UNIDAD2MF2010a

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(1)MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 2.1. FLUJOS DE EFECTIVO.. Cualquier tipo de entidad, física o moral, siempre tiene movimiento de dinero. Una persona física cobra o percibe dinero (sueldo, pensión, comisión, etc.) y entrega a alguna otra entidad (tiendas, mercados, gobierno, etc.) parte de ese dinero para poder subsistir. Las personas morales (negocio formado por sociedad) percibe dinero por la venta de bienes o servicios producidos y se entrega dinero a los proveedores de insumos (mano de obra, materiales y servicios). Estos ingresos y pagos están dados en cierto intervalo de tiempo y se denomina Flujos de efectivo o flujos de caja. 2.1.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN FLUJO DE EFECTIVO Un flujo de efectivo puede ser positivo o negativo. a.-. FLUJOS POSITIVOS (+): Estos representan todas las entradas de dinero independientemente de donde provenga. 70 50 │ │ 30 │ 20 │ │ │ 15 (+) ─────┴─────────┴────────┴─────────┴───────┴───────. b.-. FLUJOS NEGATIVOS (-): Estos representan todas las salidas o egresos de dinero independientemente del concepto que los origine. ─────┬─────────┬───────────┬───────────┬─────────── │ │ │ │ (-) 50 │ │ │ │ 60 │ 75 │ 100 En cualquier instante de tiempo, el flujo de efectivo podría representarse como: Flujo de Efectivo Neto = Entradas - Desembolsos. Un flujo de caja normalmente toma lugar en diferentes intervalos de tiempo dentro de un período de interés, un supuesto para simplificar es el de que todos los flujos de caja ocurren al final de cada periodo de interés. Esto se conoce como convención de fin de periodo. Un diagrama de flujo de caja es simplemente una representación gráfica de un flujo de caja en una escala de tiempo. El diagrama representa el planteamiento del problema y muestra que es lo dado y lo que debe encontrarse. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 15.

(2) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. Escala de tiempo típica para flujos de caja inicio. fin. inicio. fin Años. ├─────────┼─────────┼─────────┼─────────┼─────────┼─────── 0 1 2 3 4 5 │ │ │ │ └─────────┘ └─────────┘ Año 1 Año 3 Ejemplo 2.1: Supóngase que una persona depositó $15,000 en el banco el primero de enero de 1981 y puede retirar $19,500 el 1 de enero de 1985. La representación gráfica de este hecho desde el punto de vista de la persona que deposita es: │$19,500 │ │ 0 1 2 3 4 años ├────────┼───────┼────────┼────────┼────────────── 1981 1982 1983 1984 1985 │ │ │ $15,000 En el momento en que la persona deposita o inicia el periodo se designa como el valor presente o simplemente P. El momento de retiro del dinero o fin del periodo se designa como valor futuro o F. No es usual representar el tiempo con los años calendarios si no simplemente como periodo de tiempo, por lo que al presente corresponde el periodo cero. Ejercicios: 1) El presidente de una compañía desea hacer 2 depósitos iguales, uno dentro de dos años y el segundo dentro de 4, de tal manera que se pueda hacer 5 retiros anuales de $100 que empezaran cuando se haga el segundo depósito. Además él quiere, retirar $500 más, un año después de que la serie de retiro termine. Dibuje un diagrama de flujo de caja. 2) Cuánto dinero se acumulará en 6 años si una persona deposita $500 hoy e incrementa este depósito en $50 anuales durante los próximos 6 años? Asuma que el interés es de 16% y dibuje el diagrama de flujo de efectivo. 3) Usted desea invertir dinero al 8% anual de tal manera que dentro de 6 años pueda retirar una suma total F. El consultor de inversiones y el banco han desarrollado los planes siguientes para usted: 1.- Depositar $351.8 ahora y $351.80 tres años después 2.- Depositar $136.32 anualmente, empezando el próximo año y terminando el año 6. Dibuje los diagramas de flujo de caja de cada plan si se desea calcular F. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 16.

(3) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. 2.2 EQUIVALENCIA Dos sumas son equivalentes (no iguales), cuando resulta indiferente recibir una suma de dinero hoy y recibir otra diferente de mayor cantidad transcurrida un período; expresamos este concepto con la fórmula general del interés compuesto. Fundamental en el análisis y evaluación financiera, esta fórmula, es la base de todo lo conocido como Matemáticas Financieras. Hay dos reglas básicas en la preferencia de liquidez, sustentadas en el sacrificio de consumo: 1. Ante dos capitales de igual valor en distintos momentos, preferiremos aquel más cercano. 2. Ante dos capitales presentes en el mismo momento pero de diferente valor, preferiremos aquel de importe más elevado. La preferencia de liquidez es subjetiva, el mercado de capitales le da un valor objetivo a través del precio que fija a la transacción financiera con la tasa de interés. Para comparar dos capitales en distintos instantes, hallaremos el equivalente de los mismos en un mismo momento, y para ello utilizamos las fórmulas de las matemáticas financieras. Como vimos, no es posible sumar unidades monetarias de diferentes períodos de tiempo, porque no son iguales. Cuando expusimos el concepto de inversión, vimos que la persona ahorra o invierte $1,000 para obtener más de $1,000 al final de un período, determinamos que invertirá hasta cuando el excedente pagado por su dinero, no sea menor al valor asignado al sacrificio de consumo actual, es decir, a la tasa a la cual está dispuesta a cambiar consumo actual por consumo futuro. Equivalencia no quiere decir ausencia de utilidad o costos; justamente ésta permite cuantificar el beneficio o pérdida que significa el sacrificio de llevar a cabo una operación financiera. Un modelo matemático representativo de estas ideas, consiste en la siguiente ecuación:. F = P + COMPENSACIÓN POR APLAZAR CONSUMO. 2.2.1. Donde F: Suma futura obtenida al final de n períodos (Valor Futuro) P: Suma de dinero colocada en el período 0 (Valor Actual) El valor actual es equivalente a mayor cantidad en fecha futura, siempre y cuando la tasa de interés sea mayor que cero. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 17.

(4) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. 2.3 CONCEPTO DE INTERES Y PERIODO DE CAPITALIZACION 2.3.1 INTERÉS El interés, tiene importancia fundamental en los movimientos de capitales, la colosal infraestructura financiera y crediticia descansa sobre este concepto básico de pagar por el uso del dinero tomado en préstamo. Sin el interés, el mercado de capitales o simplemente los negocios no existirían. El interés es el monto pagado por la institución financiera para captar recursos, así como el monto cobrado por prestar recursos (colocar). El interés es la diferencia entre la cantidad acumulada menos el valor inicial; sea que tratemos con créditos o con inversiones. El interés es la cantidad convenida que se paga por utilizar dinero ajeno o que se gana por invertir el dinero propio. El interés es un precio, el cual expresa el valor de un recurso o bien sujeto a intercambio, es la renta pagada por el uso de recursos prestados, por período determinado. Es un factor de equilibrio, hace que el dinero tenga el mismo valor en el tiempo. Si la tasa de interés anual es el 8%, quiere decir que el prestamista recibe por concepto de intereses C$ 8, por cada C$ 100 prestado al año. Por otro lado si el inversionista está dispuesto a prestar C$ 100 a cambio de C$ 108 en dos años más, la tasa será de 8%, pero a diferente unidad de tiempo (2 años). El tipo de interés depende directamente de dos factores reales no monetarios: la preferencia por tener los recursos a la promesa de recursos futuros y la productividad de la inversión. El interés es el precio del dinero en el tiempo. Si contamos con una determinada cantidad de dinero o capital inicial P (que denominamos valor actual o valor presente), éste puede producirnos rentabilidad en función del tiempo, si lo colocamos en una determinada actividad económica. Al final del período de tiempo n, cuando se desea evaluar los resultados de la actividad, se obtiene una cantidad F(que denominamos o valor futuro) y el interés es:. Interés = Valor futuro - Valor presente = F – P. 2.3.1. La manifestación del valor del dinero en el tiempo se denomina interés, el cual es una medida del aumento entre el capital inicial y el valor futuro. Cuando el interés se expresa como porcentaje del monto original por unidad de tiempo, el resultado es la tasa de interés. Esta se calcula como sigue:. i = (I / P)100%. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 2.3.2. 18.

(5) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. Ejemplo 2.2: Una persona ahorra en una cuenta C$ 500,000. Al cabo de un año retira su dinero y le regresan C$ 600,000. ¿Cuánto fue el interés que ganó por la transacción y cuál fue la tasa que lo produjo? Solución: El interés que ganó en la transacción es: La tasa de interés que lo produjo es:. I = 600,000 - 500,000 = C$ 100,000. I = (100,000/500,000)*100% = 20%. Se concluye que el interés ganado por la cuenta es del 20% anual.. 2.3.2 TASAS DE INTERÉS UTILIZADAS EN LA BANCA NACIONAL La determinación de la tasa efectiva o verdadera de interés de un préstamo depende de la que se haya convenido y el método con que el acreedor cargue el préstamo, la tasa convenida es la tasa efectiva de interés. Ahora veamos los distintos tipos de interés utilizados por los mercados financieros. a) De acuerdo a como se fija el interés en el tiempo  . Interés fijo: Es cuando la tasa de interés permanece constante en el tiempo. Interés variable: Es cuando la tasa de interés la calculamos sobre una base fija más un índice de referencia. El índice de referencia varía según las condiciones del mercado.. b) De acuerdo a los plazos de las tasas de interés  . Interés de corto plazo: Es cuando los intereses que se devengan o se liquidan se dan en un período inferior a 12 meses. Interés de largo plazo: Son intereses devengados o liquidados en períodos superiores a un año.. c) De acuerdo a si se cobran o pagan intereses . . Tasa de interés activa: es la tasa de interés cobrada por los bancos y las instituciones financieras en la colocación de dinero, o sea aquella cobrada a las personas naturales y jurídicas a las cuales les ha sido otorgado financiamiento. Las tasas de interés corriente y las tasas de interés moratoria son tasas activas. Tasa de interés pasiva: es la tasa de interés pagada por los bancos y las instituciones financieras a sus ahorrantes y depositantes en sus diferentes formas. La tasa pasiva de alguna manera constituye una tasa interés de rendimiento, por cuanto el ahorro es una inversión de bajo riesgo.. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 19.

(6) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. La tasa de interés moratoria es el porcentaje de recargo que se adiciona a la tasa de interés pactada por incumplimiento de pago en la fecha establecida. Generalmente se calcula en base a los días transcurridos posterior a la fecha de vencimiento de la deuda. Cuando el pago de una cuota se retrasa, la tasa de interés moratoria se aplica únicamente al principal de dicha cuota vencida, durante el tiempo en mora. Por naturaleza, la tasa de interés pasiva es menor que la tasa de interés activa, ya que parte de la diferencia constituye la rentabilidad del mercado financiero. Dichas tasas en el caso de Nicaragua están determinadas por la demanda y la oferta de dinero, así como por el índice de riesgo país para las inversiones y otros factores como la estabilidad económica, política y social. Según el informe anual del Banco Central de Nicaragua al cierre del mes de Diciembre 2008, el promedio ponderado de las tasas de interés activa y pasiva en el Sistema Financiero Nacional se muestra en la siguiente tabla:. TASAS ACTIVAS. TASAS PASIVAS. MONEDA. CORTO PLAZO. LARGO PLAZO. CORTO PLAZO. LARGO PLAZO. CORDOBAS. 13.58%. 23.07%. 8.91%. 8.34%. DOLARES. 12.63%. 13.98%. 7.33%. 7.55%. Un spread de tasas de interés es la diferencia entre la tasa activa (que cobran los bancos por créditos o préstamos otorgados) y la tasa pasiva (tasa que pagan los bancos por depósitos a los ahorristas).. SPREAD = Tasa Activa – Tasa Pasiva 2.3.3 PERIODO DE CAPITALIZACION El período de capitalización es el período mínimo necesario para que se pueda cobrar un interés, se llama así porque a su término ya se tiene o ya se forma más capital. Ejemplo 2.3: Si una persona presta $1,000 al 10% de interés semanal tendrá $1,100 en una semana. De igual forma, si otra persona deposita $1,000 en un banco que paga 20% de interés anual, pasado el periodo de capitalización de un año, su capital habrá aumentado de $1,000 a $1,200.. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 20.

(7) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. 2.4 INTERES SIMPLE 2.4.1 DEFINICION Se llama interés simple al que, por el uso del dinero a través de varios periodos de capitalización, no se cobra interés sobre el interés que se debe. Se define como un porcentaje fijo del valor presente multiplicado por el tiempo de duración de la actividad económica. El cálculo de los intereses se realiza solo una vez y solamente sobre el principal primitivo que permanece invariable en base al tiempo estipulado. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base. Interés simple, es también la ganancia sólo del capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial. El interés simple de un principal P en n unidades de tiempo y a una tasa de interés i, está dado por la expresión:. I = P.i.n Variables básicas: I = P= n= i =. 2.4.1 Interés acumulado o devengado. Principal o valor presente (Prestado o ahorrado) Plazo del préstamo o depósito en: años, meses o días. Tasa de interés anual (en porcentaje) a menos que se diga lo contrario. Para que esta fórmula se pueda usar correctamente es necesario que las variables relacionadas con el plazo del préstamo y la tasa de interés estén definidas en el mismo periodo de tiempo. 2.4.2 CLASIFICACION DEL INTERES SIMPLE a) Interés simple ordinario, comercial o bancario. Este presupone que un año tiene 360 días y cada mes 30 días.. I = P i(n/360). 2.4.2. Lo anterior provoca que muchas veces, las fechas de pago de un préstamo no coincidan exactamente con la fecha en que se otorgo el préstamo. Así por ejemplo, un préstamo que se otorgó el 15 de enero del 2007 y con un plazo de 1 año, no necesariamente vence el 15 de enero del 2008, sino que puede vencer el 10 de enero debido a que se trabaja con el año comercial de 360 días. Este es el sistema utilizado comúnmente por las instituciones que trabajan en crédito y finanzas. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 21.

(8) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. b) Interés simple exacto. Este se basa en el calendario natural donde 1 año tiene 365 o 366 días, y el mes tiene 28, 29, 30 o 31 días.. I = P i(n/365). 2.4.3. El uso del año de 360 días simplifica los cálculos, pero aumenta el interés cobrado por el acreedor. Se desarrollan los ejemplos en el documento considerando el año bancario o comercial; cuando utilicemos el calendario natural indicaremos operar con el interés exacto. Tiempo transcurrido entre dos fechas: Para la cuenta de los días, es costumbre excluir el primer día e incluir el último Ejemplo 2.4: ¿Cuál es el tiempo transcurrido entre el 1º de enero al 15 de julio del 2005? Lo explicamos con el siguiente ejemplo:. Para determinar el tiempo transcurrido en Excel entre dos fechas utilizamos la función DAYS360.. 1 2. A Fecha final 15/07/2005. B Fecha inicial 01/01/2005. C Días. D Fórmula 194 DAYS360(B2;A2). Ejemplo 2.5: Calcular el interés que devenga un préstamo de C$ 18,000 en un banco a una tasa de interés simple del 15% a plazo fijo de 8 meses. Datos: P = C$ 18,000. i = 20% n = 8 meses. Solución: I = Pin = C$ 18,000 (0.2)*(8/12) = C$ 2,400. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 22.

(9) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. Ejemplo 2.6: Calcular la cantidad en conceptos de intereses al final del plazo que tendrá que pagar el Sr. Alberto Martínez si desea solicitar un préstamo de C$ 15,000 en un banco a una tasa de interés simple del 25% a un plazo fijo de 15 meses. Datos: P = C$ 15,000. i = 30% n = 18 meses. Solución: I = Pin = C$ 15,000 (0.25)*(15/12) = C$ 4,687.50. 2.4.3 VALOR FUTURO A INTERESES SIMPLES DE UNA SUMA DE DINERO El valor futuro (F) de una cantidad (P) a interés simple, es la cantidad acumulada al final de cierto período de tiempo (n) medido en años, meses o días y a una tasa de interés (i) que incluye el principal más los intereses. Este valor estará dado por:. F= P + I. 2.4.4. Sustituyendo I de (2.4.1) por su ecuación equivalente en 2.4.4 tendremos:. F = P(1 + in). 2.4.5. 2.4.4 VALOR PRESENTE A INTERES SIMPLE DE UNA SUMA DE DINERO El valor presente o actual de una cantidad con vencimiento en el futuro, es el capital que a un tipo de interés dado, en períodos también dados, ascenderá a la suma debida. De acuerdo la fórmula (2.4.5), despejando (P) obtendremos el "Valor Presente" el cual está dado por:. P=. F (1 + in). 2.4.6. Despejando éstas fórmulas obtenemos el tipo de interés y el plazo:. i. = (F/P - 1 )/n. n = (F/P - 1)/i. 2.4.7 y 2.4.8. El tipo de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el plazo debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa. Al utilizar tasas de interés mensual, el resultado de n estará expresado en meses. En estas fórmulas la tasa de interés (i) está indicada en forma decimal.. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 23.

(10) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. Ejemplo 2.7: El Sr. Berrios deposita en el BDF C$ 120,000.00 en certificado a plazo fijo y a 16 meses de plazo, certificado que devenga el 12.5% anual. Determinar a) Los intereses acumulados y b) El valor futuro de los certificados. F=? │ 0┌─────────────────────────────────┘ (+) │ (-) │------------------------------── 16 (meses) │ C$120,000.00 DATOS P = C$ 120,000.00 n = 16 meses i = 0.125. FORMULA I = Pin F=P+I. SOLUCION "a". SOLUCION "b". I = (120,000.00)(0.125)(16/12) I = C$ 20,000.00. F = C$ 120,000 + 20,000.00 F = C$ 140,000.00. Ejemplo 2.8: ¿Cuánto recibió al momento de ser otorgado un préstamo industrial, el Sr. Sergio Suárez, si éste dos años después de otorgado el préstamo pagó un monto de C$ 200,000 a una tasa de interés del 18% anual? P=? │ (+) │ (2 año) └─────────────────────────────┐ --------------------------- │(-) │ C$200,000.00 DATOS F = C$ 200,000 n = 2 año i = 0.18 P=?. FORMULA P = F/(1+in). SOLUCION P = 200,000/[1 + (0.18)(2)] = C$ 147,058.82. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 24.

(11) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. Ejemplo 2.9: Una persona deposita hoy C$ 15,000 en una cuenta de ahorros, retira al cabo de 10 meses C$ 3,000 en concepto de intereses. ¿De cuánto es la tasa de interés anual que paga el banco? Solución: El monto total es F=P+I F = 15,000 + 3,000 F = 18,000 El tiempo que estuvo P en el banco es 10/12 años, i = (18000/15000 -1)/(10/12) = 24% anual. Ejemplo 2.10: José deposita C$ 2,300, en una libreta de ahorros al 9% anual, ¿cuánto tendrá después de 9 meses? Solución: Primero expresaremos la tasa en meses: 0.09/12 = 0.0075, mensual: VA = P = 2,300; i = 0.0075; n = 9; F = ? Segundo aplicamos la fórmula (2.3.5) o Excel: F = 2,300 [1 + (0.0075*9)] = C$ 2,455.25. Ejemplo 2.11: Un pequeño empresario, con utilidades por US$ 5,000 los deposita en su cuenta de ahorros en un banco al 9.7% anual. ¿Cuánto tendrá al final de 8 meses? Solución: Primero expresamos el plazo en años: (8 meses por 30 días = 240 días) 240/365 = 0.6575 años VA = 5,000; i = 0.097; n = 0.6575; VF = ? UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 25.

(12) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. Después aplicamos la fórmula (2.3.5) o Excel: F = 5,000 *[1 + (0.097*0.6575)] = US$ 5,318.89. 2.4.5 CALCULO DE INTERES MORATORIO Y AJUSTE DE INTERES SIMPLE. En los contratos de pagos de las obligaciones financieras se establece una tasa de interés adicional a la corriente. Esta tasa adicional se denomina tasa de interés moratoria y se entiende como el porcentaje de recargo por el incumplimiento de pago en la fecha establecida y por lo general se calcula de acuerdo al tiempo transcurrido posterior a la fecha de vencimiento del pago de la cuota. Cuando el pago de una cuota se retrasa, la tasa de interés moratoria se aplica únicamente al principal de dicha cuota vencida, durante el tiempo en mora del pago. Utilizando el método de interés simple para efectuar el cálculo de interés moratorio se usa la fórmula 2.4.9 que se deriva de la fórmula 2.4.1. Imo = Pcv (im)(tm). 2.4.9. El retraso del pago de la cuota conlleva el ajuste del interés corriente aplicado al último saldo de la deuda durante el periodo retrasado. Este ajuste puede ser cobrado junto a la cuota retrasada o bien en la fecha de la próxima cuota, cuyo interés corriente debe también ser ajustado conforme al tiempo que transcurre entre el pago de la cuota retrasada y la fecha de la próxima. Este cálculo se realiza de acuerdo a la fórmula 2.4.10. Iaco = Sk (ic)(tm). 2.4.10. Donde Imo = Interés moratorio Iaco = Ajuste de interés corriente Pcv = Principal de la cuota vencida Sk = Ultimo saldo de la deuda Ic = Tasa de interés corriente pactada im = Tasa de interés moratoria tm = Tiempo de mora de la deuda. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 26.

(13) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. Ejemplo 2.12: Una compañía esta amortizando una deuda en el BAC y paga al final de cada mes una cuota de C$ 71,720.55 la cual está vencida y tiene 25 días de mora. El principal de la cuota es de C$ 54,626.23 y los intereses corrientes del mes son de C$ 17,094.32. El último saldo es de C$ 179,940.16. La tasa de interés corriente sobre el préstamo es del 9.5% anual sobre saldos y la tasa de interés moratoria es del 10% anual. ¿Qué cantidad deberá pagar la empresa para ponerse al día? Datos: Principal de la cuota = C$ 54,626.23 Tasa de interés corriente = 9.5 % Tasa de interés moratoria = 10% Días de mora de la cuota = 25 Ultimo saldo de la deuda = C$ 179,940.16 Solución: Calcularemos primero el interés moratorio y después el ajuste del interés corriente Imo = 54,626.23 (0.10) (25/360) = C$ 379.35 Iaco = 179,940.16 (0.095) (25/360) = C$ 1,187.11 Por tanto, el total a pagar será de Cuota + Imo + Iaco = C$ 73,287.01 2.4.6 PAGOS PARCIALES En las actividades financieras, es frecuente la costumbre de utilizar obligaciones en las que se aceptan pagos parciales o abonos, dentro del plazo de la obligación, en lugar de un solo pago en la fecha de vencimiento. En la solución de los problemas en los que intervienen obligaciones y sus intereses, se supone que todo dinero que se recibe o paga, por cualquier concepto, continúa en el proceso financiero dentro de un mismo juego de intereses, hasta la extinción de la obligación. En este tipo de obligaciones se presenta varias alternativas y el análisis y cálculo de los valores en juego deberán hacerse de acuerdo con las condiciones del comercio y la banca local según el país. REGLA DE LOS SALDOS INSOLUTOS Esta regla conocida como la regla americana, el interés se calcula sobre el saldo no pagado o insoluto de la deuda cada vez que se efectúa un pago parcial. Si el pago es menor que el interés vencido, el pago se lleva sin interés hasta que se hagan otros pagos parciales cuyo monto excede el interés vencido a la fecha del último de dichos pagos parciales. La regla funciona mediante un proceso iterativo, en el cual se indica que cada vez que se hace un pago debe calcularse el monto de la deuda hasta la fecha del pago y restar a ese monto el valor del pago; así, se obtiene el valor del saldo en la fecha de vencimiento, que será igual al último pago parcial y que saldrá totalmente la deuda. La incógnita es hallar el UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 27.

(14) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. valor del último pago parcial en la fecha de vencimiento y que liquida totalmente la deuda. El procedimiento se llevara a efecto de la siguiente manera: = + = =. Saldo inicial de la deuda Interés devengado a la fecha de pago Monto de la deuda a la fecha de pago Valor del pago parcial Saldo insoluto. Ejemplo 2.13: Una persona tiene actualmente una deuda pendiente de $ 12,000 y por acuerdo con su acreedor la cancelará bajo las siguientes condiciones: $ 2,000 el día de hoy, pagos parciales de $ 3,000 y $ 4,000 dentro de tres y ocho meses respectivamente y el saldo final lo cancelará en un plazo de un año con intereses del 3% mensual sobre saldos. Calcular el pago que liquida la deuda en la fecha de vencimiento.. Solución: = = + = = + = = + = =. Valor inicial de la deuda..................................... Valor del primer pago actual.............................. Saldo inicial de la deuda ................................... Intereses a los 3 meses.................................... Monte de la deuda a los 3 meses....................... Valor del segundo pago parcial.......................... Saldo después del segundo pago....................... Intereses a los 8 meses...................................... Monto de la deuda a los 8 meses........................ Valor del tercer pago parcial................................ Saldo después del tercer pago............................ Intereses a la fecha de vencimiento..................... Monto en la fecha de vencimiento........................ Valor del último pago parcial................................ Saldo de la deuda en la fecha en vencimiento...... $ 12,000.00 $ 2,000.00 $ 10,000.00 $ 900.00 $ 10,900.00 $ 3,000.00 $ 7,900.00 $ 1,185.00 $ 9,085.00 $ 4,000.00 $ 5,085.00 $ 610.20 $ 5,695.20 $ 5,695.20 $ 0.00. El uso de la regla de los saldos insolutos le permite al prestamista, ganar interés sobre los intereses capitalizados, en cada fecha de los pagos parciales. Por ejemplo, si un deudor de una obligación con intereses del 24% a un año de plazo, hace pagos mensuales con esta regla, se le cobra sobre saldos el 2% mensual con capitalización mensual, es decir intereses compuestos y no simples. Otra forma de expresar los resultados del ejemplo, es a través de la construcción de la tabla de amortización no periódica de la deuda, considerando que todo pago o cuota C K contiene dos elementos importantes tales como; los intereses devengados o vencidos IK y la amortización al principal AK el cual disminuye el saldo, donde K es un contador y representa el K-ésimo pago parcial con 1  K  N; así, la cuota y la amortización se expresan en las UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 28.

(15) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. fórmulas:. CK = AK + IK AK = CK. 2.4.11. - IK. 2.4.12. La tabla tiene 5 columna básicas y muestra los resultados de la amortización de la deuda del ejemplo.. N° de Pago 0 1 2 3 4 TOTAL. Amortización AK $ 0000000 $ 2,000.00 $ 2,100.00 $ 2,815.00 $ 5,085.00 $12,000.00. Intereses IK $ 0.00 $ 0.00 $ 900.00 $ 1,185.00 $ 610.20 $ 2,695.20. Valor del Pago CK $ 0.00 $ 2,000.00 $ 3,000.00 $ 4,000.00 $ 5,695.20 $ 14,695.20. Saldo SK $ 12,000.00 $ 10,000.00 $ 7,900.00 $ 5,085.00 $ 0.00. Ejemplo 2.14: Supongamos en el ejemplo anterior que el deudor se retrasó 20 días en cancelar el tercer pago parcial de $ 4,000 y que los intereses en mora se cobra al 10% anual. ¿Qué valor deberá pagar para ponerse al corriente? Solución: Todo pago o cuota por lo general está compuesto por intereses y amortización al principal. En este caso se trata del tercer pago, por tanto tenemos: CK = AK + IK o sea C3 = A3 + I3 = 2,815 + 1,185 Como los intereses en mora se cobra sobre la base del principal vencido (A K = 2,815) del pago retrasado, por la fórmula los intereses moratorios son: Imo = Pcv * im * tm = (2,815) (0.10/12) (20/30) =. $ 15.64. El ajuste de interés corriente es el siguiente: Icoa = Sk * ic * tm = (7900) (0.03) (20/30) = $ 158.00 Por tanto, el pago con mora es $ 4,000 + $ 15.64 + $ 158.00 = $ 4,173.64. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 29.

(16) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. TABLA PARA HALLAR EL NUMERO EXACTO DE DIAS ENTRE DOS FECHAS A continuación se presenta una tabla por medio de la cual es posible hallar fácilmente el número exacto de días que abarca cualquier período de tiempo dentro de un año. ┌─────────────────┬───────────────────────────────────────────────────────────┐ │DESDE CUALQUIER │ AL MISMO DIA DEL PROXIMO │ │ DIA │ │ ╞═════════════════╪════╤════╤════╤════╤════╤════╤════╤════╤════╤════╤════╤════╡ │ MESES │ENE.│FEB.│MAR.│ABR.│MAY.│JUN.│JUL.│AGO.│SEP.│OCT.│NOV.│DIC.│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ ENERO │365 │ 31 │ 59 │ 90 │120 │151 │ 181│ 212│ 243│ 273│ 304│ 334│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ FEBRERO │334 │365 │ 28 │ 59 │ 89 │120 │ 150│ 181│ 212│ 242│ 273│ 303│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ MARZO │306 │337 │365 │ 31 │ 61 │ 92 │ 122│ 153│ 184│ 214│ 245│ 275│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ ABRIL │275 │306 │334 │ 365│ 30 │ 61 │ 91│ 122│ 153│ 183│ 214│ 244│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ MAYO │245 │276 │304 │ 335│365 │ 31 │ 61│ 92│ 123│ 153│ 184│ 214│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ JUNIO │214 │245 │273 │ 304│ 334│ 365│ 30│ 61│ 92│ 122│ 153│ 183│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ JULIO │184 │215 │243 │ 274│ 304│ 335│ 365│ 31│ 62│ 92│ 123│ 153│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ AGOSTO │153 │184 │212 │ 243│ 273│ 304│ 334│ 365│ 31│ 61│ 92 │ 122│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ SEPTIEMBRE │122 │153 │181 │ 212│ 242│ 273│ 303│ 334│ 365│ 30│ 61 │ 91│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ OCTUBRE │ 92 │123 │151 │ 182│ 212│ 243│ 273│ 304│ 335│ 365│ 31 │ 61│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ NOVIEMBRE │ 61 │ 92 │120 │ 151│ 181│ 212│ 242│ 273│ 304│ 334│365 │ 30│ ├─────────────────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ │ DICIEMBRE │ 31 │ 62 │ 90│ 121│ 151│ 182│ 212│ 243│ 274│ 304│ 335│ 365│ └─────────────────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┴────┘. REGLAS PARA USAR LA TABLA: 1.. 2.. 3.. Para obtener el número exacto de días comprendidos entre cualquier fecha de un mes y la misma de cualquier otro mes, hállese el número de la tabla situado en la columna encabezada por el mes terminal y en la línea correspondiente al nombre del mes inicial. Cuando el número del día del mes terminal es mayor que el número del día del mes inicial, hállese en la tabla el número que corresponde al número de días comprendidos entre las mismas fechas de los dos meses como en el caso (1), y súmesele la diferencia entre el número del día del mes terminal y el del mes inicial. Cuando el número del día del mes inicial es mayor que el del día del mes terminal, hállese el número de la tabla que corresponde al número de días comprendidos entre las mismas fechas de los dos meses, como en el caso (1), y réstele la diferencia entre el número del día del mes inicial y el mes terminal.. Ejemplo 2.15: Hállese el número exacto de días desde: a) El 4 de enero al 4 de septiembre........ b) El 9 de marzo al 19 de agosto............ c) El 23 de mayo al 7 de noviembre......... 243 días 153 + 10 = 163 días 184 - 16 = 168 días. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 30.

(17) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. EJERCICIOS. 1.- Determinar el valor futuro y el interés simple de: a) La cantidad de C$40,400 durante 100 días al 25% b) La cantidad de C$45,300 desde el 8 de diciembre 1994 al 15 de septiembre 1995, al 24.55% c) La cantidad de C$16,145.78 durante 10 meses al 25% d) La cantidad de C$200,000 desde el 20 de enero al 17 de octubre del mismo año al 34% 2.- Una inversión de C$180,000 genera intereses pagaderos al final de cada mes por la cantidad de C$20,000 durante 9 meses. Calcule la tasa de rendimiento sobre la inversión. 3.- En qué tiempo un capital de C$30,420 a) Produce C$8,000 al 18% de interés simple. b) Alcanza un monto de C$35,456 al 20% de interés simple c) Produce C$5,600 al 20% de interés simple. 4.- En el ambiente financiero se presentan las siguientes alternativas de inversión: a) Un capital de C$120,000 produce C$5,600 en 42 días. b) Un capital de C$68,500 produce C$6,525 en 69 días. c) Un capital de C$70,000 produce C$7,000 en 32 días. d) Un capital de C$58,600 produce C$6,200 en 50 días. ¿Cuál de las alternativas es la más rentable? 5.- El valor futuro de un préstamo es C$60,000 que vence dentro de 8 meses a una tasa de 15%. Calcule su valor. a) El día de hoy c) Dentro de 9 meses e) Dentro de 14 meses. b) Dentro de un año d) Dentro de 2 meses. 6.- La señora Díaz desea comprar una casa y se le presentan dos ofertas: (1) C$10,000 iniciales y C$8,000 después de 9 meses. (2) C$8,000 iniciales y C$10,000 después de un año. Si la tasa de interés es del 20% ¿qué oferta deberá seleccionar? 7.- El señor Gutiérrez adquiere un terreno de C$50,000 mediante un pago de contado de C$5,000. Conviene en pagar el 25% de interés sobre el saldo. Si paga C$20,000 tres meses después de la compra y C$15,000 seis meses más tarde. ¿Cuál será el importe del pago que tendrá que hacer 1 año después para liquidar totalmente el saldo? UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 31.

(18) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. 8.- Calcule el saldo en la fecha de vencimiento de un documento de C$100,000 a un año de plazo al 30% si es reducido mediante dos pagos iguales de C$30,500 cada uno, efectuados 5 meses y 8 meses antes de la fecha de vencimiento. 9.- Una persona da de cuota inicial C$36,000 por la compra de una casa cuyo precio es de C$100,00. Posteriormente pagará C$10,000 al final de cada trimestre durante 3 trimestres. Hallar el saldo insoluto al final del año aplicando la Regla Americana con intereses del 23.5%. 10.- En el ejercicio anterior suponga que la casa no se canceló al finalizar el año, sino que se canceló 43 días después. Si la tasa de interés moratoria es del 8.5%, halle el valor del pago que liquida totalmente la casa.. 2.5 INTERES COMPUESTO Al interés de un periodo calculado sobre el principal más la cantidad acumulada de intereses ganados en periodos anteriores se le llama interés compuesto. Así el calculo de interés significa interés sobre interés (esto refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre el interés también). En este caso se dice que el interés es capitalizable, o convertible en capital y en consecuencia, también gana interés. El capital aumenta periódicamente y el interés convertible en capital también aumenta periódicamente durante el período de transacción. La suma vencida al final de la transacción es conocida como monto compuesto. A la diferencia entre el monto compuesto y el capital inicial se le conoce como interés compuesto.. 2.5.1.- DEDUCCION DE LA FORMULA DE INTERES COMPUESTO: VALOR FUTURO Para deducir la fórmula general del cálculo del interés compuesto, valor futuro, partiremos del ejemplo siguiente: Ejemplo 2.16: Una persona deposita en un banco $1,000 en una cuenta de ahorro a plazo fijo de un año. El banco capitaliza el interés trimestralmente a una tasa del 2% trimestral, ¿Cuál será el valor de la cuenta final del año? Ilustremos la situación en el siguiente cuadro.. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 32.

(19) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. Período. Valor Presente. Intereses. Valor Futuro. 1 2 3 4. 1,000.00 1,020.00 1,040.40 1,061.21. 1,000.00(0.02) 1,020.00(0.20) 1,040.40(0.20) 1,061.21(0.20). 1,020.00 1,040.40 1,061.21 1,082.43. Los nuevos montos o valores futuros para cada período, se muestran a continuación en el gráfico de capitalización, donde el interés es integrado al capital en cada trimestre. 1,020 1,040.4 1,061.21 1,082.43 │ │ │ │ ══╤═════════════╧═════════════╧════════════╧═════════════╧═ │ 1 2 3 4 1,000. La situación anterior la podemos representar gráficamente, mostrando el valor presente y el valor futuro así: US$ 1,082.43 │ ══╤══════════════════════════════════════════════════════╧═ │ 1 2 3 4 US$ 1,000. La fórmula general para el cálculo de interés compuesto la deducimos a partir de los resultados anteriores, la cual se muestra en el siguiente cuadro. Período. Valor Presente. Intereses. Valor Futuro. 1 2 3 4. P P(1 + i) P(1 + i)2 P(1 + i)3. Pi P(1 + i) * i P(1 + i)2 * i P(1 + i)3 * i. P(1 + i) P(1 + i)2 P(1 + i)3 P(1 + i)4. n. P(1 + i)n-1. P(1 + i)n-1 * i. P(1 + i)n. A. B. A+B. De lo anterior podemos generalizar la fórmula de valor futuro a interés compuesto para n períodos de la siguiente manera: UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 33.

(20) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. F = P(1 + i)n donde. 2.5.1. F : Valor Futuro o monto a interés compuesto de una deuda P : Capital inicial o Valor Presente; I : Tasa de interés efectiva que se capitaliza una vez en un año o tasa periódica; n : Número total de capitalizaciones de la transacción.. También el valor futuro es equivalente a la siguiente expresión:. F = P(1 + j/m)m.n donde. 2.5.2. j : Tasa de interés nominal que se capitaliza más de una vez en un año. m : frecuencia de capitalización o liquidación de interés según el periodo de la tasa j n : Plazo de la transacción medido en años; m.n : número total de capitalizaciones; j/m : Tasa efectiva o periódica.. Retomando el ejemplo 2.16 y resolviéndolo por la fórmula (2.5.1) obtenemos lo siguiente: DATOS P = US$ 1,000 i = 2% = 0.02 trimestral n = año m=4 N = 4(1) = 4. SOLUCION F = P(1 + i)n F = 1,000(1+0.02)4 F = 1,000(1.082432) F = US$ 1,082.43. Como se podrá observar el resultado es el mismo, tanto por deducción como por inducción. En la solución anterior se recalca que el valor de 0.02 es lo que gana un dólar en un trimestre y 4x1 es el número de capitalizaciones durante el tiempo de la transacción, lo que significa que US $ 1,000 colocados al 0.02 trimestral producen al cabo de 4 trimestres un monto o valor futuro de US$ 1,082.43. Al valor (1+i)n lo llamamos Factor de capitalización pago único FCPU y lo designamos por (F/P,i%,n), que se lee: encontrar F dado P a la tasa i% en n períodos. La ecuación general se representa como: F =. P (F/P,i%,n). Si llamamos I al interés total percibido, obtenemos: I =F-P. luego I = P(1+i)n - P. Simplificando obtenemos la fórmula de capitalización compuesta para calcular los intereses: UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 34.

(21) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. I = P [(1+i)n − 1]. 2.5.3. Con esta fórmula obtenemos el interés (I) compuesto, cuando conocemos P, i y n. Ejemplo 2.17: Una persona adquiere 5 certificados de ahorro a plazo fijo en el BDF. El valor de cada certificado es de C$ 25,000; el interés que paga el banco es del 45% anual. ¿De cuánto es la ganancia en concepto de intereses, si mantiene los ahorros por 3 años? Solución: P = (25,000)(5)= 125,000 n = 3 años i = 45% anual Para calcular el valor futuro de los C$125,000 ahorrados se utiliza el factor de capitalización pago único. F = C$125,000(1 + 0.45)3 F = C$ 381,078 I = F - P = 381,078 - 125,000 = C$ 256,078 Ejemplo 2.18: Calcular el valor futuro al final de 5 años de una inversión de C$ 20,000 con un costo de oportunidad del capital de 20% anual. Datos: P = VA = 20,000; n = 5; i = 0.20; F = ? Solución: F = C$ 20,000(1+0.20)5 F = C$ 49,766.40 Aplicamos la función financiera VF en Excel:. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 35.

(22) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. 2.5.2. DEDUCCION DE LA FORMULA DE VALOR PRESENTE A INTERES COMPUESTO El valor presente o actual, es el valor del dinero el día de hoy o el valor del dinero en cualquier fecha anterior a la de su vencimiento. El cálculo del valor presente responde a las siguientes preguntas: si se desea una determinada cantidad de dinero en el futuro, ¿cuánto se tendrá que invertir hoy, conociendo la tasa de interés y el plazo de la inversión? Otra forma de uso del valor presente, es por ejemplo, la determinación del valor actual de una deuda pendiente, si se desea pagarla por adelantado antes de la fecha de su vencimiento. De las fórmulas (2.5.1) o (2.5.2) al despejar la variable P obtenemos el valor presente a interés compuesto, de la siguiente manera:. P = F/(1 + i)n = F/(1 + i)-n P = F/(1 + j/m)m.n = F(1 + j/m)-m.n. 2.5.4 2.5.5. Todas las variables básicas que intervienen en las fórmulas (2.5.1) y (2.5.2), son válidas para las fórmulas (2.5.4) y (2.5.5). Al valor (1+i)-n se le llama Factor valor actual pago único (FVAPU) y lo designamos por (P/F,i%,n). La ecuación general se representa como: P = F (P/F,i%,n) De la ecuación (2.5.1) obtenemos también, las fórmulas para determinar los valores de i (dado VA, VF y n) y n (dado VA, VF e i).. 2.5.6 y 2.5.7 Ejemplo 2.19: ¿Cuál es la cantidad máxima que un inversionista está dispuesto a pagar por un bono, si desea obtener en su compra un rendimiento del 25%? Suponga que el bono tiene hoy un valor nominal de C$ 10,000, una vida de 5 años y paga una tasa de interés del 20% anual. Solución: Primeramente calculamos el valor futuro del bono. F = 10,000(1 + 0.20)5 = C$ 24,883.20 La cantidad que el inversionista está dispuesto a pagar por el bono es: P = C$ 24,883.20/ (1 + 0.25)5 = C$ 8,153.73 UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 36.

(23) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. Ejemplo 2.20: La señora Juana López está interesada en acumular la cantidad de C$ 50,000 para comprarse un automóvil usado. En este momento dispone de C$ 20,000 y decide para su propósito, depositarlos en una cuenta de ahorro a plazo fijo en un banco que paga el 12% convertible trimestralmente. ¿Qué tiempo deberá esperar la señora López para comprar el vehículo? DATOS. SOLUCION. P = C$ 20,000 F = C$ 50,000 j = 0.12 m=4 i = 0.12/4 = 0.03 n=?. n =. ln(F/P) ln(1 + i). n = ln(50,000/20,000) = ln2.5 ln(1 + 0.03) ln(1.03) n = 0.916290/0.029558 = 30.998888  31 trimestres. Lo que significa que la señora López deberá esperar: 7 años, 8 meses, 29 días, 21 horas, 35 minutos 52 segundos y 34 grados, para comprarse su vehículo. Ejemplo 2.21: Una persona nos ofrece pagarnos US$ 5,000 dentro de 3 años, siempre y cuando le entreguemos el día de hoy una cantidad al 10% anual. ¿Cuánto es el capital a entregar hoy? Datos: F = 5,000; n = 3; i = 0.10; VA = P = ? Solución: Aplicamos la fórmula (2.5.4) y/o la función financiera VA en Excel tenemos: P =. 5 000 = US$ 3,756.57 (1 + 0.10)3. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 37.

(24) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. Ejemplo 2.22: Determinar la tasa de interés aplicada a un capital de C$ 25,000 que ha generado en tres años intereses totales por C$ 6,500. Datos: i = ?; P = 25,000; n = 3; I = 6,500; F = 25,000 + 6,500 = C$ 31,500 Solución: Aplicando la fórmula 2.5.6 para calcular la tasa o la función TASA en Excel tenemos:. Ejemplo 2.23: Calcular el tiempo que ha estado invertido un capital de C$ 35,000, si el monto producido fue C$ 56,455 con un interés del 9 % anual. Datos: P = 35,000; F = 56,455; i = 0.09; n = ?; Solución: Aplicando la fórmula 2.5.7 para calcular n o la función NPER en Excel tenemos:. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 38.

(25) MATEMÁTICA FINANCIERA. 2.6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. TASAS DE INTERES NOMINAL, TASAS DE INTERES EFECTIVO Y TASAS EQUIVALENTES. Al iniciar esta unidad abordamos un tanto las tasas de interés sin profundizar en su significado. Trataremos de esclarecer los conceptos relacionados con las tasas nominales y las tasas efectivas; así mismo, la relación entre ellas y la relación entre dos tasas nominales. La tasa efectiva anual aplicada una sola vez, produce el mismo resultado que la tasa nominal según el período de capitalización. La tasa del período tiene la característica de ser simultáneamente nominal y efectiva.. 2.6.1.- TASA NOMINAL La tasa de interés nominal es el tasa que capitaliza más de una vez por año. Esta tasa convencional o de referencia por lo general lo fija la superintendencia de Bancos o el Banco Central de un país para regular las operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas (depósitos y ahorros) del sistema financiero. La tasa nominal es la tasa de interés que la denominaremos "j", que se pacta a un año y el pago de interés se puede acordar que se realice cada día, cada mes, cada 2 meses, cada 3 meses, cada 6 meses etc. Esto no es otra cosa que acordar períodos de interés diario, mensuales, bimestrales, trimestrales etc. De ahí, que una tasa nominal es aquella que se expresa sobre la base de un año con períodos de capitalización diario, mensual, trimestral etc. La ecuación de la tasa nominal es:. j = tasa de interés por período * número de períodos. 2.6.1. Ejemplo 2.24: Dada una tasa periódica mensual del 2%. Encuentre una tasa nominal anual capitalizable mensualmente La tasa mensual del 2% nos proporciona una tasa nominal anual convertible o capitalizable anualmente. j = (0.02)(12)=24%. 2.6.2.- TASA EFECTIVA La tasa efectiva determina la cantidad de utilidad periódica que realmente se adiciona al capital en el instante que se liquida. La tasa efectiva también puede ser diaria, mensual, bimensual trimestral etc. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 39.

(26) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. Cuando la tasa nominal se capitaliza una sola vez al año, entonces decimos que la tasa nominal es igual a la tasa efectiva anual. Cuando una tasa de interés se capitaliza (n) veces al año, entonces decimos que la tasa es necesariamente nominal, pues las tasas efectivas no se capitalizan. Ejemplo 2.25: a) 36% capitalizable mensualmente. Es una tasa nominal j con frecuencia m = 12 y tasa efectiva de i = j/m = 3% mensual b) 15% semestral. Es una tasa efectiva por semestre. c) 25% efectivo. Es una tasa efectiva ie anual con frecuencia m=1 d) 18% capitalizable semestralmente. Es una tasa nominal j con frecuencia m = 2 y tasa efectiva de i = j/m = 9% semestral. e) 24% trimestral capitalizable mensualmente. Es una tasa nominal j de periodo trimestral con frecuencia m = 3 y tasa efectiva de i = j/m = 8% mensual. Notación para la frecuencia de la tasa nominal anual. Capitalizable continuamente Capitalizable diariamente Capitalizable semanalmente Capitalizable mensualmente Capitalizable bimensualmente Capitalizable trimestralmente Capitalizable semestralmente. CC CD CSe CM CB CT CS. m→ ∞ m = 360 m = 52 m = 12 m=6 m=4 m=2. Ejercicios: Calcular el monto F de cada una de las siguientes operaciones financieras, para un capital de C$ 150,000 invertido, según las condiciones a) Interés del 20% CS a 5 años de plazo b) Interés del 18% CM a 16 meses de plazo c) Interés del 24% CT a 18 meses de plazo d) Interés de 1.5% mensual a 3 años de plazo. 2.6.3.- TASAS EQUIVALENTES Las tasas equivalentes son aquellas que, en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual. Esto significa que si una misma cantidad de dinero gana intereses a dos tasas diferentes pero equivalentes, estas producirán la misma cantidad de dinero al final del año. 2.6.3.1 Relación entre la tasa nominal y tasa efectiva Conociendo la tasa nominal (j), procedemos a convertirla en tasa efectiva mediante los pasos siguientes: UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 40.

(27) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. 1. Determinamos el número de capitalizaciones (m), ya que la tasa nominal nos dice el período de capitalización, entonces podemos hallar el número de períodos que hay en el tiempo definido por la tasa nominal. 2. Determinaremos la tasa efectiva periódica (i), que se obtiene a partir de (j) y (m) así:. i = j = interes nominal m No. de períodos. 2.6.2. 3. Pasamos la tasa efectiva periódica a tasa efectiva anual ie utilizando la siguiente fórmula. ie = (1 + ip )m - 1 = (1 + j/m)m - 1. 2.6.3. Ejemplo 2.26: Convirtamos una tasa nominal del 30% anual capitalizable trimestralmente a una tasa efectiva anual. Solución: 1. El número de capitalizaciones m = 4 (porque hay 4 trimestres en el año) 2. La tasa periódica para el ejemplo será:. i = j/m = 0.30/4 = 0.075. Por lo tanto, una tasa nominal anual del 30% capitalizable trimestralmente es equivalente a una tasa efectiva trimestral del 7.5%. 3. Calculamos la tasa efectiva anual, donde m = 4, j = 0.30, así: ie = (1 + 0.30/4)4 - 1 = 0.33546 = 33.55% efectivo anual Ejemplo 2.27: Convirtamos una tasa nominal del 24% semestral capitalizable mensualmente a una tasa efectiva anual. 1. El número de capitalizaciones m = 6 (porque hay 6 meses en un semestre) 2. La tasa periódica para el ejemplo será:. i = j/m = 0.24/6 = 0.04. Así, una tasa del 24% semestral capitalizable mensualmente es equivalente a una tasa efectiva del 4% mensual. 3. La tasa efectiva anual será: ie = (1 + 0.24/6)12 - 1 = 0.6010 = 60.10% UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 41.

(28) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. Así, para una misma tasa nominal, a mayor número de capitalizaciones mayor tasa de interés efectiva. La tasa efectiva siempre será mayor o igual a la tasa nominal.. Ejemplo 2.28: Convirtamos una tasa nominal del 30% anual capitalizable una vez al año, a una tasa efectiva anual equivalente: Aquí tenemos que: j = 0.30, m = 1, luego mediante la fórmula 2.5.3 tenemos: ie = (1 + 0.30/1)1 - 1 = 1.30 - 1 = 0.30 = 30% Lo anterior nos confirma que: una tasa efectiva anual es igual a la tasa nominal cuando esta última capitaliza una sola vez al año.. Ejemplo 2.29: ¿Qué tasa de interés efectiva semestral, es equivalente a una tasa de interés efectiva anual del 43.5%? DATOS ie = 0.435 efectiva anual i = ie = j/m = ? efectiva semestral m=2. SOLUCION ie = (1 + i)m - 1 0.435 = (1 + i)2 - 1 1 + i = (0.435 + 1)0.5 i = 1.1979 - 1 = 0.1979 = 19.79%. Ejemplo 2.30: Tenemos una tarjeta de crédito cuya tasa de interés es 2.5% mensual. Determinar la tasa anual que realmente me cuesta. Datos: i = 0.025; m = 12; j = ?; i = ? Primeramente, calcularemos la tasa nominal equivalente a la tasa periódica mensual y posteriormente la convertiremos en una tasa efectiva anual j = 0.025*12 = 0.30 ó 30% i = [1+ 0.025]12 -1= 0.3449 ó 34.49% Aplicando las funciones financieras en Excel tenemos:. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 42.

(29) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. De la fórmula 2.6.3 podemos hallar la tasa nominal j y la tasa periódica i p si conocemos su frecuencia m y la tasa efectiva anual ie, esto es:. j = m [(1 + ie)1/m – 1] ip = [(1 + ie)1/m – 1]. 2.6.4. 2.6.5. 2.6.3.2 Relación entre dos tasas nominales El valor futuro de P a la tasa nominal j2 con m2 capitalizaciones en el año es F2 = P(1 + j2 /m2)m2. El valor futuro de P a la tasa nominal j1 con m1 capitalizaciones en el año es F1 = P(1 + j1/m1)m1. Si ambas tasas son equivalentes, entonces al final del año los valores futuros son iguales, es decir F1 = F2 por tanto (1 + j1/m1)m1 = (1 + j2/m2)m2 despejando j1 de la ecuación anterior se obtiene:. j1 = m1[(1 + j2/m2 )m2/m1 - 1] UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 2.6.6 43.

(30) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. La fórmula 2.6.6 nos permite calcular la tasa j1 capitalizable m1 veces en el año, equivalente a una tasa nominal j2 capitalizable m2 veces en el año. Ejemplo 2.31: Encuentre la tasa de interés capitalizable semestralmente, equivalente a la tasa del 12% capitalizable trimestralmente. Datos: j2 = 0.12. m2 = 4. m1 = 2. j1 = ?. Solución: Utilizando la formula 2.6.6 tenemos que j1 = 2*[(1 + 0.12/4)4/2 - 1] = 2*[(1 + 0.03)2 - 1] = 0.1218 = 12.18% 2.6.3.3 Relación entre una tasa nominal continua y una tasa efectiva Las fórmulas del interés continuo simplifican frecuentemente la solución de modelos matemáticos complejos. En todas las fórmulas anteriores hemos utilizado el convenio de fin de período para pagos globales a interés discreto. A partir de ahora, en la solución de los ejemplos y/o ejercicios utilizaremos cualquiera de estos dos métodos según el requerimiento de cada caso. Cuando el interés capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito, la fórmula (2.5.3) puede escribirse de forma diferente. Si se continuaran haciendo cálculos sobre periodos cada vez más cortos, por ejemplo, capitalizaciones cada hora, cada minuto...., se llegaría a un límite que se puede escribir como el límite i efectivo anual cuando el número de periodos m por año tiende a  y esto a su vez puede escribirse como:. i = ej – 1 donde. 2.6.7. j: tasa de interés continua. Ejercicios propuestos: 1.. Si una compañía invierte hoy $ 3,000 y va a recibir $ 5,000 dentro de 12 años ¿Cuál es la tasa de interés compuesta?. 2.. Calcule el valor futuro de un crédito de C$ 25,000, si la tasa de interés es del 12% anual a un plazo de 5 años.. 3.. Si usted invierte hoy C$ 100,000 en un negocio de bienes y raíces, ¿en cuánto debe vender su propiedad dentro de 10 años si quiere obtener una tasa de retorno del 12 % anual?. 4. ¿Cuánto dinero podría tomar usted en un préstamo ahora si le paga al prestamista C$ UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 44.

(31) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. 1,850 dentro de 2 años y la tasa de interés es del 10% anual? 5.. Si se invierten $3,500 ahora esperando obtener $5,000 en una fecha posterior, ¿Cuándo deberá recibirse el dinero a fin de ganar al menos el 8% de interés anual.. 6.. Si se planea hacer un deposito ahora de tal manera que se tengan C$ 30,000 en una cuenta dentro de 5 años , ¿Cuánto deberá depositarse si la tasa de interés es del 8% anual.. 7.. ¿Cuánto dinero se acumularía en 25 años si se depositan C$ 800 dentro de un año, C$ 2,400 dentro de 6 años y C$ 3,300 dentro de 7 años, todos a una tasa de interés del 10% anual?. 8.. Un inversionista deposita un certificado a plazo fijo la cantidad de C$ 15,000 y desea que se le duplique, se sabe que el certificado gana una tasa de interés del 14% efectivo. Hallar el tiempo del plazo.. 9.. ¿Cuál es el interés que se gana un proyecto que requiere de una inversión inicial de C$10,000 y produce C$20,114 al término de su vida útil de 5 años?. 10. ¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de C$ 6,000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en C$ 10,000? 11. Si en una cuenta de ahorros que paga el 15% anual se depositan C$1,000 anuales durante 5 años, ¿Qué cantidad se acumularía al final del año 10, si el primer depósito se hizo al final del año 1? 12. ¿En qué tiempo un capital P se duplica a una tasa del 24% capitalizable mensualmente en qué tiempo se triplica? 13. Hallar la tasa nominal anual convertible mensualmente equivalente al 22% convertible bimensualmente. 14. Hallar la tasa de capitalización continúa equivalente al 12% efectiva anual. 15. Hallar la tasa nominal anual capitalizable trimestralmente equivalente al 15% de cap. continúa. 16. Una persona contrae una obligación financiera con el Banco del Norte a través de un préstamo comercial por la cantidad de C$230,000 a dos años de plazo y al 18% convertible mensualmente sobre saldo. Conviene cancelar la deuda mediante tres pagos de igual valor, dentro de: un año, 18 meses y al término del plazo respectivamente. Halle el valor de cada pago, si se establece la fecha focal dentro de un año. 17. Un padre coloca C$9,700 en una cuenta de ahorros al nacer su hijo. Si la cuenta paga el 12% convertible semestralmente, ¿Cuánto habrá en la cuenta al cumplir 14 años y 5 UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 45.

(32) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. meses el hijo? 18. El señor José Trejos desea realizar un préstamo de C$50,000 por 2 años y le ofrecen dos ofertas: 18% convertible trimestralmente y 18.375% convertible semestralmente. ¿Cuál es la más conveniente? 19. ¿Cuál es el valor inmediato de las siguientes cantidades? a.C$25,000 pagaderos en 4 y medio año al 12.6% capitalizable mensualmente. b.C$42,300 pagaderos en 18 meses al 24% convertible semestralmente. c.C$35,400 pagaderos en 2 años al 18% efectivo. 20. La señora Casco tiene dos ofertas para saldar una deuda pendiente con su acreedor, pagar C$16,000 en la fecha o pagar C$20,000 dentro de 5 años. ¿Qué opción debe aceptar si la tasa de interés es del 22% convertible semestralmente? 21. Una pequeña empresa de calzado tiene dos cuentas pendientes con el banco de préstamos, una de C$80,000 pagadera en 2 años y otra de C$65,000 pagadera en 18 meses, ambas con intereses al 26% convertible semestralmente. La empresa ha observado un decrecimiento notable en la demanda de sus productos y no puede asumir las obligaciones financieras a como están establecidas. El banco ha analizado la situación de su cliente y le ha propuesto el siguiente plan de pago, de las cuales la empresa debe aceptar una para cancelar las deudas, a una tasa del 18% capitalizable mensualmente. a) Un sólo pago dentro de 3 años. Fecha focal dentro de 3 años. b) Dos pagos iguales, dentro de 2 y 4 años respectivamente. Fecha focal dentro de 2 años. c) Tres pagos iguales dentro de 1, 2 y 3 años respectivamente. Fecha focal dentro de 3 años. 22. Una persona desea acumular la cantidad de $20,000 dólares para comprarse una casa, si actualmente dispone de 12,500 dólares que los ahorrará en una cuenta que paga el 12% capitalizable trimestralmente, cuánto tiempo deberá esperar para acumular la cantidad deseada y comprar la casa? 23. ¿Cuánto debe invetir una persona ahora al 18% capitalizable trimestralmente para tener C$16,500 en su cuenta dentro de 8 años y 6 meses? 24. Maritza obtiene un préstamo de US$10,000 con intereses al 16% capitalizable mensualmente. Acepta pagar $2,500 en 1 año y 8 meses y el saldo en 2 años y 3 meses. Halle el pago final X. 25. Un terreno es vendido por $8,500 en efectivo y $1,250 anuales por los próximos 4 años. Si la tasa de interés aplicable a esta transacción es del 14.5% capitalizable trimestralmente, ¿cuál es el precio de contado del terreno?. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 46.

(33) MATEMÁTICA FINANCIERA. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ. 26. Un proyecto tiene un flujo de caja neto de la siguiente manera: primer año $2,200, segundo año $3,450, tercer año $3,500, cuarto año $4,000 y quinto año $4,500. ¿Cuál es el valor actual neto si la tasa de descuento es del 22% anual? 27. Si en una cuenta de ahorros que paga el 15% anual se depositan $1,000 anuales durante 5 años, ¿Qué cantidad se acumularía al final del año 10, si el primer depósito se hizo al final del año 1? 28. ¿Cuál es el interés que se gana un proyecto que requiere de una inversión inicial de $10,000 y produce $20,114 al término de su vida útil de 5 años? 29. ¿En qué tiempo un capital de C$ 48,500 alcanza un valor de C$ 600,000 si es invertido al 8.3% capitalizable mensualmente y ¿en qué tiempo se duplica? 30. Un préstamo personal por C$ 1,200 se obtuvo hace un mes, se cancela mediante dos pagos uno de C$ 600 el día de hoy y otro por la cantidad que usted determine dentro de 3 meses si el interés es del 10% semestral.. UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO. 47.

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