1
´Indice general
3
Cap´ıtulo 1TRANSFORMACIONES LINEALES
1.1 Definiciones preliminares 3
1.2 Matriz estandar de una transformaci ´on lineal 9
1.3 Existencia de Transformaciones lineales entre espacios de dimensi ´on finita 13 1.4 N ´ucleo e imagen de una transformaci ´on lineal 17
1.5 Clasificaci ´on de las transformaciones lineales 22 1.6 Matriz asociada a una transformaci ´on lineal 28 1.7 Composici ´on de transformaciones lineales 45
3
1
TRANSFORMACIONES LINEALES
En este cap´ıtulo vamos a estudiar un tipo particular de funciones entre dos espacios vectoriales. Estas fun-ciones tienen la particularidad que preservan, en el sentido que se definir´a m´as adelante, la estructura vectorial.
1.1. Definiciones preliminares
Definici ´on 1.1
SeanV yW dos espacios vectoriales. Una transformaci´on lineal entreV yW es una funci´on
T :V →W
satisfaciendo las siguientes condiciones:
T1. T(cv) =cT(v), para todo vectorv∈V y para todo escalarc∈R.
T2. T(u+v) =T(u) +T(v), para todo par de vectoresu,v∈V.
Ahora enunciaremos algunas propiedades de las transformaciones lineales.
Lema 1.1 Consideremos una transformaci´on linealT:V →W. Entonces se verifican las siguientes propie-dades
1. T(0) =0.
2. T(−v) =−T(v).
3. T(u−v) =T(u)−T(v).
4. T(c1v1+· · ·+cnvn) =c1T(v1) +· · ·+cnT(vn).
Demostraci´on. Ejercicio.
Las condiciones de la Definici´on 1.1 se pueden expresar en una sola condici´on, como se enuncia en el siguiente lema.
Lema 1.2 SeanV yW dos espacios vectoriales. Una funci´onT :V →W es una transformaci´on lineal si y s´olo si
T(αv+βu) =αT(v) +βT(u),
Cuando estamos trabajando sobre el mismo espacio, es decir cuandoV =W, la transformaci´on linealT : V →V se dice que es unoperador lineal o un endomorfismo.
Ahora daremos algunos ejemplos de transformaciones lineales.
Ejemplo 1.1
Consideremos la funci´on
T:R2→R2
definida por
T(x,y) = (2x+y,x+3y).
Comprobar queT es una transformaci´on lineal. HallarT(2,−1)y la preimagen de(4,−3).
Soluci´on
Podemos comprobar que T satisface las condiciones de la Definici´on 1.1, o, como en este ejemplo, podemos comprobar que se verifica la condici´on establecida en el Lema anterior. Consideremos los vectoresv1= (x1,y1)yv2= (x2,y2)y dos escalaresα,β∈R. Entonces
T(αv1+βv2) =T(α(x1,y1) +β(x2,y2))
=T((αx1,αy1) + (βx2,βy2))
=T((αx1+βx2,αy1+βy2))
= (2(αx1+βx2) +αy1+βy2,αx1+βx2+3(αy1+βy2))
= (2αx1+2βx2+αy1+βy2,αx1+βx2+3αy1+3βy2)
= (α(2x1+y1) +β(2x2+y2),α(x1+3y1) +β(x2+3y2))
= (α(2x1+y1),α(x1+3y1)) + (β(2x2+y2),β(x2+3y2))
=α(2x1+y1,x1+3y1) +β(2x2+y2,x2+3y2)
=αT(x1,y1) +βT(x2,y2).
Por lo tantoT es una transformaci´on lineal. Determinemos la imagen del vectorv= (2,−1).
T(2,−1) = (2−1,2+3(−1)) = (1,−1).
Ahora nos piden encontrar la preimagen del vectorw= (4,−3). Entonces debemos hallar el siguiente subconjunto deR2:
T−1(4,−3) =
(x,y)∈R2:T(v) = (4,−3) .
Entonces
(x,y)∈T−1(4,−3)⇔T(x,y) = (4,−3)
y en consecuencia
T(x,y) = (2x+y,x+3y) = (4,−3).
Igualando componentes obtenemos un sistema
2x+y = 4 x+3y = −3
Resolviendo obtenemosx=3 ey=−2. Por lo tanto
1.1 Definiciones preliminares 5
Las transformaciones lineales se pueden representar tambi´en por medio de vectores columnas. Por ejemplo la transformaci´on anterior se podr´ıa escribir como
T x y =
2x+y x+3y
.
Ejemplo 1.2
Se puede comprobar que funci´onT :R2→R3definida por
T x y =
3x−2y 4x+y −x+5y
es una transformaci´on lineal. Esta transformaci´on se puede escribir como
T(x,y) = (3x−2y,4x+y,−x+5y).
El hecho de escribir a los vectores como matrices tiene sus ventajas, que veremos m´as adelante.
Las transformaciones pueden ser definidas de muchas formas. Una de las formas m´as importantes son las transformaciones lineales entre espacios de dimensi´on finita definidas por matrices.
Ejemplo 1.3
Definimos una funci´onT :R2→R3como
T x y =A x y ,
dondeA=
3 −2
4 1
−1 5
.Comprobar que es una transformaci´on lineal. Hallar la imagen de los vectores
de la base can´onica deR2.
Soluci´on
En este caso tenemos una funci´on definida por el producto de una matriz 3×2 por una matriz 2×1. Es sencillo comprobar queT es una transformaci´on lineal utilizando las propiedades de producto de un escalar por una matriz y suma de matrices. En efecto. Sic∈R.
T c x y =T cx cy =
3 −2
4 1
−1 5
cx cy =
3 −2
4 1
−1 5
c x y =c
3 −2
4 1
−1 5
x y
=c T
x y
.
Queda como ejercicio comprobar que
T(v+w) =T(v) +T(w).
transformaci´on T x y =
3x−2y 4x+y −x+5y
.
Notemos que si nos hubiesen dado la transformaci´on lineal por la f´ormula anterior podr´ıamos obtener sencillamente la matrizAde la transformaci´on como
T x y =
3x−2y 4x+y −x+5y
=x
3 4 −1 +y
−2 1 5 =
3 −2
4 1
−1 5
x y .
Notemos adem´as que sie1=
1 0
ye2=
0 1
son los vectores de la base can´onica, entonces
T 1 0 = 3 4 −1 yT
0 1 = −2 1 5 .
y por lo tanto
A= (T(e1)T(e2)) =
3 −2
4 1
−1 5
.
Por este motivo la matrizAse la conoce comola matriz estandar de la transformaci´on.
En general cualquier matriz define una transformaci´on lineal, como se enuncia en el siguiente lema y cuya demostraci´on queda a cargo del lector.
Lema 1.3 SeaA∈Rm×n. Entonces la funci´on
TA:Rn→Rm
definida por
TA(~x) =A~x,
para cada~x∈Rn, es una transformaci´on lineal, llamada transformaci´on matricial.
Demostraci´on. Ejercicio.
En el lema anterior hemos dado por entendido que el vector~x∈Rnque aparece a la derecha de la identidad que define a la transformaci´on se expresa como un vector columnan×1.
Ejemplo 1.4
Analicemos geom´etricamente la transformaci´on lineal T : R2 → R2 definida por la matriz A =
1 −1
1 1
.
Notemos que la transformaci´on se puede escribir como
TA x y =
1 −1
1 1 x y =
x−y x+y
.
1.1 Definiciones preliminares 7
(0,1). Al aplicar la transformaci´on obtenemos
T
1 0
=
1 1
yT
0 1
=
−1 1
.
Por lo tanto el reciento delimitados por los vectorese1ye2ha rotado un ´angulo de π4
Ahora veremos que la proyecci´on sobre un subespacio deRndefine una transformaci´on lineal.
Ejemplo 1.5 Proyecci ´on de un vector sobre un plano
Consideremos un subespacioSfijo deRn. Definimos una funci´on
TS:Rn→Rn
por
TS(v) =proySv,
para cadav∈Rn. Entonces se puede probar queT
Ses una transformaci´on lineal. Recordemos que como Ses un subespacio de dimensi´on finita existe un conjunto ortogonal de vectores{u1,u2, . . . ,uk}tal que S=hu1,u2, . . . ,uki.Entonces
TS(v) =proySv=proyu1v+· · ·+proyukv.
Ejemplo 1.6 Coordenadas
Consideremos un espacioV de dimensi´onn. Consideremos una baseB={v1,v2, . . . ,vn}deV. Sabemos que todo vectorvdeVes combinaci´on de vectores de la base. Es decir, para cadav∈V, existen escalares
α1,α2, . . . ,αntales que
v=α1v1+α2v2+· · ·+αnvn= (v1v2. . .vn)
| {z }
MB
α1
α2 .. .
αn
| {z }
[v]B
=MB[v]B.
Entonces podemos definir una funci´on que a cada vector vdel espacioV le corresponde su vector de coordenadas[v]B∈Rn, que sabemos que es ´unico para cada base ordenada. Entonces definimos la funci´on
T :V →Rn
dada por
T(v) = [v]B.
Se puede probar queT es una transformaci´on lineal entreV y el espacio eucl´ıdeoRn. Es m´as, se puede
demostrar queT es una funci´on inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo 1.7
Consideremos la funci´on
f :R2→R2
definida por
f(x,y) = (x+a,y+b),
dondea,b∈R.Es inmediato comprobar que f es una funci´on pero no es una transformaci´on lineal pues
f(0,0) = (a,b)
y el par(a,b)es en general distinto de(0,0). Otra forma de probar es tomando, por ejemplo, los vectores v= (1,−2)yw= (3,0)y observando que
f((1,−2) + (3,0)) = f(4,−2) = (4+a,−2+b)
y
f(1,−2) +f(3,0) = (1+a,−2+b) + (3+a,0+b) = (4+2a,−2+2b)
Por lo tanto
f((1,−2) + (3,0))6= f(1,−2) +f(3,0).
Sea f:A→Buna funci´on entre dos conjuntos.
El dominio de f es el conjuntoAy la imagen o rango de f es el conjunto
Imgf={y∈B:∃x∈Atal que f(x) =y}.
Recordemos que laimagen de un subconjunto XdeApor medio de f es el siguiente subconjunto deB
f(X) ={f(x):x∈X}.
Laimagen inversade un subconjuntoY deBes el subconjunto deXdefinido como
f−1(Y) ={x∈A: f(x)∈Y}.
Ahora vemos algunas propiedades importantes de las transformaciones lineales.
Lema 1.4 SeanV yW dos espacios vectoriales. SeaT :V→Wuna transformaci´on lineal.
1. SiSes un subespacio deV, entoncesT(S)es un subespacio deW.
2. SiHes un subespacio deW, entoncesT−1(H)es un subespacio deV.
3. Si S = hv1, . . . ,vni es un subespacio de V generado por v1, . . . ,vn, entonces T(hv1, . . . ,vni) = hT(v1), . . . ,T(vn)i.
4. Si{v1, . . . ,vn}es un conjunto de generadores deV, entonces{T(v1), . . . ,T(vn)}es un conjunto de generadores de la imagen deT.
5. Si{T(v1), . . . ,T(vn)}es un conjunto linealmente independiente, entonces{v1, . . . ,vn}es un conjunto linealmente independiente.
1.2 Matriz estandar de una transformaci´on lineal 9
Ejemplo 1.8
Consideremos la transformaci´on lineal
T:R3→R2
definida por
T(x,y,z) = (x−z,y−z).
Determinar la imagen de los siguientes subconjuntos deR3
S1=
(x,y,z)∈R3:(x,y,z) =
α(5,3,2)
y
S2={(x,y,0)∈R:x,y∈R}.
Hallar la preimagen de
H=(x,y)∈R2:x+3y=0 .
Soluci´on
El conjuntoS1es una recta enR3que tiene como vector director al vectorv= (5,3,2). Entonces
T(S1) ={T(x,y,z):(x,y,z)∈S1}
={T(α(5,3,2)) =αT(5,3,2) =α(3,1)}
=(x,y)∈R2:(x,y) =α(3,1) .
Luego la imagen deS1es una recta del plano que pasa por el origen y tiene como vector director a(3,1). El conjuntoS2es el planoxyenR3. Entonces
T(S2) ={T(x,y,z):(x,y,z)∈S2}
={T(x,y,0) = (x,y)}=R×R.
Ahora determinemos la preimagen deH=
(x,y)∈R2:x+3y=0 . Entonces
(x,y,z) ∈T−1(H) ⇔ T(x,y,z)∈H ⇔ (x−z,y−z)∈H ⇔ x−z+3(y−z) =0 ⇔ x+3y−4z=0.
Por lo tanto
T−1(H) =(x,y,z)∈R3:x+3y−4z=0 .
1.2. Matriz estandar de una transformaci ´on lineal
En el ejemplo1.1hemos visto una transformaci´on que se puede definir por medio de una matriz. Represen-tar o definir una transformaci´on lineal entre espacios de dimensi´on finita por medio de matrices tiene muchas ventajas. En primer lugar una transformaci´on lineal definida a partir de una matriz es m´as sencilla de leer, escri-bir y de manipular. Adem´as podemos hacer uso de toda la teor´ıa de matrices para resolver problemas referidos a transformaciones lineales. Ahora veremos que cualquier transformaci´on lineal entre espacios de dimensi´on finita puede ser definida o representada por medio de una matriz.
Teorema 1.1 Matriz estandar de una transformaci ´on lineal
SeaT :Rn→Rmuna transformaci´on lineal. Consideremos los transformados de los vectores de la base
can´onica deRn:
T(e1) =
a11 a21 .. . am1
, . . . ,T(en) =
a1n a2n .. . amn .
Entonces la matriz , llamada matriz estandar deT,
A= [T] = (T(e1)T(e2). . .T(en)) =
a11 a21. . . a1n a21 a22. . . a2n
..
. ...
am1 am1. . . amn
es tal que
T(~x) =A~x,
para cualquier~x∈Rn.
La matrizAconstruida en el Teorema anterior se ha definido respecto a las bases can´onica. Pero es posible trabajar con otras bases y en consecuencia la matriz asociada no ser´a igual a la matriz obtenida a partir de la base can´onica. Esto ser´a estudiado m´as adelante.
Ejemplo 1.1
Determinar las matrices estandar de las siguientes transformaciones lineales:
1. T :R3→R2
T(x,y,z) = (x−3y+4z,2x−5z).
2. F:R3→R4
F(x,y,z) = (x+3y,y−3z,x−y+2z,3x−4z).
Soluci´on
1. Para determinar la matriz estandar podemos calcular la imagen de los vectores de la base can´onica de
R3. Otra forma de obtener la matriz estandar es escribir la transformaci´on como vectores columna y de
ah´ı determinar la matriz
T x y z =
x−3y+4z 2x−5z
=x 1 2 +y −3 0 +z 4 −5 =
1 −3 4
2 0 −5
x y z . Luego
[T] =A=
1 −3 4
2 0 −5
es la matriz estandar deT.
Calculamos la imagen de los vectores de la base can´onica deR3
1.2 Matriz estandar de una transformaci´on lineal 11
Luego
A= (T(e1)T(e2)T(e3)) =
1 −3 4
2 0 −5
.
Otra manera de hallar la matriz de transformaci´on es escribir la transformaci´on como
T(x,y,z) = (x−3y+4z,2x−5z).
=x(1,2) +y(−3,0) +z(4,−5).
La matrizAse obtiene escribiendo como vectores columna los vectores(1,2),(−3,0)y(4,−5),es decir
A=
1 −3 4
2 0 −5
.
2. Procediendo como en el ejemplo anterior tenemos
F x y z =
x+3y y−3z x−y+2z
3x−4z
=
1 3 0
0 1 −3
1 −1 2
3 0 −4
x y z . Entonces B=
1 3 0
0 1 −3
1 −1 2
3 0 −4
es la matriz estandar deF.
Ejemplo 1.2 Reflexiones respecto de un eje
Definamos una funci´on que env´ıe a cada punto(x,y)del planoR2 a su sim´etrico (x,−y) respecto del
ejex. Este tipo de funciones tambi´en se las conoce comoreflexionesrespecto a una recta. En este caso tenemos la reflexi´on respecto del ejexy la funci´onT :R2→R2se define por medio de la f´ormula
T x y = x −y .
Se podr´ıa comprobar que es una transformaci´on lineal utilizando la definici´on, pero tambi´en podemos observar que es una transformaci´on proviene de una matriz. es una transformaci´on matricial. En forma m´as directa podemos observar que esta funci´on est´a definida a partir de una matriz:
x −y =x 1 0 +y 0 −1 = 1 0
0 −1
| {z }
[T]
x y
.
Por lo tanto,
T x y = 1 0
0 −1 x y
.
Entonces por el Lema1.1,T es una transformaci´on lineal.
Podemos considerar tambi´en la reflexi´on respecto al eje y. En este caso cada punto (x,y) serefleja a trav´es del ejeyen el punto(−x,y).En este caso la transformaci´on queda definida por
T x y = −x y =x −1 0 +y 0 1 =
−1 0
0 1
x y
Veamos otro importante ejemplo que se obtiene al rotar un punto del plano cierto ´anguloθ.
Ejemplo 1.3 Transformaci ´on de Rotaci ´on
Consideremos un vectorv= (x,y)en el planoR2y que lo rotamos un ´anguloθen el sentido contrario a
de las agujas del reloj. Al rotar el vectorva la nueva posici´on produce un nuevo vector de componentes v0= (x0,y0). Entonces podemos definir una funci´on
T:R2→R2
por T x y = x0 y0 .
Siαes el ´angulo que forma el vectorvcon el ejex, entoncesα+θes el ´angulo que forma el vectorv0
con el ejex. Entonces sir=kvktenemos que
x = rcosα
y = rsenα
x0 = rcos(α+θ)
y 0= rsen(α+θ)
y teniendo en cuenta las f´ormulas trigonom´etricas
rcos(α+θ) = rcosθcosα−rsenθsenα
rsen(α+θ) = rsenθcosα+rcosθsenα
obtenemos las coordenadas del vectorv0en funci´on del ´anguloθy el m´odulorcomo
x0 = rcos(α+θ) = rcosα
| {z }
x
cosθ−rsenα
| {z }
y
senθ = xcosθ−ysenθ
y 0= rsen(α+θ) = rsenα
| {z }
y
cosθ+rcosα
| {z }
x
senθ = ycosθ+xsenθ
Por lo tanto latransformaci´on de rotaci´onse define por la siguiente f´ormula
Tθ x y =
xcosθ−ysenθ
ycosθ+xsenθ
=
cosθ −senθ
senθ cosθ
x y
.
Por ejemplo, determinar el vector que rota un ´angulo π
2. Aplicando la f´ormula anterior obtenemos
T x y = cosπ
2 −sen
π 2 senπ 2 cos π 2 x y =
0 −1
1 0 x y = −y x .
Notemos que la matriz estandar de la transformaci´on es
Aθ=
cosθ −senθ
senθ cosθ
.
1.3 Existencia de Transformaciones lineales entre espacios de dimensi´on finita 13
1.3. Existencia de Transformaciones lineales entre espacios de dimensi ´on finita
En el ejemplo ?? observamos que es posible conocer la imagen de todo vector de un espacio vectorial de dimensi´on finita por medio de una transformaci´on lineal cuando conocemos las imagenes de una base. Supongamos ahora que tenemos dos espacios vectoriales de dimensi´on finitaV yW y conocemos una base B={v1, . . . ,vn}deV y un conjunto{w1, . . . ,wn}de vectores deW (no necesariamente una base). La pregunta que nos hacemos es la siguiente
¿Existir´a una transformaci´on linealT :V →W tal queT(vi) =wi?
Siv∈V, comoBes base, existen escalaresc1, . . . ,cntales que
v=c1v1+· · ·+cnvn.
Luego
T(v) =T(c1v1+· · ·+cnvn)
y al serT es una transformaci´on lineal, tenemos que
T(v) =c1T(v1) +· · ·+cnT(vn).
En otras palabras, es suficiente definir una transformaci´on lineal sobre alguna base del espacio vectorial para conocer el valor de la transformaci´on lineal sobre cualquier vector. Esto lo precisamos en el siguiente resultado.
Teorema 1.2 Existencia y unicidad de las transformaciones lineales
Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensi´on finita. Sea B= {v1, . . . ,vn} una base de V y {w1, . . . ,wn}un conjunto de vectores deW. Entonces existe una ´unica transformaci´on linealT :V →W tal que
T(vi) =wi
para cada 1≤i≤n.
Demostraci´on. Damos la demostraci´on ya que nos da una forma de construir la transformaci´on que puede ser replicada en los ejercicios.
Consideremos un vector gen´erico v∈V. Debemos determinar una forma para calcular T(~x). ComoB=
{v1, . . . ,vn}es una base deV, entonces existen escalaresc1, . . . ,cntales que
v=c1v1+· · ·+cnvn.
Definimos una funci´onT :V →W como
T(v)def=c1w1+· · ·+cnwn.
Ahora debemos comprobar que es una transformaci´on lineal. Lo dejamos como ejercicio para el lector. Finalmente debemos comprobar que es ´unica. Supongamos que tenemos otra transformaci´on linealL:V → W tal queL(vi) =wi, para cada 1≤i≤n. Veamos queT(v) =L(v) para cualquier vectorv∈V. En efecto, comoBuna base deV, existen escalaresc1, . . . ,cntales quev=c1v1+· · ·+cnvn. Entonces
T(v) =T(c1v1+· · ·+cnvn) =
=c1T(v1) +· · ·+cnT(vn)
=c1w1+· · ·+cnwn
=c1L(v1) +· · ·+cnL(vn)
=L(v).
Por lo tantoT =L. Con esto hemos conclu´ıdo que la transformaci´on lineal es ´unica.
Ejemplo 1.1
Estudiar si es posible definir una transformaci´on linealT :R2→R2tal que
T(0,1) = (2,3)
T(2,1) = (−1,1).
Soluci´on
ComoB={(0,1),(2,1)}es una base deR2, entonces por el Teorema1.3existe una ´unica transformaci´on
T cumpliendo las condiciones indicadas. Veamos como determinar su expresi´on anal´ıtica.
Lo primero que debemos hacer es hallar las coordenadas[v]B= (α,β)tde un vector gen´ericov= (x,y)∈
R2en la baseB. Es decir, dadovdebemos encontrarαyβ∈Rtales que
(x,y) =α(0,1) +β(2,1).
Luego
x=2β
y=α+β.
Resolviendo obtenemos queα=y−x2yβ=2x. Entonces
(x,y) =y−x 2
| {z }
α
(0,1) +x
2
| {z }
β
(2,1).
Ahora aplicamos la transformaci´on lineal a la expresi´on anterior
T(x,y) =T(α(0,1) +β(2,1))
=αT(0,1) +βT(2,1)
=y−x
2
(2,3) +x
2
(−1,1)
=
2y−x−x 2,3y−
3 2x+x
=
2y−3 2x,3y−
1 2x
.
Por lo tanto la expresi´on anal´ıtica deT es
T(x,y) =
2y−3 2x,3y−
1 2x
.
Si queremos podemos obtener la matriz estandar deT. Como
2y−3 2x,3y−
1 2x
=x
−3 2,−
1 2
+y(2,3),
entonces
[T] =
−3
2 2
−1
2 3
1.3 Existencia de Transformaciones lineales entre espacios de dimensi´on finita 15
Ejemplo 1.2
Consideremos el espacio eucl´ıdeoR3. Sea
B={(1,1,1),(0,−1,1),(0,0,−1)}
un conjunto de vectores deR3. Determinar si existe una transformaci´on linealT :R3→R3tal que
T(1,1,1) = (2,1,2)
T(0,−1,1) = (1,−2,1)
T(0,0,−1) = (−1,0,2)
Encontrar su expresi´on anal´ıtica.
Soluci´on
Para ver si es posible determinar una transformaci´on lineal que satisfaga las condiciones pedidas debe-mos comprobar si se cumplen las condiciones del Teorema1.3. Para poder aplicar este teorema debemos asegurar es que el conjunto de vectores B={(1,1,1),(0,−1,1),(0,0,−1)} sea linealmente indepen-diente, algo que es sencillo de comprobar. Por lo tanto estamos en condiciones de asegurar que existir´a la transformaci´on lineal con las condiciones exigidas. El procedimiento general es m´as o menos el mismo en este tipo de ejercicios.
Primero vamos a determinar como son las coordenadas de un vector gen´erico(x,y,z)∈R3en la baseB. Es decir, debemos buscar escalaresc1,c2,c3∈R, las coordenadas de(x,y,z)en la baseB, tal que
(x,y,z) =c1v1+c2v2+c3v3.
Cuando tengamos determinados estos escalares, aplicaremos la transformaci´on linealT a la expresi´on anterior y obtendremos
T(x,y,z) =c1T(v1) +c2T(v2) +c3T(v3).
Como ya conocemosT(v1),T(v2)yT(v3)solo necesitamos encontrar los valoresc1,c2yc3para tener la expresi´on anal´ıtica deT.
En este caso
(x,y,z) =c1v1+c2v2+c3v3.
=c1(1,1,1) +c2(0,−1,1) +c3(0,0,−1)
= (c1,c1−c2,c1+c2−c3).
Es decir
c1 =x c1−c2 =y c1+c2−c3 =z
Luego debemos escalonar la matriz ampliada
1 0 0 x
1 −1 0 y
1 1 −1 z
→
1 0 0 x
0 1 0 x−y
0 0 1 2x−y−z
Por lo tanto las coordenadas de cualquier vector(x,y,z)∈R3en la baseBson
[(x,y,z)]B=
x x−y 2x−y−z
Entonces
(x,y,z) =c1(1,1,1) +c2(0,−1,1) +c3(0,0,−1)
=x(1,1,1) + (x−y) (0,−1,1) + (2x−y−z) (0,0,−1)
AplicandoT obtenemos
T(x,y,z) =x T(1,1,1) + (x−y)T(0,−1,1) + (2x−y−z)T(0,0,−1)
=x(2,1,2) + (x−y) (1,−2,1) + (2x−y−z) (−1,0,2)
= (2x+x−y−2x+y+z,x−2x+2y,2x+x−y+4x−2y−2z)
= (x+z,−x+2y,7x−3y−2z).
Por lo tanto la expresi´on anal´ıtica de la transformaci´on esta dada por
T(x,y,z) = (x+z,−x+2y,7x−3y−2z).
Si queremos comprobar que la expresi´on encontrada es correcta sustitu´ımos los elementos de la baseB y chequeamos que se transforman en los vectores del enunciado:
T(1,1,1) = (2,1,2)
T(0,−1,1) = (1,−2,1)
T(0,0,−1) = (−1,0,2)
Ejemplo 1.3
Queremos definir una transformaci´on lineal que tranforme el tri´angulo de v´ertices(0,0),(0,1)y(1,1)
en el tri´angulo de v´ertices(0,0),(1,1), y(0,1)
Como antes, para definir adecuadamente una transformaci´on lineal que cumpla con los requisitos pedidos debemos tomar vectores que formen una base enR2y transformarlos adecuadamente en vectores enR2.
Por ejemplo, podemos tomar
v1= (1,0) −→ u1= (1,1)
v2= (1,1) u2= (0,1)
Claramente el conjuntoB={v1,v2}forma una base de R2. Por lo tanto, seg´un el Teorema 1.3,
exis-te una ´unica transformaci´on lineal T :R2 →R2 tal que T(v1) =u1 y T(v2) =u2. Determinemos tal tranformaci´on.
(x,y) =α(1,0) +β(1,1).
Entonces
α=x−yyβ=y.
Luego
T(x,y) =T(α(1,0) +β(1,1))
=αT(1,0) +βT(1,1)
= (x−y) (1,1) +y(0,1)
= (x−y,x).
Luego la transformaci´on buscada es
1.4 N´ucleo e imagen de una transformaci´on lineal 17
1.4. N ´ucleo e imagen de una transformaci ´on lineal
Definici ´on 1.1
SeanV yW dos espacios vectoriales. SeaT:V →Wuna transformaci´on lineal. Eln´ucleo, o kernel, deT es el siguiente subconjunto deV:
NucT =n~x∈V :T(~x) =~0
o
.
LaimagendeT es el siguiente subconjunto deW:
ImgT={~y∈W:∃~x∈Vtal queT(~x) =~y}.
Teorema 1.3
SeanV yW dos espacios vectoriales. SeaT:V →Wuna transformaci´on lineal.
1. El n´ucleo deT es un subespacio deV.
2. La imagen deT es un subespacio deW.
Ejemplo 1.1
Consideremos la transformaci´on lineal
f :R2→R2
definida por f(x,y) = (x−y,x+2y).Estudiar si(1,−1)∈Nucf, y(1,4)∈ImgT. Determinar Nucf.
Soluci´on
Notemos que(1,−1)∈Nucfsi y s´olo si f(1,−1) = (0,0). Pero f(1,−1) = (2,−1)6= (0,0). Por lo tanto
(1,−1)∈/Nucf . Notemos que
(x,y)∈Nucf sii f(x,y) = (0,0) sii (x−y,x+2y) = (0,0)
sii
(
x−y =0
x+2y =0
Por lo tanto, para determinar los vectores que est´an en el n´ucleo debemos resolver este sistema ho-mog´eneo. De la primera ecuaci´on tenemos quex=y. Reemplazando en la segunda obtenemosx+2x=0 , es decirx=y=0. Luego el sistema anterior tiene como ´unica soluci´on el vector(0,0).Entonces
Nucf={(0,0)}.
Por otra parte,
(1,4)∈ImgT ⇔ ∃(x,y)∈R2:f(x,y) = (1,4) ⇔ ∃(x,y)∈R2:(x−y,x+2y) = (1,4)
⇔ el sistema (∗∗)
(
x−y =1
x+2y =4 tiene soluci´on.
Entonces analizamos si el sistema (∗∗) tiene soluci´on. De la primera ecuaci´on obtenemos y=x−1. Entonces reemplazando en la segunda ecuaci´on obtenemosx+2(x−1) =x+2x−2=4. Luego 3x=6, es decirx=2 y por lo tantoy=1. Luego el sistema(∗∗)tiene como soluci´onx=2 ey=1. Por lo tanto
N SeaA∈Rm×ny consideremos la transformaci´on lineal
TA:Rn→Rm
definida por
TA(~x) =A~x.
Observemos que
NucTA=n~x∈V:TA(~x) =~0
o
=
n
~x∈V:A~x=~0
o
=N(A).
Es decir, el n´ucleo deTA es elespacio nulode la matriz asociada a la transformaci´onTA:
NucTA=N(A).
Como consecuencia de este hecho tenemos que
dimNucTA=dimN(A).
De igual forma
ImgT={~y∈W:∃~x∈Vtal queTA(~x) =~y}
={~y∈W:∃~x∈Vtal queA~x=~y}
=Co(A).
Por lo tanto la imagen deTAes elespacio columnade la matriz asociada a la transformaci´onTA:
ImgT=Co(A).
Notemos que de esta igualdad obtenemos que
dimImgT =dimCo(A) =rg(A).
Las anteriores consideraciones anteriores son v´alidas para la matriz estandar de cualquier transforma-ci´on linealT :Rn→Rm. Es decir,
NucT=N([T])e ImgT =Co([T]).
Ejemplo 1.2
Recordemos que en el Ejemplo1.1definimos la transformaci´on proyecci´on en la direcci´on de un subes-pacio Sde Rn como la funci´onTS:Rn→Rn definida porTS(v) =proySvpara cada v∈Rn. Se puede probar que
ImgTS=Sy NucTS=S⊥.
1.4 N´ucleo e imagen de una transformaci´on lineal 19
Teorema 1.4 Teorema de las dimensi ´on
SeaT :V →W una transformaci´on lineal entre los espacios vectoriales de dimensi´on finitaV yW. Si la dimensi´on deV es finita, entonces
dimV =dimNucT+dimImgT.
Ejemplo 1.1
Consideremos la transformaci´on linealT:R3→R3definida por
T(x,y,z) = (x+2y−z,x+y−3z,3x+4y−7z).
Determinar los subespacios NucT, ImgT, sus dimensiones y una base para cada subespacio. Hallar un sistema de ecuaciones del subespacio ImgT.
Soluci´on
Primero determinamos el n´ucleo deT. Sea(x,y,z)∈R3. Entonces
(x,y,z)∈NucT ⇔ T(x,y,z) = (0,0,0)
⇔ (x+2y−z,x+y−3z,3x+4y−7z) = (0,0,0)
Entonces nos queda el siguiente sistema homog´eneo
x+2y−z=0 x+y−3z=0 3x+4y−7z=0
Consideramos la matriz asociada a este sistema (que es la misma que la matriz estandar de la transfor-maci´on)
A=
1 2 −1
1 1 −3
3 4 −7
.
Escalonamos la matrizA:
1 2 −1
1 1 −3
3 4 −7
→
1 2 −1
0 −1 −2
0 2 −4
→
1 2 −1
0 −1 −2
0 0 0
Por lo tanto obtenemos el sistema equivalente
x+2y−z=0 −y−2z=0
Luego
x=5z y=−2z
Por lo tanto un vector gen´erico del n´ucleo deber´ıa tener la forma
(x,y,z) = (5z,−2z,z) =z(5,−2,1).
Luego el n´ucleo es el subespacio
Claramente la dimensi´on es 1. Notemos que el n´ucleo es lo mismo que el subespacio N(A).
La imagen la podemos obtener aplicando propiedades sobre la expresi´on que define la transformaci´on lineal. Es decir,
T(x,y,z) = (x+2y−z,x+y−3z,3x+4y−7z) = x(1,1,3) +y(2,1,4) +z(−1,−3,−7).
Como vimos en la matriz escalonada de la matrizA, los vectores columna(1,1,3)y(2,1,4)son lineal-mente independientes y por lo tanto forman una base de la imagen. Entonces la imagen es el subespacio
ImgT=(x,y,z)∈R3:(x,y,z) =α(1,1,3) +β(2,1,4) =Co(A).
Luego
ImgT=Co(A) =h(1,1,3),(2,1,4)i.
Hallemos un sistema de ecuaciones que defina a la imagen. Para ello escalonamos la matriz ampliada
1 2 a
1 1 b
3 4 c
→
1 2 a
0 1 a−b
0 −2 c−3a
→
1 2 a
0 1 a−b
0 0 2a−2b+c−3a
Entonces−a−2b+c=0. Cambiamos a la notaci´on m´as usual obtenemos que la imagen es el plano
ImgT =(x,y,z)∈R3:−x−2y+z=0 .
Podemos comprobar el Teorema de la dimensi´on
dimNucT+dimImgT =1+2=3=dimR3.
El problema de encontrar una base para NucT siempre se reduce a encontrar una base para el espacio soluci´on de un sistema homog´eneo o lo que es igual es llo mismo que determinar el subespacio nulo de la matriz estandar asociada a la transformaci´on. Para la ImgT, podemos obtener una base teniendo en cuenta que los vectores de la imagen deben ser combinaci´on lineal de los vectores columna de la matriz estandar asociada. Otra forma se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.2
Consideremos la transformaci´on lineal
T:R4→R3
definida por
T(x,y,z,w) = (x+y,z+w,x+z).
Determinar una base de ImgT y de NucT.
Soluci´on
Como
T(x,y,z,w) =x(1,0,1) +y(1,0,0) +z(0,1,1) +w(0,1,0),
entonces el conjunto de vectores
H={(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0)}
genera al subespacio ImgT. Pero no es una base, pues el espacio tiene dimensi´on 3. Para hallar los vectores linealmente independientes escribimos los vectores deH como la siguiente combinaci´on lineal
1.4 N´ucleo e imagen de una transformaci´on lineal 21
Esto produce un sistema, cuya matriz aumentada reducida queda
1 0 0 −1 ... 0
0 1 0 1 ... 0
0 0 1 1 ... 0
Como los unos que est´an como pivotes aparecen en las columnas 1, 2 y 3, concluimos que los primeros tres vectores deHforman una base para ImgT. Entonces
B={(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1)}
es una base para ImgT.
En forma alternativa, podemos proceder formar la matriz cuyas filas son los vectores dados
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
Al transformar esta matriz a su forma escalonada reducida por filas, obtenemos
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
Por lo tanto,(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1)es una base de la imagen deT.
Ejemplo 1.3
Encuentre una transformaci´on linealT :R3→R3tal que NucT =Sy ImgT =W, donde
S=
x+y−z = 0
2x+z = 0 yW=h(2,−1,0),(0,1,−2)i.
Soluci´on
De acuerdo al Teorema1.3, debemos determinar una baseB={v1,v2,v3}deR3y un conjunto de
vec-tores deR3que nos permitan definir la transformaci´on lineal con las condiciones dadas. Lo primero que
debemos hacer es hallar una base del subespacioS. Este subespacio est´a definida por dos ecuaciones. De la segunda ecuaci´on obtenemosz=−2x. Sustituyendo en la primera,x+y+2x=0. Entoncesy=−3x. Por lo tanto
(x,y,z) = (x,−3x,−2x) =x(1,−3,−2).
Luego
S=h(1,−3,−2)i.
El vector(1,−3,−2)debe pertenecer a la baseB. Entoncesv1= (1,−3,−2)∈B. Luego ya sabemos que debemos definirT tal que
T(1,−3,−2) = (0,0,0),
entonces B={(1,−3,−2),(1,0,0),(0,1,0)}es una base deR3. Ahora debemos seleccionar vectores
apropiados para definir la transformaci´on
T(1,−3,−2) = (0,0,0)
T(1,0,0) = (2,−1,0)
T(0,1,0) = (0,1,−2).
Ahora podemos construir la expresi´on anal´ıtica de la transformaci´on lineal. Sea(x,y,z)un vector deR3.
Entonces
(x,y,z) =α(1,−3,−2) +β(1,0,0) +δ(0,1,0)
= (α+β,−3α+δ,−2α)
Luego,
x =α+β
y =−3α+δ
z =−2α
Como y=−3α+δ y α=−z2, entonces δ=y+3α=y−3
2z. Finalmente, de x=α+β, obtenemos β=x−α=x+z2. Por lo tanto
(x,y,z) =−z 2
(1,−3,−2) +x+z
2
(1,0,0) +
y−3 2z
(0,1,0)
Entonces
T(x,y,z) =−z 2
T(1,−3,−2) +x+z
2
T(1,0,0) +
y−3 2z
T(0,1,0)
=−z
2
(0,0,0) +x+z
2
(2,−1,0) +
y−3 2z
(0,1,−2)
= (2x+z,−x−2z+y,−2y+3z).
Por lo tanto la transformaci´on lineal queda definida por
T(x,y,z) = (2x+z,−x−2z+y,−2y+3z).
1.5. Clasificaci ´on de las transformaciones lineales
Recordemos que una funci´on
f :A→B
esinyectivaouno-uno, si cumple la siguiente condici´on:
Para todoa1,a2∈A, si f(a1) = f(a2), entoncesa1=a2.
Diremos que f es sobreyectiva si para cadab∈Bexiste una∈Atal que f(a) =b. En este caso la imagen de f coincide con todo el conjuntoB, es decir, Imgf=B.
1.5 Clasificaci´on de las transformaciones lineales 23
Definici ´on 1.1
SeaT :V →W una transformaci´on lineal.
1. T es unmonomorfismosiT es inyectiva: es decir si se cumple
T(x) =T(y)entoncesx=y,
para todox,y∈V.
2. T es unepimorfismosiT es sobreyectiva, es decir si se cumple
Para caday∈W existex∈V tal queT(x) =y.
Esto es equivalente a decir que
ImgT=W.
3. T es unisomorfismosiT es biyectiva, es decir, siT es monomorfismo y epimorfismo.
4. T es unendomorfismocuandoV =W.
5. T es unautomorfismosi es un endomorfismo biyectivo.
SiT :V →W es un isomorfismo, entonces diremos queV yW son isomorfos. Escribiremos
V∼=W
cuando existe un isomorfismo entreV yW. Notemos que si existe un isomorfismoT :V→W, entonces existe la funci´on inversaT−1:W→V que se puede probar que es un isomorfismo.
Teorema 1.5
SeaT :V →W una transformaci´on lineal. Entonces
T es un monomorfismo sii NucT =
n
~0o.
Ahora damos una caracterizaci´on de las transformaciones lineales sobreyectivos, es decir, de los epimorfis-mos.
Teorema 1.6
Una transformaci´on lineal T :V →W es sobreyectiva si, y s´olo si cualquier conjunto de vectores que genera aV se transforma medianteT en un conjunto de generadores deW.
Ejemplo 1.1
Determinar si transformaci´on linealT:R2→R2definida por
T(x,y) = (2x−y,x+y)
es un monomorfismo y un epimorfismo.
Soluci´on
De acuerdo con el Teorema1.5debemosT ser´a un monomorfismo cuando NucT ={(0,0)}.Entonces
sii
(2x−y,x+y) = (0,0)
sii
2x−y=0
x+y=0
resolviendo este sistema obtenemos que la ´unica soluci´on esx=0 yy=0.Por lo tanto NucT ={(0,0)} y en consecuenciaT es un monomorfismo.
Para analizar si es un epimorfismo podemos tomar una base del dominio, es decir deR2y ver si se
con-vierte en una base del codominio, es decir deR2. Si esto ocurre, entonces por el Teorema 1.6 podremos
asegurar queT es un epimorfismo.
Consideremos entonces la base can´onicaE={(1,0),(0,1)}deR2. Luego
T(1,0) = (2,1)
T(0,1) = (−1,1).
Es sencillo comprobar que el conjuntoB0={(2,1),(−1,1)}es linealmente independiente, entonces es una base deR2. Por lo tanto{T(1,0),T(0,1)}genera aR3y en consecuenciaT es un epimorfismo.
Otra forma de probar que es un epimorfismo es la siguiente. La base de la imagen se puede determinar directamente a partir de la expresi´on deT
T(x,y) = (2x−y,x+y) =x(2,−1) +y(−1,1).
Entonces todo vector de la imagen es combinaci´on lineal de los vectores(2,1) y(−1,1). LuegoB0 es una base deR2y por lo tantoT es un epimorfismo.
Teorema 1.7
SeaT :V →W una transformaci´on lineal entre dos espacios vectoriales. Entonces
dimV =dim(NucT) +dim(ImgT)
.
Ahora veremos un importante resultado que habla sobre los isomorfismos entre espacios de dimensi´on finita. Sabemos que toda transformaci´on linealT :Rn→Rmes de la forma T =TA para alguna matrizAde tama˜nom×n. JustamenteAes la matriz estandar. En el pr´oximo teorema especificamos cuando estas clases de transformacione lineales son monomorfismos y epimorfismos.
Teorema 1.8
SeaT :Rn→Rmuna transformaci´on lineal definida porT(~x) =A~x.Entonces
1. T es epimorfismo sii Co(A) =Rmsii rg(A) =m.
2. T es un monomorfismo sii rg(A) =n.
Ejemplo 1.1
Estudiar si transformaci´on linealT :R2→R3definida porT(x,y) = (x−y,2x,x+y)es epimorfismo y
1.5 Clasificaci´on de las transformaciones lineales 25
Soluci´on
Primero hallamos la transformaci´on estandar deT
T(x,y) = (x−y,2x,x+y) =x(1,2,1) +y(−1,0,1)
.
Entonces
A= [T] =
1 −1
2 0
1 1
.
Entonces es inmediato comprobar que los dos vectores columna son linealmente independientes. Por lo tanto dimCo(A) =2<3=dimR3. Entonces no puede ser un epimorfismo.
Tambi´en podr´ıamos razonar encontrando un vectorv∈R3tal quev∈/ImgT. Por ejemplo, el(0,2,0)no est´a en la imagen deT, pues en caso contrario deber´ıa ocurrir que(0,2,0) = (x−y,2x,x+y)para alg´un x,y∈R.Pero de esta igualdad se desprende quex−y=0,x=1 yx+y=0, lo que es imposible.
Como rg(A) =2=dimR2, entoncesT es monomorfismo.
Ahora presentamos la noci´on de inversa de una transformaci´on lineal. Recordemos que una funci´on f:A→ Btiene inversa si existe una funci´ong:B→Atal que f◦g=IdByg◦f=IdA. Se puede comprobar que
f tiene inversa sii f es biyectiva.
En el contexto de transformaciones lineales podemos dar una definici´on totalmente an´aloga.
Definici ´on 1.1
Una transformaci´on lineal T :V →W es invertible si existe una transformaci´on linealT−1:W →V, llamada inversa deT, tal que
T◦T−1=IdW yT−1◦T=IdV.
N El dominioV y el codominioWde la transformaci´onT no tienen que ser el mismo espacio vectorial. Pero sin embargo, si trabajamos con espacios de dimensi´on finita, los dos espacios deben tener la misma dimensi´on.
En la definici´on se pide que la funci´onT−1 sea lineal. Este requisito se puede omitir, ya que no es dif´ıcil demostrar que siT :V→W es una transformaci´on y que existe una funci´onF:W→V tal que T◦F=IdW yF◦T=IdV, entoncesFes tambi´en una transformaci´on lineal.
los siguientesresultados nos restringimos al espacio eucl´ıdeoRn.
Teorema 1.9
SeaT :Rn→Rnuna transformaci´on lineal y seaAla matriz estandar deT. EntoncesT es invertible si y
s´olo siAes invertible. En este caso
[T]−1=
T−1
.
Teorema 1.10
Sea T :Rn→Rn una transformaci´on lineal y sea A la matriz estandar de T. Entonces las siguientes
condiciones son equivalentes:
1. T es un isomorfismo.
3. T es invertible.
4. NucT =n~0
o
.
5. N(A) =
n
~0o.
6. Aes invertible.
7. T es un epimorfismo.
8. Co(A) =Rn.
9. rg(A) =n.
10. detA6=0.
En las condiciones del teorema anterior, no es necesario analizar inyectividad y sobreyectividad separada-mente ya que una de ellas implica la otra y por lo tanto, que se cumpla una de ellas implica que la transformaci´on lineal es biyectiva. Esto s´olo ocurre cuando el dominio y el codominio tienen la misma dimensi´on.
Ejemplo 1.1
Analizar si la siguiente transformaci´on lineal tiene inversa. En caso positivo determinar su inversa.
T(x,y,z) = (3x+2y−z,−x+y−2z,−x−y+z).
Soluci´on
La matriz estandar de la transformaci´onT es
[T] =
3 2 −1
−1 1 −2
−1 −1 1
Para saber si es invertible podemos estudiar su rango. Si el rango es 3, entonces[T]es invertible. Tam-bi´en podemos calcular su determinante. Si es distinto de cero, entonces la matriz[T]ser´a invertible. En cualquier caso nos piden que hallemos su inversa. Por lo tanto nos conviene calcular la matriz inversa
[T]−1y despu´es hallar la transformaci´on asociada. Calculando la inversa por alg´un m´etodo, obtenemos
[T]−1=
1 5
3
5 1
1
5 −
2 5 −1 0 −1 −1
.
Entonces la transformaci´on inversa es
T−1(x,y,z) =
1 5
3
5 1
1 5 −
2 5 −1 0 −1 −1
x y z
=
1 5x+
3 5y+z 1
5x− 2 5y−z −y−z
.
Entonces
T−1(x,y,z) =
1 5x+
3 5y+z,
1 5x−
2
5y−z,−y−z
1.5 Clasificaci´on de las transformaciones lineales 27
Ejemplo 1.2
Analizar si las transformaciones dadas por las matrices indicadas son monomorfismo, epimorfismos e isomorfismos.
1.A1=
1 −1 0
0 2 −3
0 0 1
2. A2=
−3 1 0
0 2 −4
3. A3=
3 −1
2 0
0 0
3. A4=
1 2 −3
−1 1 4
0 0 0
Soluci´on
Para cada matriz A∈Rm×n, tenemos una transformaci´on TA :
Rn→ Rm. Hacemos una tabla con la
dimensi´on del dominio de cada transformaci´on, la dimensi´on de la imagen. Recordemos que ImgTA=
Co(A), por lo tantoTAes sobreyectiva si ImgTA=Co(A) =m.
TA:Rn→Rm dimRn dimImgT dimNucT inyectiva sobreyectiva
1. TA1:R 3→
R3 3 3 0 si si
2. TA2:R 3→
R2 3 2 1 no si
3. TA3:R 2→
R3 2 2 1 si no
4. TA4:R 3→
R3 3 2 1 no no
Ejemplo 1.3
Consideremos la transformaci´on linealT:R3→R3definida porT(v) =A v, donde
A=
−1 2 1
1 0 k
1 k −1
.
1. Determinar si existe alg´un valor dek∈Rtal queT sea un monomorfismo.
2. Parak=−1, determinar el n´ucleo y la imagen deT.
Soluci´on
1. La expresi´on anal´ıtica de la transformaci´on lineal es
T x y z =
−1 2 1
1 0 k
1 k −1
x y z =
−x+2y+z x+kz x+ky−z
Entonces, recordemos que:
T es monomorfismo sii NucT =n~0osii el sistemaA~x=~0 tiene soluci´on ´unica sii rg(A) =3 sii det(A)6=
0.
Por lo tanto calculamos el determinante deA:
det(A) =
−1 2 1
1 0 k
1 k −1
=2k+k+k2+2=k2+3k+2
Luego es sencillo comprobar que
det(A)6=0 siik6=−2 yk6=−1.
Por lo tanto,
T es monomorfismo siik6=−2 yk6=−1.
Por el Teorema de la dimensi´on,
dimNucT+dimImgT =dimR3=3.
Como dimNucT =0, entonces dimImgT =3.Por lo tantoT es un isomorfismo.
2. Si k=−1, entoncesT no es un momonorfismo. La transformaci´on lineal en este caso tiene como expresi´on anal´ıtica a
T
x y z
=
−1 2 1
1 0 −1
1 −1 −1
x y z
=
−x+2y+z x−z x−y−z
Calculemos el rango de la matriz
−1 2 1
1 0 −1
1 −1 −1
→
−1 2 1
0 2 0
0 1 0
→
−1 2 1
0 2 0
0 0 0
.
Como NucT=nv:T(v) =Av=~0o, entonces(x,y,z)∈NucT sii
−x+2y+z=0 2y=0
de donde obtenemosy+0 yx=z.Entonces
NucT ={(x,0,x)}=h(1,0,1)i.
Para obtener una base de ImgT debemos recordar que
ImgT =Co(A).
El espacio columna deAest´a generado por los vectores columna deAque corresponden a los pivotes en una forma escalonada deA. En este caso las dos primeras columnas generan al espacio columna y por lo tanto a la imagen deT:
ImgT =h(−1,1,1),(2,0,−1)i.
1.6. Matriz asociada a una transformaci ´on lineal
En el Lema1.1vimos que cualquier matrizA∈Rm×ndefine una transformaci´on lineal comoT(~x) =A~x.
Adem´as vimos en los ejemplos1.1 y 1.2 que cada una de estas transformaciones tiene asociada una matriz, llamada lamatriz estandar, que permite definir completamente a la transformaci´on cuando trabajamos en las bases can´onicas. ¿Pero que ocurre si estamos trabajando con otras bases? En estos casos tambi´en podemos definir una matriz que nos permite determinar lascoordenadasde las imagenes de los vectores. Ahora veremos como calcular estas matrices
1.6 Matriz asociada a una transformaci´on lineal 29
transformaci´on lineal. Para cada vectorv∈V existen ´unicos escalaresc1, . . . ,cntales que
v=c1v1+· · ·+cnvn.
Consideremos la imagen devpor medio deT, es decir
T(v) =d1w1+· · ·+dmwm
la expresi´on en coordenadas deT(v)en la baseB2. Queremos estudiar que conexi´on existe entre[v]B
1y[T(v)]B2. Vamos a ver como construir una matriz que transforma las coordenadas deven la baseB1a las coordenadas de T(v)en la baseB2.
Teorema 1.11
SeanV yW dos espacios vectoriales de dimensi´on ny m, respectivamente. SeaB1={v1, . . . ,v2}una base deV yB2una base deW. Consideremos una transformaci´on linealT :V →W. Entonces la matriz
[T]B
1B2 dem×ncuyasncolumnas corresponden a[T(vi)]B2 es decir la matriz
[T]B1B2 = ([T(v1)]B2. . .[T(vn)]B2),
cumple que
[T(v)]B
2 = [T]B1B2 [v]B1, para cada vectorv∈V.
La matriz[T]B
1B2 se llama matriz deT respecto de las basesB1yB2, o matriz de transici´on de la baseB1a la baseB2. La baseB1 se llama base de partida y la baseB2se llama base de llegada. Otras notaci´on utilizada usualmente para denotar a la matriz asociada a una transformaci´onT respecto a la baseB1 y a la baseB2 es MB1B2(T).
La matriz A= [T]B
1B2 permite pasar las coordenadas de un vectorv∈V en la base B1 a las coordenadas de su imagen T(v)∈W en la base B2 como se muestra en el siguiente diagrama. Recordemos queTA es la transformaci´on definida por la matrizA:
v T(v)
[v]B
1 A[v]B1= [T(v)]B2 T
TA
A continuaci´on especificamos los pasos a seguir para construir la matriz[T]B
1B2 .
1. Se calculan los transformados de los vectoresv1, . . . ,vn, por medio deT, es decir los vectoresT(v1), . . . ,T(vn).
2. Se escribe cada vectorT(v1), . . . ,T(vn)en terminos de la baseB2. De esta forma obtenemos las coorde-nadas de cada vectorT(v1), . . . ,T(vn)en la baseB2.
3. Con estas coordenadas se forma la matriz[T]B1B2 asociada a la transformaci´onT en las basesB1yB2.
N Algunos comentarios:
1. Si trabajamos sobre el mismo espacio vectorial, es decir siV =W, yB={v1, . . . ,v2}es una base deV, entonces la matriz de una transformaci´onT :V →V en la baseBse denota por[T]B
y se llama matriz deT respecto a la baseB. En este caso el Teorema1.6afirma que
para cadav∈V.
2. La matriz de la transformaci´onId:V →V de la baseB1a la baseB2es la matriz de cambio de basePB1B2 pues
[I]B
1B2 = ([I(v1)]B2. . .[I(vn)]B2)
= [v1]B2. . .[vn]B2
=PB1B2.
3. La matriz[T]B
1B2 depende del orden de los vectores de lasB1yB2. Si reordenamos los vectores de alguna de las bases esto afectar´a a la matriz[T]B
1B2.
4. Si tenemos una transformaci´onT :Rn→Rm y si En y Em son las bases can´onicas de Rn y
Rm,respectivamente, entonces se puede probar que
[T]EE = [T] matriz estandar deT.
Ejemplo 1.1
Consideremos la transformaci´on linealT:R2→R2definida por
T(x,y) = (x+2y,x−y).
1. Determinar la matriz estandar[T]y la matriz de transformaci´on[T]B
1B2, en la bases
B1={(1,−1),(0,1)} yB2={(2,−1),(1,−1)}.
2. Calcular la imagen del vectorv= (3,2)primero utilizando directamente la transformaci´on y des-pu´es utilizando la matriz[T]B1B2.
Soluci´on
1. La matriz estandar[T]se forma directamente calculando las imagenes de los vectores can´onicos. Es decir,
T(1,0) = (1,1)
T(0,1) = (2,−1)
Luego
[T] =
1 2
1 −1
.
Tambi´en podemos calcular la matriz estandar si tenemos la expresi´on anal´ıtica. En este caso conviene escribir a la transformaci´on con vectores columnas. Es decir
T
x y
=
x+2y x−y
=x
1 1
+y
2 −1
=
1 2
1 −1
| {z }
[T]
x y
.
Por lo tanto llegamos al mismo resultado. Para calcular la matriz[T]B
1B2debemos determinar la imagen por medio deT de cada vector de la baseB1 y despu´es encontrar las coordenadas de los vectores que se obtienen en la baseB2. Calculamos entonces las imagenes de los vectores de la baseB1.
T(1,−1) = (−1,2)
1.6 Matriz asociada a una transformaci´on lineal 31
Ahora buscamos las coordenadas en la baseB2de cada vector obtenido.
(−1,2) =α(2,−1) +β(1,−1).
Resolvemos este sistema y obtenemos
[T(1,−1)]B2 =
1 −3
.
Hacemos lo mismo con el vectorT(0,1) = (2,−1),
(2,1) =α(2,−1) +β(1,−1).
y resolviendo el sistema, obtenemos las coordenadas
[T(0,1)]B
2 =
1 0
.
Entonces
[T]B1B2 = ([T(1,−1)]B2 [T(0,1)]) =
1 1
−3 0
.
2. Calculamos la imagen del vector v= (3,2) utilizando la expresi´on anal´ıtica de la transformaci´on. ComoT(x,y) = (x+2y,x−y), tenemos que
T(3,2) = (7,1).
Ahora vamos a calcular la imagen dev, pero utilizando la matriz[T]B
1B2. De acuerdo al Teorema1.6,
[T(v)]B
2 = [T]B1B2 [v]B1.
Entonces debemos calcular primero[v]B
1 = [(3,2)]B1=
α
β
(3,2) =α(2,−1) +β(1,−1).
Resolviendo el sistema obtenemos
[(3,2)]B
1=
3 5
.
Luego
[T(v)]B
2= [T]B1B2 [v]B1 =
1 1
−3 0 3 5
=
8 −9
Conociendo las coordenadas deT(v)en la baseB2ahora podemos calcular el vectorT(v)por medio de la f´ormulaT(v) =MB2 [T(v)]B
2 o directamente
T(v) =8(2,−1) + (−9) (1,−1) = (16−9,−8+9) = (7,1).
Obviamente este es el resultado esperado, ya que el transformado de un vector es ´unico y por lo tantono depende de la base.
Para el caso de transformacionesT:Rn→Rmpodemos dar un m´etodo o algor´ıtmo que nos permite calcular
la matriz[T]B1B2.
Supongamos que tenemos una base B1={v1,v2, . . . ,vn} de Rn yB2={u1,u2, . . . ,um} una base de Rm.
T(vi)en la base B2,es decir, debemos hallar [T(vi)]B2.Si escribimos la matriz que tiene por columnas a los vectores de la baseB2,entonces para hallar[T(vi)]B2 deber´ıamos habr´ıa que considerar el sistema aumentado
(u1,u2, . . . ,um|T(vi)).
Este sistema tienen soluci´on ´unica al ser los coeficientes de la descomposici´on de un vector con respecto a una base, por lo que al realizar el m´etodo de Gauss-Jordan el sistema aumentado cambia seg´un
(u1,u2, . . . ,um|T(vi))
aplicamos Gauss-Jordan
−−−−−−−−−−−−−→ e1,e2, . . . ,em|[T(vi)]B2
.
El procedimiento anterior se puede realizar simultanemente para cada vector T(v1),T(v2),. . . ,T(vn). Por lo tanto para determinar la matriz deT asociada a las basesB1yB2constru´ımos el sistema aumentado siguiente
(u1,u2, . . . ,um|T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)).
Aplicamos Gauss-Jordan hasta obtener la siguiente matriz
e1,e2, . . . ,em|[T(v1)]B2,[T(v2)]B2, . . . ,[T(vn)]B2
| {z }
[T]B1B2
.
Ejemplo 1.2
Resolver el apartado 1 del ejemplo1.6utilizando el m´etodo descripto anteriormente.
Primero calculamos las imagenes por medio deT de los vectores deB1={(1,−1),(0,1)}. Es decir,
T(1,−1) = (−1,2)
T(0,1) = (2,−1).
Ahora formamos la matriz ampliada
u1 u2 T(v1) T(v2)
=
2 1 −1 2
−1 −1 2 −1
donde B2={u1,u2}={(2,−1),(1,−1)}. Escalonamos hasta completar que la primer matriz sea la identidad
2 1 −1 2
−1 −1 2 −1
→
2 1 −1 2
0 −1 3 0
→
2 0 2 2
0 −1 3 0
→
1 0 1 1
0 1 −3 0
| {z }
I2|[T]B1B2
.
Entonces obtenemos matriz[T]B
1B2 =
1 1
−3 0
.
Recordemos que dada una transformaci´on lineal sobre el mismo espacioT :V →V, y dada una baseBde V, la matriz [T]B se llama la matriz de la transformaci´onT. Ahora si cambiamos de base entonces la matriz cambia. Es decir, para basesB1yB2diferentes, las matrices[T]B1 y[T]B2 son diferentes.
Entonces surge inmediatamente la siguiente pregunta
¿Como se relacionan las matrices[T]B
1 y[T]B2?
Ahora veremos como est´an conectadas las matrices[T]B
1.6 Matriz asociada a una transformaci´on lineal 33
Teorema 1.12
SeaV un espacio de dimensi´on finita. SeaT:V→V una tranformaci´on lineal. SeanB1yB2bases deV. Entonces la matriz de transformaciones[T]B
1 y[T]B2 est´an relacionadas por la siguiente igualdad:
[T]B
2 =PB1B2.[T]B1 PB2B1. (1.1)
Podemos hacer el siguiente diagrama que ilustra la situaci´on planteada en el Teorema anterior
V V
[v]B
1 [T(v)]B2
[v]B
2 [T(v)]B2
[T]B
1
PB1B2 PB2B1
[T]B
2
Por lo tanto, si queremos determinar el vector de coordenadas[T(v)]B
2 desde el vector de coordenadas[v]B2, de acuerdo al diagrama anterior, tenemos dos posibles caminos.
Un es directo y que se hace por medio de la matriz de la transformaci´on lineal[T]B
2. Por este camino tenemos la siguiente identidad:
[T(v)]B2 = [T]B2[v]B2.
Pero este camino requiere conocer previamente la matriz[T]B2.
El otro camino es m´as largo y se utiliza las matrices de cambio de basePB2B1yPB1B2. Primero calculamos la matriz[T]B2 por medio de la igualdad
[T]B
2=PB1B2.[T]B1PB2B1.
y entonces hallamos las coordendas[T(v)]B
2 por medio de
[T(v)]B
2= [T]B2[V]B2
= PB1B2.[T]B1 PB2B1
[V]B
2
Podemos simplicar en algunos casos particulares. Como
PB2B1 = (PB1B2)
−1,
yPB1B2= (PB2B1)
−1,
entonces la identidad (1.1) la podemos expresar en la siguiente forma
[T]B
2PB1B2 =PB1B2.[T]B1. (1.2)
Transformaciones sobreRn
Para el caso puntual de una transformaci´on T :Rn →Rn y una baseB de Rn de la ecuaci´on tenemos la
siguiente situaci´on. Recordemos queMBes la matriz cuyas columnas son los vectores de la baseB. Como
PBE=MB,
entonces por la identidad (1.2) obtenemos
En el ejemplo1.6nos dan la expresi´on anal´ıtica de la transformaci´on y las bases de cada espacio. Con esa informaci´on determinamos la matriz de la transformaci´on y la imagen de un vector. Otra posibilidad que se puede presentar es que nos den directamente la matriz de transformaci´on y nos pidan determinar la expresi´on anal´ıtica de la transformaci´on, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.1
SeaT :R2→R2una transformaci´on lineal. Determinar la matriz[T]B dondeB={(1,0),(1,−1)}
sa-biendo que la matriz estandar es[T] =
2 −1
1 1
.
Soluci´on
Vamos a resolver este ejercicio de dos formas diferentes.
Primero podemos aplicar la identidad (1.3). Como[T]MB=MB[T]B, y la matriz asociada a la baseBes
MB=
1 1
0 −1
,entonces
[T]B=MB−1[T]MB=
1 1
0 −1
2 −1
1 1
1 1
0 −1
=
3 3
−1 0
.
La otra forma es determinar la transformaci´on lineal utilizando la matriz estandar y despu´es hallar las coordenadas de los vectores de la baseBen la misma base. Es decir,
T
x y
= [T]B
x y
=
2 −1
1 1
x y
=
2x−y x+y
.
Escribimos la transformaci´on como filaT(x,y) = (2x−y,x+y), y calculamos las imagenes de los vec-tores de la baseB:
T((1,0)) = (2,1) yT((1,−1)) = (3,0).
Ahora hallamos las coordenadas de estos vectores en la baseB.
(2,1) =c1(1,0) +c2(1,−1) = (c1+c2,−c2).
Entoncesc1=3 yc2=−1. Luego
[T((2,1))]B= (3,−1)t.
De igual forma podemos hallar que
[T((1,−1))]B= (3,0)t,
y por lo tanto
[T]B=
3 3
−1 0
.
Ahora veremos un ejemplo donde las dos bases sean no estandar.
Ejemplo 1.2
1.6 Matriz asociada a una transformaci´on lineal 35
dos bases. Si[T]B=
1 −1
2 3
es la matriz deT respecto a la baseB. Determinar
1. [T]B0 y[T].
2. Hallar[v]B,[T(v)]By[T(v)]B0 sabiendo que[v]B0 = (3,2)t.
Soluci´on
1. Para hallar[T]B0 vamos a aplicar la identidad
[T]B0 =PBB0[T] BPB0B.
Primero debemos hallar las matrices de cambio de basePBB0 yPB0B.Unicamente debemos hallar una de´ las matrices, la otra se obtiene por medio de la inversa. Calculamos
PBB0 = ([v1]
B0 [v2]B0),
donde B={v1,v2}. Debemos hallar la combinaci´on lineal del vectorv1 = (−1,2) en la baseB0 y lo mismo para el vectorv2= (0,1). Entonces planteamos las identidades
(−1,2) =c1(2,1) +c2(1,1)
y
(0,1) =d1(2,1) +d2(1,1).
escalonamos la siguiente matriz ampliada
2 1 | −1 0
1 1 | 2 1
→
2 1 | −1 0
0 −1 | −5 −2
→
2 0 | −6 −2 0 −1 | −5 −2
Entonces 2c1=−6 y−c2=−5, es decirc1=−3 yc2=5. Luego [v1]B0 = (−3,5) t
. De igual forma, 2d1=−2 y−d2=−2 , es decir,d1=−1 yd2=2. Luego[v2]B0= (−1,2)t. Por lo tanto
PBB0 =
−3 −1
5 2
.
Luego
PB0B= (PBB0)−1=
−3 −1
5 2
−1
=
−2 −1
5 3
.
Por lo tanto
[T]B0 =PBB0[T] BPB0B
=
−3 −1
5 2
1 −1
2 3
−2 −1
5 3
=
10 5
−24 −13
Ahora debemos hallar la matriz estandar. Como
[T] =PBE[T]BPEB
y recordando quePBE=MByPEB=MB−1, entonces es sencillo calcular el anterior producto de matrices. Queda como ejercicio.
2. Debemos hallar primero[v]B. En este caso aplicamos la matriz de transici´onPB0B
[v]B=PB0B[v] B0=
−2 −1
5 3
3 2
=
Para hallar[T(v)]By[T(v)]B0 aplicamos las identidades
[T(v)]B= [T]B[v]B
y
[T(v)]B0= [T]B0[v]B0. Ejemplo 1.3
SeaT :R3→R2una transformaci´on lineal. Consideremos las bases
deR3yR2, respectivamente. Sea
[T]B
1B2 =
1 −1 0
2 1 −1
la matriz de transformaci´on deT en las basesB1yB2.
1. Hallar los vectoresT(1,0,0),T(−1,1,0)yT(0,0,2)utilizando la matriz[T]B1B2.
2. Hallar la matriz estandar[T]utilizando los vectores hallados en el punto 1 y luego hallar la expre-si´on anal´ıtica deT.
3. Determinar la expresi´on anal´ıtica deT con los datos del ´ıtem 1 y luego la matriz estandar.
4. Hallar la matriz estandar utilizando el m´etodo descripto en el Teorema1.6.
5. Determinar la imagen dev= (−1,2,−4)utilizando la matriz estandar y la matriz[T]B
1B2.
Soluci´on
Antes de comenzar la resoluci´on es importante remarcar que datos tenemos para encarar el problema. Como dato tenemos una baseB1deRn,una baseB2deRm, y la matriz de la transformaci´on[T]B1B2. Por lo tanto nos est´an dando las coordenadas en la baseB2de cada vectorT(v), para cada vectorv∈B1. Es decir, tenemos como dato
[T((1,0,0))]B
2 =
1 2
, [T((−1,1,0))]B
2=
−1 1
, [T((0,0,2))]B
2 =
0 −1
1. Determinemos los vectoresT(1,0,0),T(−1,1,0)yT(0,0,2).
Cada uno de estos vectores se expresa como combinaci´on lineal de los vectores de la baseB2. Ya que tenemos como dato las coordenadas de estos vectores (son las columnas de la matriz[T]B1B2) y la matriz B2, entonces es posible determinar cada uno de esos vectores utilizando la f´ormula
T(v) =c1(1,1) +c2(0,1),
dondec1yc2son las coordenadas deT(v)en la baseB2 (que corresponden a las columnas de la matriz
[T]B
1B2). Esto es lo mismo que escribir
T(v) =MB2[T(v)]B2
Entonces procedemos a calcular los vectoresT(1,0,0),T(−1,1,0),T(0,0,2):
T(1,0,0) =1.(1,1) +2.(0,1) = (1,3)
T(−1,1,0) = (−1).(1,1) +1.(0,1) = (−1,0)
T(0,0,2) =0.(1,1) + (−1).(0,1) = (0,−1).
2. Determinarla matriz estandar[T]y la expresi´on anal´ıtica deT con los datos del ´ıtem 2.
Cuando hemos encontrado las imagenes de los vectores de la base B1, es decir, cuando ya tenemos T(1,0,0), T(−1,1,0) y T(0,0,2) debemos determinar las imagenes de los vectores can´onicos deR3
para hallar la matriz estandar[T]. Es decir, debemos determinarT(e1),T(e2)yT(e3). Observemos que podemos formar el siguiente sistema
T(1,0,0) =T(e1) = (1,3)
T(−1,1,0) =T((−1) (1,0,0) + (0,1,0)) =−T(e1) +T(e2) = (−1,0)
1.6 Matriz asociada a una transformaci´on lineal 37
Es decir,
T(e1) = (1,3)
−T(e1) +T(e2) = (−1,0)
2T(e3) = (0,−1).
De la segunda ecuaci´on obtenemos
T(e2) = (−1,0) +T(e1) = (−1,0) + (1,3) = (0,3).
De la tercer ecuaci´on obtenemos
T(e3) =
0,−1 2
.
Por lo tanto la matriz estandar es
[T] =
1 0 0
3 3 −1
2
.
Con la matriz estandar podemos hallar la expresi´on anal´ıtica, ya queT(v) = [T(v)], para cualuierv∈R3.
Entonces T x y z = [T]E
x y z =
1 0 0
3 3 −1
2 x y z T( x y z ) = x 3x+3y−1
2z
.
3. Determinar la expresi´on anal´ıtica deT con los datos del ´ıtem 1, y luego determinar la matriz estandar. En este caso primero hallamos las coordenadas de un vector gen´ericov= (x,y,z)en la baseB1y despu´es aplicamosT y hallamos las coordenadas deT(x,y,z)en la baseB1.
Seav= (x,y,z)un vector deR3y lo expresamos como combinaci´on lineal de los vectores de la baseB1
(x,y,z) =α(1,0,0) +β(−1,1,0) +γ(0,0,2).
Luego obtenemos un sistema
x=α−β
y=β
γ=2γ
Escrito en forma matricial
1 −1 0 ... x
0 1 0 ... y
0 0 2 ... z
→
1 −1 0 ... x
0 1 0 ... y
0 0 1 ... 2z
→
1 0 0 ... x+y
0 1 0 ... y
0 0 1 ... 2z
Lo resolvemos y llegamos a las identidades α=x+y, β=y e γ= 2z. De esta forma conocemos las
coordenadas de(x,y,z)en la baseB1. Es decir,
[(x,y,z)]B
1= α β γ =
x+y y z 2
Luego, cualquier vectorV = (x,y,z)queda expresado en la baseB1como:
(x,y,z) = (x+y)(1,0,0) +y(−1,1,0) +z
2(0,0,2)
AplicamosT a la igualdad anterior:
T(x,y,z) = (x+y)T(1,0,0) +y T(−1,1,0) + z
2T(0,0,2)
= (x+y) (1,3) +y(−1,0) +z
2(0,−1)
= (x+y,3x+3y) + (−y,0) + (0,−z 2)
= (x,3x+3y−z
2).
Por lo tanto la expresi´on anal´ıtica de la transformaci´onT es
T(x,y,z) = (x,3x+3y−z 2).
A partir de la expresi´on anal´ıtica podemos determinar la matriz estandar[T] = [T]E:
T(x,y,z) = (x,3x+3y−z 2) =x
1 3
+y
0 3
+z
0 −1 2
=
1 0 0
3 3 −12
x y z
Entonces la matriz estandar es
[T]E=
1 0 0
3 3 −12
.
4. Ahora nos piden hallar la matriz estandar pero utilizando el m´etodo descripto en el Teorema1.6. Por lo tanto tenemos la siguiente situaci´on
[v]B1 [T(v)]B2
[v]E=v [T(v)]E =T(v)
[T]B
1B2
PB2E
[T]EE=[T] PEB1
[T] =PB2E [T]B1B2PEB1
Recordemos queMBdenota la matriz que se forma tomando los vectores de una baseBcomo columnas. Como
PEB1 = (PB1E)−1=MB−11
PB2E =MB2,
entonces debemos calcular el siguiente producto de matrices
[T] =MB2 [T]B1B2M
−1 B1 .
Las matrices asociadas a las bases dadas son
MB1 =
1 −1 0
0 1 0
0 0 2
yMB2=
1 0
1 1