Análisis de capacidad de call center de una entidad financiera

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(1)Análisis de Capacidad del Call Center de una Entidad Financiera. Trabajo de Tesis Presentado al Departamento de Ingenierı́a Industrial por. Pablo Andrés Garcı́a Hurtado. Para optar al Tı́tulo de Ingeniero Industrial. Ingenierı́a Industrial Universidad de los Andes December 2003.

(2) Análisis de Capacidad del Call Center de una Entidad Financiera. Aprobado por:. Profesor Germán Riaño Ph.D., Asesor. Profesor Edgar Gonzales Ph.D. Fecha de Aprobación.

(3) II.03(2)43. RECONOCIMIENTOS. Agradecimiento a la entidad financiera que me apoyo en la elaboración de este proyecto con los datos y conocimiento acerca del funcionamiento del Call Center. Agradecimiento al profesor Germán Riaño por su contribución durante todo el proceso de este proyecto y al profesor Edgar Gonzales por su interés y tiempo dedicado como jurado de tesis.. iii.

(4) II.03(2)43. TABLA DE CONTENIDO RECONOCIMIENTOS. III. LISTA DE TABLAS. VII. LISTA DE FIGURAS I.. VIII. INTRODUCCIÓN. 1. II. DESCRIPCIÓN BÁSICA DE UN CALL CENTER. 4. 2.1. Call Center de solo llamadas entrantes . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.2. Terminologı́a de servicio de un call center . . . . . . . . . . . . . . .. 6. III. CASO CALL CENTER DE ENTIDAD FINANCIERA 3.1. Funcionamiento del call center . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8 9. 3.2. Problema del call center . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 IV. DATOS. 13. 4.1. Tipos de datos reportados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2. Análisis de las llamadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2.1. Análisis de las llamadas entre meses . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2.2. Análisis de las llamadas por semana del mes . . . . . . . . . 17 4.2.3. Análisis de las llamadas en los dı́as de la semana . . . . . . . 18 V. ARRIBOS NO ESTACIONARIOS. 21. 5.1. Proceso de Poisson no Homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.2. Análisis de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 VI. MODELOS MATEMÁTICOS PARA DESCRIBIR EL SISTEMA 24 6.1. Matemáticas en call centers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 iv.

(5) 6.2. Modelo Erlang C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.2.1. Descripción del modelo Erlang C . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.2.2. Aplicación del modelo Erlang C . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.3. Modelo Erlang X (Erlang A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.3.1. Descripción del modelo Erlang X . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.3.2. Aplicación del modelo Erlang X . . . . . . . . . . . . . . . . 34 VII.INCERTIDUMBRE EN LA TASA DE ARRIBOS DE LAS LLAMADAS 38 7.1. Fuentes de Incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7.2. Modelando la variabilidad de la tasa de los arribos . . . . . . . . . . 39 7.2.1. Heurı́stica Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7.2.2. Intervalo de Confianza para la Tasa de Arribos . . . . . . . . 42 VIII. RECOMENDACIONES. 47. IX. CONCLUSIONES. 49. Apéndice A.. — ANÁLISIS DE COEFICIENTE DE VARIACIÓN. 51. Apéndice B.. — ESTIMADORES. 52. Apéndice C.. — MODELO ERLANG C. 54. Apéndice D.. — MODELO ERLANG X. 57. Apéndice E.. — R Y VAR(R) PARA CADA INTERVALO. 60. Apéndice F.. — HEURÍSTICA GRASSMANN. 62. Apéndice G. — COMPARACIÓN ENTRE INTERVALOS DE CONFIANZA 64 Apéndice H. — AGENTES EN INTERVALO DE CONFIANZA SUPERIOR 66 Apéndice I.. — ERLANG X PARA EXCEL. v. 68.

(6) REFERENCIAS. 70. vi.

(7) II.03(2)43. LISTA DE TABLAS 1.. Terminologı́a de Call Centers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.. Datos para un dı́a particular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. 3.. Anova: Todos los meses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 4.. Anova: Meses Sin Junio 2002, Julio 2002 y Diciembre 2002 . . . . . . 17. 5.. Anova para semanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 6.. Tabla de Desviación Estándar de las semanas . . . . . . . . . . . . . 18. 7.. Anova para dı́as de la semana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 8.. Anova de dı́as de la semana sin incluir meses Junio 02, Julio 02 y Diciembre 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 9.. Valor de los estimadores para arribos y tiempos de servicio. Los datos son para los intervalos de los dı́as Lunes y Miércoles. . . . . . . . . . 29. 10.. R y Var (R) para cada intervalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. 11.. Costos por tipo de contrato. No incluye entrenamiento . . . . . . . . 48. 12.. Valor de los estimadores para arribos y tiempos de servicio (Martes Jueves - Viernes). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. 13.. R y Var (R) para cada intervalo (Martes - Jueves - Viernes) . . . . . 61. vii. 7.

(8) II.03(2)43. LISTA DE FIGURAS 1.. Funcionamiento área Servicio al Cliente . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.. Comportamiento de las llamadas en los meses . . . . . . . . . . . . . 16. 3.. Comportamiento de las llamadas en las semanas . . . . . . . . . . . . 17. 4.. Llamadas por dı́a de la semana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 5.. cv 2 calculado vs 1/media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 6.. Sistema Operacional de un Call Center de llamadas de entrada (tomado de Gans, Koole y Mandelbaum [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 25. 7.. Agentes Erlang C vs agentes instalados . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 8.. Validación pronóstico modelo Erlang C: TSF y ASA . . . . . . . . . . 31. 9.. Comparación de agentes instalado con modelo Erlang C y X . . . . . 35. 10.. Validación pronóstico modelo Erlang X: Abandono Real vs Abandono Erlang X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. 11.. Modelos Erlang como herramienta Gerencial . . . . . . . . . . . . . . 37. 12.. Agentes calculados por heurı́stica Grassmann . . . . . . . . . . . . . . 42. 13.. Comparación entre intervalo superior de confianza Poisson e intervalo superior de confianza con Varianza Real . . . . . . . . . . . . . . . . 44. 14.. Comparación Agentes requeridos para intervalo superior y Grassmann. 46. 15.. cv 2 calculado vs 1/media para Martes - Miércoles - Jueves . . . . . . 51. 16.. Agentes Erlang C vs agentes instalados (Martes - Jueves - Viernes) . 55. 17.. Validación pronóstico modelo Erlang C: TSF y ASA (Martes - Jueves - Viernes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56. 18.. Comparación de agentes instalado con modelo Erlang C y X (Martes - Jueves - Viernes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58. viii. 9.

(9) 19.. Validación pronóstico modelo Erlang X: Abandono Real vs Abandono Erlang X (Martes - Jueves - Viernes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59. 20.. Agentes calculados por heurı́stica Grassmann (Martes - Jueves - Viernes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. 21.. Comparación entre intervalo superior de confianza Poisson e intervalo superior de confianza con Varianza Real (Martes - Jueves - Viernes) . 65. 22.. Comparación Agentes requeridos para intervalo superior y Grassmann (Martes - Jueves - Viernes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67. ix.

(10) II.03(2)43. Capı́tulo I INTRODUCCIÓN En las últimas dos décadas, el concepto de servicio en las empresas ha ido cambiando poco a poco hasta el punto de volverse uno de los focos más importantes para determinar la calidad del producto o servicio ofrecido. Luego de este tiempo de evolución del concepto de servicio, en la actualidad es una fuerte herramienta que puede determinar la decisión tomada por el consumidor. El deseo de las empresas de acercarse a sus clientes las ha obligado a crear herramientas para esto. Un acercamiento exitoso ha sido la utilización de lı́neas de contacto, comúnmente llamadas “Call Center”, lo cual les ha permitido no solo conocer mejor a sus clientes, sino tener un canal más de venta hacia ellos. En la actualidad, call centers son una parte integral de muchos negocios, y tienen gran importancia en el crecimiento económico (Gans, Koole y Mandelbaum [1]), son la fuente principal de comunicación con los clientes. Las firmas, han hecho grandes inversiones de infraestructura necesaria y poder ofrecer un buen servicio a sus clientes. Con el tiempo se ha ido incrementando el uso de call centers y la tecnologı́a de los mismos. Al igual, diferentes estudios para profundizar su conocimiento han ido surgiendo por parte de diferentes disciplinas desde Matemáticas, Investigación de Operaciones, Tecnologı́a, Gerencia de Recurso Humano, hasta Psicologı́a y Sociologı́a (Gans, Koole y Mandelbaum [1]). En Colombia, el concepto de call centers lleva poco tiempo, hasta ahora las empresas han empezado a utilizar esta fuerte herramienta de servicio. La costumbre colombiana está en pleno cambio en torno a los call centers. Lı́neas de emergencia y algunos bancos han sido pioneros en la utilización de call centers para recepción. 1.

(11) II.03(2)43 de llamadas y de venta hacia sus clientes respectivamente. Por otra parte, empresas de telecomunicaciones están empezando a ofrecer el servicio de consultorı́a en tecnologı́a y capacitación de recurso tanto en la gerencia como agentes de servicio. Es un mercado hasta ahora empezando. El principal problema que tienen que afrontar los gerentes de call centers es el servicio que van a ofrecer a sus clientes a un bajo costo, tener recurso ocioso lo harı́a muy costoso pero una baja capacidad instalada conducirı́a a un servicio deficiente, ya que los clientes instintivamente esperan un nivel mı́nimo de servicio (tiempo de respuesta y duración de la llamada o solución del problema en linea). Por lo tanto el número de recurso instalado es una variable importante para determinar la calidad del servicio ofrecido. Gran variedad de estudios se han hecho al respecto buscando modelar el sistema. Entre estos estudios, los procesos estocásticos han sido muy útiles para modelar call centers. Lo que busca esta investigación es hacer un estudio de la capacidad requerida en un call center determinado, para este fin se escogió como caso de estudio el call center de una entidad bancaria. A lo largo del documento se estudiará diferentes modelos matemáticos y sus implicaciones de uso. En los primeros capı́tulos se hará un breve descripción del funcionamiento de un call center, en la sección 2.2 se mirará conceptos básicos de servicio en un call center y en la sección 3.1 se describirá el call center que se tomó como caso de estudio. Luego en la sección 4.2 se analizará y determinará los datos del call center con los cuales se harán los estudios posteriores. En las secciones 5.1 y 5.2 se estudiará con mayor detalle el supuesto que se hace en algunos modelos matemáticos sobre el comportamiento de la llegada de las llamadas al call center. Luego veremos en las secciones 6.2 y 6.3 dos formas de modelar un call center de acuerdo a sus requerimientos de servicio. Posteriormente, se estudiará diferentes fuentes de incertidumbre en las llegada de las llamadas en la sección 7.1 y se harán propuestas para manejarla en las sección 7.2. Finalmente se propondrá una recomendación para determinar el número de recurso instalado en el call center y sus implicaciones de uso. Por otra parte, se quiere mostrar la interesante aplicación de diferentes modelos. 2.

(12) II.03(2)43 matemáticos y teorı́a de colas a la realidad, incentivando de esta manera a la investigación sobre call centers. A través de este proyecto surgirán nuevos temas de interés para futuras investigaciones, dejando las puertas abiertas en este campo que apenas comienza.. 3.

(13) II.03(2)43. Capı́tulo II DESCRIPCIÓN BÁSICA DE UN CALL CENTER Los call centers son una parte importante para diferentes negocios, para el caso de compañı́as como aerolı́neas, hoteles o bancos, call centers proveen una unión importante entre el cliente y el proveedor de servicio (Koole [5]). Los call centers constituyen un grupo de personas, computadores y equipos de telecomunicación lo cual permite ofrecer un servicio telefónico. Comúnmente cada persona está en un cubı́culo con diademas de audı́fonos y micrófonos al frente de una pantalla de computador para facilidad de atención de la llamada de los clientes (Gans, Koole y Mandelbaum [1]). Según las necesidades de la compañı́a diferentes sistemas de call centers pueden existir. Para el caso de una linea de emergencia o compras por catálogo las llamadas son generadas por parte de los clientes, diferente al caso de un sistema de televenta o servicios de encuestas que genera llamadas de salida. Al igual, puede existir call centers que sean una combinación de los dos sistemas lo cual los hace más complejos. A pesar de estas dos grandes clasificaciones, los call centers pueden volverse cada vez más sofisticados todavı́a. Si se tiene una clasificación de tipo de llamada como en el caso de un call center de una empresa de tarjetas de crédito donde los clientes son clasificados según la capacidad del crédito, el análisis es mucho más difı́cil. Similar es el caso cuando se tiene clasificado también a los agentes de servicio de acuerdo a las habilidades y conocimientos que estos tengan, y que estos diferentes grupos de agentes también se puedan cruzar entre si, es decir, que un solo agentes tenga varias habilidades, como el caso si es necesario diferentes idiomas o conocimiento de 4.

(14) II.03(2)43 promociones especiales (Whitt [9]), concepto que en la terminologı́a de call centers se conoce como “skill- based route” (Koole [5]). En la actualidad, los call centers se han unido con otras herramientas de servicio como la gerencia del correo electrónico “E-mail Management” u otras aplicaciones de multimedia, lo cual los hace más complejos todavı́a para analizar. El caso de interés de esta investigación es el call center de solo llamadas entrantes, es decir, que los clientes son los que generan las llamadas. Los demás casos pueden ser objeto para futuras investigaciones en el campo.. 2.1.. Call Center de solo llamadas entrantes. Según los requerimientos del negocio, un call center puede funcionar durante horas laborales o las 24 horas del dı́a y siete dı́as a la semana. En los call centers de solo llamadas entrantes, luego de marcar un número telefónico especı́fico, es común que el primer encuentro que tengan los clientes sea con un Sistema de Audio Respuesta (IVR: Interactive Voice Response) el cual recibe información por parte del cliente, por medio del teclado telefónico o por voz, como número de cuenta bancaria o código de seguridad y el tipo de servicio deseado (Gans, Koole y Mandelbaum [1]). El IVR puede responder ciertas inquietudes o solicitudes que solo requieren revisar un sistema y algunos datos del cliente, como transferencias de dinero. Puede que el servicio termine en el IVR o se pida atención de un agente especializado, si es el caso, la llamada entra a un sistema de distribución de llamadas (ACD: Automatic Call Distributor) para enrutar al cliente a un representante de servicio (Whitt [9]). Los ACD son altamente tecnológicos, puede ser programado para enrutar las llamadas bajo muchos criterios (Gans, Koole y Mandelbaum [1]). El ACD está en permanente monitoreo de la llamadas, sabe cuales están con un agente de servicio y cuales está esperando a ser atendidas. Inclusive puede poner música de espera o mensajes del tiempo estimado en espera para las llamadas que estén en cola (Ross [8]); en este punto, el cliente puede tomar la decisión de seguir en cola o retirarse del sistema lo cual ocasionarı́a un abandono. Tan pronto un agente esté disponible, el ACD enruta la primera llamada al agente de servicio. Según la tecnologı́a del call center, 5.

(15) II.03(2)43 el agente de servicio puede tener varias llamadas a la vez, de esta forma el tiempo en cola puede disminuir pero a la vez el servicio prestado puede desmejorar por tener en espera a los clientes después de haber recibido la llamada. El ACD sigue monitoreando hasta que la llamada salga del sistema, es decir, luego que la atención por parte del agente termine. Por otro lado, los agentes se conectan al sistema de acuerdo a algunos parámetros como idioma, conocimiento de un tema especı́fico o sin ningún tipo de clasificación el cual es el caso cuando los agentes saben de todos los temas en cuestión. La mayorı́a de estás llamadas son grabadas para retroalimentación del servicio prestado (Ross [8]) o por seguridad como el caso de una entidad financiera.. 2.2.. Terminologı́a de servicio de un call center. Dentro del “mundo” de los call centers ya existe un lenguaje que es entendido por todas las personas que hacen parte de este. Algunos conceptos tecnológicos fueron mencionados y explicados en al sección 2.1, otros conceptos ya se han mencionado sin hacer una explicación oficial. Para entender claramente las posteriores secciones es necesario explicar ciertos términos o indicadores que determinan el servicio del call center. También serán explicados nombres comunes que se utilizan en los sistemas de reportes. Todo esto para estar totalmente familiarizados con los términos que se utilizarán en adelante. El la tabla. 1 se encuentran los términos básicos en call centers y que serán utilizados a lo largo de este estudio. Los concepto de TSF y ASA son muy importantes puesto que cada uno de ellos puede determinar el modelo del sistema a utilizar y por consiguiente definir el número de agentes requeridos para responder las llamadas. Cada call center define un servicio a ofrecer a sus clientes, por ejemplo que el 95 % de las llamadas sean contestadas en 15 segundos, para este caso 95 % es el TSF y 15 segundos es el tiempo de servicio. De acuerdo a estos parámetros existen modelos que pueden determinar cuántos agentes son requeridos para satisfacer la demanda, estos modelos serán analizados en la sección 6.2 y 6.3. Por medio del ASA se puede definir el número de recurso instalado si se ajusta un valor de este, por ejemplo 15 segundos. Es importante aclarar que el 6.

(16) II.03(2)43 NOMBRE IVR ACD. DESCRIPCIÓN “Interactive Voice Response” Sistema Audio Respuesta Automatic call distributor. CRM. Customer Relationship Management. CSR. “Customer Service Representative” Agente de Servicio ASA “Average Speed Answer” Tiempo promedio para contestar la llamada TSF “Time Service Factor” % de llamadas contestadas antes de un tiempo especı́fico AHT “Average Hold Time”Tiempo en que el agente no está disponible Tiempo de Servicio Indicador de tiempo antes que la llamada sea contestada. Define el TSF % Aband % de llamadas abandonadas Tiempo Abandono. Tiempo promedio de las llamadas abandonadas Tabla 1: Terminologı́a de Call Centers. tiempo de servicio no es el mismo que el ASA. Otro término importante es el tiempo en que el agente no está disponible AHT, para este caso no solo se tiene en cuenta el tiempo que dura la llamada, en la mayorı́a de ocasiones cuando para el cliente la llamada ha terminado, el agente de servicio todavı́a tiene trabajo pendiente que esta llamada le ha generado, como por ejemplo el envı́o de un fax o el registro de la llamada, tareas que le impidan contestar otras llamadas. Para esto, los teléfonos de los call center tienen la opción de poner en wrap-up el teléfono, lo cual significa que todavı́a no están disponibles para recibir otro cliente y que se está trabajando en la llamada anterior. El tiempo post-llamada “wrap-up time” se suma al tiempo de atención y definen lo que es el AHT. Es importante tener en cuenta esto a la hora de hacer inferencias sobre el sistema, muchas veces el wrap-up time puede llegar a ser igual al tiempo de llamada lo cual representa el doble de tiempo que el agente no está disponible.. 7.

(17) II.03(2)43. Capı́tulo III CASO CALL CENTER DE ENTIDAD FINANCIERA El área de servicio al cliente de la entidad financiera a estudiar es la encargada de responder a todas las inquietudes de los clientes corporativos que sean después de realizar una operación, ya sea de forma electrónica o manual. Costa de cuatro grandes áreas que atienden a los clientes: Call Center Principal Por donde entran absolutamente todas las solicitudes de los clientes. En este se encuentra otro Call Center más pequeño que se encarga de manejar todas las llamadas referentes a productos electrónicos del banco. Área de Investigación Encargada de todas los reclamos de los clientes que no se pudieron solucionar en lı́nea y necesitan una investigación para poder dar respuesta a la inquietud. También tienen a cargo buscar mejoras de problemas repetitivos. Servicio VIP Área que se encarga de manejar los clientes que más utilidades le generan al banco. En esta se encuentra una subárea de venta de impuestos, divisas y CDT’s. Área de Datos Área que se encarga de manejar todas las estadistas pertinentes para el negocio: estándares de servicio, capacidad instalada, indicadores de gestión, etc. La forma como entre estas áreas se interactúa se puede detallar en la figura 1:. 8.

(18) II.03(2)43. Figura 1: Funcionamiento área Servicio al Cliente. 3.1.. Funcionamiento del call center. La recepción de las inquietudes es por tres canales: Llamada telefónica Correo Electrónico Fax o Carta Las llamadas telefónicas son atendidas por un Call Center de número telefónico único. Todas las llamadas entran a un sistema de audio respuesta (IVR). La cantidad de troncales es mucho mayor que las posibles llamadas que puedan recibir, en caso de más llamadas que las troncales, lo cual no es muy factible, existe un sistema de contingencia del doble de troncales que es el call center de banca personal , por lo tanto no existe señal de ocupado para los clientes. En el IVR se encuentran respuestas a algunas solicitudes (saldos, movimientos de las cuentas). Si la solicitud 9.

(19) II.03(2)43 no es respondida por el sistema, la llamada es enviada al Call Center a un agente capacitado para responder la inquietud. Si la respuesta a la pregunta no se puede responder en lı́nea, es decir, requiere de una investigación previa, se le dice al cliente una fecha de respuesta y un registro de la investigación. Para propósitos de este estudio es de interés la primera área, Call Center Principal. El paso de la llamada desde el sistema audio respuesta al call center es automático, la llamada es enviada al agente que se encuentre disponible aleatoreamente. Si todos los agentes están ocupados, la llamada pasa a una cola de espera hasta que haya agentes disponibles. Al ser automático el paso de la llamada, no es necesario contestar u oprimir algún botón para recibir la llamada. Cada parte del proceso tiene mediciones de acuerdo a las labores que se realizan, para este caso de análisis es de vital importancia las que competen a indicadores de Call Centers. En el call center hay indicadores de gestión importantes que determinan el buen funcionamiento del área. Existen dos grandes indicadores: Porcentaje de llamadas contestadas antes de 15 segundos (tres timbres) Porcentaje de llamadas abandonadas Cada uno de estos indicadores tiene sus metas respectivas. El porcentaje de llamadas contestadas antes de 15 segundos, llamado TSF (Time Service Factor), debe ser mayor a 95 %. El porcentaje de llamadas abandonadas debe ser menor a 2 %. Esto se mide diariamente y acumulado mensual. Estos indicadores son medidos continuamente y son los más importantes no solo en el ámbito local sino también a escala internacional. La razón de esto es que la entidad financiera estudiada es una multinacional. Otros indicadores importantes, que se resumen en tiempos de trabajo son los siguientes: Tiempo Promedio de Contestar Tiempo Promedio de Llamada. 10.

(20) II.03(2)43 Tiempo de Trabajo luego de terminar una Llamada Tiempo Total de Conexión Al igual que en cualquier empresa, siempre se busca tener la cantidad de personas mı́nima para cumplir con los objetivos propuestos del negocio; esta no es la excepción. En el call center se busca tener la cantidad de personas justas para cumplir con los indicadores. Este no solo es una presión de la vicepresidencia de Servicio al Cliente si no de la presidencia de toda la entidad en Colombia. Dado que es un tema de mucho cuidado, puesto que no solo implica cumplir con los indicadores sino también entrenamiento de las personas que contestan las llamadas, siempre se está midiendo constantemente la cantidad de personas necesarias por segmentos del dı́a.. 3.2.. Problema del call center. El problema que presenta el Call Center es la cantidad de personas requeridas para contestar su flujo de llamadas. Hasta ahora ha utilizado la herramienta Erlang C pero no ha sido satisfactoria. Es decir, el modelo exige un número de personas que algunas veces no alcanza a cumplir con los indicadores que ellos propusieron. Por lo tanto han tenido que recurrir a pruebas de ensayo y error para ver cuantas personas se requieren. Por esto, se ha llegado a un conflicto con la gerencia puesto que no hay un soporte fuerte para definir el número de personas requeridas en el sistema. La gerencia necesita tener un método para definir la cantidad de personas requeridas que no sea por ensayo y error, es decir, a la hora de requerir recurso, que haya un soporte lo suficientemente fuerte para poder contratar, o vice versa, sacar gente, pero que no sea porque se cree que se necesita. Por otro lado, quieren que el número de personas requeridas que no solo sea decidido por un indicador, el TSF, que es el caso de Erlang C, sino que también que se tenga en cuenta el % de abandono el cual es un indicador de mucha importancia para ellos. Dentro de poco tiempo el call center ha pensado crecer y se quiere tener una buena herramienta para toma de decisiones. 11.

(21) II.03(2)43 También es importante tener en cuenta que no se puede estar contratando y sacando gente todo el tiempo, por lo tanto es importante que el número de personas que se seleccione tener sea la necesaria para un plazo largo de trabajo (al menos 6 meses). Si se tiene un modelo más preciso para calcular las personas requeridas, y se tiene un método de pronosticar los dı́as y meses, el desempeño del Call Center serı́a muy bueno, y los objetivos del negocio tanto del desempeño como gerenciales (mı́nimo número de personas) serán cumplidos satisfactoriamente.. 12.

(22) II.03(2)43. Capı́tulo IV DATOS Para cualquier tipo de estudio que se quiera hacer es muy importante la recolección de datos. Decidir qué datos son los necesarios según las fuentes de los mismos, y la cantidad de estos son tareas muy importantes antes de empezar a hacer el estudio. Para el caso de call centers, existe la tecnologı́a necesaria para hacer la captura de los datos. Dentro de la misma, existen sistemas de reportes que son a los que el call center tiene acceso. En la sección 2.1 se vió el funcionamiento del ACD en el sistema, que guarda absolutamente todos los movimientos de las llamadas. Esto queda archivado en una base de datos y de esta es que se toman los datos para hacer los reportes. No siempre esta base es accesible para el call center, solo los reportes que esta genera. Este es el caso del call center de la entidad financiera en estudio. Los tipos de datos recolectados se explicarán en la siguiente sección.. 4.1.. Tipos de datos reportados. Los datos que se pueden obtener del call center de la entidad financiera son limitados. Estos se generan en intervalos de tiempo de media hora. Para el caso de cantidad de llamadas, ya sea contestadas o abandonadas, se tienen datos totales. Para el caso de tiempos, es decir, tiempos de atención, tiempo requerido después de llamada, tiempo de contestar y tiempo de abandono son promedios de cada intervalo. El reporte también tiene otros campos que pueden ser útiles para validar los modelos propuestos. Entre estos datos se tienen la cantidad de agentes promedio por cada intervalo de tiempo y el porcentaje de llamadas contestadas antes de 15 segundos para cada media hora. 13.

(23) II.03(2)43 Intervalo CALLS 08:00 21 08:30 29 09:00 33 09:30 18 10:00 30 10:30 23 11:00 16 11:30 24 12:00 16 12:30 8 13:00 14 13:30 5 14:00 11 14:30 13 15:00 20 15:30 10 16:00 13 16:30 11 17:00 16 17:30 9. ASA 0:07 0:02 0:02 0:02 0:02 0:05 0:02 0:02 0:06 0:02 0:02 0:02 0:02 0:19 1:09 0:37 0:17 0:16 0:09 0:03. ABAND 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 1 3 1 3 0 0 1 0. ABT 0:00 0:00 0:00 0:00 0:00 0:00 0:00 0:00 0:15 0:04 0:00 0:00 0:14 1:06 0:56 0:38 0:00 0:00 0:14 0:00. ATT 2:58 2:38 3:02 3:20 5:05 4:05 3:37 2:53 2:50 4:01 2:31 1:11 2:19 4:25 4:55 4:51 4:05 5:12 1:59 3:47. WUT 0:00 10:37 4:13 8:52 3:20 2:32 8:10 4:19 15:00 3:51 7:34 0:00 13:50 21:11 10:56 11:44 29:35 20:55 17:01 0:00. STAFF 5,3 6,9 7 7 7 7 6 6 5 3 4,2 3,7 4,7 4 3,8 3,4 4 4 4 2,8. TSF 86 100 100 100 97 96 100 100 83 89 100 100 92 63 48 46 77 82 82 100. Tabla 2: Datos para un dı́a particular.. Se tiene un año de datos, desde Junio 2002 hasta Julio 2003. Para cada mes está la información de los dı́as y cada dı́a está dividido en segmentos de media hora, desde las 8 : 00am hasta las 6 : 00pm. Un ejemplo de los datos se puede ver en la tabla 2. Las abreviaturas son las siguientes: CALLS Llamadas contestadas ASA Tiempo promedio para ser constada la llamada ABAND Llamadas abandonadas ABT Tiempo promedio de abandonos ATT Tiempo promedio de atención. 14.

(24) II.03(2)43 WUT Tiempo total no disponible después de la llamada STAFF Personas promedio conectadas TSF Porcentaje de llamadas contestadas. 4.2.. Análisis de las llamadas. En esta primera parte nos interesa conocer el comportamiento de las llamadas a lo largo del año, mes, semana y dı́a; definir picos de llamadas y valles a su vez. Para esto se hizo recolección de datos de un año, desde Junio 2002 hasta Julio 2003. Los datos están totalizados mensualmente, diariamente y detallados hasta intervalos de cada media hora en el dı́a. En el análisis las llamadas totales tienen en cuenta las llamadas contestadas (exitosas) y las llamadas abandonadas, es decir, que no fueron contestadas por ningún agente. Los resultados se presentan a continuación. 4.2.1.. Análisis de las llamadas entre meses. El comportamiento de las llamadas durante el año es muy similar en todos los meses. Esto lo podemos mirar observando la figura 2 de llamadas promedio por dı́a. En la figura 2 podemos observar que los meses de Junio 2002 y Julio 2002 son picos. Esto se debe a que en el mes de mayo se instaló una nueva tecnologı́a en el sistema audio respuesta, adicionando nuevas funciones. Era necesario “educar” al cliente para que empezara a utilizar los servicios ofrecidos por el sistema y no recurrir a un agente de servicio. De esta forma se disminuyeron las llamadas al call center como se puede ver en el mes de Agosto 2002 en adelante. El comportamiento del mes de Diciembre se puede asociar a que las empresas tienen vacaciones colectivas por lo tanto las llamadas se reducen considerablemente. Es necesario realizar pruebas de soporte para confirmar que el volumen de llamadas es igual para todos los meses. Para esto nos vamos a ayudar de la herramienta Anova para mirar si las medias de todos los meses tienen un igual valor. Los resultados se pueden ver en la tabla 3. Según el resultado, existe al menos un mes el cual tiene un valor diferente de los demás meses. Este resultado era de esperar por los picos encontrados en Junio 15.

(25) II.03(2)43. 500 450 400 350 300 250 200 150. Jul03. Jun03. May03. Apr03. Mar03. Feb03. Jan03. Dec02. Nov02. Oct02. Sep02. Aug02. Jul02. 100 50 0 Jun02. Llamadas diarias promedio. Promedio diario mensual ponderado. mes. Figura 2: Comportamiento de las llamadas en los meses. ANOVA: Todos los Meses Source of Variation SS Between Groups 284419,382 Within Groups 1079895,33 Total. 1364314,713. df MS F P-value F crit 13 21878,414 5,43 0 1,757 268 4029,46 281. Tabla 3: Anova: Todos los meses. y Julio 2002 y las pocas llamadas del mes de diciembre 2002. Sin tener en cuenta estos meses los resultados se pueden observar en la tabla 4. De acuerdo al análisis de varianza, los resultados son los esperados, es decir, no se rechaza la hipótesis nula que el valor de las medias de las llamadas de los meses es la misma para un 5 % y 10 % de confiabilidad. Este resultado es muy bueno dado que al no haber un aumento de llamadas considerable en cada mes, la cantidad de agentes necesarios puede ser la misma durante todo el año. En términos de contratación de recurso humano es un buen resultado.. 16.

(26) II.03(2)43 ANOVA: Sin Junio 2002, Julio 2002 y Diciembre 2002 Source of Variation SS df MS F F crit 5 % Between Groups 44329,225 10 4432,922 1,5 1,876 Within Groups 617587,622 211 2926,956 Total 661916,847. F crit 10 % 1,629. 221. Tabla 4: Anova: Meses Sin Junio 2002, Julio 2002 y Diciembre 2002. Analisis Llamadas por Semana. Promedio Llamadas por Dia. 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0. Semana1. Semana2. Semana3. Semana4. Figura 3: Comportamiento de las llamadas en las semanas. 4.2.2.. Análisis de las llamadas por semana del mes. Ahora analizaremos lo mismo que lo anterior pero por semanas en lugar de meses, para mirar el comportamiento de las llamadas dentro de los meses, analizando las semanas y los dı́as de la semana. Mirando la figura 3, existe un aumento en la cuarta semana de 45 llamadas diarias aproximadamente. Este es un número significativo para el call center el cual puede afectar la cantidad de personas necesarias. Para esto también haremos un análisis de varianza para el comportamiento de las llamadas en las semanas. Según la tabla 5, no hay diferencia estadı́stica suficiente para decir que si hay. 17.

(27) II.03(2)43 ANOVA Source of Variation SS df MS F P-value F crit Between Groups 16826,55 3 5608,85 1 0,384 2,798 Within Groups 259067,649 48 5397,243 Total 275894,199. 51. Tabla 5: Anova para semanas. SUMMARY Groups Count Sum Average Variance Sd. Deviation Semana1 13 4749,8 365,369 3219,566 56,741 Semana2 13 4504,2 346,477 2928,297 54,114 Semana3 13 4463,4 343,338 475,223 21,8 Semana4 13 5049,6 388,431 14965,89 122,335 Tabla 6: Tabla de Desviación Estándar de las semanas. diferencia entre las semanas, un resultado diferente al que se espera. Por lo visto, hay una alta variación dentro de cada tratamiento. Esto lo podemos confirmar viendo la tabla 6 de la desviación estándar de los datos. Vemos entonces que la desviación en las semanas es alta sin tener cuenta la tercera semana, lo cual demuestra la diferencia que hay en las llamadas en cada semana. También podemos atribuir esta varianza a que esta agrupación por semanas es manual, lo cual aumenta la variación en los datos. De esta forma no podemos concluir que hay diferencia entre las semanas, reciben en promedio el mismo número de llamadas. Después de este resultado entre las semanas, y viendo que no son un factor de variación en el estudio posterior, es de interés mirar si en los dı́as de la semana encontramos diferencias significativas. 4.2.3.. Análisis de las llamadas en los dı́as de la semana. Para este caso haremos el mismo tipo de estudio que para el caso de los meses y las semanas. Observando la figura 4 se puede decir que el número de llamadas entrantes es similar entre todos los dı́as de la semana, teniendo una diferencia entre el máximo y el mı́nimo de 51 llamadas aproximadamente. Para poder tener en cuenta este supuesto de igualdad es necesario validarlo, para lo cual vamos a utilizar. 18.

(28) II.03(2)43. Promedio llamadas por dia. Comportamiento dias de la semana 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0. lunes. martes. miercoles. jueves. viernes. Dias. Figura 4: Llamadas por dı́a de la semana. ANOVA: todos los meses Source of Variation SS df Between Groups 83504,133 4 Within Groups 1204345,81 276 Total 1287849,943. MS F P-value F crit 20876,033 4,8 0,001 2,404 4363,572. 280. Tabla 7: Anova para dı́as de la semana. la misma herramienta que en los demás análisis. Según los resultados en la tabla 7, si hay una diferencia entre la cantidad de llamadas entrantes en los dı́as. Un resultado que no esperábamos obtener de acuerdo a la gráfica anterior. Para analizar que otras variaciones pueden causar este efecto, miramos si los dı́as se comportan igual sin incluir los datos de los meses de Junio 2002, Julio 2002 y Diciembre 2002, los cuales, hemos visto que son picos y valles respectivamente en los datos y son un factor de varianza. Sin estos datos los resultados se pueden observar en la tabla 8. De acuerdo a la tabla 8, vemos que a pesar de la variación producida por estos meses no incluidos, los dı́as siguen siendo diferentes entre ellos. Esta variación se puede deber a varios factores, por ejemplo los dı́as martes son diferentes en una semana con lunes festivo a una en la que no. Además es común que los clientes. 19.

(29) II.03(2)43 ANOVA: Sin Jun02, Jul02, Dic02 Source of Variation SS Between Groups 45094,579 Within Groups 616156,788 Total. 661251,367. df 4 216. MS F 11273,645 4 2852,578. P-value F crit 0,004 2,413. 220. Tabla 8: Anova de dı́as de la semana sin incluir meses Junio 02, Julio 02 y Diciembre 02. llamen los lunes para aclarar sus dudas sobre la información de la semana anterior y hacer nuevas solicitudes las cuales pueden producir una nueva llamada el dı́a miércoles para ver como va la investigación de su solicitud anterior, por lo cual se puede explicar los picos de los dı́as lunes y miércoles. Los análisis que se llevaran a cabo en secciones posteriores, se realizarán con datos que sean similares, es decir, no se tendrán en cuenta los meses picos y valles, al igual que se realizarán diferenciando entre los dı́as de la semana ya que no son similares entre ellos.. 20.

(30) II.03(2)43. Capı́tulo V ARRIBOS NO ESTACIONARIOS En la mayorı́a de los casos reales no hay una llegada de entidades estacionaria. Al contrario, los arribos cambian a lo largo del tiempo. En el caso de un restaurante, la tasa de llegadas es diferente en la tarde que en la hora de almuerzo o en la noche. Por lo tanto, esta no estacionalidad de los arribos presenta una fuente adicional de variabilidad (Hall [3]). Arribos no estacionarios ocurren cuando la tasa de llegada de entidades varı́a en el tiempo.. 5.1.. Proceso de Poisson no Homogéneo. Un proceso de Poisson no homogéneo es una generalización de un proceso de Poisson tradicional en donde los eventos ocurren aleatoriamente en el tiempo a una tasa de λ(t) en el tiempo t (Kuhl y Wilson [6]). Los eventos están determinados por la función de densidad λ(t). La función acumulada esta definida por: Λ(t) =. Z t 0. λ(τ ) dτ. Para que un proceso de conteo sea un proceso de Poisson no estacionario debe cumplir con los siguientes supuestos (Hall [3]): El proceso tiene incrementos independientes   = 0] = 1 − λ(t) dt   . Pr[N (t + dt) − N (t)  = 1] = λ(t) dt   . ≥ 1] = 0. donde λ(t): tasa de arribos en el tiempo t 21.

(31) II.03(2)43 dt: diferencial de tamaño del intervalo de tiempo La probabilidad que un arribo a cualquier tiempo dependa del tiempo cuando otra entidad arriba debe ser igual a cero. Cada arribo debe llegar uno a uno. Un proceso de Poisson no estacionario no tiene la propiedad que el tiempo entre arribos sea una variable aleatoria exponencial. Por lo tanto, no posee tampoco la propiedad de memoria de la variable exponencial. Cada intervalo de tiempo de tamaño dt se comporta como un proceso de Poisson. Dentro de cada intervalo de tiempo la variación es aleatoria, y dado que el proceso de arribos en cualquier intervalo de tiempo tiene una distribución Poisson (Hall [3]), indica que la media debe ser igual a la varianza. Por lo tanto el coeficiente de variación debe ser igual a: coef iciente variacion(cv) =. cv 2 (P oisson) =. 5.2.. desviacion estandar σ = media λ 1 1 = media λ. Análisis de los datos. Sabemos que el comportamiento de las llamadas es diferente para ciertos intervalos de tiempo, en este caso, intervalos de media hora (30 minutos). Mirando los supuestos mencionados en la sección anterior, podemos decir que se cumplen, es decir, no hay dependencia entre la llegada de los arribos, entre llamada y llamada. Y además como los canales de entrada son más que suficientes para las llamadas esperadas, no hay la posibilidad que la llamada no entre al sistema porque otra llamada esté en él. Por otro lado las llamadas llegan una a una, y se van ubicando en la cola del sistema. Ası́ que bajo esta observación vemos que estos supuestos de un proceso de Poisson no Homogéneo se cumplen. Ahora nos interesa mirar cómo es la variación de los arribos de las llamadas, es decir, mirar el comportamiento del coeficiente de variación. 22.

(32) II.03(2)43 Viernes. Lunes 0,4. 0,35. 0,35. 0,3 0,25. 0,25. 1/MEDIA. 1/MEDIA. 0,3. 0,2. 0,2 0,15. 0,15 0,1. 0,1. 0,05. 0,05 0. 0. 0. 0,2. 0,4. 0,6. 0,8. 0. 0,05. 0,1. COEFICIENTE. 0,15. 0,2. 0,25. 0,3. 0,35. COEFICIENTE. Figura 5: cv 2 calculado vs 1/media. Para esto calculamos un valor estimado de la media y varianza para cada intervalo y cada dı́a de la semana, y luego calculamos el valor del coeficiente de variación y lo comparamos con el valor teórico que esperamos. Los resultados obtenidos son algo que no esperábamos, el comportamiento de arribos es más variable que un proceso de Poisson. Ejemplo de los resultados los podemos ver en la figura 5. El comportamiento es similar para los demás dı́as de la semana. En el eje de las X se encuentra el coeficiente real elevado al cuadrado y en el eje de las Y se encuentra el valor teórico esperado 1/λ . Se encontró entonces que el proceso es más variable que un proceso de Poisson, el cual es un resultado que no esperábamos encontrar. Los inconvenientes de esta conclusión es que ya no podemos validar que la llegada de llamadas tiene un comportamiento Poisson, puesto que es más variable que el proceso; o si aceptamos este supuesto, hay que tener en claro lo que estamos pasando por alto, la variabilidad del sistema es mayor al proceso que estamos utilizando para modelarlo. En la sección 7.2 hablaremos de cómo tratar con esta variabilidad del sistema para la definición de cantidad de recurso en el Call Center.. 23.

(33) II.03(2)43. Capı́tulo VI MODELOS MATEMÁTICOS PARA DESCRIBIR EL SISTEMA 6.1.. Matemáticas en call centers. Gerenciar un call center no es tarea fácil, se requieren varias habilidades como conocer el servicio que se está ofreciendo y gerencia de personal (entrenamiento y motivación). Otro tipo de habilidades requiere conocimientos cuantitativos las cuales están en relación con el nivel de servicio y la eficiencia del personal de servicio (Koole [5]). Las matemáticas pueden ser muy buena herramienta para la definición del nivel de servicio. Pueden definir la cantidad de recurso necesaria como también una óptima asignación de horarios para los agentes de servicio. En sistemas más complejos de call centers, pueden ayudar en el análisis de enrutamiento de las llamadas. Por ende, las matemáticas son un factor muy importante en la gerencia de un call center (Koole [5]). A pesar que varios de estos modelos ya están implementados en programas computacionales, es importante que se tenga conocimiento de las matemáticas implicadas para poder hacer un buen análisis y ası́ sacar el mejor provecho del modelo. Siempre estos programas necesitan de la interacción humana, y esto solo es posible si se conoce bien el programa (Koole [5]). Entender los resultados que los modelos retornan es una excelente ayuda para tomar buenas decisiones sobre el call center. Preguntas como cuánto tiene que esperar un cliente para ser atendido? o Cuántas personas abandonaron antes de ser atendidas? (Gans, Koole y Mandelbaum [1]) son cuestionamiento permanentes por parte de la gerencia que definen el servicio que. 24.

(34) II.03(2)43. Figura 6: Sistema Operacional de un Call Center de llamadas de entrada (tomado de Gans, Koole y Mandelbaum [1]). están ofreciendo, para esto las matemáticas (teorı́a de colas) pueden ser muy útiles y ası́ facilitar el trabajo de todo el call center. (La figura 6 muestra el funcionamiento de un call center analizado como un sistema de colas.) Si se quieren hacer cambios en el negocio, las matemáticas pueden ofrecer una base para saber las implicaciones del cambio haciendo análisis de diferentes escenarios. De esta forma las decisiones tomadas no serán bajo ensayo y error y a ciegas, sino que se tendrá un conocimiento de lo que se puede esperar. Por lo tanto, para poder aprovechar al máximo estos análisis, es necesario conocer sobre las diferentes variables que se manejan y la interacción entre ellas. Es importante que la gerencia sepa que los modelos matemáticos son simplificaciones de la realidad, por lo tanto, no deben esperar que el modelo les de todas las respuestas exactas. El comportamiento humano no se puede modelar, y es una variable permanente en cualquier negocio. El servicio no solo es medido por factores cuantitativos, la forma como un agente de servicio se comunicó con el cliente no. 25.

(35) II.03(2)43 puede ser medida, si se dió la información correcta tampoco. Conociendo las implicaciones de aplicar estos modelos y combinarlo con la experiencia que se tiene del call center y manejo de recurso humano, se tienen dos fuertes herramientas que ayudarán en el éxito del servicio ofrecido.. 6.2. 6.2.1.. Modelo Erlang C Descripción del modelo Erlang C. El modelo Erlang C es usado para analizar el rendimiento de un sistema estacionario en intervalos de tiempo lo suficientemente pequeños (media hora - hora) para poder asumir que las caracterı́sticas no cambian (Koole [5]).Haciendo esto, implı́citamente se asume que las tasas de arribos y servicios son constantes, al igual que el sistema llega al equilibrio en poco tiempo en cada intervalo (Gans, Koole y Mandelbaum [1]).Adicionalmente, el modelo supone que los arribos siguen un proceso de Poisson y que los tiempos de servicio son exponenciales e independientes entre ellos. En este modelo se tiene un Call Center con un solo tipo de llamadas y no abandonos, además, cada llamada espera hasta que sea atendida por un agente de servicio (Gans, Koole y Mandelbaum [1]). Se define Ri como: Ri =. λi = λi E[Si ] µi. donde λi es el número promedio de llamadas recibidas en una unidad de tiempo, por ejemplo media hora, y E[Si ] es el tiempo promedio de servicio o el tiempo promedio en el que el agente de servicio está ocupado, no puede recibir llamadas (Gans, Koole y Mandelbaum [1]). Definimos la utilización promedio del sistema como: ρi =. λi Ri = N µi N. Donde N es el número de agentes instalados en el call center. De acuerdo a esto, y suponiendo que no hay abandonos, al menos se requieren Ri agentes de servicio para atender las llamadas recibidas en el intervalo i. Es necesario que ρi sea menor que 1 para poder tener equilibrio en el sistema. Para entonces, el modelo Erlang 26.

(36) II.03(2)43 C define la probabilidad que todos los agentes N estén ocupados (Gans, Koole y Mandelbaum [1]), en otras palabras, la fracción de llamadas que deben esperar en cola para ser atendidas como: Pr{W ait > 0} = C(N, Ri ) ³P. ´. N −1 m=0. C(N, Ri ) = 1 − ³P N −1. ´. m m=0 Ri /m!. Rim /m! µ. +. RiN N!. ¶³. 1 1−Ri /N. ´. Dato que el modelo asume que el tiempo de servicio es exponencial, el tiempo de espera en cola es exponencial también con media (N µi − λi )−1 (Gans, Koole y Mandelbaum [1]). Por lo tanto, el tiempo promedio en cola (ASA: Average Speed Answer) se puede calcular de la siguiente manera:(Gans, Koole y Mandelbaum [1]) µ. 1 ASA = E[W ait] = C(N, Ri ) N. ¶Ã. 1 µi. !Ã. 1 1 − ρi. !. De esta misma forma se puede calcular también la proporción de llamadas que esperan menos de un tiempo T especı́fico, donde T determina el nivel de servicio deseado por el call center. Esta fracción de llamadas es conocida como el factor de servicio (TSF: Time Service Factor), el cual es calculado como:(Gans, Koole y Mandelbaum [1]) T SF = Pr{W ait ≤ T } = 1 − Pr{W ait > 0} Pr{W ait > T |W ait > 0} = 1 − C(N, Ri )e−N µi (1−ρi )T Usualmente, los gerentes de call centers están interesados en el cálculo del ASA y T SF y no tienen en cuenta el valor de la probabilidad de esperar en cola, Pr{W ait > 0} (Gans, Koole y Mandelbaum [1]), que como vemos es fundamental para el cálculo de las dos anteriores medidas de servicio. Ambas medidas de servicio pueden utilizarse para definir la cantidad de recurso necesario para las llamadas, en nuestro caso de estudio, es de interés la definición de agentes de servicio por medio del TSF, la razón es porque es un requisito de la gerencia mantener un nivel de servicio especı́fico. Ni = min{N |T SF ≥ T SF ∗ } 27.

(37) II.03(2)43 Al igual que se puede determinar el número de agentes, también se puede utilizar todos los cálculos anteriores para realizar pronósticos del comportamiento del call center. Es decir, es común que los gerentes de call centers tengan limitado la cantidad de agentes para tener (lı́mite de presupuesto), por lo tanto, les interesa conocer el rendimiento esperado para en número de agentes instalados y ası́ saber qué pueden prometer y ofrecer a sus clientes. Es importante tener en cuenta que el modelo es muy sensible a pequeños cambios, un agente más o un agente menos puede incrementar o disminuir considerablemente el nivel de servicio respectivamente, al igual que el tiempo promedio de espera de la llamada para ser atendido. Y no solo es sensible para cambios en el número de agentes, sino también para cambios en la demanda λ al igual que para el tiempo de servicio (Koole [5]). Lo cual quiere decir que para un call center, la falta de un agente, por ejemplo un agente incapacitado por estado de salud, puede afectar considerablemente el funcionamiento, al igual que un aumento en los arribos puede afectar los indicadores de servicio considerablemente. Este caso en particular de variabilidad en los arribos será estudiado en las secciones 7.1 y 7.2 con mayor detenimiento. 6.2.2.. Aplicación del modelo Erlang C. Los datos son promedios de intervalos de media hora. Para calcular la tasa de arribos y el tiempo de servicio es común utilizar promedios de los intervalos de datos de periodos comparables y calcular los estimadores de la siguiente forma (Jongbloed y Koole [4]): PK. i=1. K. µi. PK. ;. i=1. λi. K. Para el caso de estudio, separamos los datos en los dı́as de la semana puesto que entre ellos los datos no son comparables como lo vimos en la sección 4.2. En la tabla 9 vemos un ejemplo de los cálculos realizados de los estimadores. Teniendo estos datos podemos obtener el número de agentes requeridos para un nivel de servicio especı́fico. En el caso de estudio, la gerencia del call center requiere que se cumpla un nivel de servicio de 95 % de las llamadas contestadas antes de 15. 28.

(38) II.03(2)43. lunes intervalo arribos servicio (seg) 08:00 a.m. 21,917 129,504 08:30 a.m. 32,222 152,629 09:00 a.m. 31,583 174,007 09:30 a.m. 29,722 187,249 10:00 a.m. 27,694 207,5 10:30 a.m. 25,056 206,224 11:00 a.m. 25,861 214,368 11:30 a.m. 22,056 212,686 12:00 p.m. 18,944 208,111 12:30 p.m. 12,778 209,962 01:00 p.m. 6,306 199,487 01:30 p.m. 7,25 165,869 02:00 p.m. 13,583 185,5 02:30 p.m. 17,528 214,223 03:00 p.m. 18,543 233,663 03:30 p.m. 16,257 242,638 04:00 p.m. 15,2 249,905 04:30 p.m. 12,971 272,592 05:00 p.m. 9,943 276,595 05:30 p.m. 5,714 224,825. Miercoles intervalo arribos servicio (seg) 08:00 a.m. 21,522 136,925 08:30 a.m. 30,022 162,291 09:00 a.m. 33,087 192,625 09:30 a.m. 28,739 204,452 10:00 a.m. 26,413 216,411 10:30 a.m. 24,783 223,553 11:00 a.m. 23,543 225,062 11:30 a.m. 22,413 228,413 12:00 p.m. 18,261 215,947 12:30 p.m. 11,87 207,531 01:00 p.m. 6,261 210,575 01:30 p.m. 7,717 165,365 02:00 p.m. 13,217 207,852 02:30 p.m. 15,891 226,146 03:00 p.m. 17,87 236,058 03:30 p.m. 16,978 252,107 04:00 p.m. 15,4 275,813 04:30 p.m. 14,267 268,696 05:00 p.m. 10,556 301,979 05:30 p.m. 5,844 268,584. Tabla 9: Valor de los estimadores para arribos y tiempos de servicio. Los datos son para los intervalos de los dı́as Lunes y Miércoles.. 29.

(39) II.03(2)43 Agentes Lunes 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1. 2:30 PM. 3:00 PM. 3:30 PM. 4:00 PM. 4:30 PM. 5:00 PM. 5:30 PM. 3:00 PM. 3:30 PM. 4:00 PM. 4:30 PM. 5:00 PM. 5:30 PM. 2:00 PM. 1:30 PM. 2:30 PM. round csr. 1:00 PM. 12:30 PM. 12:00 PM. 11:30 AM. 11:00 AM. 10:30 AM. 9:30 AM. 10:00 AM. 9:00 AM. 8:30 AM. 8:00 AM. 0. Erlang C. Agentes Miercoles 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1. round csr. 2:00 PM. 1:30 PM. 1:00 PM. 12:30 PM. 12:00 PM. 11:30 AM. 11:00 AM. 10:30 AM. 10:00 AM. 9:30 AM. 9:00 AM. 8:30 AM. 8:00 AM. 0. Erlang C. Figura 7: Agentes Erlang C vs agentes instalados. segundos. En términos técnicos quiere decir que T SF = 95 % y el T especı́fico es de 15 seg. Para cada intervalo de media hora de cada dı́a de la semana se calculó el número de agentes necesarios de acuerdo al modelo Erlang C y se comparó con el número de agentes instalados realmente en el call center. Esto se hizo con el fin de comparar el comportamiento del modelo teórico con la realidad. Un ejemplo de los resultados se puede ver en la siguiente figura 7. De acuerdo a estos resultados, vemos que en algunos intervalos es necesario colocar más agentes que los que propone el modelo Erlang C. En otros casos, Erlang calcula que se necesitan más agentes que los que se tienen. La razón de esta diferencia radica en el supuestos que hace Erlang C que las llamadas siguen un proceso de Poisson, y como vimos en secciones anteriores, sabemos que nuestro proceso es más variable que un proceso de Poisson, por lo tanto es de esperar que Erlang C no tenga 30.

(40) II.03(2)43 TSF Real v s TSF Erlang C (Lunes). ASA Real vs ASA Erlang C (lunes). 1. 10 9. 0,98. 8 0,96. segundos. 7. 0,94. 0,92. 6 5 4 3. 0,9. 2 1. 0,88. 3:00 PM. 3:30 PM. 4:00 PM. 4:30 PM. 5:00 PM. 5:30 PM. 3:30 PM. 4:00 PM. 4:30 PM. 5:00 PM. 5:30 PM. 2:30 PM. 2:00 PM. 3:00 PM. Asa Cal. TSF Real. 1:30 PM. 1:00 PM. 12:30 PM. 11:30 AM. 12:00 PM. 11:00 AM. 10:30 AM. 9:30 AM. 10:00 AM. 9:00 AM. 8:00 AM. 5:30 PM. 5:00 PM. 4:30 PM. 4:00 PM. 3:30 PM. 3:00 PM. 2:30 PM. 2:00 PM. 1:30 PM. 1:00 PM. 12:30 PM. 12:00 PM. 11:30 AM. 11:00 AM. 10:30 AM. 9:30 AM. 10:00 AM. 9:00 AM. 8:30 AM. 8:00 AM. TSF calculado. 8:30 AM. 0 0,86. Asa Real. ASA Real vs ASA Erlang C (Miercoles). TSF Real vs TSF Erlang C (Miercoles) 1. 12. 0,98. 10. 0,96. segundos. 8 0,94. 0,92. 6. 4. 0,9. 2. TSF calculado. TSF Real. Asa Cal. 2:30 PM. 2:00 PM. 1:30 PM. 1:00 PM. 12:30 PM. 12:00 PM. 11:30 AM. 11:00 AM. 10:30 AM. 10:00 AM. 9:30 AM. 9:00 AM. 0 8:30 AM. 5:30 PM. 5:00 PM. 4:30 PM. 4:00 PM. 3:30 PM. 3:00 PM. 2:30 PM. 2:00 PM. 1:30 PM. 1:00 PM. 12:30 PM. 12:00 PM. 11:30 AM. 11:00 AM. 10:30 AM. 10:00 AM. 9:30 AM. 9:00 AM. 8:30 AM. 8:00 AM. 0,86. 8:00 AM. 0,88. Asa Real. Figura 8: Validación pronóstico modelo Erlang C: TSF y ASA. la precisión para modelar el sistema bajo estudio. Otra motivo puede ser el supuesto de tiempos exponenciales de servicio. La otra razón es que Erlang C es limitado, es decir, no tiene en cuenta los abandonos, los cuales son importantes para el call center, como mencionamos anteriormente, es un indicador de calidad importante para la gerencia. Podemos comparar también los pronósticos realizados por Erlang C con los datos reales, es decir, mirar el factor de servicio y el tiempo en cola con los agentes instalados y compararlo con los indicadores reales. En la figura 8 podemos ver el comportamiento del modelo Erlang C. Observado la figura 8 vemos que el modelo no es muy preciso con la realidad, es decir, en algunos momentos parece que subestimara el sistema, pero en otros los valores muestran lo contrario. Como antes se mencionó, esta diferencia se puede. 31.

(41) II.03(2)43 deber a la alta variación de las llamadas, mayor que un proceso Poisson, el cual es el supuesto que hace el modelo Erlang C. Existe una extensión al modelo Erlang C el cual tiene en cuenta el porcentaje de abandono el cual es un factor importante de decisión para la gerencia del call center. Este modelo es conocido con Erlang A o Erlang X el cual será explicado en la sección 6.3.. 6.3.. Modelo Erlang X (Erlang A). En la sección 6.2 vimos una manera de modelar el comportamiento de un call center, el modelo Erlang C. Para algunos call centers es una muy buena aproximación. Sin embargo, otros contactos de servicios han mostrado un comportamiento diferente al modelado por Erlang C por no tener en cuenta los abandonos (Koole [5]). Es importante ver que al aumentar los abandonos el tiempo en cola disminuye (ASA), lo cual es bueno para el factor de servicio (TSF), sin embargo el indicador de abandono aumenta y serı́a un factor negativo del servicio ofrecido. Observamos entonces que el modelo Erlang C necesita mejora para poder modelar mejor la realidad (Koole [5]), en nuestro caso de interés, modelar abandonos. 6.3.1.. Descripción del modelo Erlang X. El comportamiento de las llamadas abandonadas es complicado de estimar. El abandono puede ocurrir con el solo hecho de tener que esperar a ser atendido, algunos otros clientes son un poco más pacientes y abandonan después de un tiempo en espera (Koole [5]). Para este modelo entonces, vemos que es importante el tiempo promedio de paciencia, es decir, el tiempo que está dispuesto esperar un cliente a ser atendido. Como Koole [5] menciona, determinar este tiempo de paciencia es “matemáticamente hablando, una tarea difı́cil”. La mayorı́a de llamadas son contestadas antes que la paciencia termine. La mayorı́a de sistemas de reportes de call center arrojan el tiempo promedio en cola de las llamadas abandonadas. Este dato es de cuidado, puesto que es el tiempo de los clientes más impacientes, por lo tanto, no es el valor correcto del tiempo en. 32.

(42) II.03(2)43 cola que los clientes están dispuestos a esperar para ser atendidos, la paciencia es un valor mayor al reportado. El cálculo de este valor de tiempo tiene varias influencias, es decir, los clientes saben que entre más tiempo estén en cola, se reduce el tiempo en ser atendidos, pero a pesar de esto abandonan. Es diferente estar en una cola fı́sica donde se puede ver cuantas personas hay y la velocidad del flujo de los clientes, a estar en una cola virtual donde no hay conocimiento del proceso del sistema. La falta de información es otro factor para que la impaciencia aumente y abandonen. Los clientes que abandonan no conocen el tiempo que tienen que esperar, es decir, el tiempo esperado en cola, mientras que los clientes que no abandonan conocen el tiempo promedio de espera, ası́ que su impaciencia es menor que los otros clientes. Existes sistemas de audio respuesta que cada cierto tiempo informan un tiempo esperado de espera, esto con el fin de no perder clientes. Al igual, otros sistemas en vez de dar un tiempo estimado de espera dan información sobre los productos ofrecidos con el fin de evitar que el cliente llegue a la impaciencia. En Colombia, los call centers es algo novedoso, es decir, hasta ahora están empezando a ser utilizados como una estrategia de servicio. Por lo tanto, la paciencia es mucho menor puesto que los clientes están acostumbrados a otro tipo de servicio, como por ejemplo, comunicarse directamente con sus asesores de cuenta o no tener la costumbre de “hablarle” a una máquina. La cultura colombiana está empezando a cambiar poco a poco en el uso de call centers, y se espera que con el tiempo este tiempo de paciencia aumente y ası́ evitar el abandono. Habiendo obtenido el valor numérico de la paciencia, adicionarlo al modelo no es algo complicado bajo ciertos supuestos (Koole [5]): Los clientes abandonan en el momento que entran a la cola con una cierta probabilidad Los clientes en cola abandonan en el próximo segundo con una probabilidad que no depende del tiempo que lleven esperando Este último es un supuesto bastante fuerte del modelo, pero es requerido para poder modelar el tiempo en cola como exponencial y hacer sencillo los cálculos. La fracción 33.

(43) II.03(2)43 de abandono se calcula de la siguiente manera: %Aband = C(N, Ri )e−N µi (1−ρi )T donde T es el valor de la paciencia en unidades de tiempo. Junto con el factor de servicio (T SF ), el número de agentes requeridos es: Ni = min{N |T SF ≥ T SF ∗ ; %Aband ≤ %Aband∗ } Al igual que el caso de Erlang C, se puede pronosticar el comportamiento del abandono del call center dado una cantidad de agentes instalados, y demás parámetros como cantidad de llamadas que se pueden recibir dado un porcentaje de abandono y una cantidad de agentes instalados. 6.3.2.. Aplicación del modelo Erlang X. En la sección 6.2 vimos la aplicación del modelo Erlang C. Para este caso adicionamos dos parámetros a los demás del modelo para estimar la cantidad de agentes de servicio necesarios para satisfacer los indicadores. Estos nuevos parámetros son la fracción de abandono ( %Aband) y el tiempo que un cliente está dispuesto a esperar antes de abandonar el sistema. El valor del tiempo de paciencia se calculo tomando dos fuentes. Por un lado se calculó el tiempo promedio de espera de las llamadas que fueron abandonadas, esto con el fin de saber un estimado del valor. El resultado de este valor es 23 seg. La otra fuente para calcular el tiempo en cola antes de abandonar, fue consultada a la gerencia del call center. Para este caso, después de realizar una encuesta a los clientes han concluido que los clientes están dispuestos a esperar un tiempo igual al doble del prometido por el call center. Es decir, a los clientes se les ofrece un tiempo de factor de servicio de 15 seg (tres timbres), o sea que el valor de la paciencia es de 30 seg. Con este valor y un porcentaje de abandono de un 2 % requerido por la gerencia, se realizó el cálculo del número de agentes a requerir. Los resultados se pueden ver en la figura 9 (Nota: El valor del TSF y el tiempo de servicio siguen siendo los mismos, 95 % y 15 segundos respectivamente, los datos son de la misma forma que se encuentran en la tabla 9). Vemos que para algunos casos, la cantidad 34.

(44) II.03(2)43 Agentes Lunes 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1. 3:30 PM. 4:00 PM. 4:30 PM. 5:00 PM. 5:30 PM. 4:00 PM. 4:30 PM. 5:00 PM. 5:30 PM. 3:00 PM. 2:30 PM. 2:00 PM. 1:30 PM. 1:00 PM. 12:30 PM. Erlang C. 3:30 PM. round csr. 12:00 PM. 11:30 AM. 11:00 AM. 10:30 AM. 10:00 AM. 9:30 AM. 9:00 AM. 8:30 AM. 8:00 AM. 0. Erlang X 2% 30 seg. Agentes Miercoles 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1. round csr. Erlang C. 3:00 PM. 2:30 PM. 2:00 PM. 1:30 PM. 1:00 PM. 12:30 PM. 12:00 PM. 11:30 AM. 11:00 AM. 10:30 AM. 10:00 AM. 9:30 AM. 9:00 AM. 8:30 AM. 8:00 AM. 0. Erlang X 2% 30 seg. Figura 9: Comparación de agentes instalado con modelo Erlang C y X. de agentes instalados es similar a la cantidad de agentes requeridos por el modelo, lo cual nos muestra una mejor aproximación al sistema. Son muy pocos los casos donde se presenta que el número de recursos requeridos sea menor al instalado. Vemos también que el modelo también aconseja tener instalados más agentes para ası́ cumplir con los dos requerimientos. Este es un resultado interesante puesto que de esta forma se asegura el nivel de servicio por tener un aumento de agentes y por otro lado se asegura un bajo valor del porcentaje de abandono. Es importante notar la diferencia entre los dos modelos, Erlang C y X (Erlang A), en la mayorı́a de los casos requiere un mayor número de agentes. Esta puede ser una forma de cubrir la variabilidad del sistema y no sufrir con el factor de servicio. Este tema será tratado en la sección 7.2. Al igual que Erlang C, este modelo también nos ayuda para pronosticar el comportamiento del call center. Aunque pareciera que en algunos casos el comporta35.

(45) II.03(2)43 Aband Real vs Aband Erlang X (Lunes) 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005. 3:30 PM. 4:00 PM. 4:30 PM. 5:00 PM. 5:30 PM. 4:00 PM. 4:30 PM. 5:00 PM. 5:30 PM. 3:00 PM. 2:30 PM. 2:00 PM. 3:30 PM. Aband Erlang X. 1:30 PM. 1:00 PM. 12:30 PM. 11:30 AM. 12:00 PM. 11:00 AM. 10:30 AM. 9:30 AM. 10:00 AM. 9:00 AM. 8:30 AM. 8:00 AM. 0. Aband Real. Aband Real vs Aband Erlang X (Miercoles) 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01. Aband Erlang X. 3:00 PM. 2:30 PM. 2:00 PM. 1:30 PM. 1:00 PM. 12:30 PM. 12:00 PM. 11:30 AM. 11:00 AM. 10:30 AM. 10:00 AM. 9:30 AM. 9:00 AM. 8:30 AM. 8:00 AM. 0. Aband. Figura 10: Validación pronóstico modelo Erlang X: Abandono Real vs Abandono Erlang X. miento fuera similar en el modelo, a una escala menor, lo que realmente se puede apreciar es que hay una variabilidad en el modelo que hace que no haya precisión. Esta variabilidad se puede deber tanto a la incertidumbre de los arribos de las llamadas, el supuesto de tiempos de servicios exponenciales, como también al supuesto que el tiempo en cola antes de abandonar es exponencial, por lo tanto, carece de memoria. Este al ser un supuesto tan fuerte puede aumentar la tasa de abandono, el cual es un resultado que se puede apreciar en la figura 10. A pesar de las diferencias en las aproximaciones de los modelos, es una forma de disminuir la incertidumbre del funcionamiento del sistema, es decir, es preferible tener estos modelos, ya sea Erlang C o Erlang X a hacer una estimación a prueba y error lo cual puede implicar altos costos para el call center. Ambos modelos se pueden usar para calcular una base numérica de algunos parámetros, o para tener una 36.

(46) II.03(2)43. Análisis Abandono según Paciencia 10%. 100%. 9%. 90%. 8%. 80%. 7% % abandono. TSF y Aband en %. Comportamiento TSF y Aband según Recurso Instalado. 70% 60% 50% 40%. 6% 5% 4%. 30%. 3%. 20%. 2%. 10%. 1%. 0%. 0%. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 6. 7. agentes TSF. 8. 9. 10. agentes. Aband 15 seg Aband 60 seg. Aband 30 seg. Aband 30 seg. Figura 11: Modelos Erlang como herramienta Gerencial. aproximación del funcionamiento del call center teniendo muy en cuenta las desventajas de ambos modelo. Es decir, utilizar estos modelos conociendo los supuestos y funcionamiento de ambos, pueden ser una fuerte herramienta para mejorar el servicio ofrecido a los clientes. Un ejemplo de una herramienta muy útil para la gerencia se puede mirar en la figura 11.. 37.

(47) II.03(2)43. Capı́tulo VII INCERTIDUMBRE EN LA TASA DE ARRIBOS DE LAS LLAMADAS En los modelos que hasta ahora hemos estudiado, Erlang C y Erlang X, se asume que la tasa de arribos es conocida. La tasa de arribos depende de varias cosas: dı́a de la semana o el mes, hora del dı́a, festivos, etc (Gans, Koole y Mandelbaum [1]). Mientras que en un proceso de Poisson la media y la varianza son la misma, en nuestro caso encontramos que para los intervalos de cada dı́a de la semana la varianza es mucho mayor que su media; dado los datos de intervalos del dı́a, la tasa de arribos se vuelve aleatoria (Gans, Koole, Mandelbaum [1]). Varios estudios se han hecho para estimar la función de densidad para la tasa de arribos, por ejemplo Kuhl y Wilson [6] trabajan un estimador de cuadrados mı́nimos para un proceso de Poisson no Homogéneo, Leemis [7] investiga una estimación no paramétrica de la función acumulada, y Jongbloed y Koole [4] prueban una función Poisson mixta con una función Gamma para estimar la tasa de arribo. Es común utilizar datos históricos para estimar la tasa de arribos, pero esta no es conocida con seguridad. Lo cual ignorar esta incertidumbre de los arribos puede ser un gran riesgo (Gans, Koole y Mandelbaum [1]).. 7.1.. Fuentes de Incertidumbre. Whitt [9] nos muestra diferentes fuentes de esta incertidumbre en los arribos. Una de ellas, ya mencionada, es el supuesto que los arribos siguen un proceso de Poisson. Este caso Whitt [9] lo define como incertidumbre del modelo, porque los. 38.

(48) II.03(2)43 arribos reales del proceso pueden no ser bien modelados por un proceso de Poisson. En nuestro caso, demostramos en la sección 5.2 que los arribos tienen mayor varianza que un proceso de Poisson. La otra fuente de incertidumbre que Whitt [9] nos indica es la incertidumbre del parámetro la cual se encuentra cuando pronosticamos la tasa de arribos para hacer los cálculos correspondientes, ya sea por los métodos usados por Kuhl y Wilson [6] o Leemis [7], como por una estimación promedio utilizando datos históricos. La recomendación es no pasar por alto el error del pronóstico e incluirlo en el análisis que se esté realizando (Whitt [9]). La otra fuente de incertidumbre propuesta es la incertidumbre del proceso la cual es inherente en el momento de modelar una situación real. El modelo es una aproximación a la situación real, por lo tanto, siempre existirá un error de por medio.. 7.2.. Modelando la variabilidad de la tasa de los arribos. Pocos trabajos se han hecho para tener en cuenta la incertidumbre en los arribos que produce una alta variabilidad en el proceso. En este estudio, dos métodos serán utilizados para tener en cuenta la variabilidad de los arribos a la hora de determinar el número de agentes a instalar. Primero miraremos la heurı́stica propuesta por Grassmann [2] para definir la cantidad de recurso necesario, y luego estudiaremos un arreglo a los intervalos de confianza propuestos por Jongbloed y Koole [4] para determinar el número de agentes en los diferentes escenarios. 7.2.1.. Heurı́stica Grassmann. 7.2.1.1. Descripción Heurı́stica Grassmann Lo que Grassmann propone inicialmente es que el número de agentes requeridos es igual a R + ∆ donde R es definido como: Ri =. λi = λi E[Si ] µi. 39.

(49) II.03(2)43 √ y ∆ es igual a zα Ri , donde zα es el percentil de una distribución normal estándar el cual Grassmann [2] lo denomina Factor de Seguridad. Por lo tanto tenemos que el número de recurso necesario es: q. Ni = R i + z α R i Grassmann [2] demuestra que para un sistema de infinitos servidores, si los arribos son Poisson, el número de clientes en el sistema sigue una distribución Poisson con parámetro R. Por lo tanto, la variabilidad de la cantidad de clientes en el sistema es igual V ar(R). De esta forma, Grassmann [2] propone que se tenga en cuenta la variabilidad en la definición de recurso para ası́ disminuir la incertidumbre en los arribos de la siguiente forma: q. Ni = Ri + zα Ri + var(Ri ) 7.2.1.2. Aplicación Heurı́stica Grassmann Para poder aplicar el método de Grassmann primero calculamos los valores de Ri para cada intervalo de cada dı́a, en la tabla 10 se puede ver un ejemplo de los cálculos. Con estos valores de Ri y var(Ri ) y un percentil z al 0, 025, se calculó la cantidad de agentes requeridos. Al igual que con los anteriores modelos, se compararon los resultados con la cantidad de recurso instalado. Un ejemplo de los resultados se puede ver en la figura 12. Los resultados obtenidos son interesantes, dado que los agentes requeridos según Grassmann [2] dan muy cercanos a los agentes realmente instalados. En pocos casos es mayor los instalados a los propuestos por Grassmann [2]. Curioso es que esta diferencia se ve a las horas donde menos llamadas se presentan, es decir, al medio dı́a, este resultado es igual para todos los dı́as de la semana. En horas pico se presenta la misma cantidad de agentes y en pocos casos es mayor la cantidad propuesta por la heurı́stica. La ventaja que tiene este modelo es que tiene en cuenta la variabilidad de los arribos por medio de R. Pero como desventaja se encuentra la difı́cil aclaración de. 40.

(50) II.03(2)43. lunes intervalo 08:00 a.m. 08:30 a.m. 09:00 a.m. 09:30 a.m. 10:00 a.m. 10:30 a.m. 11:00 a.m. 11:30 a.m. 12:00 p.m. 12:30 p.m. 01:00 p.m. 01:30 p.m. 02:00 p.m. 02:30 p.m. 03:00 p.m. 03:30 p.m. 04:00 p.m. 04:30 p.m. 05:00 p.m. 05:30 p.m.. Miércoles intervalo 08:00 a.m. 08:30 a.m. 09:00 a.m. 09:30 a.m. 10:00 a.m. 10:30 a.m. 11:00 a.m. 11:30 a.m. 12:00 p.m. 12:30 p.m. 01:00 p.m. 01:30 p.m. 02:00 p.m. 02:30 p.m. 03:00 p.m. 03:30 p.m. 04:00 p.m. 04:30 p.m. 05:00 p.m. 05.30 p.m.. Ri Var Ri 1,568 0,513 2,731 0,907 3,049 1,219 3,091 0,753 3,186 0,879 2,87 1,16 3,078 0,817 2,604 0,91 2,189 0,509 1,489 0,755 0,698 0,186 0,669 0,11 1,397 0,289 2,083 0,755 2,402 0,78 2,186 1,281 2,105 0,888 1,957 1,102 1,526 0,609 0,712 0,337. Ri Var Ri 1,619 0,388 2,692 1,038 3,534 0,984 3,261 1,026 3,176 1,025 3,074 0,782 2,941 1,15 2,842 1,082 2,188 0,901 1,369 0,534 0,733 0,384 0,708 0,188 1,528 0,549 1,992 0,686 2,344 0,855 2,369 1,08 2,35 1,318 2,128 0,795 1,768 1,056 0,866 0,402. Tabla 10: R y Var (R) para cada intervalo.. 41.

(51) II.03(2)43 Agentes Lunes 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1. 2:30 PM. 3:00 PM. 3:30 PM. 4:00 PM. 4:30 PM. 5:00 PM. 5:30 PM. 3:00 PM. 3:30 PM. 4:00 PM. 4:30 PM. 5:00 PM. 5:30 PM. 2:00 PM. 1:30 PM. 2:30 PM. round csr. 1:00 PM. 12:30 PM. 12:00 PM. 11:30 AM. 11:00 AM. 10:30 AM. 9:30 AM. 10:00 AM. 9:00 AM. 8:30 AM. 8:00 AM. 0. Grassmann. Age ntes Mie rcole s 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1. round csr. 2:00 PM. 1:30 PM. 1:00 PM. 12:30 PM. 12:00 PM. 11:30 AM. 11:00 AM. 10:30 AM. 10:00 AM. 9:30 AM. 9:00 AM. 8:30 AM. 8:00 AM. 0. Grassm ann. Figura 12: Agentes calculados por heurı́stica Grassmann. los factores de servicio, es decir, un T SF = 95 % : 15 seg y un abandono de 2 %. El factor de seguridad z es el encargado de modelar estos tres indicadores o al menos los dos primeros. Por lo tanto, la selección de este factor de seguridad no es tarea fácil. Algunos estudios nos dicen que este puede ser calculado por medio de Erlang C a través del valor C(N, Ri ), es decir Pr{W ait > 0} = C(N, Ri ) (Gans, Koole y Mandelbaum [1]). 7.2.2.. Intervalo de Confianza para la Tasa de Arribos. 7.2.2.1. Descripción Intervalo de Confianza En los modelos anteriores de Erlang, varios supuestos hemos hecho sobre la tasa de arribos. Asumimos que conocemos el comportamiento de las llamadas, supusimos también que la tasa es constante en el intervalo de tiempo y que los arribos se comportan como un proceso de Poisson. A pesar que los modelos Erlang tienen 42.

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