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Si no existe el límite, se dice que la función no es derivable en x 0 En este caso, la gráfica tiene un pico en el punto P(x 0

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- Página 1 -

1.- CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. CÁLCULO DE DERIVADAS Función derivada

Se llama

función derivada

de una función f a la función

    h 0( f x h) (f x) f (´ x) l i m h (f´(x) representa la pendiente de la gráfica)

En consecuencia, la derivada de la función f en un punto x = x0 sería

    0 0 0 h 0( f x h ) (f x ) f (´ x ) l i m h Si no existe el límite, se dice que la función no es derivable en x0 .

En este caso, la gráfica tiene un “pico” en el punto P(x0, f(x0))

Como el cálculo de límites es bastante laborioso los matemáticos dedujeron, usando el cálculo de límites, unas fórmulas y reglas para obtener la derivada de forma más sencilla y rápida:

La función derivada de las funciones básicas con las que vamos a trabajar se recoge en esta tabla: Tabla de derivadas Función constante: f(x) c f´(x)0 Ejemplo : f(x) 7 f´(x)0 Función potencia: f(x)xk f´(x) kx k 1 3 2 Ejemplo : f(x)x f´(x)3x

Casos particulares

f(x) x f´(x) 1 f(x)x2 f´(x)2x 2 1 1 f(x) f´(x) x x     1 f(x) x f´(x) 2 x   

Función exponencial:f(x) a xf´(x) a ln(a) , a 0, a 1 x  

x x Ejemplo : f(x)2 f´(x)2 ln(2)

Caso particular

: f(x)ex f´(x)ex Función logaritmo: a 1 f(x) log (x) f´(x) , a 0, a 1 x ln(a)      3 1 Ejemplo : f(x) log (x) f´(x) x ln(3)   

Caso particular

: f(x) ln(x) f´(x) 1 x    Reglas de derivación Derivada de la suma y la resta

f(x) u(x) v(x)  f´(x) u´(x) v´(x)  f(x) u(x) v(x)  f´(x) u´(x) v´(x) 

5 2 4

Ejemplo:f(x) x   x x f´(x) 5x  2x 1

Derivada de un nº por una función f(x) k u(x) f´(x) k u´(x) 2 Ejemplo : f(x) 7x f´(x) 7.2x 14x    Derivada de la combinación lineal de funciones f(x) a u(x) b v(x)  f´(x) a u´(x) b v´(x)  2 Ejemplo : f(x) 3x 5x f´(x) 3.2x 5.1 6x 5      

Derivada del producto de funciones f(x) u(x) v(x) f´(x) u´(x) v(x) u(x) v´(x) 

2 21 Ejemplo : f(x) x ln(x) f´(x) 2xln(x) x x 2xln(x) x x[2ln(x) 1]         

Derivada del cociente de funciones

2

u(x) u´(x) v(x) u(x) v´(x)

f(x) f´(x) v(x) [v(x)]     2 2 1 x ln(x).1 ln(x) x 1 ln(x) Ejemplo : f(x) f´(x) x x x     

(2)

- Página 2 -

Derivada de una función compuesta (regla de la cadena) Abreviadamente, la derivada es

f[u(x)][f(u(x))]´ f´[u(x)] u´(x) [f(u)]´ f´(u) . u´

Ejemplos

2 7 u x 1 2 7 6 2 6 2 6 f(u) u

1) f(x)(x 1)   f´(x) [f(u)]´ f´(u). u´ 7u . u´ 7(x    1) .(2x 0) 14x(x  1)

2 u ln(x) 2

f(u) u

1 2 ln(x) 2) f(x) ln (x) f´(x) [f(u)]´ f´(u). u´ 2ln(x) .

x x         x x u e 1 x 1 x f(u) x 2 x 2 u 1 1 e

3) f(x) f´(x) [f(u)]´ f´(u). u´ .(e 0)

e 1 (e 1) (e 1)                2 u x x 2 f(u) u 2 2 1 2x 1

4) f(x) x x f´(x) [f(u)]´ f´(u). u´ .(2x 1)

2 x x 2 x x               u u 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 f(u) 2

5) f(x)2    f´(x) [f(u)]´ f´(u). u´ 2    ln(2).(3 0) 3ln(2). 2 

5

u 6x 5 f(u) log (u)

1 1

6) f(x) log (6x) f´(x) [f(u)]´ f´(u). u´ .6

6xln(5) xln(5)

 

     

Ejercicio de clase 1 Sean las funciones f(x) = (2x2 – 1)3 ln(x4)

2 2x x 2 e g(x) x 1     .

Determine el valor de f´(–1) y g´(0). (Propuesto PAU Andalucía 2014)

Solución

4 es x 3 2 2 4 2 3 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 4x f´(x) 3(2x 1) (4x) ln(x ) (2x 1) x 2x 1

Sacando factor común 4(2x 1) obtenemos : f´(x) 4(2x 1) 3x ln(x )

x 2( 1) 1 Luego, f´( 1) 4[2( 1) 1] 3( 1) ln[( 1) ] 4 .1 0 ( 1) 4 ( 1)                                     2 2 2 2 2 es 2(x 1) 2x x 2 2x x 2 2 2 2x x 2x x 2 2 2 2.0 0 2 2 e .( 2 2 x) (x 1) (e ) 2x g´(x) (x 1) (x 1)(x 1) x

Sacando factor común 2(e ) obtenemos 2(e )

(x 1) (0 1)(0 1) 0 1 Luego, g´(0) 2(e ) 2 . 2 1 (0 1)                              

(3)

- Página 3 -

Ejercicio de clase 2 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: a) 2 3 2 (x 5) f(x) 3 x    b) g(x) = e 7x (x – 5x2)2 c) h(x) x ln(1 x )2 x 3    (Propuesto PAU Andalucía 2013)

Solución

2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2x)(x 5) 3(3 x ) (x 5)( 1) 3(x 5) (2x)(3 x ) (x 5) ( 2x) (2x)(x 5) (4 2x ) a) f´(x) (3 x ) (3 x ) (3 x )                     7x 2 2 7x 2 7x 2 2 7x 2 2 b) g´(x)e .7 (x 5x ) e 2(x 5x )( 110 x) e (x 5x  ) 7(x 5x ) 2(   110 x) e (x 5x ) ( 35x  13x2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x 2x ln(1 x ) (x 3) xln(1 x ) 1.ln(1 x ) x (x 3) xln(1 x ).1 1 x 1 x c) h´(x) (x 3) (x 3)               

Ejercicio de clase 3 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: a) f(x) = e3x ln(2x – 5) b) 2x 2 3 g(x) x 1   c) h(x) = (3x 2 + 5x – 1)6 + x2 – ln x . (Propuesto PAU Andalucía 2012)

Solución

3x 3x 1 3x 2 a) f´(x) e .3. ln(2 x 5) e .2 f´(x) e ln(2x 5) x 3 2x 5 2 5              2x 2 2x 2 2x 2 2 2 2 3 .2 . ln(3)(x 1) x 3 .ln(3) . 2(x 1) 3 2x b) g´(x) g´(x) (x 1) (x 1)            2 5 1 c) h´(x) 6(3x 5x 1) (6x 5) 2x x      

Ejercicio de clase 4 Halle la función derivada de la función f(x) L x x 1

 

 

  y simplifique el resultado. (Propuesto PAU Andalucía 2004)

Solución

2

2 2 2

1 1 x 1 x 1

Usando propiedades del logaritmo : f(x) L(x) L(x 1) f´(x)

x x 1 x(x 1) x x

1 1(x 1) x1 x 1 1 1 1

Sin usar propiedades del logaritmo : f´(x)

x (x 1) x (x 1) x(x 1) x x x 1                         

Hacer actividades 1 a 8

2.- DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN.

Para que una función f sea derivable en un punto x0 se tienen que cumplir las siguientes condiciones: (C1) f debe ser continua en x0 (C2) Debe existir f´(x0)

(4)

- Página 4 -

Las funciones no definidas a trozos son derivables en todos los puntos donde sean continuas.

Si la función es definida a trozos, hay que estudiar el punto donde cambia la expresión de la función.

Por ejemplo, Si 0 0

u(x) , si x

x

f (x)

v(x) , si x

x



 



, siendo u, v funciones derivables es una función definida a

trozos. Entonces f es derivable en x = x0 si se cumple: C1) 0 0 0 xlimx

f (x)

xlimx

f (x)

f (x )

. 0 0 0 xlimx xlimx

Luego,

u(x)

v(x)

f (x )

C2) 0 0 0

xlimx

f´(x)

xlimx

f´(x)

L (estos límites se llaman derivadas laterales en x )

En tal caso, f´(x0) = L.

0 0

xlimx xlimx

Luego,

u´(x)

v´(x)

L

Gráficamente, si una función f es derivable en un punto x = x0 , la gráfica en el punto P(x0 , f(x0) ) no tiene roturas (pues es continua) ni “pico”.

Si una función es derivable en un punto, es continua en dicho punto.

Pero si la función es continua no tiene por qué ser derivable. Por ejemplo, f(x) x 2 , si x 2 2 x , si x 2

 

 

 es

continua en x = 2, pero no es derivable en x = 2. Pues, si x ≠ 2,

x 2 x 2 1 , si x 2 f´(x) y lim 1 lim ( 1) 1 , si x 2          

Ejercicio de clase 5 Sea la función

2 1 , si x 0 x 4 f(x) x 3 , si 0 x 2 x 1 , si x 2             

Estudie la derivabilidad de la función en su dominio. (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución

 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x 2 1

para x 4, pero f(4) 4 1 17 f(x), x. Luego, D(f) R x 4

Para x 0 y x 2, f es derivable

1 1

lim f(x) lim

x 4 4

En x 0 : f no es continua en x 0. Luego, no puede ser derivable

lim f(x) lim (x 3) 3 lim f(x) l En x 2 :                              x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 im (x 3) 5

lim f(x) lim (x 1) 5 f es continua en x 2.

f(2) 2 1 5 lim f´(x) lim (1) 1 f no es derivable en x 2 lim f´(x) lim (2x) 4                            

(5)

- Página 5 - Ejercicio de clase 6 Sea la función

2 1 , si x 4 x 3 f(x) x 9x 21 , si x 4        . Estudie su continuidad y

derivabilidad. (Propuesto PAU Andalucía 2003)

Solución

2 1 , s i x 4 S i x 3 y x 4 , f e s d e riv a b le ( y p o r ta n to , c o n tin u a ) y f´(x ) ( x 3 ) 2 x 9 , s i x 4 P a ra x 3 ,             x 4 x 4 2 x 4 x 4 2 x 4 x 4 x 4 x 4 f (3 ). L u e g o , n o e s c o n tin u a (n i d e riv a b le , p o r ta n to ) 1 lim f (x ) lim 1 x 3

P a ra x 4 , lim f (x ) lim ( x 9 x 2 1 ) 1 f e s c o n tin u a

1 f ( 4 ) 1 4 3 1 lim f ´(x ) lim 1 ( x 3 ) lim f ´(x ) lim (2 x 9 ) 1                                          c o in c id e n la s d e riv a d a s la te ra le s. L u e g o , f e s d e riv a b le e n x  4  

Ejercicio de clase 7 Sea la función

x e , si x 1 4 f(x) , si 1 x 1 x 3 1 ln(x) , si x 1              

a) Estudie la derivabilidad, obteniendo la función derivada. b) Calcule, si es posible, f’(0) y f’(2). (Propuesto PAU Andalucía 1999)

Solución

x 2 x x 1 x 1 x 1 x 1 e , si x 1 4

a ) P a ra x 1 y 1 , f e s d e riv a b le ( y , p o r ta n to , ta m b ié n c o n tin u a ). A d e m á s , f ´( x ) , si 1 x 1

( x 3 ) 1 , si x 1 x 1 lim f (x ) lim e e 4 E n x 1 lim f (x ) lim 2 x 3                                       x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 f e s n o e s c o n tin u a e n x 1 y , p o r ta n to , ta m p o c o d e riv a b le f ( 1 ) 4 lim f (x ) lim 1 x 3

E n x 1 lim f (x ) lim (1 ln ( x )) 1 0 1 f e s c o n tin u a e n x 1

4 f (1 ) 1 1 3 4 1 lim f ´(x ) lim 4 ( x 3 ) lim                                               x 1 2 n o c o in c id e n la s d e riv a d a s la te ra le s e n x 1 n o e s d e riv a b le e n x 1 1 f ´(x ) lim 1 x 4 4 1 c ) f ´(0 ) f ´(2 ) 9 2 (0 3 )            

(6)

- Página 6 - Ejercicio de clase 8 Sean las funciones

3 2 3 2 x x 2 , si 1 x 0 f(x) x x 2 , si 0 x 1              2 2 x x 2 , si 1 x 0 h(x) x x 2 , si 0 x 1              

 a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f en x = 0.

b) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función h en x = 0.

c) Si las dos funciones anteriores representan el perfil de un arco puntiagudo de una catedral y el de un arco redondeado (sin picos) de un túnel, indique, razonadamente, la que corresponde a la

catedral y la que corresponde al túnel. (Propuesto PAU Andalucía 2010)

Solución

3 2 x 0 x 0 3 2 x 0 x 0 3 2 2 x 0 x 0 2 x 0 x 0 lim f(x) lim (x x 2) 2

a) lim f(x) lim ( x x 2) 2 f es continua en x 0 f(0) 0 0 2 2

lim f´(x) lim (3x 2x) 0

Coinciden las derivadas laterales en x 0. lim f´(x) lim ( 3x 2x) 0                                     

Luego, f es derivable en x0. Además, f´(0) 0

2 x 0 x 0 2 x 0 x 0 2 x 0 x 0 x 0 x 0 lim h(x) lim ( x x 2) 2

b ) lim h(x) lim ( x x 2) 2 h es continua en x 0

h(0) 0 0 2 2

lim h´(x) lim ( 2x 1) 1

No coinciden las derivadas laterales en x 0. L

lim h´(x) lim ( 2x 1) 1                                            uego , h es no es derivable en x 0

c) Como f es derivable en x 0, su gráfica no tiene "pi cos".Luego, f corresponde al arco redondeado de un túnel. Y, por tan to, h corresponde a la catedral

Ejercicio de clase 9 En una especie animal la contracción del iris, en décimas de milímetro, después de exponer el ojo a una luz brillante durante un determinado tiempo, viene dada por

2 t , si 0 t 2 f(t) 4 , si t 2 t 1        

donde t es el tiempo, en segundos, que transcurre desde que se concentra la

luz en el ojo. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f. (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución

2 2 t 2 t 2 t 2 t 2 2 t 2 t 2 t 2 2t , si 0 t 2

P ara t 2 , f es d eriva b le ( y , p o r tan to , co ntinua) y f´(t ) 4

, si t 2

(t 1 )

lim f(t ) lim t 4

4

En t 2 : lim f(t ) lim 4 f es co ntinu a en t 2

t 1 f(2 ) 2 4 lim f´(t ) lim (2 t) 4 lim f´(t                                    2 t 2

n o co incid en las d eriva d a s la terales en t 2 . Lueg o , f no es d erivab le en t 2 .

4 ) lim 4 (t 1 )             

(7)

- Página 7 -

Ejercicio de clase 10 Calcule los valores de a y b para que la función

2 b , si x 1 2 x f(x) ax 3x 1 , si x 1        sea

derivable en el punto de abscisa x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2016)

Solución

Para que sea derivable en x = 1, debe ser continua y coincidir las derivadas laterales en dicho punto

1 1 2 2 1 1 lim ( ) lim 2 2 1 ; (1) 2 1 lim ( ) lim ( 3 1) .1 3.1 1 2 1, 2 a b 2 x x x x b b f x b b x f b f x ax x a a

Por ser continua en x debe ser b a                            

2

2 1 1 1 1 lim ´( ) lim 2 2 1 lim ´( ) lim (2 x 3) 2 .1 3 2 3 2 , 2 3 2 3 1, 1 2 3                                  x x x x b b f x b x f x a a a a b

Por coincidir las derivadas laterales b a a b a b

a b

Ejercicio de clase 11 Sea la función

2 1 (ax 12) , si x 1 2 f(x) x b(x 1) , si x 1            

. Halle los valores de a y b

sabiendo que la función es derivable en x = –1. (Propuesto PAU Andalucía 2015)

Solución

1 1

2 2

1 1

1 1 12

lim ( ) lim (ax 12) ( 12)

2 2 2 lim ( ) lim ( ( 1) ) ( 1) 2 1 2 12 ( 1) 1 2 1 , 1 2 12 2( 1 2 ) a 12 2 4 b a 4 b 10 2 x x x x a f x a f x x b x b b a

f b Por ser continua en x b a b

                                                       1 1 1 1 1 lim ´( ) lim . 2 2 lim ´( ) lim ( 2 x .1) 2.( 1) 2 4 10 , 2 2(2 ) 4 2 2 4 18, 7 2 4 2                                           x x x x a f x a f x b b b a b a

Por coincidir las derivadas laterales b a b a b a b a b

a b

Hacer actividades 9 a 20

3.- RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Recuerda que la pendiente de una recta nos indica la mayor o menor inclinación de ésta.

Cuando la gráfica de una función no es una recta y queremos medir la “pendiente de la gráfica” se utiliza la derivada.

f´(x0) representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(x0, f(x0)) . Si no existe, dijimos que la función no es derivable en “x0

(8)

- Página 8 -

La recta tangente es la recta que pasa por P y la que “más se aproxima” a la gráfica de la función en las proximidades del punto P.

Ecuación de la recta tangente en un punto P(x0, f(x0))

Como la recta tangente a la gráfica de una función f pasa por el punto P(x0, f(x0)) y su pendiente es f´(x0), la ecuación de la recta tangente es: rtg : yf´(x ).(x x ) f(x )000

Para poder calcular dicha ecuación es necesario que existan tanto f(a) como f´(x0). Una vez calculados, sustituimos en la fórmula anterior los valores: " x0 " , " f(x0) " y " f´(x0) " y después reducimos la expresión efectuando las operaciones.

Ejercicio de clase 12 Sea la función definida de la forma

2 2x , si x 2 x 1 f(x) 2x 10x , si x 2      

Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución

0 0 0 0

tan :  ´( ).(  ) ( )

La ecuación de la recta gente en x es y f x x x f x

0 0 2 2 0 2 . 0 2( 1) 2 . 1 2 , 0 , ( ) (0) 0. 2 ( 1), ´( ) , ´( ) ´(0) 2 0 1 ( 1) ( 1)                  x x

En este caso x f x f Como para x x f x f x f

x x

tan :  2.( 0) 0  tg:  2

La ecuación de la recta gente es y x r y x

Ejercicio de clase 13 Se consideran las siguientes funciones f(x) 5x 16 x 

 y g(x) = x2. a) Determine la abscisa del punto donde se verifique que f´(x) = g´(x).

b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada función en el punto de abscisa x = 2 y determine el punto de corte de ambas rectas tangentes, si existe. (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución

2 4 2 2 2 5 . x (5 x 1 6 ) . 1 1 6 1 6 a) C o m o f´(x ) g´(x ) 2x f´(x ) g´( x ) x x 16 x 2 x x x              0 0 0 0 0 0 0 2 tg

b ) * La ecuación de la recta tan gente a f en x es : y f´(x ) .(x x ) f(x )

5 . 2 16 16

En este caso , x 2 , f(x ) f(2) 3 ; f´(x ) f´(2) 4

2 2

La ecuación de la recta tan gente a f en x 2 es : y 4 .(x 2) 3 r : y 4 x 11

* La ecuación de la recta tan

                   0 0 0 0 2 0 0 0 tg gente a g en x es : y g´(x ) .(x x ) g(x ) En este caso , x 2 , g(x ) g(2) 2 4 ; g´(x ) g´(2) 2 . 2 4

La ecuación de la recta tan gente a g en x 2 es : y 4 .(x 2) 4 r : y 4 x 4

y 4 x 11

El punto de corte se calcula resolviendo el sistem a

y 4 x 4

  

      

      

 

  4 x 11 4 x 4 0 7 (no tiene solución)

Luego , las rectas tan gentes no se cor tan

     

 

(9)

- Página 9 -

Ejercicio de clase 14 Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función h(x) 3x 6 2x 1

 

 en el punto de abscisa x = 1 y determine, si existen, las ecuaciones de sus asíntotas.

(Propuesto PAU Andalucía 2016)

Solución

0 2 2 0 0 0 0 0 0 1 3(2x 1) (3x 6).2 9

Para x , h´(x) y la ecuación de la recta tangente a h en x es

2 (2x 1) (2x 1)

y h´(x ).(x x ) h(x ).

En este caso, x 1 , h(x ) h(1) 3; h´(x ) h´(1) 1

La ecuación de la recta tangente a h en x 1 es : y 1.(x 1) 3

                         r : ytg   x 4 x x x 1 x 2 1 x 2 1 x 2 3x 6 6 3 3 3 x x x

lim h(x) lim lim La A.H. en es la recta y

2x 1 2 1 2 2 x x x 4,5 lim h(x) 0 4,5 1

lim h(x) La A.V. es la recta x

4,5 0 2 lim h(x) 0                                               

Ejercicio de clase 15 Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g(x) = –2e3x en el punto de abscisa x = 0. (Propuesto PAU Andalucía 2011)

Solución

0 0 0 0 3x 3x 3x 3.0 3.0 0 0 0 tg

La ecuación de la recta tangente a g en x es : y g´(x ).(x x ) g(x )

g(x) 2e , g´(x) 2e .3 6e

En este caso, x 0 , g(x ) g(0) 2e 2 ; g´(x ) g´(0) 6e 6 La ecuación de la recta tangente a g en x 0 es : y 6.(x 0) 2 r :

  

    

          

      y  6x 2

Ejercicio de clase 16 Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) x 1 2x 1

 

 en el punto (0, 1). (Propuesto PAU Andalucía 2009)

Solución

0 2 2 0 0 0 0 0 0 tg 1(2x 1) (x 1).2 1

f´(x) . La ecuación de la recta tangente a f en x es :

(2x 1) (2x 1)

y f´(x ).(x x ) f(x ). En este caso, x 0, f(x ) f(0) 1 ; f´(x ) f´(0) 1 La ecuación de la recta tangente a f en (0, 1) es : y 1.(x 0) 1 r : y x 1

  

 

 

       

     

Ejercicio de clase 17 ¿En qué punto de la gráfica de la función f(x) = 2x2 + 3x + 1, la recta tangente es paralela a y = 3x – 5 ? (Propuesto PAU Andalucía 2004)

Solución

Sea P(x, y) el punto donde la recta tangente es paralela a la recta y 3x 5.

Entonces, lapendiente de la recta tangente a f en P es igual a la pendiente de la recta y 3x 5 Luego, f´(x) 3 4x 3 3 x 0. Por tanto, y f(0) 1. El punto es P(0, 1)

 

 

(10)

- Página 10 -

Ejercicio de clase 18 Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = x3 – 1 en cada uno de los puntos en los que su pendiente sea igual a 3. (Propuesto PAU Andalucía 2000)

Solución

2

0 0 0 0

0 0 0

Hallemos los puntos en los que la pendiente es 3 : f´(x) 3 3x 3 x 1 La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x )

Recta tangente en x 1 : en este caso, x 1 , f(x ) f(1) 0 ; f´(x ) f´(1) 3 La ecuación de la recta tang

               tg 0 0 0 tg ente a f en x 1 es : y 3.(x 1) 0 r : y 3x 3

Recta tangente en x 1 : en este caso, x 1 , f(x ) f( 1) 2 ; f´(x ) f´( 1) 3 La ecuación de la recta tangente a f en x 1 es : y 3.(x 1) 2 r : y 3x 1

      

          

       

Ejercicio de clase 19 Sea la función definida para todo número real x por f(x) = ax3 + bx.

Determine a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 1) y que en ese punto la pendiente de la recta tangente es −3 . (Propuesto PAU Andalucía 2007)

Solución

2

f´(x) 3ax b La gráfica pasa por (1, 1) f(1) 1 a b 1

La pendiente de la recta tangente en x 1 es 3 f´(1) 3 3a b 3

a b 1 Luego, a 2 b 3 3a b 3                              

Ejercicio de clase 20 Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica

de f(x) = ax2 − b en el punto (1, 5) sea la recta y = 3x + 2. (Propuesto PAU Andalucía 2007)

Solución

f´(x) 2ax La gráfica pasa por (1, 5) f(1) 5 a b 5

La pendiente de la recta tangente en x 1 es 3 f´(1) 3 2a 3

a b 5 3 7 Luego, a b 2a 3 2 2                   

Hacer actividades 21 a 28

4.- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES Monotonía y extremos de una función

Estudiar la monotonía de una función f es averiguar los intervalos de la recta real donde f es creciente, decreciente o constante. Como la derivada representa la pendiente de la recta tangente:

 

 

 

0 0 0 0 0

Si f tiene un extremo relativo en x

x

f´ x

0, pues la recta tangente es horizontal

Si f´ x

0

f es creciente en x

x , pues la recta tangente tiene pendiente positiva

Si f´ x

0

f es decrecie

nte en x

x , pues la recta tangente tiene pendiente negativa

0

Ten en cuenta: Puede que f´(x0) = 0 y en x = x0 no haya máximo ni mínimo pues puede que f sea creciente o decreciente

(11)

- Página 11 -

Si queremos estudiar la monotonía de una función f ten en cuenta que:

 

 

 

          tg tg

Si f´ x 0, en un intervalo pendiente de la 0 f es creciente en dicho intervalo Si f´ x 0, en un intervalo pendiente de la 0 f es decreciente en dicho intervalo Si f´ x 0, en un intervalo pendient

r

r

     

 e de la

r

tg 0 f es constante en dicho intervalo

Una vez determinada la monotonía se pueden deducir cuales son los extremos relativos (máximos y mínimos relativos) recordando que:

Si la función pasa de ser creciente a decreciente y es continua, entonces hay un máximo relativo

Si la función pasa de ser decreciente a creciente y es continua, entonces hay un mínimo relativo

Si sólo queremos calcular los extremos relativos de una función f podemos usar el siguiente procedimiento:

1º) Calculamos f´(x) y resolvemos la ecuación f´(x) = 0. Si no tuviese solución es porque no hay extremos relativos En otro caso, supongamos que una solución es x = x0

2º) Calculamos f´´(x) (que es la derivada de f´(x)). Entonces:

 

 

       0 0 0 0

Si f´´ x 0, entonces en x x se alcanza un mínimo relativo Si f´´ x 0, entonces en x x se alcanza un máximo relativo

Esto mismo hacemos para todas las soluciones de la ecuación f´(x) = 0 Si f´´(x0) = 0 entonces no podemos deducir si x = x0 es o no extremo relativo. En este caso, usamos el primer método descrito en este apartado

Curvatura y puntos de inflexión de una función

Estudiar la curvatura de una función es averiguar los intervalos de la recta donde es convexa (forma de U) ó cóncava (forma de ⋂).

La derivada segunda, f´´(x), nos permite averiguarlo:

 

 

 

  

Si f´´ x 0, en un intervalo, entonces f es convexa en dicho intervalo Si f´´ x 0, en un intervalo, entonces f es cóncava en dicho intervalo Si f´´ x 0, en un intervalo, entonces f es una línea recta en d

   

 icho intervalo

(12)

- Página 12 -

Los puntos de inflexión son puntos donde la función es continua y pasa de ser convexa a ser cóncava o al revés.

Si sólo queremos calcular los puntos de inflexión de una función f, podemos usar el siguiente procedimiento:

1º) Calculamos f´(x) y f´´(x) y resolvemos la ecuación f´´(x) = 0.

Si la ecuación no tuviese solución entonces no hay puntos de inflexión En otro caso, supongamos que una solución es x = x0

2º) Calculamos f´´´(x) (que es la derivada de f´´(x)).

Si f´´´(x0)  0, entonces en x = x0 hay un punto de inflexión

Esto mismo hacemos para todas las soluciones de la ecuación f´´(x) = 0 Si f´´´(x0) = 0 entonces no podemos decidir si es o no punto de inflexión. En este caso, hay que usar el primer método descrito en este apartado

Ejercicio de clase 21 Sea la función f definida mediante

2 x ax b , si x 1 f(x) 0 , si x 1      

Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en x = –1. (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución

x 1

x 1

lim f(x) 1 a b

Como para x 1 f es continua. Para que sea continua debe ser continua en x 1 lim f(x) 0 1 a b 0 f(1) 0

2x a , si x 1 Observamos que f´(x)

0 , si x 1

Como debetener un mínimo en x 1 f´( 1) 0 2.( 1) a 0 a

                                     2 1 a b 0 a 2 b 3 a 2            

Ejercicio de clase 22 Sea la función f(x)= x3 + ax2 + bx .

Halle a y b sabiendo que la función tiene un mínimo en el punto de abscisa x = –1 y un punto de inflexión en el punto de abscisa x = –2. (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución

2

Observamos que f´(x) 3x 2ax b f´´(x) 6x 2a

Como debetener un mínimo en x 1 f´( 1) 0 3 2a b 0 2a b 3 2a b 3

a 6 b 9 Como debetener un punto de inflexión en x 2 f´´( 2) 0 12 2a 0 a 6 a 6

                                      

(13)

- Página 13 -

Ejercicio de clase 23 Calcule los valores de los parámetros a y b para que la gráfica de la función f(x) = x3 + ax2 + b presente un extremo relativo en el punto (2 ,6). (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución

2

como f´(x) 3 x 2ax

La gráfica pasa por (2, 6) f(2) 6 8 4a b 6 Si f presenta un extremo relativo en (2, 6)

f´(2) 0 12 4a 0 4a b 2 Luego, a 3, b 10 a 3                        

Hacer actividades 29 a 36

Ejercicio de clase 24 Sea la función

2 x 4x 4 , si x 2 f(x) 1 , si x 2 x 1        

. Estudie la monotonía y calcule las

ecuaciones de las asíntotas, si existen. (Propuesto PAU Andalucía 2016)

Solución

2 x x 2 x x x 2 2x 4 , si x 2

Para x 2, f´(x) 1 f´(x) 0 . Luego, f es decreciente

, si x 2 (x 1)

1 1

lim f(x) lim 0 A.H. en : y 0

x 1

lim f(x) lim (x 4x 4) No hay A.H. en

lim f(x) Como para x 2, f es continua y en x 2

                                    2 x 2 x 2 x 2 lim (x 4x 4) 0 f no tiene A.V. 1 lim f(x) lim 1 x 1           

Ejercicio de clase 25 Se considera la función f(x) = x3 – 2x2 + x.

Halle el máximo, el mínimo y el punto de inflexión de la función. (Propuesto PAU Andalucía 2015)

Solución

2 2 ) 0 3 f´´´(x) 6 0 f´´´( 1 f´(x) 0 3x 4x 1 0 x 1, x ; f´´(x) 6x 4 3 f´´(1) 2 0 en x 1 se alcanza un mínimo (y f(1) 0) M(1, 0) 1 1 1 4 1 4 f´´( ) 2 0 en x se alcanza un máximo (y f( ) ) N( , ) 3 3 3 27 3 27 2 f´´(x) 0 x 3                                 

   en x 2hay un punto de inf lexión (y f( )2 2 N( ,2 2 )

3 3 27 3 27

(14)

- Página 14 - Ejercicio de clase 26 Sea la función f definida por

2 3x 3x 48 , si x 2 f(x) 60 , si x 2 x           .

Estudie la monotonía de f(x) y calcule sus extremos. (Propuesto PAU Andalucía 2014)

Solución

2 2 1 1 1 x x x 2 x 2 x 2 6x 3 , si x 2 2 2 2 1 Para x 2, f´(x) 60 ; f´(x) 0 x f´(x) 0 , si x 2 2 f(x) máximo x 1 1

Luego, f es creciente en ( , ) y decreciente en ( , ) .

2 2

1 x

2 Además, f tiene un máximo en

1 1 1 y f( ) 3( ) 3( 2 2                                      ր ց ց 1 201 M( , ) 201 2 4 ) 48 2 4     

Ejercicio de clase 27 Sea la función f(x) = x3 – 24x2 + 4x

Halle los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión. (Propuesto PAU Andalucía 2013)

Solución

2 x 8 x 8 x 8 f´(x) 3x 48x 4 ; f´´(x) 0 6x 48 0 x 8 f´´(x) 0 f(x) inf lexión x 8

Luego, f es cóncava en ( , 8) y convexa en (8, ) . El punto de inf lexión es I(8, 992)

y f(8) 992                          

Ejercicio de clase 28 Se considera la función

3 2 x 1 , si x 1 f(x) x 4x 3 , si x 1         

a) Obtenga los extremos de la función. b) Estudie su curvatura. (Propuesto PAU Andalucía 2013)

Solución

2 2 3x , si x 1 3x 0, x 1 x 0 a) f´(x) ; f´(x) 0 2x 4 , si x 1 2x 4 0, x 1 x 2 x 0 x 0 0 x 1 x 1 1 x 2 x 2 x 2 x 2 f´(x) 0 0 El máximo es M(2, 1) y f(2) 1 f(x) 0 1 (máximo)                                          ր ր ր ց x 0 x 0 0 x 1 x 1 x 1 6x , si x 1 b) f´´(x) ;f´´(x) 0 6x 0 x 0 f´´(x) 0 2 , si x 1 f(x) inf lexión 0

Luego, f es cóncava en ( , 0) (1, ) y convexa en (0, 1)

                     ∪ 

(15)

- Página 15 - Ejercicio de clase 29 Dada la función

x 2 3e , si 3 x 0 f(x) x 2x 3 , si 0 x 3             

a) ¿Es continua en x = 0? b) Calcule su máximo y su mínimo, absolutos, en su dominio de definición. (Propuesto PAU Andalucía 1998)

Solución

x x 0 x 0 2 x 0 x 0 0 lim f(x) lim 3e 3

a) lim f(x) lim ( x 2x 3) 3 f es continua en x 0

f(0) 3e 3                    x 3e , si 3 x 0 b) D(f) [ 3, 3]; Para x 0, f´(x) ; f´(x) 0 2x 2 0 x 1 2x 2 , si 0 x 3 x 3 3 x 0 x 0 0 x 1 x 1 1 x 3 x 3 f´(x)                                     3 0 f(x) 3 e 3 4 (máximo) 0

Por tanto, el mínimo absoluto es 0 y se alcanza en x 3; el máximo absoluto es 4 y se alcanza en x 1 

  

 

ր ր ց

Hacer actividades 37 a 41

Ejercicio de clase 30 De una función continua y derivable, f , se sabe que la gráfica de la función derivada, f´, es una parábola que pasa por los puntos (–1, 0) y (3, 0) y que tiene su vértice en el punto (1, –2).

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f, así como la existencia de extremos.

b) Si f(1) = 2, encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2016)

Solución

x 1 x 1 1 x 3 x 3 x 3 a) M o no to nía y extrem o s : f´(x ) 0 0

f( x ) m áxim o m ínim o

C reciente en ( , 1) (3, ) decreciente en ( 1, 3) ; M áxim o en x 1 y m ínim o en x 3

                   ր ց ր ∪ 0 0 0 0 0 0 0 Mirando la gráfica de f´(x)

b) La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x ) Recta tangente en x 1 : en este caso, x 1 , f(x ) f(1) 2

f´(x ) f´(1) 2

La ecuación de la recta tangente a f en x 1 es : y 2.(x

  

   

  

(16)

- Página 16 -

Ejercicio de clase 31 Estudie el crecimiento y decrecimiento de una función g cuya derivada tiene por gráfica la recta que pasa por los puntos (2, 0) y (3, 1). (Propuesto PAU Andalucía 2003)

Solución

x 2 x 2 x 2 g´(x) 0 x 2 g´(x) 0 decreciente en ( , 2) , creciente en (2, ) g(x) Mínimo            ց ր

Ejercicio de clase 32 La derivada de una función f definida de R en R es: f´(x) = x2 + x – 6. a) Determine, si es posible, para qué valores de x alcanza f su máximo y su mínimo relativos. b) Calcule un punto de inflexión de esta función y determine si es único o pueden existir otros. c) Sabiendo que f(0) = 3, deduzca razonadamente si es f(1) < 3 o es f(1) > 3.

(Propuesto PAU Andalucía 2000)

Solución

2 a) f´(x) 0 x x 6 0 x 3, x 2 x 3 x 3 3 x 2 x 2 x 2 f´(x) 0 0 Máximo en x 3 ; mínimo en x 2 f(x) Máximo Mínimo                         ր ց ր 1 1 1 x x x 2 2 2 1 b) f´´(x) 0 2x 1 0 x f´´(x) 0 2 f(x) inf lexión 1 1

El punto de inf lexión es x . No hay ningún otro porque si x f es cóncava o convexa

2 2                     

(17)

- Página 17 -

Ejercicio de clase 33 Sean dos funciones, f y g, tales que las expresiones de sus funciones derivadas son, respectivamente, f´(x) = x + 2 y g´(x) = 2

a) Estudie la monotonía de las funciones f y g.

b) De las dos funciones f y g, indique, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su derivada es nula.

c) ¿Cuál de las funciones f y g es una función polinómica de primer grado? ¿Por qué? (Propuesto PAU Andalucía 2012)

Solución

x 2 x 2 x 2

a) f´(x) 0 x 2 0 x 2 f´(x) 0 ; g´(x) 2 0 g es creciente

f(x) mínimo

Creciente en ( 2, ) decreciente en ( , 2) b) Como f´( 2) 0, la respuesta es f c) como g´(x) 2 cte, g(x) es una función polinómica de primer grado

                          ց ր

Hacer actividades 42 a 45

Ejercicio de clase 34 Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, que ha obtenido en los últimos 10 años. La función a la que se ajustan dichos beneficios viene dada por B(t) = 2t3 – 36t2 + 162t – 6 , 0 ≤ t ≤ 10

a) ¿Qué beneficios obtuvo al inicio del periodo (t = 0) y al final del décimo año (t = 10)

b) ¿En qué momentos se obtiene el máximo y el mínimo beneficio y cuáles fueron sus cuantías? (Propuesto PAU Andalucía 2014)

Solución

a) t 0 B(0) 6 (6000 € de pérdida) t 10 B(10) 14 (14 000 € de beneficio) 2 b) B´(t) 0 6t 72t 162 0 t 3, t 9 t 0 0 t 3 t 3 3 t 9 t 9 9 t 10 t 10 B´(t) 0 0 B(t) 6 210 (máximo) 6 (mínimo) 55

En el tercer año tuvo su beneficio máximo de 210 000 €. Al inicio y en el noveno año el mínimo (pérdidas de 6 000 €)

       

         

    

 ր ր ց  ր ր

Ejercicio de clase 35 La mosca común solamente vive si la temperatura media de su entorno está comprendida entre 4ºC y 36ºC. La vida en días, en función de la temperatura media T, medida en grados centígrados, viene dada por la función: V(t) 1(T2 40T 16) , T [4 , 36]

16 

   

a) Determine la vida máxima que puede alcanzar la mosca común.

b) Calcule la vida mínima e indique la temperatura media a la que se alcanza.

c) Si sabemos que una mosca ha vivido 15 días, ¿a qué temperatura media ha estado el entorno donde ha habitado? (Propuesto PAU Andalucía 2015)

Solución

2 2 2 T 4 4 T 20 T 20 20 T 36 T 36 1 V´(T ) 0 (2T 40) 0 T 20 V´(T ) 0 0 16 V(T ) 8 24 (máximo) 8 (mínimo)

a) 24 días b) 8 días a una temperatura media 4 º C ó 36 º C

1 15.16

c) Como ha vivido 15 días, V(T) 15 (T 40T 16) 15 T 40T 16

16 ( 1) T                              ր ր ց 2 40T16  240 T 40T256  0 T 8, T 32 Ha estado a 8 º C ó a 32 º C

(18)

- Página 18 -

Ejercicio de clase 36 El porcentaje de personas que sintonizan un programa de radio que se emite entre las 6 y las 12 horas viene dado, según la hora t, mediante la función

f(t) = 660 – 231t + 27t2 – t3 , 6 ≤ t ≤ 12

a) ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa al comenzar la emisión? ¿Y al cierre? b) ¿A qué hora tiene máxima y mínima audiencia? ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa a dichas horas? (Propuesto PAU Andalucía 2014)

Solución

2

a) Al comenzar : f(6) 30 % Al cierre : f(12) 48%

b) f´(t) 0 231 54t 3t 0 t 7 , t 11

f´´(7) 12 0 en t 7 hay un mínimo relativo. Además, f(7) 23 f´´(t) 54 6t

f´´(11) 12 0 en t 11 hay un máximo relativo. Además, f(11) 55

Luego,                            

la máxima audiencia es a las 11 h con 55% y la mínima a las 7 h con un 23%

Ejercicio de clase 37 Una persona está aprendiendo a nadar. Después de t horas de prácticas es capaz de nadar, en un minuto, una distancia f(t) metros, dada por la función f(t) = (50/3)·(1 – e–0’04t) a) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función.

b) Calcule, si existen, las asíntotas horizontales y verticales de la función f.

c) Con los resultados de las cuestiones anteriores qué conclusiones obtiene sobre la influencia del número de horas de práctica en la distancia que recorre el nadador por minuto

(Propuesto PAU Andalucía 1998)

Solución

0,04t 0,04t 50 2 a) f´(t) 0,04 e e 0. Luego, f es creciente 3 3      x x

b) Como f es continua, no hay A.V.

50 50 50

lim f(x) (1 e ) la A.H. en es la recta de ecuación y

3 3 3

50

lim f(x) (1 e ) no hay A.H. en 3                 50

c) Que al aumentar el nº de horas de práctica nada más rápido. El límite de la distancia es 16,7 m / min 3 

Hacer actividades 43 a 49

5.- REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

Como la derivada nos permite determinar la monotonía, extremos, curvatura y puntos de inflexión de una función, esta herramienta junto con el cálculo de límites nos va a servir para dibujar la gráfica, de forma aproximada, de una función.

Para representar gráficamente una función es conveniente analizar: 1) El dominio de definición

2) La continuidad y las asíntotas verticales (posición de la gráfica respecto de las asíntotas) 3) Las asíntotas horizontales y oblicuas (posición de la gráfica respecto de las asíntotas) 4) La monotonía y los extremos relativos.

5) La curvatura y los puntos de inflexión

Si además, calculamos los puntos de corte con los ejes de coordenadas tendremos más elementos para su representación.

(19)

- Página 19 -

Ejercicio de clase 38 Sea la función f(x)= x3 + 6x2 + 9x. Halle los puntos de corte con los ejes, estudie la monotonía y extremos y esboce la gráfica de la función. (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución

3 2 2

2

x 0

Eje X : x 6 x 9 x 0 x(x 6x 9) 0 . (0,0) y ( 3, 0)

Puntos de corte con los ejes x 3

Eje Y : Punto (0, f(0)) (0, 0) Monotonía y extremos : f´(x) 0 3x 12x 9 0 x 1 , x 3 x 3 x 3 3 x 1 x 1 x 1 f´(x) 0 0 f(x) 0 (máximo)                                              ր 4 (mínimo)

Creciente en ( , 3) ( 1, ) decreciente en ( 3, 1) Máximo : M( 3, 0) Mínimo :N( 1, 4) 

        

ց ր

Ejercicio de clase 39 La gráfica de la función derivada de una función f(x) es una parábola de vértice (1, – 4) que corta al eje de abscisas en los puntos (–1, 0) y (3, 0). A partir de la gráfica de f´: a) Estudie el crecimiento y el decrecimiento de f. ¿Para qué valores de x se alcanzan los máximos y mínimos relativos?

b) Esboce la forma de la gráfica de una función cuya derivada sea la parábola dada. (Propuesto PAU Andalucía 2001)

Solución

x 1 x 1 1 x 3 x 3 x 3

a) f´( x ) 0 x 1 , x 3 f´( x ) 0 0

f ( x ) m á xim o m ín im o

crecien te en ( , 1 ) (3, ) , d ecrecien te en ( 1 , 3); m á xim o en x 1 , m ín im o en x 3

        

       

      

ր ց ր

(20)

- Página 20 - Ejercicio de clase 40 Sea la función f(x) 1x3 1x2 2x 3

3 2

   

a) Determine sus máximos y mínimos relativos.

b) Consideremos la función g(x) = f´(x). Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g(x) en el punto de abscisa x = 2

c) Dibuje la gráfica de g(x) y de la recta tangente calculada en b). (Propuesto PAU Andalucía 2013)

Solución

2 a) f´(x) 0 x x 2 0 x 2 , x 1 x 2 x 2 2 x 1 x 1 x 1 f´(x) 0 0 f(x) máximo mínimo x 2 x 1 19 11 El máximo es 19 M( 2, ) El mínimo es 11 N(1, ) 3 6 y f( 2) y f(1) 3 6                                   ր ց ր 2 0 0 0 0 como g´(x) f´´(x) 2x 1 2 0 0 0

b) g(x) f´(x) x x 2. La ecuación de la recta tangente a g en x es : y g´(x ).(x x ) g(x ).

En este caso, x 2 , g(x ) f´(2) 2 2 2 4 ; g´(x ) g´(2) 2 .2 1 5

La ecuación de la recta tangente a g en x 2

  

      

         

(21)

- Página 21 - Ejercicio de clase 41 Sea la función f(x) 4x 1

2x 2  

 . Determine su dominio, los puntos de corte con los ejes, sus asíntotas, y represéntela gráficamente. (Propuesto PAU Andalucía 2004)

Solución

 

x x x x 1 Como 2x 2 0 x 1. Entonces, D(f) R 1 . 4x 1 1 1 Eje X : 0 x punto ( ,0) 2x 2 4 4

Puntos de corte con los ejes

1 Eje Y : punto (0, f(0)) (0, ) 2 4x 1 1 4 x x x

lim f(x) lim lim 2 La A.H. en es la recta y 2

2x 2 2 2 x x x lim f(                                   x 1 x 1 3 lim f(x) 3 0 x) La A.V. es la recta x 1 3 0 lim f(x) 0                         

(22)

- Página 22 - Ejercicio de clase 42 Sea la función

2 1 , si x 4 x 3 f(x) x 9x 21 , si x 4        .

Represente gráficamente la función y determine máximos y mínimos relativos, si los hubiere, así como el crecimiento y decrecimiento. (Propuesto PAU Andalucía 2003)

Solución

2 1 0 , si x 4 (imposible) (x 3) f´(x) 0 9 2x 9 0 , si x 4 x 2 9 9 9 x 3 x 3 3 x 4 x 4 4 x x x 2 2 2 f´(x)                            0 f(x)    ց mínimo 9 x 9 2 9 3

Luego, f es creciente en , y decreciente en el resto. Mínimo M ,

9 3 2 2 4 y f 2 4                           ց ց ր

(23)

- Página 23 -

Ejercicio de clase 43 Siendo f: R → R la función dada por la expresión: 2 2 3x 5 , si x 0 f(x) x 3 , si 0 x 2 x 4 , si x 2          

a) Represente la gráfica de esta función e indique los intervalos de crecimiento de dicha gráfica.

b) Justifique si la función presenta, en el intervalo (2, +∞) algún punto de tangente horizontal. (Propuesto PAU Andalucía 1999)

Solución

3 , si x 0

a) f´( x ) 2 x , si 0 x 2 . C o m o f ´( x ) 0 en ( , 0 ), es en d ich o in t erv a lo d o n d e es crecien te 2 x , si x 2              2

b ) En el int ervalo (2, ) , f(x ) x 4 f´(x ) 2x 0 en dicho inte rvalo es decreciente. Luego , no puede presentar ningún punto de tan gente horizontal

         

Ejercicio de clase 44 Dada la función

2 x 4 , si x 0 x 2 f(x) 2  , si x 0      

a) Calcule la función derivada de f(x). b) Represente gráficamente la función. (Propuesto PAU Andalucía 1998)

Solución

2 2 x x 0 x 0 2 x x 0 x 0 4 , si x 0 (x 2) a) Si x 0 , f´(x ) 2 , si x 0 4 lim f(x) lim 2 x 2

En x 0 f no es continua en x 0 y , por tan to , tam poco derivable lim f(x) lim 2 4                            

Hacer actividades 44 a 55

(24)

- Página 24 -

Ejercicio de clase 45 La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por f(x) = – 2x2 + 36x + 138, x ≥ 0

a) Determine la inversión que maximiza el beneficio de la empresa y calcule dicho beneficio óptimo. b) Calcule f´(7) e interprete el signo del resultado.

c) Dibuje la función de beneficios f(x). ¿Para qué valor o valores de la inversión, x, el beneficio es de 138 mil euros? (Propuesto PAU Andalucía 2014)

Solución

a) f´(x) 0 4 x 36 0 x 9

x 0 0 x 9 x 9 x 9

f´(x) 0

f(x ) 138 300 (m áxim o )

Para una inversión de 9 000 € se obtiene el beneficio m áxim o de 300 000 €.

               ր ր ց b ) f ´(7 )  4 . 73 6  8  0  P a ra u n a in v e rs ió n d e 7 0 0 0 € e l b e n e fic io ib a c re c ie n d o 2 2 c) f(x) 138 2x 36 x 138 138 2x 36 x 0 x 0 , x 18 Luego , para una inversión nula ó de 18 000 € el beneficio es de 138 m il euros

            

Ejercicio de clase 46 El número medio de clientes que visitan un hipermercado entre las 11 y

las 20 horas está dado por f(x) = x3 – 42x2 + 576x – 2 296, en función de la hora x, siendo 11≤ x ≤ 20. a) Halle los extremos relativos de esta función.

b) Represente esta función y determine las horas en las que crece el número medio de clientes. c) Halle los valores máximos y mínimos del número medio de clientes que visitan el hipermercado entre las 11 y las 20 horas. (Propuesto PAU Andalucía 2003)

Solución

2 a ) f ´ ( x ) 0 3 x 8 4 x 5 7 6 0 x 1 2 , x 1 6 x 1 1 1 1 x 1 2 x 1 2 1 2 x 1 6 x 1 6 1 6 x 2 0 x 2 0 f ´ ( x ) 0 0 f ( x ) 2 8 9 2 9 6 (m á x im o ) 2 6 4 (m ín im o ) 4 2 4 x 1 2 x 1 6 M á x im o : (1 2 , 2 9 6 ) M ín im o : y f (1 2 ) 2 9 6 y f (1 6 ) 2 6 4                               ր ր ց ր ր b ) f e s c r e c ie n t e e n (1 1 , 1 2 ) (1 6 , 2 0 ) E l n ú m e ro m e d io d e c lie n t e s c re c e d e la s 1 1 h a la s 1 2 h y d e s d e la s 1 6 h a la s 2 0 h  ∪

(25)

- Página 25 -

Ejercicio de clase 47 En una especie animal la contracción del iris, en décimas de milímetro, después de exponer el ojo a una luz brillante durante un determinado tiempo, viene dada por

2 t , si 0 t 2 f(t) 4 , si t 2 t 1        

donde t es el tiempo, en segundos, que transcurre desde que se concentra la

luz en el ojo. a) Represente gráficamente la función f, determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asíntotas, en caso de que existan.

b) Determine en qué instante se obtiene la máxima contracción y su valor. (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución

2

t t

2t 0, si 0 t 2

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento : f´(t) 0 4 t 0

0 , si t 2 (t 1) 0 t 2 t 2 f´(t) f(t) Creciente en (0, 2) decreciente en (2, ) 4

Como es continua, no hay A.V. ; lim f(t) lim 0 A.H. : y 0 t 1                           ր ց

b) Como el máximo de la función es (2, 4), la máxima contracción se produce a los 2 sg y es de 0, 4 mm

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