DOCUMENTO Nº 1. ELCONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES.

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(1)1. INSTITUCION EDUCATIVA INTEGRADO CARRASQUILLA INDUSTRIAL AREA DE MATEMATICAS ASIGNATURA: ALGEBRA GRADO: 8°. GRUPO: _____. JORNADA: MAÑANA. DOCENTES: RAFAEL SANABRIA TAPIAS. ALUMNO: ___________________________________ DOCUMENTO Nº1. EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES. El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellos, se pueden mencionar los siguientes conjuntos: Conjunto de los números naturales. El conjunto de los números naturales, que se denota por N, corrientemente se presenta así: N = {0,1, 2, 3, 4, 5, ...} Las propiedades más importantes de los naturales son: ✔ N es un conjunto infinito. ✔ Entre dos números naturales hay siempre un número finito de números naturales. ✔ El conjunto de los números naturales es un conjunto ordenado: 0<1<2<3… ✔ Las operaciones de adición multiplicación y potenciación son siempre posibles en N, es decir Si (a, b) є N entonces (a+ b) є N, (a. b) є N y ab є N. Sin embargo, encontramos que la sustracción, la división y la radicación no siempre son posibles en los números naturales. Conjunto de los números enteros. El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta así: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x= -2. Puede notarse que N Z. Z = Z+Ụ {0} Ụ ZDonde Z+ son los enteros positivos, 1, 2 ,3,4… Z- son los enteros negativos …-3,-2,-1 El cero no es positivo ni negativo. ✔ Algunas de las propiedades de los Z son: ✔ Z es un conjunto infinito..

(2) 2. ✔ Z es un conjunto ordenado. ✔ A cada número entero corresponde un punto y solo uno sobre la recta numérica. ✔ La adición, la sustracción y la multiplicación de números enteros siempre están definidas en Z, en cambio la división, potenciación y radicación no siempre son posibles en Z. Conjunto de los números racionales. El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera:. Q=. / m, n son enteros y n. El conjunto de los racionales es el formado por todos los números que resultan de dividir dos enteros Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que el conjunto de los enteros está incluido en los racionales: Z Q. Los racionales son enteros, decimales finitos o decimales infinitos periódicos. 5 Ejemplo: 2 = 2,5 decimal finito 1 3. :. = 0,333 … decimal infinito periódico 10 2. = 5 , numero entero. En lo sucesivo, cuando se haga referencia a los números racionales, a/b, c/d, ..., se entenderá que a, b, c, d, ..., son números enteros y que los denominadores son diferentes de cero. Conjunto de los números irracionales. En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Asi, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2. Puede demostrarse fácilmente, que no existe X Q que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de la forma xn = a, con a Q y n N, carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tengan solución..

(3) 3. El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q*, está constituido por los números decimales que no vienen de la división de dos enteros, es decir, no admiten la representación racional. Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), , , etc. En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q, como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x =. , que no son números racionales.. REPRESENTACION GRAFICA DE LOS IRRACIONALES. Para los enteros positivos que no son cuadrados perfectos, se puede demostrar que su raíz cuadrada es un número irracional, cuya localización en la recta numérica se logra de una manera sencilla empleando el teorema de Pitágoras (Ver fig. siguiente).. NUMEROS REALES Finalmente se define el Conjunto R de los números reales como: R =Q. Q*..

(4) 4. En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades Uniforme Si se suman entre si dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único. Si se multiplican entre si dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único. Conmutativa Para todo a, b. R,. Asociativa Para todo a, b, c. R,. Modulativa Existe el real 0 (cero) tal que para todo a. R,. a+0=0+a=a Existe el real 1 (uno), 1. 0 tal que, para todo a. R,. a. 1 = 1. a = a El real 0 es llamado: módulo o elemento neutro para la adición. El real 1 es llamado: módulo o elemento neutro para la multiplicación. Invertiva Para cada número real a, existe un real único llamado el opuesto de a, y que se denota –a tal que: a + (-a) = 0 Para cada número real a 0, existe un real único llamado el recíproco de a, y que se denota por a-1 ó 1/a tal que: a. a-1 = a. (1/a) = 1 Así, por ejemplo, el opuesto de 5 es -5; el recíproco de -2 es 1/-2. Debe notarse que -a no significa un número negativo, aunque en algunas ocasiones puede serlo. Así, -3 es negativo y es el opuesto de 3, mientras que (-5) es positivo y es el opuesto de –5. El opuesto de a también se conoce como inverso aditivo, el recíproco de a también es llamado inverso multiplicativo de a..

(5) 5. A.C.6. Distributiva Para todo a, b, c,. R, a. (b+ c) = a. b + a. c.

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