Actividades de mates ciclos 13-14

---De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que: 1 Las dos sean copas.

2Al menos una sea copas.

3Una sea copa y la otra espada

En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:

1Si se saca una papeleta.

2Si se extraen dos papeletas.

3Si se extraen tres papeletas.

Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar de que: 1Sea roja.

3Sea amarilla.

4No sea roja.

5No sea amarilla.

9.- Solución:

Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de:

1Extraer las dos bolas con reemplazamiento.

2Sin reemplazamiento.

10.- Solución

Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide: 1La probabilidad de que salga el 7.

2La probabilidad de que el número obtenido sea par.

3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

5.- Solución:

2Los puntos obtenidos sumen 7.

2.- Solución.

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga: 1Un número par.

2Un múltiplo de tres.

Polinomios

Determina el cociente y el resto.

c) (x4 _{+ x} 2_{− 10): (x − 5) Sol: C(x) = x}3_{+ 5x}3_{+ 26x + 130; R(x) = 640}

Opera y simplifica:

c) (x3 _{– 2x + 3) (x}2 _{+ 4x – 1) Sol: c) x}5 _{+ 4x}4 _{– 3x}3 _{– 5x}2 _{+ 14x– 3}

i) Sol: i) 8/3

ACTIVIDADES DE REPASO PRUEBA DE ACCESO GRADO SUPERIOR 1.- Aproxima a las centésimas:

a) 0,318 b) 3,2414 c) 18,073 d) 100/71 e) 25/13 f) 65/7 El error absoluto y error relativo cometido en cada una de las aproximaciones realizadas en el ejercicio anterior.

2.- Un microorganismo mide 3,5 micras. Sabiendo que 1 micra es la millonésima parte de 1 metro, expresa, en metros y en notación científica, la longitud de 4 millones de

microorganismos dispuestos en fila. Sol: 1,4 ⋅ 101 _{= 14 metros}

3.- La masa de Plutón es 6,6 ·10-9 _{veces la masa del Sol, y esta, a su vez, es 3,3 ·10}6 _veces

la masa de la Tierra. Si la masa de la Tierra es 6 · 1024 _{kg, halla la masa de Plutón y del Sol.}

Sol: Masa del Sol = 1,98 ⋅ 1032 _{kg y Masa de Plutón = 1,3068 ⋅ 10}23 _kg

4.- Un año luz es 9,46 ·1012 _{km, aproximadamente. Expresa en kilómetros el radio del}

universo si se estima que su valor es de 15.000 millones de años luz. Sol: 1,419 ⋅ 1023 _km

5.- La masa del Sol es 330 000 veces la de la Tierra, aproximadamente, y esta es 5,98 · 1021

t. Expresa en notación científica la masa del Sol en kilos. Sol: MSol = 1,9734 · 1030 kg

6.- El ser vivo más pequeño es un virus que pesa del orden de 10–18 _{g, y el más grande es la}

ballena azul, que pesa, aproximadamente, 138 t. ¿Cuántos virus serían necesarios para conseguir el peso de una ballena? Sol: 1,38 · 1026 _virus

7.- En un saco de arena de 50 kg hay, aproximadamente, 3 · 106 _{granos. Calcula el número}

de granos que habrá en una tonelada. Sol: 6 · 107_granos.

8.- La dosis de una vacuna es 0,05 cm3_{. Si la vacuna tiene 100 000 000 bacterias por}

centímetro cúbico, ¿cuántas bacterias habrá en una dosis? Exprésalo en notación científica.

Sol: 5 · 106 _bacterias

9.- Expresa mediante un solo radical

a) b)

Sol: a) b)

10.- Opera y simplifica:

a) b)

Sol: a) b)

11.- Opera y simplifica:

a) (3x3_{+ 1)(2x}2 _{– 3x + 5) b) (x}2 _{– 5x) (x}3 _{+ 2x) c) (x}3 _{– 2x + 3) (x}2 _{+ 4x – 1)}

Sol: a) 6x5 _{– 9x}4 _{+ 15x}3 _{+ 2x}2 _{– 3x + 5 b) x}5 _{+ 2x}3 _{– 5x}4 _{– 10x}2 _{c) x}5 _{+ 4x}4 _{– 3x}3 _{– 5x}2 _{+ 14x – 3}

12.- Saca factor común y utiliza los productos notables para factorizar los siguientes polinomios:

a) x3 _{– 6x}2 _{+ 9x b) x}3 _{– x c) 4x}4 _{– 81x}2 _{d) x}3 _{+ 2x}2 _{+ x e) 3x}3 _{– 27x f ) 3x}2 _{+ 30x + 75}

Sol: a) x(x – 3)2 _{b) x(x – 1) (x + 1) c) x}2_{(2x + 9)(2x – 9) d) x(x + 1)}2 _{e) 3x(x + 3) (x – 3)}

f) 3(x + 5)2

13.- Determina el cociente y el resto.

a) (x3 _{− x} 2_{+ x − 3) : (x − 1) Sol: C(x) = x}2 _{+ 1; R(x) = −2}

b) (x 4_{− x}3 _{− x + 9) : (x − 2) Sol:C(x) = x}3 _{+ x}2 _{+ 2x + 3; R(x) = 15}

c) (x4 _{+ x} 2_{− 10) : (x − 5) Sol: C(x) = x}3_{+ 5x}3_{+ 26x + 130; R(x) = 640}

14.- Resolver las siguientes ecuaciones

a) x2 _{+ 5 x +6 =0 b) 2 x}2 _{- 8 = 0 c) 3 x}2 _{-12 x = 0 d) 2 x}2 _-

7 x +3 =0

Sol: a) x=-2 x=-3 b) x=-2 x=+2 c) x=4 x=0 d) x=1/2 x=3 e) x=1 f) x= 8 g) x=5 i) 8/3

15.- Resuelve:

a) 4x2 _{– 64 = 0 b)3x}2 _{– 9x = 0 c) 2x}2 _{+ 5x = 0 d)2x}2 _{– 32 = 0}

Sol: a) x=-4 x=+4 b) x=0 x=3 c) x=-5/2 x=0 d) x=-4 x=+4

16.- Resuelve:

a) x +

= 8

b)

+ 3 = x-1

c)

d)

e) = 6 f) 53x-2_{=18 f) 7}2x+1₌₃ x-1

Sol: a) x=3 b) x=7 c) x=-2 x=+2 d) x=2 e) x=2

17.- Resuelve:

a) 2 log 2x - log x = 1 b) 5 log x = 3 log x + 2 log 6 c) 2 log ( 2x )2 _{- 3 log x = 1}

d) log ( 2x - 3 ) + log ( 5 - x ) = log 5 e) log ( 5 - x ) - log ( 4 - x ) = log 2 f) log5(7x+8)=3 g) 2 logx-log(x+39)=2 h) log2(2- x)+ log2(6-x)=5

Sol: a) x=5/2 b) x=6 c) x=5/8 d) x=4 x=5/2 e) x=3

18.- En un garaje hay 18 vehículos entre coches y motos. Sin contar las ruedas de repuesto hay 58 ruedas. ¿Cuántas motos y coches hay? Sol: 11 coches y 7 motos

19.- El doble de un número más el triple de otro número es igual a 14, y el quíntuplo del primero menos el segundo es igual a 18. ¿De qué números se trata? Sol: 4 y 2

20.- La suma de dos números es 15. La mitad de uno de ellos más la tercera parte del otro es 6. ¿De qué números se trata?

Sol: 6 y 9

21.- En una chocolatería hay 900 bombones envasados en cajas de 6 y 12 unidades. ¿Cuántas cajas hay de cada clase si en total tienen 125 cajas? Sol: Hay 100 cajas de 6 bombones y 25 cajas de 12 bombones.

22.- Los billetes de 50 € y 20 € que lleva Ángel en el bolsillo suman 380 €.Si cambiamos los billetes de 50 € por billetes de 20 € y al revés, entonces suman 320 €. Calcula cuántos billetes tiene de cada tipo. Sol: Ángel tiene 4 billetes de 20 € y 6 billetes de 50 €.

23.- La edad de un padre es hoy siete veces la edad del hijo y dentro de 10 años será solo el triple. Calcula la edad actual de cada uno. Sol: el padre tiene 35 años y el hijo 5 años.

Funciones

24.- Una empresa que fabrica hornos microondas obtiene unos beneficios por su venta dados por la siguiente función: f (x) = 350x - 0,1x2 _{-20000. ¿Cuántos hornos deben}

fabricarse para que el beneficio sea máximo? Sol: 1750 hornos.

25.- Una pelota, tras ser golpeada por un tenista, sigue una trayectoria dada por la expresión

f(t) =8t – t2_{,siendo t el tiempo (en segundos) transcurrido desde el golpe, y f (t), la altura (en}

metros) a la que se encuentra la pelota.

a) ¿A qué tipo de gráfica corresponde esta trayectoria? b) ¿Cuándo alcanza la pelota su máxima altura?

c) ¿Cuál es esa altura máxima conseguida? d) ¿En qué momento cae la pelota a la pista? Sol: a) parábola b) 4 seg. c) 16m. d) 8 seg.

a) ¿Cuántos años ha estado la empresa en funcionamiento? b) ¿Cuándo obtuvo el máximo beneficio?

c) Representa gráficamente la función B(t ).

d) Indica cómo han cambiado los beneficios a lo largo del tiempo. Sol: a) Dom f(x)= (0, ∞) b) sexto año

27.- Esta es la gráfica de la evolución de la temperatura de un enfermo:

a) ¿Cuánto tiempo estuvo en observación?

b)¿En qué día la temperatura alcanza un máximo? ¿Y un mínimo?

c) ¿En qué intervalos de tiempo crece la temperatura y en cuáles decrece? d)¿Qué tendencia tiene la temperatura?

Sol: a) Estuvo en observación 7 días.

b) El segundo día la temperatura alcanzó un máximo. El quinto día la temperatura alcanzó un mínimo.

c) La temperatura crece en (1, 2) U (5; 5,5). La temperatura decrece en (2; 2,5) U (3,5; 5). d) La temperatura tiende a estabilizarse en torno a los 36,5 °C.

28.- Para medir la capacidad espiratoria de los pulmones, se hace una prueba que consiste en inspirar al máximo y, después, espirar tan rápido como se pueda en un aparato llamado espirómetro.

Esta curva indica el volumen de aire que entra y sale de los pulmones.

c) ¿Cuál es la capacidad máxima de los pulmones de esta persona?

d) ¿Cuál es el volumen a los 10 segundos de iniciarse la prueba? ¿Y cuando termina? Sol: a) 1,5 litros. b) 18 segundos. c) 4 litros.

d) A los 10 segundos, el volumen era de 1 litro. Cuando la prueba termina, el volumen de aire en los pulmones es de 0,6 litros.

29.- La siguiente gráfica corresponde a la función y=f(x):

a) ¿Cuál es su dominio de definición?

b) Indica los tramos en los que la función es creciente y en los que es decreciente. c) ¿En qué punto tiene la función su máximo?

Sol: a) [0, 14] b) Es creciente en [0, 6] y decreciente en [6, 14]. c) El máximo está en el punto (6, 3).

30.- Cierto tipo de bengala permanece encendida un tiempo de 4 minutos. Se ha

comprobado que el porcentaje de luminosidad que produce viene dado, en función del tiempo (en minutos) a través de la función f (t) = 25t (4 − t) 0 ≤ t ≤ 4

a) ¿Para qué valor de t se obtiene el porcentaje de luminosidad máximo? b) ¿En qué intervalo de tiempo decrece el porcentaje de luminosidad? c) ¿Para qué valores de t el porcentaje de luminosidad es del 75%? Justificar las respuestas.

31.- La cantidad de agua recogida en cierto pantano (en millones de litros) durante el año 1997 viene dada, en función del tiempo transcurrido (en meses) a través de la expresión: f (t) = − t 2 _{+ 5t +150, 0 ≤ t ≤12}

a) ¿En qué período de tiempo la cantidad de agua disminuyó?

b) ¿Para qué valor de t se obtuvo la cantidad mínima de agua recogida? c) Representar gráficamente la función.

32.- Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de x televisores son

G = 2000 + 25x, en miles de euros, y los ingresos mensuales son I = 60x – 0,01x2, también en miles de euros. ¿Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máximo? Sol: B (x) = I (x) – G(x), 1 750 televisiones.

33.- La altura, h, a la que se encuentra en cada instante, t, una piedra que lanzamos verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s es h = 20t – 5t2_.

a) Haz una representación gráfica. b) Di cuál es su dominio de definición.

c) ¿En qué momento alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa altura? d) ¿En qué momento cae la piedra al suelo?

e) ¿En qué intervalo de tiempo la piedra está a una altura superior a 15 metros? Sol: b) Dominio de definición = [0, 4] c) La piedra alcanza la altura máxima a los 2 segundos de haberla lanzado, y es de 20 m. d) A los 4 segundos. e) 1≤ t ≤ 3

a) Haz una tabla de valores de la función tiempo-coste y represéntala gráficamente.

b) Si ha cobrado por una reparación 70,50 €, ¿cuánto tiempo ha invertido en la reparación? Sol: y = 18 + 15x, Ha invertido 3 horas y media.

35.- Mientras ascendíamos por una montaña, medimos la temperatura y obtuvimos los datos de esta tabla:

a) Representa la función altura-temperatura y busca su expresión analítica.

b) ¿A partir de qué altura la temperatura es menor que 0°C? Sol: A partir de 1 800 m. Interpolación

36.- Por un consumo de gas de 10 m3 se han pagado 50 euros y por 16 m3 se han pagado 71 euros. ¿Cuánto habrá que pagar por 15 m3? Sol: 67,5 euros

2.- El consumo de gasolina de cierto automóvil, por cada 100 km, depende de la velocidad a la que va. A 60 km/h consume 5,7 l y a 90 km/h consume 7,2 l. Estima cuánto consumirá si recorre 100 km a 70 km/h. Sol: 6,2 litros.

37.- Estima mediante interpolación lineal el valor correspondiente a x = 1 000 y a x = 1 558, conociendo estos valores: Sol: y (1 000) = 2 796,47 y y (1 558) = 3 741,79

x 825 2 015

y 2 500 4 516

Composición de funciones

38.- Si f (x) = x2 _{– 5x + 3 y g (x) = x}2_{, obtén las expresiones de f [g(x)] y g [f (x)]. Halla f}

[g(4)] y g [f (4)].

Sol: f [g(x)] = f [x2_{] = x}4 _{– 5x}2 _{+ 3 g [ f (x)] = g [x}2 _{– 5x + 3] = (x}2 _{– 5x + 3)}2

f [g(4)] = 179 g [ f (4)] = 1

39.- Considera las funciones f y g definidas por las expresiones f (x) = x2 + 1 y g(x) = . Calcula:

a) (f ° g) (2) b) b) (g ° f ) (–3) c) (g ° g) (x) d) (f ° g) (x) Sol: a) 5/4 b) 1/10 c) g (g(x)) = x d) f (g(x)) = 40.- Halla la media y la desviación típica en las siguientes distribuciones:

Sol: a) media = 1,7 desv. Típica= 1,57 b) media = 3,1 desv. Típica= 1,59 c) media =74,3 desv. Típica= 9,1

41.-Obtén las medidas de centralización de la siguiente serie de datos. 7 3 2 4 5 1 8 6 1 5 3 2 4 9 8 1 0 2 4 1 2 5 6 5 4 7 1 3 0 5 8 6 3 4 0 9 2 5 7 4 0 2 1 5 6 4 3 5 2 3

Sol: Las medidas de centralización son: Media=3,86 Me = 4 Mo = 5

Rango= 9 Desv. Media= 2,0312 Var.= 6 Desv. Típica= 2,45 Coef. Var. =0,63 42.-Calcula e interpreta las medidas de dispersión de los siguientes datos, que expresan los días de baja por enfermedad de 10 trabajadores de una fábrica.

0 2 3 4 2 1 1 0 0 3

Sol: Las medidas de centralización son: Media= 1,6 Me = 1,5 Mo = 0

Rango= 4 Desv. Media= 1,2 Var.= 1,84 Desv. Típica= 1,36 Coef. Var. =0,85=85% 43.- Realiza el estudio del peso, en kg, de 20 alumnos que se muestra en la tabla.

Peso xi f i Fi f i · xi f i · xi2 f i ·│ xi - media │

[36, 42) 4

[42, 48) 4

[48, 54) 5

[54, 60) 2

[60, 66) 3

[60, 66) 2

Sol: Las medidas de centralización son: Media= 51,6 Intervalo mediano = [48, 54)

Intervalo modal = [48, 54) Rango= 36 Desv. Media= 7,98 Var.= 93,24 Desv. Típica= 9,65 Coef. Var. =0,19=19%

44.- En una bolsa hay 5 bolas rojas, 10 verdes y 5 azules, y se extrae una bola. Calcula la probabilidad de los sucesos.

45.- En un aula hay 17 chicos y 19 chicas. Se elige una persona al azar. Determina la probabilidad de estos sucesos.

a) «Ser un chico» b) «Ser una chica»

Sol: a) P(chico) =17/36 b) P(chica) =19/36

46.- Se lanza un dado de 6 caras. Calcula la probabilidad de estos sucesos. a) A = «Salir número par»

b) B = «Salir número múltiplo de 3» c) C = «Salir número menor que 4»