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Algebra Lineal

Tema 13 - Valores y Vectores Propios

Daniel Cabarcas Jaramillo

Escuela de Matem´aticas

Universidad Nacional de Colombia, Medell´ın

Medell´ın, 15 de octubre de 2015

(2)

Contenido

Definici´on de Valores y Vectores Propios

Multiplicidad algebraica vs multiplicidad Geom´etrica

(3)

Recordar Determinante

Teorema

Una matriz cuadrada A es invertible si y solo sidet(A)6= 0

(4)

Valores y Vectores Propios

Definici´on

Sea A una matriz n×n.

I Un escalarλse llamavalor propio (eigenvalor) de A si existe x 6= 0 tal que

Ax =λx.

I A tal x se le llama vector propio(eigenvector) de A correspondiente a λ.

I La colecci´on de todos los vectores propios de A

(5)

Valores y Vectores Propios

Definici´on

Sea A una matriz n×n.

I Un escalarλse llamavalor propio (eigenvalor) de A si existe x 6= 0 tal que

Ax =λx.

I A tal x se le llama vector propio(eigenvector) de A correspondiente a λ.

I La colecci´on de todos los vectores propios de A

correspondientes a λjunto con el cero se llamaespacio propio deλy se denota Eλ.

(6)

Valores y Vectores Propios

Definici´on

Sea A una matriz n×n.

I Un escalarλse llamavalor propio (eigenvalor) de A si existe x 6= 0 tal que

Ax =λx.

I A tal x se le llama vector propio(eigenvector) de A correspondiente a λ.

I La colecci´on de todos los vectores propios de A

(7)

Pasos para Encontrar Valores y Vectores Propios

Para encontrar vectores y valores propios de una matrizA n×n 1. Calculamos el polinomio caracter´ısticodet(A−λI).

2. Encontramos valores propios resolviendo la ecuaci´on caracter´ıstica det(A−λI) = 0.

3. Para cada valor propioλi, el espacio propioEλ es el

nul(A−λiI).

(8)

Pasos para Encontrar Valores y Vectores Propios

Para encontrar vectores y valores propios de una matrizA n×n 1. Calculamos el polinomio caracter´ısticodet(A−λI).

2. Encontramos valores propios resolviendo la ecuaci´on caracter´ıstica det(A−λI) = 0.

3. Para cada valor propioλi, el espacio propioEλ es el

(9)

Pasos para Encontrar Valores y Vectores Propios

Para encontrar vectores y valores propios de una matrizA n×n 1. Calculamos el polinomio caracter´ısticodet(A−λI).

2. Encontramos valores propios resolviendo la ecuaci´on caracter´ıstica det(A−λI) = 0.

3. Para cada valor propioλi, el espacio propioEλ es el

nul(A−λiI).

(10)

Multiplicidad algebraica vs multiplicidad Geom´

etrica

Definici´on

Seaλi un valor propio de A.

I Lamultiplicidad algebraica deλi es la potencia en la cual

aparece λ−λi en la factorizaci´on del polinomio caracter´ıstico

det(A−λI).

(11)

Multiplicidad algebraica vs multiplicidad Geom´

etrica

Definici´on

Seaλi un valor propio de A.

I Lamultiplicidad algebraica deλi es la potencia en la cual

aparece λ−λi en la factorizaci´on del polinomio caracter´ıstico

det(A−λI).

I Lamultiplicidad geom´etricadeλi es la dimensi´on de Eλi.

(12)

Propiedades de Valores y Vectores Propios

Teorema

Los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son las entradas de su diagonal principal.

Teorema

(13)

Propiedades de Valores y Vectores Propios

Teorema

Los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son las entradas de su diagonal principal.

Teorema

Una matriz A n×n es invertible si y solo si, cero no es valor propio de A.

(14)

Propiedades de Valores y Vectores Propios

Teorema

Sea A una matriz n×n con valor propio λy correspondiente vector propio x . Y sea k un entero positivo. Entonces

I λk es valor propio de Ak con vector propio correspondiente x .

(15)

Propiedades de Valores y Vectores Propios

Teorema

Sea A una matriz n×n con valor propio λy correspondiente vector propio x . Y sea k un entero positivo. Entonces

I λk es valor propio de Ak con vector propio correspondiente x .

I Si A es invertible, entonces 1/λes valor propio de A−1 con valor propio correspondiente x .

(16)

Propiedades de Valores y Vectores Propios

Teorema

Suponga que A n×n tiene vectores propios v1, . . . ,vm

correspondientes a valores propiosλ1, . . . , λm. Si x ∈Rn puede expresarse como combinaci´on lineal de v1, . . . ,vm como

x=c1v1+· · ·+cmvm, entonces para cualquier entero positivo k

Akx =c1λk1v1+· · ·+cmλkmvm.

Teorema

Sea A una matriz n×n y λ1, . . . , λm valores propios de A

correspondientes a vectores propios v1, . . . ,vm. Entonces

(17)

Propiedades de Valores y Vectores Propios

Teorema

Suponga que A n×n tiene vectores propios v1, . . . ,vm

correspondientes a valores propiosλ1, . . . , λm. Si x ∈Rn puede expresarse como combinaci´on lineal de v1, . . . ,vm como

x=c1v1+· · ·+cmvm, entonces para cualquier entero positivo k

Akx =c1λk1v1+· · ·+cmλkmvm.

Teorema

Sea A una matriz n×n y λ1, . . . , λm valores propios de A

correspondientes a vectores propios v1, . . . ,vm. Entonces

v1, . . . ,vm son LI.

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