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Algebra Lineal
Tema 13 - Valores y Vectores Propios
Daniel Cabarcas Jaramillo
Escuela de Matem´aticas
Universidad Nacional de Colombia, Medell´ın
Medell´ın, 15 de octubre de 2015
Contenido
Definici´on de Valores y Vectores Propios
Multiplicidad algebraica vs multiplicidad Geom´etrica
Recordar Determinante
Teorema
Una matriz cuadrada A es invertible si y solo sidet(A)6= 0
Valores y Vectores Propios
Definici´on
Sea A una matriz n×n.
I Un escalarλse llamavalor propio (eigenvalor) de A si existe x 6= 0 tal que
Ax =λx.
I A tal x se le llama vector propio(eigenvector) de A correspondiente a λ.
I La colecci´on de todos los vectores propios de A
Valores y Vectores Propios
Definici´on
Sea A una matriz n×n.
I Un escalarλse llamavalor propio (eigenvalor) de A si existe x 6= 0 tal que
Ax =λx.
I A tal x se le llama vector propio(eigenvector) de A correspondiente a λ.
I La colecci´on de todos los vectores propios de A
correspondientes a λjunto con el cero se llamaespacio propio deλy se denota Eλ.
Valores y Vectores Propios
Definici´on
Sea A una matriz n×n.
I Un escalarλse llamavalor propio (eigenvalor) de A si existe x 6= 0 tal que
Ax =λx.
I A tal x se le llama vector propio(eigenvector) de A correspondiente a λ.
I La colecci´on de todos los vectores propios de A
Pasos para Encontrar Valores y Vectores Propios
Para encontrar vectores y valores propios de una matrizA n×n 1. Calculamos el polinomio caracter´ısticodet(A−λI).
2. Encontramos valores propios resolviendo la ecuaci´on caracter´ıstica det(A−λI) = 0.
3. Para cada valor propioλi, el espacio propioEλ es el
nul(A−λiI).
Pasos para Encontrar Valores y Vectores Propios
Para encontrar vectores y valores propios de una matrizA n×n 1. Calculamos el polinomio caracter´ısticodet(A−λI).
2. Encontramos valores propios resolviendo la ecuaci´on caracter´ıstica det(A−λI) = 0.
3. Para cada valor propioλi, el espacio propioEλ es el
Pasos para Encontrar Valores y Vectores Propios
Para encontrar vectores y valores propios de una matrizA n×n 1. Calculamos el polinomio caracter´ısticodet(A−λI).
2. Encontramos valores propios resolviendo la ecuaci´on caracter´ıstica det(A−λI) = 0.
3. Para cada valor propioλi, el espacio propioEλ es el
nul(A−λiI).
Multiplicidad algebraica vs multiplicidad Geom´
etrica
Definici´on
Seaλi un valor propio de A.
I Lamultiplicidad algebraica deλi es la potencia en la cual
aparece λ−λi en la factorizaci´on del polinomio caracter´ıstico
det(A−λI).
Multiplicidad algebraica vs multiplicidad Geom´
etrica
Definici´on
Seaλi un valor propio de A.
I Lamultiplicidad algebraica deλi es la potencia en la cual
aparece λ−λi en la factorizaci´on del polinomio caracter´ıstico
det(A−λI).
I Lamultiplicidad geom´etricadeλi es la dimensi´on de Eλi.
Propiedades de Valores y Vectores Propios
Teorema
Los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son las entradas de su diagonal principal.
Teorema
Propiedades de Valores y Vectores Propios
Teorema
Los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son las entradas de su diagonal principal.
Teorema
Una matriz A n×n es invertible si y solo si, cero no es valor propio de A.
Propiedades de Valores y Vectores Propios
Teorema
Sea A una matriz n×n con valor propio λy correspondiente vector propio x . Y sea k un entero positivo. Entonces
I λk es valor propio de Ak con vector propio correspondiente x .
Propiedades de Valores y Vectores Propios
Teorema
Sea A una matriz n×n con valor propio λy correspondiente vector propio x . Y sea k un entero positivo. Entonces
I λk es valor propio de Ak con vector propio correspondiente x .
I Si A es invertible, entonces 1/λes valor propio de A−1 con valor propio correspondiente x .
Propiedades de Valores y Vectores Propios
Teorema
Suponga que A n×n tiene vectores propios v1, . . . ,vm
correspondientes a valores propiosλ1, . . . , λm. Si x ∈Rn puede expresarse como combinaci´on lineal de v1, . . . ,vm como
x=c1v1+· · ·+cmvm, entonces para cualquier entero positivo k
Akx =c1λk1v1+· · ·+cmλkmvm.
Teorema
Sea A una matriz n×n y λ1, . . . , λm valores propios de A
correspondientes a vectores propios v1, . . . ,vm. Entonces
Propiedades de Valores y Vectores Propios
Teorema
Suponga que A n×n tiene vectores propios v1, . . . ,vm
correspondientes a valores propiosλ1, . . . , λm. Si x ∈Rn puede expresarse como combinaci´on lineal de v1, . . . ,vm como
x=c1v1+· · ·+cmvm, entonces para cualquier entero positivo k
Akx =c1λk1v1+· · ·+cmλkmvm.
Teorema
Sea A una matriz n×n y λ1, . . . , λm valores propios de A
correspondientes a vectores propios v1, . . . ,vm. Entonces
v1, . . . ,vm son LI.