Sección
I.1.a)
álgebra
vectorial
intrínseca
10/09/2011
1
CAPÍTULO
I
ÁLGEBRA
TENSORIAL
§ 1.1
Repaso
de
álgebra
vectorial
intrínseca
§ 1.2
Álgebra
vectorial
en
componentes
ortonormales
y
generales:
notación
indicial.
§ 1.3
Concepto
de
tensor.
Producto
tensorial
de
vectores.
Operaciones
con
tensores.
Álgebra
tensorial
intrínseca.
§ 1.4
Bases
y
componentes
tensoriales.
Álgebra
tensorial
en
componentes.
Algoritmos
matriciales.
§ 1.5
Estudio
particular
de
los
tensores
de
orden
2.
Capítulo
I
:
ALGEBRA
TENSORIAL
§1.1
Algebra
vectorial
intrínseca
Objetivos del capítulo: estudiar el álgebra que se necesita para desarrollar los modelos matemáticos de la Física de medios continuos.
a) Conceptos preliminares: tipos de magnitudes
•Magnitudes escalares: son aquéllas cuyas cantidadesse miden mediante números reales y se representan adecuadamente en una escalade medida. Ejemplo: la temperatura y el termómetro; la longitud y el metro; la presión atmosférica y el barómetro; etc…
•Magnitudes vectoriales: son aquéllas cuyas cantidades se miden mediante vectores y se representan adecuadamente mediante un segmento orientado, dotado de módulo y dirección, es decir, lo que llamaremos un vector. Ejemplo: la velocidad de una partícula en movimiento es un vector que tiene por módulo la rapidez (“speed”) y por dirección la tangente a su trayectoria (en el sentido del avance);
•Magnitudes tensoriales: son aquellas que se representan mediante tensores, es decir, aplicaciones linealesque actúan sobre vectores y producen un resultado (escalar, vector u otro tensor) mediante el que se les clasifica por el llamado orden tensorial. Ejemplo: la curvatura de una superficie es un tensor de segundo orden en cada punto, que actúa sobre las direcciones tangenciales y produce el vector curvatura de la sección normal a la superficie en el punto en tal
Sección
I.1.a)
álgebra
vectorial
intrínseca
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2
b) Definición matemática de vector libre
•
Se considera como un dato primitivo el espacio de puntos, ya sea
bidimensional (el
plano afín
,
E
2) o tridimensional (el
espacio afín
,
E
3). Sus elementos son los
puntos
del plano o del espacio,
representados normalmente con letras mayúsculas: A, B,.., P, Q…
En adelante nos referiremos con Etanto al plano E2como al espacio E3cuandolo que se diga valga para ambos.
•
Un
vector geométrico
en el espacio afín
E
es un segmento orientado
AB, que une dos puntos, su origen A y su extremo B. Así, el conjunto
de todos los vectores geométricos se puede identificar con el
producto cartesiano
E
×
E
.
El módulo de un vector geométrico es la longitud del segmento. La dirección es la de la recta que pasa por A y B; el sentido es de A (origen) a B (extremo).
•
Un
vector libre
es una clase de equivalencia de vectores geométricos
con respecto a la relación de equivalencia que considera dos vectores
geométricos relacionados si se superponen exactamente cuando se
trasladan,
paralelamente a sí mismos
, a un origen común.
Para ello basta que tengan el mismo módulo y que sean paralelos.
•
El conjunto de todos los vectores libres es el espacio vectorial
V
2ó
V
3, que en Teoría de conjuntos se define como el espacio cociente de
los tensores geométricos por la relación de equivalencia dicha. O sea:
Tanto para el plano como para el espacio.
•
De este modo, en Física se dispone de los espacios
V
3 (ó 2)para
proporcionar vectores a loa modelos que se usan en los problemas que
aborda, del mismo modo que los conjuntos numéricos
N
,
Z
,
Q
,
R
,..,
proporcionan números para las magnitudes escalares.
•
Además de los vectores libres, la Física debe manejar en ocasiones
vectores llamados
deslizantes
, que por su definición física no son
libres sino que deben permanecer en la recta que los contiene.
c) Operaciones con vectores y estructura algebráica de V
•
Las operaciones básicas en V son la suma vectorial y el producto
por escalares y los productos entre vectores (escalar, vectorial,
mixto y triple producto vectorial. Ver
cuadro-resumen
del Álgebra
vectorial intrínseca
(está en mi web).
=
´
CUADRO:
§
1.1 a) REPASO DE ÁLGEBRA VECTORIAL INTRÍNSECA
Concepto Definiciones: Álgebra vectorial intrínseca Interpretación geométrica Propiedades
DEFINICION Punto, elemento de un espacio puntual o afín En, donde la dim. n = 2 (plano puntual) ó n = 3 (espacio puntual) E2ó3 son una representación matemática del espacio o plano geométricos ordinarios (se consideran como datos primitivos)
Un par de puntos (A,B) determinan un vec. geométrico = segmento orientado AB . Espacio vectorial se define como conj. cociente V = E E× ∼, donde (A,B) ~ (C,D)
⇔ AB=CD en módulo y dirección
(sentido incluido).
Las clases de equiv. se llaman vec. libres y se denotan v∈V o v , y se determinan por su
módulo y su dirección (unitario direccional)
v = |v| ev = ve
Forman un espacio vectorial Vn, de dim. n = 2 ó n = 3
A B
C D
Los vectores geométricos tienen punto de aplicación, módulo y dirección.
Los vectores libres sólo tienen módulo y dirección, pues se han abstraído los puntos.
Cuando se representa V3ó2 (las clases) se aplican todos los vectores en el mismo "punto", que es en realidad el vector nulo 0 ó 0 .
Cuando se utilizan los vectores en E3 se pueden aplicar en puntos arbitrarios, según convenga al modelo en que se usen.
vector nulo o vector 0 ó 0 en : es el representante de todos los pares (X, X) cuyo origen y extremo coinciden. Carece de dirección porque su módulo se anula.
vector posición de un punto P∈E3ó2 respecto de un punto fijo O ∈E3 elegido como origen:
r(P) := OP = OP
sentido y orientación: los vectores geométricos (A,B) = AB y (B,A) = BA tienen igual módulo, son paralelos, pero su sentido es opuesto.
Las clases correspondientes se dicen vectores opuestos.
SUMA ∀u, v ∈ V2ó3 : la suma u + v se define
mediante la ley del paralelogramo (los vectores geométricos deben aplicarse en un mismo punto para sumarlos).
u
v u+v
- el vector suma y los dos sumandos son
coplanarios.
Propiedades de la suma vectorial
Uniforme: resultado sigue en V2ó3 .
Conmutativa: resultado indep. del orden
Asociativa : es posible agrupar sumandos
(cuando hay más de dos) sin afectar el resultado. elem. neutro de la suma: el vector nulo 0 ó 0 elem. simétrico de v∈V2ó3: es su vector opuesto, o sea, – v
En conclusión: V2ó3 es un grupo abeliano con la operación de la suma vectorial.
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Concepto Definiciones: Álgebra vectorial intrínseca Interpretación geométrica Propiedades
MÚLTIPLO ESCALAR
∀α∈R, ∀v∈V2ó3 : αu se define por:
su módulo: |α||u|,
su dirección: sg(α)eu.
Dados un conj. de n vectores {u, v, w, ...} y otro de igual núm. de escalares {α, β, γ,..}, el vector x = αu + βv + γw + ... se llama
combinación lineal de los vect. dados con los coeficientes escalares dados.
Propiedades del múltiplo escalar de vectores es operación R × V→V
asociativa respe. esc.: (αβ)u = α(βu) = (αu)β
distributivas tanto resp. suma esc. como vect.: (α+β)u = αu + βu ; α(u + v) = αu + αv casos especiales: ∀u : 1u = u , 0u = 0; ∀α : α0 = 0 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES ∀u, v∈V se define el escalar u·v = |u||v|cosα
donde α∈ [0 , π] es el ángulo entre u y v (el mínimo posible)
Si v = e es un vector unitario (dirección):
u·e es la proyección ortogonal de u sobre la dirección e
Propiedades del producto escalar de dos vectores es ley de comp. externa (resultado escalar)
Conmutativa: u·v = v·u Asociativa resp. múltiplo esc.:
(αu)·v = u·(αv) = α(u·v)
Distributiva: u · ( v + w) = u·v + u·w
casos especiales: vect. ortogonales
u⊥v⇔u · v = 0 (ángulo α = 2 π ) u·u = |u|2 = u2⇒∀u : |u| = u u· PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECT. ∀u, v∈ 2ó3 : u×v := |u| |v| senαn∈ 3,
donde n ó eu×v está definido por la ley de la mano derecha.
El módulo |u×v| es el área del paralelogramo determinado por u y v
u
u×v
α
ley del pulgar extendido de la mano derecha, cuando el resto de dedos se cierran desde el prefactor hacia el posfactor por el ángulo menor.
Propdes. del producto vectorial de dos vectores
Uniforme :produce nuevos vectores No conmutativa, sino
Antisimétrica:
u × v = – v × u
No asociativa: u × (v × w) ≠ (u × v) × w (el primero, se llama triple prod. vectorial) No existe elemento unidad.
No existe neutro ni simétrico (o inverso)
Distributiva respecto de la suma:
u × (v + w) = u × v + u × w Asociativa resp. múltiplo escalar :
(αu) × v = u × (αv) = α (u × v) = αu×v Casos especiales: u × 0 = 0 × u = 0 , ∀u u × v = 0 ⇔u | | v (vect. Paralelos: α = 0,π) u e v v 2v 3v −v u α v
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Concepto Definiciones: Álgebra vectorial intrínseca Interpretación geométrica Propiedades
TRIPLE PROD ESCALAR o PRODUCTO MIXTO (en V3) ∀u,v,w∈ 3, definimos [u, v,w] := u×v · w = u · v×w
su valor absoluto representa el volumen del paralelepípedo determinado por u, v, w. su signo representa la orientación de la terna (ley de la mano derecha)
Propiedades del producto mixto o triple producto escalar de tres vectores en el espacio V3
(las mismas que el determinante): -No uniforme: resultado escalar
-No conmutativa, sino
-Alternada : si π(a, b, c) es una reordenación (permutación) de la terna (a, b, c) de signatura ε, entonces el producto mixto de π(a, b, c) es
ε [a, b, c]
con ε = ±1 si la permutación es par/impar (se admite que ε = 0 si π no es una permutación, y repite algún factor)
- Producto de productos mixtos:
[a, b, c] [u, v, w] = · · · det · · · · · · a u a v a w b u b v b w c u c v c w ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ -Casos especiales: [a, b, c] = 0 ⇔ {a, b, c} son coplanarios o linealmente dependientes a = 0 ⇒ [0, b, c] = 0 (análogo con b o c) TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial no es asociativo, pues
a×(b×c) ≠ (a×b)×c
y se llama triple producto vectorial al 1º:
a×b×c := a×(b×c)
(la figura muestra que el triple producto es una combinación lineal de b y c (pues pertenece al plano que éstos engendran, al ser perpendicular a b×c )
Se prueba (en componentes) la fórmula del "bac-cab" o fórmula de expulsión):
a×(b×c) = b(a·c) – c(a·b)
Otras propiedades se deducen de las del producto vectorial.
Ejercicio: Si a y b son dos vectores dados de V3, de módulos a y b y ángulo 〈a, b〉 = θ, se consideran los sistemas B1 = {a, a×b, b×(a×b)} y B2 = {a, b, a×b}. Se pide: 1º) Discutir si son linealmente independientes y calcular el producto mixto de cada sistema. 2º) Expresar la 2ª base en la 1ª . (Se supone 0 < θ < π2).
u v w a c b×c a×(b×c) b a u×v
Métodos – matemáticas 2009-10 § 1.1 Repaso de álgebra vectorial: a) Álgebra vectorial intrínseca – CUADRO RESUMEN 4 OTROS CONCEPTOS IMPORTANTES DE VECTORES
SUBESPACIOS VECTORLES.
Son conjuntos de vectores cerrados resp. a las combinac. lineales de vectores. Son s.v. impropios {0} y V. Además de ellos, según la dim.:
- Rectas vectoriales : Comb. lineales de un solo vector, generador {a} del s.v. Se denota L({a}) = {todos los múlt. esc. de a}
- Planos vectoriales : C. l. de un par de vectores, generadores {a, b}, lin. indeptes.. Se denota L({a, b}) = {todas las c. l. de a y b}
- Subespacio ortogonal a un a dado:
el conj. {a}⊥ := {x∈V t.q.: a · x = 0} es un plano vectorial en V3 , y es una recta vectorial en V2.
- Subespacio generado por un sistema de p vectores : L{a1, … , ap} es el conj. de todas las c.l. de los vectores del sistema (sma. de generadores). Un sma. generador se dice completo si L{a1, … , ap} = ; y se dice libre si [λ1a1 + … + λpap = 0 ⇒λ1 = ... = λp = 0], en este
caso los coeficientes de cualquier comb. lin. de los vectores del sma. son únicos para cada vector del s.v. generado. Una base de es un sma. generador completo y libre.
Se observa que todos los s.v. de V2ó3 contienen al vector 0, luego todos pasan por el "origen" 0 de V2ó3.
APLICACION ES LINEALES
Interesan los endomorfismosf : 2ó3→ 2ó3 , que son las aplicaciones que conservan las c. l., es decir:
f(αu + βv) = αf(u) + βf(v) (así: "la imagen de una c.l. de vectores es la c.l. de las imágenes"), ∀α,β∈ , ∀u, v∈
Además interesan las formas lineales que son apl. lineales f : 2ó3→ , que cumplen la relación anterior, pero con resultado escalar.
- Se llama núcleo (en alemán kern) de una aplicación lineal f al s.v. kerf = {x∈V2ó3 : f(x) = 0 (ó 0, para formas lin.)}. El núcleo es siempre un s.v. de 2ó3 si f es lineal.
- Además, si f es un endomorfismo de V2ó3 , el conjunto imagen de f, denotado Im(f), es también un s.v.
Las ecuaciones lineales (ligadas a una apl. lin.) se clasifican en dos grandes tipos: homogéneas y afines o completas, y son de la forma:
f (x) = 0 → ec. homogénea ; f (x) = a≠ 0 (ec. afín o completa: x se considera incógnita y a, dato). - las soluciones de la ec. homogéneas son los vectores del kerf
- las soluciones de la ec. completa son de la forma x = xp + h , donde h∈ ker f y xp es una solución particular de la ec. completa (o sea: si se tiene una sol. part. de la ec. completa, se tienen todas las demás mediante el núcleo de la apl. lin. f que define la ecuación.
EJERCICIOS: 1) Expresar el ángulo θ = 〈a, b〉 , que forman los vectores dados a y b, en términos intrínsecos de | a |, | b | y | a + b |
2) Descomponer un vector dado
a
en suma de dos componentes,
a
1+
a
2, una según una dirección, dada por un unitario,
e
, y la otra perpendicular a
e
.
3) Probar que el conjunto de vectores ortogonales a un vector dado,
a
, denotado {
a
}
⊥, es un subespacio vectorial de dimensión
n
–1, siendo
n
= 2 ó 3, la
dimensión del espacio .
Ahora pueden hacerse de la PRÁCTICA 1: ejercicios nn. 1 a 3.
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álgebra
vectorial
intrínseca
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Ejemplos
y
ejercicios
de
álgebra
vectorial
intrínseca
[los marcados con (*), para resolver personalmente y entregar para la evaluación continua]
