s,

Z t

−∞

u(t)↔L 1

s, Re{s}>0

(24)

Integraci´

on en el dominio del tiempo

Si

entonces

Z t

−∞

x(τ)dτ ↔L 1 s,

Z t

−∞

u(t)↔L 1

(25)

Acumulaci´

on en el dominio del tiempo

Transformada Z

Si

y[n] =

n

X

k=−∞

x[k]↔Z Y(z) = ( 1

1−z−1)X(z)

con ROC

ROCy ⊇ Rx ∩ |z|>1

(26)

Acumulaci´

on en el dominio del tiempo

Transformada Z

Si

y[n] =

n

X

k=−∞

x[k]↔Z Y(z) = ( 1

1−z−1)X(z)

con ROC

(27)

Acumulaci´

on en el dominio del tiempo

Transformada Z

Si

y[n] =

n

X

k=−∞

x[k]↔Z Y(z) = ( 1

1−z−1)X(z)

con ROC

ROCy ⊇ Rx∩ |z|>1

(28)

Escalamiento en el tiempo

Si

entonces

X(at)↔L 1 |a|X

s

a

, con ROC R1 = R

(29)

Escalamiento en el tiempo

Si

entonces

X(at)↔L 1 |a|X

s

a

, con ROC R1 =

R a

(30)

Escalamiento en el tiempo (expansi´

on)

Transformada de Z

La secuencia x(k)[n] definida como

x(k)[n] =

(

x[n/k],

0,

si n es un multiplo de k´

si n no es un multiplo de k´

tienek−1 ceros insertados entre valores sucesivos de la se˜nal

original. En este caso, si

entonces

x(k)[n]

Z

↔X(zk), con ROC =R1/k

Si X(z) tiene un polo (o cero) enz =a, entonces X(zk) tiene un

(31)

Escalamiento en el tiempo (expansi´

on)

Transformada de Z

x(k)[n] =

(

x[n/k],

0,

entonces

x(k)[n]

Z

polo (o cero) enz =a1/k

(32)

Escalamiento en el tiempo (expansi´

on)

Transformada de Z

x(k)[n] =

(

x[n/k],

0,

entonces

x(k)[n]

Z

(33)

Conjugaci´

on

Si

entonces

x∗(t)↔L X∗(s∗), con ROC = R Por lo tanto,

X(s) =X∗(s∗)

cuandox(t) es real

(34)

Conjugaci´

on

Si

entonces

x∗(t)↔L X∗(s∗), con ROC = R

Por lo tanto,

X(s) =X∗(s∗)

(35)

Conjugaci´

on

Si

entonces

x∗(t)↔L X∗(s∗), con ROC = R Por lo tanto,

X(s) =X∗(s∗)

cuandox(t) es real

(36)

Conjugaci´

on

Transformada de Z

Si

entonces

(37)

Conjugaci´

on

Transformada de Z

Si

entonces

x∗[n]↔Z X∗(z∗), con ROC =R

(38)

Convoluci´

on

Si

x1(t)

L

↔X1(s)

y

x2(t)↔L X2(s)

entonces

x1(t)∗x2(t)↔L X1(s)X2(s)

(39)

Convoluci´

on

Si

x1(t)

L

↔X1(s)

y

x2(t)↔L X2(s)

entonces

x1(t)∗x2(t)↔L X1(s)X2(s)

con la ROC conteniendo R1∩R2

(40)

Convoluci´

on

Si

x1(t)

L

↔X1(s)

y

x2(t)↔L X2(s)

entonces

x1(t)∗x2(t)↔L X1(s)X2(s)

(41)

Convoluci´

on

Transformada Z

Si

y

entonces

x1[n]∗x2[n]↔Z X1(z)X2(z), con ROC conteniendo R1∩R2

(42)

Convoluci´

on

Transformada Z

Si

y

entonces

(43)

Diferenciaci´

on en el dominio de

s

Si diferenciamos ambos miembros de la transformada de Laplace

X(s) =

Z +∞

−∞

x(t)e−stdt

obtenemos

dX(s)

ds =

Z +∞

−∞

(−t)x(t)e−stdt

En consecuencia, si

x(t)↔L X(s), con ROC =R

entonces

−tx(t)↔L dX(s)

dt con ROC =R

(44)

Diferenciaci´

on en el dominio de

s

X(s) =

Z +∞

−∞

x(t)e−stdt

obtenemos

dX(s)

ds =

Z +∞

−∞

(−t)x(t)e−stdt

En consecuencia, si

entonces

−tx(t)↔L dX(s)

(45)

Diferenciaci´

on en el dominio de

s

X(s) =

Z +∞

−∞

x(t)e−stdt

obtenemos

dX(s)

ds =

Z +∞

−∞

(−t)x(t)e−stdt

En consecuencia, si

entonces

−tx(t)↔L dX(s)

dt con ROC =R

(46)

Diferenciaci´

on en el dominio de

s

X(s) =

Z +∞

−∞

x(t)e−stdt

obtenemos

dX(s)

ds =

Z +∞

−∞

(−t)x(t)e−stdt

En consecuencia, si

entonces

−tx(t)↔L dX(s)

(47)

Ejemplo

Obtengamos la transformada de Laplace de

x(t) =te−atu(t)

Ya que

e−atu(t)↔L 1

s +a, Re{s}>−a

De la propiedad de diferenciaci´on en el dominio de s se desprende que

te−atu(t)↔ −L d ds

1

s +a

= 1

(s +a)2, Re{s}>−a

De hecho mediante la aplicaci´on repetida

t2 2e

at_u(t)_↔L 1

(s+a)3, Re{s}>−a

(48)

Ejemplo

x(t) =te−atu(t)

Ya que

e−atu(t)↔L 1

s +a, Re{s}>−a

1

s +a

= 1

(s +a)2, Re{s}>−a

t2 2e

at_u(t)_↔L 1

(49)

Ejemplo

x(t) =te−atu(t)

Ya que

e−atu(t)↔L 1

s +a, Re{s}>−a

1

s +a

= 1

(s +a)2, Re{s}>−a

t2 2e

at_u(t)_↔L 1

(s+a)3, Re{s}>−a

(50)

Ejemplo

x(t) =te−atu(t)

Ya que

e−atu(t)↔L 1

s +a, Re{s}>−a

1

s +a

= 1

(s +a)2, Re{s}>−a

t2 2e

at_u(t)_↔L 1

(51)

Ejemplo

y de manera m´as general

tn−1 (n−1)!e

−at

u(t)↔L 1

(s+a)n, Re{s}>−a

(52)

Diferenciaci´

on en el dominio de

z

Transformada Z

Si

entonces

nx[n]↔ −zZ dX(z)

(53)

Diferenciaci´

on en el dominio de

z

Transformada Z

Si

entonces

nx[n]↔ −zZ dX(z)

dz , con ROC =R

(54)

Ejemplo

Cosideremos determinar la transformada z inversa para

X(z) = az

−1

(1−az−1₎2, |z|>|a|,

La transformadaz de anu[n] es,

anu[n]↔Z 1

1−az−1, |z|>|a|, y de ello se desprende que

nanu[n]↔ −zZ d dz

1 1−az−1

= az

−1

(55)

Ejemplo

X(z) = az

−1

(1−az−1₎2, |z|>|a|,

anu[n]↔Z 1

1−az−1, |z|>|a|,

y de ello se desprende que

1 1−az−1

= az

−1

(1−az−1₎2, |z|>|a|.

(56)

Ejemplo

X(z) = az

−1

(1−az−1₎2, |z|>|a|,

anu[n]↔Z 1

1−az−1, |z|>|a|, y de ello se desprende que

1 1−az−1

= az

−1

(57)

Teorema de valor inicial y de valor final

Elteorema de valor inicial establece que

x(0+) = l´ım

s→∞sX(s)

mientras que elteorema de valor final nos dice que

l´ım

t→∞x(t) = l´ıms→0sX(s)

(58)

Teorema de valor inicial y de valor final

Elteorema de valor inicial establece que

x(0+) = l´ım

s→∞sX(s)

mientras que elteorema de valor final nos dice que

l´ım

(59)

Teorema de valor inicial

Transformada Z

Si x[n] = 0, n<0, entonces

x[0] = l´ım

z→∞x[n]z

−n

Esta propiedad se obtiene al considerar individualmente el l´ımite de

cada t´ermino en la expresi´on de la transformada z conx[n] cero para

n<0. Con esta restricci´on,

X(z) =

∞

X

n=0

x[n]z−n

A medida quez → ∞,z−n→0 paran>0, en tanto que paran= 0,

z−n= 1. Por lo tanto, se obtiene la ecuaci´on inicial.

(60)

Teorema de valor inicial

Transformada Z

Si x[n] = 0, n<0, entonces

x[0] = l´ım

z→∞x[n]z

−n

Esta propiedad se obtiene al considerar individualmente el l´ımite de

cada t´ermino en la expresi´on de la transformada z conx[n] cero para

n<0. Con esta restricci´on,

X(z) =

∞

X

n=0

x[n]z−n

A medida quez → ∞,z−n→0 paran>0, en tanto que paran= 0,

(61)

Tabla de propiedades de la Transformada de Laplace

Propiedad Se˜nal Transformada ROC

Linealidad

Desplazamiento en tiempo Desplazamiento en el dominio des

Escalamiento en el tiempo

Conjugaci´on Convoluci´on

Diferenciaci´on en el tiempo Diferenciaci´on en el dominio des

Integraci´on en el tiempo

ax1(t) +bx2(t)

x(t−t0)

es0t_x₍_t₎

x(at)

x∗(t)

x1(t)∗x2(t)

d dtx(t)

−tx(t)

Rt

−∞x(τ)d(τ)

aX1(s) +bX2(s)

e−st0X(s)

X(s−s0)

1 |a|X

s a

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX(s)

d dsX(s)

1

sX(s)

Al menosR1∩R2

R

Vesi´on desplazada deR(es decir,

sest´a en la ROC sis−s0est´a en R)

ROC escalada (es decir,sest´a en la ROC sis/aest´a enR) R

Al menosR1∩R2 Al menosR R

Al menosR∩ {Re{s}>0}

(62)

Tabla de propiedades de la Transformada de Laplace

Linealidad

Desplazamiento en tiempo

Desplazamiento en el dominio des

ax1(t) +bx2(t)

x(t−t0)

es0t_x₍_t₎

x(at)

x∗(t)

x1(t)∗x2(t)

d dtx(t)

−tx(t)

Rt

−∞x(τ)d(τ)

aX1(s) +bX2(s)

e−st0X(s)

X(s−s0)

1 |a|X

s a

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX(s)

d dsX(s)

1

sX(s)

Al menosR1∩R2

R

(63)

Tabla de propiedades de la Transformada de Laplace

Linealidad

ax1(t) +bx2(t)

x(t−t0)

es0t_x₍_t₎

x(at)

x∗(t)

x1(t)∗x2(t)

d dtx(t)

−tx(t)

Rt

−∞x(τ)d(τ)

aX1(s) +bX2(s)

e−st0X(s)

X(s−s0)

1 |a|X

s a

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX(s)

d dsX(s)

1

sX(s)

Al menosR1∩R2

R

(64)

Tabla de propiedades de la Transformada de Laplace

Linealidad

ax1(t) +bx2(t)

x(t−t0)

es0t_x₍_t₎

x(at)

x∗(t)

x1(t)∗x2(t)

d dtx(t)

−tx(t)

Rt

−∞x(τ)d(τ)

aX1(s) +bX2(s)

e−st0X(s)

X(s−s0)

1 |a|X

s a

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX(s)

d dsX(s)

1

sX(s)

Al menosR1∩R2

R

ROC escalada (es decir,sest´a en la ROC sis/aest´a enR)

R

(65)

Tabla de propiedades de la Transformada de Laplace

Linealidad

Conjugaci´on

Convoluci´on

ax1(t) +bx2(t)

x(t−t0)

es0t_x₍_t₎

x(at)

x∗(t)

x1(t)∗x2(t)

d dtx(t)

−tx(t)

Rt

−∞x(τ)d(τ)

aX1(s) +bX2(s)

e−st0X(s)

X(s−s0)

1 |a|X

s a

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX(s)

d dsX(s)

1

sX(s)

Al menosR1∩R2

R

(66)

Tabla de propiedades de la Transformada de Laplace

Linealidad

ax1(t) +bx2(t)

x(t−t0)

es0t_x₍_t₎

x(at)

x∗(t)

x1(t)∗x2(t)

d dtx(t)

−tx(t)

Rt

−∞x(τ)d(τ)

aX1(s) +bX2(s)

e−st0X(s)

X(s−s0)

1 |a|X

s a

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX(s)

d dsX(s)

1

sX(s)

Al menosR1∩R2

R

Al menosR1∩R2

Al menosR R

(67)

Tabla de propiedades de la Transformada de Laplace

Linealidad

Diferenciaci´on en el tiempo

Diferenciaci´on en el dominio des

ax1(t) +bx2(t)

x(t−t0)

es0t_x₍_t₎

x(at)

x∗(t)

x1(t)∗x2(t)

d dtx(t)

−tx(t)

Rt

−∞x(τ)d(τ)

aX1(s) +bX2(s)

e−st0X(s)

X(s−s0)

1 |a|X

s a

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX(s)

d dsX(s)

1

sX(s)

Al menosR1∩R2

R

Al menosR1∩R2 Al menosR

R

(68)

Tabla de propiedades de la Transformada de Laplace

Linealidad

ax1(t) +bx2(t)

x(t−t0)

es0t_x₍_t₎

x(at)

x∗(t)

x1(t)∗x2(t)

d dtx(t)

−tx(t)

Rt

−∞x(τ)d(τ)

aX1(s) +bX2(s)

e−st0X(s)

X(s−s0)

1 |a|X

s a

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX(s)

d dsX(s)

1

sX(s)

Al menosR1∩R2

R

(69)

Tabla de propiedades de la Transformada de Laplace

Linealidad

ax1(t) +bx2(t)

x(t−t0)

es0t_x₍_t₎

x(at)

x∗(t)

x1(t)∗x2(t)

d dtx(t)

−tx(t)

Rt

−∞x(τ)d(τ)

aX1(s) +bX2(s)

e−st0X(s)

X(s−s0)

1 |a|X

s a

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX(s)

d dsX(s)

1

sX(s)

Al menosR1∩R2

R

(70)

Tabla de propiedades de la Transformada de Laplace

Linealidad

ax1(t) +bx2(t)

x(t−t0)

es0t_x₍_t₎

x(at)

x∗(t)

x1(t)∗x2(t)

d dtx(t)

−tx(t)

Rt

−∞x(τ)d(τ)

aX1(s) +bX2(s)

e−st0X(s)

X(s−s0)

1 |a|X

_s

a

X∗(s∗)

X1(s)X2(s)

sX(s)

d dsX(s)

1

sX(s)

Al menosR1∩R2

R

Teoremas del valor inicial y final

Six(t) = 0 parat<0 yx(t) no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior ent= 0, entonces

x(0+) = l´ım s→∞sX(s)

(71)

Algunos pares de Transformadas de Laplace

Se˜nal Transformada ROC

δ(t)

u(t)

−u(−t)

tn−1 (n−1)!u(t)

− t

n−1 (n−1)!u(−t)

e−at_u₍_t₎

−e−at_u₍_−t₎

tn−1 (n−1)!e

−at_u₍_t₎

− t

n−1 (n−1)!e

−at_u₍_−t₎

1 1 s 1 s 1 sn 1 sn 1

s+a

1

s+a

1 (s+a)n

Todas

Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>−a Re{s}<−a Re{s}>−a Re{s}<−a

(72)

Algunos pares de Transformadas de Laplace

δ(t)

u(t)

−u(−t)

tn−1 (n−1)!u(t)

− t

n−1 (n−1)!u(−t)

e−at_u₍_t₎

tn−1 (n−1)!e

−at_u₍_t₎

− t

n−1 (n−1)!e

−at_u₍_−t₎

1 1 s 1 s 1 sn 1 sn 1

s+a

1

s+a

1 (s+a)n

Todas Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>0

Re{s}<0

(73)

Algunos pares de Transformadas de Laplace

δ(t)

u(t)

−u(−t)

tn−1 (n−1)!u(t)

− t

n−1 (n−1)!u(−t)

e−at_u₍_t₎

tn−1 (n−1)!e

−at_u₍_t₎

− t

n−1 (n−1)!e

−at_u₍_−t₎

1 1 s 1 s 1 sn 1 sn 1

s+a

1

s+a

1 (s+a)n

Todas Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>0

Re{s}<0

(74)

Algunos pares de Transformadas de Laplace

δ(t)

u(t)

−u(−t)

tn−1 (n−1)!u(t)

− t

n−1 (n−1)!u(−t)

e−at_u₍_t₎

tn−1 (n−1)!e

−at_u₍_t₎

− t

n−1 (n−1)!e

−at_u₍_−t₎

1 1 s 1 s 1 sn 1 sn 1

s+a

1

s+a

1 (s+a)n

Todas Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>0

Re{s}<0

(75)

Algunos pares de Transformadas de Laplace

δ(t)

u(t)

−u(−t)

tn−1 (n−1)!u(t)

− t

n−1 (n−1)!u(−t)

e−at_u₍_t₎

tn−1 (n−1)!e

−at_u₍_t₎

− t

n−1 (n−1)!e

−at_u₍_−t₎

1 1 s 1 s 1 sn 1 sn 1

s+a

1

s+a

1 (s+a)n

Todas Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>0

Re{s}<0

(76)

Algunos pares de Transformadas de Laplace

δ(t)

u(t)

−u(−t)

tn−1 (n−1)!u(t)

− t

n−1 (n−1)!u(−t)

e−at_u₍_t₎

tn−1 (n−1)!e

−at_u₍_t₎

− t

n−1 (n−1)!e

−at_u₍_−t₎

1 1 s 1 s 1 sn 1 sn 1

s+a

1

s+a

1 (s+a)n

Todas Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>−a

(77)

Algunos pares de Transformadas de Laplace

δ(t)

u(t)

−u(−t)

tn−1 (n−1)!u(t)

− t

n−1 (n−1)!u(−t)

e−at_u₍_t₎

tn−1 (n−1)!e

−at_u₍_t₎

− t

n−1 (n−1)!e

−at_u₍_−t₎

1 1 s 1 s 1 sn 1 sn 1

s+a

1

s+a

1 (s+a)n

Todas Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>−a Re{s}<−a

(78)

Algunos pares de Transformadas de Laplace

δ(t)

u(t)

−u(−t)

tn−1 (n−1)!u(t)

− t

n−1 (n−1)!u(−t)

e−at_u₍_t₎

tn−1 (n−1)!e

−at_u₍_t₎

− t

n−1 (n−1)!e

−at_u₍_−t₎

1 1 s 1 s 1 sn 1 sn 1

s+a

1

s+a

1 (s+a)n

Todas Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>−a Re{s}<−a Re{s}>−a

(79)

Algunos pares de Transformadas de Laplace

δ(t)

u(t)

−u(−t)

tn−1 (n−1)!u(t)

− t

n−1 (n−1)!u(−t)

e−at_u₍_t₎

tn−1 (n−1)!e

−at_u₍_t₎

− t

n−1 (n−1)!e

−at_u₍_−t₎

1 1 s 1 s 1 sn 1 sn 1

s+a

1

s+a

1 (s+a)n

Todas Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>0

Re{s}<0

(80)

Algunos pares de Transformadas de Laplace

δ(t−T)

[cosω0t]u(t) [sinω0t]u(t) [e−at_cos_ω

0tu(t)] [e−at_sen_ω

0tu(t)]

un(t) =

dn_δ₍_t₎

dtn

u−n(t) =u(t)∗ · · · ∗u(y)

| {z }

n veces

e−sT

s s2₊_ω2

0

ω0

s2₊_ω2 0

s+a

(s+a)2₊_ω2 0

ω0 (s+a)2₊_ω2

0

sn

1

sn

Todas

Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>−a

(81)

Algunos pares de Transformadas de Laplace

δ(t−T) [cosω0t]u(t)

[sinω0t]u(t) [e−at_cos_ω

0tu(t)]

un(t) =

dn_δ₍_t₎

dtn

u−n(t) =u(t)∗ · · · ∗u(y)

| {z }

n veces

e−sT

s s2₊_ω2

0

ω0

s2₊_ω2 0

s+a

(s+a)2₊_ω2 0

ω0 (s+a)2₊_ω2

0

sn

1

sn

Todas Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>−a

Todas Re{s}>0

(82)

Algunos pares de Transformadas de Laplace

δ(t−T) [cosω0t]u(t) [sinω0t]u(t)

[e−at_cos_ω

0tu(t)]

un(t) =

dn_δ₍_t₎

dtn

u−n(t) =u(t)∗ · · · ∗u(y)

| {z }

n veces

e−sT

s s2₊_ω2

0

ω0

s2₊_ω2 0

s+a

(s+a)2₊_ω2 0

ω0 (s+a)2₊_ω2

0

sn

1

sn

Todas Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>−a

(83)

Algunos pares de Transformadas de Laplace

δ(t−T) [cosω0t]u(t) [sinω0t]u(t) [e−at_cos_ω

0tu(t)]

[e−at_sen_ω

0tu(t)]

un(t) =

dn_δ₍_t₎

dtn

u−n(t) =u(t)∗ · · · ∗u(y)

| {z }

n veces

e−sT

s s2₊_ω2

0

ω0

s2₊_ω2 0

s+a

(s+a)2₊_ω2 0

ω0 (s+a)2₊_ω2

0

sn

1

sn

Todas Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>−a

Todas Re{s}>0

(84)

Algunos pares de Transformadas de Laplace

0tu(t)]

un(t) =

dn_δ₍_t₎

dtn

u−n(t) =u(t)∗ · · · ∗u(y)

| {z }

n veces

e−sT

s s2₊_ω2

0

ω0

s2₊_ω2 0

s+a

(s+a)2₊_ω2 0

ω0 (s+a)2₊_ω2

0

sn

1

sn

Todas Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>−a

(85)

Algunos pares de Transformadas de Laplace

0tu(t)]

un(t) =

dn_δ₍_t₎

dtn

u−n(t) =u(t)∗ · · · ∗u(y)

| {z }

n veces

e−sT

s s2₊_ω2

0

ω0

s2₊_ω2 0

s+a

(s+a)2₊_ω2 0

ω0 (s+a)2₊_ω2

0

sn

1

sn

Todas Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>−a

Todas

Re{s}>0

(86)

Algunos pares de Transformadas de Laplace

0tu(t)]

un(t) =

dn_δ₍_t₎

dtn

u−n(t) =u(t)∗ · · · ∗u(y)

| {z }

n veces

e−sT

s s2₊_ω2

0

ω0

s2₊_ω2 0

s+a

(s+a)2₊_ω2 0

ω0 (s+a)2₊_ω2

0

sn

1

sn

Todas Re{s}>0

Re{s}<0

Re{s}>−a

(87)

Tabla de propiedades de la Transformada Z

Propiedad Se˜nal Transformada

z ROC

Linealidad

Desplazamiento en tiempo Escalamiento en el dominio dez

Inversi´on en el tiempo

Expansi´on en el tiempo

Primera diferencia

Acumulaci´on

Diferenciaci´on en el dominio dez.

ax1[n] +bx2[n]

x[n−n0]

ejω0nx[n]

z₀nx[n]

anx[n]

x[−n]

x(k)[n] =

( x[r,

0,

n=rk n6=rk

x∗[n]

x1[n]∗x2[n]

x[n]−x[n−1]

Pn k=−∞x[k]

nx[n]

aX1(z) +bX2(z)

z−n0X(z)

X(e−jω0z)

X(z/z0)

X(a−1z)

X(z−1)

X(zk)

X∗(z∗)

X1(z)∗X2(z)

(1−z−1)X(z) 1 1−z−1X(z) −zdX(z)

dz

Al menosR1∩R2

R, excepto para la posible adici´on o supresi´on del origen

R=|z0|R, versi´on escalada deR (es decir,|a|R=el conjunto de puntos{|a|z}parazenR) R invertida (es decir,R−1_=el conjunto de puntosz−1, dondez

est´a enR)

R1/k(es decir, el conjunto de puntosz1/k, dondezest´a enR)

R

Al menos la intersecci´on deR1y

R2

Al menos la intersecci´on deRy |z|>0

R

(88)

Tabla de propiedades de la Transformada Z

z ROC

Linealidad

Desplazamiento en tiempo

Escalamiento en el dominio dez

Primera diferencia

Acumulaci´on

ax1[n] +bx2[n]

x[n−n0]

ejω0nx[n]

z₀nx[n]

anx[n]

x[−n]

x(k)[n] =

( x[r,

0,

n=rk n6=rk

x∗[n]

x1[n]∗x2[n]

x[n]−x[n−1]

Pn k=−∞x[k]

nx[n]

aX1(z) +bX2(z)

z−n0X(z)

X(e−jω0z)

X(z/z0)

X(a−1z)

X(z−1)

X(zk)

X∗(z∗)

X1(z)∗X2(z)

(1−z−1)X(z) 1 1−z−1X(z) −zdX(z)

dz

Al menosR1∩R2

est´a enR)

R

R2

(89)

Tabla de propiedades de la Transformada Z

z ROC

Linealidad

Primera diferencia

Acumulaci´on

ax1[n] +bx2[n]

x[n−n0]

ejω0n_x_[_n_]

z₀nx[n]

anx[n]

x[−n]

x(k)[n] =

( x[r,

0,

n=rk n6=rk

x∗[n]

x1[n]∗x2[n]

x[n]−x[n−1]

Pn k=−∞x[k]

nx[n]

aX1(z) +bX2(z)

z−n0X(z)

X(e−jω0z)

X(z/z0)

X(a−1z)

X(z−1)

X(zk)

X∗(z∗)

X1(z)∗X2(z)

(1−z−1)X(z) 1 1−z−1X(z) −zdX(z)

dz

Al menosR1∩R2

R=|z0|R, versi´on escalada deR (es decir,|a|R=el conjunto de puntos{|a|z}parazenR)

R invertida (es decir,R−1_=el conjunto de puntosz−1, dondez

est´a enR)

R

R2

R

(90)

Tabla de propiedades de la Transformada Z

z ROC

Linealidad

Primera diferencia

Acumulaci´on

ax1[n] +bx2[n]

x[n−n0]

ejω0n_x_[_n_]

z₀nx[n]

anx[n]

x[−n]

x(k)[n] =

( x[r,

0,

n=rk n6=rk

x∗[n]

x1[n]∗x2[n]

x[n]−x[n−1]

Pn k=−∞x[k]

nx[n]

aX1(z) +bX2(z)

z−n0X(z)

X(e−jω0z)

X(z/z0)

X(a−1z)

X(z−1)

X(zk)

X∗(z∗)

X1(z)∗X2(z)

(1−z−1)X(z) 1 1−z−1X(z) −zdX(z)

dz

Al menosR1∩R2

est´a enR)

R

R2

(91)

Tabla de propiedades de la Transformada Z

z ROC

Linealidad

Primera diferencia

Acumulaci´on

ax1[n] +bx2[n]

x[n−n0]

ejω0n_x_[_n_]

z₀nx[n]

anx[n]

x[−n]

x(k)[n] =

( x[r,

0,

n=rk n6=rk

x∗[n]

x1[n]∗x2[n]

x[n]−x[n−1]

Pn k=−∞x[k]

nx[n]

aX1(z) +bX2(z)

z−n0X(z)

X(e−jω0z)

X(z/z0)

X(a−1z)

X(z−1)

X(zk)

X∗(z∗)

X1(z)∗X2(z)

(1−z−1)X(z) 1 1−z−1X(z) −zdX(z)

dz

Al menosR1∩R2

est´a enR)

R

R2

R

(92)

Tabla de propiedades de la Transformada Z

z ROC

Linealidad

Conjugaci´on

Convoluci´on

Primera diferencia

Acumulaci´on

ax1[n] +bx2[n]

x[n−n0]

ejω0n_x_[_n_]

z₀nx[n]

anx[n]

x[−n]

x(k)[n] =

( x[r,

0,

n=rk n6=rk

x∗[n]

x1[n]∗x2[n]

x[n]−x[n−1]

Pn k=−∞x[k]

nx[n]

aX1(z) +bX2(z)

z−n0X(z)

X(e−jω0z)

X(z/z0)

X(a−1z)

X(z−1)

X(zk)

X∗(z∗)

X1(z)∗X2(z)

(1−z−1)X(z) 1 1−z−1X(z) −zdX(z)

dz

Al menosR1∩R2

est´a enR)

R

R2

(93)

Tabla de propiedades de la Transformada Z

z ROC

Linealidad

Primera diferencia

Acumulaci´on

ax1[n] +bx2[n]

x[n−n0]

ejω0n_x_[_n_]

z₀nx[n]

anx[n]

x[−n]

x(k)[n] =

( x[r,

0,

n=rk n6=rk

x∗[n]

x1[n]∗x2[n]

x[n]−x[n−1]

Pn k=−∞x[k]

nx[n]

aX1(z) +bX2(z)

z−n0X(z)

X(e−jω0z)

X(z/z0)

X(a−1z)

X(z−1)

X(zk)

X∗(z∗)

X1(z)∗X2(z)

(1−z−1)X(z) 1 1−z−1X(z) −zdX(z)

dz

Al menosR1∩R2

est´a enR)

R

R2

R

(94)

Tabla de propiedades de la Transformada Z

z ROC

Linealidad

Primera diferencia

Acumulaci´on

ax1[n] +bx2[n]

x[n−n0]

ejω0n_x_[_n_]

z₀nx[n]

anx[n]

x[−n]

x(k)[n] =

( x[r,

0,

n=rk n6=rk

x∗[n]

x1[n]∗x2[n]

x[n]−x[n−1]

Pn k=−∞x[k]

nx[n]

aX1(z) +bX2(z)

z−n0X(z)

X(e−jω0z)

X(z/z0)

X(a−1z)

X(z−1)

X(zk)

X∗(z∗)

X1(z)∗X2(z)

(1−z−1)X(z)

1 1−z−1X(z) −zdX(z)

dz

Al menosR1∩R2

est´a enR)

R

R2

(95)

Tabla de propiedades de la Transformada Z

z ROC

Linealidad

Primera diferencia

Acumulaci´on

ax1[n] +bx2[n]

x[n−n0]

ejω0n_x_[_n_]

z₀nx[n]

anx[n]

x[−n]

x(k)[n] =

( x[r,

0,

n=rk n6=rk

x∗[n]

x1[n]∗x2[n]

x[n]−x[n−1]

Pn k=−∞x[k]

nx[n]

aX1(z) +bX2(z)

z−n0X(z)

X(e−jω0z)

X(z/z0)

X(a−1z)

X(z−1)

X(zk)

X∗(z∗)

X1(z)∗X2(z)

(1−z−1)X(z) 1 1−z−1X(z)

−zdX(z) dz

Al menosR1∩R2

est´a enR)

R

R2

R

(96)

Tabla de propiedades de la Transformada Z

z ROC

Linealidad

Primera diferencia

Acumulaci´on

Diferenciaci´on en el dominio

ax1[n] +bx2[n]

x[n−n0]

ejω0n_x_[_n_]

z₀nx[n]

anx[n]

x[−n]

x(k)[n] =

( x[r,

0,

n=rk n6=rk

x∗[n]

x1[n]∗x2[n]

x[n]−x[n−1]

Pn k=−∞x[k]

nx[n]

aX1(z) +bX2(z)

z−n0X(z)

X(e−jω0z)

X(z/z0)

X(a−1z)

X(z−1)

X(zk)

X∗(z∗)

X1(z)∗X2(z)

(1−z−1)X(z) 1 1−z−1X(z)

dX(z)

Al menosR1∩R2

est´a enR)

R

R2

(97)

Algunos pares de Transformada

Z

δ[n]

u[n]

−u[−n−1]

δ[n−m]

an_u_[_n_]

−an_u_[_−n₋_1]

nan_u_[_n_]

−nan_u_[_−n₋_1]

[cosω0n]u[n]

1

1 1−z−1

z−m

1 1−az−1

az−1 (1−az−1₎2

1−[cosω0]z−1 1−[2 cosω0]z−1₊_z−2

Todaz

|z|>1

|z|<1

Para todazexcepto 0(sim>0) o

∞(sim<0)

|z|>|a| |z|<|a|

|z|>|a|

|z|<|a| |z|>1

(98)

Algunos pares de Transformada

Z

δ[n]

u[n]

−u[−n−1]

δ[n−m]

an_u_[_n_]

−an_u_[_−n₋_1]

nan_u_[_n_]

−nan_u_[_−n₋_1]

[cosω0n]u[n]

1 1 1−z−1

1 1−z−1

z−m

1 1−az−1

az−1 (1−az−1₎2

1−[cosω0]z−1 1−[2 cosω0]z−1₊_z−2

Todaz |z|>1

|z|<1

∞(sim<0)

|z|>|a| |z|<|a|

|z|>|a|

(99)

Algunos pares de Transformada

Z

δ[n]

u[n]

−u[−n−1]

δ[n−m]

an_u_[_n_]

−an_u_[_−n₋_1]

nan_u_[_n_]

−nan_u_[_−n₋_1]

[cosω0n]u[n]

1 1 1−z−1

1 1−z−1

z−m

1 1−az−1

az−1 (1−az−1₎2

1−[cosω0]z−1 1−[2 cosω0]z−1₊_z−2

Todaz |z|>1

|z|<1

∞(sim<0)

|z|>|a| |z|<|a|

|z|>|a|

|z|<|a| |z|>1

(100)

Algunos pares de Transformada

Z

δ[n]

u[n]

−u[−n−1]

δ[n−m]

an_u_[_n_]

−an_u_[_−n₋_1]

nan_u_[_n_]

−nan_u_[_−n₋_1]

[cosω0n]u[n]

1 1 1−z−1

1 1−z−1

z−m

1 1−az−1

az−1 (1−az−1₎2

1−[cosω0]z−1 1−[2 cosω0]z−1₊_z−2

Todaz |z|>1

|z|<1

∞(sim<0)

|z|>|a| |z|<|a|

|z|>|a|

(101)

Algunos pares de Transformada

Z

δ[n]

u[n]

−u[−n−1]

δ[n−m]

an_u_[_n_]

−an_u_[_−n₋_1]

nan_u_[_n_]

−nan_u_[_−n₋_1]

[cosω0n]u[n]

1 1 1−z−1

1 1−z−1

z−m

1 1−az−1

az−1 (1−az−1₎2

1−[cosω0]z−1 1−[2 cosω0]z−1₊_z−2

Todaz |z|>1

|z|<1

∞(sim<0)

|z|>|a|

|z|<|a|

|z|>|a|

|z|<|a| |z|>1

(102)

Algunos pares de Transformada

Z

δ[n]

u[n]

−u[−n−1]

δ[n−m]

an_u_[_n_]

−an_u_[_−n₋_1]

nan_u_[_n_]

−nan_u_[_−n₋_1]

[cosω0n]u[n]

1 1 1−z−1

1 1−z−1

z−m

1 1−az−1

az−1 (1−az−1₎2

1−[cosω0]z−1 1−[2 cosω0]z−1₊_z−2

Todaz |z|>1

|z|<1

∞(sim<0)

|z|>|a| |z|<|a|

|z|>|a|

(103)

Algunos pares de Transformada

Z

δ[n]

u[n]

−u[−n−1]

δ[n−m]

an_u_[_n_]

−an_u_[_−n₋_1]

nan_u_[_n_]

−nan_u_[_−n₋_1]

[cosω0n]u[n]

1 1 1−z−1

1 1−z−1

z−m

1 1−az−1

az−1 (1−az−1₎2

1−[cosω0]z−1 1−[2 cosω0]z−1₊_z−2

Todaz |z|>1

|z|<1

∞(sim<0)

|z|>|a| |z|<|a|

|z|>|a|

|z|<|a| |z|>1

(104)

Algunos pares de Transformada

Z

δ[n]

u[n]

−u[−n−1]

δ[n−m]

an_u_[_n_]

−an_u_[_−n₋_1]

nan_u_[_n_]

−nan_u_[_−n₋_1]

[cosω0n]u[n]

1 1 1−z−1

1 1−z−1

z−m

1 1−az−1

az−1 (1−az−1₎2

1−[cosω0]z−1 1−[2 cosω0]z−1₊_z−2

Todaz |z|>1

|z|<1

∞(sim<0)

|z|>|a| |z|<|a|

|z|>|a|

|z|<|a|

(105)

Algunos pares de Transformada

Z

δ[n]

u[n]

−u[−n−1]

δ[n−m]

an_u_[_n_]

−an_u_[_−n₋_1]

nan_u_[_n_]

−nan_u_[_−n₋_1]

[cosω0n]u[n]

1 1 1−z−1

1 1−z−1

z−m

1 1−az−1

az−1 (1−az−1₎2

1−[cosω0]z−1 1−[2 cosω0]z−1₊_z−2

Todaz |z|>1

|z|<1

∞(sim<0)

|z|>|a| |z|<|a|

|z|>|a|

|z|<|a| |z|>1

(106)

Algunos pares de Transformada

Z

[sinω0n]u[n]

[rn_cos_ω

0n]u[n]

[rn_sin_ω

0n]u[n]

[sinω0]z−1 1−[2 cosω0]z−1₊_z−2

1−[rcosω0]z−1 1−[2rcosω0]z−1₊_r2_z−2

1−[rcosω0]z−1

1−[2rcosω0]z−1₊_r2_z−2

|z|>1

|z|>r

(107)

Algunos pares de Transformada

Z

[sinω0n]u[n]

[rn_cos_ω

0n]u[n]

[rn_sin_ω

0n]u[n]

[sinω0]z−1 1−[2 cosω0]z−1₊_z−2

1−[rcosω0]z−1 1−[2rcosω0]z−1₊_r2_z−2

1−[rcosω0]z−1

1−[2rcosω0]z−1₊_r2_z−2

|z|>1

|z|>r

(108)

Algunos pares de Transformada

Z

[sinω0n]u[n]

[rn_cos_ω

0n]u[n]

[rn_sin_ω

0n]u[n]

[sinω0]z−1 1−[2 cosω0]z−1₊_z−2

1−[rcosω0]z−1 1−[2rcosω0]z−1₊_r2_z−2

1−[rcosω0]z−1

1−[2rcosω0]z−1₊_r2_z−2

|z|>1

|z|>r

(109)

An´

alisis y caracterizaci´

on de LTIs

usando la Transformada de Laplace

(110)

Causalidad

En un sistema causalh(t) = 0 para t <0, entonces h(t) abre a la

derecha.

La ROC de su transformada ser´a un semiplano derecho en el plano s.

La relaci´on inversa no siempre se cumple.

(111)

Causalidad

derecha.

Se cumple para sistemas con funciones de transferencia racionales.

(112)

Causalidad

derecha.

(113)

Causalidad

derecha.

Se cumple para sistemas con funciones de transferencia racionales.

(114)

Ejemplo

H(s) = e

s

s + 1,Re{s}>−1

La ROC de este sistema es un semiplano derecho

H(s)no es racional, la causalidad del sistema no se puede determinar

inmediatamente

Se debe calcularh(t)

h(t) =e−tu(t)↔L H(s) = 1

s + 1,Re{s}>−1

es indica un corrimiento en tiempo

h(t) =e−(t+1)u(t+ 1)