Transformaciones Lineales

(1)

1 ´Indice general

3

Cap´ıtulo 1

TRANSFORMACIONES LINEALES

1.1 Definiciones preliminares 3

1.2 Matriz estandar de una transformaci ´on lineal 9

1.3 Existencia de Transformaciones lineales entre espacios de dimensi ón finita 13 1.4 N úcleo e imagen de una transformaci ón lineal 17

1.5 Clasificaci ón de las transformaciones lineales 22 1.6 Matriz asociada a una transformaci ón lineal 28 1.7 Composici ón de transformaciones lineales 45

(2)

(3)

3

1

TRANSFORMACIONES LINEALES

En este cap´ıtulo vamos a estudiar un tipo particular de funciones entre dos espacios vectoriales. Estas fun-ciones tienen la particularidad que preservan, en el sentido que se definir´a m´as adelante, la estructura vectorial.

1.1. Definiciones preliminares

Definici ´on 1.1

SeanV yW dos espacios vectoriales. Una transformaci´on lineal entreV yW es una funci´on

T :V →W

satisfaciendo las siguientes condiciones:

T1. T(cv) =cT(v), para todo vectorv∈V y para todo escalarc∈_R.

T2. T(u+v) =T(u) +T(v), para todo par de vectoresu,v∈V.

Ahora enunciaremos algunas propiedades de las transformaciones lineales.

Lema 1.1 Consideremos una transformaci´on linealT:V →W. Entonces se verifican las siguientes propie-dades

1. T(0) =0.

2. T(−v) =−T(v).

3. T(u−v) =T(u)−T(v).

4. T(c1v1+· · ·+cnvn) =c1T(v1) +· · ·+cnT(vn).

Demostraci´on. Ejercicio.

Las condiciones de la Definici´on 1.1 se pueden expresar en una sola condici´on, como se enuncia en el siguiente lema.

Lema 1.2 SeanV yW dos espacios vectoriales. Una funciónT :V →W es una transformación lineal si y sólo si

T(αv+βu) =αT(v) +βT(u),

(4)

Cuando estamos trabajando sobre el mismo espacio, es decir cuandoV =W, la transformaci´on linealT : V →V se dice que es unoperador lineal o un endomorfismo.

Ahora daremos algunos ejemplos de transformaciones lineales.

Ejemplo 1.1

Consideremos la funci´on

T:R2→R2

definida por

T(x,y) = (2x+y,x+3y).

Comprobar queT es una transformaci´on lineal. HallarT(2,−1)y la preimagen de(4,−3).

Soluci´on

Podemos comprobar que T satisface las condiciones de la Definici´on 1.1, o, como en este ejemplo, podemos comprobar que se verifica la condici´on establecida en el Lema anterior. Consideremos los vectoresv1= (x1,y1)yv2= (x2,y2)y dos escalaresα,β∈R. Entonces

T(αv1+βv2) =T(α(x1,y1) +β(x2,y2))

=T((αx1,αy1) + (βx2,βy2))

=T((αx1+βx2,αy1+βy2))

= (2(αx1+βx2) +αy1+βy2,αx1+βx2+3(αy1+βy2))

= (2αx1+2βx2+αy1+βy2,αx1+βx2+3αy1+3βy2)

= (α(2x1+y1) +β(2x2+y2),α(x1+3y1) +β(x2+3y2))

= (α(2x1+y1),α(x1+3y1)) + (β(2x2+y2),β(x2+3y2))

=α(2x1+y1,x1+3y1) +β(2x2+y2,x2+3y2)

=αT(x1,y1) +βT(x2,y2).

Por lo tantoT es una transformaci´on lineal. Determinemos la imagen del vectorv= (2,−1).

T(2,−1) = (2−1,2+3(−1)) = (1,−1).

Ahora nos piden encontrar la preimagen del vectorw= (4,−3). Entonces debemos hallar el siguiente subconjunto deR2:

T−1(4,−3) =

(x,y)∈R2:T(v) = (4,−3) .

Entonces

(x,y)∈T−1(4,−3)⇔T(x,y) = (4,−3)

y en consecuencia

T(x,y) = (2x+y,x+3y) = (4,−3).

Igualando componentes obtenemos un sistema

2x+y = 4 x+3y = −3

Resolviendo obtenemosx=3 ey=−2. Por lo tanto

(5)

Las transformaciones lineales se pueden representar tambi´en por medio de vectores columnas. Por ejemplo la transformaci´on anterior se podr´ıa escribir como

T x y =

2x+y x+3y

.

Ejemplo 1.2

Se puede comprobar que funci´onT :R2→R3definida por

T x y =  

3x−2y 4x+y −x+5y

 

es una transformaci´on lineal. Esta transformaci´on se puede escribir como

T(x,y) = (3x−2y,4x+y,−x+5y).

El hecho de escribir a los vectores como matrices tiene sus ventajas, que veremos m´as adelante.

Las transformaciones pueden ser definidas de muchas formas. Una de las formas m´as importantes son las transformaciones lineales entre espacios de dimensi´on finita definidas por matrices.

Ejemplo 1.3

Definimos una funci´onT :R2→R3como

T x y =A x y ,

dondeA=

 

3 −2

4 1

−1 5



.Comprobar que es una transformaci´on lineal. Hallar la imagen de los vectores

de la base can´onica deR2.

Soluci´on

En este caso tenemos una funci´on definida por el producto de una matriz 3×2 por una matriz 2×1. Es sencillo comprobar queT es una transformaci´on lineal utilizando las propiedades de producto de un escalar por una matriz y suma de matrices. En efecto. Sic∈R.

T c x y =T cx cy =  

3 −2

4 1

−1 5

  cx cy =  

3 −2

4 1

−1 5

 c x y =c  

3 −2

4 1

−1 5

  x y

=c T

x y

.

Queda como ejercicio comprobar que

T(v+w) =T(v) +T(w).

(6)

transformaci´on T x y =  

3x−2y 4x+y −x+5y

 .

Notemos que si nos hubiesen dado la transformación lineal por la fórmula anterior podr´ıamos obtener sencillamente la matrizAde la transformación como

T x y =  

3x−2y 4x+y −x+5y

 =x

  3 4 −1  +y

  −2 1 5  =  

3 −2

4 1

−1 5

  x y .

Notemos adem´as que sie1=

1 0

ye2=

0 1

son los vectores de la base can´onica, entonces

T 1 0 =   3 4 −1   yT

0 1 =   −2 1 5  .

y por lo tanto

A= (T(e1)T(e2)) =

 

3 −2

4 1

−1 5

 .

Por este motivo la matrizAse la conoce comola matriz estandar de la transformaci´on.

En general cualquier matriz define una transformaci´on lineal, como se enuncia en el siguiente lema y cuya demostraci´on queda a cargo del lector.

Lema 1.3 SeaA∈_Rm×n_{. Entonces la funci´on}

TA:Rn→Rm

definida por

TA(~x) =A~x,

para cada~x∈_Rn_{, es una transformaci´on lineal, llamada transformaci´on matricial.}

Demostraci´on. Ejercicio.

En el lema anterior hemos dado por entendido que el vector~x∈_Rn_{que aparece a la derecha de la identidad} que define a la transformaci´on se expresa como un vector columnan×1.

Ejemplo 1.4

Analicemos geom´etricamente la transformaci´on lineal T : R2 → R2 definida por la matriz A =

1 −1

1 1

.

Notemos que la transformaci´on se puede escribir como

TA x y =

1 −1

1 1 x y =

x−y x+y

.

(7)

(0,1). Al aplicar la transformaci´on obtenemos

T

1 0

=

1 1

yT

0 1

=

−1 1

.

Por lo tanto el reciento delimitados por los vectorese1ye2ha rotado un ´angulo de π₄

Ahora veremos que la proyecci´on sobre un subespacio deRndefine una transformaci´on lineal.

Ejemplo 1.5 Proyecci ´on de un vector sobre un plano

Consideremos un subespacioSfijo deRn. Definimos una funci´on

TS:Rn→Rn

por

TS(v) =proySv,

para cadav∈_Rn_{. Entonces se puede probar que}_T

Ses una transformaci´on lineal. Recordemos que como Ses un subespacio de dimensi´on finita existe un conjunto ortogonal de vectores{u1,u2, . . . ,uk}tal que S=hu1,u2, . . . ,uki.Entonces

TS(v) =proySv=proyu1v+· · ·+proyukv.

Ejemplo 1.6 Coordenadas

Consideremos un espacioV de dimensi´onn. Consideremos una baseB={v₁,v2, . . . ,vn}deV. Sabemos que todo vectorvdeVes combinaci´on de vectores de la base. Es decir, para cadav∈V, existen escalares

α1,α2, . . . ,αntales que

v=α1v1+α2v2+· · ·+αnvn= (v1v2. . .vn)

| {z }

MB

    

α1

α2 .. .

αn

    

| {z }

[v]_B

=MB[v]B.

Entonces podemos definir una función que a cada vector vdel espacioV le corresponde su vector de coordenadas[v]_B∈_Rn_{, que sabemos que es único para cada base ordenada. Entonces definimos la función}

T :V →_Rn

dada por

T(v) = [v]_B.

Se puede probar queT es una transformaci´on lineal entreV y el espacio eucl´ıdeoRn. Es m´as, se puede

demostrar queT es una funci´on inyectiva y sobreyectiva.

(8)

Ejemplo 1.7

Consideremos la funci´on

f :R2→R2

definida por

f(x,y) = (x+a,y+b),

dondea,b∈_R.Es inmediato comprobar que f es una funci´on pero no es una transformaci´on lineal pues

f(0,0) = (a,b)

y el par(a,b)es en general distinto de(0,0). Otra forma de probar es tomando, por ejemplo, los vectores v= (1,−2)yw= (3,0)y observando que

f((1,−2) + (3,0)) = f(4,−2) = (4+a,−2+b)

y

f(1,−2) +f(3,0) = (1+a,−2+b) + (3+a,0+b) = (4+2a,−2+2b)

Por lo tanto

f((1,−2) + (3,0))6= f(1,−2) +f(3,0).

Sea f:A→Buna funci´on entre dos conjuntos.

El dominio de f es el conjuntoAy la imagen o rango de f es el conjunto

Imgf={y∈B:∃x∈Atal que f(x) =y}.

Recordemos que laimagen de un subconjunto XdeApor medio de f es el siguiente subconjunto deB

f(X) ={f(x):x∈X}.

Laimagen inversade un subconjuntoY deBes el subconjunto deXdefinido como

f−1(Y) ={x∈A: f(x)∈Y}.

Ahora vemos algunas propiedades importantes de las transformaciones lineales.

Lema 1.4 SeanV yW dos espacios vectoriales. SeaT :V→Wuna transformaci´on lineal.

1. SiSes un subespacio deV, entoncesT(S)es un subespacio deW.

2. SiHes un subespacio deW, entoncesT−1(H)es un subespacio deV.

3. Si S = hv1, . . . ,vni es un subespacio de V generado por v1, . . . ,vn, entonces T(hv1, . . . ,vni) = hT(v₁), . . . ,T(vn)i.

4. Si{v1, . . . ,vn}es un conjunto de generadores deV, entonces{T(v1), . . . ,T(vn)}es un conjunto de generadores de la imagen deT.

5. Si{T(v1), . . . ,T(vn)}es un conjunto linealmente independiente, entonces{v1, . . . ,vn}es un conjunto linealmente independiente.

(9)

1.2 Matriz estandar de una transformaci´on lineal 9

Ejemplo 1.8

Consideremos la transformaci´on lineal

T:R3→R2

definida por

T(x,y,z) = (x−z,y−z).

Determinar la imagen de los siguientes subconjuntos deR3

S1=

(x,y,z)∈_R3_:₍_x,y,z_{) =}

α(5,3,2)

y

S2={(x,y,0)∈R:x,y∈R}.

Hallar la preimagen de

H=(x,y)∈R2:x+3y=0 .

Soluci´on

El conjuntoS1es una recta enR3que tiene como vector director al vectorv= (5,3,2). Entonces

T(S1) ={T(x,y,z):(x,y,z)∈S1}

={T(α(5,3,2)) =αT(5,3,2) =α(3,1)}

=(x,y)∈_R2:(x,y) =α(3,1) .

Luego la imagen deS1es una recta del plano que pasa por el origen y tiene como vector director a(3,1). El conjuntoS₂es el planoxyenR3. Entonces

T(S2) ={T(x,y,z):(x,y,z)∈S2}

={T(x,y,0) = (x,y)}=R×R.

Ahora determinemos la preimagen deH=

(x,y)∈_R2_:_x₊_3y₌₀ _{. Entonces}

(x,y,z) ∈T−1(H) ⇔ T(x,y,z)∈H ⇔ (x−z,y−z)∈H ⇔ x−z+3(y−z) =0 ⇔ x+3y−4z=0.

Por lo tanto

T−1(H) =(x,y,z)∈_R3:x+3y−4z=0 .

1.2. Matriz estandar de una transformaci ´on lineal

En el ejemplo1.1hemos visto una transformación que se puede definir por medio de una matriz. Represen-tar o definir una transformación lineal entre espacios de dimensión finita por medio de matrices tiene muchas ventajas. En primer lugar una transformación lineal definida a partir de una matriz es más sencilla de leer, escri-bir y de manipular. Además podemos hacer uso de toda la teor´ıa de matrices para resolver problemas referidos a transformaciones lineales. Ahora veremos que cualquier transformación lineal entre espacios de dimensión finita puede ser definida o representada por medio de una matriz.

(10)

Teorema 1.1 Matriz estandar de una transformaci ´on lineal

SeaT :Rn→Rmuna transformaci´on lineal. Consideremos los transformados de los vectores de la base

can´onica deRn:

T(e1) =

     a11 a₂₁ .. . am1     

, . . . ,T(en) =

    

a1n a₂n .. . amn      .

Entonces la matriz , llamada matriz estandar deT,

A= [T] = (T(e₁)T(e₂). . .T(en)) =

    

a11 a21. . . a1n a21 a22. . . a2n

..

. ...

am1 am1. . . amn

    

es tal que

T(~x) =A~x,

para cualquier~x∈_Rn_.

La matrizAconstruida en el Teorema anterior se ha definido respecto a las bases canónica. Pero es posible trabajar con otras bases y en consecuencia la matriz asociada no será igual a la matriz obtenida a partir de la base canónica. Esto será estudiado más adelante.

Ejemplo 1.1

Determinar las matrices estandar de las siguientes transformaciones lineales:

1. T :R3→R2

T(x,y,z) = (x−3y+4z,2x−5z).

2. F:R3→R4

F(x,y,z) = (x+3y,y−3z,x−y+2z,3x−4z).

Soluci´on

1. Para determinar la matriz estandar podemos calcular la imagen de los vectores de la base can´onica de

R3. Otra forma de obtener la matriz estandar es escribir la transformaci´on como vectores columna y de

ah´ı determinar la matriz

T   x y z  =

x−3y+4z 2x−5z

=x 1 2 +y −3 0 +z 4 −5 =

1 −3 4

2 0 −5

  x y z  . Luego

[T] =A=

1 −3 4

2 0 −5

es la matriz estandar deT.

Calculamos la imagen de los vectores de la base can´onica deR3

(11)

1.2 Matriz estandar de una transformaci´on lineal 11

Luego

A= (T(e1)T(e2)T(e3)) =

1 −3 4

2 0 −5

.

Otra manera de hallar la matriz de transformaci´on es escribir la transformaci´on como

T(x,y,z) = (x−3y+4z,2x−5z).

=x(1,2) +y(−3,0) +z(4,−5).

La matrizAse obtiene escribiendo como vectores columna los vectores(1,2),(−3,0)y(4,−5),es decir

A=

1 −3 4

2 0 −5

.

2. Procediendo como en el ejemplo anterior tenemos

F   x y z  =    

x+3y y−3z x−y+2z

3x−4z

    =    

1 3 0

0 1 −3

1 −1 2

3 0 −4

      x y z  . Entonces B=    

1 3 0

0 1 −3

1 −1 2

3 0 −4

   

es la matriz estandar deF.

Ejemplo 1.2 Reflexiones respecto de un eje

Definamos una funci´on que env´ıe a cada punto(x,y)del planoR2 a su sim´etrico (x,−y) respecto del

ejex. Este tipo de funciones también se las conoce comoreflexionesrespecto a una recta. En este caso tenemos la reflexión respecto del ejexy la funciónT :R2→R2se define por medio de la fórmula

T x y = x −y .

Se podr´ıa comprobar que es una transformación lineal utilizando la definición, pero también podemos observar que es una transformación proviene de una matriz. es una transformación matricial. En forma más directa podemos observar que esta función está definida a partir de una matriz:

x −y =x 1 0 +y 0 −1 = 1 0

0 −1

| {z }

[T]

x y

.

Por lo tanto,

T x y = 1 0

0 −1 x y

.

Entonces por el Lema1.1,T es una transformaci´on lineal.

Podemos considerar también la reflexión respecto al eje y. En este caso cada punto (x,y) serefleja a través del ejeyen el punto(−x,y).En este caso la transformación queda definida por

T x y = −x y =x −1 0 +y 0 1 =

−1 0

0 1

x y

(12)

Veamos otro importante ejemplo que se obtiene al rotar un punto del plano cierto ´anguloθ.

Ejemplo 1.3 Transformaci ´on de Rotaci ´on

Consideremos un vectorv= (x,y)en el planoR2y que lo rotamos un ´anguloθen el sentido contrario a

de las agujas del reloj. Al rotar el vectorva la nueva posici´on produce un nuevo vector de componentes v0= (x0,y0). Entonces podemos definir una funci´on

T:R2→R2

por T x y = x0 y0 .

Siαes el ´angulo que forma el vectorvcon el ejex, entoncesα+θes el ´angulo que forma el vectorv0

con el ejex. Entonces sir=kvktenemos que

            

x = rcosα

y = rsenα

x0 = rcos(α+θ)

y 0= rsen(α+θ)

y teniendo en cuenta las f´ormulas trigonom´etricas

rcos(α+θ) = rcosθcosα−rsenθsenα

rsen(α+θ) = rsenθcosα+rcosθsenα

obtenemos las coordenadas del vectorv0en función del ánguloθy el módulorcomo

      

x0 = rcos(α+θ) = rcosα

| {z }

x

cosθ−rsenα

| {z }

y

senθ = xcosθ−ysenθ

y 0= rsen(α+θ) = rsenα

| {z }

y

cosθ+rcosα

| {z }

x

senθ = ycosθ+xsenθ

Por lo tanto latransformación de rotaciónse define por la siguiente fórmula

T_θ x y =

xcosθ−ysenθ

ycosθ+xsenθ

=

cosθ −senθ

senθ cosθ

x y

.

Por ejemplo, determinar el vector que rota un ´angulo π

2. Aplicando la f´ormula anterior obtenemos

T x y = cosπ

2 −sen

π 2 senπ 2 cos π 2 x y =

0 −1

1 0 x y = −y x .

Notemos que la matriz estandar de la transformaci´on es

Aθ=

cosθ −senθ

senθ cosθ

.

(13)

1.3 Existencia de Transformaciones lineales entre espacios de dimensi´on finita 13

1.3. Existencia de Transformaciones lineales entre espacios de dimensi ´on finita

En el ejemplo ?? observamos que es posible conocer la imagen de todo vector de un espacio vectorial de dimensión finita por medio de una transformación lineal cuando conocemos las imagenes de una base. Supongamos ahora que tenemos dos espacios vectoriales de dimensión finitaV yW y conocemos una base B={v1, . . . ,vn}deV y un conjunto{w1, . . . ,wn}de vectores deW (no necesariamente una base). La pregunta que nos hacemos es la siguiente

¿Existir´a una transformaci´on linealT :V →W tal queT(vi) =wi?

Siv∈V, comoBes base, existen escalaresc1, . . . ,cntales que

v=c1v1+· · ·+cnvn.

Luego

T(v) =T(c1v1+· · ·+cnvn)

y al serT es una transformaci´on lineal, tenemos que

T(v) =c₁T(v₁) +· · ·+cnT(vn).

En otras palabras, es suficiente definir una transformaci´on lineal sobre alguna base del espacio vectorial para conocer el valor de la transformaci´on lineal sobre cualquier vector. Esto lo precisamos en el siguiente resultado.

Teorema 1.2 Existencia y unicidad de las transformaciones lineales

Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Sea B= {v1, . . . ,vn} una base de V y {w₁, . . . ,wn}un conjunto de vectores deW. Entonces existe una única transformación linealT :V →W tal que

T(vi) =wi

para cada 1≤i≤n.

Demostración. Damos la demostración ya que nos da una forma de construir la transformación que puede ser replicada en los ejercicios.

Consideremos un vector gen´erico v∈V. Debemos determinar una forma para calcular T(~x). ComoB=

{v1, . . . ,vn}es una base deV, entonces existen escalaresc1, . . . ,cntales que

v=c₁v₁+· · ·+cnvn.

Definimos una funci´onT :V →W como

T(v)def=c1w1+· · ·+cnwn.

Ahora debemos comprobar que es una transformación lineal. Lo dejamos como ejercicio para el lector. Finalmente debemos comprobar que es única. Supongamos que tenemos otra transformación linealL:V → W tal queL(vi) =wi, para cada 1≤i≤n. Veamos queT(v) =L(v) para cualquier vectorv∈V. En efecto, comoBuna base deV, existen escalaresc1, . . . ,cntales quev=c1v1+· · ·+cnvn. Entonces

T(v) =T(c₁v₁+· · ·+cnvn) =

=c1T(v1) +· · ·+cnT(vn)

=c1w1+· · ·+cnwn

=c1L(v1) +· · ·+cnL(vn)

=L(v).

Por lo tantoT =L. Con esto hemos conclu´ıdo que la transformaci´on lineal es ´unica.

(14)

Ejemplo 1.1

Estudiar si es posible definir una transformaci´on linealT :R2→R2tal que

T(0,1) = (2,3)

T(2,1) = (−1,1).

Soluci´on

ComoB={(0,1),(2,1)}es una base deR2, entonces por el Teorema1.3existe una ´unica transformaci´on

T cumpliendo las condiciones indicadas. Veamos como determinar su expresi´on anal´ıtica.

Lo primero que debemos hacer es hallar las coordenadas[v]_B= (α,β)tde un vector gen´ericov= (x,y)∈

R2en la baseB. Es decir, dadovdebemos encontrarαyβ∈Rtales que

(x,y) =α(0,1) +β(2,1).

Luego

x=2β

y=α+β.

Resolviendo obtenemos queα=y−x₂yβ=₂x. Entonces

(x,y) =y−x 2

| {z }

α

(0,1) +x

2

| {z }

β

(2,1).

Ahora aplicamos la transformaci´on lineal a la expresi´on anterior

T(x,y) =T(α(0,1) +β(2,1))

=αT(0,1) +βT(2,1)

=y−x

2

(2,3) +x

2

(−1,1)

=

2y−x−x 2,3y−

3 2x+x

=

2y−3 2x,3y−

1 2x

.

Por lo tanto la expresi´on anal´ıtica deT es

T(x,y) =

2y−3 2x,3y−

1 2x

.

Si queremos podemos obtener la matriz estandar deT. Como

2y−3 2x,3y−

1 2x

=x

−3 2,−

1 2

+y(2,3),

entonces

[T] =

  

−3

2 2

−1

2 3

(15)

1.3 Existencia de Transformaciones lineales entre espacios de dimensi´on finita 15

Ejemplo 1.2

Consideremos el espacio eucl´ıdeoR3. Sea

B={(1,1,1),(0,−1,1),(0,0,−1)}

un conjunto de vectores deR3. Determinar si existe una transformaci´on linealT :R3→R3tal que

T(1,1,1) = (2,1,2)

T(0,−1,1) = (1,−2,1)

T(0,0,−1) = (−1,0,2)

Encontrar su expresi´on anal´ıtica.

Soluci´on

Para ver si es posible determinar una transformación lineal que satisfaga las condiciones pedidas debe-mos comprobar si se cumplen las condiciones del Teorema1.3. Para poder aplicar este teorema debemos asegurar es que el conjunto de vectores B={(1,1,1),(0,−1,1),(0,0,−1)} sea linealmente indepen-diente, algo que es sencillo de comprobar. Por lo tanto estamos en condiciones de asegurar que existirá la transformación lineal con las condiciones exigidas. El procedimiento general es más o menos el mismo en este tipo de ejercicios.

Primero vamos a determinar como son las coordenadas de un vector gen´erico(x,y,z)∈_R3_{en la base}_B. Es decir, debemos buscar escalaresc1,c2,c3∈R, las coordenadas de(x,y,z)en la baseB, tal que

(x,y,z) =c1v1+c2v2+c3v3.

Cuando tengamos determinados estos escalares, aplicaremos la transformaci´on linealT a la expresi´on anterior y obtendremos

T(x,y,z) =c1T(v1) +c2T(v2) +c3T(v3).

Como ya conocemosT(v1),T(v2)yT(v3)solo necesitamos encontrar los valoresc1,c2yc3para tener la expresi´on anal´ıtica deT.

En este caso

(x,y,z) =c1v1+c2v2+c3v3.

=c1(1,1,1) +c2(0,−1,1) +c3(0,0,−1)

= (c1,c1−c2,c1+c2−c3).

Es decir

  

c1 =x c₁−c₂ =y c1+c2−c3 =z

Luego debemos escalonar la matriz ampliada

 

1 0 0 x

1 −1 0 y

1 1 −1 z

 →

 

1 0 0 x

0 1 0 x−y

0 0 1 2x−y−z

 

Por lo tanto las coordenadas de cualquier vector(x,y,z)∈_R3_{en la base}_B_son

[(x,y,z)]_B=

 

x x−y 2x−y−z

(16)

Entonces

(x,y,z) =c1(1,1,1) +c2(0,−1,1) +c3(0,0,−1)

=x(1,1,1) + (x−y) (0,−1,1) + (2x−y−z) (0,0,−1)

AplicandoT obtenemos

T(x,y,z) =x T(1,1,1) + (x−y)T(0,−1,1) + (2x−y−z)T(0,0,−1)

=x(2,1,2) + (x−y) (1,−2,1) + (2x−y−z) (−1,0,2)

= (2x+x−y−2x+y+z,x−2x+2y,2x+x−y+4x−2y−2z)

= (x+z,−x+2y,7x−3y−2z).

Por lo tanto la expresi´on anal´ıtica de la transformaci´on esta dada por

T(x,y,z) = (x+z,−x+2y,7x−3y−2z).

Si queremos comprobar que la expresi´on encontrada es correcta sustitu´ımos los elementos de la baseB y chequeamos que se transforman en los vectores del enunciado:

T(1,1,1) = (2,1,2)

T(0,−1,1) = (1,−2,1)

T(0,0,−1) = (−1,0,2)

Ejemplo 1.3

Queremos definir una transformación lineal que tranforme el triángulo de vértices(0,0),(0,1)y(1,1)

en el tri´angulo de v´ertices(0,0),(1,1), y(0,1)

Como antes, para definir adecuadamente una transformaci´on lineal que cumpla con los requisitos pedidos debemos tomar vectores que formen una base enR2y transformarlos adecuadamente en vectores enR2.

Por ejemplo, podemos tomar

v₁= (1,0) −→ u₁= (1,1)

v2= (1,1) u2= (0,1)

Claramente el conjuntoB={v1,v2}forma una base de R2. Por lo tanto, seg´un el Teorema 1.3,

exis-te una única transformación lineal T :R2 →R2 tal que T(v1) =u1 y T(v2) =u2. Determinemos tal tranformación.

(x,y) =α(1,0) +β(1,1).

Entonces

α=x−yyβ=y.

Luego

T(x,y) =T(α(1,0) +β(1,1))

=αT(1,0) +βT(1,1)

= (x−y) (1,1) +y(0,1)

= (x−y,x).

Luego la transformaci´on buscada es

(17)

1.4 N´ucleo e imagen de una transformaci´on lineal 17

1.4. N ´ucleo e imagen de una transformaci ´on lineal

SeanV yW dos espacios vectoriales. SeaT:V →Wuna transformaci´on lineal. Eln´ucleo, o kernel, deT es el siguiente subconjunto deV:

NucT =n~x∈V :T(~x) =~0

o

.

LaimagendeT es el siguiente subconjunto deW:

ImgT={~y∈W:∃~x∈Vtal queT(~x) =~y}.

Teorema 1.3

SeanV yW dos espacios vectoriales. SeaT:V →Wuna transformaci´on lineal.

1. El n´ucleo deT es un subespacio deV.

2. La imagen deT es un subespacio deW.

Ejemplo 1.1

f :R2→R2

definida por f(x,y) = (x−y,x+2y).Estudiar si(1,−1)∈Nucf, y(1,4)∈ImgT. Determinar Nucf.

Soluci´on

Notemos que(1,−1)∈Nucfsi y s´olo si f(1,−1) = (0,0). Pero f(1,−1) = (2,−1)6= (0,0). Por lo tanto

(1,−1)∈/Nucf . Notemos que

(x,y)∈Nucf sii f(x,y) = (0,0) sii (x−y,x+2y) = (0,0)

sii

(

x−y =0

x+2y =0

Por lo tanto, para determinar los vectores que están en el núcleo debemos resolver este sistema ho-mogéneo. De la primera ecuación tenemos quex=y. Reemplazando en la segunda obtenemosx+2x=0 , es decirx=y=0. Luego el sistema anterior tiene como única solución el vector(0,0).Entonces

Nucf={(0,0)}.

Por otra parte,

(1,4)∈ImgT ⇔ ∃(x,y)∈_R2_:_f₍_x,y_{) = (}_1,₄₎ ⇔ ∃(x,y)∈_R2_:₍_x₋_y,x₊_2y_{) = (}_1,₄₎

⇔ el sistema (∗∗)

(

x−y =1

x+2y =4 tiene soluci´on.

Entonces analizamos si el sistema (∗∗) tiene solución. De la primera ecuación obtenemos y=x−1. Entonces reemplazando en la segunda ecuación obtenemosx+2(x−1) =x+2x−2=4. Luego 3x=6, es decirx=2 y por lo tantoy=1. Luego el sistema(∗∗)tiene como soluciónx=2 ey=1. Por lo tanto

(18)

N SeaA∈_Rm×n_{y consideremos la transformaci´on lineal}

TA:Rn→Rm

definida por

TA(~x) =A~x.

Observemos que

NucTA=n~x∈V:TA(~x) =~0

o

=

n

~x∈V:A~x=~0

o

=N(A).

Es decir, el n´ucleo deTA es elespacio nulode la matriz asociada a la transformaci´onTA:

NucTA=N(A).

Como consecuencia de este hecho tenemos que

dimNucTA=dimN(A).

De igual forma

ImgT={~y∈W:∃~x∈Vtal queTA(~x) =~y}

={~y∈W:∃~x∈Vtal queA~x=~y}

=Co(A).

Por lo tanto la imagen deTAes elespacio columnade la matriz asociada a la transformaci´onTA:

ImgT=Co(A).

Notemos que de esta igualdad obtenemos que

dimImgT =dimCo(A) =rg(A).

Las anteriores consideraciones anteriores son v´alidas para la matriz estandar de cualquier transforma-ci´on linealT :Rn→Rm. Es decir,

NucT=N([T])e ImgT =Co([T]).

Ejemplo 1.2

Recordemos que en el Ejemplo1.1definimos la transformación proyección en la dirección de un subes-pacio Sde Rn como la funciónTS:Rn→Rn definida porTS(v) =proySvpara cada v∈Rn. Se puede probar que

ImgTS=Sy NucTS=S⊥.

(19)

Teorema 1.4 Teorema de las dimensi ´on

SeaT :V →W una transformación lineal entre los espacios vectoriales de dimensión finitaV yW. Si la dimensión deV es finita, entonces

dimV =dimNucT+dimImgT.

Ejemplo 1.1

Consideremos la transformaci´on linealT:R3→R3definida por

T(x,y,z) = (x+2y−z,x+y−3z,3x+4y−7z).

Determinar los subespacios NucT, ImgT, sus dimensiones y una base para cada subespacio. Hallar un sistema de ecuaciones del subespacio ImgT.

Soluci´on

Primero determinamos el n´ucleo deT. Sea(x,y,z)∈R3. Entonces

(x,y,z)∈NucT ⇔ T(x,y,z) = (0,0,0)

⇔ (x+2y−z,x+y−3z,3x+4y−7z) = (0,0,0)

Entonces nos queda el siguiente sistema homog´eneo

  

x+2y−z=0 x+y−3z=0 3x+4y−7z=0

Consideramos la matriz asociada a este sistema (que es la misma que la matriz estandar de la transfor-maci´on)

A=

 

1 2 −1

1 1 −3

3 4 −7

 .

Escalonamos la matrizA:

 

1 2 −1

1 1 −3

3 4 −7

 →

 

1 2 −1

0 −1 −2

0 2 −4

 →

 

1 2 −1

0 −1 −2

0 0 0

 

Por lo tanto obtenemos el sistema equivalente

x+2y−z=0 −y−2z=0

Luego

x=5z y=−2z

Por lo tanto un vector gen´erico del n´ucleo deber´ıa tener la forma

(x,y,z) = (5z,−2z,z) =z(5,−2,1).

Luego el n´ucleo es el subespacio

(20)

Claramente la dimensi´on es 1. Notemos que el n´ucleo es lo mismo que el subespacio N(A).

La imagen la podemos obtener aplicando propiedades sobre la expresi´on que define la transformaci´on lineal. Es decir,

T(x,y,z) = (x+2y−z,x+y−3z,3x+4y−7z) = x(1,1,3) +y(2,1,4) +z(−1,−3,−7).

Como vimos en la matriz escalonada de la matrizA, los vectores columna(1,1,3)y(2,1,4)son lineal-mente independientes y por lo tanto forman una base de la imagen. Entonces la imagen es el subespacio

ImgT=(x,y,z)∈_R3:(x,y,z) =α(1,1,3) +β(2,1,4) =Co(A).

Luego

ImgT=Co(A) =h(1,1,3),(2,1,4)i.

Hallemos un sistema de ecuaciones que defina a la imagen. Para ello escalonamos la matriz ampliada

 

1 2 a

1 1 b

3 4 c

 →

 

1 2 a

0 1 a−b

0 −2 c−3a

 →

 

1 2 a

0 1 a−b

0 0 2a−2b+c−3a

 

Entonces−a−2b+c=0. Cambiamos a la notaci´on m´as usual obtenemos que la imagen es el plano

ImgT =(x,y,z)∈R3:−x−2y+z=0 .

Podemos comprobar el Teorema de la dimensi´on

dimNucT+dimImgT =1+2=3=dimR3.

El problema de encontrar una base para NucT siempre se reduce a encontrar una base para el espacio solución de un sistema homogéneo o lo que es igual es llo mismo que determinar el subespacio nulo de la matriz estandar asociada a la transformación. Para la ImgT, podemos obtener una base teniendo en cuenta que los vectores de la imagen deben ser combinación lineal de los vectores columna de la matriz estandar asociada. Otra forma se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.2

T:R4→R3

definida por

T(x,y,z,w) = (x+y,z+w,x+z).

Determinar una base de ImgT y de NucT.

Soluci´on

Como

T(x,y,z,w) =x(1,0,1) +y(1,0,0) +z(0,1,1) +w(0,1,0),

entonces el conjunto de vectores

H={(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0)}

genera al subespacio ImgT. Pero no es una base, pues el espacio tiene dimensi´on 3. Para hallar los vectores linealmente independientes escribimos los vectores deH como la siguiente combinaci´on lineal

(21)

Esto produce un sistema, cuya matriz aumentada reducida queda

    

1 0 0 −1 ... 0

0 1 0 1 ... 0

0 0 1 1 ... 0

    

Como los unos que est´an como pivotes aparecen en las columnas 1, 2 y 3, concluimos que los primeros tres vectores deHforman una base para ImgT. Entonces

B={(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1)}

es una base para ImgT.

En forma alternativa, podemos proceder formar la matriz cuyas filas son los vectores dados

   

1 0 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

   

Al transformar esta matriz a su forma escalonada reducida por filas, obtenemos

   

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

   

Por lo tanto,(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1)es una base de la imagen deT.

Ejemplo 1.3

Encuentre una transformaci´on linealT :R3→R3tal que NucT =Sy ImgT =W, donde

S=

x+y−z = 0

2x+z = 0 yW=h(2,−1,0),(0,1,−2)i.

Soluci´on

De acuerdo al Teorema1.3, debemos determinar una baseB={v1,v2,v3}deR3y un conjunto de

vec-tores deR3que nos permitan definir la transformaci´on lineal con las condiciones dadas. Lo primero que

debemos hacer es hallar una base del subespacioS. Este subespacio est´a definida por dos ecuaciones. De la segunda ecuaci´on obtenemosz=−2x. Sustituyendo en la primera,x+y+2x=0. Entoncesy=−3x. Por lo tanto

(x,y,z) = (x,−3x,−2x) =x(1,−3,−2).

Luego

S=h(1,−3,−2)i.

El vector(1,−3,−2)debe pertenecer a la baseB. Entoncesv1= (1,−3,−2)∈B. Luego ya sabemos que debemos definirT tal que

T(1,−3,−2) = (0,0,0),

(22)

entonces B={(1,−3,−2),(1,0,0),(0,1,0)}es una base deR3. Ahora debemos seleccionar vectores

apropiados para definir la transformaci´on

T(1,−3,−2) = (0,0,0)

T(1,0,0) = (2,−1,0)

T(0,1,0) = (0,1,−2).

Ahora podemos construir la expresi´on anal´ıtica de la transformaci´on lineal. Sea(x,y,z)un vector deR3.

Entonces

(x,y,z) =α(1,−3,−2) +β(1,0,0) +δ(0,1,0)

= (α+β,−3α+δ,−2α)

Luego,

      

x =α+β

y =−3α+δ

z =−2α

Como y=−3α+δ y α=−z₂, entonces δ=y+3α=y−3

2z. Finalmente, de x=α+β, obtenemos β=x−α=x+z₂. Por lo tanto

(x,y,z) =−z 2

(1,−3,−2) +x+z

2

(1,0,0) +

y−3 2z

(0,1,0)

Entonces

T(x,y,z) =−z 2

T(1,−3,−2) +x+z

2

T(1,0,0) +

y−3 2z

T(0,1,0)

=−z

2

(0,0,0) +x+z

2

(2,−1,0) +

y−3 2z

(0,1,−2)

= (2x+z,−x−2z+y,−2y+3z).

Por lo tanto la transformaci´on lineal queda definida por

T(x,y,z) = (2x+z,−x−2z+y,−2y+3z).

1.5. Clasificaci ´on de las transformaciones lineales

Recordemos que una funci´on

f :A→B

esinyectivaouno-uno, si cumple la siguiente condici´on:

Para todoa₁,a2∈A, si f(a1) = f(a2), entoncesa1=a2.

Diremos que f es sobreyectiva si para cadab∈Bexiste una∈Atal que f(a) =b. En este caso la imagen de f coincide con todo el conjuntoB, es decir, Imgf=B.

(23)

1.5 Clasificaci´on de las transformaciones lineales 23

SeaT :V →W una transformaci´on lineal.

1. T es unmonomorfismosiT es inyectiva: es decir si se cumple

T(x) =T(y)entoncesx=y,

para todox,y∈V.

2. T es unepimorfismosiT es sobreyectiva, es decir si se cumple

Para caday∈W existex∈V tal queT(x) =y.

Esto es equivalente a decir que

ImgT=W.

3. T es unisomorfismosiT es biyectiva, es decir, siT es monomorfismo y epimorfismo.

4. T es unendomorfismocuandoV =W.

5. T es unautomorfismosi es un endomorfismo biyectivo.

SiT :V →W es un isomorfismo, entonces diremos queV yW son isomorfos. Escribiremos

V∼=W

cuando existe un isomorfismo entreV yW. Notemos que si existe un isomorfismoT :V→W, entonces existe la funci´on inversaT−1:W→V que se puede probar que es un isomorfismo.

Teorema 1.5

SeaT :V →W una transformaci´on lineal. Entonces

T es un monomorfismo sii NucT =

n

~₀o_.

Ahora damos una caracterizaci´on de las transformaciones lineales sobreyectivos, es decir, de los epimorfis-mos.

Teorema 1.6

Una transformaci´on lineal T :V →W es sobreyectiva si, y s´olo si cualquier conjunto de vectores que genera aV se transforma medianteT en un conjunto de generadores deW.

Ejemplo 1.1

Determinar si transformaci´on linealT:R2→R2definida por

T(x,y) = (2x−y,x+y)

es un monomorfismo y un epimorfismo.

Soluci´on

De acuerdo con el Teorema1.5debemosT ser´a un monomorfismo cuando NucT ={(0,0)}.Entonces

(24)

sii

(2x−y,x+y) = (0,0)

sii

2x−y=0

x+y=0

resolviendo este sistema obtenemos que la ´unica soluci´on esx=0 yy=0.Por lo tanto NucT ={(0,0)} y en consecuenciaT es un monomorfismo.

Para analizar si es un epimorfismo podemos tomar una base del dominio, es decir deR2y ver si se

con-vierte en una base del codominio, es decir deR2. Si esto ocurre, entonces por el Teorema 1.6 podremos

asegurar queT es un epimorfismo.

Consideremos entonces la base can´onicaE={(1,0),(0,1)}deR2. Luego

T(1,0) = (2,1)

T(0,1) = (−1,1).

Es sencillo comprobar que el conjuntoB0={(2,1),(−1,1)}es linealmente independiente, entonces es una base deR2. Por lo tanto{T(1,0),T(0,1)}genera aR3y en consecuenciaT es un epimorfismo.

Otra forma de probar que es un epimorfismo es la siguiente. La base de la imagen se puede determinar directamente a partir de la expresi´on deT

T(x,y) = (2x−y,x+y) =x(2,−1) +y(−1,1).

Entonces todo vector de la imagen es combinaci´on lineal de los vectores(2,1) y(−1,1). LuegoB0 es una base deR2y por lo tantoT es un epimorfismo.

Teorema 1.7

SeaT :V →W una transformaci´on lineal entre dos espacios vectoriales. Entonces

dimV =dim(NucT) +dim(ImgT)

.

Ahora veremos un importante resultado que habla sobre los isomorfismos entre espacios de dimensión finita. Sabemos que toda transformación linealT :Rn→Rmes de la forma T =TA para alguna matrizAde tamañom×n. JustamenteAes la matriz estandar. En el próximo teorema especificamos cuando estas clases de transformacione lineales son monomorfismos y epimorfismos.

Teorema 1.8

SeaT :Rn→Rmuna transformaci´on lineal definida porT(~x) =A~x.Entonces

1. T es epimorfismo sii Co(A) =Rmsii rg(A) =m.

2. T es un monomorfismo sii rg(A) =n.

Ejemplo 1.1

Estudiar si transformaci´on linealT :R2→R3definida porT(x,y) = (x−y,2x,x+y)es epimorfismo y

(25)

Soluci´on

Primero hallamos la transformaci´on estandar deT

T(x,y) = (x−y,2x,x+y) =x(1,2,1) +y(−1,0,1)

.

Entonces

A= [T] =

 

1 −1

2 0

1 1

 .

Entonces es inmediato comprobar que los dos vectores columna son linealmente independientes. Por lo tanto dimCo(A) =2<3=dimR3. Entonces no puede ser un epimorfismo.

También podr´ıamos razonar encontrando un vectorv∈_R3_{tal que}_v_∈_/_ImgT_{. Por ejemplo, el}₍_0,2,₀₎_no está en la imagen deT, pues en caso contrario deber´ıa ocurrir que(0,2,0) = (x−y,2x,x+y)para algún x,y∈R.Pero de esta igualdad se desprende quex−y=0,x=1 yx+y=0, lo que es imposible.

Como rg(A) =2=dimR2, entoncesT es monomorfismo.

Ahora presentamos la noción de inversa de una transformación lineal. Recordemos que una función f:A→ Btiene inversa si existe una funcióng:B→Atal que f◦g=IdByg◦f=IdA. Se puede comprobar que

f tiene inversa sii f es biyectiva.

En el contexto de transformaciones lineales podemos dar una definici´on totalmente an´aloga.

Una transformaci´on lineal T :V →W es invertible si existe una transformaci´on linealT−1:W →V, llamada inversa deT, tal que

T◦T−1=IdW yT−1◦T=IdV.

N El dominioV y el codominioWde la transformaciónT no tienen que ser el mismo espacio vectorial. Pero sin embargo, si trabajamos con espacios de dimensión finita, los dos espacios deben tener la misma dimensión.

En la definición se pide que la funciónT−1 sea lineal. Este requisito se puede omitir, ya que no es dif´ıcil demostrar que siT :V→W es una transformación y que existe una funciónF:W→V tal que T◦F=IdW yF◦T=IdV, entoncesFes también una transformación lineal.

los siguientesresultados nos restringimos al espacio eucl´ıdeoRn.

Teorema 1.9

SeaT :Rn→Rnuna transformaci´on lineal y seaAla matriz estandar deT. EntoncesT es invertible si y

s´olo siAes invertible. En este caso

[T]−1=

T−1

.

Teorema 1.10

Sea T :Rn→Rn una transformaci´on lineal y sea A la matriz estandar de T. Entonces las siguientes

condiciones son equivalentes:

1. T es un isomorfismo.

(26)

3. T es invertible.

4. NucT =n~0

o

.

5. N(A) =

n

~₀o_.

6. Aes invertible.

7. T es un epimorfismo.

8. Co(A) =Rn.

9. rg(A) =n.

10. detA6=0.

En las condiciones del teorema anterior, no es necesario analizar inyectividad y sobreyectividad separada-mente ya que una de ellas implica la otra y por lo tanto, que se cumpla una de ellas implica que la transformación lineal es biyectiva. Esto sólo ocurre cuando el dominio y el codominio tienen la misma dimensión.

Ejemplo 1.1

Analizar si la siguiente transformaci´on lineal tiene inversa. En caso positivo determinar su inversa.

T(x,y,z) = (3x+2y−z,−x+y−2z,−x−y+z).

Soluci´on

La matriz estandar de la transformaci´onT es

[T] =

 

3 2 −1

−1 1 −2

−1 −1 1

 

Para saber si es invertible podemos estudiar su rango. Si el rango es 3, entonces[T]es invertible. Tam-bi´en podemos calcular su determinante. Si es distinto de cero, entonces la matriz[T]ser´a invertible. En cualquier caso nos piden que hallemos su inversa. Por lo tanto nos conviene calcular la matriz inversa

[T]−1y después hallar la transformación asociada. Calculando la inversa por algún método, obtenemos

[T]−1=

 

1 5

3

5 1

1

5 −

2 5 −1 0 −1 −1

 .

Entonces la transformaci´on inversa es

T−1(x,y,z) =

 

1 5

3

5 1

1 5 −

2 5 −1 0 −1 −1

 

 

x y z

 =

 

1 5x+

3 5y+z 1

5x− 2 5y−z −y−z

 .

Entonces

T−1(x,y,z) =

1 5x+

3 5y+z,

1 5x−

2

5y−z,−y−z

(27)

Ejemplo 1.2

Analizar si las transformaciones dadas por las matrices indicadas son monomorfismo, epimorfismos e isomorfismos.

1.A1=

 

1 −1 0

0 2 −3

0 0 1



 2. A2=

−3 1 0

0 2 −4

3. A3=

 

3 −1

2 0

0 0



 3. A₄=  

1 2 −3

−1 1 4

0 0 0

 

Soluci´on

Para cada matriz A∈_Rm×n_{, tenemos una transformaci´on} _TA _:

Rn→ Rm. Hacemos una tabla con la

dimensión del dominio de cada transformación, la dimensión de la imagen. Recordemos que ImgTA=

Co(A), por lo tantoTAes sobreyectiva si ImgTA=Co(A) =m.

TA:Rn→Rm dimRn dimImgT dimNucT inyectiva sobreyectiva

1. TA1:R 3_→

R3 3 3 0 si si

2. TA2:R 3_→

R2 3 2 1 no si

3. TA3:R 2_→

R3 2 2 1 si no

4. TA4:R 3_→

R3 3 2 1 no no

Ejemplo 1.3

Consideremos la transformaci´on linealT:R3→R3definida porT(v) =A v, donde

A=

 

−1 2 1

1 0 k

1 k −1

 .

1. Determinar si existe alg´un valor dek∈_Rtal queT sea un monomorfismo.

2. Parak=−1, determinar el n´ucleo y la imagen deT.

Soluci´on

1. La expresi´on anal´ıtica de la transformaci´on lineal es

T   x y z  =  

−1 2 1

1 0 k

1 k −1

    x y z  =  

−x+2y+z x+kz x+ky−z

 

Entonces, recordemos que:

T es monomorfismo sii NucT =n~0osii el sistemaA~x=~0 tiene soluci´on ´unica sii rg(A) =3 sii det(A)6=

0.

Por lo tanto calculamos el determinante deA:

det(A) =

−1 2 1

1 0 k

1 k −1

=2k+k+k2+2=k2+3k+2

(28)

Luego es sencillo comprobar que

det(A)6=0 siik6=−2 yk6=−1.

Por lo tanto,

T es monomorfismo siik6=−2 yk6=−1.

Por el Teorema de la dimensi´on,

dimNucT+dimImgT =dimR3=3.

Como dimNucT =0, entonces dimImgT =3.Por lo tantoT es un isomorfismo.

2. Si k=−1, entoncesT no es un momonorfismo. La transformaci´on lineal en este caso tiene como expresi´on anal´ıtica a

T

 

x y z

 =

 

−1 2 1

1 0 −1

1 −1 −1

 

 

x y z

 =

 

−x+2y+z x−z x−y−z

 

Calculemos el rango de la matriz

 

−1 2 1

1 0 −1

1 −1 −1

 →

 

−1 2 1

0 2 0

0 1 0

 →

 

−1 2 1

0 2 0

0 0 0

 .

Como NucT=nv:T(v) =Av=~0o, entonces(x,y,z)∈NucT sii

−x+2y+z=0 2y=0

de donde obtenemosy+0 yx=z.Entonces

NucT ={(x,0,x)}=h(1,0,1)i.

Para obtener una base de ImgT debemos recordar que

ImgT =Co(A).

El espacio columna deAest´a generado por los vectores columna deAque corresponden a los pivotes en una forma escalonada deA. En este caso las dos primeras columnas generan al espacio columna y por lo tanto a la imagen deT:

ImgT =h(−1,1,1),(2,0,−1)i.

1.6. Matriz asociada a una transformaci ´on lineal

En el Lema1.1vimos que cualquier matrizA∈Rm×ndefine una transformaci´on lineal comoT(~x) =A~x.

Además vimos en los ejemplos1.1 y 1.2 que cada una de estas transformaciones tiene asociada una matriz, llamada lamatriz estandar, que permite definir completamente a la transformación cuando trabajamos en las bases canónicas. ¿Pero que ocurre si estamos trabajando con otras bases? En estos casos también podemos definir una matriz que nos permite determinar lascoordenadasde las imagenes de los vectores. Ahora veremos como calcular estas matrices

(29)

1.6 Matriz asociada a una transformaci´on lineal 29

transformaci´on lineal. Para cada vectorv∈V existen ´unicos escalaresc₁, . . . ,cntales que

v=c1v1+· · ·+cnvn.

Consideremos la imagen devpor medio deT, es decir

T(v) =d1w1+· · ·+dmwm

la expresi´on en coordenadas deT(v)en la baseB₂. Queremos estudiar que conexi´on existe entre[v]_B

1y[T(v)]B2. Vamos a ver como construir una matriz que transforma las coordenadas deven la baseB1a las coordenadas de T(v)en la baseB2.

Teorema 1.11

SeanV yW dos espacios vectoriales de dimensi´on ny m, respectivamente. SeaB1={v1, . . . ,v2}una base deV yB2una base deW. Consideremos una transformaci´on linealT :V →W. Entonces la matriz

[T]_B

1B2 dem×ncuyasncolumnas corresponden a[T(vi)]B2 es decir la matriz

[T]_B₁_B₂ = ([T(v1)]B2. . .[T(vn)]B2),

cumple que

[T(v)]_B

2 = [T]B1B2 [v]B1, para cada vectorv∈V.

La matriz[T]_B

1B2 se llama matriz deT respecto de las basesB1yB2, o matriz de transición de la baseB1a la baseB2. La baseB1 se llama base de partida y la baseB2se llama base de llegada. Otras notación utilizada usualmente para denotar a la matriz asociada a una transformaciónT respecto a la baseB1 y a la baseB2 es MB1B2(T).

La matriz A= [T]_B

1B2 permite pasar las coordenadas de un vectorv∈V en la base B1 a las coordenadas de su imagen T(v)∈W en la base B2 como se muestra en el siguiente diagrama. Recordemos queTA es la transformaci´on definida por la matrizA:

v T(v)

[v]_B

1 A[v]B1= [T(v)]B2 T

TA

A continuaci´on especificamos los pasos a seguir para construir la matriz[T]_B

1B2 .

1. Se calculan los transformados de los vectoresv1, . . . ,vn, por medio deT, es decir los vectoresT(v1), . . . ,T(vn).

2. Se escribe cada vectorT(v1), . . . ,T(vn)en terminos de la baseB2. De esta forma obtenemos las coorde-nadas de cada vectorT(v1), . . . ,T(vn)en la baseB2.

3. Con estas coordenadas se forma la matriz[T]_B₁_B₂ asociada a la transformaci´onT en las basesB1yB2.

N Algunos comentarios:

1. Si trabajamos sobre el mismo espacio vectorial, es decir siV =W, yB={v1, . . . ,v2}es una base deV, entonces la matriz de una transformaci´onT :V →V en la baseBse denota por[T]_B

y se llama matriz deT respecto a la baseB. En este caso el Teorema1.6afirma que

(30)

para cadav∈V.

2. La matriz de la transformaci´onId:V →V de la baseB₁a la baseB₂es la matriz de cambio de basePB1B2 pues

[I]_B

1B2 = ([I(v1)]B2. . .[I(vn)]B2)

= [v1]B2. . .[vn]B2

=PB1B2.

3. La matriz[T]_B

1B2 depende del orden de los vectores de lasB1yB2. Si reordenamos los vectores de alguna de las bases esto afectar´a a la matriz[T]_B

1B2.

4. Si tenemos una transformaci´onT :Rn→Rm y si En y Em son las bases can´onicas de Rn y

Rm,respectivamente, entonces se puede probar que

[T]_EE = [T] matriz estandar deT.

Ejemplo 1.1

Consideremos la transformaci´on linealT:R2→R2definida por

T(x,y) = (x+2y,x−y).

1. Determinar la matriz estandar[T]y la matriz de transformaci´on[T]_B

1B2, en la bases

B1={(1,−1),(0,1)} yB2={(2,−1),(1,−1)}.

2. Calcular la imagen del vectorv= (3,2)primero utilizando directamente la transformaci´on y des-pu´es utilizando la matriz[T]_B₁_B₂.

Soluci´on

1. La matriz estandar[T]se forma directamente calculando las imagenes de los vectores can´onicos. Es decir,

T(1,0) = (1,1)

T(0,1) = (2,−1)

Luego

[T] =

1 2

1 −1

.

También podemos calcular la matriz estandar si tenemos la expresión anal´ıtica. En este caso conviene escribir a la transformación con vectores columnas. Es decir

T

x y

=

x+2y x−y

=x

1 1

+y

2 −1

=

1 2

1 −1

| {z }

[T]

x y

.

Por lo tanto llegamos al mismo resultado. Para calcular la matriz[T]_B

1B2debemos determinar la imagen por medio deT de cada vector de la baseB1 y despu´es encontrar las coordenadas de los vectores que se obtienen en la baseB2. Calculamos entonces las imagenes de los vectores de la baseB1.

T(1,−1) = (−1,2)

(31)

Ahora buscamos las coordenadas en la baseB2de cada vector obtenido.

(−1,2) =α(2,−1) +β(1,−1).

Resolvemos este sistema y obtenemos

[T(1,−1)]_B₂ =

1 −3

.

Hacemos lo mismo con el vectorT(0,1) = (2,−1),

(2,1) =α(2,−1) +β(1,−1).

y resolviendo el sistema, obtenemos las coordenadas

[T(0,1)]_B

2 =

1 0

.

Entonces

[T]_B₁_B₂ = ([T(1,−1)]_B₂ [T(0,1)]) =

1 1

−3 0

.

2. Calculamos la imagen del vector v= (3,2) utilizando la expresi´on anal´ıtica de la transformaci´on. ComoT(x,y) = (x+2y,x−y), tenemos que

T(3,2) = (7,1).

Ahora vamos a calcular la imagen dev, pero utilizando la matriz[T]_B

1B2. De acuerdo al Teorema1.6,

[T(v)]_B

2 = [T]B1B2 [v]B1.

Entonces debemos calcular primero[v]_B

1 = [(3,2)]B1=

α

β

(3,2) =α(2,−1) +β(1,−1).

Resolviendo el sistema obtenemos

[(3,2)]_B

1=

3 5

.

Luego

[T(v)]_B

2= [T]B1B2 [v]B1 =

1 1

−3 0 3 5

=

8 −9

Conociendo las coordenadas deT(v)en la baseB₂ahora podemos calcular el vectorT(v)por medio de la f´ormulaT(v) =MB₂ [T(v)]_B

2 o directamente

T(v) =8(2,−1) + (−9) (1,−1) = (16−9,−8+9) = (7,1).

Obviamente este es el resultado esperado, ya que el transformado de un vector es ´unico y por lo tantono depende de la base.

Para el caso de transformacionesT:Rn→Rmpodemos dar un m´etodo o algor´ıtmo que nos permite calcular

la matriz[T]_B₁_B₂.

Supongamos que tenemos una base B₁={v₁,v2, . . . ,vn} de Rn yB2={u1,u2, . . . ,um} una base de Rm.

(32)

T(vi)en la base B2,es decir, debemos hallar [T(vi)]B2.Si escribimos la matriz que tiene por columnas a los vectores de la baseB2,entonces para hallar[T(vi)]B2 deber´ıamos habr´ıa que considerar el sistema aumentado

(u₁,u2, . . . ,um|T(vi)).

Este sistema tienen solución única al ser los coeficientes de la descomposición de un vector con respecto a una base, por lo que al realizar el método de Gauss-Jordan el sistema aumentado cambia según

(u1,u2, . . . ,um|T(vi))

aplicamos Gauss-Jordan

−−−−−−−−−−−−−→ e1,e2, . . . ,em|[T(vi)]B2

.

El procedimiento anterior se puede realizar simultanemente para cada vector T(v₁),T(v₂),. . . ,T(vn). Por lo tanto para determinar la matriz deT asociada a las basesB1yB2constru´ımos el sistema aumentado siguiente

(u₁,u2, . . . ,um|T(v1),T(v2), . . . ,T(vn)).

Aplicamos Gauss-Jordan hasta obtener la siguiente matriz

   

e1,e2, . . . ,em|[T(v1)]B2,[T(v2)]B2, . . . ,[T(vn)]B2

| {z }

[T]B₁B₂

   

.

Ejemplo 1.2

Resolver el apartado 1 del ejemplo1.6utilizando el m´etodo descripto anteriormente.

Primero calculamos las imagenes por medio deT de los vectores deB1={(1,−1),(0,1)}. Es decir,

T(1,−1) = (−1,2)

T(0,1) = (2,−1).

Ahora formamos la matriz ampliada

u1 u2 T(v1) T(v2)

=

2 1 −1 2

−1 −1 2 −1

donde B2={u1,u2}={(2,−1),(1,−1)}. Escalonamos hasta completar que la primer matriz sea la identidad

2 1 −1 2

−1 −1 2 −1

→

2 1 −1 2

0 −1 3 0

→

2 0 2 2

0 −1 3 0

→

1 0 1 1

0 1 −3 0

| {z }

I2|[T]B₁B₂

.

Entonces obtenemos matriz[T]_B

1B2 =

1 1

−3 0

.

Recordemos que dada una transformaci´on lineal sobre el mismo espacioT :V →V, y dada una baseBde V, la matriz [T]_B se llama la matriz de la transformaci´onT. Ahora si cambiamos de base entonces la matriz cambia. Es decir, para basesB1yB2diferentes, las matrices[T]B1 y[T]B2 son diferentes.

Entonces surge inmediatamente la siguiente pregunta

¿Como se relacionan las matrices[T]_B

1 y[T]B2?

Ahora veremos como est´an conectadas las matrices[T]_B

(33)

Teorema 1.12

SeaV un espacio de dimensi´on finita. SeaT:V→V una tranformaci´on lineal. SeanB1yB2bases deV. Entonces la matriz de transformaciones[T]_B

1 y[T]B2 est´an relacionadas por la siguiente igualdad:

[T]_B

2 =PB1B2.[T]B1 PB2B1. (1.1)

Podemos hacer el siguiente diagrama que ilustra la situaci´on planteada en el Teorema anterior

V V

[v]_B

1 [T(v)]B2

[v]_B

2 [T(v)]B2

[T]_B

1

PB₁B₂ PB₂B₁

[T]_B

2

Por lo tanto, si queremos determinar el vector de coordenadas[T(v)]_B

2 desde el vector de coordenadas[v]B2, de acuerdo al diagrama anterior, tenemos dos posibles caminos.

Un es directo y que se hace por medio de la matriz de la transformaci´on lineal[T]_B

2. Por este camino tenemos la siguiente identidad:

[T(v)]_B₂ = [T]_B₂[v]_B₂.

Pero este camino requiere conocer previamente la matriz[T]_B₂.

El otro camino es m´as largo y se utiliza las matrices de cambio de basePB2B1yPB1B2. Primero calculamos la matriz[T]_B₂ por medio de la igualdad

[T]_B

2=PB1B2.[T]B1PB2B1.

y entonces hallamos las coordendas[T(v)]_B

2 por medio de

[T(v)]_B

2= [T]B2[V]B2

= PB1B2.[T]B1 PB2B1

[V]_B

2

Podemos simplicar en algunos casos particulares. Como

PB2B1 = (PB1B2)

−1_,

yPB1B2= (PB2B1)

−1_,

entonces la identidad (1.1) la podemos expresar en la siguiente forma

[T]_B

2PB1B2 =PB1B2.[T]B1. (1.2)

Transformaciones sobreRn

Para el caso puntual de una transformaci´on T :Rn →Rn y una baseB de Rn de la ecuaci´on tenemos la

siguiente situaci´on. Recordemos queMBes la matriz cuyas columnas son los vectores de la baseB. Como

PBE=MB,

entonces por la identidad (1.2) obtenemos

(34)

En el ejemplo1.6nos dan la expresión anal´ıtica de la transformación y las bases de cada espacio. Con esa información determinamos la matriz de la transformación y la imagen de un vector. Otra posibilidad que se puede presentar es que nos den directamente la matriz de transformación y nos pidan determinar la expresión anal´ıtica de la transformación, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.1

SeaT :R2→R2una transformaci´on lineal. Determinar la matriz[T]B dondeB={(1,0),(1,−1)}

sa-biendo que la matriz estandar es[T] =

2 −1

1 1

.

Soluci´on

Vamos a resolver este ejercicio de dos formas diferentes.

Primero podemos aplicar la identidad (1.3). Como[T]MB=MB[T]B, y la matriz asociada a la baseBes

MB=

1 1

0 −1

,entonces

[T]_B=M_B−1[T]MB=

1 1

0 −1

2 −1

1 1

0 −1

=

3 3

−1 0

.

La otra forma es determinar la transformaci´on lineal utilizando la matriz estandar y despu´es hallar las coordenadas de los vectores de la baseBen la misma base. Es decir,

T

x y

= [T]_B

x y

=

2 −1

1 1

x y

=

2x−y x+y

.

Escribimos la transformaci´on como filaT(x,y) = (2x−y,x+y), y calculamos las imagenes de los vec-tores de la baseB:

T((1,0)) = (2,1) yT((1,−1)) = (3,0).

Ahora hallamos las coordenadas de estos vectores en la baseB.

(2,1) =c1(1,0) +c2(1,−1) = (c1+c2,−c2).

Entoncesc₁=3 yc₂=−1. Luego

[T((2,1))]_B= (3,−1)t.

De igual forma podemos hallar que

[T((1,−1))]_B= (3,0)t,

y por lo tanto

[T]_B=

3 3

−1 0

.

Ahora veremos un ejemplo donde las dos bases sean no estandar.

Ejemplo 1.2

(35)

dos bases. Si[T]_B=

1 −1

2 3

es la matriz deT respecto a la baseB. Determinar

1. [T]_B0 y[T].

2. Hallar[v]_B,[T(v)]_By[T(v)]_B0 sabiendo que[v]B0 = (3,2)t.

Soluci´on

1. Para hallar[T]_B0 vamos a aplicar la identidad

[T]_B0 =PBB0[T] BPB0B.

Primero debemos hallar las matrices de cambio de basePBB0 yP_B0B.Unicamente debemos hallar una de´ las matrices, la otra se obtiene por medio de la inversa. Calculamos

PBB0 = ([v₁]

B0 [v2]B0),

donde B={v1,v2}. Debemos hallar la combinaci´on lineal del vectorv1 = (−1,2) en la baseB0 y lo mismo para el vectorv2= (0,1). Entonces planteamos las identidades

(−1,2) =c1(2,1) +c2(1,1)

y

(0,1) =d₁(2,1) +d₂(1,1).

escalonamos la siguiente matriz ampliada

2 1 | −1 0

1 1 | 2 1

→

2 1 | −1 0

0 −1 | −5 −2

→

2 0 | −6 −2 0 −1 | −5 −2

Entonces 2c1=−6 y−c2=−5, es decirc1=−3 yc2=5. Luego [v1]B0 = (−3,5) t

. De igual forma, 2d1=−2 y−d2=−2 , es decir,d1=−1 yd2=2. Luego[v2]B0= (−1,2)t. Por lo tanto

PBB0 =

−3 −1

5 2

.

Luego

PB0_B= (P_BB0)−1=

−3 −1

5 2

−1

=

−2 −1

5 3

.

Por lo tanto

[T]_B0 =PBB0[T] BPB0_B

=

−3 −1

5 2

1 −1

2 3

−2 −1

5 3

=

10 5

−24 −13

Ahora debemos hallar la matriz estandar. Como

[T] =PBE[T]BPEB

y recordando quePBE=MByPEB=MB−1, entonces es sencillo calcular el anterior producto de matrices. Queda como ejercicio.

2. Debemos hallar primero[v]_B. En este caso aplicamos la matriz de transici´onPB0_B

[v]_B=PB0_B[v] B0=

−2 −1

5 3

3 2

=

Para hallar[T(v)]_By[T(v)]_B0 aplicamos las identidades

[T(v)]_B= [T]_B[v]_B

y

[T(v)]_B0= [T]_B0[v]_B0. Ejemplo 1.3

SeaT :R3→R2una transformaci´on lineal. Consideremos las bases

(36)

deR3yR2, respectivamente. Sea

[T]_B

1B2 =

1 −1 0

2 1 −1

la matriz de transformaci´on deT en las basesB1yB2.

1. Hallar los vectoresT(1,0,0),T(−1,1,0)yT(0,0,2)utilizando la matriz[T]_B₁_B₂.

2. Hallar la matriz estandar[T]utilizando los vectores hallados en el punto 1 y luego hallar la expre-si´on anal´ıtica deT.

3. Determinar la expresi´on anal´ıtica deT con los datos del ´ıtem 1 y luego la matriz estandar.

4. Hallar la matriz estandar utilizando el m´etodo descripto en el Teorema1.6.

5. Determinar la imagen dev= (−1,2,−4)utilizando la matriz estandar y la matriz[T]_B

1B2.

Soluci´on

Antes de comenzar la resolución es importante remarcar que datos tenemos para encarar el problema. Como dato tenemos una baseB1deRn,una baseB2deRm, y la matriz de la transformación[T]B1B2. Por lo tanto nos están dando las coordenadas en la baseB2de cada vectorT(v), para cada vectorv∈B1. Es decir, tenemos como dato

[T((1,0,0))]_B

2 =

1 2

, [T((−1,1,0))]_B

2=

−1 1

, [T((0,0,2))]_B

2 =

0 −1

1. Determinemos los vectoresT(1,0,0),T(−1,1,0)yT(0,0,2).

Cada uno de estos vectores se expresa como combinaci´on lineal de los vectores de la baseB2. Ya que tenemos como dato las coordenadas de estos vectores (son las columnas de la matriz[T]_B₁_B₂) y la matriz B₂, entonces es posible determinar cada uno de esos vectores utilizando la f´ormula

T(v) =c1(1,1) +c2(0,1),

dondec1yc2son las coordenadas deT(v)en la baseB2 (que corresponden a las columnas de la matriz

[T]_B

1B2). Esto es lo mismo que escribir

T(v) =MB₂[T(v)]_B₂

Entonces procedemos a calcular los vectoresT(1,0,0),T(−1,1,0),T(0,0,2):

T(1,0,0) =1.(1,1) +2.(0,1) = (1,3)

T(−1,1,0) = (−1).(1,1) +1.(0,1) = (−1,0)

T(0,0,2) =0.(1,1) + (−1).(0,1) = (0,−1).

2. Determinarla matriz estandar[T]y la expresi´on anal´ıtica deT con los datos del ´ıtem 2.

Cuando hemos encontrado las imagenes de los vectores de la base B₁, es decir, cuando ya tenemos T(1,0,0), T(−1,1,0) y T(0,0,2) debemos determinar las imagenes de los vectores can´onicos deR3

para hallar la matriz estandar[T]. Es decir, debemos determinarT(e1),T(e2)yT(e3). Observemos que podemos formar el siguiente sistema

T(1,0,0) =T(e1) = (1,3)

T(−1,1,0) =T((−1) (1,0,0) + (0,1,0)) =−T(e1) +T(e2) = (−1,0)

(37)

Es decir,

T(e₁) = (1,3)

−T(e1) +T(e2) = (−1,0)

2T(e3) = (0,−1).

De la segunda ecuaci´on obtenemos

T(e₂) = (−1,0) +T(e₁) = (−1,0) + (1,3) = (0,3).

De la tercer ecuaci´on obtenemos

T(e3) =

0,−1 2

.

Por lo tanto la matriz estandar es

[T] =

1 0 0

3 3 −1

2

.

Con la matriz estandar podemos hallar la expresi´on anal´ıtica, ya queT(v) = [T(v)], para cualuierv∈R3.

Entonces T     x y z    = [T]_E

  x y z  =

1 0 0

3 3 −1

2   x y z   T(   x y z  ) = x 3x+3y−1

2z

.

3. Determinar la expresión anal´ıtica deT con los datos del ´ıtem 1, y luego determinar la matriz estandar. En este caso primero hallamos las coordenadas de un vector genéricov= (x,y,z)en la baseB1y después aplicamosT y hallamos las coordenadas deT(x,y,z)en la baseB₁.

Seav= (x,y,z)un vector deR3y lo expresamos como combinaci´on lineal de los vectores de la baseB1

(x,y,z) =α(1,0,0) +β(−1,1,0) +γ(0,0,2).

Luego obtenemos un sistema

x=α−β

y=β

γ=2γ

Escrito en forma matricial

    

1 −1 0 ... x

0 1 0 ... y

0 0 2 ... z

     →     

1 −1 0 ... x

0 1 0 ... y

0 0 1 ... ₂z

     →     

1 0 0 ... x+y

0 1 0 ... y

0 0 1 ... ₂z

    

Lo resolvemos y llegamos a las identidades α=x+y, β=y e γ= ₂z. De esta forma conocemos las

coordenadas de(x,y,z)en la baseB₁. Es decir,

[(x,y,z)]_B

1=   α β γ  =  

x+y y z 2

(38)

Luego, cualquier vectorV = (x,y,z)queda expresado en la baseB1como:

(x,y,z) = (x+y)(1,0,0) +y(−1,1,0) +z

2(0,0,2)

AplicamosT a la igualdad anterior:

T(x,y,z) = (x+y)T(1,0,0) +y T(−1,1,0) + z

2T(0,0,2)

= (x+y) (1,3) +y(−1,0) +z

2(0,−1)

= (x+y,3x+3y) + (−y,0) + (0,−z 2)

= (x,3x+3y−z

2).

Por lo tanto la expresi´on anal´ıtica de la transformaci´onT es

T(x,y,z) = (x,3x+3y−z 2).

A partir de la expresi´on anal´ıtica podemos determinar la matriz estandar[T] = [T]_E:

T(x,y,z) = (x,3x+3y−z 2) =x

1 3

+y

0 3

+z

0 −1 2

=

1 0 0

3 3 −1₂

 

x y z

 

Entonces la matriz estandar es

[T]_E=

1 0 0

3 3 −1₂

.

4. Ahora nos piden hallar la matriz estandar pero utilizando el m´etodo descripto en el Teorema1.6. Por lo tanto tenemos la siguiente situaci´on

[v]_B₁ [T(v)]_B₂

[v]_E=v [T(v)]_E =T(v)

[T]_B

1B2

PB₂E

[T]_EE=[T] PEB₁

[T] =PB2E [T]B1B2PEB1

Recordemos queMBdenota la matriz que se forma tomando los vectores de una baseBcomo columnas. Como

PEB₁ = (PB₁E)−1=MB−11

PB₂E =MB2,

entonces debemos calcular el siguiente producto de matrices

[T] =MB2 [T]B1B2M

−1 B1 .

Las matrices asociadas a las bases dadas son

MB1 =

 

1 −1 0

0 1 0

0 0 2



 yMB2=

1 0

1 1