SISTEMA EDUCACIONAL LIAHONA GERENCIA TECNICA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA NM4-2017
GUIA PARA EL APRENDIZAJE Nº 3 UNIDAD 4: TEOREMAS DE TRAZOS EN LA CIRCUNFERENCIA
NOMBRE: CURSO: FECHA:
TEOREMAS REFERENTES A TRAZOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Teorema 1: Si un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces la dimidia y viceversa.
Teorema 2: Si un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda, entonces dimidia al arco que suscribe la cuerda y viceversa.
Ejemplo:
1. En la circunferencia de centro O de la
figura, . Si cm, y
, entonces mide
a) 2 cm. b) 3 cm. c) 4 cm. d) 5 cm. e) 10 cm.
2. En la circunferencia de centro O de la figura,
. Si y ,
entonces mide:
a) 18º b) 36º c) 54º d) 72º e) 90°
Teorema 3: Cuerdas congruentes subtienden arcos congruentes y viceversa
Teorema 4: Cuerdas congruentes equidistan del centro y viceversa
Teorema 5: Cuerdas paralelas determinan entre ellas arcos congruentes
Ejemplo:
3. En la circunferencia de centro O de la figura, y son diámetros. Si cm.
y cm. entonces es
a) 9 cm. b) 12 cm. c) 13 cm. d) 14 cm. e) 15 cm.
4. Para que la cuerda sea paralela a la cuerda en la circunferencia de centro O de la figura, debe cumplirse que:
a)
b)
c) d)
5. En la circunferencia de centro O de la figura,
AB CD
, y . Si , entonces el mide:a) 27º b) 36º c) 43º d) 53º e) 63º
Teorema 6 : La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangente. tangente en P
Teorema 7: Los segmentos tangentes trazados desde un punto a una circunferencia, son congruentes
Ejemplo:
6. En la figura es tangente a la circunferencia de centro O y es radio. Si
y , entonces
a) b) c) d) e)
7. En la figura y son tangentes a la circunferencia de centro O en Q y R
respectivamente. Si y
, entonces la medida del ángulo QPR es
a) 12º b) 40º c) 70º d) 90° e) 45°
Teorema 8: En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia la suma de las longitudes de los lados opuestos es la misma.
Ejemplo:
8. ¿Cuál es la suma de los lados del cuadrilátero circunscrito a la circunferencia de la figura
a) 34 b) 32 c) 28 d) 22 e) 14
9. En la figura, la circunferencia de centro O, está inscrita en el cuadrilátero ABCD, siendo F y E puntos de tangencia. Si cm. cm. cm. y cm. entonces la suma de los lados del cuadrilátero es
a) 31 cm. b) 44 cm. c) 50 cm. d) 52 cm. e) 54 cm.
10. En la figura, la circunferencia de centro O es tangente interior al cuadrilátero ABCD en los
puntos E, F, G y H. si , , , y , entonces
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7
11. y son diámetros de la circunferencia de centro O de la figura, ¿Cuánto mide el ángulo ABO, si el ángulo COD mide 100º?
a) 20º b) 25º c) 40º d) 50º e) 80º
12. En la circunferencia de centro O de la
figura . Si y ,
entonces mide
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 40
13. En la figura, la circunferencia de centro O está inscrita en el ∆ABC, siendo D, F y E los puntos de tangencia. Si AD= 4 cm. DB= 6 cm. y CE= 2 cm., entonces el perímetro del triángulo es
a) 12 cm. b) 15 cm. c) 18 cm. d) 21 cm. e) 24 cm.
14. En la circunferencia de centro O de la
figura , entonces
a) 36º b) 45º c) 54º d) 60º e) 72º
15. En la circunferencia de la figura, las cuerdas y son congruentes. Si el arco AB mide 10x + 5 y el arco CD 12x – 21, entonces la medida del arco AB es
a) 135º b) 75º c) 125º d) 151º
e) Ninguna de las anteriores
16. En la figura, CP =12 cm, PD = 3 cm y PB = 4 cm, ¿cuál es el radio de la circunferencia?
a) 15 cm b) 13 cm c) 9 cm d) 7,5 cm e) 6,5 cm
17. Si en la figura , y son tangentes a la circunferencia de centro O, en los puntos
P, T y Q respectivamente. Si , y cm. entonces ST=
a) 3 cm. b) 4 cm. c) 5 cm. d) 6cm. e) 7cm.
Teorema de las cuerdas:
Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan, el producto de los segmentos determinados en una de ellas es igual al producto de los segmentos determinados en la otra.
Teorema de las secantes:
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior
Teorema de la tangente y secante
Si desde un punto exterior de una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la tangente es media proporcional geométrica entre la secante y su segmento exterior.
Ejemplos:
18. En la circunferencia de centro. Si
, y , entonces
a) 24 cm. b) 21 cm. c) 13,5 cm. d) 6 cm. e) 3 cm.
19. En la figura, y son secantes a la circunferencia de centro O. Si y TP=8, entonces es igual a
a) 8 b) 14 c) 20 d) 33 e) 41
20. En la figura, y son secantes a la circunferencia de centro 0. Si PR=8, SR=6 y PT=10, entonces es igual a:
a) 8 b) 24 c) 20 d) 33 e) N.A
21. Si cm y cm, la medida correspondiente a es:
a) 12,7 b) 23,5 c) 12,5 d) 2 e) 24,5
22. En la figura, es tangente a la de centro O y es radio. Si cm y
cm, entonces mide:
a) b) c) 15
d) Ninguna de las anteriores.
23. En la figura, ; ; cm; = 5 cm, entonces la longitud del segmento AD es:
a) 9 b) 5 c) 11 d) 14
e) Ninguna de las anteriores.
o P
T
C
A
E
B o
24. Se tiene que ED = 24 cm, = ; = 2 . La longitud del segmento es:
a) 6 b) 12 c) 24 d) 48 e) 96
25. Desde el punto exterior a una se trazan dos secantes, una de ellas PA mide 15 cm, y su segmento exterior PB mide 6 cm. ¿Cuál es la longitud de la otra secante si su segmento externo es 9 cm?
a) 12 b) 10 c) 20 d) 6 e) 1
26. En la figura. ¿Cuál es el valor de x?
a) 32 b) 17,7 c) 18 d) 21 e) 14
27. En la figura, y . Si
el segmento DE es paralelo a la tangente , ¿Cuál es la medida del segmento DE?
a) 20 cm b) 12 cm c) 9,6 cm d) cm e) 3,2 cm
28. En la circunferencia de centro O de la figura, y son cuerdas. Se puede determinar el valor numérico del radio de la circunferencia si:
(1) (2)
a) (1) por si sola b) (2) por si sola
c) Ambas juntas, (1) y (2)
d) Cada una por si sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional
29. En la figura, . Se puede determinar el valor de AP si:
(1) (2)
a) (1) por si sola b) (2) por si sola
c) Ambas juntas, (1) y (2)
d) Cada una por si sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional
D
C A
B
P A
E
D