UNIDADES 9-10 TÍTULO Geometría
1. Ángulos
Actividades de clase
1.1 ¿QUÉ ANGULOS FALTAN?
Halla el valor del ángulo o ángulos desconocidos en cada uno de los siguientes casos:
1.2. La figura está formada por dos cuadrados y dos triángulos ¿Cuánto
mide el ángulo OMA?
Actividades de refuerzo
1.3. ¿QUÉ ANGULOS FALTAN?
(Triángulo equilátero) (Cuadrado) (Octógono regular)
1.4. CDI-08
Hallar el ángulo A
1.5. Calcula el valor de A en la primera imagen y el de B en la segunda.
2. Perímetros y áreas de polígonos
Actividades de clase
2.1. CARPINTERO (PISA)
Un carpintero tiene 32 metros de madera y quiere construir una pequeña valla alrededor de un parterre en el jardín. Está considerando los siguientes diseños para el parterre.
Rodea con un círculo Sí o No para indicar si, para cada diseño, se puede o no se puede construir el parterre con los 32 metros de madera.
2.2. ¿CUÁL ES MÁS GRANDE?
a. Me han dicho que si recorto en una cartulina el rombo de la imagen gastaré casi el quíntuplo
de cartulina que si recorto el cuadrado de la imagen ¿Es eso cierto? Realiza los cálculos para comprobarlo.
2.3. Clasifica el siguiente polígono y calcula su perímetro y área
2.4. A PINTAR LA FACHADA
El plano siguiente muestra las dimensiones, en metros, de la fachada que Jorge quiere pintar de verde, en la que hay una gran puerta cuadrada que no pintará.
a. ¿Cuánto mide la superficie a pintar?
b. Si el precio de la pintura es de 3 €/m2, ¿cuántole costará pintar la fachada?
2.5. HEXÁGONO REGULAR
En el hexágono regular de lado 6 cm, calcula:
a. El área y perímetro del triángulo OAB b. El área y perímetro del trapecio ADEF c. El área y perímetro del rombo OBCD
2.6. CORTAMOS LAS ESQUINAS
Si de un rectángulo de 9 cm de largo y 6 de ancho cortamos en las cuatro esquinas un triángulo rectángulo de catetos de 3 cm, ¿qué área tiene la figura que resulta?
Actividades de refuerzo
2.7. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 9 cm y 12 cm. En otro triángulo rectángulo, un
2.8. El paralelogramo de la figura tiene 408 cm2 de área y sus dimensiones son las que se indican. ¿Cuánto vale x?
2.9. EL PATIO (PISA)
Nicolás quiere pavimentar el patio rectangular de su nueva casa. El patio mide 5,25 metros de largo y 3,00 metros de ancho. Nicolás necesita 81 ladrillos por metro cuadrado. Calcula cuántos ladrillos necesita Nicolás para pavimentar todo el patio.
2.10. LA HELADERÍA (PISA)
Este es el plano de la heladería de María. Está renovando la tienda. El área de servicio está rodeada por el mostrador Nota: Cada cuadrado de la cuadrícula representa 0,5 metros × 0,5 metros.
a. María quiere colocar un nuevo borde a lo largo de la
parte externa del mostrador. ¿Cuál es la longitud total del borde que necesita? Escribe tus cálculos.
b. María también va a poner un nuevo revestimiento para suelo en la tienda. ¿Cuál es la
superficie (área) total del suelo de la tienda, excluidos el área de servicio y el mostrador? Escribe tus cálculos.
c. María quiere tener en su tienda conjuntos de una mesa y cuatro sillas como el que se
muestra en la figura. El círculo representa la superficie de suelo necesaria para cada conjunto. Para que los clientes tengan suficiente espacio cuando estén sentados, cada conjunto (tal y como representa el círculo) debe estar situado según las siguientes condiciones:
Cada conjunto debe estar situado, al menos, a 0,5
metros de las paredes.
Cada conjunto debe estar situado, al menos, a 0,5 metros de los otros conjuntos.
¿Cuál es el número máximo de conjuntos que María puede colocar en la zona de mesas sombreada de su tienda?
2.11. AZULEJO
Un azulejo rectangular, de colores gris y blanco, tiene por dimensiones 8 x 6 centímetros. Si P es el centro del azulejo, ¿cuánto mide el área de la zona gris?
2.12. EL ESPEJO
Si a un espejo de forma rectangular de dimensiones 2 x 1,5 metros le queremos colocar un marco de las mismas dimensiones y 10 cm de ancho, ¿qué cantidad de superficie queda de espejo?
Actividades de ampliación
2.13. Calcula el área de las siguientes figuras:
2.14. BALDOSAS
Observa este tipo de baldosas cuadradas y sus medidas. Dependiendo de la distancia x marcada, las baldosas son distintas
a. Encuentra una expresión algebraica para el
valor de área del cuadrado interior, en función de x.
b. En cierta baldosa, el área de este cuadrado interior es de 250 cm2. ¿Cuál es la distancia x que separa las esquinas de los dos cuadrados que la forman?
2.15. Si el rectángulo ABCD tiene dimensiones 11 y 8 cm y DE vale 4 cm, ¿cuánto vale el área de
la zona sombreada? No nos hemos olvidado ningún dato.
2.16. LA CRUZ
Una cruz está formada por 5 cuadrados iguales. Si el segmento x mide 5 cm:
a. ¿Cuánto mide el lado de cada cuadrado? b. ¿Cuánto mide, en cm2, el área de la cruz?
3. Perímetro de la circunferencia y área del círculo
Actividades de clase
3.1. LA NORIA
A la orilla del río se encuentra una noria gigante. Fíjate en el dibujo y en el diagrama que se muestra a continuación.
La noria tiene un diámetro exterior de 140 metros y su punto más alto se encuentra a 150 metros sobre el cauce del río. Da vueltas en el sentido indicado por las flechas.
a. La letra M del gráfico
señala el centro de la noria. ¿A cuántos metros (m) sobre el cauce del río se encuentra el punto M?
b. ¿Cuántos metros lineales de acero serán necesarios para construir el contorno
(circunferencia) de la noria?
3.2. RUEDA
La rueda de un coche tiene un radio de 33 centímetros. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido el coche si la rueda ha dado 80000 vueltas?
3.3. CDI-11
En las figuras adjuntas el lado del cuadrado es de 12 cm. ¿Cuánto mide el área de la parte
sombreada? (Tomar π3,14)
3.4. Calcula el área de la siguiente figura:
3.5. LATAS EN UNA BANDEJA
En una bandeja circular queremos meter 7 latas de refresco, de 3 cm de radio cada una de ellas. La lata del centro es tangente a cada una de las seis que la rodean, siendo estos tangentes al contorno de la bandeja.
a. ¿Qué superficie de la bandeja queda sin ocupar por las latas? b. ¿Cuánto vale el perímetro de la bandeja?
Actividades de refuerzo
3.6. PIZZA (PISA)
Una pizzería sirve dos pizzas redondas del mismo grosor y de diferente tamaño. La más pequeña tiene un diámetro de 30 cm y cuesta 30 euros. La mayor tiene un diámetro de 40 cm y cuesta 40 euros. ¿Qué pizza tiene mejor precio? Muestra tu razonamiento.
3.7. Calcula el área de la zona sombreada y el perímetro de la circunferencia
exterior.
3.8. CDI-14
Calcular el área de la parte sombreada de la figura sabiendo que todos los
círculos son iguales y que su radio mide 1 cm (π3,14)
3.9. LA FINCA
Eres un tasador de terrenos. El precio del metro cuadrado en la zona es de 800 €. Si te encontraras con la siguiente finca
a. ¿Cuál sería su precio?
b. Si tuvieras que vallar la finca y el metro de valla
costara 60€, ¿cuánto tendrías que pagar por ello?
3.10. LAS FUENTES
En un terreno rectangular de 30 por 10 metros se construyen dos fuentes circulares, como se muestra en la figura, y se planta césped en el terreno restante.
Actividades de ampliación
3.11. OVEJA PASTANDO
Una oveja está atada en un prado a una barra de cinco metros de longitud con una cuerda de un metro, la cual se desliza por la barra a través de una anilla. ¿Qué superficie de hierba se puede comer la oveja?
3.12. POLEAS
Esta es la sección de un mecanismo formado por tres rodillos cilíndricos unidos por una polea. La distancia entre los centros de cada rodillo es:
Si el radio “x” del rodillo de centro C es 3 cm mayor que el radio “y” del rodillo de centro B.
a. ¿Cuál es el radio de cada rodillo? Plantea un sistema de dos ecuaciones y resuélvelo. b. ¿Qué longitud tiene la circunferencia de cada rodillo?
4. Poliedros
Actividades de clase
4.1. Dada la siguiente pirámide de base cuadrada, se pide:
a. ¿Cómo se llaman a las longitudes dadas que miden 4 y 8 centímetros?
b. ¿Cuánto mide “a”? ¿Cómo se llama a esta longitud?
4.2. Dada la siguiente pirámide de base hexagonal, se pide:
a. ¿Cómo se llaman a las longitudes que miden 8 y 9 centímetros?
b. ¿Cuánto mide “b”? ¿Cómo se llama a esta distancia?
4.3. EL OCTAEDRO
Dado este octaedro regular de arista 6 cm:
a. ¿Cuánto mide la diagonal AB? b. ¿Cuánto mide la diagonal CD?
Actividades de refuerzo
4.4. MIRANDO LA TORRE (PISA)
En las Figuras 1 y 2 de abajo se ven dos dibujos de la misma torre. En la Figura 1 se ven tres caras del tejado de la torre. En la Figura 2 se ven cuatro caras.
En el siguiente dibujo se muestra la vista del tejado de la torre desde arriba. Se han señalado cinco posiciones en el dibujo. Cada una de ellas está marcada con una cruz (×) y se han denominado de P1 a P5. Desde cada una de estas posiciones, una persona que mirase la torre sería capaz de ver un número determinado de las caras del tejado de la torre.
a. En la tabla siguiente, rodea con un círculo el
número de caras que se verían desde cada una de estas posiciones.
b. (NO PISA) Si la apotema de la base mide 12 metros y cada una de las caras laterales tiene
una altura de 12 metros, ¿cuánto mide la torre de alto?
4.5. DADOS (PISA)
A la derecha, hay un dibujo de dos dados. Los dados son cubos con un sistema especial de numeración en los que se aplica la siguiente regla: “El número total de puntos en dos caras opuestas es siempre siete”
a. A la derecha se pueden ver tres dados colocados uno encima del
otro. El dado 1 tiene cuatro puntos en la cara de arriba. ¿Cuántos
puntos hay en total en las cinco caras horizontales que no se pueden ver (cara de abajo del dado 1, caras de arriba y de abajo de los dados 2 y 3)?
b. Puedes construir un dado sencillo cortando, doblando y pegando cartón.
Estos dados se pueden hacer de muchas maneras. En el dibujo siguiente puedes ver cuatro recortes que se pueden utilizar para hacer cubos, con puntos en las caras.
¿Cuál de las siguientes figuras se puede doblar para formar un cubo que cumpla la regla de que la suma de caras opuestas sea 7? Para cada figura, rodea con un círculo Sí o No en la tabla de abajo.
4.6. CONSTRUYENDO BLOQUES (PISA)
A Susana le gusta construir bloques con cubos pequeños como el que se muestra en el siguiente gráfico:
Susana tiene muchos cubos pequeños como éste. Utiliza pegamento para unir los cubos y construir otros bloques. Primero Susana pega ocho cubos para hacer el bloque que se muestra en el gráfico A:
Luego Susana hace los bloques macizos que se muestran en los gráficos B y C:
a. ¿Cuántos cubos pequeños necesitará Susana para hacer el bloque que se muestra en el
b. ¿Cuántos cubos pequeños necesitará Susana para construir el bloque macizo que se
muestra en el gráfico C?
c. Susana se da cuenta de que ha utilizado más cubos pequeños de los que realmente
necesitaba para hacer un bloque como el que se muestra en el gráfico C. Se da cuenta de que podía haber construido un bloque como el del gráfico C pegando los cubos pequeños, pero dejándolo hueco por dentro. ¿Cuál es el mínimo número de cubos que necesita para hacer un bloque como el que se muestra en el gráfico C, pero hueco?
d. Ahora Susana quiere construir un bloque que parezca un bloque macizo y que tenga 6
cubos pequeños de largo, 5 de ancho y 4 de alto. Quiere usar el menor número posible de cubos dejando el mayor hueco posible en el interior. ¿Cuál es el mínimo número de cubos que necesitará Susana para hacer este bloque?
5. Cuerpos de revolución
Actividades de clase
5.1. GIRAMOS UNA SEMICIRCUNFERENCIA
Hacemos girar una semicircunferencia de 10 cm de diámetro alrededor su diámetro, obteniéndose una esfera.
a. ¿Cuánto mide el radio de la esfera?
b. Localiza sobre la circunferencia dónde estará, al hacerla girar, el centro de la esfera.
5.2 GIRAMOS UN RECTÁNGULO
Gira el cilindro alrededor de sus ejes “a” y “b”.
a. ¿Qué figuras obtienes? b. ¿Cuáles son sus radios?
5.3. GIRAMOS UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
¿Qué cuerpo geométrico se obtiene al girar el triángulo sobre su eje “e”? ¿Cuánto mide el radio de la base?
5.4. LA HORMIGA
Una hormiga quiere subir desde la base del cono hasta su vértice para coger una miga de pan que allí se encuentra:
a. ¿Cómo se llama al camino más corto posible?
b. ¿Cuánto recorrerá entre la subida y la bajada si va por el camino
más corto?
Actividades de refuerzo
5.5. GIRAMOS UN TRAPECIO
Dado el siguiente trapecio, ¿qué cuerpo geométrico se obtiene al girar sobre el eje “e”? Halla la generatriz
6. Áreas de poliedros y cuerpos de revolución
Actividades de clase
6.1. CUERPOS GEOMÉTRICOS
Clasifica los siguientes cuerpos
geométricos sólidos y calcula el área de cada uno de ellos
6.2. NUESTRO PLANETA
Si el radio de la Tierra es de 6370 km y aproximadamente el 70% de la
superficie está cubierta por agua, ¿qué superficie, expresada en m2, ocupa
el agua? (emplea la notación científica para expresar el resultado)
6.3. LATA DE CONSERVAS
a. Calcula la cantidad de lámina de hojalata necesaria para fabricar un bote
de conservas, de forma cilíndrica, cuya base tiene un diámetro de 16 centímetros y cuya altura mide 20 centímetros.
b. Compramos láminas de 1 m2, ¿cuántas latas se podrían fabricar, como mucho, con cada una de ellas?
6.4. SOMBRERO DE FIESTA
Me he comprado un sombrero para ir a un cumpleaños. Como quiero saber cuánto cartón se gasta en construir uno de ellos, con una regla mido el diámetro del “agujero” por donde meto la cabeza y obtengo 18 cm. Además mido la altura del sombrero y obtengo 40 cm.
a. ¿Qué superficie de cartón se emplea?
b. ¿Habría sido más fácil tomar otra medida del sombrero para resolver
los cálculos? ¿Cuál?
6.5. PISCINA DESMONTABLE
Una piscina tiene forma de hexágono, de arista 4 metros, y está totalmente fabricada en plástico. Si la altura es de 1,20 m, ¿qué cantidad
de plástico se ha empleado en fabricarla, expresado en m2?
Actividades de refuerzo
6.6. LA CASA DE JUAN
Juan se quiere construir una casa, de las dimensiones y forma que se muestra en la figura, empleando madera en su totalidad (tejado, paredes y suelo) ¿Cuántos metros cuadrados de madera tiene que comprar, suponiendo que no hay ni ventanas ni puertas?
6.7. Haciendo girar un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9 cm y 12 cm alrededor de cada
uno de ellos, se obtienen dos conos. Dibújalos y halla el área total de cada uno de ellos.
6.8. APISONADORA
Una apisonadora tiene un rodillo de 1,2 metros de diámetro y 2,3 metros de largo. ¿Qué superficie de tierra apisona en cada vuelta de rodillo?
6.9. Halla la superficie de este tronco de pirámide de bases cuadradas:
6.10. LA PISCINA (1ª PARTE)
Se diseña una piscina con las medidas indicadas en la figura (20 m de largo, 8 metros de ancho y una profundidad que va desde 1 m, en su parte menos profunda, a 4 m, en su parte más profunda)
a. ¿Cuánto mide la superficie del fondo de la piscina?
b. Se quiere recubrir el fondo y las paredes de la piscina con
azulejos cuadrados de 10 cm de lado, que vienen en cajas de 1000 unidades. ¿Cuál es la cantidad mínima de cajas que se necesitarán?
6.11. LA CÁPSULA (1ª PARTE)
Una cápsula está formada por una semiesfera, un cilindro y un cono del mismo radio, según se muestra en la figura. ¿Cuál es la superficie de la cápsula?
Actividades de ampliación
6.12. Cortamos un cubo por un plano que pasa por los puntos
MNC'A' (M y N son los puntos medios de las aristas AD y DC,
respectivamente). Calcula el área total del menor de los poliedros que se forman.
7. Volúmenes de poliedros y cuerpos de revolución
Actividades de clase
7.1. LA CÁPSULA (2ª PARTE)
Una cápsula está formada por una semiesfera, un cilindro y un cono del mismo radio, según se muestra en la figura. ¿Cuántos litros de aire caben en su interior?
7.2. PIRÁMIDES DE KEOPS Y MICERINOS
Las pirámides de los faraones Keops y Micerinos se pueden encontrar muy próximas en Gizeh, aunque con proporciones bien distintas.
La pirámide de Keops tiene una base cuadrada de lado 230 metros y de altura 147 metros. El lado de la base cuadrada de la pirámide de Micerinos es 105 metros y la altura 65.
a. Calcula el volumen de cada una de ellas.
b. ¿Cuántas veces es mayor la pirámide de Keops respecto a la de Micerinos?
7.3. LA PISCINA
Se diseña una piscina con las medidas indicadas en la figura (20 m de largo, 8 metros de ancho y una profundidad que va desde 1 m, en su parte menos profunda, a 4 m, en su parte más profunda).
a. ¿Qué cantidad de agua, en litros, cabe en la piscina? b. ¿Cuánto mide la superficie del fondo de la piscina?
c. Se quiere recubrir el fondo y las paredes de la piscina con azulejos cuadrados de 10 cm de
lado, que vienen en cajas de 1000 unidades. ¿Cuál es la cantidad mínima de cajas que se necesitarán?
7.4. PELOTAS DE TENIS (10 min)
Tres pelotas de tenis se introducen en una caja cilíndrica de 6,6 cm de diámetro en la que encajan hasta el borde.
a. Halla el volumen de la parte vacía. b. Localiza un plano de simetría horizontal
7.5. EL DEPÓSITO DE AGUA
Un depósito de agua, totalmente cerrado, tiene la forma y dimensiones que se muestran en el dibujo. Inicialmente el depósito está vacío. Después se llena con agua a razón de un litro por segundo.
a. ¿Cuántos litros de agua caben en el depósito?
b. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse la parte cónica? ¿Y la parte cilíndrica? c. ¿Qué cantidad de chapa se ha empleado en su construcción?
7.6. ¿SE DESBORDARÁ?
En cierto depósito con forma de prisma caben 96 m3 de agua. La base del depósito, rectangular,
mide 8 m de largo y 4 m de ancho.
a. ¿Cuál es la altura total del depósito?
El depósito no está lleno completamente y desde la superficie del agua hasta el borde del depósito hay 40 cm.
b. ¿Qué altura alcanza el agua?
c. ¿Qué volumen ocupa el agua que hay en el depósito? d. ¿Cuántos litros son necesarios para llenarlo?
Las previsiones del tiempo son que al lunes habrá tormenta y caerán 60 l/m2:
e. ¿Cuántos litros de agua entrarán en el depósito? ¿Se desbordará?
Actividades de refuerzo
7.7. Calcula el volumen de estos cuerpos geométricos, expresando los resultados con las unidades
adecuadas.
7.8. Una circunferencia, cuya longitud es de 15,7
centímetros, gira alrededor de un diámetro generando una esfera.
a. Obtén el radio de la circunferencia b. Calcula el volumen de dicha esfera.
7.9. Calcula el volumen del cuerpo de revolución que genera esta figura plana
al girar alrededor del eje indicado:
7.10. DORMITORIO
Calcula el volumen de una habitación de 2,30 m de altura, cuya planta tiene la forma y dimensiones indicadas en la figura.
7.11. LECHE EN POLVO
Una empresa dona a una ONG 1000 LITROS de leche en polvo. Para envasarla, utilizan unos botes como el de la figura.
¿Cuántas unidades se necesitan?
7.12. CDI
2015-2013-2011. Un depósito de agua tiene forma cilíndrica. El diámetro de la base mide 2 m y
la altura 3 m. ¿Cuál es el volumen del depósito? ¿Cuántos litros de agua caben en el depósito? (π=3,14)
2012. Un envase de un litro de leche tiene forma de prisma, la base es un cuadrado que tiene
10 cm de lado.
a. ¿Cuál es, en cm3, el volumen del envase? b. Calcula la altura del envase en centímetros.
Actividades de ampliación
7.13. ¿EN CUÁL CABE MÁS?
Un cilindro y un cono tienen la misma superficie total, 96π cm2, y el mismo radio, 6 cm. ¿Cuál de
los dos tendrá mayor volumen?
7.14. Una esfera y una semiesfera tienen el mismo volumen. ¿Qué relación existe entre sus radios?
7.15. EL ACUARIO
Un acuario para peces es de forma cilíndrica y tiene 15 metros de altura y 8 metros de diámetro. Se ha diseñado un hueco cilíndrico en su interior, de 4 m de diámetro, desde donde los visitantes pueden admirar los peces del acuario. ¿Qué cantidad de agua, expresada en
7.16. RECIPIENTE DE PALOMITAS
Un recipiente de palomitas tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular como el de la figura. Calcula:
a. La altura del recipiente. b. El área lateral.
c. El área total. d. El volumen.
7.17. QUESO DE BOLA
Colocamos un queso de bola (esférico) sobre una tabla de cortar y medimos su altura total, que resulta ser de 16 cm.
a. ¿Qué superficie ocupa la corteza del queso?
Si cortamos la cuarta parte del queso:
b. ¿Qué volumen de queso hemos cortado, medido en litros?
7.18. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Se introduce una bola de piedra de 14 cm de diámetro en un recipiente cúbico de 14 cm de arista lleno de agua y después se retira. Calcula:
a. La cantidad de agua que se ha derramado.
b. La altura que alcanza el agua en el recipiente después de sacar la
bola.
7.19. GALILEO
Se cuenta que Galileo (siglo XVI) se planteó el problema de encontrar, a partir de una pieza rectangular, el cilindro de mayor volumen. Imagina que haces tú lo mismo a partir de una hoja de papel de 30 o 40 cm, obteniendo cilindros de dos tipos diferentes, según los procedimientos descritos en las figuras A y B.
a. Calcula, en cada caso, el radio del cilindro que obtendrías.
b. ¿Cuál de los tres cilindros crees que tendrá mayor volumen? Calcula el volumen de cada
cilindro y comprueba si tu estimación es o no correcta.
7.20. DEPÓSITO DE GAS METANO
Un depósito como el de la imagen está fabricado en acero y se emplea en el almacenamiento de gas metano:
a. ¿Cuántos litros de gas cabe en su interior?
b. ¿Qué superficie de acero se ha empleado en su construcción?
7.21. Calcula el volumen de una esfera cuya superficie mide 1256 centímetros cuadrados.
Actividades de ampliación
7.22. Cortamos un prisma triangular regular por un plano perpendicular a
las bases y que pasa por el punto medio de dos aristas. Calcula el volumen de los dos prismas que se obtienen.